长春市高考数学二模试卷(I)卷

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长春市高考数学二模试卷(文科)(I)卷

长春市高考数学二模试卷（文科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·石景山模拟) 已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A . {x|x≥0}B . {x|x≤1}C .D . {x|0≤x＜ }2. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 复数的虚部是（）A . iB .C . - iD . -3. （2分） (2016高一下·双流期中) 已知向量 =（x，1）， =（1，﹣1），若∥，则x=（）A . ﹣1B . 1C . ±1D . 04. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件“三次取到的球颜色都不相同”，则（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·虎林模拟) 设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A . 14B . 16C . 17D . 196. （2分）(2017·东城模拟) 设，是非零向量，则“ ，共线”是“| + |=| |+| |”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高三下·赣州期中) 如图所示的程序框图，若输入x，k，b，p的值分别为1，﹣2，9，3，则输出x的值为（）A . ﹣29B . ﹣5C . 7D . 198. （2分） (2016高二上·蕉岭开学考) 已知向量 =（sinα，cos2α）， =（1﹣2sinα，﹣1），α∈（，），若• =﹣，的值为（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·临川模拟) 已知圆（x﹣1）2+y2= 的一条切线y=kx与双曲线C：﹣ =1（a＞0，b＞0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1，）B . （1，2）C . （，+∞）D . （2，+∞）10. （2分）下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A .B .C .D .11. （2分）设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一下·北京期中) 下面给出的关系式中正确的个数是（）① • =② • = •③ 2=| |2④（• ） = （• ）⑤| • |≤ • ．A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知α为钝角，且cos（+α）=﹣，则sin2α=114. （1分） (2018高二上·无锡期末) 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是________．15. （1分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的曲线是一段半圆弧，则这个几何体的表面积是________．16. （1分）设函数f（x）= ，函数y=f[f（x）]﹣的零点个数为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18. （20分）对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下．寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图及频率分布折线图；（3）估计元件寿命在100～400h以内的在总体中占的比例；（4）从频率分布直方图可以看出电子元件寿命的众数，平均数和中位数是多少？19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥CD，∠BCD=90°．（1）求证：BC⊥平面PDC；（2）求点A到平面PBC的距离．20. （10分） (2015高二上·城中期末) 已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．21. （15分） (2016高三上·厦门期中) 已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当n∈N*，且n≥2时， + +…+ ＞．22. （5分）(2017·成安模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（I）写出直线l的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（II）直线l与曲线C2交于A、B两点，求|AB|．23. （5分）设f（x）=|x|+2|x﹣a|（a＞0）．（I）当a=l时，解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、答案：略7-1、答案：略8-1、答案：略9-1、答案：略10-1、11-1、答案：略12-1、答案：略二、填空题 (共4题；共4分)13-1、答案：略14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略18-4、答案：略19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略22-1、23-1、答案：略。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41，故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可．本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题．解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错，甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误，故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数，则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ，则有cosA =12，则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ，则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0，故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5．故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ．故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)．设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )，则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则．因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。

2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷含解析

2025届吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高考数学二模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =3．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE 14SB =.，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（）A ．222B ．53C ．1316D ．1134．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．515．向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()cos ,1b α=，且//a b ，则cos 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（） A ．13B ．223-C ．23-D ．13-6．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（） A ．13B ．4C ．2D ．37．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（） A ．1721B ．1928C ．79D ．23289．已知复数z 满足()1i +z =2i ，则z =（）A ．2B ．1C ．22D ．1210．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(1,2⎤⎦D ．(]1,211．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（） A ．9-B ．1C ．9-或1D ．1-或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)

吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·湖北模拟) 函数的图像大致为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·龙岩月考) 已知集合，，则等于（）A .B .C .D .3. （2分）若函数为奇函数，则a=（）A .B .C .D . 14. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±25. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A .B .C .D . 36. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A . ﹣B . ﹣C .D .7. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）A .B .C . 6D .8. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），直到结束为止，则输出的s=（）A . 9B . 27C . 32D . 1039. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）A .B .C .D . 36π10. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）A . α＞βB . α＜βC . α+β＞0D . α2＞β211. （2分）(2017·呼和浩特模拟) 已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1 ， F2 ，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·长宁模拟) 如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）A . （﹣∞， ]B . [3，+∞）C . [﹣2 ，2 ]D . [﹣3，3]二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）关于函数，给出下列命题：①若函数f(x)是R上周期为3的偶函数，且满足f(1)＝1，则f(2)－f(－4)＝0；②若函数f(x)满足f(x＋1)f(x)＝2 017，则f(x)是周期函数；③若函数g(x)＝是偶函数，则f(x)＝x＋1；④函数y＝的定义域为 .其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)14. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则| + |=________．15. （2分）(2012·湖南理) 函数f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．（1）若φ= ，点P的坐标为（0，），则ω=________；（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．16. （1分）(2017·呼和浩特模拟) 天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为________年．三、解答题 (共7题；共70分)17. （15分）(2017·白山模拟) 已知函数f（x）=lnx+bx﹣c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若在区间内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．18. （10分） (2018高三上·辽宁期末) 在如图所示的四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面PAB,且分别为的中点， .证明：（1）平 ;（2）若，求二面角的余弦值.19. （10分）(2020·扬州模拟) 某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为；②架面与架底平行，且架面三角形与架底三角形均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点分三根细钢管上、下两段之比均为 .定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值.20. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.21. （5分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①讨论f（x）的单调性；②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0 ，证明f′（x0）＜0．22. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．23. （10分）(2017·呼和浩特模拟) 已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤ ．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={xx(x −2)≤0}，B ={−1,0，1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,0，3}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {0,2，3} 2. 若z =1+(1−a)i(a ∈R)，|z|=√2，则a =( )A. 0或2B. 0C. 1或2D. 1 3. 下列与函数y =1√x 定义域和单调性都相同的函数是( )A. y =2log 2xB. y =log 2(12)xC. y =log 21xD. y =x 144. 已知等差数列{a n }中，3a 5=2a 7，则此数列中一定为0的是( ) A. a 1 B. a 3 C. a 8 D. a 105. 若单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 夹角为60°，a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，则|a⃗ |=( ) A. 4 B. 2 C. √3 D. 16. 《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高数二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如右图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是(注：雷达图(RadarCℎart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderCℎart)，可用于对研究对象的多维分析)( )A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲7. 命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立：q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x 为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. (￢p)∨(￢q)C. p ∧(￢q)D. (￢p)∧q8. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，则函数y =f(x)−3的零点个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2−4y=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2√23D. 2√3311.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=n+2nS n (n∈N∗)，则S n=()A. 2n−1+1B. n⋅2nC. 3n−1D. 2n⋅3n−112.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC//ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4.正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约条条件{2x+y≥2y−2≤02x−y≤2，则z=x+y的最大值为______14.曲线f(x)=2sinx在x=π3处的切线与直线ax+y−1=0垂直，则a=______．15.在半径为2的圆上有A，B两点，且AB=2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为______．16.三棱锥A−BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD=2√2，三棱锥A−BCD体积的最大值为______；三棱锥A−BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sinBsin2A=√2cosA，cosB=13．(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)若AC=2，求AB长．18.2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P(K2≥x)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1=2AB=4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．(Ⅰ)求证：A1B⊥GM；(Ⅱ)求点A1到平面MNG的距离．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM//AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21. 已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．(Ⅰ)若x 1为f(x)的极值点，且f(x 1)=f(x 2)(x 1≠x 2)，求2x 1+x 2的值； (Ⅱ)求证：当m >0时，f(x)有唯一的零点．22. 已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)(Ⅰ)求C 1和C 2的普通方程；(Ⅱ)过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M(M 异于O)，交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．23. 已知函数f(x)=|ax +1|+|x −1|．(Ⅰ)若a =2，解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若当x >0时，f(x)>1恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|0≤x ≤2}； ∴A ∩B ={0,1，2}．故选：C ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 2.答案：A解析：解：因为z =1+(1−a)i(a ∈R)，∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒(1−a)2=1⇒a =0或2；故选：A ．根据复数求模公式计算即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道常规题． 3.答案：C解析：解：y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x|x >0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x|x >0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x|x ≥0}．故选：C ．可看出，y =√x 在定义域{x|x >0}上单调递减，然后可判断选项A 的函数在定义域{x|x >0}上单调递增，而选项B ，D 的函数的定义域都不是{x|x >0}，从而得出选项A ，B ，D 都错误，只能选C ．本题考查了幂函数、一次函数和对数函数的单调性，对数函数和指数函数的定义域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． 4.答案：A解析：解：∵等差数列{a n }中，3a 5=2a 7， ∴3(a 1+4d)=2(a 1+6d)，化为：a 1=0．则此数列中一定为0的是a 1．故选：A ．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.答案：C解析：解：由a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ ，得a ⃗ 2=(2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ )2=4e 1⃗⃗⃗ 2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 2=4×1−4×1×1×cos60°+1=3，所以|a ⃗ |=√3．故选：C ．根据平面向量的数量积，计算模长即可．本题考查了利用平面向量的数量积求模长问题，是基础题． 6.答案：D解析：解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 7.答案：A解析：解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin(x +x 0)=−sinx 恒成立，当x 0=π时，对任意实数x ，使得sin(x +π)=−sinx 恒成立，故P 为真命题；命题q ：∀a >0，f(x)=ln a+xa−x ，有a+xa−x >0，解可得−a <x <a ，函数的定义域为(−a,a)，关于原点对称，有f(−x)=ln a+xa−x =−ln a+xa−x =−f(x)，即函数f(x)为奇函数，故其为真命题；则p ∧q 为真命题，(￢p)∨(￢q)、P ∧(￢q)、(￢p)∧q 为假命题；故选：A ．根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f(x)=ln a+xa−x 在a >0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及全称命题和特称命题的真假的判断，属于基础题． 