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高二数学上学期期末考试题及答案

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2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省曲靖市高二年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省曲靖市高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合，，则{}2430A x x x =-+<{}480xB x =->A B =A ．B ．C ．D ．3(3,)2--3(3,2-3(1,)23(,3)2【答案】D【分析】先根据一元二次不等式和指数不等式的解法求出集合A,B ，再利用交集的定义求出.A B ⋂【详解】，，则()(){}{}31013A x x x x x =--<=<<{}233222x B x x x ⎧⎫=>=>⎨⎬⎩⎭，故选D.332A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟练掌握交集运算是解题的关键.2．复数（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）31iz i +=-A ．B ．C ．D ．21-i-2i【答案】D【分析】根据复数的乘除法运算法则可得复数，再根据复数的概念可得其虚部.12z i =+【详解】因为，()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+--+所以复数的虚部是2，z 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的乘除法算法则，考查了复数的概念，属于基础题.3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为，大正方形的边长为，直角三角形中较小的锐角为，则210θ（ ）c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭A BC D 【答案】D【分析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sin θ，cos θ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果．【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6，∴sin θ，cos θ，35=45=∴sin （）﹣cos （）＝﹣cos θ﹣（cos θcos ）sin θ）cos θ2πθ-6πθ+66sin sinππθ-12=1=故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．4．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）A ．甲、丙B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据题意，由中位数，平均数，众数以及方差的意义，即可得到结果.【详解】在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设，1234x x x x <<<则()()()()()222221234112812812812813512819.85x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦∴，()()()()2222123412812812812850x x x x -+-+-+-=∴，()211112850128128120x x x -≤⇒-≤⇒≥->∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．故选:A5．函数的部分图象是（ ）()22sin 1x f x x -=A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先判断出为偶函数，然后结合时，为负数，确定正确选项.()f x 06x π<<()f x 【详解】因为，所以是偶函数，则的图象关于()()()222sin 12sin 1x x f x f x x x ----===-()f x ()f x轴对称，排除C ，D ；当时，，排除B.y 06x π<<()0f x <故选：A【点睛】本题考查函数图象，考查推理论证能力.6．的内角，，的对边分别为，，，已知，ABC A B C a b c cos cos 3cos a B b A c C +=，则（ ）sin sin sin 0a A c C b A -+=b a =A ．B ．C ．D ．53737252【答案】A【解析】由正弦定理及，先求得，又由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=1cos 3C =，得，结合余弦定理，即可求得本题答sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-222cos 2a b c C ab +-=案.【详解】在中，由正弦定理及，ABC cos cos 3cos a B b A c C +=得，sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=∴，sin()sin 3sin cos A B C C C +==又，∴；sin 0C ≠1cos 3C =由正弦定理及，得，sin sin sin 0a A c C b A -+=22a c ab -=-又由余弦定理得，22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===所以，得．213b a -=53b a =故选：A【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.7．已知曲线在点处的切线方程为，则e ln xy a x x =+()1,ae 2y x b =+A ．B ．C ．D ．,1a e b ==-,1a e b ==1,1a e b -==1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．a b 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++，1|12x k y ae ='==+=1a e -∴=将代入得，故选D ．(1,1)2y x b =+21,1b b +==-【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8．已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，22221x y a b +=12,F F 122FF c =A ， ，则椭圆的离心率1120AF F F ⋅= 212AF AF c ⋅=e =A B CD【答案】C【详解】由于，则， ， 1120AF F F ⋅= 2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()12,0,,0F c F c -22120,,2,b b AF AF c a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， ， ， ， ， ，，42122b AF AF c a ⋅== 2b ac=22a c ac -=21e e -=210e e +-=e = ，则，选C.01e <<e 二、多选题9．如图，在长方体中，，M ，N 分别为棱的中点，1111ABCD A B C D -14,2AA AB BC ===111,C D CC 则下列说法正确的是（ ）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．平面平面ADM ⊥11CDDC C ．直线与所成角的为D ．平面BN 1B M 60︒//BN ADM【答案】BC【分析】A.由点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外判断；B.平面，11ABC D 11ABC D AD ⊥11CDD C 再利用面面垂直的判定定理判断；C.