最新空间向量运算的坐标表示练习题
空间向量的坐标运算练习
空间向量的坐标运算练习SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#空间向量的坐标运算——11、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是___________;在yoz 面上的射影坐标是___________5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若AB 52OC =，则C 点的坐标是______________7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0，2)A ：2D 3C 4B 6ππππ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标：______________=______________=______________=A A''AR_________10、已知A(3,4,4)，B(-2,-1,5)，C(4,5,0)，若D在线段AC上，且三角形ABD的面积是三角形ABC面积的四分之一，（1）求D点的坐标；（2）求向量BD的坐标。
空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)
空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示3.若向量，，则向量的坐标是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示4.已知向量，，则=( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量10.已知点，点和点，则三角形的边上的中线长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量模的运算。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精练）1．（2023甘肃）在空间直角坐标系中，若(1 1 0)A ，，，(6 0 2)AB =，，，则点B 的坐标为（）A ．(5 1 2)--，，B ．(7 1 2)-，，C ．(3 0 1)，，D ．(7 1 2)，，【答案】D【解析】设( )B x y z ，，，则(1 1 )(6 0 2)AB x y z =--= ，，，，，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：7x =，1y =，2z =．所以点B 的坐标为(7 1 2)，，．故选：D 2．（2022·全国·高二专题练习）若(2,4,1)A --，(1,5,1)B -，(3,4,1)C -，则CA CB ⋅=（）A ．-11B ．3C ．4D ．15【答案】C【解析】由已知，(23,4(4),11)(1,0,2)CA =------=--，(13,5(4),11)(4,9,0)CB =-----=- ，∴4004CA CB ⋅=++=.故选：C ．3．（2023春·重庆=）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A ．()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B ．()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C ．()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D ．()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D【解析】对于A ，设()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B 错误；对于C ，设()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C 错误；对于D ，设()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+，解得12λμ==，所以,,a b c共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D 正确.故选：D4．（2023北京）已知向量()()12,3,4,4,3,2,22a b b c a =-=---=- ,则c =（）A ．()0,3,6-B ．()0,6,20-C ．()0,6,6-D ．()6,6,6-【答案】B【解析】∵向量()()12,3,4,4,3,2,22a b b c a =-=---=-,∴()()()428,12,168,6,40,6,20c a b =+=-+---=- .故选:B.5（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量(1,1,)a x =，(2,2,3)b =-，若(2)1a b b -⋅=，则x =（）A ．3-B ．3C ．1-D ．6【答案】B【解析】由题意知，2(4,0,23)a b x -=- 由(2)1a b b -⋅=，得4(2)02(23)31x ⨯-+⨯+-⨯=，解得3x =.故选：B.6．（2023·河南周口=）已知向量(2,3,3)a = ，向量b满足|2||32|a b a b -=+ ，则a b ⋅= （）A ．22B ．11C ．22-D ．11-【答案】D【解析】因为|2||32|a b a b -=+ ，所以2222449124a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，则21112a b a ⋅=-=- ．故选：D 7．（2023·高二单元测试）若直线12,l l 的方向向量分别为()()0,2,1,1,2,4a b =-=，则（）A ．12l l ∥B ．12l l ⊥C ．12,l l 相交但不垂直D ．12,l l 平行或重合【答案】B【解析】由题意()()0,2,1,1,2,4a b =-=∵()02214440a b ⋅=+⨯+-⨯=-= ，∴a b ⊥，∴12l l ⊥.故选：B.8．（2023·黑龙江黑河·高二校联考阶段练习）（多选）已知()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--，若,a b 为钝角，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．3-C ．4-D ．5-【答案】BC【解析】因为()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--，,a b 为钝角，所以0a b ⋅< 且a 与b不共线，由0a b ⋅<，得140λ---<，得5λ>-，当a 与b 时，令a b μ= ，则()()1,2,1,2,1λμ-=--，得11λμ=⎧⎨=-⎩，所以当5λ>-且1λ≠时，,a b为钝角，故选：BC9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知空间向量()2,1,3a =-，()4,2,b x =- ，下列说法正确的是（）A ．若a b ⊥ ，则103x =B ．若()32,1,10a b +=-，则1x =C ．若a 在b上的投影向量为13b ，则4x =D ．若a 与b 夹角为锐角，则10,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】对于A ： a b ⊥，∴0a b ⋅=，即：()()2,1,34,2,8230a b x x ⋅=-⋅-=--+=，解得：103x =.故A 选项正确；对于B ： ()32,1,10a b +=-，∴()()()()332,1,34,2,2,1,92,1,10a b x x +=-+-=-+=- ∴910x +=，解得：1x =.故B 选项正确；对于C ：a 在b上的投影向量为：a b b bb ⋅⋅，即13a b b b bb ⋅⋅=，代入坐标化简可得：29500x x -+=，x 无解，故C 选项错误；对于D ： a 与b 夹角为锐角，∴1030a b x ⋅=-+> ，解得：103x >，且a 与b 不共线，即42,2313x x -≠≠-，解得：6x ≠-，所以a 与b 夹角为锐角时，解得：103x >.故D 选项正确；故选：ABD.10．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选）已知向量(),2,2a m m = ，()25,,1b m m =---，则下列结论正确的是（）A ．若//a b r r，则2m =B ．若a b ⊥ ，则25m =-C ．a r的最小值为2D ．a r的最大值为4【答案】ABC【解析】对于A ，若//a b r r，且(),2,2a m m = ，()25,,1b m m =--- ，则存在唯一实数λ使得a b λ=，即()()(),2,225,,m m m m λλλ=---，则()2522m m m m λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩，解得22m λ=⎧⎨=-⎩，故A 正确；对于B ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，即()225220m m m ---=，解得25m =-，故B正确；a ==r，故当0m =时，a r 取得最小值2，无最大值，故C 正确，D 错误.故选：ABC.11．（2022秋·高二单元测试）（多选）已知空间向量(2,1,1)a =--，(3,4,5)b = ，则下列结论正确的是（）A ．(2)//a b a+B．5||||a bC ．(56)⊥+ a a b ）D ．a 与b夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】因为2(1,2,7),(2,1,1)a b a +=-=--，且1221-≠--，故A 不正确；因为||a =||b =5||||a b = ，故B 正确；因为56(8,19,35)a b +=，()()()5628119135056a a b a a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=⊥+ ，，故C 正确；由于(2,1,1)a =-- ，(3,4,5)b =，所以cos ,||||a b a b a b ⋅<>==D 正确.故选:BCD.12．（2023秋·高一单元测试）若向量()1,1,2a =--与()1,,2b x = 的夹角为锐角，则实数x 的值可能为（）.A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】CD【解析】因为()1,1,2a =--与()1,,2b x = 的夹角为锐角，所以(1)11(2)250a b x x ⋅=-⨯+⨯+-⨯=->，解得5x >，当a 与b共线时，12112x ==--，解得=1x -，所以实数x 的取值范围是5x >，经检验，选项C 、D 符合题意.故选：CD13．（2023·高三课时练习）若ABCD 为平行四边形，且已知点()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为______．【答案】()1,13,3--【解析】设(),,D x y z ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以()()2,6,23,7,5x y z ---=-----，所以327652x y z --=-⎧⎪-=-⎨⎪--=-⎩，所以1133x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即()1,13,3D --.故答案为：()1,13,3--.14．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB AD ⊥，1224AA AB AD CD ====，E ，F ，G 分别为棱1DD ，11A D ，1BB 的中点.(1)求线段FG 的长度；(2)求CG EF ⋅ .【答案】(2)6【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()1,4,0,0,2,4F G ，故()1,2,4FG =--，所以FG ==即线段FG ；（2）()()2,0,2,2,2,0C E ，则()()2,2,2,1,2,0CG EF =-=-，所以2406CG EF ⋅=++=.15．（2023春·高二课时练习）如图，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，1PO =，M 是PC 的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．【答案】答案见解析【解析】由正棱锥的结构特征可知：PO ⊥平面ABCD ，方法一：以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，作z 轴//PO ，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122P ⎛⎫⎪⎝⎭，331,,442M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二： 四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，以O 为坐标原点，,,OA OB OP正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则2A ⎫⎪⎪⎝⎭，,02B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0O ，()0,0,1P ，142M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.16．（2022秋·重庆江北·高二校考期末）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，2PA AD ==，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．(1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求点C 到平面MND 的距离.【答案】(1)证明见解析【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,0,1,1,1A B C D P M N ，()()()0,1,1,2,2,2,2,0,0MN PC DC ==-=，由0,0,MN PC MN DC MN PC MN DC ⋅=⋅=⇒⊥⊥，又,DC PC C DC PC =Ì 、平面PCD ，∴MN ⊥平面PCD .（2）∵ND ⊂平面PCD ，∴MN ND ⊥，设点C 到平面MND 的距离为h ，()()2220112,1113MN ND =++==-++-=，N CDM C MND V V --=，则有1111221233232h 骣骣琪琪创创=创琪琪桫桫，解得263h =.故点C 到平面MND 的距离为26317．（2023·江苏·高二专题练习）棱长为2的正方体中，E 、F 分别是1DD 、DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求1cos ,EF C G <>；(3)求FH 的长．【答案】(1)证明见解析;3015(3)223.【解析】（1）解：如图，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则11(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,2),(2,2,2),(0,,0)43D E F C C B G ,因为1(1,1,1),(2,0,2)B E C F -=-=-，所以(1,1,1)(2,0,2)1(2)10(1)(2)0EF BC ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥ ，故1EF B C ⊥；（2）解：因为12(0,,2)3C G =--，所以1||C G =因为||EF = 1224(1,1,1)(0,,2)2333EF C G ⋅=-⋅--=-= ,所以111443cos ,3||||EF C GEF C G EF C G ⋅<>==⋅（3）解：因为H 是1C G 的中点，所以5(0,,1)3H 又因为(1,1,0)F ，所以2(1,,1)3HF =--,||3FH = .即3FH =.18．（2022·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，2AB BC BB '===，AB BC ⊥，D 为AB 的中点，点E 在线段C D '上，点F 在线段BB '上，求线段EF 长的最小值．【解析】依题意，BA 、BC 、BB '两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(0,1,0)D ，(0,0,2)B '，(2,0,2)C '，则(2,1,2)DC '=- ，(0,0,2)BB '= ，设DE DC λ'=，[0,1]λ∈，则(2,1,2)E λλλ-，设(0,0,)F z ，02z ≤≤，则(2,1,2)EF z λλλ=---．若线段EF 的长最小，则必满足EF BB '⊥，则EF 0BB '⋅=，可得2z λ=，即(2,1,0)EF λλ=-- ，因此，||EF ==≤ 当且仅当15λ=时等号成立，所以线段EF．19．