两个等边三角形之间的旋转全等问题
与等边三角形有关的全等三角形题目
与等边三角形有关的证明三角形全等的问题等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，两个大小不等的等边三角形通常有一个公共点经过旋转得到一些全等三角形，证明时思路具有相同之处，下面进行简单的总结一下.一． 证明相应线段相等的题目如图所示是城市的部分街道示意图，AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，A,B,C,D,E,F 为公共汽车停靠点，“公共汽车甲”从A 站出发，按照A H G D E C F 的顺序到达F 站，“公共汽车乙”从B 站出发，按照B F H E D C G 的顺序到达G 站，如果甲，乙两车分别从A,B 两站同时出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？ 【分析】要想知道哪一辆公共汽车先到达指定地点，因为两车的速度一样，在每个站点停的时间也一样，所以只要比较两车行驶的路程即可.根据题意可知甲公共汽车行驶的路线为：AH+HG+GD+DE+EC+CF=AD+DE+EC+CF 乙公共汽车行驶路线为：BF+FH+HE+ED+DC+CG=BE+ED+DC+CG 因为AB=BC=AC ，CD=CE=DE ，只要比较线段AD 与BE;CF 与CG 的大小即可.很容易正△ACD ≌△BCE ，△BCF ≌ACG 可得AD=BE ， CF=CGG FH BDCE A所以两辆车同时到达.3.如图，点C 是线段AE 上一动点（不与A,E 重合），在AE 的同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ,有以下五个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°，其中一定成立的结论有 .（把你认为正确的序号都填上） 【分析】△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴BC=AC,DC=EC ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ∴∠ACD=∠BCE在△ACD 与△BCE 中=AC BCACD BCE DC EC =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∴△ACD ≌△BCE （SAS ） ∴AD=BE ∠DAC=∠EBC∴∠BOD=∠DAB+∠ABO=∠DAB+∠ABP+∠EBC=∠DAB+∠DAC+∠ABP=∠BAC+∠ABC=120°∴∠AOB=180°-∠BOD=60°，∴①AD=BE ，⑤∠AOB=60°正确 ∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60° ∴∠ACP=∠BCQ=60°在△ACP 与△BCQ 中=PAC QBC AC BC ACP BCQ =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠O Q PBD CEA△ACP≌△BCQ（ASA）∴CP=CQ AP=BQ又∵∠PCQ=60°，∴△PCQ是等边三角形∴∠QPC=∠ACB=60°，∴PQ∥AE；∴②PQ∥AE，③AP=BQ正确. 在△PCD中∠PDC≠∠PCD，∴DP≠DC，又因为DC=DE，∴DP≠DE，∴④DE=DP是错误的.综上所述，正确答案是①②③⑤试一试：1.如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法中正确的个数有()①MN∥AB；②∠DPM＝60°；③∠DAP＝∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE＝30°，则∠AEB＝80°.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5NMFE CBA2.如图，点C 在线段AB 上，△ACM 、△CBN 是等边三角形，AN 、MC 交于点E ，BM 、CN 交于点F. （1）求证：AN=BM. （2）试判断△CEF 的形状.2.△ABD ，△AEC 都是等边三角形，求证BE=DC例1.D 为等边三角形ABC 的边BC 上一点，且点E 在线段AD 上（端点A 除外），△BEF 为等边三角形，当点E 在AD 上由点D 向A 运动时，AE 与FC 的比值是否变化？若变化说明怎样变化；若不变化，说明理由.【答】AE 与FC 的比值不会变化.理由如下 ∵△ABC 和△BEF 都是等边三角形 ∴AB=CB,EB=FBB∠ABC=∠EBF=60°∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC 即∠ABE=∠CBF在△ABE 与△CBF 中BA BC =⎧⎪⎨⎪⎩∠ABE=∠CBF BE=BF∴△ABE ≌△CBF （SAS ） ∴AE=CF ∴1AECF= 就是说AE 与FC 的比值不会变化 例2.△ABC 是等边三角形，AD 是中线，△ADE 是等边三角形，BE 等于BD 吗？为什么？【解答】BE=BD 理由如下： △ABC 是等边三角形，AD 是中线，∴AB=AC BD=CD ∠BAC=60° ∠BAD=∠CAD=30° ∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD ∠EAD=60° ∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=30° ∴∠EAB=∠DAB=30°在△ABE 与△ABD 中EA DA=⎧⎪⎨⎪⎩∠BAE=∠BAD BA=BA∴△ABE ≌△ABD （SAS ）∴BD=BE 二．判断三角形的形状 例3.△ABC 是等边三角形，D 是BC 上一点，在△ABC 的外C角平分线CE上取一点E，使CE=BD，连接AE,DE,AD，请判断△ADE的形状，并说明理由。
初中数学：利用旋转证明三角形全等综合证明题专题
已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，BD=BC ，△ABD ≌△E BC 吗？为什么？如图，已知ΔABC ，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，B F=AC ， ∠CAG=∠F ，请你判断AG 与AF 是否相等，说明理由。
如图，∠A ＝∠B ，∠1＝∠2，EA ＝EB ，你能证明AC ＝BD 吗？∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，D 、A 、E 在一条直线上．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．已知：∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ．求证：AD ＝AE ，∠D ＝∠E ．ABCDE1 2两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90∘，B，C，E在同一条直线上，连接DC.(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(2)证明：DC⊥BE.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,点D. F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90∘后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数。
如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F. 求证：PM=QM.如图,已知长方形ABCD,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB，MD. (1)求证：BE=DC；(2)求证：∠MBE=∠MDC如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC，FG，其中正确结论的个数是（）①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（）如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．如图，△ABC中，AB=AC，延长BC至D，使CD=BC，点E在边AC上，以CE，CD为邻边做▱CDFE，过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG，DE．（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由；（2）求证：△BCG≌△DCE．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE 于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB=FC．