新利息理论教案第2章

第 2 章：等额年金

第 2.1 节：年金的含义

本节内容：

一、年金的含义（annuity ）

年金是指一系列的付款（或收款）。

年金最原始的含义是指一年付款一次，每次支付相等的金额的一系列款项。但现在被广泛应用到其他更一般的情形，时期和金额都可以变化。 二、年金的分类

1、确定年金和风险年金。

2、定期年金和永续年金。

3、多期支付一次、每期支付一次、每期支付多次年金和连续年金。

4、期初付年金和期末付年金。

5、即期年金和延期年金。

6、等额年金和变额年金。 本节重点：

年金的定义。 本节难点：

年金的分类。

第 2.2 节：年金的现值

年金现值是一系列款项在期初的价值。 本节内容：

2.2.1 期末付定期年金的现值

假设年金支付期限为n 个时期，每个时期末支付1元，那么这种年金就是期末付定期年金。其现值一般用符号n i a

表示。在不引起混淆的情况下，通常简

记为

n

a 。

n

a

的计算过程图（略）

一、公式

23...n n

v v v v a

=++++

(1)11n n

v v v v i

--=

=-

二、理解

1n n v ia +=

三、例题

1、现在向银行存入一笔钱，希望在以后的5年中每年末得到4000元，如果年实际利率为8%，现在应该存入多少钱？

解：应用期末付年金现值公式：

4000 58%a

=4000×3.9927=15971

说明：

58%a

的具体数值可以通过年金现值表查到

2、一笔年金在20年内每年末支付4，另一笔年金在10年内每年末支付5。如果年实际利率为i ，则这两笔年金的现值相等。若另一笔款项n 年内以利率i 投资可以翻番，求n 。

解：

20

1045a

a =

20101145

v v i i

--=

100.25v =

i=0.148698

2.2.2 期初付定期年金的现值

假设年金支付期限为n 个时期，每个时期初支付1元，那么这种年金就是期初付定期年金。其现值一般用符号n i a

表示。在不引起混淆的情况下，通常简

记为

n

a 。

n

a

的计算过程图（略）

一、公式

2311...n n

v v v v a -=+++++

(1)11n n

v v v d

--=

=-

二、

n

a

与

n

a

的关系

1、

(1)n n

i a a =+（可用公式展开证明）

2、11n

n a

a -=+ （可用图形讲述）

三、例题

1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？

解：设仓库的年租金为A ，可以建立

50000=A

8

a

，A=7596

2.2.3 期末付永续年金的现值

永续年金是指无限期支付下去的年金。因此，其现值等于定期年金的现值当支付期限n 趋于无限大时的极限。若用a ∞表示期末付永续年金的现值，则有

1

lim n n i a a ∞→∞==

2.2.4 期初付永续年金的现值 一、公式

若用

a

∞

表示期初付永续年金的现值，则有

1lim n

n d

a

a ∞

→∞

==

二、a ∞与a ∞的关系 (1)i a a ∞∞

=+

三、例题

1、某企业租用了一间仓库，一次性支付50000元的租金后可以使用8年，假设年实际利率为6%，试计算如果每年初支付租金，该仓库的年租金应该为多少？

解：设仓库的年租金为A ，可以建立

50000=A

8

a

，A=7596

2、一笔10000元的贷款，期限为10年。如果年利率为6%，比较下述三种还款方式，那种支付的利息多。（1）在10年末一次性偿付所有本息；（2）每年末支付利息，在第10年末再偿付本金；（3）10年内每年末偿付相等的金额，在10年末刚好付清。

解：（1）这笔款项在第10年末的累计值为

1010000(10.06)17909+=

因此支付的利息总额为：17909-10000=7909元 （2）每年末支付的利息为100000.06600⨯= 因此支付的利息总额为：6000元 （3）设每年末偿付的金额为A 则1010000Aa =

A=1359

因此支付的利息总额为：135********⨯=

3、A 留下一笔十万元遗产。这笔财产头10年的利息付给收益人B ，第2个10年利息付给收益人C ，此后的均给慈善机构D 。若此项财产的年实际利率为7%，试确定B 、C 、D 在此项财产中的分额。

解：此项财产实际上为100000×0.007=7000元其末付永续年金。

B ：7000

10

a

=7000×7.0236=49165

C ：7000（

20a -10

a ）=700010a 10v =24993 D ：7000（a ∞

-20

a

）=7000a ∞20v =25842

本节重点：

期末付定期年金的现值的计算公式。 本节难点：

公式之间的关系。

第 2.3 节：年金的终值

定期年金存在终值，而永续年金不存在终值。 本节内容：

2.3.1 期末付定期年金的终值 期末付定期年金的终值一般用符号n i

s

表示。

一、公式

211(1)(1)...(1)n n

i i i s

-=+++++++

1(1)(1)1

1(1)n n i i i i

-++-==-+

二、解释

1(1)n

n

i is

++=

2.3.2 期初付定期年金的终值 期初付定期年金的终值一般用符号n i s

表示。

一、公式

21(1)(1)...(1)(1)n n n

i i i i s

-=++++++++

(1)(1(1))(1)1(1)1

1(1)/1n n n i i i i i i i d

+-++-+-===-++

二、

n

s

与

n

s

的关系

1、

(1)n

n

i s s

=+ （可用公式展开证明）