线性代数：LA6-3 惯性定理和二次型的规范形
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大学课程大一数学线性代数上册28.二次型的规范形与实二次型的正定性课件
这就是说任何一个二次型的矩阵的秩在二次型化成标准
形的过程中是一个不变量. 我们称二次型的矩阵的秩为
二次型的秩. 于是二次型的秩是个不变量.
对于一个复系数的二次型Q(), 若它的秩为 r, 那么经过
适当的可逆线性替换, 化成标准形:
d1 y12 d2 y22 L dr yr2
(1)
其中 di C,di 0, i 1, 2,L , r.
线性代数（1）
第二十八讲 清华大学数学科学系
1
第二十八讲 二次型的规范形与实二次型的正定性
一、二次型惯性定理与规范形
二次型的标准形不唯一.
同一个二次型的不同的标准形之间有什么关系?
二次型的标准形中有哪些是反映二次型的本质的不变量?
一个二次型经过可逆线性替换化做另一个二次型时, 这
两个二次型的矩阵的秩是相同的.
例1 实对称矩阵满足 A2-3A+2I = 0, 证明 A 是正定矩阵.
证明 设 是 A 的任意一个特征值, X 是 所属的特征向 量, 则 AX = X, 所以 A2X = A(X) = AX = 2X, 利用已知条件 A2-3A+2I = 0, 可知 (2-3+2)X = 0, 因为 X 为特征向量，所以 X 0, 故 2-3+2 = 0, 所以 = 2, 或 = 1. 由正定矩阵的性质2可知 A 是正定矩阵. 例2 设 A 是正定矩阵, 则存在正定阵 B 满足 B2 = A. 证明 由书上第222页定理6.14可知存在正交阵 Q 使得 A = QTDQ, 其中 D 是对角线元素为 A 的所有特征值的对 角矩阵, 由正定矩阵的性质2可知 D 的对角线上的所有 数为正数, 所以存在对角线上数均为正数的对角矩阵 F 使得 F2 = D, 所以 A = QTDQ = QTFQQTFQ = B2, 这里 B = QTFQ 为正定矩阵.
线性代数第十五讲
§6.3 惯性定理和二次型的规范形定理 任一秩为r 的二次形AX X x x x f Tn =),,,(21均可经过适当的可逆线性替换 CY X =化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠，Tn x x x X ] [21 =， T n y y y Y ] [21 =。
推论 任一秩为r 的对称矩阵均合同于一个下列形式的对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001 rb b其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。
设 AX X f T =是 n 元二次型，且 秩(A )=r ：1．f 是复二次型存在可逆复线性替换 CY X =把 f 化为2222211rr y b y b y b +++其中 r i b i ,,2,1 ,0 =≠。
再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为22221r z z z +++。
称上式为复二次型的规范形。
定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性替换化为规范形且规范形唯一。
推论 对任意一个秩为r 的n 阶复对称矩阵A ，必存在n 阶可逆复矩阵C ,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000rT I AC C例 设A 、B 均为n 阶复对称矩阵，则A 与B在复数域上合同的充分必要条件是 )()(B r A r =。
2．f 是实二次型存在可逆实线性替换 CY X =把 f 化为22112211rr p p p p y b y b y b y b ---++++其中 0,,1>r b b 。
再令n n r r r rr z y z y z b y z b y ====++,,,1,,111111 ，则 f 被进一步变为221221r p pz z z z ---+++ 。
称上式为实二次型的规范形。
定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
线性代数二次形及其标准型
4 2
4
2 2 ( 1)2 ( 10) 2
I A
5
2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为
线性代数 第五章
12 12
1 1 1 1 , 2 0 0 2
把含有x2各项集中在一起，再配平方
8 2 ( x1 2 x2 2 x3 ) 6( x x2 x3 ) 2 x3 3 4 26 2 2 2 ( x1 2 x 2 2 x3 ) 6( x2 x 3 ) x3 3 3
2 2 2
线性代数
第五章
16 16
令
2 3 2 3 1 3
1 T 1 则 Q AQ 10
令正交变换X=QY，则
2 2 f y12 y 2 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 线性代数 第五章
14 14
x1 a1n a2n x x2 x n a nn
