截长补短类辅助线作法
中考必会几何模型：截长补短辅助线模型
截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF上截取EG＝AB，再证明GF＝CD即可.补短法：如图③，延长AB至H点，使BH＝CD，再证明AH＝EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例1：如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 .求证：AB＝AC＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .证法二，补短法：如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.又∵AE＝AC＋CE，∴∴AB＝AC＋CD .例2：如图，已知OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，∠A＝∠GBD . 求证：AO＋BO＝2CO .证明：在线段AO上取一点E，使CE＝AC，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2（CE＋OE）＝2CO .跟踪练习1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD .求∠ABC 的度数 .【答案】证法一：补短延长AB 到点E ，使BE ＝BD . 在△BDE 中， ∵BE ＝BD ，∴∠E ＝∠BDE ， ∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E ＝2∠E . 又∵AC ＝AB ＋BD ，∴AC ＝AB ＋BE ，∴AC ＝AE .∵AD 是∠BAC 的平分线，∠BAC ＝600， ∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 . ∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠E ＝∠C . ∵∠ABC ＝2∠E ，∴∠ABC ＝2∠C . ∵∠BAC ＝600，∴∠ABC ＋∠C ＝1800－600＝1200，∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 . 证法二：在AC 上取一点F ，使AF ＝AB ，连接DF. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠FAD . ∵AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD ，∴∠B ＝∠AFD ，BD ＝FD .∵AC ＝AB ＋BD ，AC ＝AF ＋FC ∴FD ＝FC ，∴∠FDC ＝∠C . ∵∠AFD ＝∠FDC ＋∠C ， ∴∠B ＝∠FDC ＋∠C ＝2∠C . ∵∠BAC ＋∠B ＋∠C ＝1800， ∴32∠ABC ＝1200，∴∠ABC ＝800 .2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF . ∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 . ∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ， ∴∠OAC ＝∠OAB ＝2BAC Ð，∠OCA ＝∠OCB ＝2ACBÐ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝2BAC ACB??＝600，∴∠AOC＝1800－∠AOE＝1200 .∵AE＝AF，∠EAO＝∠FAO，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE＝600，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF＝600，∴∠COF＝∠COD .∵CO＝CO，CE平分∠ACB，∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF .∵AC＝AF＋CF，∴AC＝AE＋CD，3. 如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .【答案】证法一：截长如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC证法二：补短如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF .∵∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，∴∠1＋∠2＝12∠ABC＋12∠DCB＝12×1800＝900，∴∠BEC＝900，∴∠BEF＝∠BEC＝900，∴∠BEF＋∠BEC＝1800，∴C、E、F三点共线 .∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .4.如图，在△ABC中，∠ABC＝900，AD平分∠BAC交BC于D，∠C＝300，BE⊥AD于点E .求证：AC－AB＝2BE .【答案】延长BE交AC于点M .∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM＝900.∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM .∵BE⊥AE，∴BM＝2BE .∵∠ABC＝900，∠C＝300，∴∠BAC＝600.∵AB＝AM，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM，∴AC－AB＝CM＝BM＝2BE .5. 如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点E .求证：AD＝2DF＋CE .【答案】在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD，∴∠AFC＝900，∠1＋∠ACF＝900.∵∠2＋∠ACF＝900，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450.∵∠2＝∠1＝12∠BAC＝22.50，∴∠4＝450－∠2＝22.50，∴∠4＝∠2＝22.50.又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800.求证：AD平分∠CDE.【答案】如图，延长CB到点F，使BF＝DE，连接AF、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠2＝∠E .∵AB＝AE，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即FC＝CD .又∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACD，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD平分∠CDE .。
全等三角形辅助线之截长补短法
B
D
C
三角形全等之截长补短法
已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．
方法一：截长法
A
在AC上取一点E，使AE=AB
12
E
由1=2，AD=AD，AE=AB 可证ADB ADE(ASA)， 得DB=DC，AED=B，而B=2C，
故AED=2C而AED=C＋EDC，
解：(１)过A作AF BC，可求得AB= 10
(2)由ABD : AEB可得ADgAE=AB2 =10
（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH．
补短法１：延长CD至G，过A作AG CD 1.证ADG ADH(ADG=ABC (圆内接四边形的外角等于内对角)) 2.证AGC AHB，可证得结论
E
三角形全等之截长补短法
已知：如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C．求证：AC=AB+BD．
A
延长DB至E使BA=BE，
12
E=BAE，ABD=E+BAE=2E
ABD 2C,故E＝C
可证BAC=ADE
可证EAD CBA，故AC=AB+BD
E
B
D
C
已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F 分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF． 求证：EF=BF+DE．
