第三章-机器人运动学
合集下载
第三章机器人运动学
第三章机器人运动学机器人运动学是研究机器人如何在二维或三维空间中进行运动的学科。
它涉及到机器人的轨迹规划、运动控制和路径规划等重要内容。
本章将介绍机器人运动学的基本概念和常用模型，帮助读者全面了解机器人的运动规律和控制原理。
1. 机器人运动学的基本概念机器人运动学是研究机器人位置和姿态变化的学科，包括正运动学和逆运动学两个方面。
正运动学研究机器人的末端执行器的位置和姿态如何由关节变量确定；逆运动学则研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值。
机器人的运动学建模一般采用DH（Denavit-Hartenberg）参数表示方法。
DH 参数是由Denavit和Hartenberg提出的一种机器人坐标系的选择和旋转轴的确定方法。
通过定义一系列关节坐标系，建立起机器人的坐标系链，并确定各个关节的旋转轴和约定的方向，可以方便地描述机器人的运动学特性。
2. 机器人正运动学机器人正运动学是研究机器人末端执行器位置和姿态如何由关节变量确定的问题。
在机器人的正运动学中，常用的方法有几何法和代数法。
2.1 几何法几何法是一种较为直观的方法，通过对机器人各个关节坐标系的位置和旋转进行推导，得到机器人末端执行器的位置和姿态。
几何法适用于无约束和无外力干扰的情况，可以简单快速地推导出机器人的正运动学方程。
2.2 代数法代数法是一种基于运动学链的代数运算的方法，通过DH参数建立起机器人的坐标系链，并通过矩阵运算推导出机器人的正运动学方程。
代数法在机器人正运动学的推导和计算过程中更具有普适性和灵活性。
3. 机器人逆运动学机器人逆运动学是研究机器人如何通过末端执行器的位置和姿态来确定关节变量的值的问题。
机器人逆运动学在机器人运动规划和路径控制中起到重要的作用。
机器人逆运动学的求解一般采用迭代方法，通过迭代计算来逼近解析解，实现对机器人关节变量的求解。
逆运动学的求解过程中可能会出现奇异点和多解的情况，需要通过约束条件和优化方法来处理。
第3章 机器人运动
3 齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 3.1齐次坐标变换 假设机器人手部拿一个钻头在 工件上实施钻孔作业，已知钻 头中心P点相对于手腕中心的 位置，求P点相对于基座的位 置。
x i o
zb kb yb jb o, ib xb P
z
k
j
y
分别在基座和手部设置为固定坐标系和动坐标系， 如图所示。
P点 相对于固定坐标系
1 4 0 −3 0 7 0 1
T中第一列的三个元素（0，1，0）T表示活动坐标系的u轴与 固定坐标系三个坐标轴之间的投影，故u轴平行于y轴；T中第 二列的三个元素（0，0，1）T表示活动坐标系的v轴与固定坐 标系三个坐标轴之间的投影，故v轴平行于z轴；T中第三列的 三个元素（1，0，0）T表示活动坐标系的w轴与固定坐标系三 个坐标轴之间的投影，故轴w平行于x轴；T中第四列的三个元 素（4，-3，7）T表示活动坐标系的原点与固定坐标系原点之 间的距离。
b
3.3.2 举例 ⋅ i i
z kb k o, xb i o xi y j y j
1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
所以
x0 X 0 = y0 z0
0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 A = Trans( x0 , y0 , z0 ) = 0 0
上面所述的坐标变换每步都是相对于固定坐标系进行的，也可以 相对于动坐标系进行变换： 坐标系 {o , : u , v, w} 初始与固定坐标系 {o:x, y, z} 相重合，首先相对于固定坐标系平移
4i − 3 j + 7 k ；然后绕活动系的v轴旋转900；最后绕w轴旋转900。
变换的几何表示如图所示。这是合成变换矩阵为
机器人学-第3章_机器人运动学
o
X
由（3-1）式可得运动学约束条件，x&sinq y&cosq 0 平面轮式移动机器人
是所谓的“非完整约束”。物理含义是，机器人不能沿轮轴线方向横移。
设轮距为D，轮半径为r，两轮独立驱动时轮子转速wL，wR 则
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
（3-2）
1
v
r 2
wR
wL
,
w
r D
wR
wL
q2 L1
定义参考坐标系{0}，它固定在基座上，当第一
个关节变量（q1）为0时坐标系{1}与坐标系{0}重合
，因此建立参考坐标系{0}如图所示，Z0轴与关节1 的轴线重合且垂直于机械臂所在平面。
q1
平面3R机械臂
由于机械臂位于一个平面上，因此所有Z轴相互平
X3
行，且连杆偏距d和连杆转角均为0。该机械臂的DH
动距离分别为lR = rR和lL = rL，
机器人移动距离
l=(lR+lL)/2
方位角变化
q =(lR-lL)/D。
第n步机器人位姿可以按下面公式更新：
qn qn1 q
xn
xn1
l
cos qn1
q
/
2
yn
yn1
l
sin qn1
q
/
2
若已知机器人的初始位姿，根据该递推公式可以确定任意时刻机器
人位姿，比较简单，但因积累误差大，所以长时间不可靠。
相邻连杆间坐标变换公式
建立 {P}、{Q}和{R}3个中间坐标系， 其中{i}和{i-1}是固定在连杆 i 和 i-1 上的固 连坐标系，如图3-13所示。
机器人学第3章 机器人运动学
(3.46)
如果已知一个表示任意旋转的齐次变换，那么就能够 确定其等价欧拉角。
3.2 机械手运动方程的求解
21
3.2.2 滚、仰、偏变换解
直接从显式方程来求解用滚动、俯仰和偏转表示的变 换方程。 RPY变换各角如下：
atan2(n y , n x ) 180 atan2(n z , cn x sn y ) atan2( sa x ca y , so x co y )
0
T6 0T1 (1 )1T2 (2 )2T3 (3 )3T4 (4 )4T5 (5 )5T6 (6 )
3.1 机器人运动方向的表示
5
3.1.1 运动姿态和方向角