（2023云南）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PBC 为等腰直角三角形，且90CPB ∠=︒，四边形ABCD 为直角梯形，满足//AD BC ，CD AD ⊥，24BC CD AD ===，PD =(1)若点F 为DC 的中点，求cos ,AP BF；(2)若点E 为PB 的中点，点M 为AB 上一点，当EM BF ⊥时，求AM AB的值．【答案】(1)25-(2)34【解析】（1）因为PBC 为等腰直角三角形，90CPB ∠=︒，4BC CD ==，所以PC PB ==，又(2224PD ==，(2222424PC CD +=+=，所以DC PC ⊥．而CD AD ⊥，//CD BC ，故CD BC ⊥，因PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面PBC ，故CD ⊥平面PBC .以点C 为原点，CP ，CD 所在直线分别为x ，z 轴，过点C 作PB 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示．则()P，()B ，()0,0,2F，)4A，()B ．则)4AP =-，()2BF =--，所以()422cos ,5AP BFAP BF AP BF-+⨯-+-⨯⋅==-⋅．（2）由（1）知()E ，设AM t AB =，而)4AB =-，所以),4AMt =-，所以),44Mt -，所以),44EM t =-，又()2BF =--，因为EM BF ⊥，故0EM BF ⋅=，所以880t --+-=，解得3t 4=，所以34AM AB=．20．（2023天津）如图，已知多面体111ABCA B C ABC ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC ∠=︒，14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.证明：1AB ⊥平面111A B C .【答案】证明见解析【解析】证明：如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意知各点坐标如下：()0,A，()1,0,0B ，()10,4A ，()11,0,2B ，()1C ．因此()1AB = ，()112A B =-，()113AC =- ．由1110AB A B ⋅= ，得111AB A B ⊥．由1110AB AC ⋅=，得111AB A C ⊥．又因为11111A B A C A = ，所以1AB ⊥平面111A B C ．1．（2023广西）如图，在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】以D 为原点，,DA DC 分别为x 轴、y 轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，设(,,0)M x y ，正方形边长为a ，则()2a P ，则MC MP ==由MC MP ==2x y =，所以点M 在正方形ABCD 内的轨迹为一条直线12y x =的一部分故选：A.2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC ．动点P的轨迹长为3D ．AM 与11A B所成角的余弦值为3【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =-- ，(),,0BP x y = ，()2,1,2AM =- ，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+ ，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =- ，()12,1,0B M =- ，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠ ，所以AM 与1B M不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1PB ==C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2023黑龙江）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D MCP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B．4C ．5D ．5【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =- ，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM ==当125a =时，BM ∣∣取最小值易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △142⨯=．故选：D.4.（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =- ，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.5．（2023内蒙古）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B，(S，M ⎛ ⎝⎭，设(),,0P x y ，则2AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,,2MP x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅= ，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P 距离的最小，其最小值为4．6．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =- ，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥=>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒== 故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．7．（2023·江苏）（多选）设正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则（）A ．存在点P ，使得A 1P ∥平面11B CD B ．当PC PD ⊥时，|A1P |2的最小值是10-C ．若1APC 的面积为1，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分D ．若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，则动点P 的轨迹围成图形的面积为π【答案】ABD【解析】A 选项，连接11,,A D DB A B ，则BD ∥11B D ，11B D ⊂平面11B CD ，BD ⊄平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ，同理可证：1A D ∥平面11B CD ，而1A D BD D ⋂=，所以平面1A DB ∥平面11B CD ，故点P 在线段BD上时，满足A 1P ∥平面11B CD ，A 正确；B 选项，取CD 中点E ，以E 为圆心，EC 为半径在平面ABCD 中作圆，如图，为圆弧CD ，当P 点在弧CD 上时，能够满足PC PD ⊥，连接AE 交圆弧CD 于点P ，此时AP 的长度最小，则|A 1P |2取得最小值，其中由勾股定理得：AE =1AP =，由勾股定理得：)2222111410A P AP A A =+=-+=-B 正确；连接1AC ，由勾股定理可得：1AC =，若1APC 的面积为1，则动点P 到直线1AC3=，以1AC ABCD 的交线即为P 点的轨迹，由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一部分，C 错误；D 选项，若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，设外接球半径为R ，则2414ππ4R =，解得：4R =，设F 球心O 在平面111A B C 上的投影为F ，则F 在线段11AC 的中点，1A F =P 在平面1111D C B A 投影为G ，过点O 作OH ⊥GP 于点H ，连接1OA ，OP ，则OH =FG ，OF =HG ，14OA OP R ===，其中PG =2，则由勾股定理得：34OF ==，则35,244GH PH GH ==-=，则1OH ==，所以1,FG FP ==P 点到FP 的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为π，D 正确.故选：ABD8．（2023·山东枣庄）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为______.【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取BC 中点G ，连接11,,AG AD D G ，如图，因E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，则1//EF AD ，而EF ⊂平面BEF ，1AD ⊄平面BEF ，则有1//AD 平面BEF ，因11////BC AD A D ，则1//BG D F ，而1BG D F =，则有四边形1BGD F 为平行四边形，有1//D G BF ，又BF ⊂平面BEF ，1D G ⊄平面BEF ，于是得1//D G 平面BEF ，而111AD D G D ⋂=，11,AD D G ⊂平面1AD G ，因此，平面1//AD G 平面BEF ，即线段AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹，AG ===所以点P9.（2023湖南）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，BC =，点M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.【答案】2【解析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，)A ，所以()10,1,M n m D =- ，()AM n = ，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-= ，所以1m n n-=，所以1112MAD S M AM D =⋅=△32≥=，当且仅当n m =所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱12AA =.故答案为：2.。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精讲)(解析版).
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）考点一空间向量坐标的表示【例1-1】（2022·广东）在正方体1111ABCD A B C D -中，若点M 是侧面11CDD C 的中心，则AM 在基底{}1,,AA AD AB 下的坐标为（）A ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题可知，M 为1DC 的中点，∴()()11111112222AM AD DM AD DD DC AD AA AB AA AD AB =+=++=++=++，∴坐标为11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D【例1-2】（2022·全国·高二课时练习）已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，则它在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）．A ．15,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．151,,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由于{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，可设向量()1,0,0a =，()0,1,0b =，()0,0,1c =，则向量()1,1,0a b +=，()1,1,0a b -=-，又向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()3,2,1，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+，则()()3,2,1,,x y x y z =+-，即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为51,,122⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.【例1-3】（2022·吉林白山）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，M是11A C 的中点，122AB AA AC ==，113BN BB =uuu r uuu r ，3MG GN =，若1AG xAA yAB zAC =++uuu r uuu r uu u r uuu r，则x y z ++=（）A ．78B ．98C ．118D ．138【答案】C【解析】以1A 为坐标原点，1A A ，11A B ，11AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系1A xyz -.不妨令4AB =，则()2,0,0A ，()2,4,0B ，()10,0,0A ，()2,0,2C ，()0,0,1M ，4,4,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为3MG GN =uuu r uuuu r ，所以11,3,4G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11,3,4AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，()12,0,0AA =-uuu r ，()0,4,0AB =，()0,0,2AC =，则12,34,12,4x y z ⎧⎪-=-⎪=⎨⎪⎪=⎩解得12x =，34y =，18z =，故118x y z ++=.故选：C【一隅三反】1．（2022·广东·高二阶段练习）如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，且2PB AB ==，若3PC PQ =，则点Q 的空间直角坐标为（）A ．()3,2,1B ．44,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,3D ．()1,2,1【答案】B【解析】由题意得()0,2,0C ，()2,2,2P ，所以()2,0,23PC PQ =--=，所以()22,0,33PQ =--，所以Q 的坐标为()()()2244,0,2,2,2,2,3333--+=．故选：B ．2．（2022·江苏常州·高二期中）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【解析】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =-，又11AC AC =，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.3．（2022·河北）（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()13,1A B ．()11,0,1C C ．()10,3,1AD =D ．)13,3,1B A =-【答案】ABC【解析】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以AD =()()()111,,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,,1,1AD B A ==.故选：ABC考点二空间向量坐标的运算【例2-1】（2022·浙江宁波·高一期中）已知向量()2,1a =r ，()1,2b =-r ，则3a b -的坐标为（）A ．()1,5--B ．()1,7-C ．()1,5-D ．()1,7【答案】B【解析】()2,1a =r ，()1,2b =-r ，∴()()()()()32,131,22,13,61,7a b -=--=--=-．故选：B ．【例2-2】（2022·四川）已知空间向量()1,2,3a =，(),1,b m n =-，若a b ∥，则m n +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【解析】由1123m n -==，解得13,22m n =-=-，则m n +=2-.故选：A.【例2-3】（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知(3,2,1),(2,,0)a b m =--=，若a b ⊥，则m 的值为（）A ．3B ．4-C ．3-D ．