8.答案：B解析：解：因为函数f(x)={|lnx|,x >0−2x(x +2),x ≤0，且x ≤0时f(x =−2x(x +2)=−2(x +1)2+2；所以f(x)的图象如图，由图可得：y =f(x)与y =3只有两个交点；即函数y =f(x)−3的零点个数是2；故选：B ．画出f(x)的图象，结合图象求出y =f(x)与y =3的交点个数，即可判断结论．本题考查函数的零点与方程根的关系，作图是难点，属于中档题． 9.答案：C解析：解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足，故选：C ．由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．本题主要考查两角和差的三角公式，属于基础题． 10.答案：D解析：解：圆x 2+y 2−4y =0化为标准方程为：x 2+(y −2)2=4， ∴圆心为(0,2)，半径r =2，∵渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay =0， ∴√a 2+b 2=√3，即2ac =√3∴离心率e =c a=2√33，故选：D ．先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2−4y =0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．本题主要考查了双曲线的性质，以及直线与圆的位置关系，是中档题． 11.答案：B解析：解：法一：排除法：a 2=6，a 3=16，验证知B 对．法二：∵a n+1=n+2nS n (n ∈N ∗)，∴S n+1−S n =n+2nS n ,化简得：S n+1n+1 =2Sn n， ∴数列{Snn}是以2为首项，2为公比的等比数列， S n n=2n ,S n =n ⋅2n ．故选：B ．根据a n+1=S n+1−S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ．本题主要考查等比数列的定义与通项公式的求解，a n 与S n 的关系是解决本题的关键． 12.答案：C解析：解：如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，则EG//D 1B 1，而CA 1⊥平面EFG ，所以AC 1⊥EG ；故①正确；对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，∴CM//ED ，因此GC//ED 不正确；③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，∴B 1F 与BC 不垂直，因此B 1F ⊥平面BGC 1不成立．④∵D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.∴EF 和BB 1成角为π4.正确．正确命题的个数是2．故选：C ．如图对于①，连接A 1C ，B 1D 1，可得EG//D 1B 1，又CA 1⊥平面EFG ，即可判断出正误．对于②，取B 1C 1的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，进而判断出正误； ③由于B 1F 与B 1C 1不垂直，B 1C 1//BC ，可得B 1F 与BC 不垂直，即可判断出正误． ④由于D 1D//B 1B ，EF 和DD 1所角为π4.即可判断出正误．本题考查了空间位置关系、平行与垂直的判定与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 13.答案：4解析：解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图：化目标函数z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时，z 取得最大值，由{y =22x −y =2，解得A(2,2)时，目标函数有最大值为z =4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.答案：1解析：解：∵f′(x)=2cosx ， ∴f′(π3)=2cos π3=1，∵切线与直线ax +y −1=0垂直，所以−a =−1 ∴a =1．故答案为：1．根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a 的值．本题考查了利用导数求切线方程的基本思路，利用切点处的导数等于切线斜率是本题的切入点．15.答案：16解析：解：由∠ABQ =90°，∠BAP =90°，延长BO 到P ，AO 到Q ；当点P 位于劣弧PQ 之间时，△ABP 为锐角三角形，因为AO =OB =AB ；所以：∠AOB =∠POQ =60°；所以其概率为：P =60°360∘=16．故答案为：16．先找到等于90°的分界点，进而求得结论．本题主要考查几何概型，此题涉及到弧长问题，属于基础题目．16.答案：2√2 4π3解析：解：当BD 过球心，所以∠BAD =∠BCD =90°，所以AO ⊥面BCD ，V A−BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC =CD 时体积最大，因为BD =2√2，OA =√2，所以BC =CD =2，所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A −BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB =AC =√OC 2+OA 2=2=BC ，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =√32，所以r =√3，所以外接圆的面积为S =πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3．由于BD 过球心，所以可得∠BAD =∠BCD =90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC =CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．本题考查平面的基本性质及其外接球的半径与棱长的关系，面积公式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵sinBsin 2A =√2cosA 中，sinB =2√23， ∴2sin 2A =3cosA ，即2(1−cos 2A)=3cosA ，解得cosA =12，A =π3．(2)∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB ，∴AB =ACsinB ⋅sinC =√64+1．解析：(1)由已知结合同角平方关系可求cos A ，进而可求A ； (2)由已知结合和差角公式可求sin C ，然后结合正弦定理可求．本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题．18.答案：解：(Ⅰ)由图可知，(0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005)×10=1，解得m =0.025；擅长不擅长合计男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 3070 100K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762<6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．解析：(Ⅰ)由小矩形面积之和为1即可求出m ；(Ⅱ)根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．本题主要考查频率分布直方图与独立性检验的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：AB ⊥BC ，BC ⊥BB 1，可得CB ⊥平面ABB 1A 1， M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，可得MN//BC ，可得MN ⊥平面ABB 1A 1，又A 1B ⊥NG ，由三垂线定理可得A 1B ⊥GM ；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，由(Ⅰ)可得A 1B ⊥平面MNG ，在△BNE 中，AA 1=2AB =4，tan∠EBN =12，则cos∠EBN =√5，可得BE =4√55，由BA 1=2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．解析：(1)运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；(Ⅱ)设A 1B 与GN 交于点E ，易得A 1B ⊥平面MNG ，即A 1到平面MNG 的距离为A 1E ，由解三角形的知识求得所求距离．本题考查线面垂直的判定和性质的运用，考查点到平面的距离的求法，注意运用转化思想和平面几何的性质，属于中档题．20.答案：解：(1)已知点P 在椭圆上，设P(x 0,y 0)，即有x 02a 2+y 02b 2=1，又k AP k BP =y 0x+a ⋅y 0x−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c =2，可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，联立直线AP 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−12=0，由x A =−2，可得x P =6−8k 23+4k 2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：(3+4k 2)x 2−12=0，即x M 2=6−8k 23+4k 2，所以|AP|⋅|AQ||OM|2=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M|2=|x p +2|⋅|0+2||x M |2=2．即|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，且定值为2．解析：(1)由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a =−34，又c =1，再结合a 2=b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；(2)设直线AP 的方程为：y =k(x +2)，则直线OM 的方程为y =kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．本小题考查直线与圆锥曲线的位置关系问题等知识．21.答案：解：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得(2x 1+x 2+3)(x 1−x 2)=0．2x 1+x 2=−3.(6’)(2)证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，可知ℎ(x)在(−∞,−2)和(0,+∞)上单调递增，在[−2,0]上单调递减，又ℎ(−2)=43，ℎ(0)=0；−m(x +1)为过点(−1,0)的直线，又m >0，则−m <0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．(12分)解析：(1)由题可知f(x 1)=f(x 2)，且f′(x 1)=0，又f′(x)=x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．(2)令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令ℎ(x)=13x 3+x 2，ℎ′(x)=x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程为(x −2)2+y 2=4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4(t 为参数)，得{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y =8； (Ⅱ)如图，圆C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=8，即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=4|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4<α<π2，∴−π4<2α+π4<5π4．∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1,1+√2]，则|ON||OM|的最小值为4√2+1=4(√2−1)．解析：(Ⅰ)由{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4为{x =8−√22t y =√22t，消去参数t ，可得C 2的普通方程；(Ⅱ)分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ=α(−π4<α<π2)，可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，考查计算能力，是中档题．23.答案：解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|2x +1|+|x −1|={3x,x >1x +2,−12≤x ≤1−3x,x <−12，则f(x)<9等价为{x >13x <9或{−12≤x ≤1x +2<9或{x <−12−3x <9，解得1<x <3或−12≤x ≤1或−3<x <−12，综上可得原不等式的解集为(−3,3)；(Ⅱ)当x >0时，f(x)>1恒成立，即为1<f(x)min，当a=0时，f(x)=|x−1|，其最小值为f(1)=0，不符题意；当a<0，即−a>0时，f(x)=|ax+1|+|x−1|=−a|x+1a |+|x−1|=(−a−1)|x+1a|+(|x−1|+|x+1a|)，当−a−1≥0，f(x)有最小值，且为|1+1a |，又|1+1a|>1不恒成立；当a>0，x>0时，f(x)=ax+1+|x−1的最小值为f(1)=a+1|>1恒成立，综上可得，a的范围是(0,+∞)．解析：(Ⅰ)当a=2时，f(x)=|2x+1|+|x−1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；(Ⅱ)由题意可得1<f(x)min，(x>0)，讨论a=0，a<0，a>0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