用横滚、俯仰和偏转角表示运动姿态 另一种常用的旋转集合是横滚（roll）、俯仰（pitch） 和偏转（yaw）。
图3.3 用横滚、俯仰和偏转表示机械手运动姿态
3.1 机器人运动方向的表示 6
3.1.1 运动姿态和方向角
对于旋转次序，规定：
1
(3.16)
3.1 机器人运动方向的表示
15
3.1.3 连杆变换矩阵及其乘积
如果机械手与参考坐标系的相对关系是由变换 Z 来 表示的，而且机械手与其端部工具的关系由变换 E 表示，那么此工具端部对参考坐标系的位置和方向 可由变换 X 表示如下：
可求得：
X ZT6 E
T6 Z 1 XE 1
(3.52)
3.2 机械手运动方程的求解
22
3.2.3 球面变换解
把求解滚、仰和偏变换方程的技术用于球面坐标表示 的运动方程。 球面变换的解为：
atan2( p y , p x ), 180 atan2(cp x sp y , p z )
第三章_机器人运动学
举例（example）
• 一个差动驱动机器人（针对图3.3所示机器人） 将滚动约束和滑动约束方程联合起来可得到式：
J1 ( s ) J C ( ) R( ) I 2 1 s 0
由于小脚轮无动力，并可在任何方向自由运动，因此可忽略第三个接触点。 其余两个轮不可操纵，因此 J1 ( s ) 和 C1 ( s ) 分别简化为
• 瞬时转动中心 ICR （instantaneous center of rotation） 在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为 R的某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心 处在零运动直线上，该中心称为瞬时转动 中心。它可以位于沿零运动直线的任何地 方。
•
要使机器人运动存在一个单独的解，必须有 一个单独的ICR，即所有的零运动直线在一个单 独点相交。 • ICR的几何特性显示了机器人的活动性是机 器人运动上的独立约束数目的函数而不是轮子数 目的函数。 • 独立的滑动约束的数目可用 C1 (s ) 的秩来描述
.
.
.
.
（1）
• 其次，计算在YR 方向的贡献
由于没有一个轮子可以提供侧向运动， 所以沿YR 方向的速度总是零。 • 最后，计算旋转角速度分量。可独立的计 算各轮的贡献，且只要简单相加即可。 . .
r 1 r 2 1 2 2l 2l
（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
• 联合式（1）和式（2）得到差动驱动机器人的 运动学模型如式（3）所示：
x I y
• 为了根据分量的移动描述机器人的移动， 需要将全局参考架下的移动映射到局部参 考框架下的运动。该运动可由正交旋转矩 阵来完成：
举例（example）
机器人技术基础课件第三章-机器人运动学精选全文完整版
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T 12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
一个六连杆机械手可具有六个自由度，每个连杆含 有一个自由度，并能在其运动范围内任意定位与定向。 其中三个自由度用于规定位置，而另外三个自由度用 来规定姿态。
8
3.1.1 连杆坐标系
机械手的运动方向
机器人手部的位置和姿态也可以
用固连于手部的坐标系{B}的位姿
来表示
关节轴为ZB， ZB轴的单位方向 矢量α称为接近矢量，指向朝外。
(1) 坐标系｛i-1｝绕xi-1轴转角αi-1，使Zi－1与Zi平行，算子为Rot(x, αi-1) ； (2) 沿Xi-1轴平移ai-1，使Zi－1和Zi共线， 算子为Trans(ai-1,0,0)； (3)绕Zi轴转角θi; 使得使Xi－1与Xi平行, 算子为Rot(z,θi)；
(4) 沿Zi轴平移di。使得i-1系和i系重合, 算子为Trans(0,0,di)。
3.2.1 机器人正运动学方程
连杆 i 1
2
3
连杆长 度ai-1
0
a0
a1
连杆偏距 di 0
0
d2
连杆扭角 αi-1 00
00
-900
关节角 θi
θ1(00) θ2(00) θ3(00)
3.2.1 机器人正运动学方程
该3自由度机器人的运动学方程为：
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
第03章 机器人的运动学和动力学
教案首页课程名称农业机器人任课教师李玉柱第3章机器人运动学和动力学计划学时 3教学目的和要求：1.概述，齐次坐标与动系位姿矩阵，了解平移和旋转的齐次变换；2.机器人的运动学方程的建立与求解*；3.机器人的动力学*重点：1.机器人操作机运动学方程的建立及求解；2.工业机器人运动学方程3.机器人动力学难点：1. 机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理思考题：1.简述齐次坐标与动系位姿矩阵基本原理。
2.连杆参数及连杆坐标系如何建立？3.机器人动力学方程及雅可比矩阵基本原理是什么？第3章机器人运动学和动力学教学主要内容：3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.3 齐次变换3.4 机器操作机运动学方程的建立与求解3.5 机器人运动学方程3.6 机器人动力学本章将主要讨论机器人运动学和动力学基本问题。
先后引入了齐次坐标与动系位姿矩阵、齐次变换，通过对机器人的位姿分析，介绍了机器人运动学方程；在此基础上有对机器人运动学方程进行了较为深入的探讨。
3.1 概述机器人，尤其是关节型机器人最有代表性。
关节型机器人实质上是由一系列关节连接而成的空间连杆开式链机构，要研究关节型机器人，必须对运动学和动力学知识有一个基本的了解。
分析机器人连杆的位置和姿态与关节角之间的关系，理论称为运动学，而研究机器人运动和受力之间的关系的理论则是动力学。
3.2 齐次坐标与动系位姿矩阵3.2.1 点的位置描述在关节型机器人的位姿控制中，首先要精确描述各连杆的位置。
