一元二次方程解法-公式法

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一元二次方程的解法公式法

一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。

（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。

公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。

一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。

例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。

2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。

（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。

2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。

3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。

公式法解一元二次方程

b
b 4ac 2a
2
即: x
b 2 4ac 2a
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0, b
的求根公式
2
4ac 0
x
b
b 2 4ac 2a
a 0
用这种方法解一元二次方程的方法叫做公式法.
思
2
考
一般的,式子 b 4ac 叫方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 根的判别式.用字母表示.即 = b 2 4ac
两个相等的实数解。
关于x的一元二次方程 2 ax +bx+c=0 (a≠0)。当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
解：一元二次方程
ax bx c 0 a 0 的解为：
2
x1 x2
b b 4ac b b 4ac x1 , x2 2a 2a
49 8c 49,即c 8 b 7 7 x1 x2 2a 22 4
2
例３
解方程：
x 3 2 3x
2
解：原方程化为：x 2 2 3x 3 0
a 1, b 2 3, c 3
2
2
2 3 0 2 3 x 3 2 1 2
b 4ac 2 3 4 1 3 0
X1=x2=√3
二、公式的推导
ax bx c 0
2
解： a 0
移项得：
配方得：
2
b c x x a a
b b c b x x a a 2a 2a
2 2
b c x x 0 a a

23.2 一元二次方程的解法---公式法

当b 2 4ac 0 b b 2 4ac 2 时，方程有 x . b 4ac 0 . 实数根吗 2a 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法

特别提示:
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
1
1
1
解得
即即

x 2 2 0 4 14 x1 4 x17 2 4 17 x1 , x2 2 4 4 此方程无实数根
3、配方法解一元二次方程的基本步骤：（1）化1:把二次项系数化为1；（2）移项；（3）配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）变形：原方程变形为（x+m） 2=n的形式；（5）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．（6）求解；（7）定根
17 0 -8
+ 0 -
不等相等不存在
请观察上表，综合b2-4ac的符号，提出你的猜想。
2014年深圳市中考试题
7.下列方程中没有实数根的是（） A、x2+4x=10 B、3x2+8x-3=0 C、x2-2x+3=0 D、（x-2)(x-3)=12 分析：容易看出A、B两个一元二次方程中的二次项系数和常数项异号，则4ac为负的，b2- 4ac>0； D选项的一元二次方程经变形为x2-5x-6=0，同样可以看出b2- 4ac>0，所以选C.
m2 2
3 6 2 3 2 3 x D． 2
B．x
4．若使方程（m+1）x

公式法解一元二次方程全面版

25
x3 25 3 5
22
4
即： x1 2,x2
1 2
2 x 3 2 x 9 6 0
解：原方 2 x 2 9 程 x 6 x 2 化 6 7 0为
整理 2x2 为 3x2： 10
a 2 ,b 3 ,c 21
公式法解一元二次方程
一、回顾
用配方法解方程：x2bxc0
x 解：移项得： 2bxc
x22b 2xb 22b 22c
则：
xb22
b2 4
c
当b2 c0时,方程有实.数解 4
二、公式的推导
a2x b x c0a0
解： a0x2 bxc0
关于一元二次方程 a2x bxc0a0 ，当
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2x b xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
x__ 5_2 _7 ____
即x1： _1 _x_ 2_ _-6,___
２、用公式法解方程
1 x 2 2 x 5 2 6 t 2 13 t 5 0 3 3 x 2 1 x 1 0
22
4 x 2 2 2 x 3 0
2
３、想一想：
b24ac32 4221
9168
177
x3 177
22
即 :x13417,x7 234177
例３解方程： x2323x
解：原方x 程 2 23 x 化 30 为：
a 1 ,b 23 ,c 3