a11 a 21 f ( x1 ,, x n ) a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
a11 a12 a 21 a 22 ( x1 , , x n ) a n1 a n 2
第五章
a1 n x 1 a 2n x 2 x a nn n
2
令
a11 a12 a21 a 22 A a a n1 n 2
4
2 2 ( 1)2 ( 10) 2
I A
5
2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为
线性代数 第五章
12 12
1 1 1 1 , 2 0 0 2
把含有x2各项集中在一起，再配平方
8 2 ( x1 2 x2 2 x3 ) 6( x x2 x3 ) 2 x3 3 4 26 2 2 2 ( x1 2 x 2 2 x3 ) 6( x2 x 3 ) x3 3 3
2 2 2
线性代数
第五章
16 16
令
2 3 2 3 1 3
1 T 1 则 Q AQ 10
令正交变换X=QY，则
2 2 f y12 y 2 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 线性代数 第五章
14 14
x1 a1n a2n x x2 x n a nn
a11 a 21 f ( x1 ,, x n ) a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
a11 a12 a 21 a 22 ( x1 , , x n ) a n1 a n 2
第五章
a1 n x 1 a 2n x 2 x a nn n
2
令
a11 a12 a21 a 22 A a a n1 n 2
二次型,正定,惯性指数
例1 二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) x12 x22 ... xn2 为正定二次型 对任何X = (x1 , x2 , …, xn )T o，
有 f ( x1, x2 ,..., xn ) x12 x22 ... xn2 0
二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = x12 + x22 + … + xr2 ( r < n)
1) A 1 1 A1 1 0 1 3
1 A2 1
1 20
3
∴ A正定
例1 判别下列矩阵或二次型是否正定
1) A 1 1 A1 1 0 1 3
1 A2 1
1 20
3
∴ A正定
2) f ( x1, x2 , x3 ) 2 x12 x22 5 x32 2 x1x2 4 x1x3 2 x2 x3
§4.2 二次型的标准形与规范形
1.熟练掌握用配方法通过 非退化的线性替换求标准形.
2.了解正交 替换法求标准形； 3.了解初等变换法求标准形. (自学)
一、 用配方法化二次型为标准形
10若二次型含有xi的平方项，则先把所有 xi乘积项集中,配方， 再对其余变量同样处理，直到都配成平方项.
20 若二次型不含平方项，但a12 0,则先作非退化的线性替换
解
1
E A 0
1
0
2
0
1 0
( 2) (1)22 1
1
1
( 2)[( 1)2 1] ( 2)2
1
1
A的特征值：1 0,2 3 2.
B的特征值：k 2 , (k 2)2,(k 2)2. 又 AT A, (kE A)T kET AT kE A BT B
第六章_二次型简介
2 2 17 2 A E 2 14 4 18 9 2 4 14
23
从而得特征值 2．求特征向量
1 9, 2 3 18.
1 (1 2,1,1)T . 将2 3 18代入 A E x 0, 得基础解系 T T 2 ( 2,1,0) , 3 ( 2,0,1) .
a11 a 21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 a12 a1n x1 x a22 a2 n 2 an 2 ann xn
7
a11 a 令 A 21 a n1
11
－2 A 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
1 3 2 1 0 0 －1
2 x x x 2 3 x1 x2 x1 x3
2 1 2 2 2 3
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
x1 x2 X xn
则 f X T AX
二次型的矩阵表示
其中 A 为对称矩阵。
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x3 2 4 x1 x2 x2 x3 例如：二次型
1 -2 ( x1 , x2 , x3 ) -2 0 1 0 2 0 x1 1 x2 2 x3 -3 8
在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
二次型及其标准形惯性定理
1 2 0 12 1 2 0 1 2 单位化即得 p2 , p 3 1 2 , p4 1 2 0 1 2 1 2 0
于是正交变换为
1
1
1
1
0 1 2 2 A E ( 1) 0 2 1 2 0 0 0 1 2 2 1 ( 1) 2 1
( 1) ( 2 3) ( 3) ( 1) .