取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，由，得到为1//BE B M EBN ∠异面直线与所成的角判断；D.利用反证法判断.BN 1B M【详解】A.点A 、M 、B 在平面内，点N 在平面外，故错误；11ABC D 11ABC DB.在正方体中，平面，又平面ADM ，所以平面平面，故正确；AD ⊥11CDD C AD ⊂ADM ⊥11CDD CC.如图所示：取CD 的中点E ，连接BE ，NE ，得，则 为异面直线与所成的角，易知1//BE B M EBN ∠BN 1B M 是等边三角形，则 ，所以直线与所成角的为，故正确；EBN △60EBN ∠= BN 1B M 60︒D. 若平面，又 平面ADM ，又，所以平面 平面ADM ，//BN ADM //BC BC BN B = 11//BCC B 而平面平面，矛盾，故错误；11//BCC B 11ADD A 故选：BC10．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）A ．两件都是一等品的概率是13B ．两件中有1件是次品的概率是12C ．两件都是正品的概率是13D ．两件中至少有1件是一等品的概率是56【答案】BD【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，a b c d 从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d (),c d 对于A ，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A 错(),a b 116P =误；对于B ，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次(),a d (),b d (),c d品的概率，故B 正确；23162P ==对于C ，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率(),a b (),a c (),b c ，故C 错误；33162P ==对于D ，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，(),a b (),a c (),a d (),b c (),b d 故两件中至少有1件是一等品的概率，故D 正确.456P =故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.11．下列四个命题中，正确命题有（ ）A ．当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线()1210a x y a --++=的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是()5,020x y -=221520x y -=C ．抛物线的准线方程为()20y ax a =≠14y a =-D ．已知双曲线，其离心率，则m 的取值范围是2214x y m +=()1,2e ∈()12,0-【答案】ABCD【分析】对于A ，求出点的坐标即可判断，对于B ，根据条件可得P ,a b ==对于C ，根据抛物线的知识可判断，对于D ，得到，然后可判断.22222244c a b me a a +-===【详解】对于A ，当a 为任意实数时，直线恒过定点P ，()1210a x y a --++=因为方程可化为()1210a x y a --++=()210a x x y +--+=所以，而过点，故A 正确；()2,3P -243x y=()2,3P -对于B ，由双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为，()5,020x y -=则， ， ，解得，故双曲线的标准方程是，故B 正5c =2ba =222c ab =+,a b ==221520x y -=确；对于C ，抛物线的准线方程为，故C 正确；()20y ax a =≠14y a =-对于D ，根据题意，双曲线，其离心率，2214x y m -=-()1,2e ∈即，则，故D 正确.22222244c a b m e a a +-===4141204m m -<<⇒-<<故选：ABCD.12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层球的球的总数为，则（ ）n a n S A ．B ．11(2)n n a a n n --=+≥784S =C ．D ．9898992a ⨯=1232022111140442023a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】BCD 【分析】根据题意求得，进而可得，利用累加法求出即可判断选项123a a a 、、1n n a a n --=n a A 、C ；计算前7项的和即可判断B ；利用裂项相消求和法即可判断D.【详解】由题意得，，121321=1=2=3n n a a a a a a a n ----= ，，，，以上n 个式子累加可得，(1)=12(2)2n n n a n n ++++=≥ 又满足上式，所以，故A 错误；11a =(1)=2n n n a +则，2345673610152128a a a a a a ======，，，，，得，故B 正确；7127==1+3+6+10+15+21+28=84S a a a +++ 有，故C 正确；9898992a ⨯=由，1211=2((1)1n a n n n n =-++得，12202211111111140442(1)2(1)2232022202320232023a a a +++=-+-++-=-=故D 正确.故选：BCD.三、填空题13．已知函数，则________．3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩(2020)f -=【答案】1-【解析】根据题意，由函数解析式可得，进而计算得到答案.(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=【详解】根据题意，当时，，0x <()(3)f x f x =+所以，(2020)(23674)(2)f f f -=-⨯=当时，，0x ≥3()log (1)2f x x =+-所以.3log (21)(22)1f +-=-=故答案为：.1-【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及分段函数的应用和对数计算，属于基础题.14．若数列，都等差数列，且有，则__________．{}n a {}n b 1212532n n a a a n b b b n ++++=++++ 77a b =【答案】6815【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.n 【详解】设等差数列、的前项和分别为{}n a {}n b n n nS T 、由1131137711312131131977113121313()25133682213()21321522a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b++++++⨯+=======+++++++ 故答案为:681515．棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为_____________;【答案】【分析】一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，从而R求出这个球的体积【详解】解：一个球与一个正方体的每条棱都相切，则这个球的半径为正方体的面对角线一半，R 即解得2R =R=则其体积，343V Rπ===故答案为：．16．中心在原点、焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为、，且它们在第x 1F 2F 一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线离心率的取值范P 12PF F △2PF 210PF =围为，则椭圆离心率的取值范围是_____．()1,2【答案】2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：由题意得：，因此椭圆离心率(1,2)102102cc c ∈⇒>-521(,1).2105532c c c c c ==-∈+++【解析】椭圆离心率四、解答题17．已知函数.