最新空间向量运算的坐标表示练习题

课时作业(十七)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)

D ．(2,1，－3)

【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．

【答案】 A

2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )

A.534

B.532

C.532

D.132

【解析】 ∵AB 的中点M ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2，32，3，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |

＝|CM →

|＝

22＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫122＋32＝532.

【答案】 C

3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )

A ．－6

B ．－23 C.2

3 D ．14

【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2

3.

【答案】 C

4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )

图3-1-32

A ．1 B.52 C.62 D.32

【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

E (1,1，2)，

F ⎝

⎛⎭⎪⎫

2，1，22，所以|EF |＝

(1－2)2

＋(1－1)2

＋⎝

⎛⎭⎪

⎫2－222

＝6

2，故选C.

【答案】 C 二、填空题

5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．

【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →

＝

(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →

＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭

⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐

标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

43，43，83.

【答案】 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫43，43，83

6．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →

，a ⊥AC →

，则a ＝________.

【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪

⎧

a ·AB →＝0，

a ·AC →

＝0，|a |＝1，代入坐标

可解得：⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝313，

y ＝4

13，

z ＝1213

，或⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－313，

y ＝－413，z ＝－1213

.

【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3

13，413，1213或⎝ ⎛⎭

⎪⎫－313，－413，－1213

7．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.

【解析】 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →

＝(2，－2,6)，由

题意得AB →∥AC →

，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.

【答案】 0 三、解答题

8．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．

(1)求|2a ＋b |；

(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →

⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝

02＋(－5)2＋52＝5 2.

(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →

＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，

若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，

所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95， 因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝

⎛⎭

⎪⎫－6

5，－145，25.

9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心．

求证：OA 1→⊥AM →

.

【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为

1个单位，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，12，0.

∴OA 1→＝⎝

⎛⎭

⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫

－1，0，12.

∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝

⎛⎭

⎪⎫－12×0＋1×1

2＝0，

∴OA 1→⊥AM →.

[能力提升层次]

1．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )

A ．－2

B ．2

C ．3

D ．－3

【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A

2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )

A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，

∴(a ＋b )⊥(a －b )．

【答案】 A