今天我们学习截长补短法，见线段和差倍分关系，考虑截长补短法．
其实截长补短法包含两种方法，一种是截长法，即在较长的线段长截 取与较短线段相等的线段；另一种是补短法，将较短线段延长．截长 补短的目的在于将问题合理的转化，进而达到简化结论，并证明结论 或者求解．
全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全
全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．典型例题精讲【例1】 如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数．【解析】法一：如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC ．由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=︒，则AEC ∆为等边三角形．注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=︒，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒. 法二：在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =. 在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =， 则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =， 进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠， AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒-∠=︒，故80ABC ∠=︒.【答案】见解析．【例2】 已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【解析】BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=︒+∠=︒，∴120DOE ∠=︒，∴180A DOE ∠+∠=︒，∴180AEO ADO ∠+∠=︒， ∴13180∠+∠=︒，∵24180∠+∠=︒，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =， ∴BC BF CF BE CD =+=+．【答案】见解析．【例3】 如图，已知在△ABC 内，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．DOECB A4321FDOE CB A【解析】延长AB 至D ，使BD BP =，连DP ．在等腰△BPD 中，可得40BDP ∠=︒， 从而40BDP ACP ∠=︒=∠，△ADP ≌△ACP （ASA ），故AD AC =又40QBC QCB ∠=︒=∠，故 BQ QC =，BD BP =． 从而BQ AQ AB BP +=+．【答案】见解析．【例4】 如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．【解析】延长BA 至F ，使BF BC =，连FD△BDF ≌△BDC （SAS ）， 故DFB DCB ∠=∠，FD DC =又AD CD =，故在等腰△BFD 中，DFB DAF ∠=∠ 故有180BAD BCD ∠+∠=︒【答案】见解析．【例5】 点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求证：MN MB NC =+．QPCBACDB A【解析】延长NC 至E ，使得CE MB =∵ BDC ∆是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，∴30DBC DCB ∠=∠=︒ ∵ ABC ∆是等边三角形． ∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒∴90MBD ABC DBC ACB DCB DCN DCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠=︒ 在DBM ∆和DCE ∆中，BD DC =，MB CE =， ∴ DBM DCE ∆∆≌. ∴DE DM =, 12∠=∠.又∵ 160NDC ∠+∠=︒，∴ 2+60NDC END ∠∠=∠=︒. 在MDN ∆与EDN ∆中，ND ND =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DE DM = ∴ MND END ∆∆≌∴ MN EN NC MB ==+【答案】见解析．【例6】 如图在△ABC 中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点，求证：AB AC PB PC ->-．【解析】延长AC 至F ，使AF AB =，连PD△ABP ≌△AFP （SAS ） 故BP PF =由三角形性质知1BMNM CBA21EABCDMN< PB PC PF PC CF AF AC AB AC -=-=-=-【答案】见解析．【例7】 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上．求证：BC AB DC =+．【解析】在BC 上截取BF AB =，连接EF∵BE 平分∠ABC ，∴ABE FBE ∠=∠又∵BE BE =，∴△ABE ≌△FBE （SAS ），∴A BFE ∠=∠．∵AB 180A D ∠+∠=︒180BFE CFE ∠+∠=︒D CFE ∠=∠DCE FCE ∠=∠CE CE =CD CF=BC BF CF AB CD =+=+M ABCD AB MN DM ⊥ABC ∠N MD MNDM MN =AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =︒∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【答案】见解析．【例8】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠，求证：BE DF AE +=．DEC BAN CDE B M A NCDEB M A FE DCBAM F EDCB A【解析】延长CB 至M ，使得BM DF =，连接AM .∵AB AD =，AD CD ⊥，AB BM ⊥，BM DF = ∴ABM ADF ∆∆≌∴AFD AMB ∠=∠，DAF BAM ∠=∠ ∵AB CD ∥∴AFD BAF EAF BAE BAE BAM EAM ∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴AMB EAM ∠=∠，AE EM BE BM BE DF ==+=+【答案】见解析．【例9】 如图所示，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且2BAE DAM ∠=∠．求证：AE BC CE =+．【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等．我们用(1)法来证明．【答案】延长AB 到F ，使BF CE =，则由正方形性质知AF AB BF BC CE =+=+下面我们利用全等三角形来证明AE AF =．为此，连接EF 交边BC 于G ．由于对顶角BGF CGE ∠=∠，所以()Rt ΔBGF CGE AAS ∆≌，从而12BG GC BC FG EG ===，，BG DM =于是()Rt ΔRt ΔABG ADM SAS ≌，所以12BAG DAM BAE EAG ∠=∠=∠=∠，AG 是EAF ∠的平分线【例10】 五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒，求证：AD 平分∠CDE ．M EDCBAF【解析】延长DE 至F ，使得EF BC =，连接AC .∵180ABC AED ∠+∠=︒，180AEF AED ∠+∠=︒，∴ABC AEF ∠=∠ ∵AB AE =，BC EF =，∴△ABC ≌△AEF ． ∴EF BC =，AC AF =∵BC DE CD +=，∴CD DE EF DF =+= ∴△ADC ≌△ADF ，∴ADC ADF ∠=∠ 即AD 平分∠CDE .【答案】见解析．【例11】 若P 为ABC ∆所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则点P 叫做ABC ∆的费马点．