4【答案】A【解析】由题意可得0a b ⋅=，故322(1)00m ⨯-+-⨯=，则3m =，故选：A【例2-4】（2022·全国·高二）已知空间三点()0,0,0O ，()1,1,0A -，()0,1,1B ，在直线OA 上有一点H 满足BH OA ⊥，则点H 的坐标为.A ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()2,2,0-D ．()2,2,0-【答案】B【解析】由O （0，0，0），A （﹣1，1，0），B （0，1，1），∴OA =（﹣1，1，0），且点H 在直线OA 上，可设H （﹣λ，λ，0），则BH =（﹣λ，λ﹣1，﹣1），又BH ⊥OA ，∴BH •OA =0，即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，即λ+λ﹣1＝0，解得λ12=，∴点H （12-，12，0）．故选B ．【一隅三反】1．（2022·黑龙江）已知向量a ＝（3，0，1），b ＝（﹣2，4，0），则3a +2b 等于（）A ．（5，8，3）B ．（5，﹣6，4）C ．（8，16，4）D ．（16，0，4）【答案】A 【解析】32(9,0,3)(4,8,0)(5,8,3)a b +=+-=，故选：A2．（2022·山东淄博·高二期末）已知向量()2,0,1a =，()3,1,4b =，则2a b -=（）A ．()4,2,7-B ．()4,2,7---C ．()4,2,7-D ．()4,2,7-【答案】B【解析】因为()2,0,1a =，()3,1,4b =，所以()()()2,0,16,2,8,724,2a b -=-=---故选：B 3．（2022·全国·高二课时练习）已知()2,3,1a =--，()4,0,8b =，()4,6,2c =--，则下列结论正确的是（）A ．a c ∥，b c ∥B ．a b ∥，a c ⊥C ．a c ∥，a b ⊥D ．以上都不对【答案】C【解析】由题意知：2c a =，24180b a ⋅=-⨯+⨯=，故a c ∥，a b ⊥.故选：C.4．（2022·全国·高二课时练习）已知向量()1,2,1a =-，()2,2,0b =-，则a 在b 的方向上的数量投影为（）A ．6-B ．a-C ．322-D ．34-b【答案】C【解析】由题意知：a 在b 的方向上的数量投影为()2222322a b b⋅=+--.故选：C.5．（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()3,6,3c =-r且a c ⊥，//b c ，则a b +=（）A ．22B ．23C ．4D ．3【答案】D【解析】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+=，解得1x =，则()1,1,1a =，因为//b c ，则136y=-，解得2y =-，即()1,2,1b =-，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b +=.故选：D.考点三空间向量在几何中运用【例3】（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，90BCA ∠=o ，棱12AA =，M 、N 分别为11A B 、1A A 的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求BN 的模；(2)求11cos ,A B B C <>的值；(3)求证：BN ⊥平面1C MN .【答案】10(3)证明见解析【解析】(1)解：因为1CC ⊥平面ABC ，90BCA ∠=o ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()1,0,1N ，所以，()1,1,1BN =-，则BN =(2)解：依题意得()11,0,2A 、()0,0,0C 、()10,1,2B 、()0,1,0B ，所以，()11,1,2A B =--uuu r，()10,1,2B C =--，110143A B B C ∴⋅=-+=，又1A B ==，1B C =所以，111111cos ,10A B B C A B B C A B B C⋅<>==⋅.(3)证明：依题意得()11,0,2A 、()10,0,2C 、()0,1,0B 、()1,0,1N 、11,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,022C M ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuuu r ，()11,0,1N C =-，()1,1,1BN =-，所以，()1111101022C M BN ⋅=⨯+⨯-+⨯=，()()11101110C N BN ⋅=⨯+⨯-+-⨯=，则1C M BN ⊥，1C BN N ⊥，即1BN C M ⊥，1BN C N ⊥，又因为111=C MC N C ，所以，BN ⊥平面1C MN .【一隅三反】1．（2022·福建宁德·高二期中）已知空间三点()1,1,1A --，()1,2,2B --，()2,4,1C -，则AB 与AC 的夹角θ的大小是______．【答案】3π【解析】因为()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-，所以2367A AB C ⋅=-++=所以AB ==AC ==1cos 2AB AB AC ACθ⋅===⋅因为[]0,θπ∈，所以3πθ=故答案为：3π2．（2022·辽宁）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，M 为1CC 的中点，P 为侧面11BCC B 上的动点，且满足//AM 平面1A BP ，则下列结论正确的是（）A ．1AMB M ⊥B ．1//CD 平面1A BPC．动点P D ．AM 与11A B 【答案】BC【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,2A ，()10,2,2A ，()0,0,0B ，()2,1,0M ，(),,0P x y ，所以()10,2,2A B =--，(),,0BP x y =，()2,1,2AM =-，由//AM 平面1A BP ，得1AM a A B bBP =+，即022122bx a by a +=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩，化简可得320x y -=，所以动点P 在直线320x y -=上，A 选项：()2,1,2AM =-，()12,1,0B M =-，()()122112030AM B M ⋅=⨯+⨯-+-⨯=≠，所以AM 与1B M 不垂直，所以A 选项错误；B 选项：11//CD A B ，1A B ⊂平面1A BP ，1CD ⊄平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，B 选项正确；C 选项：动点P 在直线320x y -=上，且P 为侧面11BCC B 上的动点，则P 在线段1PB 上，14,2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以13PB ==，C 选项正确；D 选项：()110,0,2A B =-，112cos ,3AM A B ==，D 选项错误；故选：BC.3．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =．(1)在AB 上是否存在点D ，使得1AC CD ⊥(2)在AB 上是否存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ？【答案】(1)存在(2)存在【解析】(1)直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，则AC 、BC 、1CC 两两垂直如图，以C 为坐标原点，射线CA 、CB 、1CC 分别为,,x y z 轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()10,0,4C ，()0,4,0B ，()10,4,4B ．（1）假设在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，于是()33,4,0CD λλ=-，由于()13,0,4AC =-，且1AC CD ⊥，所以1990AC CD λ⋅=-+=，得1λ=，所以在AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合．(2)假设在AB 上存在点D ，使得1AC ∥平面1CDB ，则()3,4,0AD AB λλλ==-，其中01λ≤≤，则()33,4,0D λλ-，()133,44,4B D λλ=---．又()10,4,4B C =--，()13,0,4AC =-，1AC ∥平面1CDB ，所以存在实数,m n ，使111AC mB D nB C =+成立，∴()333m λ-=-，()4440m n λ--=，444m n --=．所以12λ=，所以在AB 上存在点D 使得1AC ∥平面1CDB ，且D 是AB 的中点．考点四空间向量数量积取值范围【例4】（2021·浙江·绍兴一中高二期中）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（）A ．1[1,]4--B ．11[,]24--C ．[1,0]-D ．1[,0]2-【答案】D【解析】以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以1DD 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点1(1,0,0),(0,1,1)A C 设点P 的坐标为(,,)x y z ，由题意可得01,01,1x y z ≤≤≤≤=，1(1,,1),(,1,0)PA x y PC x y ∴=---=--22221111(1)(1)0222PA PC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫∴⋅=----+=-+-=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当12x y ==时1PA PC ⋅取得最小值为12-；当0x =或1，且0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值为0，则1PA PC ⋅的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选D ．【一隅三反】1．（2022·江苏南通）已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的底面边长为1，P 是正六棱柱内（不含表面）的一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，且1AB BC CD DE EF AF ======，由正六边形的性质可得，()()130,0,0,1,0,0,,0,,022A B F C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，设(),,P x y z ，其中1322x -<<，所以()=1,0,0AB ，(),,AP x y z =，所以AB AP x ⋅=，所以AB AP ⋅的取值范围13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.2．（2022·全国·高二课时练习）已知O 为坐标原点，OA ＝(1,2,3)，OB ＝(2,1,2)，OP ＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．123,,234⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设OQ OP λ=，则QA ＝OA －OQ ＝OA －λOP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝OB －OQ ＝OB －λOP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA QB ⋅＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2412333λ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以当λ＝43时，QA QB ⋅取得最小值，此时OQ ＝43OP ＝448,,333⎛⎫⎪⎝⎭，即点Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B （含边界）内，若1D M CP ⊥.则△BCM 面积的最小值为（）A ．8B ．4CD 【答案】D【解析】以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()402P ，，，()040C ，，，()1004D ，，，()440B ，，，设()[]()404M a b a b ∈，，，，，则()144D M a b =-，，，()442CP =-，，，因为1D M CP ⊥，所以1164280D M CP a b ⋅=-+-=，得24b a =-，所以()424M a a -，，，所以BM当125a =时，BM ∣∣取最小值5，易知4BC =，且BC ⊥平面11AA B B ，BM ⊂平面11AA B B 故BC BM ⊥，故12BCM BC BM S =⨯△所以BCM S △的最小值为451854525⨯⨯=．故选：D.考点五空间几何中的轨迹问题【例5-1】（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为6，点M 为1CC 的中点，点P 为底面1111D C B A 上的动点，满足BP AM ⊥的点P 的轨迹长度为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()6,0,0A ，()6,6,0B ，()0,6,3M ，设(),,6P x y ，[][]0,6,0,6x y ∈∈，则()6,6,3AM =-，()6,6,6BP x y =--，由BP AM ⊥得()()6666360x y --+-+⨯=，即3y x =-，由于[][]0,6,0,6x y ∈∈，所以[]3,6x ∈，[]0,3y ∈，所以点P 的轨迹为面1111D C B A 上的直线：3y x =-，[]3,6x ∈，即图中的线段EF ，由图知：EF ==故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周).若AM MP ⊥，则点S 与P 距离的最小值是___________．574【解析】如图，以O 为原点，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，(3S ，32M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),,0P x y ，则32AM ⎛= ⎝⎭，3,,2MP x y ⎛=- ⎝⎭，∵AM MP ⊥，∴0AM MP ⋅=，解得34y =，∴SP =当0x =时，点S 与P ．．2．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．3．（2022·湖南·高二期中）（多选）已知正方体ABCD －EFGH 棱长为2，M 为棱CG 的中点，P 为底面EFGH 上的动点，则（）A ．存在点P ，使得4AP PM +=B ．存在唯一点P ，使得AP PM ⊥C ．当AM BP ⊥，此时点PD ．当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P －ABM 的外接球体积为92π【答案】BCD【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ．A （2，0，0），M （0，2，1），设P 点坐标为（x ，y ，2）（,x y R ∈），()2,,2AP x y =-，(),2,1PM x y =---为求AP PM +的最小值，找出点A 关于平面EFGH 的对称点，设该点为1A ，则1A 点坐标为()2,0,4∴14AP PM A M +≥==>故A 选项错误．由AP PM ⊥可得()()2222022201101AP PM x x y y x y x y ⋅=⇒-+-+=⇒-+-=⇒==故B 选项正确．AM BP ⊥时，即0AM BP ⋅=，此时由点P 坐标为(),,2x y 得到()()222220x y --+-+=1y x ⇒=-点P 轨迹是连接棱EF 中点与棱EH 中点的线段，其长度为线段HF 的一半，．故C 选项正确．当P 为底面EFGH 的中心时，由B 选项知AP PM ⊥．易得AB BM ⊥．∴外接球球心为棱AM 的中点，从而求得球半径为1322AM =．92V π=故D 选项正确．故选：BCD ．。
空间向量运算的坐标表示习题