吉林省长春市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(强化卷)模拟试卷

吉林省长春市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(强化卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题双曲线的离心率大于的充分必要条件是A．B．C．D．第(2)题已知数列中，，当时，，，成等差数列.若，那么（）A．B．C．D．第(3)题为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（）A．30B．25C．20D．15第(4)题若复数满足 (为虚数单位)，则的共轭复数为A．B．C．D．第(5)题设集合，则（）A．B．C．D．第(6)题如图，这是函数的部分图象，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．第(7)题已知为锐角，若，则（）A．B．C．D．第(8)题半径为2的圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是（）A．1B．2C．4D．8二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．的最小正周期为B．的最大值为2C ．在区间上单调递增D．为偶函数第(2)题定义在上的函数满足在区间内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是（）A．的最小正周期为B ．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称C．图象的一个对称中心为D ．在区间上单调递增第(3)题下列命题中正确的命题是（）A．，使；B．若，则；C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为___________.第(2)题已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.第(3)题已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________.四、解答题（本题包含5小题，共77分。

长春市高考数学二模试卷(理科)(I)卷

A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2015高三上·保定期末) 已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣ay2=a的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018·河南模拟) 定义表示不超过的最大整数，，例如，，执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）
A . π+2
B . π+
C . 2π+2
D . 2π +
11. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）
（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．
长春市高考数学二模试卷（理科）（I）卷
姓名:________班级:______；共24分)
1. （2分），，则
A . (0,1)
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·濮阳期末) 设z= ，则 =（）
A . ﹣1+3i
B . ﹣1﹣3i
（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；
（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；

