大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷

（一）

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,

(),0

x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).

(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h

→--的值为（ ）.

(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

12

3. （3分）定积分

222

1cos xdx π

π

-

-⎰的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2

3x 的曲线方程为 . 2. （3分）

1

241

(sin )x x x dx -+=⎰

.

3. （3分） 2

1

lim sin

x x x

→= . 4. （3分） 3

2

23y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求2

ln(15)

lim

.sin 3x x x x →+

2. （6分）设x

e y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2

ln(1).x x dx +⎰

4. （6分）求

3

(1),f x dx -⎰

其中,1,()1cos 1, 1.x x

x f x x e x ⎧≤⎪

=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程0

cos 0y

x

t

e dt tdt +=⎰

⎰所确定,求.dy

6. （6分）设

2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞

⎛

⎫+ ⎪⎝⎭

四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 2

2y x x π

π⎛⎫=-

≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋

转体的体积.

3. （7分）求曲线32

32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数1y x x =+-[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

1()[()()]()()().22b

b

a

a

b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=

++--⎰

⎰

（二）

一、

填空题（每小题3分，共18分）

1．设函数()2

31

22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.

2．函数(

)2

1ln x

y +=，则='y

.

3． =⎪

⎭

⎫

⎝⎛+∞→x

x x x 21lim

. 4．曲线x y 1=

在点⎪⎭

⎫

⎝⎛2,21处的切线方程为 .

5．函数2

3

32x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 .

6．

=+⎰dx x x

2

1arctan . 二、

单项选择题（每小题4分，共20分）

1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .

() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；

() C 充分必要条件； () D 无关条件.

2．下列各式正确的是（ ） .

() A C e dx e x x +=--⎰； () B C x

xdx +=⎰1

ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰

21ln 2

1

211； () D C x dx x

x +=⎰

ln ln ln 1

. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.

() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；

() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.

4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.

() A 等于1； () B 等于1-；

() C 等于0； () D 不存在.

5．已知()2lim 1

=+

→x f x ，以下结论正确的是（ ）. () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；

() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.

三、

计算（每小题6分，共36分）

1．求极限：x

x x 1

sin

lim 2

→. 2. 已知(

)2

1ln x y +=，求y '.

3. 求函数x

x

y sin =()0>x 的导数.