空间向量运算的坐标表示习题1. 向量a ⃗ =(2,4,−4),b ⃗ =(−2,x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x 的值为( )A. −3B. 1C. −1D. 32. 在空间坐标系中，点P(1,−2,5)到坐标平面xOz 的距离为( )A. 2B. 1C. 5D. 33. 若向量a ⃗ =(1,λ,1),b ⃗ =(2,−1,−2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦为√26，则λ等于( )A. −√2B. √2C. −√2或√2D. 24. (理)若点A(2,3，2)关于xoz 平面的对称点为A′，点B(−2,1，4)关于y 轴对称点为B′，点M 为线段A′B′的中点，则|MA|=( )A. √30B. 3√6C. 5D. √215. 在空间直角坐标系中，点B 是A(2,3，4)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB|等于( )A. 2√3B. √13C. 2√5D. 56. 向量a ⃗ =(2,4,x)，b ⃗ =(2,y,2)，若|a ⃗ |=6，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x +y 的值为( )A. −3B. 1C. 3或1D. −3或17. 已知a ⃗ =(cosα,1sinα)，b ⃗ =(sinα,1,cosα)，则a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是( )A. 90∘B. 60∘C. 30∘D. 0∘8. 若向量a ⃗ =(x,4，5)，b ⃗ =(1,−2,2)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的余弦值为√26，则x =( )A. 3B. −3C. −11D. 3或−119. 已知a ⃗ =(3,−2,−3)，b ⃗ =(−1,x −1,1)，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A. (−2,+∞)B. (−2,53)∪(53,+∞) C. (−∞,−2)D. (53,+∞)10. 如图，F 是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有A. B 1E =EBB. B 1E =2EBC. DE ⊥ACD. DE ⊥AF11. 已知a →=(2,−1,0)，b →=(k,0,1)，若<a ⃗ ,b ⃗ >=60°，则k =________．12. 已知A(1,0,0)，B(0,−1,1)，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为，则λ=______．13. 已知a ⃗ =(4,2,−4)，b ⃗ =(6,−3,3)，则|a ⃗ −b⃗ |=______． 14. 若a ⃗ =(2,−3,1)，b ⃗ =(2,0,3)，c ⃗ =(3,4,2)，则|a ⃗ +b ⃗ |=_______________a ⃗ ⋅(b⃗ +c⃗ )=_____． 15. 已知A(2,−5,1)，B(2,−4,2)，C(1,−4,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为________． 16. 已知a ⃗ =(2,3，1)，b ⃗ =(−4,2，x)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=________． 17. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为________．18. 已知A(1,−2,1)，B(2,2，2)，点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|，则点P 的坐标为________． 19. 已知向量a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4)，c⃗ =(3,m,n)． (1)求a ⃗ −b ⃗ ；(2)若a ⃗ //c ⃗ ，求m ，n ； (3)求cos <a ⃗ ,b ⃗ >.20. 已知向量a ⃗ =(−4,2,4),b ⃗ =(−6,3,−2)(1)求|a ⃗ |；(2)求向量a ⃗ 与b⃗ 夹角的余弦值．答案和解析1. 解：∵向量a ⃗ =(2,4,−4),b ⃗ =(−2,x,2)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−4+4x −8=0， 解得x =3．故选：D ．2.解：在空间坐标系中，点P(1,−2,5)到坐标平面xOz 的距离为：d =√(1−1)2+(−2−0)2+(5−5)2=2．故选：A ．3.解：∵向量a ⃗ =(1,λ,1),b ⃗ =(2,−1,−2)，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角余弦为√26，∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=−λ√2+λ2⋅√9=√26，解得λ=−√2．故选：A ．4.解：∵点A(2,3，2)关于xoz 平面的对称点为A′，∴A′(2,−3,2)，∵点B(−2,1，4)关于y 轴对称点为B′，∴B′(2,1，−4)， ∵点M 为线段A′B′的中点，∴M(2,−1,−1)，∴|MA|=√(2−2)2+(−1−3)2+(−1−2)2=5．故选：C ．5.解：空间直角坐标系中，则点A(2,3，4)在yOz 坐标平面内的射影是B(0,3，4)，所以|OB|=√02+32+42=5．故选：D ．6.解：∵|a ⃗ |=6，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴√22+42+x 2=6，4+4y +2x =0， 解得{x =4y =−3，或{x =−4y =1．则x +y =−3或1．故选D ． 7.解：因为a →=(cosα,1sinα)，b →=(sinα,1,cosα)，所以a →+b →=(cosα+sinα,2,sinα+cosα)，a →−b →=(cosα−sinα,0,sinα−cosα)．设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ， 故cosθ=(a ⃗ +b ⃗ )·(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ +b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=cos 2α−sin 2α+0+sin 2α−cos 2α√(cosα+sinα)2+4+(sinα+cosα)2√(cosα−sinα)2+4+(sinα−cosα)2=0．所以夹角为90°，故选A ．8.解：∵a ⃗ ⋅b ⃗ =x −8+10=x +2，|a ⃗ |=√x 2+41，|b ⃗ |=√1+4+4=3．∴√26=cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=x+23√x 2+41，则x +2>0，即x >−2，则方程整理得x 2+8x −33=0，解得x =−11或3．x =−11舍去，∴x =3故选：A ．9.解：∵a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为钝角，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ ><0，且a ⃗ 与b ⃗ 不共线， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ <0，且(3,−2,−3)≠λ(−1,x −1,1)，，且x ≠53，解得x > −2，且x ≠53，∴x 的取值范围是．故选B ．10.解：以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方形的棱长为2，则D(0,0，0)，F(0,1，0)，D 1(0,0，2)，A(2,0，0)，C(0,2，0)．设点E(2,2，z)，故有D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,z)， ∵D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×2+1×2−2z =0，∴z =1，∴B 1E =EB. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×2+2×2+1×0=0，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AC ⊥DE ， AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×2+1×2+1×0=−2，可知DE 与AF 不垂直． 故选AC ．11.解：∵a ⃗ =(2,−1,0)，b ⃗ =(k,0，1)，<a ⃗ ，b ⃗ >=60°，∵cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |， ∴cos60°=2k√5(k 2+1)=12，解得k =√5511，k =−√5511(舍去)故答案为√5511． 12.解：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)+λ(0,−1,1)=(1,−λ,λ)， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，∴cos120∘=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2λ√1+2λ2√2，化为λ2=16， ∵λ<0，∴λ=−√66．故答案为−√66．13.解：∵a ⃗ =(4,2,−4)，b ⃗ =(6,−3,3)，∴a ⃗ −b ⃗ =(−2,5，−7)， ∴|a ⃗ −b ⃗ |=√(−2)2+52+(−7)2=√78．故答案为：√78．14.解：由题意得：b ⃗ +c ⃗ =(5,4,5)，，∴a ⃗ ⋅(b ⃗ +c ⃗ )=2⋅5−3⋅4+1⋅5=3，故答案为√41;3．15.解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,4)−(2,−5,1)=(0,3，3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)−(2,−5,1)=(−1,1，0)，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3，3)⋅(−1，1，0)=0+3+0=3． 再由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，设向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角θ， 则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3√2⋅√2 cosθ=6cosθ．故有3=6cosθ，∴cosθ=12． 再由0≤θ≤π，可得θ=π3．故答案为π3．16.解：根据题意得，a ⃗ ·b ⃗ =−8+6+x =0，解得x =2，所以|b ⃗ |=√(−4)2+22+22=2√6，故答案为2√6．17.解：以D 为坐标原点，分别以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在方向为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，由题意知E(1,1，√2)，F (1,2,√22)，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22)，∴E 、F 两点间的距离为|EF⃗⃗⃗⃗⃗ |=√0+1+12=√62，故答案为√62． 18.解：设P(0,0，c)，由题意得√(0−1)2+(0+2)2+(c −1)2=√(0−2)2+(0−2)2+(c −2)2 解得c =3，∴点P 的坐标为(0,0，3)． 19.解：(1)因为a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4) 所以a ⃗ −b ⃗ =(1−4,2+2,−2−4)=(−3,4，−6)； (2)由a ⃗ =(1,2,−2)，c ⃗ =(3,m,n)，当a ⃗ //c ⃗ 时，31=m 2=n−2，解得m =6，n =−6；(3)因为a ⃗ =(1,2,−2)，b ⃗ =(4,−2,4)，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =1×4+2×(−2)+(−2)×4=−8， |a ⃗ |=√12+22+(−2)2=3，|b ⃗ |=√42+(−2)2+42=6， 所以cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b⃗ |=−83×6=−49．20.【答案】解：(1)由题意得：|a →|=√(−4)2+22+42=6；=6×√(−6)2+32+(−2)2=1121，∴向量a →与b →夹角的余弦值为1121．。
高考数学专题复习题：空间向量运算的坐标表示
高考数学专题复习题：空间向量运算的坐标表示一、单项选择题（共8小题）1．已知两平行直线的方向向量分别为(42,1,1)a m m m =−−−，(4,22,22)b m m =−−，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．3C ．1或3D ．以上答案都不正确 2．已知空间中两点(,1,2)A x，(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ） A ．6−B ．2−或6C ．4−D ．4−或23．如果点(3,1,4)A −，(7,1,0)B ，那么线段AB 的中点M 在yOz 平面上的射影点的坐标一定是（ ） A ．(0,1,2)B ．(2,1,2)C ．(2,1,2)−D ．(2,1,2)−−4．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A 、B 两点的对称是（ ） A ．关于xOz 平面对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称5．如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．136．已知()4,2,5a =−，()2,1,b x =−，且a b ⊥，则x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y ∈R ，如果向量(),1,1a x =，()1,,1b y =，()2,4,2c =−，且a b ⊥，//b c ，那么a b +等于（ ） A ．B C ．3D ．48．已知向量()1,,2AB a =−与()2,4,AC b =−共线，则a b +=（ ） A ．2−B ．0C ．2D ．6二、填空题（共3小题）9．已知()()2,3,0,,0,3,,120=−==a b k a b ，则k =________．10．若正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，则AB 在1AC uuu r上的投影向量的模为________． 11．在空间直角坐标系中，已知()1,2,2A t ，(),0,31B t t −，则AB的最小值是________．三、解答题（共2小题）12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O xyz −.（1）若点P 在线段1BD 上，且满足13BP BD =，试写出点P 的坐标，并写出点P 关于y 轴的对称点P '的坐标．（2）在线段1C D 上找一点M ，使得点M 到点P 的距离最小，求出点M 的坐标.13．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==−． （1）若2a kb a b ++（）∥（），求实数k ． （2）若向量a kb +rr与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围．。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示-基础练(原卷版) 附答案.pdf
a
(1,
3,
2)
,
b
(2,
m,
4)
,若
rr a//b
,则实数
m
的值是________.若
a
b
,则实数
m
的值是________.
10 【参考答案】 6 ; 3
rr
【解析】 a (1, 3, 2) , b (2, m, 4) ,若 a//b ,则 (1, 3, 2) (2, m, 4) ,
(2)在(1)的条件下,分别求出 (OE
OG) FG
；
EG
的值.
12．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中, | AB || BC | 2, | D1D | 3 ,点 N 是 AB 的中点,点 M 是 B1C1 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点 D, N , M 的坐标； （2）求线段 MD, MN 的长度； （3）判断直线 DN 与直线 MN 是否互相垂直,说明理由．
A．若
a
b ,则
x1x2
y1 y2
z1z2
0
r r x1 y1 z1 B．若 a//b ,则 x2 y2 z2
cos a,b
C．
x1x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
D．若
x1
y1
z1
1 ,则
a
为单位向量
【参考答案】BD
【解析】对于
5．（多选题）（2020 福建省高二期末）如图,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB 5 , AD 4 , AA1 3 ,以直线 DA , DC , DD1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角
2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)(解析版).