为此，先定义一个固定的坐标系，其原点为机器人处于初始状态的正下方地面上的那个点，如图3-1（a）所示。
记该坐标系为世界坐标系。
在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用3×1的位置向量A P表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有A P=XYZ P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦式中：P X、P Y、P Z—点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图3-1（b）。
3.2.2 齐次坐标将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维坐标即为n维坐标的齐次坐标．．．．。
机器人运动学
R3
Z
三个平移自由度 T1, T2, T3
三个旋转自由度 R1, R2, R3
T3
T1
T2
Y R2
X
2019/3/31
R1
2.2 刚体位姿描述
方位描述
第三章
机器人运动学
利用固定于物体的坐标系描述方位 (orientation)。方位又称为姿 态 (pose)。
在刚体 B上设置直角坐标系 {B} ，利用与 {B} 的坐标轴平行 的三个单位矢量表示B的姿态。
A
p R ( x , ) p
B
zB
zA
Bp
P
yB
{A}
1 0 R ( x , ) 0 c 0 s
c R ( y , ) 0 s 0 s 1 0 , 0 c
0 s c
s c 0 0 0 1
2019/3/31
i A iB A jB r11 r12
第三章
机器人运动学
2.2 刚体位姿描述
位置与姿态的表示 相对于参考坐标系{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的 方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标 系{A}中的位姿利用坐标系{B}描述。
{ B}
当表示位置时 当表示方位时
zA
iB
jB
A
kA 坐标系{B}的三个单位主矢量在坐标系{A}中的描述：
pBo
kB
yA
{ A iB , A jB , A k B }
坐标系{B}相对于坐标系{A}的姿态描述：
A B
O
R { iB , jB , k B }
A A A
第三章_移动机器人运动学
3.3.2可操纵度 s
对于可操纵的标准轮，通过改变操纵角，可 间接改变机器人的姿态。
• 3.3.2 活动性的程度
活动性表示机器人在环境中直接运动的能力。 限制活动性的基本约束就是加在轮子上的滑动约 束。 滑动约束如前所示为：
在数学上， C 1 ( s ) 的零空间是空间N，使得 对任何N中的向量n， C 1 ( s ) n 0 。为了满足约 束，运动向量 R ( ) I 必须属于投影矩阵 C 1 ( s ) 的零空间。若遵守运动学约束，则机器人的运 动必定总是在该空间N内。 在几何上，利用机 器人的瞬时转动中心，可以同时说明运动学的 约束。
小结：对于小脚轮、瑞典轮和球形轮，由于其内 部的自由度，并未对机器人的运动施加实质上的 约束，即机器人可在全局参考框架下自由运动。 也就是说，只有固定标准轮和可操纵标准轮会对 机器人的运动施加约束。
3.2.4 机器人运动学约束
给定一个具有M个轮子的机器人， 假定机器 人总共有N个标准轮，由Nf个固定标准轮和Ns个 可操纵标准轮组成。βs(t)表示可操纵标准轮的可 变操纵角。βf表示固定标准轮的方向。
将上式求逆，得到特定的差动驱动机器人的运动学方程：
1 0 l 1 0 l 0 1 0
1 J2 1 R ( ) 0
I R ( )
1
1 2 0 1 2l
1 2 0 1 2l
0 J 1 2 0 0
• 瞬时转动中心 ICR （instantaneous center of rotation）
在任何给定时刻，轮子必定沿着半径为R的 某个圆瞬时的运动，使得那个圆的中心处在零运 动直线上，该中心称为瞬时转动中心。它可以位 于沿零运动直线的任何地方。
第三章机器人运动学
Axis i+1
αi
3.2.3连杆附加坐标系的规定
（4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴 i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐 标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
3.2.3连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆 上定义一个固连坐标系. （1）连杆中的中间连杆 规定: 坐标系{i}的Z轴称为Zi,与 关节轴i重合; 坐标系{i}的原点位于公垂 线ai与关节轴i的交点处. Xi轴沿ai方向由关节i指向 关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所 在的平面;按照右手定则绕Xi轴的 转角定义为αi ,由于Xi轴的符号 有两种,则转角的符号也有两种.) Yi轴由右手定则确定
3.2.5 PUMA560运动学方程
（2）连续连杆变换 定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
0 N
0
T T T T
0 1 1 2 2 3
N 1 N
T
变换矩阵 NT 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通 过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再基坐标系 （笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
2) joint angle 关节角 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋 转的夹角θi. 当i为转动关节时,关节角为一变量.