（1）若点P 为锐角ABC ∆的费马点，且60ABC ∠=︒，34PA PC ==，，则PB 的值为_____；（2）如图，在锐角ABC ∆外侧作等边ACB ∆′，连结BB ′． 求证：BB ′过ABC ∆的费马点P ，且BB PA PB PC =++′．【解析】（1）（2）证明：在BB ′上取点P ，使120BPC ∠=︒， 连结AP ，再在PB ′上截取PE PC =，连结CE ．∵120BPC ∠=︒，∴60EPC ∠=︒，∴PCE ∆为正三角形， ∴PC CE =，60PCE ∠=︒，120CEB ∠=︒′， ∵ACB ∆′为正三角形，∴AC B C =′，60ACB ∠=︒′， ∴60PCA ACE ACE ECB ∠+∠=∠+∠=︒′，∴PCA ECB ∠=∠′， ∴ACP B CE ∆∆≌′，∴120APC B CE ∠=∠=︒′，PA EB =′， ∴120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒，CEDB AABDEFC B'CBA∴P为ABC∆的费马点，P∴BB′过ABC∆的费马点，且BB EB PB PE PA PB PC′′．=++=++【答案】见解析．AB'EPB课后复习【作业1】已知，AD 平分∠BAC ，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠．【解析】延长AB 至点E ，使AE AC =，连接DE∵AD 平分∠BAC ，∴EAD CAD ∠=∠ ∵AE AC =，AD AD =，∴△AED ≌△ACD （SAS ），∴E C ∠=∠ ∵AC AB BD =+，∴AE AB BD =+∵AE AB BE =+，∴BD BE =，∴BDE E ∠=∠ ∵ABC E BDE ∠=∠+∠，∴2ABC E ∠=∠，∴2ABC C ∠=∠．【答案】见解析．【作业2】如图，△ABC 中，2AB AC =，AD 平分∠BAC ，且AD BD =，求证：CD ⊥AC ．【解析】在AB 上取中点F ，连接FD ．则△ADB 是等腰三角形，F 是底AB 的中点，由三线合一知 DF ⊥AB ，故90AFD ∠=︒ △ADF ≌△ADC （SAS ）90ACD AFD ∠=∠=︒，即：CD ⊥AC【答案】见解析．DCBAECBADCDBA【作业3】如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【解析】如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=︒，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=︒，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=︒. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=︒. 在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=︒，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【答案】见解析．【作业4】已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，180B D ∠+∠=︒，求证：AE AD BE =+．【解析】在AE 上取F ，使EF EB =，连接CF∵CE ⊥ABE D CBA∴90∠=∠=︒CEB CEF∵EB EF=，CE CE=，∴△CEB≌△CEF∴B CFE∠=∠∵180＋，180∠+∠=︒CFE CFA∠∠=︒B D∴D CFA∠=∠∵AC平分∠BAD∴DAC FAC∠=∠∵AC AC=∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD AF=∴AE AF FE AD BE=+=+【答案】见解析．。
完整版)截长补短类辅助线作法
完整版)截长补短类辅助线作法截长补短类辅助线作法是解决三条线段之间数量关系问题的常用方法。
其中，“截长”是将最长的线段一分为二，使其中一条等于已知的较短线段之一，然后证明另一段与已知另一条线段的数量关系；“补短”是将一条较短的线段延长至与另一条较短的线段相等，然后证明延长后的线段与最长的线段的数量关系。
需要注意的是，截长补短类辅助线作法一般用于三条线段之间的数量关系问题，特别是当线段前的系数不是1时，可能会涉及到含特殊角的直角三角形。
在构造辅助线时，需要结合题目条件选择适当的方法，并不是所有题目都适用于截长和补短方法。
下面是一些例题的精讲：1.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
2.已知△ABC中，DP⊥BC，证明BD平分∠ABC，BC上有动点P；DP平分∠BDC时，求BD、CD、CP三者的数量关系。
3.已知△ABC中，D、E、F分别平分∠A、∠B、∠C，交于点P，试判断AD：DB、BE：EC、CF：FA的数量关系，并加以证明。
4.在△ABC中，AD是角平分线，点F、E分别在AC、AB上，且AF=DE，证明BF=CE。
5.在图中，以D为顶点作一个边长为a的正三角形，连接AD、BD、CD，点E、F分别在AB、AC上，且AE=EF=FB，求△XXX的周长。
6.已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠AED=45°，证明AE=BD。
7.五边形ABCDE中，AD平分∠CDE，证明XXX。
8.在△ABC中，D是三角形外一点，且∠ACD=∠BCD，AB与CD交于点E，证明XXX。
9.如图1所示，AB、CD平行，AE、DE分别平分∠A、∠D，并交于点E。
过点E的直线分别交AM、DN于B、C。
1）当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系。
2）试证明你的猜想。
(完整版)截长补短类辅助线作法
截长补短类协助线作法?“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使此中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，而后证明此中的另一段与已知的另一条线段的数目关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延伸至与另一条已知的较短的长度相等，而后证明延伸后的线段与最长的已知线段的数目关系．?注： 1、截长补短类协助线解决的一般是三条线段之间的数目关系问题，特别要注意线段前系数不是“ 1”的时候，一般会波及到含特别角的直角三角形2、详细在利用截长或许补短结构协助线时要联合题目条件选择适合的方法，并不是全部题目截长和补短都能够例题精讲1、如下图，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．P．2、已知：如图，△ABC中，，BD均分∠ ABC，BC上有动点（ 1） DP⊥BC时（如图 1），求证：；（ 2） DP均分∠ BDC时（如图 2）， BD、CD、 CP三者有何数目关系？3、已知中，，、分别均分和，、交于点，试判断、、的数目关系，并加以证明．4、（ 2014 初二上期末昌平区）如图，AD是△ ABC的角均分线，点F，E 分别在边 AC， AB上，且．（ 1）求证：；（ 2）假如，研究线段AE， AF，FD之间知足的等量关系，并证明．5、如下图，是边长为的正三角是顶角为的等腰三角形，形，以为极点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如下图，已知正方形ABCD 中， M 为 CD 的中点， E 为 MC 上一点，且．求证：．7、五边形 ABCDE 中，，，，求证：AD 均分∠ CDE．8、如图，在△ ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：9、(2012 初二上期中中关村中学)如图1 所示：，AE 、DE 分别均分和，并交于 E 点.过点E 的直线分别交AM 、DN 于B、C.（1）如图 2，当点 B、C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD 、 AB、 CD 之间的存在的数目关系： ____ _____.（2）试证明你的猜想 .（3）若点 B、 C 分别位于点 AD 的双侧时，试写出 AD 、AB 、CD 之间的关系，并选择一个写出证明过程 .10、（2012 初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC 中，，，，求证：．（ 2）如图，四边形ABCD 中，，，P 为四边形ABCD 内一点，且，求证：．