1.3空间向量及其运算的坐标表示（精练）空间向量坐标的表示1．（2022·福建三明·高二期末）（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1）D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【解析】根据题意可知点1C 的坐标为(0,2,2)，故A 错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)A C A =--,故B 正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,2)B D ,故1BD 的中点坐标为（1，1，1），故C 正确；点1B 坐标为(2,2,2)，关于于y 轴的对称点为（－2，2，－2），故D 正确，故选：BCD 2．（2022·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.【答案】1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭1112⎛⎫⎪⎝⎭,,(1,1,1)【解析】因为11112AE AD DD D E AB AD AA =++=++，所以向量AE 的坐标为1,1,12⎛⎫⎪⎝⎭.因为11112AF AB BB B F AB AD AA =++=++，所以向量AF 的坐标为1112⎛⎫⎪⎝⎭,,.因为11AC AB AD AA =++，所以向量1AC 的坐标为(1,1,1).故答案为：1,1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；1112⎛⎫⎪⎝⎭,,；(1,1,1)3．（2022·湖南·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求AB ，1DC ，1B D 的坐标．【答案】见解析.【解析】如图所示建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()0,1,0D ，()11,1,1C ，()11,0,1B ，∴()1,0,0AB =，()11,0,1DC =，()11,1,1B D =--.4．（2022·江苏·高二课时练习）如图PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1==PA AB ．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN 的坐标．【答案】11(0,,)22MN =【解析】因为1==PA AB ，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e e AB AD AP e ===，，，以123{e e }e ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，连接AC ．如图所示，因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PAAC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0)22MN =，，．5．（2021·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B uuu r的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．【解析】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．空间向量的坐标的运算1．（2022·广西河池）已知(1,2,3),(0,1,4)a b ==-，则23a b +等于（）A ．(4,6,14)-B ．(4,0,6)-C ．(4,3,6)-D ．(2,1,18)【解析】由(123)(014)a b ==-，，，，，，得2(246)3(0312)a b ==-，，，，，，所以23(2118)a b +=，，，故选：D2．（2022·四川成都）已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．(3,1,4)---B ．(3,1,4)--C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)【答案】D【解析】依题意，点(3,1,4)P --关于y 轴对称的点的坐标为(3,1,4).故选：D3．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）向量()()1,,3,,2,6m x n y =-=，若//m n ，则x y +的值为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】C【解析】由题意可得知0,0x y ≠≠，则1326x y -==，因此x 1,y 2==-，所以1x y +=-，故选：C.4（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°【答案】A【解析】因为()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，所以()cos sin ,2,sin cos +=+-+a b αααα，()cos sin ,0,sin cos a b αααα-=--，设向量a b +与a b -的夹角为β，则cos =β2222=0=，因为[]0,βπ∈，所以2πβ=，故向量a b +与a b -的夹角为2π，故选：A.5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知()()0,1,1,0,0,1a b ==，则a 在b 上的投影向量为（）A ．()1,0,0B ．()0,0,1C ．()0,1,0D ．110,,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为()()0,1,1,0,0,1a b ==，所以1a b ==，所以cos ,2a b a b a b⋅==，所以a 在b 上的投影向量为)()cos ,0,0,10,0,1b a a b b⋅==故选：B 6．（2022·福建省连城县第一中学）（多选）已知空间三点()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C -，则下列说法正确的是（）A ．3AB AC ⋅=B ．//AB ACC ．BC =D ．3cos ,65AB AC =【答案】AC【解析】因为()1,0,1A -，()1,2,2B -，()3,0,4C -，所以()()()0,2,1,2,0,3,2,2,2AB AC BC ==-=--所以0033AB AC ⋅=++=uu u r uuu r，cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅===⋅BC =所以,AB AC 不共线.故选：AC7．（2022·福建省）（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（）A ．()2//a b a +B ．5a =C ．()56a a b⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为【答案】BCD【解析】对于A 选项：2(1,2,7)a b +=-，不存在λ，使得2a b a λ+=，故A 错误；对于B 选项：55a ==b ==，故B 正确；对于C 选项：56(8,19,35)a b +=，(56)281191350a a b ⋅+=-⨯-⨯+⨯=，则(56)a a b ⊥+，故C 正确；对于D 选项：a ==b ==6455a b ⋅=--+=-所以cos ,a b a b a b⋅===D 正确；故选：BCD.8．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是棱1CC 上一动点，点O 是面AC 的中心，则AP AO ⋅的值为（）A ．4B ．C ．2D ．不确定【解析】如图，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，因为正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，点O 是面AC 的中心，P 是棱1CC 上一动点，所以()2,0,0A ，()1,1,0O ，()0,2,P z ()2,2,AP z =-，()1,1,0AO =-2204AP AO ⋅=++=故选：A空间向量在几何中的运用1．（2022·上海·复旦附中高二期中）空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．【答案】3【解析】因点()1,2,3A 、()2,0,5B ，则222||(12)(20)(35)3AB =-+-+-=.故答案为：32．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））若向量(),2,4,(1,3,6),m k n ==若m 与n 的夹角为锐角，则k 的范围为_________.【答案】22(30,(,)33-+∞【解析】因为向量(),2,4,(1,3,6),m k n ==若m 与n 的夹角为锐角，所以0m n ⋅>，且m 、n 不同向共线.只需满足624024136k k ++>⎧⎪⎨≠=⎪⎩，解得：2303k -<<或23k >.所以k 的范围为22(30,)(,)33-+∞.故答案为：22(30,(,)33-+∞.3．（2021·全国·高二单元测试）已知长方体1111ABCD A B C D -中,1||||2,3AB BC D D ===，点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点,,D N M 的坐标；（2）求线段,MD MN 的长度；（3）判断直线DN 与直线MN 是否互相垂直，说明理由．【答案】（1）(0,0,0),(2,1,0),(1,2,3)D N M ；（2；（3）不垂直，理由见解析.【解析】（1）由于D 为坐标原点，所以(0,0,0)D 由1||||2,3AB BC D D ===得：11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,3),(0,2,3)A B C B C 点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点，(2,1,0),(1,2,3)N M ∴；（2）由两点距离公式得：MD ，MN =（3）直线DN 与直线MN 不垂直理由：由（1）中各点坐标得：(2,1,0),(1,1,3),(2,1,0)(1,1,3)10DN MN DN MN ==--∴⋅=⋅--=≠DN ∴与MN 不垂直，所以直线DN 与直线MN 不垂直4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 是1BB 的中点，G 是1AB 的中点.(1)试建立适当的坐标系，并确定E 、F 、G 三点的坐标；(2)求证：1A C EF ⊥.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】(1)以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、111,,22G ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)证明：依题意可得()11,0,1A 、()0,1,0C ，则()11,1,1AC =--，110,,22EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，1110022A C EF ⋅=+-=，所以1A C EF ⊥.5．（2022·全国·高二课时练习）已知点()1,2,3A -，()2,2,3B -，()1,2,C z --．(1)当ABC 为直角三角形时，求实数z 的值；(2)ABC 是否可能为钝角三角形？【答案】(1)3z =(2)不能【解析】(1)由已知得()3,4,0AB =-，()0,4,3AC z =--uuu r ，()3,0,3BC z =--uu u r，()()()30440316AB AC z ⋅=⨯+-⨯-+⨯-=，所以A ∠为锐角，()()()3340039AB BC z ⋅=⨯-+-⨯+⨯-=-uu u r uu u r，所以9BA BC ⋅=，B Ð为锐角，()()()()22034033CA CB AC BC z z ⋅=⋅=⨯-+-⨯+-=-uu r uu r uuu r uu u r ，所以若ABC 为直角，则2C π∠=，即()230CA CB z ⋅=-=uu r uu r ，解得3z =；(2)由（1）可得160AB AC ⋅=>，A ∠为锐角，90BA BC ⋅=>uu r uu u r，B Ð为锐角，()230CA CB z ⋅=-≥uu r uu r ，2C π∠≤，所以ABC 不能为钝角三角形.6．（2021·全国·高二课时练习）如图，正方形11ACC A 与等腰直角三角形ACB 所在平面互相垂直，90ACB ∠=︒，E ，F 分别是,AB BC 的中点，G 是1AA 上的点，1AC EG ⊥.（1）试确定点G 的位置；（2）求1,AC GF 夹角的余弦值.【答案】（1）G 是1AA 的中点（2）36【解析】（1）由题意，平面11ACC A ⊥平面ACB ，AC BC ⊥平面11ACC A 平面ACB AC =，BC ⊂平面ACBBC ∴⊥平面11ACC A ，又1CC ⊂平面11ACC A 1BC CC ∴⊥以C 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设,AC CB a AG x===1(0,,0),(0,0,),(0,,),(,,0)22a a A a C a G a x E ∴1(0,,),(,,)22a aAC a a EG x ∴=-=-21022a aAC EG ax x ⊥∴-+=∴=故G 是1AA 的中点.（2）(0,,),(,0,0)22a aG a F (,,)22a aGF a ∴=--，又1(0,,)AC a a =-||,2GF a ∴=1||,AC =222122a a GF AC a ⋅=-=111cos ,||||AC GF AC GF AC GF ⋅∴<>==7．（2021·山东省潍坊第四中学高二阶段练习）如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A的中点．（1）求BN 的模；（2）求cos 〈1BA ，1CB uuu r〉的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .【答案】（1（2（3）证明见解析.【解析】（1）如图，以点C 作为坐标原点O ，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.由题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)，∴BN uuu r（2）由题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴1BA ＝(1，－1，2)，1CB uuu r＝(0，1，2)，1BA ∴·1CB uuu r ＝3，|1BA |＝6，|1CB uuu r |＝5，∴cos 〈1BA ，1CB uuu r 〉＝1111||||BA CB BA CB ⋅＝3010.（3）由题意得C 1(0，0，2)，M 11(,,2)22，1A B uuu r ＝(－1，1，－2)，1C M uuuu r ＝11(,,0)22，∴1A B uuu r ·1C M uuuu r ＝－12＋12＋0＝0，∴1A B uuu r ⊥1C M uuuu r，即A 1B ⊥C 1M .数量积的取值范围1．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知()()()1,2,3,2,1,2,1,1,2OA OB OP ===，点Q 在直线OP 上，那么当·QA QB 取得最小值时，点Q 的坐标是（）A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．131,,223⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,333Q .故选：C.2．（2022·重庆市）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为底面1111D C B A 内一动点，则EA EC ⋅的取值范围是（）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]1,0-D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0C ，设(),,1E x y 则[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以()1,,1EA x y =---，(),1,1EC x y =---，所以()()22221111111222EA EC x x y y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]0,1x ∈，[]0,1y ∈，所以211024x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，211024y ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以1,12EA EC ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦，故选：A3（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，P 在正方体的12条棱上运动，则AC BP ⋅的取值范围是___________.【答案】[]1,1-【解析】建立如图所示空间直角坐标系，()()()1,0,0,0,1,0,1,1,0A C B ，()1,1,0AC =-，设(),,P x y z （且P 只在正方体的12条棱上运动），则()1,1,BP x y z =--，11AC BP x y y x ⋅=-+-=-，由于0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以101101x y x y -≤-≤⎧⇒-≤-≤⎨≤≤⎩.当1,0x y ==时，AC BP ⋅取最小值1-；当0,1x y ==时，AC BP ⋅取最大值1.故答案为：[]1,1-4.（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，3BC =M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD 的面积取得最小值时其棱1AA =________.【答案】322【解析】设()10AA m m =>，()0M n n C m =≤≤，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,D m ，()0,1,M n ，)3,0,0A，所以()10,1,M n m D =-，()AM n =，又1MD MA ⊥，所以()110M A D M n n m ⋅=+-=，所以1m n n-=，所以1112MAD S M AM D =⋅=△32≥=，当且仅当n =2m =时，等号成立，所以当1MAD 的面积取得最小值时其棱12AA =.故答案为：2.5．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,MN 是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，的PM PN ⋅取值围是_______________________．