αi
3.2.3连杆附加坐标系的规定
（4）建立连杆坐标系的步骤
确定关节轴，并画出轴的延长线。 找出关节轴i和i+1的公垂线或交点，作为坐标系i的原点。 规定Zi的指向是沿着第i个关节轴。 规定Xi轴得指向是沿着轴i和i+1的公垂线的方向，如果关节轴 i和i+1相交，则Xi轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。 Yi 轴的方向由右手定则确定。 当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1} 重合，对于坐 标系{N}，尽量选择坐标系使得连杆参数为0.
3.2.3连杆附加坐标系的规定
为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆 上定义一个固连坐标系. （1）连杆中的中间连杆 规定: 坐标系{i}的Z轴称为Zi,与 关节轴i重合; 坐标系{i}的原点位于公垂 线ai与关节轴i的交点处. Xi轴沿ai方向由关节i指向 关节i+1 (若: ai =0,则Xi垂直于Zi和Zi+1所 在的平面;按照右手定则绕Xi轴的 转角定义为αi ,由于Xi轴的符号 有两种,则转角的符号也有两种.) Yi轴由右手定则确定
3.2.5 PUMA560运动学方程
（2）连续连杆变换 定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学 方程，坐标系{N}相对于坐标系{0}的变换矩阵为：
0 N
0
T T T T
0 1 1 2 2 3
N 1 N
T
变换矩阵 NT 是关于n个关节变量的函数，这些变量可以通 过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆再基坐标系 （笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。
2) joint angle 关节角 描述两个相邻连杆绕公共轴线旋 转的夹角θi. 当i为转动关节时,关节角为一变量.
机器人学基础第3章
3.1 坐标系的建立方法
机器人的连杆均可以用以上四个参数ai-1、αi-1、di 、θi 来进行描述。对于一个确定的机器人关节来说, 运动时 只有关节变量的值发生变化, 其他三个连杆参数均为保 持不变。用ai-1、αi-1、di 、θi 来描述连杆之间运动关系 的规则称为Denavit-Hartenberg 参数, 简称D-H 参 数。
3. 3 典型机器人的正运动举例
机器人的D - H 参数表
3. 3 典型机器人的正运动举例
由机械臂的坐标系可以计算得到相邻两坐标系之间
的变换矩阵
, 其中
3. 3 典型机器人的正运动举例
则可以计算出机械臂末端相对于基坐标系的位姿矩 阵为:
3. 3 典型机器人的正运动举例
其中：
3. 3 典型机器人的正运动举例
3. 3 典型机器人的正运动举例
作出该机器人的机构简图并建立连杆坐标系。
3. 3 典型机器人的正运动举例
写出D - H 参数表
3. 3 典型机器人的正运动举例
可以计算出各相邻两坐标系之间的齐次变换矩阵:
3. 3 典型机器人的正运动举例
由于关节2 是移动关节, 其关节变量为d2。由 可计算出该机器人的正运动学方程为:
3. 3 典型机器人的正运动举例
例3. 3 如图所示为日本川崎公司制
造的RS10N 型工业机器人, 它具有典型的工业机器人构 型, 共有6 个自由度, 其中 前3 个关节决定机器人末端 的位置, 后3 个关节轴相交 于一点,决定机器人末端的 姿态。
3. 3 典型机器人的正运动举例
机器人的连杆坐标系建立， 由于坐标系{6} 的原点位 于腕部, 在实际应用中为了 直观地描述机器人末端执行 器的位置, 通常在机器人末 端点处建立一个与坐标系 {6} 姿态完全相同的工具 坐标系, 即坐标系{7}。
机器人学基础_第3章机器人运动学
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
动到使其原点与连杆i坐标系原点重合的地方。 • (4) 绕Xi旋转αi角，使Zi–1转到与Zi同一直线上。 • 连杆i–1的坐标系经过上述变换与连杆i的坐标系
重合。如果把表示相邻连杆相对空间关系的矩阵 称为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆i到 连杆i–1的坐标变换矩阵Ai为
•
(3.13)
• 同理，对联轴器的齐次坐标变换矩阵有 •
• 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手 部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢 量为n、o、a。于是手部的位姿可用4 4 矩阵表示为
•
•
nX oX a X PX
T
nY
oY
aY
PY
nZ 0
oz 0
aZ 0
PZ 1