()πsin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的最小正周期；()f x (2)在中，角所对的边分别为，若，且的面积为ABC ,,A B C ,,a b c ()3,24f C a ==ABC 的值.c【答案】(1)π(2)c =【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简函数的解析式，即可得到结果；()f x （2）根据条件求出，由三角形面积公式求出，再由余弦定理求出c 即可.C b 【详解】（1），π111cos 21π1()sin sin()sin sin 2sin(2)3222264x f x x x x x x x x ⎛⎫-=+==⨯=-+ ⎪ ⎪⎝⎭故最小正周期为.2ππ2T ==（2），即，1π13()sin(22644f C C =-+=πsin 216C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以，所以，ππ22,62C k k π-=+∈Z ,3C k k ππ=+∈Z 因为，所以，()0,C π∈π3C =由三角形面积公式，且，解得，1sin 2S ab C ==2a =4b =由余弦定理，22212cos 416224122c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=解得.c =18．若数列满足，.{}n a 11a =-121(N ,2)n n a a n n *-=-∈≥(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；{}1n a -{}n a (2)设，若数列的前项和为，求证：.2log (1)n n b a =-11(N )n n n b b *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭n n T 1n T <【答案】(1)证明见解析，12n n a =-(2)证明见解析【分析】（1）由变形得，可得数列为等比数列，通过求该数列121n n a a -=-()1121n n a a --=-{}1n a -的通项公式，可得数列的通项公式．{}n a （2）由（1）可得，故，利用裂项相消法求和即可．n b n =11111n n b b n n +=-+【详解】（1）证明：∵，121n n a a -=-()2n ≥∴，()1121n n a a --=-又，1120a -=-≠∴数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n a -2-2∴， ()11222n nn a --=-⋅=-∴．12n n a =-（2）解：由（1）知，()22log 1log 2n n n b a n =-==∴，()1111111n n b b n n n n +==-++∴.11111111122311n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 19．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为）．[)[)[]4050506090100 ，，，，，，（1）求成绩在的频率，并补全此频率分布直方图；[)7080，（2）求这次考试平均分的估计值；（3）若从成绩在和的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．[)4050，[]90100，【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）；（3）．0.2572.50.4【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义可得第四小组的频率：；（2）根据频率分布直方图的意义可得这次考试()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=平均分的估计值为：；（3）450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=成绩在和的人数分别为，将成绩在的人分别记为，成绩在[)40,50[]90,1003,3[)40,503,,a b c的人分别记为，从成绩在和的学生中任选两人的结果共种，成[]90,1003,,A B C [)40,50[]90,10015绩在同一分组区间的结果共种，利用古典概率计算公式即可得出所求概率．6试题解析：（1）由题意得成绩在的频率为[)70,80，频率分布直方图如图所示；()10.0050.0150.0200.0300.005100.25-++++⨯=（2）由题意可得这次考试平均分的估计值为：；450.05550.15650.20750.25850.30950.0572.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）由题意可得，成绩在的人数为，记他们分别是，成绩在[)40,50600.005103⨯⨯=,,a b c 的人数为，记他们分别是，则从成绩在和的学生[]90,100600.005103⨯⨯=,,A B C [)40,50[]90,100中任选两人的结果分别是，共()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c B C B a B b B c C a C b C c a b a c b c 15种，他们的成绩在同一分组区间的结果是，共6种．()()()()()(),,,,,,,,,,,A B A C B C a b a c b c 所以他们的成绩在同一分组区间的概率为．60.415P ==【解析】1、频率分布直方图；2、古典概率．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．20．如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC =BC =2，∠CBB 1=，点A 在平面3πBCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形；（2）求二面角E -B 1C -A 1的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）通过勾股定理得出，又，进而可得平面，则可得到1CE BB ⊥1AE BB ⊥1BB ⊥AEC ，问题得证；1AA AC ⊥（2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，求出平面的法E EC 1EB EA x y z 1EB C 向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式可得答案.11A B C 【详解】（1）因为平面，所以，⊥AE 11BB C C 1AE BB ⊥又因为，，，所以1112BE BB ==2BC =3EBC π∠=CE 因此，所以， 222BE CE BC +=1CE BB ⊥因此平面，所以，1BB ⊥AEC 1BB AC ⊥从而，又四边形为平行四边形，1AA AC ⊥11ACC A 则四边形为矩形；11ACC A （2）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，所以E EC 1EB EA x y z，11(0,0,1),(0,2,1),(0,1,0),A A B C 平面的法向量，设平面的法向量，1EB C (0,0,1)m = 11A B C (,,)n x y z =由，1(,,)(0n CB x y z y ⊥⇒⋅=⇒= 由，11(,,)(0,1,1)00n B A x y z y z ⊥⇒⋅=⇒+=令，1x y z =⇒==n =所以，cos ,m n <>== 所以，所求二面角的余弦值是【点睛】本题考查空间垂直关系的证明，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力，是中档题.21．为了保护某库区的生态环境，凡是坡度在以上的坡荒地都要绿化造林．经初步统计，在该25︒库区内坡度大于的坡荒地面积约有万亩．若从年年初开始绿化造林，第一年绿化25︒ 2 6402016万亩，以后每一年比上一年多绿化万亩．12060(1)若所有被绿化造林的坡荒地全都绿化成功，则到哪一年年底可使该库区的坡荒地全部绿化?(2)若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为万立方米，每年树木木材量的自然生长率为，0.120%那么当整个库区以上坡荒地全部绿化完成的那一年年底，一共有木材多少万立方米？