一元二次方程的解法公式法

2

例1. 解方程:
（1）x +3x+2=0 （2）-7x+2x2=4
2
例2. 解方程:
（1）x 2 2 2x
2
（2）（x -1）（6-x）=6
说一说
利用公式法解一元二次方程的步骤？
用公式法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; 2 (3)求出b -4ac的值; 2 (4)若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
2
b b 4ac x 2a
2
（b -4ac≥0）
2
利用公式法解一元二次方程时需注意：
(1)利用公式法解方程前，应将方程化为
一般形式，以正确确定a、b、c的值．
(2) 当b -4ac≥0时，方程有实数解; 当b -4ac＜0时，方程无解.
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的值代入求根公式求解.
用配方法解一元二次方程:
(1) -2x2-7x+3=0 (2) (x-1)(x+6)=3
配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式; (2) 把方程二次项系数化为1;
(3) 移项:把方程的常数项移到方程的右边;
(4) 配方:方程两边都加上一次项系数一半
的平方. (5) 把方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,然
随堂练习 1.方程3x2-8=7x化为一般形式
2-7x-8=0ห้องสมุดไป่ตู้3x 是，
3 b=_____, -7 c=_____, -8 a=____,

用公式法求解一元二次方程。

公式法求解一元二次方程是一种常见且有效的方法，可以帮助我们找到方程的解。

在这篇文章中，我将详细介绍公式法的步骤和原理，并通过实例来说明如何使用公式法解决一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。

要使用公式法求解一元二次方程，首先需要了解二次方程的求根公式。

根据求根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)现在，让我们通过一个实例来说明公式法的具体步骤。

假设我们要解决方程2x^2 + 5x - 3 = 0。

第一步，根据方程的系数，我们可以确定a = 2，b = 5，c = -3。

第二步，将这些值代入求根公式中，计算出两个解。

根据求根公式，我们有：x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)计算得到：x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4x = (-5 ± √49) / 4现在，我们需要计算出根号内的数值，然后求解方程。

根号内的数值为49，它的平方根为7。

因此，我们可以得到两个解：x1 = (-5 + 7) / 4 = 2/4 = 0.5x2 = (-5 - 7) / 4 = -12/4 = -3所以，方程2x^2 + 5x - 3 = 0的解为x = 0.5和x = -3。

通过这个实例，我们可以看到公式法的求解步骤相对简单，只需要代入系数并进行简单的计算即可得到方程的解。

而且，公式法适用于所有一元二次方程，无论系数的大小。

需要注意的是，在使用公式法求解一元二次方程时，我们需要注意方程的根号内的数值是否为负数。

如果根号内的数值为负数，则方程无解。

这是因为在实数范围内，负数的平方根是无法求得的。

总结一下，公式法是一种常见且可靠的求解一元二次方程的方法。

通过代入系数并进行计算，我们可以轻松地找到方程的解。

17.2一元二次方程的解法--公式法

1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0 解:
(5)6t2 -5 =13t
解 : 6t 2 13t 5 0 a 6, b 13, c 5 b 4ac 169 120 289 0
2
a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
2
6 36 6 6 x 2 4 8
3 x1 , x2 0. 2
13 289 13 17 t 2 6 12 5 1 t1 , t2 . 2 3
一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方法叫求根公式法；
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
（3）当 b2-4ac=0 那么方程有两个相等的实数根，即 x x b
1 2
2a
解 : a 5, b 4, c 12 2 2 b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2
4 56 4 2 14 x 2 2 4
1 25 1 5 x 23 6
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
2 x1 1, x2 . 3
随堂练习 (1)2x2-x-1=0 解:
2.用公式法解下列方程： (2)x2+1.5=-3x
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a

一元二次方程的解法公式法

2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15

求一元二次方程解的公式

求一元二次方程解的公式
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法，求根公式等，接下来看一下具体内容。