• 思考：
• ①说明位姿矩阵的左上角3×3矩阵的几何 意义。
• ②分别说明n, o, a, P的几何意义。
a1 = l 1 =100
a2 = l 2 =100
旧课复习与总结
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
机器人运动学建模
1）连杆i-1的长度a(i-1) :
关节轴线i-1和关节轴线i 的公法线长度；
2）连杆i-1的扭角α(i-1)：
关节轴线i-1和关节轴线i的夹角； 指向为从轴线i-1到轴线i。
◆两关节i和i-1的轴线平行时
α(i-1) =0 ◆两关节i和i-1的轴线相交时
a(i-1)=0，指向可任意规定。
例：
i-1
Y i+1 Z i+1
d i+1
X i +1 a i+1
θi +1
原点O取为XZ的交点； Zi和Zi+1 相交时，其交点为{i}原点， Zi和Zi+1 平行时，{i}原点取在使偏置为零处。
3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为:
Z(i - 1)
Y(i -1)
a(i - 1 ) X(i -1) α( i - 1)
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 ⎦
例1:
Z1
Z0
Y1 Y0
X0 X1
a0
i
a(i-1) α(i-1) di
1
0 00
2
a0 0 0
3
a1 -90 0
4
(末端 )
0
0 d2
θi θ1(0) θ2(0) θ3(0)
0
Z
4
Z2
X4
Y2
Z
3
Y4
d2
X2
X3
Y3
a1
D-H参数表
i
a(i-1) α(i-1) di
30T =01T 21T 32T
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0
关节轴线i-1和关节轴线i 的公法线长度；
2）连杆i-1的扭角α(i-1)：
关节轴线i-1和关节轴线i的夹角； 指向为从轴线i-1到轴线i。
◆两关节i和i-1的轴线平行时
α(i-1) =0 ◆两关节i和i-1的轴线相交时
a(i-1)=0，指向可任意规定。
例：
i-1
Y i+1 Z i+1
d i+1
X i +1 a i+1
θi +1
原点O取为XZ的交点； Zi和Zi+1 相交时，其交点为{i}原点， Zi和Zi+1 平行时，{i}原点取在使偏置为零处。
3、利用连杆坐标系可以明确定义连杆参数为:
Z(i - 1)
Y(i -1)
a(i - 1 ) X(i -1) α( i - 1)
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣0 0 0 1 ⎦
例1:
Z1
Z0
Y1 Y0
X0 X1
a0
i
a(i-1) α(i-1) di
1
0 00
2
a0 0 0
3
a1 -90 0
4
(末端 )
0
0 d2
θi θ1(0) θ2(0) θ3(0)
0
Z
4
Z2
X4
Y2
Z
3
Y4
d2
X2
X3
Y3
a1
D-H参数表
i
a(i-1) α(i-1) di
30T =01T 21T 32T
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
0
机器人学基础_第3章_机器人运动学_蔡自兴
杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换 将xi-1轴绕zi-1轴转i 角度，将其与xi轴平行； 沿zi-1轴平移距离di ，使zi-1轴与zi轴重合； 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合； 绕xi 轴转i角度，两坐标系完全重合．
这种关系可由表示连杆相对位置的四个齐次变 换来描述，并叫做 Ai 矩阵。此关系式为：
机器人学基础
第三章 机器人运动学
中南大学 蔡自兴，谢 斌 zxcai, xiebin@ 2010
Fundamentals of Robotics
1
引言
机器人位置和姿态的描述
机器人可以用一个开环关节链来建模 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体 n • 人们感兴趣的是操作机末端执行 器相对于固定参考坐标数的空间 o a 几何描述，也就是机器人的运动 学问题 • 机器人的运动学即是研究机器人 手臂末端执行器位置和姿态与关 节变量空间之间的关系
3.1.1 Kinetic Pose and Oriented Angle 运动姿态和方向角 Motion Direction
原点由矢量p表示。 approach vector a：z向矢量 orientation vector o：y向矢量 normal vector n：x向矢量，
Forming a right-hand frame： n = o a or a = n o