(结果保留25︒1位小数，，)91.2 5.16≈81.2 4.30≈【答案】(1)年2023(2)万立方米543.6【分析】（1）根据题意，由等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果；n （2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.【详解】（1）设各年造林的亩数依次构成数列，{}n a 由题意知数列是等差数列，且首项，公差．{}n a 1120a =60d =设第n 年后可以使绿化任务完成，则有，解得．(1)12060 2 6402n n n S n -=+⨯≥8n ≥所以到年年底可使该库区的坡荒地全部绿化.2023（2）因为年造林数量为，20238120760540a =+⨯=设到年年底木材总量为万立方米，2023S由题意得876120 1.2180 1.2240 1.2540 1.0(.)21S =⨯+⨯+⨯++⨯⨯ ．8762 1.23 1.2)9 1.2(=⨯⨯+⨯++⨯ 令①，872 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ 两边同乘以，得②．1.29821.22 1.23 1.29 1.2S'=⨯+⨯++⨯ ②①，得-98720.22 1.2 1.2 1.2(1).29 1.2S'=⨯++++-⨯ 2791.2(1 1.2)2 1.210.81 1.2-=--⨯⨯+．97 1.218=⨯-所以，所以．957 1.218(90).6S'=⨯⨯-≈690.6543.6S =⨯=故到年年底共有木材万立方米．2023543.622．已知点与点的距离比它的直线的距离小2．M ()4,0F :60l x +=(1)求点的轨迹方程；M (2)是点轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线是否经过轴上一定点，若经过，求出,OA OB M AB x 该点坐标；若不经过，说明理由．【答案】(1)216y x=(2)直线过定点.()16,0【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）法一：设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系y 数的关系和平面向量的数量积为0进行求解；法二：设出定点坐标为，根据、、三()0,0P x A B P 点共线，结合向量共线定理，即可求解.【详解】（1）（1）由题意知动点到的距离比它到直线的距离小2，M ()4,0:6l x =-即动点到的距离与它到直线的距离相等，M ()4,04x =-由抛物线定义可知动点的轨迹为以为焦点的抛物线，M ()4,0则点的轨迹方程为；M 216y x =（2）（2）法一：由题意知直线的斜率显然不能为0，AB设直线的方程为，，AB ()0x ty m m =+≠()()1122,,,A x y B x y 联立方程，消去，可得，即，216y x x ty m ⎧=⎨=+⎩x 216160y ty m --=0∆>240t m +>，，121216,16y y t y y m +==-22212121616y y x x m =⨯=由题意知，即，则，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=故， ，，直线的方程为，2160m m -=0m ≠16m =AB 16x ty =+故直线过定点，且定点坐标为；AB ()16,0法二：假设存在定点，设定点，()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠， ， 故，OA OB ⊥OA OB ⊥ 12120x x y y +=在抛物线上，即代入上式，可得，A B 、221212,1616y y x x ==()212120256y y y y +=故，三点共线， ，，12256y y =-A B P 、、PA PB ∥2221121212120121216161616y y y y y x x y y y x y y y y --===-=--假设成立，直线经过轴的定点，坐标为．AB x ()16,0【点睛】本题考查了根据定义求抛物线轨迹，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将直线垂直转化为向量垂直计算是解题的关键.。

2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案

2022-2023学年福建省永春第一中学高二上学期期末考试数学试卷含答案

永春一中20221-2023学年（上）期末考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()()11,0,1,0,2a b ==- ，，且ka b + 与2a b -互相垂直，则k 的值是（）A ．1B ．15C ．35D ．752．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且满足132nn n a a ++=⋅，则11S 的值为（）A ．4093B ．4094C ．4095D ．40963．已知()()21220222022ln 2f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，124AA AB ==，E 是1BB 的中点，F 是11AC 的中点，若过A ，E ，F 三点的平面与11B C 交于点G ，则1A G =（）A ．73B ．279C ．273D．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．355D ．526．设等差数列{}n a 的前n 项的和为527,9,16n S a a a =+=，则下列结论不正确的是（）A ．21n a n =-B ．3616a a +=C ．2n S n n=+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 和为21nn +7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径6AB =，深度2MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该拋物线上一点，点15,28Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线:20l x y m ++=与圆22:2O x y +=相离，点P 在直线l 上运动且位于第一象限，过P 作圆O 的两条切线，切点分别是,M N ，直线MN 与x 轴､y 轴分别交于,R T 两点，且ORT 面积的最小值为1625，则m 的值为（）A ．4-B ．9-C ．6-D ．5-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知圆22:49O x y +=，直线l 过点(2,6)N ，且交圆O 于,P Q 两点，点M 为线段PQ 的中点，则下列结论正确的是（）A ．点M 的轨迹是圆B ．||PQ 的最小值为6C ．若圆O 上仅有三个点到直线l 的距离为5，则l 的方程是43100x y -+=D ．使||PQ 为整数的直线l 共有16条10．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+，记121nin i aa a a ==++⋅⋅⋅+∑，则下列结论正确的是（）A ．934a =B ．()2233n n n a a a n -+=+≥C ．20212202120221i i aa a ==⋅∑D ．201920211ii aa ==∑11．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A ．椭圆的离心率是22B ．线段AB 长度的取值范围是(0,32+C ．ABF △面积的最大值是)9214+D ．OAB 的周长不存在最大值12．在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AD AA P ∠====为1CC 中点，点Q 满足][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦.下列结论正确的是（）A ．若12λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若AQ 平面1A BP ，则1AQ C Q +10310+C ．若1A BQ △的外心为O ，则11A B A O ⋅为定值2D ．