中考数学几何图形中的动点问题专题训练

中考数学几何图形中的动点问题专题训练

(58分)

一、选择题(每题6分，共18分)

1． 如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝13S 矩

形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为( D ) A.29 B.34 C.5 2 D.

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图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △P AB ＝13S 矩形ABCD ，得12×5h ＝13×5×3，

解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时P A ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为52＋42＝41，选D.

2．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过

的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的函数

关系的图象是 ( D

)

【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x ，∴y ＝x 2＋a 2；②

当

图6－1－2

2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，

∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝⎩⎨⎧x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），

x 2－6ax ＋13a 2（2a

的函数关系的图象是选项D 中的图象．

3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，

AB ＝8，以23为边长的正方形DEFG 的一边GD 在直

线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是 ( A

)

【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤23时；②当23＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可． S ＝⎩⎪⎨⎪⎧36t 2（0≤t ≤23），2t －23（23

二、解答题(共20分)

4．(20分) 如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．

(1)若m ＝6，求当P ，

E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．

图6－1－3

(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m 的取值范围．

图6－1－4

【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；

(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．

解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .

∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .

∵PD ＝t ，m ＝6，∴P A ＝6－t .

∵点D ，点E 关于直线PC 对称．

∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.

在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，

∴BE ＝BC 2－EC 2＝62－42＝2 5.

在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(25＋t )2，

解得t ＝6－2 5.

(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.

作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝90°，

∴EM ＝BC 2－CM 2＝7，

∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，

第4题答图①

∴△ADC ∽△DME ，∴AD DM ＝DC EM ，即AD 7＝47

， ∴AD ＝47.

第4题答图② 第4题答图③ 如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3. 作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.

在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝42－32＝7，由△DME ∽△CDA ，

∴DM CD ＝EM AD ，即74＝1AD ，∴AD ＝477，

综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，

使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是477≤m ＜47.

5．(20分) 如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连结AF ，BF ，

EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设AD AE ＝n .

图6－1－5

(1)求证：AE ＝GE ；

(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示AD AB 的值；

(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．

【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EF A .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；