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连接AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：（1）AB=AC；（2）AD=AE；（3）∠1=∠2；（4）BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题．（要求写出已知，求证及证明过程）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE 的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF，（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______；（3）如图③，在△AOB和△COD中，若OA=k•OB，OC=k•OD（k＞1），∠AOB=∠COD=α，则AC与BD 间的等量关系式为_______；∠APB的大小为_______．如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．△DAC, △EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN为等边三角形（4）MN∥BC已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），其中结论正确的个数是（）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．。
“旋转型”全等三角形
“旋转型”全等三角形摘要：北师大版八年级下册第一章“三角形的证明”专题复习。
课本已经设置学生学习了三角形全等的判定方法及三角形全等的性质、等腰三角形性质。
“旋转型”全等是全等中的一个重要模型，也是中考的重要考点，掌握该模型也为相似奠定基础。
关键词：教学目标；教学设计；专题探究1重难点理解并掌握“旋转型”三角形全等模型；利用旋转型全等模型，能够灵活解决旋转型全等问题。
2教学目标经历从特殊到一般的探究过程，利用“有公共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形”模型，掌握旋转型全等三角形的证明，提高学生的归纳总结能力，培养学生举一反三的能力。
3教学设计环节1：问题引入，复习回顾以PPT的形式展示两个三角形△ABC、△A'B'C'，要使得△ABC≌△A'B'C'：问题1若AB=A'B',BC=B'C',则需添加什么条件？若AB=A'B',∠B=∠B',又需要添加什么条件？（学生独立思考后回答，教师分别在PPT上展示出学生的不同答案，针对展示的结果让学生说出添加的依据。
师生共同点评，理清判定三角形全等的一般方法,为本节课探究活动做铺垫.）环节2专题探究，总结模型（1）探究一问题2如图2，点A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE、DC,则线段AE、DC满足什么数量关系？（学生独立思考后，学生口述展示探究过程，针对展示的过程让其他同学提出证明∠ABE=∠DBC的不同解法。
师生共同点评，总结该问题中证明全等的方法是SAS)追问1如果点A,B,C三点共线，其他条件不变，线段AE,DC还相等吗？（证明思路和上一题思路一样，以等边三角形入手，从“特殊”逐步向“一般”过渡。
需要注意的是，教师在此和学生一起辨析，在证明∠ABE=∠DBC时，不能“∠ABE=∠DBC=180°-60°）追问2若将等边△BCE绕点B旋转到与△ABD有重合部分，那么AE与DC相等吗？（教师几何画板展示动画，学生独立思考，教师点一名同学上讲台进行板演。
等边三角形中的旋转模型(全等和相似三角形的重要结论)
如图所示，在线段AE上取一动点C（C点不与A、E重合），在AE的同侧分别以AC、CE为边作等边 ABC，等边 DCE，连接AD、BE交于点O，BC与AD交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ和OC.结论1： ACD≌ BCE【解析】∵等边三角形ABC和等边三角形DCE∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD =60°+∠BCD即∠ACD=∠BCE在 ACD和 BCE中AC BCACD BCEDC CE∴ ACD≌ BCE（SAS）结论2：∠ACB=∠BOA=∠DOE=60°、∠AOE=120°【解析】∵ ACD≌ BCE∴∠EBC=∠DAC∵∠EBC+∠BPO+∠BOP=180°∠DAC+∠CPA+∠BCA=180°∠BPO=∠CPA∴∠BCA=∠BOP=∠DOE=60°∴∠AOE=180°-∠BOA=120°结论3：OC平分∠AOE【解析】作CE⊥AD，CF⊥BE，垂足分别是E、F∵ ACD≌ BCES S∴AD=BEACD BCE∴CE=CF∴OC平分∠AOE（在角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）结论4：∠AOC=∠EOC=60°【解析】∵OC平分∠AOE ∠AOE=120°∴∠AOC=∠EOC=60°结论5：∠OED=∠OAC【解析】∵∠DEC=∠DOE=60°∠DOE=∠OAC+∠OEA∴∠OED+∠OEA=∠OAC+∠OEA∴∠OED=∠OAC结论6： ACP≌ BCQ PCD≌ QCE【解析】∵∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴∠ACB=∠BCQ∵ ACD≌ BCE∴∠DAC=∠EBC在 ACP≌ BCQ中AC BCACB BCQDAC EBC∴ ACP≌ BCQ（ASA）同理可证： PCD≌ QCE结论7：三角形PCQ是等边三角形【解析】∵ ACP≌ BCQ∴PC=QC∴三角形PCQ是等腰三角形∵∠PCQ=60°∴三角形PCQ是等边三角形结论8：PQ∥AE【解析】∵三角形PCQ是等边三角形∴∠CPQ=60°∴∠CPQ=∠ACB∴PQ∥AE结论9：∠OPC+∠OQC=180°O、P、C、Q四点共圆(对角互补的四边形的顶点共圆)【解析】在四边形OPCQ中，∠OPC+∠OQC=360°-（∠AOE+∠BCQ）=360°-（120°+60°）=180°A0：AO=BO+OC EO=OD+OC【解析】作OK=OC∵∠AOC=60°∴三角形OKC是等边三角形∴KC=OC∴∠ACK=∠BCO=60°-∠PCK在 ACK和 BCOAC BCACK BCOKC OC∴ ACK≌ BCO（SAS）∴AK=BO∴AO=AK+OK=BO+OC同理可证：EO=OD+OC【拓展探究】如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合）,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE 于N.结论1:MN∥AB【解析】∵CD∥BE∴ NEB~ NCD∴NE EB CN DC∵AD∥CE∴ ADM~ ECM∴AD AM CD CE ME BE∴CN AM NE ME∴MN∥AB （平行线分线段成比例的推论）11AC BC【解析】∵ NEB~ NCD∴设NE NB EB m NC DN CD ∴NE=mCN,NB=mDN ∵ ADM~ ECM∴MC ME EC m DM AM AD ∴MC=mDM,ME=mAM ∵MN ∥AC MN ∥BC∴1MN NE mCN m AC NE CN mCN CN m 11MN DM DM BC DM MC mDM DM m ∴1111MN MN m AC BC m m ∴111MN AC BC 14MNAB 【解析】 ∵111BC AC MN AC BC AC BC ∴BC AC AC BC MN AC BC AB 设AC=x∴21111(AB )()244x MN x x AB AB AB AB AB。
三角形旋转全等常见模型
1绕点型(手拉手模型)遇60°旋60°，造等边二角形遇900旋900，造等腰直角 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋1800，造中心对称(2)共旋转(典型的手拉手模型)例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△(1)△ ABE^A DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。
(4)△ AGB2A DFB (5)△ EGB2A CFB (6)BH 平分/ AHC (7) GF// AC变式练习1、如果两个等边三角形△ ABD 和△ BCE 连接AE 与CD 证明:(1)△ ABE^A DBC (2)AE=DC (3) AE 与DC 的夹角为60。
(4) AE 与DC 的交点设为H,BH 平分/ AHC(1自旋转：自旋转构造方法 ABD 和△ BCE 连接 AE 与CD 证明: B变式练习2、如果两个等边三角形厶ABD和厶BCE连接AE与CD,证明:D(1)△ABE^A DBC(2) AE=DC(3) AE与DC的夹角为60。