一元二次方程的解法公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。

（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。

用公式法求解一元二次方程

用公式法求解一元二次方程一、公式法公式法：求根公式：一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是：2b x a-±=．上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.【知识拓展】(1)求根公式专指一元二次方程的求根公式，只有确定方程是一元二次方程时，才可以使用．(2)应用公式法解一元二次方程时，要先把方程化成一般形式，确定二次项系数、一次项系数、常数项，且要注意它们的符号．(3)b 2－4ac ≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．一元二次方程的求根公式的推导：一元二次方程的求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．∵a ≠0，∴方程的两边同除以a 得20b cx x a a++=．配方得22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵a ≠0，∴a 2＞0，∴4a 2＞0．∴当b 2－4ac ≥时，2244b ac a-是一个非负数．此时两边开平方得22b x a a+=，∴2b x a-±=【知识拓展】(1)被开方数b2－－4ac有意义．(2)由求根公式可知一元二次方程的根是由其系数a ，b ，c 决定的，只要确定了a ，b ，c 的值，就可以代入公式求一元二次方程的根．【新课导读·点拨】因为a ＝1，b ＝－1，c ＝－90，所以119212x ±==⨯．故x 1＝10，x 2＝－9(不符合实际，舍去)．所以全校有10个队参赛．【例1】解下列方程．(1)x 2－2x ＝0； (2)3x 2＋4x ＝－1； (3)2x 2－4x ＋5＝0．分析：解：(1)x 2－2x －2＝0，∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴2222x ±±==，∴11x =+11x =- (2)原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0， (3)2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0， ∴该方程没有实数根．二、一元二次方程根的判别式定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定.我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，读作：“delta(德尔塔)”．对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．反之亦成立．【知识拓展】(1)根的判别式是△＝b 2－4ac ，而不是24b =-(2)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况，要注意方程中各项系数的符号．(3)如果一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b 2－4ac ≥0．探究交流已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．分析：根据根的判别式的意义可得△＝4－4m≥0，解得m≤1，所以m的最大值为1，此时方程为x2＋2x＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，∴△＝4－4m≥0，∴m≤1，∴m的最大值为1，当m＝1时，一元二次方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1．【例2】一元二次方程x2＋x＋3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．∵a＝1，b＝1，c＝3，∴△＝b2－4ac＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C．##整理归纳##$$练习$$##题型##单选##题干##(2013·珠海中考)已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，x2－2x－－3＝0．下列说法正确的是( )A．99帮有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解##答案##B##解析##方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.$$更多练习$$##题型##主观填空题##题干##(2011·上海中考)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，那么c 的取值范围是______． ##答案## c ＞9##解析##∵关于xx 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实数根，∴△＝(－6)2－4c ＜0，即36－4c ＜0，c ＞9##题型## 主观题 ##题干##(2012·珠海中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0． (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝3时，求方程的根． ##答案##解：(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根. (2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，2122x -±==-±，∴x 1＝1，x 2＝－3.##题型## 主观题 ##题干##(2013·乐山中考)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋k ＝0． (1)求证方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值．##答案##(1)证明：∵△＝(2k ＋1)2－4(k 2+k)＝1＞0，∴方程有两个不相等的实根.(2)解：一元二次方程x 2－(2k+1)x ＋k 2＋k ＝0的解为212k x +±=，即x 1＝k ，x 2＝k＋1，不妨设AB ＝k ，AC ＝k ＋1，当AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＋1＝5，解的k ＝4.所以k 的值为5或4.$$典型$$ ##典例精析##类型一用公式法解一元二次方程【例1】用公式法解下列方程．（1）x 2＋2x －2＝0；(2) 23x+=；（3）21028n n -+=分析：方程(1)(3)可直接确定a ，b ，c 的值，方程(2)需先化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．解：(1)∵a ＝1，b ＝2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝22－4×1×(－2)＝12＞0，∴212x -±==-±11x =-+，11x =--(2)将方程化为一般形式，得230x -+=．∵a ＝1，b =-，c ＝3，∴(224241340b a c -=-⨯⨯=-<∴原方程没有实数根．（3）∵a ＝1，b =-，18c =，∴221441028b ac ⎛⎫-=--⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴224n ±==，∴124n n ==.规律方法小结：(1)用公式法解一元二次方程时，一定要先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值．