y L1 sin 1 L2 sin(1 2 )
The general vector form
r f ( )
3.0 Introduction to Robot Kinematics
3
Example of Inverse Kinematics
机器人技术及其应用第3章 机器人运动学
图3-2 二自由度机械手的逆运动学
机器人运动学的基本问题
上述的正运动学、 逆运动学统称为运动学。 将式 （３⁃３） 的两边微分即可 得到机器人手爪速度和关节速度的关系， 再进一步进行微分将得到加速度之间的 关系， 处理这些关系也是机器人的运动学问题。
机器人运动学的基本问题
3.2.2 机器人位姿与关节变量的关系
下面计算从１ｐ 向２ｐ 的变换， 假设已知在坐标系∑１ 中描述的坐标系∑２ 的 坐标 ｘ 轴和ｙ 轴方向的单位矢量为１ｅｘ 和１ｅｙ， 则通过矢量的运算分析， 可 得到如下关系式
式中的右上标 Ｔ 表示转置， 将上述两式合并为下式
机器人运动学的基本问题
式中
２Ｒ１是从∑１ 坐标系向∑２ 坐标系进行位置矢量姿态变换的矩阵， 称为姿态变 换矩阵 （或旋转变换矩阵）。
机器人运动学的基本问题
２.姿态的变换矩阵 如图 ３⁃４ 所示， 给出原点重合的两坐标系∑
１ （Ｏ１ －ｘ１ｙ１） 和∑２ （Ｏ２ －ｘ２ｙ２）， 以及点Ｐ 的位置矢量 ｐ。 假设点 Ｐ 的位置矢量 ｐ 的分量在两坐标系中分别表示为
图3-4 点 Ｐ 在两个坐标系中 的位置矢量分量
机器人运动学的基本问题
机器人的运动学可用一个开环关节链来建模， 此链由数个刚体 （杆件） 用转 动或移动关节串联而成。 开环关节链的一端固定在基座上， 另一端是自由的， 安 装着工具， 用以操作物体或完成装配作业。 关节的相对运动促使杆件运动， 使手 到达所需的位置和姿态。 在很多机器人应用问题中， 人们感兴趣的是操作机末端 执行器相对于固定参考坐标系的空间描述。
如图 ３⁃ ２ 所示， 根据图中描述的几何 学关系， 可得
二自由度机械手的逆运动学
机器人运动学的基本问题
机器人运动学的基本问题
上述的正运动学、 逆运动学统称为运动学。 将式 （３⁃３） 的两边微分即可 得到机器人手爪速度和关节速度的关系， 再进一步进行微分将得到加速度之间的 关系， 处理这些关系也是机器人的运动学问题。
机器人运动学的基本问题
3.2.2 机器人位姿与关节变量的关系
下面计算从１ｐ 向２ｐ 的变换， 假设已知在坐标系∑１ 中描述的坐标系∑２ 的 坐标 ｘ 轴和ｙ 轴方向的单位矢量为１ｅｘ 和１ｅｙ， 则通过矢量的运算分析， 可 得到如下关系式
式中的右上标 Ｔ 表示转置， 将上述两式合并为下式
机器人运动学的基本问题
式中
２Ｒ１是从∑１ 坐标系向∑２ 坐标系进行位置矢量姿态变换的矩阵， 称为姿态变 换矩阵 （或旋转变换矩阵）。
机器人运动学的基本问题
２.姿态的变换矩阵 如图 ３⁃４ 所示， 给出原点重合的两坐标系∑
１ （Ｏ１ －ｘ１ｙ１） 和∑２ （Ｏ２ －ｘ２ｙ２）， 以及点Ｐ 的位置矢量 ｐ。 假设点 Ｐ 的位置矢量 ｐ 的分量在两坐标系中分别表示为
图3-4 点 Ｐ 在两个坐标系中 的位置矢量分量
机器人运动学的基本问题
机器人的运动学可用一个开环关节链来建模， 此链由数个刚体 （杆件） 用转 动或移动关节串联而成。 开环关节链的一端固定在基座上， 另一端是自由的， 安 装着工具， 用以操作物体或完成装配作业。 关节的相对运动促使杆件运动， 使手 到达所需的位置和姿态。 在很多机器人应用问题中， 人们感兴趣的是操作机末端 执行器相对于固定参考坐标系的空间描述。
如图 ３⁃ ２ 所示， 根据图中描述的几何 学关系， 可得
二自由度机械手的逆运动学
机器人运动学的基本问题
课件：第三章机器人运动学
• 3.1 机器人运动方程的表示
• 3.1.2 运动位置和坐标
• 一旦机械手的运动姿态由某个姿态变换规定之后，它在基坐标系中的 位置就能够由左乘一个对应于矢量p的平移变换来确定。
1 0 0 px
T6
0 0
1 0
0 1
p
y
某姿态变换
pz
0 0
0
1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆(D-H坐标)
所有关节全为转动关节时: Zi坐标轴; Xi坐标轴; Yi坐标轴;
连杆长度ai;连杆两端关节公共法线距离 连杆扭角αi;垂直于ai所在平面内两轴的夹角 两连杆距离di;两连杆的相对位置di 两杆夹角θ 两连杆法线的夹角
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
s c 0 0ny
oy
ay
p
y
s
c
0 0
0
0
0 0
1 0
0 1
nz 1
oz 1
az 1
pz 1
sc
0
ss
0
c 0
0 1
(3-39)
Robotics运动学
3.2 机械手运动方程的求解
3.2.1欧拉变换解
重写为
f11(n) f11(o) f11(a) f11( p) cc cs s 0
保持姿态,执行器要绕其自身Y和Z轴反向旋转.