(4)AE与DC的交点设为H,BH平分/ AHC(1)如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC, BC为边在AB的同侧作等边△ ACM和厶CBN，连接AN , BM .分别取BM , AN的中点E, F,连接CE, CF, EF.观察并猜想△ CEF的形状，并说明理由.(2)若将(1 )中的“以AC, BC为边作等边△ ACM和厶CBN'改为“以AC , BC为腰在AB的同侧作等腰△ ACM和厶CBN，”如图2，其他条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.例4、例题讲解：1.已知△ ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列)，使/ DAF=60 ° ,连接CF.(1) 如图1,当点D在边BC上时，求证：① BD=CF 宓AC=CF+CD.(2) 如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；⑶如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。
旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)—2023-2024学年九年级数学上册(解析版)
旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。
模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。
其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。
手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。
1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。
2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。
3）双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。
结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。
4）双正方形形型条件：△ABCFD和△CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。
结论：①△△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。
【答案】(1)40；(2)60；(3)【分析】（1）证明△COD是等边三角形，得到∠ODC=60°，即可得到答案；∠=∠ADC-∠ODC求出答案；（3）由△BOC≌△ADC，推出∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，根据（2）利用ODA△COD 是等边三角形，得到∠ODC=60°，OD=4OC =，证得△AOD 是直角三角形，利用勾股定理求出．【详解】（1）解：∵CO=CD ，∠OCD=60°，∴△COD 是等边三角形；∴∠ODC=60°，∵∠ADC=∠BOC=100α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=40°，故答案为：40；（2）∵∠ADC=∠BOC=120α=︒，∴ODA ∠=∠ADC -∠ODC=60°，故答案为：60；（3）解：当150α=︒，即∠BOC=150°，∴△AOD 是直角三角形．∵△BOC ≌△ADC ，∴∠ADC=∠BOC=150°，AD=OB=8，又∵△COD 是等边三角形，∴∠ODC=60°，OD=4OC =，∴∠ADO=90°，即△AOD 是直角三角形，∴OA =故答案为：【点睛】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力． 备用图【答案】(1)△BEF 是等边三角形(2)证明见解析(3)131−【分析】（1）根据旋转即可证明△BEF 是等边三角形；（2）由△EBF 是等边三角形，可得FB=EB ，再证明∠FBA=∠EBC ，又因为AB=BC ，所以可证明△FBA ≌△EBC ，进而可得AF=CE ；（3）当点D ，E ，F 在同一直线上时，过B 作BM ⊥EF 于M ，再在Rt △BMD 中利用勾股定理列方程求解即可．（1）∵将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EB=EF ，60FEB =︒∠∴△BEF 是等边三角形（2）∵等边△ABC 和△BEF ∴BF=BE ，AB=BC ，60EBF ABC ∠=∠=︒∴EBF ABE ABC ABE ∠+∠=∠+∠即∠FBA=∠EBC∴△FBA ≌△EBC （SAS ）∴AF=CE（3）图形如图所示：过B 作BM ⊥EF 于M ，∵△BEF 是等边三角形∴2BE EM =，BM =∵点D 是AB 的中点，∴142BD AB == 在Rt △BMD 中，222BM DM BD +=∵DE=2∴222)(2)4EM ++=解得EM 或EM =（舍去）∴21BE EM == 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，解一元二次方程，利用手拉手模型构造全等三角形是解题的关键．例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC ==点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且CD CE =AD BE =，AD BE ⊥成立．（1）将CDE △绕点C 逆时针旋转90︒时，在图②中补充图形，并直接写出BE 的长度；（2）当CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，AD 与BE 的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将CDE △绕点C 逆时针旋转一周的过程中，当A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出AD 的长度．【答案】（1）补充图形见解析；BE =（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立，证明见解析；（3）1AD或1=AD ．【分析】（1）根据旋转作图的方法作图，再根据勾股定理求出BE 的长即可；（2）根据SAS 证明E ACD BC ≅∆∆得AD=BE ，∠1=∠2，再根据∠1+∠3+∠4=90°得∠2∠3+∠4=90°，从而可得出结论；（3）分两种情况，运用勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图所示，根据题意得，点D 在BC 上，∴BCE ∆是直角三角形，且由勾股定理得，BE ==（2）AD BE =，AD BE ⊥仍然成立. 证明：延长AD 交BE 于点H ，∵90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD ACB BCD ∠=∠−∠，BCE DCE BCD ∠=∠−∠，∴ACD BCE ∠=∠，又∵CD CE =，AC BC =，∴ACD BCE ≅△△，∴AD BE =，12∠=∠，在Rt ABC 中，13490∠+∠+∠=︒，∴23490∠+∠+∠=︒，∴90AHB ∠=︒，∴AD BE ⊥.（3）①当点D 在AC 上方时，如图1所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x ++=解得,1x ∴ 1AD =②当点D 在AC 下方时，如图2所示，同（2）可得ACD BCE ≅△△∴AD=BE 同理可证BE AE ⊥在Rt △CDE 中，CD CE =2=在Rt △ACB 中，AC BC =AB ==设AD=BE=x ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB +=∴222(2)x x +−=解得,x = ∴ 1AD .所以,AD 1【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识，熟练解答本题的关键．例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B ，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF ∆≅∆得CD=BE ，再证明BDE ∆为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD2+DB2=2DF2证明：∵DF=EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF =连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =， CF AB ⊥，即90CFB ∠=︒ ∴45FCB FBC ∠=∠=︒，90CFD DFB ∠+∠=︒又90DFB EFB ∠+∠=︒ ∴CFD EFB ∠=∠在CFD ∆和BFE ∆中CF BF CFD BFE DF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴CFD ∆≅BFE ∆∴CD BE =，45EBF FCB ∠=∠=︒ ∴454590DBF EBF ∠+∠=︒+︒=︒ ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD2+DB2=2DF2 ；（2）CD2+DB2=2DF2 证明：连接BE∵CF=BF ，DF=EF 又∵∠DFC+∠CFE=∠EFB+∠CFB=90°∴∠DFC=∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD=BE ，∠DCF=∠EBF=135°∵∠EBD=∠EBF －∠FBD=135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE2+DB2=DE2∵ DE2=2DF2 ∴ CD2+DB2=2DF2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知ABC 是等腰三角形，AB AC =．