(2)b 2－4ac ≥0是公式中的一个重要组成部分，b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根．(3)当b2－4ac ＝0时，应把方程的根写成122bx x a==-，的形式，用以说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根．类型二不解方程判定根的情况【例2】不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－x－1＝0；(2)2x2＋3x＝－2；(3)－2x2－3x＋4＝0．解：(1)∵a＝1，b＝－1，c＝－1，∴△＝b2－4ac＝1＋4＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可变形为2x2＋3x＋2＝0，∵a＝2，b＝3，c＝2，∴△＝b2－4ac＝9－16＝－7＜0，∴原方程没有实数根．(3)原方程可变形为2x2＋3x－4＝0，∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．类型三几何图形中的方案设计问题【例3】(2012·湘潭中考)如图2所示，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2．(所备材料全部用完)分析：设未知数，将矩形的长和宽表示出来，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．解：设AB＝x m，则BC＝(50－2x)m．根据题意可得x(50－2x)＝300，解得x1＝10，x2＝15．当x＝10时，BC＝50－2×10＝30＞25，不符合题意，舍去，当x＝15时，BC＝50－2×15＝20＜25，符合题意，故AB＝15 m，BC＝20 m.答：可以围成AB的长为15 m，BC的长为20 m的矩形．【解题策略】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解，注意围墙MN最长可利用25 m，舍掉不符合题意的数据．类型四用公式法解含字母系数的一元二次方程【例4】解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．解：∵a＝1，b＝－2m，c＝m2－2，∴()222212mb mx ma--±-±±====±⨯∴1x m =+2x m =- 【解题策略】要熟练运用公式法求一元二次方程的解，准确确定a ，b ，c 的值是解题的关键．类型五根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围．【例5】k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2－12x ＋9＝0． (1)有两个不相等的实数根? (2)有两个相等的实数根? (3)没有实数根?分析：(1)当△＝b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△＝b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；(3)当△＝b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．分别求出是的取值范围即可．解题时注意二次项系数k ≠0．解：方程是一元二次方程，则k ≠0． (1)若方程有两个不相等的实数根，则△＝ b 2－4ac ＝144－36k ＞0，解得k ＜4．所以k ＜4且k ≠0． (2)若方程有两个相等的实数根，则△＝b 2－4ac ＝144—36k ＝0，解得k ＝4． (3)若方程没有实数根，则△＝b 2－4ac ＝144－36k ＜0，解得k ＞4．类型六设计方案解决几何图形面积问题【例6】(2013·连云港中考)小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．”他的说法对吗?请说明理由．分析：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58 cm 2建立方程求出其解即可；(2)设剪成的较短的一段长优咖，则较长的一段长(40－m)cm ，这样就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48 cm 2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．解：(1)设剪成的较短的一段长x cm ，则较长的一段长(40－x)cm ，由题意，得22405844x x -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得x 1＝12，x 2＝28．当x ＝12时，40－x ＝40－12＝28，当x ＝28时，40－x ＝40－28＝12＜28(舍去)． ∴较短的一段长12 cm ，较长的一段长28 cm.(2)设剪成的较短的一段长m cm ，则较长的一段长(40－m)cm ，由题意，得22404844m m -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得m 2－40m ＋416＝0，∵△＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无解．∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2．类型七分类讨论求方程的根【例7】解关于x 的方程(k －1)x 2＋(k －2)x －2k ＝0．(23k >)分析：解含有字母系数的方程，往往要按字母的取值分类讨论．此题有两种情况，k ＝1和k ≠1，当且仅当k ≠1时，二次项系数不为零，才能用一元二次方程的求根公式来解．解：当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2．当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0， ∴21xk =-，∴11kx k =-，22x =-【解题策略】当二次项系数中含有参数时，要讨论；次项系数是否为零．类型八应用根的判别式判断三角形的形状【例8】已知a ，b ，c 分别是伽c 的三边长，当m ＞0时，关于x 的一元二次方程()()220cx m b x m ++--=有两个相等的实数根，则△ABC 是什么形状的三角形?分析：由方程有两个相等的实数根可得根的判别式为0，得到与m 有关的等式，由m ＞0得a ，b ，c之间的关系，从而判定三角形的形状．解：将方程化为一般形式()()20b c x c b m +-+-=．因为原方程有两个相等的实数根，所以()()()240b c c b m ∆=--+-=，即4m(a 2＋b 2－c 2)＝0，又因为m ＞0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即a 2＋b 2＝c 2．根据勾股定理的逆定理知△ABC 是直角三角形．类型九探索含字母系数的一元二次方程的根的情况【例9】已知关于z 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝o(a ≠0)．(1)当a ，c 异号时，试说明该方程必有两个不相等的实数根；(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需要满足什么条件?请你写出一个a ，c 同号，且有实数根的一元二次方程，并解这个方程．分析：(1)只需说明b 2－4ac ＞0即可．(2)是一个开放性问题，写出的方程满足a ，c 同号，且b 2－4ac ≥0即可．解：(1)因为a ，c 异号，所以ac ＜O ，所以－4ac ＞0，所以b 2－4ac ＞0，所以，当a ，c 异号时，该方程必有两个不相等的实数根．(2)当a ，c 同号时，该方程要有实数根，还需满足条件b 2－4ac ≥0．例如方程x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝1．【解题策略】(2)中并不是任意的方程都可以，它满足的条件是a ，c 同号且b 2－4ac ≥0，而这样的方程有无数个，我们可以选取一些解答较方便的方程。