11、（2009 山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF=90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的均分线 CF 于点 F，求证： AE=EF．AB 的中点M ，连结ME ，则经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取AM=EC ，易证△AME ≌△ ECF，因此 AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图 2，假如把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“ AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延伸线上（除 C 点外）的随意一点，其余条件不变，结论“AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．12、（ 2013 中考旭日二模）在平行四边形 ABCD 过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点 G，使得中，E 是AD 上一点，，连结AG ．，（ 1）如图1，当EF 与AB 订交时，若，求证：；（ 2）如图2，当EF 与AB 订交时，若，请你直接写出线段EG、AG 、 BG 之间的数目关系（用含（ 3）如图 3，当 EF 与 CD 订交时，且α的式子表示）；，请你写出线段EG、AG 、BG之间的数目关系，并证明你的结论．13、（2015 初二上期末昌平区）为等腰直角三角形, , 点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（ 1）如图1，作于，求证：；（ 2）在图 1 中，连结交于，求的值；（ 3）如图2，过点作交的延伸线于点，过点作，交于点，连结.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明原因.随堂练习1、已知等腰，，的均分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015 中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（ 1）如图 1，若，点 P 恰好在∠ ABC的均分线上，，求 PB的长；（ 2）如图 2，若，研究 PA，PB， PC的数目关系，并证明；（ 3）如图 3，若，请直接写出 PA，PB，PC的数目关系．课后作业1、如图，四边形 ABCD 中， AB ∥DC， BE、CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点E在AD 上．求证：．2、（ 2013 黑龙江龙东地域中考）正方形 ABCD 的极点 A 在直线 MN 上，点 O 是对角线 AC 、BD 的交点，过点 O 作 OE⊥MN 于点 E，过点 B 作 BF⊥ MN 于点 F．（1）如图 1，当 O、B 两点均在直线 MN 上方时，易证： AF+BF=2OE （不需证明）（2）当正方形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转至图 2、图 3 的地点时，线段 AF、BF、OE 之间又有如何的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种状况赐予证明．3、（ 2015 中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连结，，将线段绕点逆时针旋转并延伸获得射线，交的延伸线于点．（ 1）依题意补全图形；（ 2）求证：；（ 3）用等式表示线段，，之间的数目关系：．4、（2014 黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线 MN 过点 A 且 MN ∥ BC，过点 B 为一锐角极点作Rt△BDE，∠ BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1， DE 与 AC 交于点 P，易证： BD=DP ．（无需写证明过程）（ 1）在图 2 中， DE 与 CA 延伸线交于点 P，BD=DP 能否建立？假如建立，请(完整版)截长补短类辅助线作法赐予证明；假如不建立，请说明原因；（2）在图 3 中， DE 与 AC 延伸线交于点 P，BD 与 DP 能否相等？请直接写出你的结论，无需证明．11 / 11。
全等三角形辅助线的做法-截长补短
全等三角形辅助线的做法一：截长补短月日姓名【知识要点】1.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；(2)补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段.2.角平分线问题的作法角平分线具有两条性质：(1)对称性，作法是在一侧的长边上截取短边；(2)角平分线上的点到角两边的距离相等，作法是从角平分线上的点向角两边作垂线段.【典型例题】例1. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.例2. 已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.例3. 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD. DCBADAE CB12ACD例4．△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 平分∠ABC.例5．已知：△ABC 为等边三角形，AE=BD.求证：EC=DE.【考点突破】1. 如图，AB ∥CD ，AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADE ，求证：AD=AB+CD.EEEDC2. 已知：CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD.3. 已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC.求证：△ABC是直角三角形. 4．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC. AEB D CCABAB D C1 2CBA5．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD.6．已知：四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，∠BCD=120°.求证：AC=BC ＋CD.课后作业月 日 姓 名 成 绩1. 如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
(完整版)全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需增加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言常常是难点．下面介绍证明全等常常有的五种辅助线，供同学们学习时参照．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同素来线上时，平时能够考虑用截长补短的方法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．解析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同素来线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别均分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，详尽作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路解析：1）题意解析：此题观察全等三角形常有辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转变成证明两线段相等的问题，进而达到简化问题的目的。
人教版八年级常见辅助线：截长补短专题
常见的辅助线作法（截长补短）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
例1、已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE=∠CBE，CE⊥BD的延长线于E。
求证：BD=2CE.