（1）特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB ______EC ．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的ADE 绕点A 顺时针旋转α（0180α︒<<︒）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，90BAC ∠=︒，且1BP =，2AP =，3CP =，求BPA ∠的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将BAP △绕点A 顺时针旋转90°得到CAE V ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出BPA ∠的度数．【答案】（1）=；（2）成立，理由见解析；（3）∠BPA=135°．【分析】（1）由DE ∥BC ，得到∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，结合AB=AC ，得到DB=EC ；（2）由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB=CE ；（3）由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ，∠AED=∠C ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ADE=∠AED AD=AE ，∴DB=EC ，故答案为：=；（2）成立．证明：由①易知AD=AE ，∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB ≌△EAC （SAS ），∴DB=CE ；（3）如图，将△APB 绕点A 旋转90°得△AEC ，连接PE ，∴△APB ≌△AEC ，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt △PAE 中，由勾股定理可得，在△PEC 中，PE2=（2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC 是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB ≌△AEC ，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．【答案】（1）见解析；（2）48；（3）15︒【分析】（1）通过边角边判定三角形全等；（2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，先证明DE BG ⊥，由勾股定理可得2222DG BE DB GE +=+；（3）作CK GE ⊥于点K ，则122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，由含30度角的直角三角形的性质求解．【详解】（1）四边形ABCE 与CEFG 为正方形，CG CE =，90BCG DCE ∠=∠=︒，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠，在BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCECG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BCG DCE ∴≌ (SAS)， （2）连接,BD GE ，设,BG DE 交于点O ，,DE CG 交于点M ，90BCG α=∠︒+，90DCE α∠=︒+，BCG DCE ∴∠=∠， 在△BCG 和DCE △中，BC DC BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BCG DCE ∴△≌，BGC DEC ∠=∠，GMO EMC ∠=∠，18090GOM GMO BGC EMC DEC GCE ∴∠=︒−∠−∠=︒−∠−∠=∠=︒DE BG ∴⊥，由勾股定理得222DG DO GO =+，222BE OB OE =+，22222222DG BE DO GO OB OE DB GE ∴+=+++=+，4,AB CG ==，BD ∴==4GE ==，2222(448DG BE ++∴==，(3)作CK GE ⊥于点K ，如图，△CEG 为等腰直角三角形，122CK GE ==，且1452GCK GCE ∠=∠=︒，在Rt CDK 中，12CK CD =，30CDK ∴∠=︒，903060DCK ∴∠=︒−︒=︒， 604515DCG DCK GCK =∠−∠=︒−︒=︒∠．∴15α=︒．【点睛】本题考查四边形与三角形的综合问题，解题关键是熟练掌握正方形与直角三角形的性质，通过添加辅助线求解．模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④∆AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结49762
一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
等边三角形的旋转全等课件
（1）求证：△MDC是等边三角形；
（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与 AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小 值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．
谢谢！
大小不等的等边 三角形擦出 的火花
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系?
请证明你的结论.
按照题干要求摆放你手中 的两个三角形纸片，并连 接相应的线段，标注字母
分析题意，说说你的方法 和应该注意的问题
书写过程
如图，△ABC和△CEF是两个大小不 等的等边三角形，有一个公共顶点C 且点F在CB的延长线上，连接AF和 BE．线段AF和BE有怎样的大小关系? 请证明你的结论.
1.如果删除题干中的一些限制条件并撤去例图，图形会发生变 化吗？利用你手中的三角形纸片摆一摆. 2.每得到一个不同的构图，立即画出图形并标注相应的字母. 你得到了几个新图？
A
A
F B
cF
B
cF
A
B c F
B A
c F
B
c
A
F
在不E 同的构图B 中E，AF与BE的E 关系还成 立吗？请c 任选两个F 图形进行 E
A
B A
A
BA
A B
c
EF
A
cE
F
cE
B
B
B
E
E
E
你能把以下的题目对应到哪个图形？
1.（2011•南充）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
全等三角形的复习(旋转中的全等三角形)
B
B
图形的全等的复习
——旋转中的全等三角形
例1. 用两个全等的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形ABCD ，把一个含60°的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合，然后将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.⑴当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图1），通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出BE 、CF 有什么数量关系？请证明你的结论.
⑵当三角板两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于E 、F 时，（如图2），你在⑴中得出的结论还成立吗？简要说明理由。
C
C
C
例2．
⑴如图，点A 为线段CD 上一点，△CAB 和△ADE 是等边三角形，连结CE ，与AB 交于点M ，连结BD ，交AE 于点P . ①求证：CE=BD ； ②求证：AM=AP.
⑵若将等边三角形ADE 绕着点A 逆时针旋转到如图的位置，使得点B 、E 、D 在同一直线上时， 求证：CE=BE+AE.
⑶若将等边三角形ADE 绕着点A 继续逆时针旋转到如图的位置，使得点B 、D 、E 在同一直线上时， 试猜测CE 、BE 和AE 之间的数量关系，并说明理由.