吉林省长春市汽车经济开发区第六中学2024年高三第二次高考模拟考试数学试题试卷

吉林省长春市汽车经济开发区第六中学2024年高三第二次高考模拟考试数学试题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A ．83πB ．3πC ．(833)πD ．(16312)π2．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=3．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙4．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =A ．{|34}x x <<B ．{|4x x <或6}x >C ．{|21}x x -<<-D ．{|14}x x -<<5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（）A ．22B ．32C ．23D ．336．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=（）A ．16B ．14C ．12D ．87．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+8．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（）A ．14B ．15C ．16D ．179．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>11．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（） A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-12．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林省长春市2020届高考数学二模试卷(文科) (解析版)

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3} 2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y=1√x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x144．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量e1→，e2→夹角为60°，a→=2e1→−e2→，则|a→|＝（）A．4B．2C．√3D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π310．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（） A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√3311．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣112．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别为棱A 1D 1，D 1D ，A 1B 1的中点，给出下列命题：①AC 1⊥EG ；②GC ∥ED ；③B 1F ⊥平面BGC 1；④EF 和BB 1成角为π4．正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为．14．曲线f （x ）＝2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y ﹣1＝0垂直，则a ＝． 15．在半径为2的圆上有A ，B 两点，且AB ＝2，在该圆上任取一点P ，则使得△PAB 为锐角三角形的概率为．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，sin B sin 2A =√2cos A ，cos B =13．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若AC ＝2，求AB 长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥BC ，AA 1＝2AB ＝4，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，G 为棱AA 1上一点，若A 1B ⊥NG ．（Ⅰ）求证：A 1B ⊥GM ；（Ⅱ）求点A 1到平面MNG 的距离．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值；（Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos 3π4y =tsin3π4（t 为参数）．（Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|=√2，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|=√12+(1−a)2=√2⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y=x定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2log2x B．y＝log2（12）xC．y＝log21xD．y＝x14【分析】可看出，y=1√x在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B ，D 都错误，只能选C ．解：y =1√x {x |x ＞0}上单调递减，y =2log 2x =x 在定义域{x |x ＞0}上单调递增，y =log 2(12)x 的定义域为R ，y =log 21x 在定义域{x |x ＞0}上单调递减，y =x 14的定义域为{x |x ≥0}．故选：C ．4．已知等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是（） A ．a 1B ．a 3C ．a 8D ．a 10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7， ∴3（a 1+4d ）＝2（a 1+6d ），化为：a 1＝0．则此数列中一定为0的是a 1．故选：A ．5．若单位向量e 1→，e 2→夹角为60°，a →=2e 1→−e 2→，则|a →|＝（） A ．4B ．2C ．√3D ．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可．解：由a →=2e 1→−e 2→，得a →2=(2e 1→−e 2→)2=4e 1→2−4e 1→•e 2→+e 2→2=4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3，所以|a →|=√3．故选：C ．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D正确，故选：D．7．命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立：q ：∀a ＞0，f （x ）＝lna+x a−x为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A ．p ∧qB ．（￢p ）∨（￢q ）C ．p ∧（￢q ）D ．（￢p ）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P 为真命题，分析函数f （x ）＝ln a+x a−x在a ＞0时的奇偶性，可得q 为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p ：存在实数x 0，对任意实数x ，使得sin （x +x 0）＝﹣sin x 恒成立，当x 0＝π时，对任意实数x ，使得sin （x +π）＝﹣sin x 恒成立，故P 为真命题；命题q ：∀a ＞0，f （x ）＝ln a+x a−x，有a+x a−x＞0，解可得﹣a ＜x ＜a ，函数的定义域为（﹣a ，a ），关于原点对称，有f （﹣x ）＝lna+x a−x=−lna+x a−x=−f （x ），即函数f （x ）为奇函数，故其为真命题；则p ∧q 为真命题，（￢p ）∨（￢q ）、P ∧（￢q ）、（￢p ）∧q 为假命题；故选：A ．8．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】画出f （x ）的图象，结合图象求出y ＝f （x ）与y ＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2；所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点；即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2；故选：B ．9．已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，则角α＝（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【分析】由题意可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且sin(α+π3)sin(α−π3)=tan(α+π3)，可得sin(α−π3)=cos(α+π3)，将各个选项中的值代入检验，只有α=π4 满足，故选：C ．10．若双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A ．√2B ．√3C ．2√23D ．2√33【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x 2+y 2﹣4y ＝0化为标准方程为：x 2+（y ﹣2）2＝4， ∴圆心为（0，2），半径r ＝2，∵渐近线被圆x 2+y 2﹣4y ＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d =√r 2−12=√3，又渐近线方程为bx ±ay ＝0， ∴√a 22=√3，即2ac=√3∴离心率e =c a =2√33，故选：D ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)，则S n ＝（） A ．2n ﹣1+1B ．n •2nC ．3n ﹣1D ．2n •3n ﹣1【分析】根据a n +1＝S n +1﹣S n ，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n ．解：法一：排除法：a 2＝6，a 3＝16，验证知B 对．法二：∵a n+1=n+2n S n(n ∈N ∗)， ∴S n+1−S n =n+2n S n ，化简得：S n+1n+1=2Sn n， ∴数列{S n n}是以2为首项，2为公比的等比数列，S n n=2n ，S n =n ⋅2n ．故选：B ．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为π4．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】如图对于①，连接A1C，B1D1，可得EG∥D1B1，又CA1⊥平面EFG，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，可得B1F与BC不垂直，即可判断出正误．④由于D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A1C，B1D1，则EG∥D1B1，而CA1⊥平面EFG，所以AC1⊥EG；故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM ∥ED，因此GC∥ED不正确；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，∴B1F与BC不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立．④∵D1D∥B1B，EF和DD1所角为π4．∴EF和BB1成角为π4．正确．正确命题的个数是2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2，则z ＝x +y 的最大值为 4 ．