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
中考必会几何模型截长补短辅助线模型
截长补短辅助线模型模型：截长补短如图①，假设证明线段AB 、CD、EF 之间存在EF＝AB＋CD，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在EF 上截取EG＝AB ，再证明GF＝CD 即可.补短法：如图③，延长AB 至H 点，使 BH ＝CD，再证明 AH ＝EF 即可.模型解析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 截长，指在长线端中截取一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长局部等于线段. 该类题目中常出现等腰三角形、角均分线等要点词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例 1：如图，在△ABC 中，∠ C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB ＝AC ＋CD .证法一，截长法：如图①，在AB 上取一点E，使 AE＝A C，连接 DE.∵AE ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ACD ≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE .∵AB ＝AE ＋BE，∴AB ＝AC ＋CD .1证法二，补短法：如图②，延长AC 到点 E，使 CE＝CD，连接DE .∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .∵∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△BAD ，∴AE ＝AB.又∵AE＝AC ＋CE，∴∴AB ＝AC ＋CD .例 2：如图， OD均分∠ AOB ，DC⊥OA 于点 C，∠A ＝∠GBD . 求证：AO ＋BO＝2CO .证明：在线段AO 上取一点E，使 CE＝AC ，连接DE .∵CD＝CD，DC⊥OA，∴△ACD ≌△ECD，∴∠A＝∠CED .∵∠A＝∠GBD ，∴∠CED＝∠GBD ，∴1800－∠CED＝1800－∠GBD ，∴∠OED＝∠OBD .∵OD 均分∠ AOB ，∴∠AOD ＝∠BOD .∵OD＝OD，∴△OED≌△OBD ，∴OB＝OE，∴AO ＋BO＝AO＋OE＝OE＋2CE＋OE＝OE＋CE＋OE＋CE＝2〔CE＋OE〕＝2CO .追踪练习0，AD 是∠BAC 的均分线，且 AC＝AB ＋BD . 求∠ABC 1. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60的度数 .【答案】2证法一：补短延长 AB 到点 E，使 BE＝BD . 在△BDE 中，∵BE ＝BD ，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC ＝∠BDE ＋∠E＝2∠E .又∵AC＝AB ＋BD ，∴AC ＝AB ＋BE，∴AC＝AE .∵AD 是∠BAC 的均分线，∠BAC ＝600，∴∠EAD ＝∠CAD ＝600÷2＝300 .∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ACD ，∴∠E＝∠C .∵∠ABC ＝2∠E，∴∠ABC ＝2∠C .∵∠BAC ＝600，∴∠ABC ＋∠C＝1800－600＝1200，∴32∠ABC ＝1200，∴∠ ABC ＝800 .证法二：在AC 上取一点F，使 AF ＝AB ，连接DF.∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠BAD ＝∠FAD .∵AD ＝AD ，∴△BAD ≌△FAD ，∴∠B＝∠AFD ，BD ＝FD .∵AC ＝AB ＋BD ，AC＝AF ＋FC∴FD＝FC ，∴∠ FDC＝∠C .∵∠AFD ＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .∵∠BAC ＋∠B＋∠C＝1800，∴ 32∠ABC ＝1200，∴∠ ABC ＝800 .0，AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE 2. 如图，在△ABC 中，∠ ABC ＝60＋CD .【答案】如图，在AC 边上取点F，使 AE＝AF ，连接OF .∵∠ABC ＝600，∴∠BAC ＋∠ACB ＝1800－∠ABC ＝1200 .∵AD 、CE 分别均分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC＝∠OAB ＝D BAC ，∠OCA ＝∠OCB＝2D ACB ，23∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠ OCA ＝∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝1200 .? BAC ? ACB ＝60 0， 2∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠ FAO ，AO ＝AO ，∴△AOE ≌△AOF 〔SAS 〕，∴∠AOF ＝∠AOE ＝600，∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝600，∴∠COF ＝∠COD .∵CO ＝CO ，CE 均分∠ ACB ，∴△COD ≌△COF 〔ASA 〕，∴CD ＝CF .∵AC ＝AF ＋CF ，∴AC ＝AE ＋CD ， 0，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB . 求证：AB ＋CD ＝BC .3. 如图， ∠ABC ＋∠BCD ＝180【答案】证法一：截长如图①，在 BC 上取一点 F ，使 BF ＝AB ，连接 EF .∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△FBE ，∴∠ 3＝∠ 4 .∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ，∴∠1＋∠2＝ 1 2 ∠ABC ＋ 1 2∠DCB ＝1 2×1800＝900 ， ∴∠BEC ＝900， ∴∠4＋∠5＝900，∠3＋∠6＝900 .∵∠3＝∠4 ，∴∠ 5＝∠6 .∵CE ＝CE ， ∠2＝∠DCE ，∴△CEF ≌△CED ，∴ CF ＝CD .∵BC ＝BF ＋CF ，AB ＝BF ，∴ AB ＋CD ＝BC证法二：补短如图②，延长 BA 到点 F ，使 BF ＝BC ，连接 EF .∵∠1＝∠ABE ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC ，∴EF ＝EC ，∠BEC ＝∠BEF .∵∠ABC ＋∠BCD ＝1800，BE 、CE 分别均分∠ ABC 、∠DCB ，4∴∠1＋∠2＝ 1 2 ∠ABC ＋ 1 2∠DCB ＝1 2 0＝900 ， ×180 ∴∠BEC ＝900， ∴∠BEF ＝∠BEC ＝900，∴∠BEF ＋∠BEC ＝1800，∴C 、E 、F 三点共线 .∵AB ∥CD ，∴∠ F ＝∠FCD .∵EF ＝EC ，∠FEA ＝∠DEC ，∴△AEF ≌△DEC ，∴AF ＝CD .∵BF ＝AB ＋AF ，∴BC ＝AB ＋CD .4. 如图，在△ ABC 中，∠ABC ＝900，AD 均分∠ BAC 交 BC 于 D ，∠C ＝300，BE ⊥AD 于 点 E . 求证： AC －AB ＝2BE . 【答案】延长 BE 交 AC 于点 M .∵BE ⊥AD ，∴∠ AEB ＝∠AEM ＝900 .∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠ 2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM .∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE .∵∠ABC ＝900，∠C ＝300，∴∠BAC ＝600 .∵AB ＝AM ，∴∠ 3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，∴∠5＝∠C ，∴ CM ＝BM ，∴AC －AB ＝CM ＝BM ＝2BE .5. 如图， Rt △ACB 中，A ＝BC ，AD 均分∠ BAC 交 BC 于点 D ，CE ⊥AD 交 AD 于点 F ， 交 AB 于点 E . 求证： AD ＝2DF ＋CE . 5【答案】在AD 上取一点G，使 AG＝CE，连接CG .∵CE⊥AD ，∴∠AFC ＝900，∠1＋∠ACF ＝900 .∵∠2＋∠ACF ＝900，∴∠ 1＝∠2 .∵AC ＝BC，AG ＝CE，∴△ACG≌△CBE，∴∠ 3＝∠B＝450，∴∠2＋∠4＝900－∠3＝450 .1∵∠2＝∠1＝∠BAC ＝0，2∴∠4＝450－∠2＝0，∴∠4＝∠2＝0 .又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD ＝AG ＋DG ，∴AD ＝CE＋2DF .6. 如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE，BC＋DE＝CD，∠B＋∠E＝1800 . 求证：AD 均分∠CDE .【答案】如图，延长CB 到点 F，使 BF＝DE，连接 AF 、AC .∵∠1＋∠2＝1800，∠E＋∠1＝1800，∴∠ 2＝∠E .∵AB ＝AE ，∠2＝∠E，BF＝DE，∴△ABF ≌△AED ，∴∠F＝∠4，AF＝AD .∵BC＋DE＝CD，∴BC＋BF＝CD，即 FC＝CD .又∵AC＝AC ，∴△ACF ≌△ACD ，∴∠F＝∠3 .∵∠F＝∠4，∴∠3＝∠4，∴AD 均分∠ CDE .6。