思考．已知：如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作经过点A 的直线MN 的垂线段BD 、CE ，垂足分别为D 、E. ⑴求证：DE=BD+CE ；
⑵若将△BAC 绕着点A 逆时针旋转到直线MN 经过∠BAC 的内部，那么⑴的结论还成立吗？请给出你的结论，并说明理由.。
两个等边三角形中的三角形全等
变式 ４ ． 如 图 ９所示 ， 已知点 Ｂ 、 Ｃ 、 Ｄ在 同一直 线上 ，
ＡＡ Ｂ Ｃ与 Ｚ Ｘ Ｄ Ｃ Ｅ都是等边 三角形 ， Ｂ Ｅ交 Ａ Ｃ于点 Ｆ， Ａ Ｄ
交Ｃ Ｅ于点 Ⅳ， Ａ Ｄ交 Ｂ Ｅ于点 ０ ． 连结 Ｏ Ｃ、 Ｆ Ｈ， 则 下列结 论： （ １ ） Ａ Ｄ＝ Ｂ Ｅ， （ ２ ） Ａ Ｈ＝Ｂ Ｆ， （ ３ ） 明 ∥Ｂ Ｄ， （ ４） ／ ＿ Ｂ Ｏ Ｃ
’
．
．
△Ｂ Ｃ Ｅ △Ａ Ｃ Ｄ（ 边角边 ）
Ａ
同理 可 得 Ｄ ０ Ｃ＝ ６ ０ 。 ， 所 以 ／Ｂ Ｏ Ｃ＝ Ｄ Ｏ Ｃ
变式 １ ． 如 图 ７， 点 曰， Ｃ ， Ｄ在 同一 直 线上 ， ＡＡ Ｂ Ｃ和 △Ｃ Ｄ Ｅ都是等
边三角 形 ， Ｂ Ｅ交 Ａ Ｃ 于 点 Ｆ， Ａ Ｄ交 Ｃ Ｅ于 点 且
ＡＡ Ｄ Ｅ是等边 三角形 变式 ２ ． （ 把 △Ａ Ｄ Ｅ绕
Ｂ
Ｃ
图２
Ａ点旋转 ）
如图 ２ ， ＡＡ Ｂ Ｃ和ＡＡ Ｄ Ｅ是等边三角形 ， 求证： Ｂ Ｄ＝ 们
分析 由 ＡＢ Ａ Ｄ￣ Ａ Ｃ Ａ Ｅ（ 边角边） 得Ｂ Ｄ＝ Ｅ Ｃ
＝ ＣＤ
变式 ３ ．（ 变式 ２题设 ＡＡ Ｄ Ｅ为 等边 三角形 与结 论
Ｏ ｏ ￣ ＡＡ Ｂ Ｃ和 △Ｃ Ｄ Ｅ都是等边三角形
又 因 为 ／ ＿ Ａ Ｆ Ｂ＝
ＯＦ Ｃ．
图８
Ｂ Ｃ ＝ＡＣ， Ｃ Ｅ ＝Ｃ Ｄ， ／ ＿ ＿ ＢＣ Ａ＝ ／ ＿ＤＣ Ｅ ＝６ ０ 。
ＢＣＥ ＝ ／ ＿ＡＣＤ
所 以 △Ａ Ｆ Ｂ ＇ － ＂ △Ｏ Ｆ Ｃ， 所 以／ ＿Ｂ Ｏ Ｃ＝／ ＿Ｂ Ａ Ｃ＝ ６ ０ 。
全等的证明(旋转位置关系)
专题:具有旋转位置关系的全等三角形的证明班级：姓名：授课教师：郎红霞课型：复习课课时：1【学习目标】1.会从旋转变换的角度,认识两个可能全等的三角形;2.能熟练使用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等;3.经历探索的过程，从中体会旋转变换与三角形全等的关系，培养学生的探究能力和合作精神.一.知识回顾1.前面我们学过哪些全等三角形的判定方法？你能用语言叙述出来吗？如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.（1）若以“SAS”为依据，还需添加一个条件为；（2）若以“ASA”为依据，还需添加一个条件为；（3）若以“AAS”为依据，还需添加一个条件为；二.探索发现观察下面的图形：问题1这些图形有哪些共同点？他们是通过怎样的变换得到？问题2这些图形中通过变换后的两个三角形之间具有怎样的关系？总结：三.典例分析1.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE问题1观察图形，△ABC和△ADE具有怎样的位置关系？通过怎样变换得到？问题2要证明△ABC和△ADE全等，题目中已知和未知条件是什么？采取哪种判定方法？变式如图，已知AC=AE,∠1=∠2＝∠3，求证：DE=BC2.已知，∠ABC=∠DBE=90°，DB=EB，AB=CB,D点在三角形的内部，求证：AD=CE,AD⊥CE问题1观察图形中哪两个三角形具有特殊的位置关系？问题2要证明AD=CE,AD⊥CE，需要先证什么？总结：具有旋转位置关系的全等三角形的证明，我们该怎样做？四.类题演练1.如图，AB∥CD,E是CD上的一点，BE交AD于点F,EF=BF.求证AF=DF2.如图,在△ABC中，分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE,BD交于点O,求∠AOB= 度3.如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE=90°,AB＝CB，BE=BD，连接AE，CD，AE与CD交于M，AE与BC交于点N.求证：AE=CD ，AE⊥CD。
专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)
专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。
本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。
解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。
旋转背景下三角形全等的相关问题
旋转背景下三角形全等的相关问题全等三角形是两个三角形最简单、最常见的关系。
它不仅是学习相似三角形、平行四边形、圆等知识的基础，并且是证明线段相等、角相等的常用方法，也是证明两线互相垂直、平行的重要依据。
平移、旋转、翻折是图形运动中的全等变换，经过全等变换后的图形与原图形是全等的，经过旋转得到的图形与原图形全等。
因此我们可以借助全等变换的方法帮助我们在复杂的图形中找到全等的三角形，同时还可以利用全等变换将分散的条件集中，从而寻求利用三角形全等解决问题的方法。
1、线的旋转例1、如图1（1），在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AN 是过点A 的任一直线，BD ⊥AN 于D ，CE ⊥AN 于E.求证：BD=AE（2）若将直线AN 绕点A 沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC 内部，再作BD ⊥AN D ，CE ⊥AN 于E ，如图1（2）、图1（3），原结论是否不变，请说明理由。
分析：本题为图形旋转证明三角形全等的基本题型，在直线AN 旋转的过程中，∠BAD=∠ACE 与∠ABD=∠CAE 的结论始终是成立的，由同角的余角相等及三角形内角和等于180°的定理可证明（证明方法不唯一）。
由已知条件AB=AC ，可证明△ABD ≌△CAE(A.A.S)，从而证明BD=AE 。
该结论对图（2）、图（3）仍然成立。
说明：此题为直线旋转，条件不变得到全等，△ABD ≌△CAE 始终成立，求证线段BD=AE 与线段AD=CE 方法相同，是需要掌握的基本题型。
图1（1）NEDCBA图1（2）NEDCBAA图1（3）NEDCB拓展：条件不变，求证线段DE 、BD 、CE 之间的等量关系，说明：结论虽然会因为直线AN 位置的不同而不同，但证明方法都是由证△ABD ≌△CAE 入手。
2、图形的旋转例2、如2（1）中，△AOB 与△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°.（1） 在图2（1）中，AC 与BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。
三角形全等之手拉手模型-倍长中线-截长补短法-旋转-寻找三角形全等与方法归纳总结
一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
数学人教版八年级上册全等三角形与旋转问题
课题概述八年级学生虽然已经在七年级学习了平行线与相交线，但是平行线与相交线的证明很简单，本学期学习连续学习《三角形》，《全等三角形》，《轴对称》三章，图形变化较多，学生在寻找图形边角关系上还存在问题，证明也有一定难度，只能见一个图形硬性记一个图形，所以本节课设计意图就是将看似分隔的图形通过几何画板的演示整合到一起，形成一个图形的不同变换形式，而实质是不变的，从而帮助学生理解图形的内在联系。
对于以后学习旋转规律图形也会有相当大的帮助。
学习目标阐述（1）通过观察图形的变化过程，探究发现图形变化的实质，从而抓住本质规律，找到证明全等的条件．（2）通过观察几何画板的图形变换的演示，将看似分割的图形整合到一起，抓住事物本质．完成目标（1）的标志是：学生能用旋转的角度理解两个三角形能重合，所以全等，进而理解边角关系，找到证明条件。
完成目标（2）的标志是：学生发挥想象力和创意移动点C，B位置，发现不同图形式可以整合到一起，从而将图形统一，抓住图形本质。
学习者特征分析学生在八年级上学期刚刚学习了《三角形》，《全等三角形》和《轴对称》三章，三大章几何连在一起学习，学生的几何体系还没有建立起来，还不能熟练辨析图形之间的关系，对于图形的变换还比较陌生，对于判定两个三角形全等方法的选择以及利用等边三角形证明两个三角形全等也还有一定难度。
教学策略选择与教学活动设计教学策略：八年级学生好奇心强，对新鲜事物感到新奇，创意无限，喜欢探索。
几何画板的动态演示过程，能激发学生的学习兴趣，帮助学生发现并理解图形的变化过程及变换的实质，让学生能够更积极主动地探索新知。
教学活动设计教师创设背景，由学生发挥想象和创意改变图形，发现图形规律和内在联系，并由学生尝试总结规律，给出证明。
教学资源与工具的设计和使用八年级上册数学课本几何画板V5.05演示正方形旋转过程，通过观察发现题目本质，引导学生观察P点的变化范围，其轨迹像在荡秋千，引导学生观察P在AE’上，P标最大，需使直线AE’倾斜程度最大，那么倾斜NMD ECBA 教学评价与反馈设计1.如图，四边形ACDE,BCMN 为正方形，AM_____BD, ∠MAC_____∠BDC(填<，=，>)第1题 第2题2.如图，在ABC 中，D 在AB 上，且ΔCAD 和ΔCBE 都是等边三角形，（1）DE______AB ，（2）∠EDB=_________°3. 如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上任一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如 果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点.则∠CMN=_____________°第3题 第4题4.已知：如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形. 求证：BD=CE 且BD ⊥CE总结与帮助放飞学生的心灵，尊重学生独特的体验探究学习是一种发现学习，具有深刻的问题性、广泛的参与性、丰富的实践性和开放性。
关于全等三角形的旋转难题