Sph( , , r) Rot(z, )Rot( y, )Trans(0,0, r)Rot( yA, )Rot(zA, )
1 0 0 rcs
0
1
0
rss
第三章-机器人运动学
在 量B。坐标系中的矢量rB
5i
9
j
0k
，求该点在A坐标系中的矢
解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：
轴移动6个单位，再绕z轴旋转30°，
求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。
假设某点在B坐标系中的矢量rB
5i
9
j
0k
求该点在A坐标系中的矢量。
例：已知B坐标系的初始位置与A坐标系重合，首先把B坐标
系沿A坐标系的x轴移动12个单位，并沿y轴移动6个单位，再
绕z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点
机器人的位姿
机器人位姿的表示 位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
p
px py
x
y
pz z
ｚ
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ ｙ
ｘ
机器人的位姿
姿态可以用坐标系三个 坐标轴两两夹角的余弦值（ 三个h坐标轴的单位矢量）组 成3×3的姿态矩阵来描述。
ｚ
ｚh
ｘh ｏh ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ
ｙh
ｙ
ｘ
cos(x, xh ) R cos(y, xh )
ｚi ｚj
ｏi
ｘi
ｏj
ｘj
ｙj ｙi
直角坐标变换
齐次变换及运算
旋转变换
——旋转变换矩阵，是一个3×3的矩阵，其中的每个元素 就是i坐标系和j坐标系相应坐标轴夹角θ的余弦值，它表明了 姿态（方向）。θ角的正负按右手法则确定，即由轴的矢端 看，逆时钟为正。
直角坐标变换
齐次变换及运算
联合变换
设i坐标系j和坐标系之间存在先平移变换，后
cos(z, xh )
cos(x, yh ) cos(y, yh ) cos(z, yh )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 2.广义变换矩阵 对旋转关节: Ai Rot( z, i )Trans(0,0, d i )Trans(ai ,0,0) Rot( x, i )
c i s i 0 0 s i c i 1 c i c i 1 s i 1 0 s i s i 1 c i s i 1 c i 1 0 ai 1c i ai 1s i di 1
Sph( , , r ) Rot( z , ) Rot( y, )Trans(0,0, r ) 0 s c s 0 0 c s 0 c 0 0 1 0 0 0 1 0 s 0 c 0 0 0 1 0 0 0 cc s cc rcs sc c s s rs s s 0 c rc 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆(D-H坐标)
全为转动关节: Zi坐标轴; Xi坐标轴; Yi坐标轴; 连杆长度ai; 连杆扭角αi; 两连杆距离di; 两杆夹角θi
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆 全为转动关节: Zi坐标轴:沿着i+1关节的运动轴; Xi坐标轴:沿着Zi和Zi-1的公法线,指向离开Zi-1轴的方向; Yi坐标轴:按右手直角坐标系法则制定; 连杆长度ai; Zi和Zi-1两轴心线的公法线长度; 连杆扭角αi: Zi和Zi-1两轴心线的夹角; 两连杆距离di:相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离; 两杆夹角θi :Xi和Xi-1两坐标轴的夹角;
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 2.广义变换矩阵 建立D-H坐标系后,可通过两个旋转、两个平移建立相邻 连杆i-1和i间的相对关系。 1。绕Zi-1轴转θi角，使Xi-1转到与Xi同一平面内； 2。沿Zi-1轴平移di，把Xi-1移到与Xi同一直线上； 3。沿i轴平移ai-1,把连杆i-1的坐标系移到使其原点与 连杆i的坐标系原点重合的位置； 4。绕Xi-1轴转αi-1角，使Zi-1转到与Zi同一直线上； 这四个齐次变换叫Ai矩阵：
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 由于上述两个旋转,使执行器姿态发生变化.为保持姿 态,执行器要绕其自身Y和Z轴反向旋转.