【答案】[]0,8【解析】当弦MN 的长度最大时，弦过球心O ，如图，建立空间直角坐标系，不妨设,M N 是上下底面的中心，则()2,2,4M ，()2,2,0N ，(),,P x y z ，()2,2,4PM x y z =---，()2,2,PN x y z =---，则()()()22224PM PN x y z z ⋅=-+---()()()2222224x y z =-+-+--，而()()()222222x y z -+-+-表示点(),,P x y z 和定点()2,2,2距离的平方，很显然正方体的顶点到定点()2,2,2距离的平方最大，最大值是2221444122⎛⎫++= ⎪⎝⎭正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是4，所以PM PN ⋅的最小值是440-=，最大值是1248-=.故答案为：[]0,86.（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知四点()1,2,3A 、()2,1,2B 、()1,1,2C ，点M 是直线OC 上的动点，当MA MB ⋅取得最小值时，求点M 的坐标．【答案】448,,333⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题意，设OM OC λ=，则(),,2OM λλλ=，即(),,2M λλλ=，则()1,2,32MA λλλ=---，()2,1,22MB λλλ=---，∴MA MB ⋅()()()()()()12213222λλλλλλ=--+--+--261610λλ=-+，当且仅当43λ=时，MA MB ⋅取得最小值，此时点M 的坐标为448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭．空间向量中轨迹1．（2021·河南·社旗县第一高级中学高二阶段练习（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为（）A 212B 5C 52D ．62【答案】C【解析】根据题意，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0B 、11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,0,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()10,0,1D ，设点(),,0P a b ，10,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭BE ，11,0,22EF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BEF 的法向量为(),,m x y z =，由10211022m BE y z m EF x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取2z =，可得()2,1,2m =，()1,,1D P a b =-，由题意可知，1//D P 平面BEF ，则1220D P m a b ⋅=+-=，令0b =，可得1a =；令1b =，可得12a =.易知点P 的轨迹交线段AD 于点()1,0,0A ，交线段BC 的中点1,1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，因此点P 的轨迹长度为2AM =.故选：C.2．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且,PA PE =则点P 的轨迹是（）A ．线段B ．圆C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A【解析】连接1A P ，因为11,A A AP A E PE ⊥⊥，且PA PE =，所以11A A P A E P≌，即11A A A E =，所以点E 是体对角线1A C 上的定点，连接AE ，则直线AE 也是定直线．因为PA PE =，所以动点P 必定在线段AE 的中垂面α上，所以中垂面α与底面ABCD 的交线就是动点P 的轨迹，所以动点P 的轨迹是线段．故选：A3．（2022·江苏南通·模拟预测）（多选）设正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的一动点，则（）A ．存在点P ，使得A 1P ∥平面11B CD B ．当PC PD ⊥时，|A 1P |2的最小值是1025-C ．若1APC 的面积为1，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分D ．若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，则动点P 的轨迹围成图形的面积为π【答案】ABD【解析】A 选项，连接11,,A D DB A B ，则BD ∥11B D ，11B D ⊂平面11B CD ，BD ⊄平面11B CD ，所以BD ∥平面11B CD ，同理可证：1A D ∥平面11B CD ，而1A D BD D ⋂=，所以平面1A DB ∥平面11B CD ，故点P 在线段BD 上时，满足A 1P ∥平面11B CD ，A 正确；B 选项，取CD 中点E ，以E 为圆心，EC 为半径在平面ABCD 中作圆，如图，为圆弧CD ，当P 点在弧CD 上时，能够满足PC PD ⊥，连接AE 交圆弧CD 于点P ，此时AP 的长度最小，则|A 1P |2取得最小值，其中由勾股定理得：145AE =+=51AP =，由勾股定理得：)2222115141025A P AP A A =+=+=-B 正确；连接1AC ，由勾股定理可得：123AC =1APC 的面积为1，则动点P 到直线1AC 的距12323=1AC 为轴，半径为33的圆柱，与平面ABCD 的交线即为P 点的轨迹，由平面知识可知：用平面不垂直于轴去截圆柱，得到的是椭圆的一部分，C 错误；D 选项，若三棱锥P —111A B C 的外接球表面积为41π4，设外接球半径为R ，则2414ππ4R =，解得：414R =，设F 球心O 在平面111A B C 上的投影为F ，则F 在线段11A C 的中点，12A F =，设点P 在平面1111D C B A 投影为G ，过点O 作OH ⊥GP 于点H ，连接1OA ，OP ，则OH =FG ，OF =HG ，1414OA OP R ===，其中PG =2，则由勾股定理得：22134OF R A F =-=，则35,244GH PH GH ==-=，则221OH OP PH =-=，所以1,145FG FP ==+=，所以P 点到F 5P 的轨迹围成图形是半径为1的圆，面积为π，D 正确.故选：ABD4．（2022·山东枣庄·高二期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，点P 为底面ABCD 内（包括边界）的一动点，若直线1D P 与平面BEF 无公共点，则点P 的轨迹长度为______.5【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，取BC 中点G ，连接11,,AG AD D G ，如图，因E 、F 分别是棱1AA 、11A D 的中点，则1//EF AD ，而EF ⊂平面BEF ，1AD ⊄平面BEF ，则有1//AD 平面BEF ，因11////BC AD A D ，则1//BG D F ，而1BG D F =，则有四边形1BGD F 为平行四边形，有1//D G BF ，又BF ⊂平面BEF ，1D G ⊄平面BEF ，于是得1//D G 平面BEF ，而111AD D G D ⋂=，11,AD D G ⊂平面1AD G ，因此，平面1//AD G 平面BEF ，即线段AG 是点P 在底面ABCD 内的轨迹，AG ===所以点P5.（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 是线段AB 的中点，点M 是底面ABCD 内的动点，且满足11A M C E ⊥，则线段AM 的长的最小值为______．【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ，()11,1,1C ，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),,0M x y ，则()1,,1A M x y =-，11,1,12C E ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，11A M C E ⊥，111102A M C E x y ∴⋅=--+=，即点M 的轨迹方程为220x y +-=，∴线段AM 5=..。
1.3 空间向量及其运算的坐标表示-基础练(解析版)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示-基础练一、选择题1．（2020广西北流市实验中学高二期中）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( )A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）【答案】B【解析】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）.2．已知点B (2,−3,1)，向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(−3,5,2)，则点A 坐标是（ ） A ．(1,2,3)B ．(−1,2,3)C ．(−5,8,1)D ．(5,−8,−1) 【答案】D【解析】设点A(x,y,z)，则向量AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(2−x,−3−y,1−z)=(−3,5,2)， 所以{2−x =−3−3−y =51−z =2 ⇒{x =5y =−8z =−1，所以点A(5,−8,−1).故选：D3．（2020江苏邗江中学高二期中）若向量()4,2,4a =-，()2,1,1b =-，则23a b -= （ ） A ．()6,3,7-B ．()2,1,1---C ．()2,1,5-D ．()14,7,11- 【答案】C【解析】因为()4,2,4a =-，()2,1,1b =-，所以()()()2324,2,432,1,12,1,5a b -=---=-. 4．（2020吴起高级中学高二月考）已知向量(2,,2),(2,1,2),(4,2,1)a x b c =-==-.若()a b c ⊥-，则x 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3D ．3- 【答案】A【解析】∵(2,3,1)b c -=-，∴()4320a b c x ⋅-=++=，解得2x =-.故选：A5．（多选题）（2020福建省高二期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【答案】ACD【解析】根据题意知：点1B 的坐标为()4,5,3，A 正确；B 的坐标为()4,5,0，1C 坐标为()0,5,3，故点1C 关于点B 对称的点为()8,5,3-，B 错误；点A 关于直线1BD 对称的点为()10,5,3C ，C 正确；点()0,5,0C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0，D 正确；故选：ACD .6．（多选题）（2020·南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．121212222222111222cos ,x y z a z b x y =++⋅+>+<D ．若1111===x y z ，则a 为单位向量【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos ,x y z a z b x y =++⋅+>+<，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z ，则2221113a =++=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误.故选：BD.二、填空题7．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-.8．（2020涟水县第一中学高二月考）已知空间直角坐标系中有点A (－2，1，3)，B (3，1，0)，则||AB =_______. 【答案】34【解析】222(32)0(03)34AB =+++-=9．（2020莆田第七中学高二期末）若向量,a b 的坐标满足()2,1,2a b +=--，()4,3,2a b -=--，则a b ⋅等于 .【答案】5-【解析】因为()2,1,2a b +=--，()4,3,2a b -=--，两式相加得()22,4,0a =-，解得()1,2,0a =-，() 3,1,2b =-，所以()()1321025a b =⨯-+-⨯+⨯-⋅=.10．（2020·江苏省镇江中学高二期末）已知向量(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则实数m 的值是________.若a b ⊥，则实数m 的值是________.【答案】6; 103- 【解析】(1,3,2)a =-，(2,,4)b m =--，若//a b ，则(1,3,2)(2,,4)m λ-=--， 解得126m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩；若a b ⊥，则2380a b m ⋅=---=，解得103m =-. 三、解答题11．（2020重庆高二期中）如图，建立空间直角坐标系Oxyz .单位正方体—ABCD A B C D ''''顶点A 位于坐标原点，其中点(1,0,0)B ，点(0,1,0)D ，点(0,0,1)A '.(1)若点E 是棱B C ''的中点，点F 是棱B B '的中点，点G 是侧面CDD C ''的中心，则分别求出向量OE ,OG ，FG .的坐标；(2)在(1)的条件下，分别求出()OE OG FG +⋅；EG 的值.【答案】（1）11,,12OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭；11,1,22OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1,1,02FG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）3()4OE OG FG +⋅=；32EG =. 【解析】 (1)因为点E 是棱B C ''的中点，点F 是棱B B '的中点，点G 是侧面CDD C ''的中心， 可得1111(0,0,0),(1,,1),(1,0,),(,1,)2222O E F G ， 所以11,,12OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭；11,1,22OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1,1,02FG OG OF⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；(2)由（1）可得333131333(),,1,0()10222222224OE OG FG ⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅⋅-=⨯-+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 又由111(,,)222EG =--，所以2221113||()()()222EG =-++= 12．已知长方体1111ABCD A B C D -中, 1||||2,||3AB BC D D ===，点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点,,D N M 的坐标；（2）求线段,MD MN 的长度；（3）判断直线DN 与直线MN 是否互相垂直，说明理由．【答案】（1）(0,0,0)D ，(2,1,0)N ，(1,2,3)M ； （2）线段,MD MN 14,11；（3）不垂直，理由见解析【解析】解：（1）两直线垂直，证明：由于D 为坐标原点，所以(0,0,0)D ， 由1||||2,||3AB BC D D ===得：11(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,2,3),(0,2,3)A B C B C ， 因为点N 是AB 的中点，点M 是11B C 的中点，(2,1,0)N ∴，(1,2,3)M ； （2）由两点距离公式得：222||(10)(20)(30)14MD =-+-+-= 222||(21)(12)(03)11MN =-+-+-=（3）直线DN 与直线MN 不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：(2,1,0)DN =，(1,1,3)MN =--(2,1(1,1,)3)01,M D N N ∴⋅=-⋅-=， DN ∴与MN 不垂直，所以直线DN 与直线MN 不垂直.。
1-3 空间向量及其运算的坐标表示(精练)(解析版)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）【题组一 空间向量坐标运算】1．（2021·全国高二课时练习）已知(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,0,2)c =．求： （1）()a b c ⋅+； （2）68a b c +-．【答案】（1）9，（2）(14,3,3)-【解析】1）因为(2,0,3)b =，(0,0,2)c =， 所以(2,0,5)b c +=， 因为(2,3,1)a =-，所以()22(3)0159a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=，（2）因为(2,3,1)a =-，(2,0,3)b =，(0,0,2)c =， 所以68(2,3,1)6(2,0,3)8(0,0,2)a b c +-=-+-(2,3,1)(12,0,18)(0,0,16)=-+- (14,3,3)=-2．（2021·全国高二课时练习）已知()3,2,5=-a ，()1,5,1b =-，求： （1）a b +； （2）6a ； （3）3a b -； （4）a b ⋅，【答案】（1）()2,7,4-，（2）()18,12,30-，（3）()10,1,16-，（4）2. 【解析】因为()3,2,5=-a ，()1,5,1b =- （1）所以()2,7,4a b +=-， （2）()618,12,30a =-（3）()()()39,6,151,5,110,1,16a b -=---=- （4）31052a b ⋅=-+-=3．（2021·全国高二课时练习）已知(2,1,2)a =--，(0,1,4)b =-，求a b +，a b -，a b ⋅，(2)()a b ⋅-，()()a b a b +-．【答案】(2,2,2)a b +=-；(2,0,6)a b -=-；7a b ⋅=-；(2)()14a b ⋅-=； ()()8a b a b +-=-.【解析】(20,11,24)(2,2,2)a b +=+---+=-；(20,11,24)(2,0,6)a b -=--+--=-； 20(1)(1)(2)47a b ⋅=⨯+-⨯-+-⨯=-； (2)()2()2(7)14a b a b ⋅-=-⋅=-⨯-=；()()(2,2,2)(2,0,6)22(2)02(6)8a b a b +-=-⋅-=⨯+-⨯+⨯-=-.4．（2021·江苏）（多选）已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =-，()1,5,3c =--， 下列等式中正确的是（ ） A ．()a b c b c ⋅=⋅ B ．()()a b c a b c +⋅=⋅+C ．()2222a b ca b c ++=++ D ．