若17A Q =，则点Q 的轨迹长度为23π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，16题，第一空答对得2分，共20分．13．在空间直角坐标系O xyz -中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.14．设函数()3221f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x '=的图象的顶点的横坐标为12-，且()10f '=，则ba的值为__________.15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆交C 于,A B 两点，其中点A 在第一象限，点B 在第三象限，若113AF BF ≤，则C 的离心率的取值范围是__________.16．对于正整数n ，设n x 是关于x 的方程：()222253log 1nn n n x x x ++++=的实根，记12n n a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则1a =_____；若πsin 2n n n b a =⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，则2022S =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知曲线31:C y x =和22:2,(R)C y ax x a =+-∈.(1)若曲线1C ､2C 在1x =处的切线互相垂直，求a 的值；(2)若与曲线1C ､2C 在0x x =处都相切的直线的斜率大于3，求a 的取值范围.18．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点),(1,0)(1,2A B -.(1)若直线l 过点B ，与圆C 相交于M N 、两点，且||3MN =l的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得222||||1PA PB +=成立？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由.19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 是正方形，PC ⊥底面ABCD ，且1,PC BC E ==是棱PB 上动点.(1)若过C ，D ，E 三点的平面与平面PAB 的交线是l ，证明：//CD l(2)线段PB 上是否存在点E ，使二面角P AC E --的余弦值是23？若存在，求PE PB 的值；若不存在，请说明理由.20．（本题满分12分）已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中，*N n ∈.(1)若12a =，2nn b =.①求数列{}n a 的通项公式；②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？21．（本题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为双曲线C 上一点，12121cos ,24F PF PF PF ∠==，且焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)设A 为双曲线C 的左顶点，点(),0B t 为x 轴上一动点，过2F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,M N 两点，直线,AM AN 分别交直线2a x =于,S T 两点，若π02SBT ∠<<，求t 的取值范围.22．（本题满分12分）已知函数2()4f x x =-，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线与x 轴的交点为()()*1,0n x n +∈N，其中1x 为正实数．(1)用n x 表示1n x +；(2)若14x =，记2lg2n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式．(3)若14,2n n x b x ==-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明：3n T <．。

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)

河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(答案版)

唐山市2022~2023学年度高二年级第一学期学业水平调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线2330x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】C 【解析】【分析】当直线的斜率存在时，由直线的方向向量为(,)n x y = ，则yk x=代入计算即可.【详解】因为2330x y +-=，所以23k =-，设直线的方向向量为(,)n x y = ，则23yk x=-=，取3x =，则=2y -，所以直线的一个方向向量为(3,2)n =-.故选：C.2.在等差数列{}n a 中，11a =，923a =-，则5a =（）A.－11B.－8C.19D.16【答案】A 【解析】【分析】代入等差数列通项公式求出公差，再代入公式即可求得.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，923a =-，所以91823a a d =+=-，解得3d =-，则51411211a a d =+=-=-.故选：A3.已知向量()0,1,1a =- ，()1,2,b y = ，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（）A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据题意，先得到b的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.【详解】根据题意可得，0231a b y y ⋅=-+=-⇒=-，即()1,2,1b =-则cos ,2a b a b a b⋅<>==-，且[],0,πa b <>∈r r ，所以a 与b的夹角为150︒故选:D4.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为（）A.5B.105-C.4D.4-【答案】A 【解析】【分析】设出正方体的棱长，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，表达出1B C 和DE，即可得出异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值.【详解】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，设正方体的棱长为2a ，建立空间直角坐标系如下图所示，则()10,0,0A ，()12,0,0B a ，()2,2,2C a a a ，()12,2,0C a a ，()0,2,2D a a ，(),2,0E a a ∴()10,2,2B C a a = ，(),0,2DE a a =-，设异面直线1B C 与DE 所成角为θ，1110cos 5B C D B EC DEθ==⋅ ，∴异面直线1B C 与DE 所成角的余弦值为105，故选：A.5.F 为抛物线C :24x y =的焦点,点A 在C 上,点()0,5B ,若AF BF =,则ABF △的面积为（）A. B. C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】求出焦点F 的坐标,根据两点间距离公式求得BF ,即AF 的长度,根据抛物线定义可求得A 点坐标,进而可求出面积.【详解】解:因为抛物线C :24x y =,所以()0,1F ,准线为:1y =-因为()0,5B ,所以4BF AF ==,设()11,A x y ,根据抛物线定义可知:114y +=,解得13y =,所以()A ±,所以111422ABF S BF x =⋅⋅=⨯⨯= .故选:B6.