Sph( , , r ) Rot( z , ) Rot( y, )Trans(0,0, r ) Rot( y A , ) Rot( z A , ) 1 0 0 0 0 0 rcs 1 0 rss 0 1 rc 0 0 1
0 0 0 c s s c 1 0 0 0 1 z 0 0 0 0 1 0 0 s 0 rc c 0 rs 0 1 z 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 0 0 1 0 0 1
arccos(az ) arccos(ax / s ) arccos(nz / s )
arccos:符号不定； 特殊点不准确； 0或180时，后两式没定义。
Robotics运动学
3.2 机械手运动方程的求解
3.2.1欧拉变换解 2.用显式方程求各角度 Rot( z, ) 1T Rot( y, ) Rot( z, )
3.1.0 A矩阵和T矩阵 机械手可以看成由一系列关节连接起来的连杆组构成. 用A矩阵描述连杆坐标系间相对平移和旋转的齐次变换. A1表示第一连杆对基坐标的位姿 T2 A1 A2 A2表示第二连杆对第一连杆位姿 T6 A1 A2 A3 A4 A5 A6 则第二连杆对基坐标的位姿为
Robotics运动学
Sph( , , r ) Rot( z , ) Rot( y, )Trans(0,0, r ) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 r 1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 表示物体的位置:笛卡尔坐标、柱面坐标、球面坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 沿X平移r,绕Z轴转α,沿Z轴平移z.
Cyl ( z , , r ) Trans(0,0, z ) Rot( z , )Trans(r ,0,0) 1 0 0 0 c s 0 0
(绕原坐标系运动,左乘)
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
Rot( y, ) 1 Rot( z, ) 1T Rot( z, )
机器人运动学
Kinematics of Robotics
3.1 机器人运动方程的表示
(姿态和方向角\位置和坐标\连杆变换矩阵)
3.2 机械手运动方程的求解
(欧拉变换解/滚仰偏变换解/球面变换解)
3.3 PUMA560机器人运动方程
(运动分析/运动综合)
Robotics 运动学
3.1 机器人运动方程的表示
注意:坐标变换是右乘.即后面的变 换乘在右边.(绕新轴转,连乘)
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 3.用滚\仰\偏转表示运动姿态 RPY( , , ) Rot( z , ) Rot( y, ) Rot( x, ) 横滚:绕Z轴转φ, c s 0 0 c 0 s 0 1 0 s c 0 0 0 0 c 1 0 0 俯仰:绕Y轴转θ, 0 0 1 0 s 0 c 0 0 s 偏转:绕X轴转ψ. 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 注意:左乘.
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 3.用A矩阵表示T矩阵
i 1
T6 Ai Ai 1 A6
T6:机械手末端对其基座 Z:机械手基座对参考坐标系 E:端部工具对机械手末端 X:端部工具对参考坐标系
X ZT6 E T6 Z 1 XE 1
Robotics运动学
0 s c 0
0 0 0 1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 1.用柱面坐标表示末端运动位置 由于上述绕Z轴的旋转,使末端执行器的姿态出现变化, 若要执行器姿态不变,则需将其绕执行器Z轴反向旋转.
c s s c Cyl ( z , , r ) 0 0 0 0 1 0 0 rc 0 1 0 rs 0 0 1 z 0 0 0 1 0 rc c( ) s ( ) s ( ) c( ) 0 rs 1 z 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆(D-H坐标)
含移动关节: Zi坐标轴; Xi坐标轴; Yi坐标轴; 连杆长度ai=0; 连杆扭角αi; 两连杆距离di; 两杆夹角θi
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.3 连杆变换矩阵 1.广义连杆 含移动关节: Zi坐标轴:沿着i+1关节的运动轴; Xi坐标轴:沿着Zi和Zi-1的公法线,指向离开Zi-1轴的方向; Yi坐标轴:按右手直角坐标系法则制定; 连杆长度ai; Zi和Zi-1两轴心线的公法线长度; 连杆扭角αi: Zi和Zi-1两轴心线的夹角; 两连杆距离di:相邻两杆三轴心线的两条公法线间的距离; 两杆夹角θi :Xi和Xi-1两坐标轴的夹角;
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.2 运动位置和坐标 2.用球面坐标表示末端运动位置 沿Z平移r,绕Y轴转β,绕Z轴转α.
0 s c s 0 0 c s 0 c 0 0 1 0 0 0 1 0 s 0 c 0 0 0 1 0 0 0 cc s cc rcs sc c s s rs s s 0 c rc 0 0 0 1
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 1.运动方向 接近矢量a:夹持器进入物体的方向;Z轴 方向矢量o:指尖互相指向;Y轴 法线矢量n:与o、a组成右手矢量集合;X轴
n oa 0 oo 1 aa 1 oa 1
nx n T T6 y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py pz 1
Robotics运动学
3.1 机器人运动方程的表示
3.1.1 运动姿态和方向角 2.用旋转序列表示运动姿态 欧拉角:绕Z轴转φ,再绕新Y轴转θ,绕最新Z轴转ψ.
Euler( , , ) Rot( z, ) Rot( y, ) Rot( z, ) 0 0 c 0 0 0 1 0 s 0 1 0 c s s c 0 0 0 0 0 s 0 c s s c 1 0 0 0 c 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
nx n y nz 1 ox oy oz 1 ax ay az 1 p x ccc ss scc ss py pz sc 1 0 ccs sc scs cc ss 0 cs ss c 0 0 0 0 1
（3-24）