2 2 3
于是A的特征值为 1 3, 2 3 4 1. 当 1 3时, 解方程( A 3 E ) x 0,
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y3 x y 3 3
x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y2 x 0 0 1 y3 3
由于对任意的实对称矩 A, 总有正交矩阵P , 阵 使 P 1 AP ,即 P T AP .把此结论应用于二次 型, 有
定理2 任给二次型 f a ij x i x j a ij a ji , 总有
n i , j 1
正交变换x Py , 使 f 化为标准形
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
如果要求用正交变换把例3中二次型化为标准形. 1 1 1 A 1 2 3 解:例3中二次型的矩阵为 1 3 5 பைடு நூலகம்
考研基础复习(线代)二次型
② A 正定； 特征值全正； 一切主子式全 0 ； 一切顺序主子式全 0 ； A 与 E 合同 A 1 正定； T 存在可逆矩阵 C ，使 A 别
A 正定；
存在正交阵 P ，使 A 合同、
相似于对角阵 ，即：
P T AP P 1 AP diag{1 , 2 , , n } ，
其中： i
0( i 1,2, n ) .
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
③
A 负定；
特征值全负；
一切奇数阶主子式全 0 ，
且一切偶数阶主子式全 0 ； 一切奇数阶顺序主子式全 0 ， 且一切偶数阶顺序主子式全 0 ；
A 与 E 合同 A 1 负定； A 正定；
例6.4
——题型I：基本概念题
2 2 2 f ( x1 , x 2 , x 3 ) x1 2 x 2 3 x 3
二次型 秩为：
的 ，
，正惯性指数为： .
负惯性指数为：
二、典型题型分析及举例
例6.5
——题型I：基本概念题
设 A 是三阶实矩阵，若对任意三维 x ，都有 x T Ax 0 ，则 （ ）. 列向量 （A） | A | 0 ； （B） | A | 0 ； （C） | A | 0 ； （D）以上都不对.
4、二次型和矩阵的正定性及其判别
合同变换不改变二次型的正定性.
因为： 对于可逆矩阵 C ，y 0 ， x Cy ， 由 有 x 0 ，故： T T T T f (Cy ) A(Cy ) y (C AC ) y x Ax 0 .
即：若 A 为正定矩阵， C 为可逆矩阵， T 则 C AC 也为正定矩阵.
线性代数二次型讲义
AQ ( A1, A2 ,, An ) (11, 22 ,, nn )
1 2 QA. (1 , 2 ,, n ) n
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义
二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f 在二次曲面的研究中也有类似的问题. (2)
1 2 QA. (1 , 2 ,, n ) n
§1、二次型及其标准形 一、二次型的矩阵表示
定义
二次齐次多项式 f (x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2 a13xz + 2 a23yz 称为实二次型. 其中aij 为实常数.
取 a21 = a12 , a31 = a13 , a32 = a23 ,
从而, 2a12xy = a12xy + a21yx , 2a13xz = a13xz + a31zx , 2a23yz = a23yz + a32zy .
f = a11x2 + a12xy + a13xz + a21yx + a22y2 + a23yz + a31zx + a32zy + a33z2 = x (a11x + a12y + a13z) + y (a21x + a22y + a23z) + z (a31x + a32y + a33z)
定理
设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四 个条件等价(互为充分必要条件) . (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 .
(3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) .
