高一期末复习《立体几何初步》教案

高一期末复习：立体几何初步

教学目的

1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用

2. 掌握典型题型及其处理方法

教学重点、难点

《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法

知识分析

1. 多面体的结构特征

对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。

2. 旋转体的结构特征

旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

3. 表面积与体积的计算

有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。 4. 三视图与直观图的画法

三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。 5. 直线和平面平行的判定方法 （1）定义：a a αα=∅⇒//；

（2）判定定理：a b a b a ////，，⊄⊂⇒ααα； （3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥⊄，，，ααα//； （4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ⊂⇒。

6. 线线平行的判定方法

（1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线； （2）公理4：a b b c a c //////，，⇒； （3）平面几何中判定两直线平行的方法；

（4）线面平行的性质：a a b a b ////αβαβ，，⊂=⇒ ； （5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥⇒αα，//；

（6）面面平行的性质：αβαγβγ////，， ==a a b 。 7. 证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线垂直⇒⊥a α；

（2）判定定理1：m n m n A l m l n l 、，，⊂=⊥⊥⎫

⎬⎭⇒⊥αα

； （3）判定定理2：a b a a b //，⊥⇒⊥α； （4）面面平行的性质：αβαβ//，a a ⊥⇒⊥；

（5）面面垂直的性质：αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥，，， l a a l a 。 8. 证明线线垂直的方法

（1）定义：两条直线所成的角为90°； （2）平面几何中证明线线垂直的方法；

（3）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊂⇒⊥αα，； （4）线面垂直的性质：a b a b ⊥⇒⊥αα，//。 9. 判定两个平面平行的方法 （1）依定义采用反证法； （2）利用判定定理：

αββαααβ//////，，，，b a b a b A ⊂⊂=⇒ ； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行； a a ⊥⊥⇒αβαβ，//；

（4）平行于同一平面的两个平面平行； αγβγαβ////，/⇒/。 10. 平行关系的转化

由上面的框图易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程，在解题时把握这一点，灵活确定转化的思路和方向。

11. 判定两个平面垂直的方法

（1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角。 （2）判定定理：a a ⊆⊥⇒⊥αβαβ， 12. 垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。故熟练掌握“线线垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键。

【典型例题】

例1. 图中所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图。

解析：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示。

在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计。

点评：画简单组合体的三视图应注意两个问题：（1）要确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置位置的不同，所画的三视图可能不同。（2）要明确简单组合体是由哪几个基本几何体生成的，并注意它们的生成方式，特别是交线位置。

例2. 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB ＝PC＝a，求这个球的表面积和体积。

解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ，球心到截面距离为

d ，球半径为R ，则R r d 222

=+。

在三棱锥P ABC -中

∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ⊥PC

∴P 在△ABC 上的射影O 1是△ABC 的垂心 又PA=PB=PC

∴O 1又是△ABC 的外心

因此可知△ABC 是等边三角形，边长为2a

∴=

⋅=r a a 33263

又∵

PO a a a 122693

3=-

=

∴R r d r R PO 222212

=+=+-()

∴=

R a 3

2

于是，S R a a 球==⋅=443

43222

πππ

V R a a 球=

==43433232333

πππ()

点评：因为PA ，PB ，PC 两两垂直，于是也可以构造一个长方体来解决，