一元二次方程的解法-公式法课件

2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
例解方程： 4 x 4 x 10 1 8 x
2
解：化简为一般式： 4 x 2 +12 x 9 0
这里
a 4、 b 12、 c 9
b 4ac 0 12 0 3 x 8 2 3 即： x1 x2
2
2
例解方程： x 21 3 x 6
华东师大版九年级数学上册状元导练配套课件
22.2.3 公式法
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项，得配方，得
b c x x 0 a a
2
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值，
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
b b2 4ac x 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的求根公式
b b2 4ac x 2a

一元二次方程公式解法有哪些

一元二次方程公式解法有哪些
只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。

其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c 叫作常数项。

一元二次方程公式解法及例题
1一元二次方程判别式
利用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：△=b²-4ac
①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

2一元二次方程解法
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m .
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) , (b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的
方法叫做因式分解法。

一元二次方程四大解法

解一元二次方程有四种常见的方法，分别是：
1. 因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，将方程化简为两个一次方程相乘的形式，然后解出方程的根。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，然后解出x 的值为-2 和-3。

2. 完全平方法：将一元二次方程表示成完全平方的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，可以写成(x + 3)^2 = 0，然后解出x 的值为-3。

3. 公式法：利用求根公式解一元二次方程。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 是已知常数，而x 是未知数。

根据求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，可以计算出方程的根。

需要注意的是，当判别式b^2 - 4ac 小于0 时，方程没有实数根。

4. 完全平方差法：将一元二次方程表示成两个平方数之差的形式，然后解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x - 5 = 0，可以写成(x - 2)^2 - 9 = 0，然后解出x 的值为 2 ±3。