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x ，y 满足约条条件{2x +y ≥2y −2≤02x −y ≤2作出可行域如图：化目标函数z ＝x +y 为y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过A 时，z 取得最大值，由{y =22x −y =2，解得A （2，2）时，目标函数有最大值为z ＝4．故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在x=π3处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴f′(π3)=2cosπ3=1，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为16．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P=60°360°=16．故答案为：16．16．三棱锥A ﹣BCD 的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD ＝2√2，三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 √23；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为4π3．【分析】由于BD 过球心，所以可得∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AO ⊥面BCD ，所以当BC ＝CD 时体积最大，这时三角形ABC 为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD 过球心，所以∠BAD ＝∠BCD ＝90°，所以AO ⊥面BCD ，V A ﹣BCD =13⋅12BC ⋅CD ⋅OA ，当BC ＝CD 时体积最大，因为BD ＝2√2，OA =√2，所以BC ＝CD ＝2，所以最大体积为：13⋅12⋅2⋅2⋅√2=2√23；三棱锥A ﹣BCD 体积最大时，三角形ABC 中，AB ＝AC =√OC 2+OA 2=2＝BC ，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2r =232，所以r =3，所以外接圆的面积为S ＝πr 2=4π3，故答案分别为：2√23，4π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A=√2cos A，cos B=1 3．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合和差角公式可求sin C，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵sinBsin2A=√2cosA中，sinB=2√23，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得cosA=12，A=π3．（2）∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32⋅13+12⋅2√23=√3+2√26由正弦定理得ABsinC =ACsinB，∴AB=ACsinB⋅sinC=√64+1．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生 30 女生 50 合计100P （K 2≥x ）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m ；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K 2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m +0.030+0.005）×10＝1，解得m ＝0.025；（Ⅱ）擅长不擅长合计男性 20 30 50 女性104050合计3070100K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(800−300)250×50×30×70≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，易得A1B⊥平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB⊥BC，BC⊥BB1，可得CB⊥平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MN∥BC，可得MN⊥平面ABB1A1，又A1B⊥NG，由三垂线定理可得A1B⊥GM；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，由（Ⅰ）可得A1B⊥平面MNG，在△BNE中，AA1＝2AB＝4，tan∠EBN=12，则cos∠EBN=5，可得BE =4√55，由BA 1＝2√5，则A 1E =6√55，可知A 1到平面MNG 的距离为A 1E =6√55．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，焦距为2，点P 为椭圆上异于A ，B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为−34．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作OM ∥AP 交椭圆于点M ，试证明|AP|⋅|AQ||OM|2为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA 和PB 的斜率之积为−34可得−b 2a2=−34，又c ＝1，再结合a 2＝b 2+c 2从而求出椭圆C 的方程；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，分别于椭圆方程联立，求出点P ，点M 的坐标，代入化简得|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．解：（1）已知点P 在椭圆上，设P （x 0，y 0），即有x 02a +y 02b =1，又k AP k BP=y 0x 0+a ⋅y 0x 0−a =y 02x 02−a 2=−b 2a 2=−34，且2c ＝2，可得椭圆的方程为x 24+y 23=1；（2）设直线AP 的方程为：y ＝k （x +2），则直线OM 的方程为y ＝kx ，联立直线AP 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x 2+16k 2x +16k 2﹣12＝0，由x A ＝﹣2，可得x P =6−8k 23+4k2，联立直线OM 与椭圆的方程可得：（3+4k 2）x2﹣12＝0，即x M2=6−8k 23+4k2，所以|AP|⋅|AQ||OM|=|x p −x A |⋅|x Q −x A ||x M |=|x p +2|⋅|0+2||x M |=2．即|AP|⋅|AQ||OM|为定值，且定值为2．21．已知函数f(x)=13x 3+x 2+mx +m ．（Ⅰ）若x 1为f （x ）的极值点，且f （x 1）＝f （x 2）（x 1≠x 2），求2x 1+x 2的值；（Ⅱ）求证：当m ＞0时，f （x ）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得．（2）令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，可得13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，利用单调性可得：13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．解：（1）由题可知f （x 1）＝f （x 2），且f ′（x 1）＝0，又f '（x ）＝x 2+2x +m ，即得{13x 13+x 12+mx 1+m =13x 23+x 22+mx 2+m x 12+2x 1+m =0，化简并分解因式可得（2x 1+x 2+3）（x 1﹣x 2）＝0． 2x 1+x 2＝﹣3．（6’）（2）证明：令f(x)=13x 3+x 2+mx +m =0，则13x 3+x 2=−m(x +1)，令h(x)=13x 3+x 2，h '（x ）＝x 2+2x ，可知h （x ）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又h(−2)=43，h （0）＝0；﹣m （x +1）为过点（﹣1，0）的直线，又m ＞0，则﹣m ＜0，因此13x 3+x 2=−m(x +1)有且只有一个交点，即f(x)=13x 3+x 2+mx +m 有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =8+tcos3π4y =tsin3π4（t 为参数）．（Ⅰ）求C 1和C 2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线C 1于点M （M 异于O ），交曲线C 2于点N ，求|ON||OM|的最小值．【分析】（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程；化{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4为{x =8−√22t y =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程；（Ⅱ）分别写出圆C 1的极坐标方程与直线C 2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），可得|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），消去参数α，可得C 1的参数方程为（x ﹣2）2+y 2＝4；由{x =8+tcos 3π4y =tsin 3π4（t 为参数），得{x =8−√22ty =√22t ，消去参数t ，可得C 2的普通方程为x +y ＝8；（Ⅱ）如图，圆C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线C 2的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ＝8，即ρ=8cosθ+sinθ，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（−π4＜α＜π2），则|ON||OM|=8|cosα+sinα|4|cosα|=2|cos 2α+sinαcosα|=4|sin2α+cos2α+1|=|√2sin(2α+π4)+1|．∵−π4＜α＜π2，∴−π4＜2α+π4＜5π4． ∴|√2sin(2α+π4)+1|∈[1，1+√2]，则|ON||OM|的最小值为√2+1=4(√2−1)．一、选择题23．已知函数f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|．（Ⅰ）若a ＝2，解关于x 的不等式f （x ）＜9；（Ⅱ）若当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f （x ）min ，（x ＞0），讨论a ＝0，a ＜0，a ＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＝|2x +1|+|x ﹣1|={3x ，x ＞1x +2，−12≤x ≤1−3x ，x ＜−12，则f （x ）＜9等价为{x ＞13x ＜9或{−12≤x ≤1x +2＜9或{x ＜−12−3x ＜9，解得1＜x ＜3或−12≤x ≤1或﹣3＜x ＜−12，综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）；（Ⅱ）当x ＞0时，f （x ）＞1恒成立，即为1＜f （x ）min ，当a ＝0时，f （x ）＝|x ﹣1|，其最小值为f （1）＝0，不符题意；当a ＜0，即﹣a ＞0时，f （x ）＝|ax +1|+|x ﹣1|＝﹣a |x +1a|+|x ﹣1|＝（﹣a ﹣1）|x +1a|+（|x ﹣1|+|x +1a|），当﹣a ﹣1≥0，f （x ）有最小值，且为|1+1a|，又|1+1a|＞1不恒成立；当a ＞0，x ＞0时，f （x ）＝ax +1+|x ﹣1的最小值为f （1）＝a +1|＞1恒成立，综上可得，a 的范围是（0，+∞）．。