设直线210x y --=与x 轴的交点为椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点2F ，过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，132F M =，则椭圆的离心率为（）A.33B.22C.12D.32【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得()21,0F 以及2132b F M a =±=，再结合椭圆,,a bc 的关系，列出方程即可得到结果.【详解】根据题意可得，直线210x y --=与x 轴的交点为()1,0，即()21,0F ，所以1c =，且过左焦点1F 且垂直x 轴的直线与椭圆交于M ，将x c =-代入椭圆方程可得，2by a=±，即2132b F M a =±=，所以232b a =所以2222132c ba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩12c e a ==故选:C7.已知圆O ：2216x y +=和点(P ，若过点P 的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（）A.(B.(]1,2C.( D.(]0,2【答案】A 【解析】【详解】圆半径4r =，OP r ==，则点P 在圆内，则过点P 的弦长[]2,8d Î=，（乱码，查看原文亦是乱码）故所求公比的取值范围是（乱码，查看原文亦是乱码）1,纟çúçú棼，即(.故选：A8.已知数列{}n a 满足11a =，()121n n n a a a ++=，令1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2022项和2022S =（）A.40444045B.20224045C.40434045D.20244045【答案】B 【解析】【分析】化简()121n n n a a a ++=，得1112n na a +-=，可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的方法求数列{}n b 的前2022项和即可.【详解】因为数列{}n a 满足()121n n n a a a ++=，即112n n n n a a a a ++⋅+=，即1112n na a +-=，111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列，所以121n n a =-，则121n a n =-，因为1n n n b a a +=，则()()1111(212122121n b n n n n ==-+-+-，数列{}n b 的前2022项和2022111111112022(1(1233522022122022122202214045S =-+-++-=-=⨯-⨯+⨯+ .故选：B【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线l ：y x =+，圆O ：222(0)x y r r +=>，且圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1，则r 的值可以是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】CD 【解析】【分析】根据圆的对称性，结合圆心到直线距离列式求解即可.【详解】圆O 到直线的距离2d ==，由圆O 上至少有三个点到直线l 的距离都等于1得13r d r -侈.故选：CD.10.将数列{}n 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，…，进行排列：()1，()2,3，()4,5,6，()7,8,9,10，…，则（）A.第8个括号内的第一个数是29B.前9个括号内共有45个数C.第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大136D.2022在第64个括号内【答案】ABD 【解析】【分析】第n 个括号有n 个数，则括号里数的数量满足等差数列，且括号里的数同为等差数列，根据等差数列的通项公式及求和公式逐个判断即可.【详解】对A ，第n 个括号有n 个数，则前7个括号内共有()177282+´=个数，故第8个括号内的第一个数是29，A 对；对B ，前9个括号内共有()199452+⨯=个数，B 对；对C ，由AB 得，第10个括号内的数的和为()4655105052+´=，第8个括号内的数的和为()293682602+´=，故第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大505260245-=，C 错；对D ，设2022在第()*k k ∈N 个括号内，则有()()()1111202222k k k k +--+<£，解得64k =，D 对.故选：ABD.11.已知双曲线C ：2213y x -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 的右支上一点，则（）A.若120PF PF ⋅≤ ，则P 到x 轴的最大距离为32B.存在点P ，满足124PF PF =C.P 到双曲线的两条渐近线的距离之积为34D.12PF F △内切圆半径r 的取值范围是0r <<【答案】ACD 【解析】【分析】利用数量积坐标运算表示120PF PF ⋅≤，解不等式求点P 的纵坐标范围，判断A ，结合双曲线定义判断B ，利用点到直线的距离公式求P 到双曲线的两条渐近线的距离之积判断C ，根据直线与双曲线的位置关系确定12PF F ∠的范围，结合内切圆的性质判断D.【详解】设双曲线的实半轴为a ，虚半轴为b ，半焦距为c ，则双曲线2213y x -=的焦点1F 的坐标为()2,0-，2F 的坐标为()2,0，1,2a b c ===，渐近线方程为y =，设点P 的坐标为(),m n ，则m 1≥，2213n m -=，对于A ，因为()()122,,2,PF m n PF m n =---=--，所以()()222122240PF PF m m n m n ⋅=---+=+≤- 所以221403n n ++-≤，所以3322n -≤≤，所以P 到x 轴的最大距离为32，A 正确；对于B ，由已知124PF PF =，122PF PF -=，所以223PF =，又21PF c a ≥-=，矛盾，B 错误，对于C ，点P223344m n -==，C 正确；对于D ，因为12,,P F F 三点不共线，所以直线1PF 的斜率不为0，可设直线1PF 的方程为()2y k x =+，0k ≠，联立()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得()222234430k x k x k ----=，方程()222234430kxk x k ----=的判别式()()422216434336360k k k k ∆=----=+>，由已知224303k k--<-，所以23k <，又0k ≠，故0k <<或0k <<，设12PF F △的内切圆的圆心为E ，12PF F △的内切圆与x 轴相切于点M ，因为122PF PF -=，所以122MF MF -=，又124MF MF +=，所以13MF =，设122PF F θ∠=，则π023θ<<，又12PF F △内切圆半径1tan 3tan r MF θθ==，所以0r <<D 正确.故选：ACD.【点睛】本题为双曲线的综合性问题，考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，双曲线的性质，难度较大.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 内运动（含边界），则（）A.存在点P ，使得11D P BC ⊥B.若15D P =BP 的最小值为221C.若11D P B D ⊥，则P 2D.若1A P BD ⊥，直线1A P 与直线1BD 所成角的余弦值的最大值为33【答案】BD 【解析】【分析】A 选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可；B 选项，找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可；C 选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，即可求解；D 选项：建立适当空间直角坐标系，利用1A P BD ⊥可得出点(),2,0P x x -，再利用空间向量的坐标表示求解即可.