a b c a b c ++=--【答案】BCD【解析】由题3030b c ⋅=-++=，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=()0,0a b c b c ⋅=⋅=不相等，所以A 选项错误；()()0a b c a b c a b b c a b a c +⋅-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅=，所以()()a b c a b c +⋅=⋅+，所以B 选项正确；()2222222222a b ca b c a b b c a c a b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++，所以C 选项正确； ()2222222222a b c a b c a b b c a c a b c --=++-⋅+⋅-⋅=++，即()()22a b c a b c ++=--，a b c a b c ++=--，所以D 选项正确.故选：BCD5（2021·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，点P (－2，1，4)． （1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标； （2）求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标； （3）求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【答案】（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．【解析】（1）由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．（2）由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2，1，－4)．（3）设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式， 可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3(6，－3，－12)．6．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 4=，3AD =，15AA =，N 为棱1CC 的中点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．（1）求点1111,,,,,,,A B C D A B C D 的坐标； （2）求点N 的坐标．【答案】（1）()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D ；（2）50,4,2N ⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）D 为坐标原点，则()0,0,0D ，点A 在x 轴的正半轴上，且3AD =，()3,0,0A ∴， 同理可得：()0,4,0C ，()10,0,5D ．点B 在坐标平面xOy 内，BC CD ⊥，BA AD ⊥，()3,4,0B ∴， 同理可得：()13,0,5A ，()10,4,5C ，与B 的坐标相比，点1B 的坐标中只有z 坐标不同，115BB AA ==，()13,4,5B ∴．综上所述：()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D .（2）由（1）知：()0,4,0C ，()10,4,5C ， 则1CC 的中点N 为004405,,222+++⎛⎫⎪⎝⎭，即50,4,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【题组二 空间向量中数量积的坐标运算】1．（2021·浙江）与向量(2,3,6)a =共线的单位向量是（ ）．A ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫--⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．236,,777⎛⎫⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】236(2,3,6)7,,777⎛⎫= ⎪⎝⎭，236(2,3,6)7,,777⎛⎫=----⎪⎝⎭，1=1=， 且23612367777÷=÷=÷=，23612367777-÷=-÷=-÷=-， 故与向量()2,3,6a =共线的单位向量是236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭或236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 故选：D2．（2021·台州市书生中学高二开学考试）已知向量()()2,1,2,2,2,1a b =-=，以a b 、为邻边的平行四边形的面积AB．2C ．4D ．8【答案】A【解析】由题意，(24cos ,92a b a b a b⋅〈〉===+，则65sin ,9a b 〈〉=，所以平行四边形的面积为12sin ,332S a b a b =⨯⨯〈〉=⨯⨯=，故选A. 3．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知(1,2,),(,1,2)a y b x =-=，且()2a b +∥()2a b -，则（ ）A ．x ＝13 B ．x ＝12C ．y ＝－14D ．y ＝－4【答案】BD【解析】因为(1,2,),(,1,2)a y b x =-=所以2(12,4,4)a b x y +=+-，2(2,3,22)a b x y -=---，因为 ()2a b +∥()2a b -，所以3(1＋2x )＝4(2－x )且3(4－y )＝4(－2y －2)，所以x ＝12，y ＝－4． 故选：BD4．（2020·全国高二课时练习）若AB ＝(－4，6，－1)，AC ＝(4，3，－2)，1a =，且a ⊥AB ，a ⊥AC ，则a ＝________． 【答案】3412(,,)131313或3412(,,)131313--- 【解析】解：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有24604320||1a AB x y z a AC x y z a x y ⎧⋅=-+-=⎪⎪⋅=+-=⎨⎪=+=⎪⎩，解得3,134121313x y x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或3134,1312.13x y x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩ 故答案为：3412(,,)131313或3412(,,)131313--- 5．（2021·全国高二课时练习）已知点(1,2,3)A ，(2,1,2)B ，(1,1,2)P ，(0,0,0)O ，点Q 在直线OP 上运动，当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为________________. 【答案】44833()3,,【解析】根据题意，点Q 在直线OP 上运动，(1OP =，1，2)； 设(Q t ，t ，2)t ，(1QA QB AQ BQ t ==-，2t -，23)(2t t --，1t -，22)t -(1)(2)(2)(1)(23)(22)t t t t t t =--+--+--261610t t =-+， ∴当164263t ==⨯时，·QA QB 取得最小值． 此时点Q 的坐标是4(3，43，8)3，故答案为：448,,333⎛⎫⎪⎝⎭6．（2021·陕西宝鸡市）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.【解析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)， (1A -，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥，∴20AD BC x y →→=--=，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →==2．（当1y =-时取最小值）7．（2021·山东泰安市·高二期末）已知()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且ka b +与2a b -的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为_____． 【答案】()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭【解析】由()()1,1,0,1,0,2a b ==-，()1,,2ka b k k +=-，()23,22a b -=-，所以()()()231240a a k k b b k -=+⋅⨯-+-<，解得75k < 若ka b +与2a b -反向，则()20a ka b b λλ-<+=， 则21k λλ=⎧⎨=-⎩，所以2k =-所以ka b +与2a b -的夹角为钝角则75k <且2k ≠- 综上k 的范围是()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭．故答案为：()7,22,5⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭8．（2021·甘肃庆阳市·高二期末（理））已知 2,1(0), a →=-，() ,0,1 b k →= ，若,120a b →→︒=，则k =________．【答案】11-【解析】因为 2,1(0), a →=-，() ,0,1 b k →= 所以a →==b →=，()210012a b k k →→⋅=+-⨯+⨯=，又,120a b →→︒=所以1,2cos a b b a a b →→→→→→⎛⎫=-⋅= ⎝⋅⎪⎭122k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得k =或k =因为,120a b →→︒=，所以20a b k →→⋅=<，所以11k =-， 故答案为：11-9．（2021·江苏无锡市·高二期末）已知空间向量()23,2,3a m n =-+，()21,32,6b m n =+-，若//a b ，则2m n +=____________. 【答案】13【解析】因为()23,2,3a m n =-+，()21,32,6b m n =+-，且//a b 所以存在λ，使得λab ，所以()()23,2,321,32,6m n m n λ+=-+-即()()232123236m m n n λλλ⎧-=+⎪+=-⎨⎪=⎩解得72612m n λ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩所以213m n += 故答案为：1310．（2021·全国高二课时练习）在空间直角坐标系中，若三点A （1，-1，a ），B (2，a ，0)，C (1，a ，-2)满足：2A AB BC C →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数a 的值为_________.【答案】92-【解析】由题意(1,1,),(0,1,2),(1,0,2)AB a a a B A a C C →→→=+-=+--=--， 所以(2)(1,1,4)(1,0,2)12(4)290AB BC a a a C a A →→→-⋅=--+⋅--=--+=--=， 解得92a =-. 故答案为：92-11．（2021·浙江高二单元测试）已知()()3,2,3,1,1,1a b x =--=--，且a 与b 夹角为钝角，则x 的取值范围为___________【答案】55233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】由题可知0a b a bλ⎧⋅<⎨≠⎩，即()()4203,2,31,1,1x x λ--<⎧⎨--≠--⎩，解得2x >-且53x ≠故答案为：55233⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，12．（2021·广东肇庆市·高二期末）从①()()DA DC DA DC +⊥-，②10AC D B ⋅=，③112cos ,2A D AC =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线1D B 与1CB 所成角的余弦值.问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，以D 为原点建立空间直角坐标系，已知1(0,0,4),(0,2,0)D C ，___________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.【答案】条件选择见解析；值为：10. 【解析】选①.∵()()DA DC DA DC +⊥-， ∴()()0DA DC DA DC +⋅-=， ∴220DA DC -=， 即2DA DC ==. ∴1(2,2,0),(2,2,4)B B ，∴11(2,2,4),(2,0,4)D B CB =-=，∵111111cos ,D B CB D B CB D B CB ⋅===⋅∴异面直线1D B 与1CB 选②.设(,0,0)A a ，其中0a >， 从而1(,2,0),(,2,4)B a B a ， ∴1(,2,0),(,2,4)AC a D B a =-=-. ∵10AC D B ⋅=，∴240a -+=， 由于0a >，所以2a =.∴11(2,2,4),(2,0,4)D B CB =-=，∴111111cos ,102DB CB D B CB D B CB ⋅===-⋅，∴异面直线1D B 与1CB 所成角的余弦值为10. 选③.112cos ,cos ,2A D AC AD AC =〈〉=， ∴45DAC ∠=︒， ∴2DA DC ==. 解法同①.13（2021·江苏高二）已知空间三点(0,2,3),(2,1,6),(1,1,5)A B C --. （1）若点D 在直线AC 上，且BD AC ⊥，求点D 的坐标； （2）求以,BA BC 为邻边的平行四边形的面积.【答案】（1）11,,422⎛⎫⎪⎝⎭；（2）【解析】（1）(1,3,2)AC =-，点D 在直线AC 上， 设(1,3,2)AD AC λλ==-，(1,3,2),(1,3,2)(,23,32)O OD OD O A A λλλλλ-=-=+-=-+， (,23,32)(2,1,6)(2,13,23)BD OD OB λλλλλλ=-=-+--=+--，(1,3,2)(2,13,23)239461470AC BD λλλλλλλ⋅=-⋅+--=+-++-=-=， ∴12λ=，11(,,4)22OD =，11(,,4)22D ∴. （2）(2,1,3),(3,2,1)BA BC =-=--，∴222221(3)14,3(BA BC =++-==+= ∴231(2)(3)(1)7BA BC ⋅=⨯+⨯-+-⨯-=，∴1cos cos ,214BA BC BA BC BA BCB ⋅=<===>，sin B =，S ==所以以,BA BC 为邻边得平行四边形的面积为14．（2021·铅山县第一中学高二开学考试（理））已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-.（1）若()()//2a kb a b ++，求实数k ；（2）若向量k +a b 与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围. 【答案】（1）12；（2）{1k k -且12k ⎫≠⎬⎭. 【解析】（1）由已知可得，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=， 因为()()//2a kb a b ++，所以112122k k-==，可得12k =. （2）由（1）知，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=， 因为向量k +a b 与2a b +所成角为锐角，所以()()()()21,1,21,2,2a kb a b k k +⋅+=-⋅1240k k =-++>，解得1k >-， 又当12k =时，()()2a kb a b ++∥，可得实数k 的范围为{1k k -且12k ⎫≠⎬⎭.【点睛】15．（2021·浙江高二单元测试）已知点(0,1,2)A ，(1,1,3)B -，(1,5,1)C -． （1）若D 为线段BC 的中点，求线段AD 的长；（2）若(2,,1)AD a =，且1AB AD ⋅=，求a 的值，并求此时向量AB 与AD 夹角的余弦值．【答案】（1（2）16． 【解析】（1）由题意，点(1,1,3)B -，(1,5,1)C -且点D 为线段BC 的中点，可得(1,2,1)D ，则(1,1,1)AD =-，所以1AD =+=即线段AD（2）由点(0,1,2)A ，(1,1,3)B -，则(1,2,1)AB =-，所以2211AB AD a ⋅=-+=，解得1a =，所以(2,1,1)AD =， 则1cos ,66AB AD AB AD AB AD⋅〈〉===，即向量AB 与AD 夹角的余弦值为16．16．（2021·浙江高二单元测试）如图，建立空间直角坐标系Oxyz .单位正方体ABCD AB CD ''-顶点A 位于坐标原点，其中点(1,0,0)B ，点(0,1,0)D ，点(0,0,1)A '.（1）若点E 是棱B C ''的中点，点F 是棱B B '的中点，点G 是侧面kg '的中心，则分别求出向量OE ，OG ，FG .的坐标；（2）在（1）的条件下，分别求出()OE OG FG +⋅；||EG 的值. 【答案】（1）11,,12OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭；11,1,22OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1,1,02FG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）3()4OE OG FG +⋅=；3||2EG =.【解析】（1）因为点E 是棱BC 的中点，点F 是棱B B '的中点，点G 是侧面kg '的中心， 可得1111(0,0,0),1,,1,1,0,,,1,2222O E F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11,,12OE ⎛⎫= ⎪⎝⎭；11,1,22OG ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1,1,02FG OG OF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭； （2）由（1）可得333131333(),,1,010*******24OE OG FG ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅=⋅⋅-=⨯-+⨯+⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；又由111,,222EG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以||EG ⎛=-= . 16．（2021·浙江高二单元测试）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)若3a =，且a 分别与AB ，AC 垂直，求向量a 的坐标；(2)若AP ∥BC ，且214=AP P 的坐标．【答案】（1）()1,1,1或()1,1,1---；（2）()6,2,1-或()6,6,5- 【解析】(1) AB =（﹣2，﹣1，3），AC =（1，﹣3，2）． 设a =（x ，y ，z ），∵|a，且a 分别与AB 、AC 垂直，∴230320x y z x y z =--+=⎨⎪-+=⎪⎩， 解得111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，或111x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．∴a =（1，1，1），a =（﹣1，﹣1，﹣1）． (2)因为AP ∥BC ，所以可设()λλ=∈AP BC R ． 因为BC ＝(3，－2，－1)， 所以AP ＝(3λ，－2λ，－λ)． 