以上是解一元二次方程的四种常见方法。

根据具体的方程形式和求解需求，选择适合的方法进行求解。

希望以上信息对你有所帮助。

公式法解一元二次方程

公式法的局限性
对字母敏感
公式法中的参数都是字母，因此对字母的取值和性质比较敏感，需要注意使用条件。
计算复杂
由于公式法需要进行开方和分母有理化等复杂的计算，因此使用起来比较繁琐。
公式法的证明
• 数学归纳法：可以通过数学归纳法来证明公式法的正确性，证明过程比较复杂，需要一定的数学基础。
04
公式法的证明方法
THANKS
谢谢您的观看
解方程
解方程是找出能使方程左右两边相等的未知数的值的过程。对于一元二次方程，常用的解法有直接开平方法和公式法。
背景知识
一元二次方程的应用广泛，如几何作图、物理模型、经济学模型等。
直接开平方法和公式法是解一元二次方程的两种基本方法。直接开平方法是通过将方程化简为一元一次方程来求解，而公式法则通过将方程化为一元一次方程再求解。
一元二次方程的公式法解法
xx年xx月xx日
目录
• 公式法的定义和背景 • 一元二次方程的一般形式和系数 • 公式法的解法及应用 • 公式法的证明方法 • 公式法的拓展 • 公式法的误差分析 • 应用实例和数学建模
01
公式法的定义和背景
数学概念
方程
方程是用来表示两个量相等的数学式子，其中含有未知数。一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次
一元二次方程的一般形式
• ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0
一元二次方程的系数
一次项系数b：表示 x的线性影响
常数项c：表示常数项
二次项系数a：表示 x²的二次影响
03
公式法的解法及应用
公式法的推导
推导过程
根据一元二次方程的定义，将方程进行配方并化简，得到公式法的推导过程。

一元二次方程解法————公式法(含答案)

一元二次方程解法————公式法1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝02．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．解下列方程：（1）x2+2x﹣5＝0（2）（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣5＝0，∴x2+2x＝5，∴x2+2x+1＝6，∴（x+1）2＝6，∴x＝﹣1±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（2）∵（x﹣2）2+x（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣2+x）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣2+x＝0，∴x1＝2，x2＝1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．解方程（1）2y2+6y+5＝0；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝6，c＝5，∴Δ＝62﹣4×2×5＝﹣4＜0，∴此方程无实数根；（2）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，∴（2x﹣5）（x﹣2）＝0，则2x﹣5＝0或x﹣2＝0，解得x1＝2.5，x2＝2．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．3．解方程：（1）3x2﹣6x＝2；（2）x（2x﹣5）＝4x﹣10．【分析】（1）根据公式法即可求出答案（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵3x2﹣6x＝2，∴a＝3，b＝﹣6，c＝﹣2，∴△＝36+24＝60＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝（2）∵x（2x﹣5）＝4x﹣10，∴x（2x﹣5）＝2（2x﹣5），∴（x﹣2）（2x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或2x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．4．解方程：（1）x2﹣4x+2＝0；（2）（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+2＝0，∴x2﹣4x+4＝2，∴（x﹣2）2＝2，∴x﹣2＝±，∴；（2）∵（x﹣1）（x+2）＝4，∴x2+x﹣6＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【分析】（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y+2＝0或2y﹣1＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．6．解方程：（1）2x2+3x﹣4＝0．（2）（x+3）（x﹣1）＝5．【分析】（1）确定a，b，c的值，然后代入求根公式计算即可；（2）先将方程整理成一般形式，然后用因式分解法解答即可．【解答】解：（1）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×（﹣4）＝41，x＝＝，∴x1＝，x；（2）（x+3）（x﹣1）＝5，整理得，x2+2x﹣8＝0，因式分解得，（x+4）（x﹣2）＝0，∴x1＝﹣4，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的各种解法．7．解下列方程（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）8﹣（x﹣1）（x+2）＝4．【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用求根公式计算出方程的根；（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）原方程化为x2+x﹣6＝0，∵（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．8．用适当方法解方程（1）x2﹣3x﹣9＝0；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1．【分析】（1）先确定a，b，c的值，然后利用公式法解答即可；（2）先化简方程，然后确定【解答】解：（1）x2﹣3x﹣9＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣9，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣9）＝45，x＝＝，x1＝，x2＝；（2）﹣x2﹣x+2＝﹣x+1，整理得，2x2+x﹣3＝0，a＝2，b＝1，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×2×（﹣3）＝25，x＝＝＝，。

一元二次方程的解法—公式法ppt课件

k≠0
k≠0
归纳当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1；二“移”：将常数项移到方程的右边；三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1；解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.