【详解】对于A 选项：如图1,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()2,2,0B ，()10,2,2C ，()10,0,2D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1,,2D P x y =- ，()12,0,2BC =-，若11D P BC ⊥，则11240D P BC x ×=--=，解得2x =-，不合题意，错误；对于B 选项：如图2，若15D P =DP ，则点P 在以D 为圆心，DP 为半径的圆上，此时点P 的轨迹为 FPE ，又15D P =，12DD =，2211541DP D P DD \=-=-，min 221BP BD DP \=-=，故正确；对于C 选项：如图3，连接1AD ，AC ，BD ，1CD ，11B D ，ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，又1DD ⊥Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，1BD DD D = ，1,BD DD ⊂平面11BDD B ，AC ∴⊥平面11BDD B ，1B D ⊂平面11BDD B ，1AC B D ∴⊥，同理可证：11AD B D ⊥，又1AC AD A =I ，1,AC AD ⊂平面1ACD ，1B D ∴⊥平面1ACD ，平面1ACD ⋂平面ABCD AC =，故点P 在正方体底面ABCD 内的运动轨迹是线段AC ，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，AC ∴=，故错误；对于D 选项：如图4，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，连接AC ，BD ，1BD ，1A P ，则()2,2,0B ，()12,0,2A ，()10,0,2D ，()0,0,0D ，设(),,0P x y ，[],0,2x y ∈，则()1-2,,2A P x y =- ，()2,2,0BD =--，当1A P BD ⊥，有()122202240A P BD x y x y ×=---+=--+=，则2y x =-，此时(),2,0P x x -，又()12,2,2A P x x =--- ，()12,2,2BD =--，111111cos ,A P BD A P BD A P BD ×\<>==×当2x =时，11cos,A P BD <> 有最大值，此时11cos ,A P BD <>=.故答案选：BD.【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正项等比数列{}n a ，若1234a a +=，343a a +=，则4a =______.【答案】2【解析】【分析】由等比数列基本量列方程求得基本量，即可得结果.【详解】由题意，设等比数列的公比()0q q >，则()121314a a a q +=+=，()234113a a a q q +=+=，两式相除得，242q q =⇒=，∴31411,24a a a q ===.故答案为：2.14.正四面体ABCD 中，若M 是棱CD 的中点，AP AM λ= ，1166AB BP AC AD +=+，则λ=______.【答案】13【解析】【分析】根据空间向量线性运算得到1166AC AM AD λλ+= ，证明出共线定理的推论，由,,M C D 三点共线，得到11166λλ+=，求出13λ=.【详解】因为AB BP AP +=，所以1166AP AC AD =+ ，即1166AC A AM D λ+= ，1166AC AM AD λλ+=，下面证明：已知OB xOA yOC =+，若,,A B C 三点共线，则1x y +=，因为,,A B C 三点共线，所以存在非零实数t ，使得AB t AC =，即()OB OA t OC OA -=- ，整理得()1OB tOC t OA =+- ，故1x t =-，y t =，所以1x y +=，因为,,M C D 三点共线，故11166λλ+=，解得：13λ=.故答案为：1315.已知圆1O ：221x y +=，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=，过圆2O 上的任意一点P 作圆1O 的两条切线，切点为A ，B ，则四边形1PAO B 面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意分析可得四边形1PAO B面积112△PAO B PAO S S ==，结合圆的性质求1PO 的最大值即可.【详解】圆1O ：221x y +=的圆心()10,0O ，半径11r =，圆2O ：22(3)(4)100x y -+-=的圆心()23,4O ，半径210r =，四边形1PAO B面积1111222△PAO B PAO S S PA AO PA ==⨯⨯⨯===，∵11221015PO O O r ≤+=+=，∴四边形1PAO B=.故答案为：.16.设双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点()0,P b ,直线20x y m ++=与C 交于M ,N 两点.若0FM FN FP ++=,则C 的离心率为______.【答案】233【解析】【分析】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,根据0FM FN FP ++=,得到F 为MNP △的重心,利用重心的坐标式得到12123x x cy y b+=⎧⎨+=-⎩,再利用点差法和222c a b =+得到,,a b c 关系求解即可.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ,(),0F c ,因为0FM FN FP ++=,所以F 为MNP △的重心,则1212303x x c y y b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩,即12123x x c y y b +=⎧⎨+=-⎩,①因为()()1122,,,M x y N x y 在双曲线C :()222210,0x ya b a b-=>>上,所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减得:22221212220x x y y a b ---=,化简得:()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+--=,即()()()()12121222120x x y y y y a b x x ++⋅--=⋅-,②将①代入②得:()()22320b c a b--⋅-=,即()222322bc a c b ==-,解得:2c b =,所以a ==,则233c e a ==,即C 的离心率为233.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆心为()3,3C 的圆经过点()1,5A .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,5B -作直线l 与圆C 交于E ，F 两点.若4EF =，求直线l 的方程.【答案】（1）22(3)(3)8x y -+-=（2）1x =或158550x y --=.【解析】【分析】（1）直接将点A 的坐标代入圆的方程，即可得到结果；（2）根据截得的弦长，分l 的斜率不存在与l 的斜率存在分别讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设所求圆C 的方程为222(3)(3)x y r -+-=，因为点()1,5A 在圆C 上，则222(13)(53)r -+-=，解得28r =，所以圆C 的方程为22(3)(3)8x y -+-=.【小问2详解】因为直线l 被圆C 截得的弦长为4，所以圆心到直线l的距离2d ==.当l 的斜率不存在时，直线l 方程为1x =，符合题意.当l 的斜率存在时，设直线l 方程为()51y k x +=-，即50kx y k ---=.则2d =，解得158k =.此时直线l 方程为155(1)8y x +=-，即158550x y --=.综上所述，直线l 的方程为1x =或158550x y --=.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别为AC ，1BB 的中点.