第5节

第九章 第五节

一、选择题

1．(2014·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A ．3

2 B ．34

C ．

22

D ．23

[答案] A [解析] 先将

x 2＋4y 2＝1

化为标准方程x 21＋y 2

1

4

＝1，

则a ＝1，b ＝1

2

，c ＝

a 2－

b 2＝

32.离心率e ＝c a ＝32

. 2．已知椭圆的一个焦点为F (0,1)，离心率e ＝1

2，则椭圆的标准方程为( )

A ．x 22＋y 2

＝1

B ．x 2＋

y 2

2

＝1 C ．x 24＋y 2

3＝1

D ．y 24＋x 2

3

＝1

[答案] D

[解析] 由已知，c ＝1，∵e ＝c a ＝1

2，

∴a ＝2，∴b ＝

a 2－c 2＝ 3.

∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2

3

＝1，故选D ．

3．(文)(教材改编题)如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围为( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(0,2)

D ．(0,1]

[答案] A

[解析] 方程可化为x 22＋y 22k ＝1，焦点在y 轴上，则有2

k

>2，即k <1，又k >0，∴0

(理)设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )

A ．⎝⎛⎭⎫0，3π4∪⎝⎛⎭

⎫7π

4，2π B ．⎣⎡⎭⎫

π2，3π4

C ．⎝⎛⎭⎫π2，3π4

D ．⎝⎛⎭⎫3π4，3π2

[答案] C

[解析] 化为x 21sin α＋y 2－1

cos α＝1，

∴－1cos α>1

sin α

>0，故选C ．

4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )

A ．x 281＋y 2

72＝1

B ．x 281＋y 2

9＝1

C ．x 281＋y 2

45＝1

D ．x 281＋y 2

36＝1

[答案] A

[解析] 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1

3×2a ，∴c ＝3，

∴b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72，∴椭圆方程为

x 281＋y 2

72＝1. 5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a

2上一点，△F 2PF 1

是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )

A ．1

2

B ．23

C ．34

D ．45

[答案] C

[解析] 设直线x ＝3a

2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，

在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a

2－c ，

故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c

2c ＝1

2，

解得c a ＝34，故离心率e ＝3

4

.

6．(2014·全国大纲高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率

为

3

3

，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )

A ．x 23＋y 2

2＝1

B ．x 23＋y 2

＝1

C ．x 212＋y 2

8＝1

D ．x 212＋y 2

4

＝1

[答案] A

[解析] 本题考查了椭圆的定义，离心率的计算，根据条件可知c a ＝3

3，且4a ＝43，

得a ＝3，所以

c ＝1，b 2＝2，故

C 的方程为x 23＋y 2

2

＝1.

二、填空题

7．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1

2，则实数m ＝________.

[答案] 32或8

3

[解析]

e 2＝

c 2a 2＝1－b 2a 2，则1－m 2＝14或1－2m ＝14，解得m ＝32或m ＝83

. 8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2

.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． [答案] x 216＋y 2

8

＝1

[解析] 本题主要考查椭圆的定义及几何性质． 依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c a ＝2

2，

∴c ＝22，∴b 2＝8.

∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2

8

＝1.

9．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →

＝0，

则|PM →

|的最小值是________．

[答案]

3

[解析] ∵PM →·AM →＝0，∴AM →⊥PM →

. ∴|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →

|2－1. ∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小， ∴故|AP →|min ＝2，∴|PM →

|min ＝ 3. 三、解答题