(4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 ) . 第七章 二次型与二次曲面
方程的左端就是x,y的一个二次齐次多项式. 为了便于 研究这个二次曲线的几何性质, 通过基变换(坐标变换), 把 方程(1)化为不含x,y混合项的标准方程 a'x'2+c'y'2=f 在二次曲面的研究中也有类似的问题. (2)
一、惯性定理
例如
则A与B合同， A与C不具有合同关系.
思考练习
1.写出下列二次型的矩阵
2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3 ;
(2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 x1 x2 2 x1 x4 2 x3 x; (3) f ( x , y , z ) x 2 y 2 7 z 2 2 xy 4 xz 4 yz .
zr
则可化为
f z12 z22
2 z2 z p p 1
zr2 .
这种形式称为二次型的规范形.
定理2 任何二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且 规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所作的可逆线 性变换无关. 例1 化二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x12 3 x2 2 2 x1 x2 4 x1 x3 4 x2 x3
2 f 1 y12 2 y2 2 f 1 z12 2 z2 2 p y2 y p p 1 p 1 2 2 q yq q 1 yq 1
r yr2 (i 0, i 1, 2, r zr2 ( i 0, i 1, 2,
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2 x2 2 3 x3 4 x4
作可逆线性变换
x1 x 2 x3 x4
y1 y3 y2 y4
二次型进一步可化为
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) y12 3 y2 2 2 y3 4 y4
2.化下列二次型为标准型
2 2 2 (1) f 2 x1 3 x2 3 x3 4 x2 x3 ; 2 2 2 (2) f x1 4 x2 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 .
线性代数第六章
2
0
0
x2
1 0 0 x3
因此，f 的矩阵为
1 2 1
A
2
0
0
1 0 0
由于矩阵A的秩为2，从而二次型 f 的秩为2。
定义2 设变量x1,x2,...,xn能用变量y1,y2,...,yn线性地表
示,即存在常数cij (i,j=1,2,…,n),使
x1 c11 y1 c12 y2
定理1 (惯性定理) 对于秩为r 的n元二次型
f X AX
不论用什么可逆线性变换，把f 化为标准形，其中正
平方项的个数p和负平方项的个数q都是唯一确定的， 且p+q=r .
定义1 在二次型f (x1,x2,..., xn)=X'AX的标准形中， 正平方项的个数p称为二次型 f 的正惯性指数，负平 方项的个数q=r-p称为二次型 f 的负惯性指数，它们 的差p-q称为二次型 f 的符号差。
h(0, 0,1) 0
根据定义1，可得以下两个结论：
(结论1) 标准形实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) k1 x12 k2 x22
kn xn2
正定的充要条件是 ki 0 (i 1, 2, , n)
(结论2) 实二次型
f ( x1 , x2 , , xn ) X AX
定义1 实二次型f (x1, x2 ,... , xn)=X'AX，如果对任意
的非零向量X = (x1, x2, ... , xn) ' , 都有 f (x1, x2, ... , xn)>0 (或 f (x1, x2, ... , xn)<0), 则称
二次型 f 为正定（或负定）二次型，其对应的矩 阵A称为正定（或负定）矩阵，记为 A>0（或
4.4 正定二次型
推论
二次型 f (x) xAx 为负定的充分必要条件是：
二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于０，偶数阶
顺序主子式大于０．
例 判断二次型的正定性
f 2x12 2x1x2 2x1x3 2x22 2x2 x3 2x32
2 1 1
解法1 二次型的矩阵为
A
1
2
1
f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值的个数
f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值的个数
f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值的个数 =R(A)
●二次型的规范形
二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理 可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是， 如下形式的标准形是唯一的：
（4）称二次型f (x) xAx是半负定二次型，如果对于
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为半负定矩阵。
例 判定下列二次型的正定性
f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 3x32
正定
f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32 2x1x2 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 3x32
二次型的矩阵为
A
1
2
1
1 1 2
2 1 1
A E 1 2 1 (1 )2 (4 ) 0
1 1 2
解出特征值 1 2 1 0, 3 4 0
故A是正定矩阵，f 是正定二次型。
例 判断二次型的正定性 f 5x2 6 y2 4z2 4xy
任意x 0有f x 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。
二次型的规范形汇总
1 , ,1, dr
,1)
则 f ( X ) Z '( D ' C ' ACD ) Z
2 z1 2 z2 z p p 1
zr2
称之为实二次型 f ( X ) 的规范形.