2020年吉林省长春市高考(文科)数学第二次模拟测试试卷含解析

2020年高考（文科）数学二模试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．13．下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x4．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a105．若单位向量，夹角为60°，＝2﹣，则||＝（）A．4B．2C．D．16．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲7．命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立：q：∀a＞0，f （x）＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q 8．已知函数，则函数y＝f（x）﹣3的零点个数是（）A．1B．2C．3D．49．已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．10．若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，，则S n＝（）A．2n﹣1+1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣112．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题13．若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为14．曲线f（x）＝2sin x在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．16．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A＝cos A，cos B＝．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．21．已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，3}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{0，2，3}【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0≤x≤2}；∴A∩B＝{0，1，2}．故选：C．2．若z＝1+（1﹣a）i（a∈R），|z|＝，则a＝（）A．0或2B．0C．1或2D．1【分析】根据复数求模公式计算即可．解：因为z＝1+（1﹣a）i（a∈R），∴|z|＝＝⇒（1﹣a）2＝1⇒a＝0或2；故选：A．3．下列与函数y＝定义域和单调性都相同的函数是（）A．y＝2B．y＝log2（）xC．y＝log2D．y＝x【分析】可看出，在定义域{x|x＞0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x＞0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x＞0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．解：在定义域{x|x＞0}上单调递减，在定义域{x|x＞0}上单调递增，的定义域为R，在定义域{x|x＞0}上单调递减，的定义域为{x|x≥0}．故选：C．4．已知等差数列{a n}中，3a5＝2a7，则此数列中一定为0的是（）A．a1B．a3C．a8D．a10【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．解：∵等差数列{a n}中，3a5＝2a7，∴3（a1+4d）＝2（a1+6d），化为：a1＝0．则此数列中一定为0的是a1．故选：A．5．若单位向量，夹角为60°，＝2﹣，则||＝（）A．4B．2C．D．1【分析】根据平面向量的数量积，计算模长即可．解：由＝2﹣，得＝＝4﹣4•+＝4×1﹣4×1×1×cos60°+1＝3，所以||＝．故选：C．6．《高中数学课程标准》（2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart），可用于对研究对象的多维分析）（）A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲【分析】先对图表数据进行分析，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．解：对于A选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A错误，对于B选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B错误，对于C选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C错误，对于D选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D正确，故选：D．7．命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立：q：∀a＞0，f （x）＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【分析】根据题意，由诱导公式分析可得P为真命题，分析函数f（x）＝ln在a＞0时的奇偶性，可得q为真命题；由复合命题的真假判断方法分析可得答案．解：根据题意，命题p：存在实数x0，对任意实数x，使得sin（x+x0）＝﹣sin x恒成立，当x0＝π时，对任意实数x，使得sin（x+π）＝﹣sin x恒成立，故P为真命题；命题q：∀a＞0，f（x）＝ln，有＞0，解可得﹣a＜x＜a，函数的定义域为（﹣a，a），关于原点对称，有f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，故其为真命题；则p∧q为真命题，（￢p）∨（￢q）、P∧（￢q）、（￢p）∧q为假命题；故选：A．8．已知函数，则函数y＝f（x）﹣3的零点个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】画出f（x）的图象，结合图象求出y＝f（x）与y＝3的交点个数，即可判断结论．解：因为函数，且x≤0时f（x＝﹣2x（x+2）＝﹣2（x+1）2+2；所以f（x）的图象如图，由图可得：y＝f（x）与y＝3只有两个交点；即函数y＝f（x）﹣3的零点个数是2；故选：B．9．已知α为锐角，且，则角α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，再将各个选项中的值代入检验，可得结论．解：由条件已知α为锐角，且，可得，将各个选项中的值代入检验，只有α＝满足，故选：C．10．若双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先把圆的方程化为坐标方程，得到圆心坐标和半径，由渐近线被圆x2+y2﹣4y ＝0截得的弦长为2，可得圆心到渐近线距离d＝＝，再利用点到直线距离公式即可求出离心率的值．解：圆x2+y2﹣4y＝0化为标准方程为：x2+（y﹣2）2＝4，∴圆心为（0，2），半径r＝2，∵渐近线被圆x2+y2﹣4y＝0截得的弦长为2，∴圆心到渐近线距离d＝＝，又渐近线方程为bx±ay＝0，∴，即∴离心率e＝，故选：D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，，则S n＝（）A．2n﹣1+1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣1【分析】根据a n+1＝S n+1﹣S n，化简式子，根据等比数列的通项公式运算，最终求出S n．解：法一：排除法：a2＝6，a3＝16，验证知B对．法二：∵，∴，∴数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，．故选：B．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1成角为．正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】如图对于①，连接A1C，B1D1，可得EG∥D1B1，又CA1⊥平面EFG，即可判断出正误．对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，进而判断出正误；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，可得B1F与BC不垂直，即可判断出正误．④由于D1D∥B1B，EF和DD1所角为．即可判断出正误．解：如图对于①，连接A1C，B1D1，则EG∥D1B1，而CA1⊥平面EFG，所以AC1⊥EG；故①正确；对于②，取B1C1的中点M，连接CM，EM，可得四边形CDEM为平行四边形，∴CM ∥ED，因此GC∥ED不正确；③由于B1F与B1C1不垂直，B1C1∥BC，∴B1F与BC不垂直，因此B1F⊥平面BGC1不成立．④∵D1D∥B1B，EF和DD1所角为．∴EF和BB1成角为．正确．正确命题的个数是2．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13．若x，y满足约条条件，则z＝x+y的最大值为4【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足约条条件作出可行域如图：化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（2，2）时，目标函数有最大值为z＝4．故答案为：4．14．曲线f（x）＝2sin x在处的切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，则a＝1．【分析】根据切点处的导数等于切线斜率列方程，即可求出a的值．解：∵f′（x）＝2cos x，∴，∵切线与直线ax+y﹣1＝0垂直，所以﹣a＝﹣1∴a＝1．故答案为：1．15．在半径为2的圆上有A，B两点，且AB＝2，在该圆上任取一点P，则使得△PAB为锐角三角形的概率为．【分析】先找到等于90°的分界点，进而求得结论．解：由∠ABQ＝90°，∠BAP＝90°，延长BO到P，AO到Q；当点P位于劣弧PQ之间时，△ABP为锐角三角形，因为AO＝OB＝AB；所以：∠AOB＝∠POQ＝60°；所以其概率为：P＝＝．故答案为：．16．三棱锥A﹣BCD的顶点都在同一个球面上，满足BD过球心O，且BD＝2，三棱锥A﹣BCD体积的最大值为；三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ABC截球所得的截面圆的面积为．【分析】由于BD过球心，所以可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AO⊥面BCD，所以当BC ＝CD时体积最大，这时三角形ABC为等边三角形，故求出外接圆的半径，进而求出面积．解：当BD过球心，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，所以AO⊥面BCD，V A﹣BCD＝，当BC＝CD时体积最大，因为BD＝2，OA＝，所以BC＝CD＝2，所以最大体积为：＝；三棱锥A﹣BCD体积最大时，三角形ABC中，AB＝AC＝＝2＝BC，设三角形ABC的外接圆半径为r，则2r＝，所以r＝，所以外接圆的面积为S＝πr2＝，故答案分别为：，．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知在△ABC的三个内角分别为A，B，C，sin B sin2A＝cos A，cos B＝．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若AC＝2，求AB长．【分析】（1）由已知结合同角平方关系可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合和差角公式可求sin C，然后结合正弦定理可求．解：（1）∵中，，∴2sin2A＝3cos A，即2（1﹣cos2A）＝3cos A，解得，．（2）∵由正弦定理得，∴．18．2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2×2列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生30女生50合计100P（K2≥x）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）由小矩形面积之和为1即可求出m；（Ⅱ）根据频率分布直方图先求出擅长冰上运动的人数，再计算其余人数，然后根据公式求出K2并与6.635比较，从而得出答案．解：（Ⅰ）由图可知，（0.005+0.015+0.020+m+0.030+0.005）×10＝1，解得m＝0.025；（Ⅱ）擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100＝≈4.762＜6.635，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC，AA1＝2AB＝4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1B⊥NG．（Ⅰ）求证：A1B⊥GM；（Ⅱ）求点A1到平面MNG的距离．【分析】（1）运用线面垂直的判断和性质，可得线线垂直；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，易得A1B⊥平面MNG，即A1到平面MNG的距离为A1E，由解三角形的知识求得所求距离．解：（1）证明：AB⊥BC，BC⊥BB1，可得CB⊥平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MN∥BC，可得MN⊥平面ABB1A1，又A1B⊥NG，由三垂线定理可得A1B⊥GM；（Ⅱ）设A1B与GN交于点E，由（Ⅰ）可得A1B⊥平面MNG，在△BNE中，AA1＝2AB＝4，tan∠EBN＝，则cos∠EBN＝，可得，由BA1＝2，则，可知A1到平面MNG的距离为A1E＝．20．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为2，点P为椭圆上异于A，B的点，且直线PA和PB的斜率之积为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线AP与y轴的交点为Q，过坐标原点O作OM∥AP交椭圆于点M，试证明为定值，并求出该定值．【分析】（1）由直线PA和PB的斜率之积为可得，又c＝1，再结合a2＝b2+c2从而求出椭圆C的方程；（2）设直线AP的方程为：y＝k（x+2），则直线OM的方程为y＝kx，分别于椭圆方程联立，求出点P，点M的坐标，代入化简得．解：（1）已知点P在椭圆上，设P（x0，y0），即有，又＝，且2c＝2，可得椭圆的方程为；（2）设直线AP的方程为：y＝k（x+2），则直线OM的方程为y＝kx，联立直线AP与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0，由x A＝﹣2，可得，联立直线OM与椭圆的方程可得：（3+4k2）x2﹣12＝0，即，所以．即为定值，且定值为2．21．已知函数．（Ⅰ）若x1为f（x）的极值点，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），求2x1+x2的值；（Ⅱ）求证：当m＞0时，f（x）有唯一的零点．【分析】（1）由题可知f（x1）＝f（x2），且f′（x1）＝0，又f'（x）＝x2+2x+m，即得，化简并分解因式可得．（2）令，可得，令，h'（x）＝x2+2x，利用单调性可得：有且只有一个交点，即有唯一的零点．解：（1）由题可知f（x1）＝f（x2），且f′（x1）＝0，又f'（x）＝x2+2x+m，即得，化简并分解因式可得（2x1+x2+3）（x1﹣x2）＝0．2x1+x2＝﹣3．（6’）（2）证明：令，则，令，h'（x）＝x2+2x，可知h（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，又，h（0）＝0；﹣m（x+1）为过点（﹣1，0）的直线，又m＞0，则﹣m＜0，因此有且只有一个交点，即有唯一的零点．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4坐标系与参数方程]22．已知曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（t为参数）（Ⅰ）求C1和C2的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O作直线交曲线C1于点M（M异于O），交曲线C2于点N，求的最小值．【分析】（Ⅰ）由（α为参数），消去参数α，可得C1的参数方程；化为，消去参数t，可得C2的普通方程；（Ⅱ）分别写出圆C1的极坐标方程与直线C2的极坐标方程，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（＜α＜），可得＝，整理后利用三角函数求最值．解：（Ⅰ）由（α为参数），消去参数α，可得C1的参数方程为（x﹣2）2+y2＝4；由（t为参数），得，消去参数t，可得C2的普通方程为x+y＝8；（Ⅱ）如图，圆C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ＝8，即，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为θ＝α（＜α＜），则＝＝＝＝．∵＜α＜，∴＜2α+＜．∴∈，则的最小值为．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|．（Ⅰ）若a＝2，解关于x的不等式f（x）＜9；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|，由绝对值的意义，去绝对值符号，解不等式，求并集，可得所求解集；（Ⅱ）由题意可得1＜f（x）min，（x＞0），讨论a＝0，a＜0，a＞0，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|＝，则f（x）＜9等价为或或，解得1＜x＜3或﹣≤x≤1或﹣3＜x＜﹣，综上可得原不等式的解集为（﹣3，3）；（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＞1恒成立，即为1＜f（x）min，当a＝0时，f（x）＝|x﹣1|，其最小值为f（1）＝0，不符题意；当a＜0，即﹣a＞0时，f（x）＝|ax+1|+|x﹣1|＝﹣a|x+|+|x﹣1|＝（﹣a﹣1）|x+|+（|x ﹣1|+|x+|），当﹣a﹣1≥0，f（x）有最小值，且为|1+|，又|1+|＞1不恒成立；当a＞0，x＞0时，f（x）＝ax+1+|x﹣1的最小值为f（1）＝a+1|＞1恒成立，综上可得，a的范围是（0，+∞）．。