扭转之杨若古兰创作已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，（1）如图1，当CE位于点F的右边时，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，当CE位于点F的左边时，求证：ED=BE-AD；（3）如图3，当CE在△ABC的内部时，试猜测ED、AD、BE之间的数量关系，并证实你的猜测．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证实题；探究型．分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证实△ADC≌△CEB．（2）根据AAS证实△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD．（3）根据AAS证实△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进而得到ED=AD+BE．解答：（1）证实：∵AD⊥CE，BE ⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）证实：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CD-CE，∴ED=BE-AD．（3）ED=AD+BE．证实：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．在△ADC与△CEB中∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ，∴△ADC≌△CEB（AAS）．∴DC=BE，AD=CE．又∵ED=CE+DC，∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换，证实线段之间的数量关系，这是一种很次要的方法，留意把握3.如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有如何的地位关系？请说明理由.（2）若△COD绕点O顺时针扭转必定角度后，到达图2的地位，请问AC与BD还相等吗，还具有那种地位关系吗？为何？（3）若△COD绕点O顺时针扭转必定角度后，到达图3的地位，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的地位关系吗？为何？考点：扭转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）根据等腰三角形的两腰相等进行解答．（2）证实△DOB≌△COA，根据全等三角形的对应边相等进行说明．解答：解：（1）相等．在图1中，∵△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OB，OC=OD，∴0A-0C=0B-OD，∴AC=BD；（2）相等．在图2中，0D=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA，∴BD=AC．点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和扭转成绩，在扭转的过程中要留意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角．4.（2008河南）．（9分）复习“全等三角形”的常识时，老师安插了一道功课题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针扭转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证实了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP以后，将点P移到等腰三角形ABC以外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证实．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证实题；探究型．分析：此题的两个小题思路是分歧的；已知∠QAP=∠BAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得∠QAB=∠PAC；而根据扭转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得△ABQ≌△ACP，进而得出BQ=CP的结论．解答：证实：（1）∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP-∠BAP=∠BAC-∠BAP，即∠QAB=∠CAP；在△BQA和△CPA中，AQ=AP ∠QAB=∠CAP AB=AC ，∴△BQA≌△CPA（SAS）；∴BQ=CP．（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：∵∠QAP=∠BAC，∴∠QAP+∠PAB=∠BAC+∠PAB，即∠QAB=∠PAC；在△QAB和△PAC中，AQ=AP ∠QAB=∠PAC AB=AC ，∴△QAB≌△PAC（SAS），∴BQ=CP．点评：此题次要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是准确解答本题的关键．5.（2009山西太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片ABC△.将这两张三角形胶△≌DEF△和DEF△．且ABC片的顶点B 与顶点E 重合，把DEF △绕点B 顺时针方向扭转，这时候AC 与DF 订交于点O ．①当DEF △扭转至如图②地位，点()B E ，C D ，在同不断线上时，AFD ∠与DCA ∠的数量关系是．②当DEF △继续扭转至如图③地位时，（1）中的结论还成立吗？AO 与DO 存在如何的数量关系？请说明理由．点：扭转的性质；全等三角形的判定与性质．专题：探究型．分析：（1）根据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC ，∠DCA=∠A+∠ABC ，从而得出∠AFD=∠DCA ；（2）成立．由△ABC ≌△DEF ，可证实∠ABF=∠DEC ．则△ABF ≌△DEC ，从而证出∠AFD=∠DCA ；（3）BO ⊥AD ．由△ABC ≌△DEF ，可证得点B 在AD 的垂直平分线上，进而证得点O 在AD 的垂直平分线上，则直线BO 是AD 的垂直平分线，即BO ⊥AD ．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA （或相等）． （2）∠AFD=∠DCA （或成立），理由如下：方法一：由△ABC ≌△DEF ，得AB=DE ，BC=EF （或BF=EC ），∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ．∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF ， ∴∠ABF=∠DEC ．在△ABF 和△DEC 中， AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC ∴△ABF ≌△DEC ，∠BAF=∠EDC ．∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC ，∠FAC=∠CDF ． ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ， ∴∠AFD=∠DCA ．方法二：连接AD ．同方法一△ABF ≌△DEC ，∴AF=DC ．由△ABC ≌△DEF ，得FD=CA ．在△AFD ≌△DCA ， AF=DC FD=CA AD=DA ∴△AFD ≌△DCA ，∠AFD=∠DCA ． （3）如图，BO ⊥AD ．方法一：由△ABC ≌△DEF ，点B 与点E 重合， 得∠BAC=∠BDF ，BA=BD ． ∴点B 在AD 的垂直平分线上， 且∠BAD=∠BDA ．∵∠OAD=∠BAD-∠BAC ，∠ODA=∠BDA-∠BDF ， ∴∠OAD=∠ODA ．∴OA=OD ，点O 在AD 的垂直平分线上． ∴直线BO 是AD 的垂直平分线，BO ⊥AD ．方法二：耽误BO 交AD 于点G ，同方法一，OA=OD ． 在△ABO 和△DBO 中， AB=DB BO=BO OA=OD ∴△ABO ≌△DBO ，∠ABO=∠DBO ．在△ABG 和△DBG 中， AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG ∴△ABG ≌△DBG ，∠AGB=∠DGB=90°．∴BO ⊥AD ．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质和扭转的性质，是基础常识要熟练把握．例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.考点：扭转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：耽误EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADFFED CBA（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：耽误EB使得BG=DF，在△ABG和△ADF中，由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ，可得△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG=∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°．答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．∆斜边AB的中点，DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.A ∠绕点D动弹时，求证DE=DF.（1）当MDN（2）若AB=2，求四边形DECF的面积.考点：扭转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE ≌△ADF ，则S △DCE=S △ADF ，因而四边形DECF 的面积=S △ACD ，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S △ACD ，从而得到四边形DECF 的面积．解答：解：（1）连CD ，如图， ∵D 为等腰Rt △ABC 斜边AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∠A=45°，CD=DA ， ∴∠BCD=45°，∠CDA=90°， ∵∠DM ⊥DN ， ∴∠EDF=90°， ∴∠CDE=∠ADF ， 在△DCE 和△ADF 中，∠DCE=∠DAF DC=DA ∠CDE=∠ADF ， ∴△DCE ≌△ADF ， ∴DE=DF ；（2）∵△DCE ≌△ADF ， ∴S △DCE=S △ADF ，∴四边形DECF 的面积=S △ACD ， 而AB=2， ∴CD=DA=1，∴四边形DECF 的面积=S △ACD=1 2 CD •DA=1 2 ．点评：本题考查了扭转的性质：扭转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与扭转中间的连线段的夹角等于扭转角．也考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 1、已知四边形ABCD中，AB AD⊥，BC CD⊥，AB BC=，120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点扭转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的耽误（图1） A BCDE FM N（图2）A B CDE FMN（图3）AB CDE F MN线）于E F ，．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点扭转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证实；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有如何的数量关系？请写出你的猜测，不需证实．2、（西城09年一模）已知以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.(1)如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变更,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及响应∠APB 的大小.3、在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上挪动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN之间的数量关系是； 此时=L Q ；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜测（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的耽误线上时， 若AN=x ，则Q=（用x 、L 暗示）．