注意 ①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1， 0三种. ②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与 －1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的.
③规范形是唯一的.
惯性定理：任一实二次型可经过适当的 非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯
一.
定义：实二次型 f ( x1 xn ) 的规范形
2 y1 2 y2 y p p 1
yr2
中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数； 负平方项的个数 r p 称为 f 的负惯性指数； 它们的差 p (r p ) 2 p r 称为 f 的符号差.
nn f ( X ) X ' AX , A ' A R 经过 设实二次型
非退化线性替换 X CY , C R nn 可逆，得标准形
f ( X ) Y '(C ' AC )Y
d y
2 1 1
d p y d p 1 y
2 p
2 p 1
dr y ,
2 r
其中，d i 0, i 1 , 2 再作非退化线性替换
r , r = 秩 ( f ) 秩( A).
1 y1 d z1 1 1 zr , yr dr yr 1 z r 1 yn z n
或 Y=D Z,
(同前 )
1 D diag( , 1
推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为
第15讲 惯性定理正定二次型
T 2 T 1
取
则
C C1C2
CTA C= diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0)
若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的 正、负惯性指数分别相等； 2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1， 1, 0 的排列次序)可以划分为(n +1)(n +2)/2 类。
定理6.6 n元二次型xTAx 正定的充分必要条件是 A 的n个顺序主子式都大于零。
证： 设A=(aij)nn , 则A的k阶顺序主子式为：
a11 a21 k de t A k de t a k1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk
例1 证明:若A是正定矩阵,则A1也是正定矩阵。 证: 正定矩阵是满秩的实对称矩阵,所以A可逆, 且 A1 也是实对称矩阵。 下证A1是正定的. 方法1: 用定义证.
做变换 x Ay ( A可逆， y 0)
x 0, xT A1 x ( x, A1 x)
( Ay, y ) yT Ay 0
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
取
则
C C1C2
CTA C= diag(1, ,1, 1, ,1, 0,,0)
若n阶实对称矩阵A 与B 合同，也称对应的二次型 xT A x 和 xT B x 合同。 注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。 1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的 正、负惯性指数分别相等； 2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1， 1, 0 的排列次序)可以划分为(n +1)(n +2)/2 类。
定理6.6 n元二次型xTAx 正定的充分必要条件是 A 的n个顺序主子式都大于零。
证： 设A=(aij)nn , 则A的k阶顺序主子式为：
a11 a21 k de t A k de t a k1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk
例1 证明:若A是正定矩阵,则A1也是正定矩阵。 证: 正定矩阵是满秩的实对称矩阵,所以A可逆, 且 A1 也是实对称矩阵。 下证A1是正定的. 方法1: 用定义证.
做变换 x Ay ( A可逆， y 0)
x 0, xT A1 x ( x, A1 x)
( Ay, y ) yT Ay 0
⑥
齐次线性方程组⑥有 n个未知量，但方程个数为
t+(n p)=n (p t)<n,故必有非零解。
由于 yp+1==yn=0, 故⑥式非零解中y1,y2,,yp 不全为零 将它们再代入④式得
f = b1y12+ +bt yt2+bt+1yt+12+ + bpyp2 >0
⑦
将⑥的非零解代入⑤式得到 z1,…,zt,…,zn 的一组值 (其中 z1=z2==zt=0) 将它们再代入④式，又得 f= ct+1 zt+12 cp zp2 cr zr20 ⑧
线性代数 6-3 第6章3讲-二次型的标准形(2)
y12 y22 2 y1 y3 ( y1 y3 )2 y22 y32
z1 y1 y3
令
z2
y2
，则有f = z12 z22 z32.