八年级数学 三角形全等辅助线做法---截长补短模型专题
且∠MDN=60°，∠BDC=60°，BD=DC。探究：当 M、N 分别在线段 AB、
AC
上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系。
（1）如图①，当 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是
；
（2）如图②，当 DM≠DN 时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想
并加以证明。
A
A
[来源:Z。xx。]
A
[来源:学*科*网
Z*X*X*K]
B C
E D
初中几何之半角模型
模型 1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 已知如图：
1 ①∠2= 2 ∠AOB；②OA=OB。
连接 F′B， 将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置，连接 F′E、FE，可得△OEF′ ≌△OEF。
证明：
O
H
再证明 AH=EF 即可。
模型分析 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。截长，指在长线段中截
取一段 等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线 段。该 类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构 造全等三角形来完成证明过程。 模型实例 例 1．如图，已知在△ABC 中，∠C=2∠B，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D。
三角形全等辅助线做法---截长补短模型专题
模型 截长补短
A
BC
E
1
如图①，若证明线段 AB、CD、EF 之间存在 D EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。 F 截长法：如图②，在 EF 上截取 EG=AB，再证
明
E
G
2
A
B
3
F GF=CD 即可。
补短法：如图③，延长 AB 至 H 点，使
全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师
全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。
全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全学习资料
全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全一、截长补短法构造全等三角形截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想.所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系.有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目典型例题精讲【例1】 如图，在 ABC 中， BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度 数.【解析】法一：如图所示，延长 AB 至E 使BE BD ，连接ED 、EC .由 AC AB BD 知 AE AC ,而 BAC 60，则AEC 为等边三角形.注意到 EADCAD , ADAD :,AE AC ,故AED 也 ACD .从而有DE DC , DEC DCE故 BED BDEDCEDEC 2 DEC .所以 DECDCE 20 ,ABCBECBCE 6020 80 法二：在AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知CE BD .在ABD 和AED 中，AB AE , BADEAD , AD AD ,则ABD 也AED ，从而BD DE ,进而有 DE CE , ECD EDC ,AED ECD EDC 2 ECD .注意到 ABD AED ，则:ABCACB1 ABC -23ABC — ABC2180BAC 120 ,故 ABC 80【例2】已知ABC中， A 60 , BD、CE分别平分ABC和.ACB, BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明. 【解析】BE CD BC ,理由是: :在BC上截取BF BE，连结OF ,利用SAS证得BEO也BFO , / -1 2,•/ A60 ,•BOC190 -2A 120 ,• DOE 120 ,••• A DOE180 , • AEO ADO 180 ,••• 1 3 180••• 2 4 180 1 2, • 3 4,利用AAS证得CDO 也CFO , • CD CF ,•BC BF CF BE CD .【答案】见解析.分别是/ BAC、/ ABC的角平分线，求证：BQ AQ AB BP .【例3】如图，已知在厶ABC内, BAC 60 ,40 , P、Q分别在BC、CA 上，并且AP、BQ【解析】延长AB至D，使BD BP，连DP.在等腰ABPD中，可得BDP 40 ,从而BDP 40 ACP ,△ADP ^△ACP (ASA ),故AD AC又QBC 40 QCB，故BQ QC , BD BP. 从而BQ AQAB BP.【答案】见解析.【解析】延长BA至F，使BF BC，连FD△BDF ^△BDC ( SAS),故DFB DCB , FD DC又AD CD，故在等腰ABFD中，DFB DAF故有BAD BCD 180Q【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC BA , AD CD , BD 平分/ ABC，求证: C 180 .AC证：MN MB NC .【解析】延长NC 至E ，使得CE MBDBM 也 DCE .•••DE DM , 1 2.又•1 NDC 60 , • 2+ NDCEND 60在 MDN 与EDN 中，ND ND, MDNEDN60 , DEDMMND 也 END• MN EN NC MB【答案】见解析.••• BDC 是等腰三角形，且BDC 120 , •DBC ••• ABC 是等边三角形.• ABC ACB BAC 60• MBDABCDBCACB DCBDCN在DBM 和DCE 中，BDDC ,MB CEDCB 30DCE 90【例6】如图在△ ABC 中，AB AC , P 为AD 上任意一点， D求证： AB AC PB PC .C【解析】延长AC至F，使AF AB，连PD△ABP^△AFP (SAS)故BP PF由三角形性质知PB PC PF PC < CF AF AC AB AC【答案】见解析.【例7】如图，四边形ABCD中，AB// DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上.求证：BC AB DC .A【解析】在BC上截取BF AB，连接EF••BE 平分/ABC ,A ABE FBE又••• BE BE ‘•••△ABE 也/E BE (SAS), /• A BFE .TAB//CD, • A D 180•BFE CFE 180 , • D CFE又• DCE FCE , CE 平分/ BCD, CE CE z.ZDCE 也E CE (AAS ) , • CD CF• BC BF CF AB CD【例8】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM MN •在AD上截取AG AM ,•••DG MB ,•••/ AGM 45•••/DGM / MBN 135，•/ ADM / NMB ,• DGM 也MBN , • DM MN .【答案】见解析.见解析.证：AE BC CE .AB AD , AD丄CD , AB丄BM , BM DFABM也ADFAFD AMB , DAF BAMAB// CDAFD BAF EAF BAE BAE BAMAMB EAM , AE EM BE BM BE DF，使得BM DF，连接AM •EAM【例9】已知：如图, ABCD是正方形，FAD FAE ,求证: BE DF AE .【解析】延长CB至M【例10】如图所示, 已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE 2 DAM .求B C【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等.(2) 通过添辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段相等•我们用(1)法来证明.【答案】延长AB到F，使BF CE，则由正方形性质知AF AB BF BC CEF面我们利用全等三角形来证明AE AF •为此，连接EF交边BC于G •由于对顶角BGF CGE，所以Rt A BGF 也CGE AAS ,1从而BG GC - BC, FG EG , BG DM2于是Rt A ABG 也Rt A ADM SAS ,1所以BAG DAM BAE EAG , AG 是2【解析】延长DE至F，使得EF BC ,连接AC.-ABC AED180 , AEF AED 180 , / • ABC AEFAB AE,BC EF ,•••△\BC也zAEF •• EF BC,AC AFBC DE CD , • CD DE EF DF•••公DC 也zADF ,••• ADC ADF即AD平分/CDE.EAF的平分线【例11】五边形ABCDE中，AB AE , BC DE CD , ABC AED 180，求证：AD 平分/ CDE •HDMEC【例12】若P 为 ABC 所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120，则点P 叫做 ABC 的费马点.