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)

2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．（5分）下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy =B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r ，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = ．15．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ．（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈．（Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-．（Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【解答】解：{|02}A x x =剟； {0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【解答】解：因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．3．（5分）下列与函数y( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =【解答】解：y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …．故选：C ．4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【解答】解：Q 等差数列{}n a 中，5732a a =， 113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =．则此数列中一定为0的是1a ．故选：A ．5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【解答】解：Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r，∴1212e e =u r u u rg ，且||3a =r ， ∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r r g ，解得2λ=或1-．故选：D ．6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【解答】解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确，故选：D ．7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【解答】解：根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立，当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立，故P 为真命题；命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称，有()()a x a xf x lnln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数，故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题；故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD【解答】解：Q 2cos ,03A A π=-<<，∴sin A =∴21sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C ∠=+=+=⨯，由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠12AB =，解得3AB =，∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯， ∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【解答】解：若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种，若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种，故根据分类计数原理可得，共有6612+=种，故选：B ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确；对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确．正确命题的个数是2．故选：C ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【解答】解：1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴， 1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =- 120AMF ∠=︒Q ， 30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =，∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【解答】解：11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟， (32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数， ∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …，故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【解答】解：由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =．故答案为：4．14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ．【解答】解：1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰，所以1533a -=，解得2a =．故答案为：215．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12．【解答】解：Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零．当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„，故答案为：5(6，11]12．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 22；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为．【解答】解：当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO⊥面BCD，1132A BCDV BC CD OA -=gg g，当BC CD=时体积最大，因为22BD=，2OA=，所以2BC CD==，所以最大体积为：112222232=g g g g；三棱锥A BCD-体积最大时，三角形ABC中，222AB AC OC OA BC==+==，设三角形ABC的外接圆半径为r，则23r=，所以3r=，所以外接圆的面积为243S rππ==，故答案分别为：22，43π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=，解得0.025m =；（Ⅱ）2()100(800300) 4.762 6.635()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ．（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内， 1A B GN ∴⊥，设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN A BN =∠==+g ，则114565164A E A B BE =-=+=，在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =；（Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ，设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ，设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r rg r rr r ，∴二面角B MG N --5．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈．（Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈．由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g g g113n n n a a ---=，各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ，两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=- 22331134422n n n n -=+--g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ，设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--，而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=，所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ===在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43MMm OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【解答】解：()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =，又f （1）e =，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =， ()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +，令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增，故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立，又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）（Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由22cos(2sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C的参数方程为22 (2)4x y-+=；由38cos4(3sin4x tty tππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得2822x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t，可得2C的普通方程为8x y+=；（Ⅱ）如图，圆1C的极坐标方程为4cosρθ=，直线2C的极坐标方程为cos sin8ρθρθ+=，即8cos sinρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin|||4|cos||sin cos||sin2cos21||2sin(2)1|4 ONOM cosααπααααααα+====+++++．Q42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ONOM的最小值为4(21)21=-+．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||1|f x ax x=++-．（Ⅰ）若2a=，解关于x的不等式()9f x<；（Ⅱ）若当0x>时，()1f x>恒成立，求实数a的取值范围．第21页（共21页）【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-，综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意；当0a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a =++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a +>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立，综上可得，a 的范围是(0,)+∞．。

2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷(理科)(二)(二模)

2021年吉林省长春市高考数学质量监测试卷（理科）（二）（二模）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数z＝cos+i sin，则复数z的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|4﹣x2≥0}，B＝{x|x≤﹣1}，则如图阴影部分表示的集合为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]3．（5分）已知直线m，n均在平面α内，则“直线l⊥m且直线l⊥n”是“直线l⊥平面α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）党的十八大以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族几千年的贫困问题，取得历史性成就．同时为全球减贫事业作出了重要贡献.2020年为脱贫攻坚收官之年，如图为2013年至2019年每年我国农村减贫人数的条形图．根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为（）①平均每年减贫人数超过1300万；②每年减贫人数均保持在1100万以上：③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年递减的规律；④历年减贫人数的中位数是1240（万人）．A．1B．2C．3D．45．（5分）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2＝15，S5＝65，则a1+a4＝（）A．24B．26C．28D．307．（5分）已知直线l将圆C：x2+y2+x﹣2y+1＝0平分，且与直线x+2y+3＝0垂直，则l的方程为（）A．2x+y＝0B．2x+y﹣3＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x﹣y+2＝08．（5分）四边形ABCD中，＝2，•＝0，||＝2，则•＝（）A．﹣1B．1C．﹣2D．29．（5分）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点A（2，y0），F为焦点，直线F A交抛物线的准线于点M，满足，则抛物线方程为（）A．y2＝8x B．y2＝16x C．y2＝24x D．y2＝32x11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，关于此函数的下列描述：①ω＝2；②φ＝；③若x1+x2＝，则f（x1）＝f（x2）；④若x1+x2＝，则f（x1）+f（x2）＝0．其中正确的命题是（）A．②③B．①④C．①③D．①②12．（5分）已知函数f（x）＝与函数g（x）＝﹣x3+12x+1的图象交点分别为：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，P k（x k，y k）（k∈N*），则（x1+x2+…+x k）+（y1+y2+…+y k）＝（）A．﹣2B．0C．2D．4二、本题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知点P（x，y）满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为．14．（5分）写出一个符合“对∀x1，x2∈R，当x1≠x2时，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的函数f（x）＝．15．（5分）已知焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．16．（5分）“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积S＝2πRh，其中R为球的半径，h球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则的值为（结果用S、C表示）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著．某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如右图所示（其中x表示开设网店数量，y表示这x个分店的年销售额总和）．现已知x i y i＝8850，y i＝2000，求解下列问题：（Ⅰ）经判断，可利用线性回归模型拟合y与x的关系，求解y关于x的回归方程；（Ⅱ）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w（单位：万元）满足w＝y﹣5x2﹣140，请根据：（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式：线性回归方程，其中，．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB⊥AC，AA1⊥平面ABC，2AA1＝AB＝AC＝4，M为棱AB上一点，若AM＝3BM．（Ⅰ）求证：平面A1BC1⊥平面B1C1M；（Ⅱ）求平面A1ACC1与平面B1C1M所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知等比数列{a n}满足：a1+a2＝20，a2+a3＝80．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝log2a n，其前n项和为S n，若≤λ恒成立，求λ的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝ax2，g（x）＝lnx．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）﹣g（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）有两条公切线，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）线段AB的中点为M，当△AOB面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使|GM|+|HM|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．[选修4-4坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝3．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）曲线C1与C2相交于A、B两点，求|OA|•|OB|的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：．。

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