z3
y3
7
=2 x1 x2 x3 2 x22 x32 4x2x3
再按x22 4x2 x3配成完全平方
f x1, x2, x3 2 x1 x2 x3 2 (x2 2x3)2 5x32
令
y1 y2
x1 x2
x2 x3 2x3
，得二次型的标准形为f
= 2 y12
y22 5 y32
设二次型f x1, x2 , x3 2x1x2 4x2x3，利用配方法将其化为标准形.
x1 x2
y1 y1
y2 y2
x3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 z3
y3 z3
X = C1Y，Y = C2Z，
x1
y1
z1
1 1 0
1 0 1
X
=
x2
，Y
=
y2
，Z
f x1, x2 , x3 x1x2 x1x3 x2 x3.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
，
x3 y3
则f x1, x2 , x3 x1x2 +x1x3 x2 x3 ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1+y2 ) y3 ( y1 y2 ) y3
y3 x3
4
利用配方法化二次型为标准形
例3 设二次型f x1, x2 , x3 2x1x2 4x2x3，利用配方法将其化为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
线性代数课件：6-3惯性定理
z2 1
z2 q
z2 q1
z2 r
(6.3.5)
由于X = CZ,有Z=C-1X,从而
Z C 1 (BY ) (C 1B)Y
(6.3.6)
记
g111 g nn
， 式(6.3.6)给出变元z1,…,zn到y1,…,yn的可
逆线性变换
，
z1 g11 y1 g1n yn ,
p＞q,
q (n p) n ( p q)＜n
故它必有非零解.设
y1,, y p , y p1, yn T
k1, , k p , k p1,, kn T
(6.3.9)
， 是(6.3.8)的一个非零解,则由(6.3.8)的后n-p
个方程知
，
k p1 kn 0
将(6.3.9)代入(6.3.5)左边得
有p≤q.
由于p与q的地位是同等的,交换p,q的 位置,用完全相同的方法可证得q≤p,从而 p=q. 证毕.
定义6.3.1 实二次型f的规范形中正平 ， 方项的个数p称为 f 的正惯性指数;负平方 ， 项的个数r-p称为 f 的负惯性指数;二者的
差p-(r-p)=2p-r称为 f 的符号差.
定理6.3.2 实二次型f的标准形中系数 为正的平方项个数是唯一确定的,它等于f 的正惯性指数;系数为负的平方项个数也 是唯一确定的,它等于f的负惯性指数.
矩阵诠释学：
定理6.3.3 任一实对称矩阵A必合同于 一个下述形状的对角矩阵B:
1
1
1
B
，
1
0
0
(6.3.10)
，
其中B的主对角线上1的个数p及－1的个数
r-p (r是A的秩)都是唯一确定的,分别称为
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CT
AC
Ir 0
0 0
推论 设A、B均为n阶复对称矩阵，则 A与B在复 数域上合同的充分必要条件是
r( A) r(B)
2．f 是实二次型
存在可逆实线性替换 X 把 f 化为
b1 y12 bp y2p bp1 y2p1 br yr2
其中 b1,, br 0 。
再令
y1
1 b1
b1
br
0
0
其中 bi 0, i 1,2,, r 。
设 f X T AX 是 n元二次型，且 秩(A) = r：
1．f 是复二次型
存在可逆复线性替换 X CY 把 f 化为
b1 y12 b2 y22 br yr2 其中 bi 0, i 1,2,, r 。
再令
y1