(1) 若点P 为锐角 ABC 的费马点，且 ABC 60 , PA 3 , PC 4，则PB 的值为 _________________ (2) 如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB',连结BB'. 求证：BB'过 ABC 的费马点 P ，且BB ' PA PB PC .【解析】(2)证明：在 BB '上取点P ，使 BPC 120 , 连结AP ，再在PB'上截取PE PC ，连结CE .•/ BPC 120 , ••• EPC 60 , ••• PCE 为正三角形， ••• PC CE , PCE 60 , CEB ' 120 ,•/ ACB '为正三角形， • AC B C , ACB ' 60 , • PCAACE ACE ECB ' 60 , • PCA ECB ',• ACP 也 B'CE , • APC B'CE 120 , PA EB', • APB APC BPC 120 , • P 为ABC 的费马点， • BB'过 ABC 的费马点P , 且 BB ' EB ' PB PE PA PB PC .【答案】见解析.2.3课后复习【作业1】已知，AD平分/ BAC, AC AB BD【解析】延长AB至点E,使AE AC，连接DEAD 平分/ BAC, ••• EAD CADAE AC , AD AD ,•公ED也△CD(SAS), E CAC AB BD , • AE AB BDAE AB BE , • BD BE, …BDE-ABC E BDE ,• ABC 2 E , • ABC2 C .【答案】见解析.【作业2】如图，△ ABC中，AB2AC , AD 平分/ BAC，且AD BD，求证：CD丄AC .C【解析】在AB上取中点F,连接FD .则△ADB是等腰三角形，F是底AB的中点，由三线合一知DF 丄AB,故AFD 90△ADF ^△ADC ( SAS)ACD AFD 90 ，即：CD丄AC【答案】见解析.【作业3】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长.【解析】如图所示，延长AC到E使CE BM .在BDM与CDE中，因为BD CD , MBD ECD90 , BM CE ,所以BDM羞? CDE , 故MD ED.因为BDC -120 , MDN60°，所以BDM NDC60 .又因为BDM CDE，所以MDN EDN60在MND与END中，DN DN , MDN EDN60,DM DE , 所以MND也END , 则NE MN，所以AMN的周长为2.【答案】见解析.【作业4】已知：AC平分/ BAD, CE丄AB, B D 180，求证：AE AD BE.【解析】在AE上取F，使EF EB，连接CF••CE 丄AB二CEB CEF 90•EB EF , CE CE ,/•JCEB ^/CEF••• B CFE•B+ D 180 , CFE CFA 180• D CFA••AC 平分/BAD•DAC FAC•/ AC AC•△DC 也/FC (SAS)•AD AF•AE AF FE AD BE【答案】见解析.。
(完整版)截长补短类辅助线作法
截长补短类辅助线作法•“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系；“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．•注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并不是所有题目截长和补短都可以例题精讲1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．2、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？3、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且．（1）求证：；（2）如果，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．5、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且．求证：．7、五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．8、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：，AE、DE分别平分和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____.（2）试证明你的猜想.（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，，，，求证：．（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD内一点，且，求证：．11、（2009山东临沂中考）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．12、（2013中考朝阳二模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．13、（2015初二上期末昌平区）为等腰直角三角形,,点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，（1）如图1，作于，求证：；（2）在图1中，连接交于，求的值；（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.随堂练习1、已知等腰，，的平分线交于，则．2、已知：如图，是正方形，，求证：．3、（2015中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．课后作业1、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．2、（2013黑龙江龙东地区中考）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O 是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．3、（2015中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．4、（2014黑龙江齐齐哈尔、大兴安岭、黑河中考）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE 与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．。
初中数学-暑假第4讲-截长补短-学生版
截长补短知识讲授一、截长补短的定义截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。
截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
二、截长补短在几何中的作用在平面几何题证明中，用截长补短法作辅助线一般都是题目条件有几条线段熟量关系时考虑用这种方法，此法常用于平面几何构造全等三角形或等腰三角形，然后利用性质进而证明对应边之间的关系。
四、截长补短辅助线的作法：1、截长法：(1)过某一点作长边的垂线；（2）在长边上截取一条与某一短边相同线段，再证剩下的线段与另一短边相等2、补短法：（1）延长短边；（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起五、解题过程中常用的知识点1、证明全等三角形的方法：SSS、SAS、AAS、ASA、HL2、三角形的三边关系：（1）任意两边之和大于第三边；（2）任意两边之差小于第三边；3、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补；4、有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需要再证一次全等三角形，既“二次全等”.在证二次全等时，难点通常会体现在倒角上，常见的倒角的方法有：（1）“8”字型；（2）平行线型；（3）180°（平角、三角形内角和）；（4）360°（周角、四边形内角和）；（5）小旗子（三角形外角和）；（6）90°（互余角）.典型例题 【例1】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数．【例2】已知ABC ∆中，60A ∠=︒，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．【例3】已知在△ABC 内，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ AQ AB BP +=+．DOECB AQPCBA【例4】如图，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD CD =，BD 平分∠ABC ，求证：180A C ∠+∠=︒．【例5】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD DC =，120BDC ∠=︒，60MDN ∠=︒，求证：MN MB NC =+．【例8】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线．求证： （1）BQ ＝CQ ； （2）BQ +AQ ＝AB +BP ．CDBA21ABDMNNM DCBA【例6】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD 之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．随堂巩固练习1.已知，AD平分∠BAC，AC AB BD=+，求证：2B C∠=∠．D CBA练习2.