2019年河南省高考数学一诊试卷(理科)及解析

河南省高考数学一诊试卷（理科）

、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（ 5 分）已知a∈R，复数z= ，若=z，则a=（）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

2．（5 分）已知集合M={x| ≤0}，N={x| y=log3（﹣6x2+11x﹣4）}，则M∩

N=（）

3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最

高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A．最低气温与最高气温为正相关

B．10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月

D．最低气温低于0℃的月份有4 个

4．（5 分）在等比数列{a n}中，若a2= ，a3= ，则=（）A．B．C．D．2

A．[ 1，] B．（，3] C．（1，）D．（，2）

5．（5 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：

“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7 尺和 5 尺，高为8 尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）

A．128π平方尺B．138π平方尺C．140π平方尺D．142π平方尺

6．（5分）定义[ x] 表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[ x] ，例如[ 2.1] =2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）

A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣ 4.6 D．﹣ 2.8

7．（5 分）若对于任意x∈R 都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f （2x）图象的对称中心为（）

A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）

8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不

唯一，则实数 a 的值为（）

A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2

9．（5 分）函数f（x）=的部分图象大致是（

10．（

5

分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

A．20+12 +2 B．20+6 +2 C．20+6 +2 D．20+12 +2 11．（5分）设椭圆E：的一个焦点为F（1，0），点A（﹣1，1）为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得| PA|+| PF| =9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）

A．

B．

x）≤0 恒成立，则的最小值为（）

B．﹣C．﹣D．﹣

C．D．

已知函数f（x）=lnx+（2e2﹣a）x﹣，其中 e 是自然对数的底

数，

12．（5 分）

若不等式f

A．﹣

、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）在△ ABC中，| + | =| ﹣| ，| |=2，则? =

14．（5 分）已知（1+x）（a﹣x）6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7，a∈R，若

a0+a1+a2+⋯+a6+a7=0，则a3= ．

15．（5分）已知S n为数列｛ a n｝的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有

ka n=a n S n﹣S 成立，若S99= ，则k= ．

16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1

的直线l 与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ ABF2 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）如图，在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠

BAE=∠CAE．

（1）求线段AD 的长；

（2）求△ ADE的面积．

18．（12 分）某班为了活跃元旦气氛，主持人请12 位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字 1 到12 的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取的标有数字7 到12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子

中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．

（1）求甲获得奖品的概率；

（2）设X 为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．

19．（12 分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E

⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ ACB=9°0．（1）证明：B1C∥平面A1DE；

（2）求二面角A﹣BB1﹣C 的正弦值．

20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p>0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．

（1）求抛物线 E 的方程；

（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，证明：

为定值．

21．（12 分）已知函数f（x）=（x+1）e ax（a≠0），且x= 是它的极值点．（1）求 a 的值；

（2）求f（x）在[ t﹣1，t+1] 上的最大值；

（3）设g（x）=f（x）+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈（0，1），都有| g

（x1）﹣g（x2）| < + +1．

请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[ 选修4-4 ：坐标系与参数方程]