1 b1
15, 16 (13-18题均可作为练习)
§6.3 惯性定理和二次型的规范形
问题 同一个二次型的不同标准形之间有什么类 似之处？
数域上任意一个二次型
f x1, x2,, xn X T AX
都可经可逆线性替换 X CY 化为标准形
b1 y12 b2 y22 bn yn2
于是有
CT AC diag b1, b2, , bn
由合同的性质可知，矩阵 A 的秩等于对角阵 diag ( b1, b2, …, bn ) 的秩，也等于其非零对角元 bi 的个数，即二次型的标准形中非零平方项的个 数。因而，虽然二次型的标准形不唯一，但其中 所含非零平方项的个数是一样的，这个数就是二 次型矩阵 A 的秩，即二次型的秩。
z1 , ,
yr
1 br
zr ,
yr 1
zr 1 , ,
yn
zn
则 f 被进一步变为
z12 z2p z2p1 zr2
称上式为实二次型的规范形。它由 r 和 p 完全确定。
定理（惯性定理） 任意实二次型均可经过适当的 可逆实线性替换化为规范形且规范形唯一。
定理 对任意一个秩为 r 的 n 阶实对称矩阵 A， 一定存在 n 阶可逆实矩阵 C，使得
1,, n 均不为零且至少有一个大于零。不妨设
1 0 。
取 n维列向量 Y0 (1, 0, , 0)T ，则
Y0T
1
Y0 1 0
n
令 X0 QY0 。 因 Y0 , Q 可逆，故 X0
且
X
T 0
AX0
Y0T
(QT
AQ)Y0
Y0T
1
Y0 0
n
作业 习题六(P298)：
对其作可逆线性替换
x1 y1 y2
x2
y2
则
f ( x1, x2 ) y12 2 y22
由此得 f 的正、负惯性指数均为1。
而二次型
g1 X T B1X , g2 X T B2 X , g3 X T B3 X
中，只有 g2 的正、负惯性指数均为1。 所以，f 只能 通过非退化线性变换为 g2 ，即 A 只能与 B2 合同。
定理 任一秩为r的二次型
f ( x1, x2,, xn ) X T AX
均可经过适当的可逆线性替换 X CY 化为 b1 y12 b2 y22 br yr2
其中 bi 0, i 1,2,, r ，X [x1 x2 xn]T ，
Y [ y1 y2 yn]T。
推论 任一秩为r的对称矩阵均合同于一个下列形 式的对角矩阵
推论 任意两个 n 阶实对称矩阵在实数域上合同 的充要条件是，它们有相同的秩和正惯性指数。
例 已知实对称矩阵
A 1 1 1 1
与下述三个对角矩阵
B1 2
, 2
B2 3
, 1
B3 2
1
之一合同， 试确定之。
解 考虑二次型
f ( x1, x2 ) X T AX x12 x22 2x1x2
I p 0 0
CT
AC
0
Ir p 0
0 0 0
其中 p 由 A 唯一确定。
定义 在秩为 r 的实二次型 f 的规范形中，系数 是 1(或 -1)的平方项个数 p (或 r -p)称为 f 的正(或 负)惯性指数，称 2p - r为 f 的符号差。
注 实二次型的任一标准形中，系数大于(小于) 零的平方项个数即为正(负)惯性指数。
例 设 A是n阶实对称矩阵且n为奇数。证明：若
| A | 0 ，则存在n维非零列向量 X 0 ，使
X
T 0
AX0
0
证明 考虑 n元二次型
f ( x1, x2,, xn ) X T AX
用正交替换 X QY 把其化为标准型
1 y12 2 y22 n yn2
则
Q 1
AQ
1
n
因 | A | 1 n ，| A | 0 ，且 n为奇数，所以
z1,, yr
1 br
zr ,
yr 1
zr1,, yn
zn
则 f 被进一步变为
z12 z22 zr2 称上式为复二次型的规范形。它由二次型的秩 r 唯一 确定。
定理 任意复二次型均可经过适当的可逆复线性 替换化为规范形且规范形唯一。
定理 对任意一个秩为r的n阶复对称矩阵A，必存
在n阶可逆复矩阵C ，使得