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN，此时QL =2 3 ；（2）在CN的耽误线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN．此时 Q L =2 3 ．（2分）．理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，∴△MDN是等边三角形，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BDC=∠DCB=30°，∴∠MBD=∠NCD=90°，∵DM=DN，BD=CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，∴DM=2BM，DN=2CN，∴MN=2BM=2CN=BM+CN；∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形，∵AB=AM+BM，∴AM：AB=2：3，∴Q L =2 3 ；（2）猜测：结论仍然成立．（3分）．证实：在CN的耽误线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M1DN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，∴Q L =2 3 ；（3）证实：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分）可证△DBM≌△DCM1，∴DM=DM1，（5分）可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN=M1N，（7分）．∴NC-BM=MN．（8分）．点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质等常识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是留意数形结合思想的利用与辅助线的作法．例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向扭转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD订交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证实你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的耽误线订交于点E，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；扭转的性质．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；（2）根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；（3）利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S △ABC求出即可．解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，证实：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即：∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，∴∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，（2）还成立，证实：∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，即∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF，（3）证实：∵△ABE≌△ACF，∴S△ABE=S△ACF，∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC；而S△ABC=1 2 S菱形ABCD，∴S=1 2 S菱形ABCD．点评：此题次要考查了全等三角形的判定和四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键．解：（1）BE=CF.证实：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，∴∠BAE=∠CAF.∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.∴BE=CF.（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证实△ABE和△ACF扭转型1、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的耽误线于H.求证：①△BCG ≌△DCE ② BH ⊥DE考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：动点型．分析：（1）根据正方形的边的性质和直角可通过SAS 判定△BCG ≌△DCE ，从而利用全等的性质得到∠BGC=∠DEC ；（2）连接BD ，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE ，从而找到BD= 2，CE=BE-BC= 2-1，根据全等三角形的性质求解即可．解答：解：（1）证实：∵四边形ABCD 、GCEF 都是正方形，∴BC=DC ，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC ∴△BCG ≌△DCE （3分） ∴∠BGC=∠DEC （4分） （2）连接BD如果BH 垂直平分DE ，则有BD=BE （6分） ∵BC=CD=1， ∴BD= 2 （8分）∴CE=BE-BC= 2 -1（9分） ∴CG=CE= 2 -1即当CG= 2 -1时，BH 垂直平分DE ．（10分）点评：此题次要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何常识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．特殊图形的特殊性FED CABG H质要熟练把握．2、两个大小分歧的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证实（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证实：DC ⊥BE ．∠BAE=∠CAD AE=AD∴△ABE ≌△ACD ． （2）∵△ABE ≌△ACD ， ∴∠ACD=∠ABE=45°．又∵∠ACB=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°． ∴DC ⊥BE ．点评：此题是一个实际利用成绩，利用全等三角形的性质与判定来解决实际成绩，关键是理解题意，得到所须要的已知条件．3、（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，订交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，坚持ΔOCD 的外形和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 扭转（ΔOAB 和ΔOCD 不克不及堆叠），求∠AEB 的大小.4、如图，AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB=AE ，∠B=∠E ，求证：（1）BD=CE ；（2）BD ⊥CE ．．证实：（1）AE ⊥AB ，AD ⊥AC ∠BAE=∠CAD∠BAD=∠CAE ．而AB=AE ，∠B=∠E ，∴△ABD ≌△AEC ．∴BD=CE ．（2）由△ABD ≌△AEC 知∠B=∠E ．而∠AGB=∠EGF ，∴∠EFG=∠EAB=90°，∴BD ⊥CE ．如图，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧CBO D图7AEBAODCE图8作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，订交于点E，连接BC．求∠AEB的大小．考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：因为△BOC和△ABO都是等边三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA，进而求出∠BDA与∠CAD的大小及关系，则可求解∠AEB．解答：解：∵△DOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴OD=DC=OC=OB=OA，∴△ACD≌△DBA，∴∠BDA=∠CAD．又∵∠BDA+∠OBD=∠BOA=60°，而∠ODB=∠OBD，∴∠BDA=30°．∴∠CAD=30°．∵∠AEB=∠BDA+∠CAD，∴∠AEB=60°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可环绕结论寻觅全等三角形，应用全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度数是准确解答本题的关键．答题：yeyue5、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAB MCF6、 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.考点：扭转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：耽误EB 使得BG=DF ，易证△ABG ≌△ADF （SAS ）可得AF=AG ，进而求证△AEG ≌△AEF 可得∠EAG=∠EAF ，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：耽误EB 使得BG=DF ， 在△ABG 和△ADF 中，由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ， 可得△ABG ≌△ADF （SAS ）， ∴∠DAF=∠BAG ，AF=AG ，又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG ，AE=AE ， ∴△AEG ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EAG=∠EAF ，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90° ∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°．答：∠EAF 的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF 是解题的关键．7、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F.①当MDN ∠绕点D 动弹时，求证DE=DF. ②若AB=2，求四边形DECF 的面积.10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边A形ABCDE 的面积考点：全等三角形的判定与性质．专题：利用题．