如图，AB ＝2AC ，AD ＝BD ，AD 平分∠BAC ，求证：AC ⊥CD.练习3.如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．练习4.如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB ．求证：CD ＝AD +BC ．ADC课后练习：1.已知ABCD是正方形，M是CD的中点，点E在CM上，∠BAE＝2∠DAM，求证：AE＝AB+CE．2.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，AB+CD=AD，求证：（1）AE、DE分别平分角∠A和∠D；（2）∠DEA=90°．3.如图，已知AB=AE ，∠1+∠2=∠3，∠ABC=∠AED=90°，求证：BC+DE=CD ．4.ABC ∆是等腰直角三角形，点E 是AC 上一点（点E 不和A 、C 两点重合），连接BE 并延长BE ，在BE 的延长线上找一点D ，使AD CD ⊥.点F 为线段AD 上一点（点F 不和A 、D 两点重合），连接CF 交BD 于点G .如图，若点E 是AC 的中点，CF BD ⊥，求证.CF DE BE +=5.如图，△ABC 为等边三角形，P 为三角形外一点，且∠BAC +∠BPC ＝180°，求证：PA ＝PB +PC ．6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C，且AD⊥BC于D．求证：CD=AB+BD．7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°求证：BD+DC＝AB．。
常见辅助线：截长补短之经典复习资料
简单、常见的辅助线作法（截长补短）与三角形全等的条件的运用
截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：
截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
例1、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2.
求证：AB =AC +CD .
（分别用截长补短两种方法证明）
例2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABE=∠CBE ，CE ⊥BD 的延长线于E 。
求证：BD =2CE
.
D C B A
12 D C B A 12
例3、如图，△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：
例4、如图①所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
(1)如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
(2)如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。
倍长中线和截长补短法
解题还要多心眼，经常总结措施显。 切勿盲目乱添线，措施灵活应多变。 分析综合措施选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
一、 倍长法 1、 有以线段中点为端点旳线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC旳中线，且∠1=∠2， ∠3=∠4，求证：BE+CF>EF
证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接 CM，MF。在△BDE和△CDM中，
BD=CD （中点定义） ∠1=∠5 （对顶角相等） ED=MD （辅助线作法） ∴△BDE≌△CDM （SAS） 又∵∠1=∠2，∠3=∠4 （已知） ∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角旳定义） ∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90° ∴∠FDM=∠EDF =90° 在△EDF和△MDF中
所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
让我们来大显身手吧！
例如：已知如图6-1： 在△ABC中， AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点
求证：AB-AC>PB-PC。
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要证：AB-AC>PB-PC，想 到利用三角形三边关系定 理证明。
因为欲证旳线段之差，故用 两边之差不大于第三边， 从而想到构造第三边ABAC
分析：要证AB+AC>2AD， 由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD， 所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证旳线段转移到同一种三角形中去
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC旳中线 （已知） ∴BD=CD （中线定义）
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截长补短类辅助线作法
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“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系；
“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．
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注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形
2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并
不是所有题目截长和补短都可以
例题精讲
1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，
以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
2、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？
3、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且．
（1）求证：；
（2）如果，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．
5、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且
．求证：．
7、五边形ABCDE中，，，，求证：AD 平分∠CDE．
8、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：，AE、DE分别平分
和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____. （2）试证明你的猜想.
（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.
10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，，
，，求证：．
（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD一点，且，求证：．
11、（2009中考）数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
12、（2013中考二模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．
（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
13、（2015初二上期末昌平区）为等腰直角三角形,,点在
边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，
（1）如图1，作于，求证：；
（2）在图1中，连接交于，求的值；
（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交
于点，连接.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.
随堂练习
1、已知等腰，，的平分线交于，则．
2、已知：如图，是正方形，，求证：．
3、（2015中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．
（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．
课后作业
1、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．
2、（2013龙东地区中考）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．
（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
3、（2015中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：
_____________________________．
4、（2014、大兴安岭、中考）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．。