又因为214=AP ，=解得λ＝± 2.所以AP ＝(6，－4，－2)或AP ＝(－6,4,2)．设点P 的坐标为(x ，y ，z)，则AP ＝(x ，y －2，z －3)．所以6,24,32x y z =⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩或6,24,3 2.x y z =-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得6,2,1x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或6,6,5.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩故所求点P 的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)． 【题组三 建立空间坐标系】1．（2021·浙江）在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，1PA =，2PB =，且ABC，则PC 的长为___________. 【答案】2【解析】依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设()0PC m m =>，则()0,1,0A ，()2,0,0B ()0,0,C m ，所以()0,1,AC m =-，()2,1,0AB =-，所以()22211sin 622ABCSAC AB CAB AC AB AC AB=⋅∠=⨯⋅-=12ABCS==24m =，解得2m =故答案为：22．（2021·安徽省安庆九一六学校高二开学考试（理））如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足1122BP BA BC BD =-+，则||BP 的值为（ ）A ．32B ．2C ．104D ．94【答案】A【解析】记正方形的对角线交于O 点，连接,AO CO ，所以AO BD ⊥，因为二面角为直二面角，且CO BD ⊥，平面CBD ⋂平面ABD BD =， 所以CO ⊥平面ABD ，建立空间直角坐标系如下图所示：所以,0,,0,0,,0,2222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2222,,0,0,,,0,2,02222BA BC BD ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1122BP BA BC BD =-+，所以2BP ⎛= ⎝⎭， 所以32BP ⎛=， 故选：A.3．（2021·四川资阳市·高二期末（文））如图，棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体表面BCC 1B 1上的一个动点，E ，F 分别为BD 1的三等分点，则||||PE PF +的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1+D【答案】D【解析】过F 作F 关于平面11BCC B 的对称点'F ，连接'EF 交平面11BCC B 于点0P .可以证明此时的0P 使得||||PE PF +最小：任取1P (不含0P )，此时1111''PE PF PE PF EF +=+>. 在点D 处建立如图所示空间直角坐标系，则()()10,0,3,3,3,0D B ，因为E ，F 分别为BD 1的三等分点，所以()()1,1,2,2,2,1E F , 又点F 距平面11BCC B 的距离为1，所以()'2,4,1F ,||||PE PF +的最小值为2'1EF ==故选：D4．（2021·全国高二课时练习）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则+=a b （ ） A．BC ．3D ．4【答案】C【解析】因为//b c ，所以存在R λ∈使得b c λ=，所以12412y λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得122y λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以(1,2,1)b =-，因为a c ⊥，所以210x -+=，得1x =，所以(1,1,1)a =， 所以(2,1,2)a b +=-， 所以||413a b +=++=.故选：C5．（2021·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B 的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B ＝(－1，1，－2)．【解析】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B ＝(－1，1，－2)．6．（2021·全国高二课时练习）如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．（1）求BN 的长；（2）求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值；【答案】（1（2）10. 【解析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系C xyz .依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)，∴|BN |BN（2）依题意得A 1(1，0，2)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)，∴1BA ＝(1，－1，2)，1CB ＝(0，1，2)，∴1BA ·1CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|1BA |，|1CB |∴cos 〈11,BA CB 〉＝11BA CB BA CB⋅＝.故A 1B 与B 1C . 7．（2021·全国高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱1A A 和1B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值．【答案】19【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则()()()()()10,0,0,0,0,2,2,2,1,0,2,0,2,0,1,D D N C M所以()()12,2,1,2,2,1CM D N =-=-,设CM 和1D N 所成角为θ，则11121cos =cos ,9CM D N CM D NCM D Nθ⨯===⨯, 所以CM 和1D N 所成角的余弦值为19. 8．（2021·全国高二课时练习）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos <11,BA CB >的值； （3）求证：A 1B ⊥C 1M .【答案】（1（2；（3）证明见解析. 【解析】以C 为原点，1CA,CB,CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.（1）则(0,1,0),(1,0,1)B N ，()1,1,1BN ∴=-||3BN ∴=；（2）则11(1,0,2)(0,1,0),(0,0,0),(0,1,2)A B C B ， 11(1,1,2),(0,1,2)BA CB ∴=-=， 11113,6,5BA CB BA CB ⋅===， ∴ cos ﹤11BA CB ⋅﹥=1111110BA CB BA CB ⋅=⋅（3）则111(0,0,2),,,222C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111(1,1,2),,,022A B C M ⎛⎫∴=--= ⎪⎝⎭， 11110022A B C M ∴⋅=-++=， 11A B C M ∴⊥，∴A 1B ⊥C 1M .。
空间向量的坐标运算练习
空间向量的坐标运算练习 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.空间向量的坐标运算——11、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点 答：a 的__________________________； b 的________________________________2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是___________;在yoz 面上的射影坐标是___________5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若AB 52OC =，则C 点的坐标是______________7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0，2)A ：2D 3C 4B 6ππππ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标：______________=______________=______________=A A''AR_________10、已知A(3,4,4)，B(-2,-1,5)，C(4,5,0)，若D在线段AC上，且三角形ABD的面积是三角形ABC面积的四分之一，（1）求D点的坐标；（2）求向量BD的坐标。
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课时作业(十七)
[学业水平层次]
一、选择题
1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)
D ．(2,1，－3)
【解析】 b ＝a －(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．
【答案】 A
2．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |的值为( )
A.534
B.532
C.532
D.132
【解析】 ∵AB 的中点M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，32，3，∴CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，3，故|CM |
＝|CM →
|＝
22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122＋32＝532.
【答案】 C
3．(2014·德州高二检测)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )
A ．－6
B ．－23 C.2
3 D ．14
【解析】 由题意得a ＋2b ＝(2＋2k,5)，且a －b ＝(2－k,2)，又因为a ＋2b 和a －b 平行，则2(2＋2k )－5(2－k )＝0，解得k ＝2
3.
【答案】 C
4. (2014·河南省开封高中月考)如图3-1-32，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E ，F 两点间的距离为( )
图3-1-32
A ．1 B.52 C.62 D.32
【解析】 以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
E (1,1，2)，
F ⎝
⎛⎭⎪⎫
2，1，22，所以|EF |＝
(1－2)2
＋(1－1)2
＋⎝
⎛⎭⎪
⎫2－222
＝6
2，故选C.
【答案】 C 二、填空题
5．(2014·青岛高二检测)已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________．
【解析】 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA →
＝
(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA →·QB →
＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ－432－23，当QA →·QB →取最小值时，λ＝43，此时Q 点的坐
标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，43，83.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，43，83
6．若AB →＝(－4,6，－1)，AC →＝(4,3，－2)，|a |＝1，且a ⊥AB →
，a ⊥AC →
，则a ＝________.
【解析】 设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ·AB →＝0，
a ·AC →
＝0，|a |＝1，代入坐标
可解得：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝313，
y ＝4
13，
z ＝1213
，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－313，
y ＝－413，z ＝－1213
.
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
13，413，1213或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－313，－413，－1213
7．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________.
【解析】 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →
＝(2，－2,6)，由
题意得AB →∥AC →
，则m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，m ＋n ＝0.
【答案】 0 三、解答题
8．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2,2)．
(1)求|2a ＋b |；
(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →
⊥b ？(O 为原点) 【解】 (1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝
02＋(－5)2＋52＝5 2.
(2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →
＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )，
若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，
所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95， 因此存在点E ，使得OE →⊥b ，E 点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫－6
5，－145，25.
9．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，O 是正方形ABCD 的中心．
求证：OA 1→⊥AM →
.
【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为
1个单位，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，O ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，12，0.
∴OA 1→＝⎝
⎛⎭
⎪⎫12，－12，1，AM →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
－1，0，12.
∵OA 1→·AM →＝12×(－1)＋⎝
⎛⎭
⎪⎫－12×0＋1×1
2＝0，
∴OA 1→⊥AM →.
[能力提升层次]
1．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
【解析】 ∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2. 【答案】 A
2．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【解析】 a ＋b ＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a －b ＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0，
∴(a ＋b )⊥(a －b )．
【答案】 A
3．(2014·玉溪高二检测)设动点P 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P D 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，则
λ的取值范围是________．
【解析】 由题设可知，以DA →、DC →、DD 1→
为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，则D 1B →
＝(1,1，－1)，得
D 1P →＝λD 1B →
＝(λ，λ，－λ)，所以
P A →＝PD 1→＋D 1A →
＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
PC →＝PD 1→＋D 1C →
＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)． 显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于P A →·PC →＜0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2
＜0，即(λ－1)(3λ－1)＜0，解得1
3＜λ＜1，因
此λ的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
4. 在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面ABC 和平面A 1B 1C 1为正三角形，所有的棱长都是2，M 是BC 边的中点，则在棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°？
图3-1-33
【解】以A 点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由
题意知A (0,0,0)，C (0,2,0)，B (3，1,0)，B 1(3，1,2)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32，0. 又点N 在CC 1上，可设N (0,2，m )(0≤m ≤2)，
则AB 1→＝(3，1,2)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1
2，m ，
所以|AB 1→|＝22，|MN →
|＝m 2
＋1，AB 1→·MN →
＝2m －1.
如果异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°，那么向量AB 1→和MN →
的夹角等于45°或135°.
又cos 〈AB 1→，MN →〉＝AB 1→·MN
→
|AB 1→||MN →|＝2m －122×m 2＋1.
所以
2m －1
22×m 2
＋1
＝±22，解得m ＝－3
4，这与0≤m ≤2矛盾．
所以在CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所夹的角等于45°.。