分析：可耽误DE 至F ，使EF=BC ，可得△ABC ≌△AEF ，连AC ，AD ，AF ，可将五边形ABCDE 的面积转化为两个△ADF 的面积，进而求出结论．解答：解：耽误DE 至F ，使EF=BC ，连AC ，AD ，AF ，∵AB=CD=AE=BC+DE ，∠ABC=∠AED=90°， ∴CD=EF+DE=DF ，在Rt △ABC 与Rt △AEF 中，∵ AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ∴Rt △ABC ≌Rt △AEF （SAS ）， ∴AC=AF ，在△ACD 与△AFD 中， ∵ AC=AF CD=DF AD=AD ∴△ACD ≌△AFD （SSS ），∴SABCDE=2S △ADF=2×1 2 •DF •AE=2×1 2 ×2×2=4．点评：本题次要考查了全等三角形的判定及性质和三角形面积的计算，应熟练把握 五、扭转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.将三角形ADF 绕点A 顺时针扭转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF 又AE=AE ，AF=AG ， 所以三角形AEF 全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF 又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90FED CBA所以∠EAF=45度（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的耽误线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．（2）将三角尺沿对角线平移到图2的地位，PE、PF之间有如何的数量关系，并说明理由．（3）如果将三角尺扭转到图3的地位，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明理由．如果没有，那么点P在AC的什么地位时，PE、PF才具有（2）中的数量关系．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）证实△ABE≌△ADF可推出AE=AF．（2）本题要借助辅助线的帮忙．过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，证实△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE，PF 才具有（2）中的数量关系．解答：解：（1）如图1，AE=AF．理由：证实△ABE≌△ADF（ASA）（2）如图2，PE=PF．理由：过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌△PNF（ASA），从而证得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）证实△ABE≌△ADF可推出AE=AF．（2）本题要借助辅助线的帮忙．过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，证实△PME≌△PNF可推出PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE，PF才具有（2）中的数量关系．解答：解：（1）如图1，AE=AF．理由：证实△ABE≌△ADF（ASA）（2）如图2，PE=PF．理由：过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌△PNF（ASA），从而证得PE=PF．（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系．点评：本题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定．例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向扭转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD订交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证实你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的耽误线订交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解：（1）BE=CF.证实：在△ABE 和△ACF 中， ∵∠BAE +∠EAC =∠CAF +∠EAC =60°，∴∠BAE =∠CAF .∵AB =AC ，∠B =∠ACF =60°，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）.∴BE =CF .（2）BE =CF 仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证实△ABE 和△ACF1、用两个全等的等边三角形△ABC 和△°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向扭转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 订交于点E 、F 时（如图所示），通过观察或测量BE 、CF的长度，你能得出什么结论？并证实你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的耽误线订交于点E 、F 时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由.6、 已知∠AOB=90°，∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与点C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB 或它们的反向耽误线订交于D 、E.当三角形绕点C 扭转到CD 与OA 垂直时（如图1），易证：CD=CE当三角板绕点C 扭转到CD 与OA 不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证实，若不成立，请写出你的猜测，不需证实.10、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D不重合），以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的耽误线于H.（1）说明：△BCG≌△DCE；（2）BG与CD有何关系？为何？（3）将正方形GCEF绕点C顺时针扭转，在扭转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由.如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、绕点B逆时针扭转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M 为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这类作法的根据．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；（2）连接MN，由（1）的结论证实△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．是以线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．解答：解：（1）证实：∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．又∵BM=BN，∴△AMB≌△ENB．（2）连接MN．由（1）知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．是以线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．点评：本题考查全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．。
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两个等边三角形之间的旋转全等问题
1、（锦州）如图A ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE ．（1）线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）将图A 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图B ，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4） 根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A ，大小不等的等边三角形ABC 和等边三角形CEF 有且仅有一个公共顶点C ，则以点C 为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE ．
2、如图，ADC ∆和BCE ∆都是等边三角形， 30=∠ABC ，试说明：2
22BC AB BD +=（综合全等和勾股定理）
3、△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC
4、已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 为等边三角形；
(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90 O ，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形。
下列结论：① AE=CD ；②BF=BG ；③BH 平分∠AHD ； ④∠AHC=600,⑤△BFG 是等边三角形；⑥ FG ∥AD 。
其中正确的有（ ）
A 3个
B 4个
C 5个
D 6个
6、已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；
（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.
7、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE ；
② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°；⑥CP=CQ ；⑦△CPQ 为等边三角形；⑧共有2对全等三角形；⑨CO 平分∠AOP ；⑩CO 平分∠BCD 。
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
8、（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；
（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.
D E
8题 9题 10题
9、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由
10、如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是CB 延长线上一点，∠ADB=60°，E 是AD 上一点，且DE=DB ，求证：AC=BE+BC B A
O D C E
图8 C
B O D 图7 A E。