（1）证明：//MN 平面11A B C ；（2）若CB ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，14BB =，求点A 到平面11A B C 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】(1)要证明//MN 平面11A B C ，通过证明平面MHN ∥平面11A B C 即可证得；(2)根据已知条件可以以B 为原点建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可.【小问1详解】证明：取1AA 的中点H ，连接MH ，HN .因为M 为AC 的中点，所以1MH A C ∥.因为MH ⊄平面11A B C ，1AC ⊂平面11A B C ，所以MH ∥平面11A B C .因为H ，N 分别为1AA ，1BB 的中点，所以11HN A B ∥，因为HN ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以HN ∥平面11A B C .因为,,MH HN H MH HN ⋂=⊂面MHN ，所以平面MHN ∥平面11A B C .因为MN ⊂平面MHN ，所以//MN 平面11A B C .【小问2详解】因为CB ⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，所以CB AB ⊥.因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB BC ⊥，1BB AB ⊥.以BA ，1BB ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()2,0,0A ，()10,4,0B ，()12,4,0A ，()0,0,2C ，()10,4,0AA = ，()10,4,2CB =- ，()112,0,0B A =.设平面11A B C 的法向量为(),,n x y z =.由11100CB n B A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得42020y z x -=⎧⎨=⎩，取()0,1,2n = .所以点A 到平面11A B C 的距离1455AA n d n⋅==.19.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，O 为坐标原点，A ，B 为C 上异于O 的两点，OA OB ⊥.（1）证明：直线AB 过定点；（2）求4AF BF +的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）21【解析】【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，联立抛物线方程，由垂直斜率关系及韦达定理可求得参数m ，进而确定定点；（2）由抛物线定义结合基本不等式求最值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为x m ty -=，将直线AB 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=.由OA OB ⊥，得121212441y y x x y y ⋅=-=⋅，即1216y y =-，所以416m -=-，4m =，故直线AB ：4x ty -=，恒过定点()4,0.【小问2详解】抛物线准线为=1x -，由抛物线的定义，()()121144x x AF BF =++++221254y y =++12521y y ≥+=，当且仅当221248y y ==时等号成立，所以4AF BF +的最小值为21.20.已知数列{}n a 满足11a =,11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）记2n n b a =,写出1b ,2b ,3b ,4b ,并猜想数列{}n b 的通项公式;（2）证明（1）中你的猜想;（3）若数列{}n a 的前n 项和为n S ,求2n S .【答案】（1）12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-（2）证明见解析（3）123236n n S n +=⨯--【解析】【分析】(1)根据{}n a 的递推关系式及首项,写出2348,,,,a a a a L ,进而求得1b ,2b ,3b ,4b ,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式;(2)因为2n n b a =,所以找到22n a +和2n a 的关系,即1n b +与n b 的关系,对式子进行配凑,可发现{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得{}n b 的通项公式;(3)根据2122n n a a +=,可得2112n n a b --=,将2n S 写为()()1321242n n a a a a a a -+++++++ ,再将2112n n a b --=,2n n a b =代入,可得()211123n n n S b b a b b -=+++++ ,将1321n n b -=⨯-代入,再利用等比数列的求和公式即可得2n S .【小问1详解】由题知11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数,因为11a =,所以12112b a a ==+=,3224a a ==,24315b a a ==+=,54210a a ==,536111b a a +===,76222a a ==,748123b a a +===,综上:12b =,25b =,311b =,423b =,猜想1321n n b -=⨯-.【小问2详解】由题意,知2122n n a a +=,22211n n a a ++=+,代入得22221n n a a +=+,于是222122n n a a ++=+,即()1121n n b b ++=+,因为113b +=,所以{}1n b +是以3为首项,2为公比的等比数列,故1321n n b -=⨯-.【小问3详解】因为()()2112112122n n n n a a a b ---+-===,()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++()()112112222n n a b b b b b b -=++++++++ ()11213n n b b b b a -=+++++ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()1012332323232111n n n --=⨯+⨯++⨯+⨯---+ ()()11311122332n n n --⎛⎫ ⎪=+⨯ ⎪⎝⎭----13236n n +=⨯--.21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PB PD =，PA AC ⊥.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）若PA =PC 上是否存在点M ，使直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为154？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由线线垂直证BD ⊥平面PAO ，再依次证PA BD ⊥、PA ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，设()01PM PC λλ=≤≤，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.【小问1详解】证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO .因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以BD AO ⊥，因为O 是BD 中点，PB PD =，所以BD PO ⊥.因为AO PO O = ，AO PO ⊂、平面PAO ，所以BD ⊥平面PAO ，因为PA ⊂平面PAO ，所以PA BD ⊥.因为PA AC ⊥，BD AC O ⋂=，BD AC ⊂、平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】如图，取线段BC 的中点H ，连接AH ，易知AH AD ⊥.以A 为坐标原点，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A，)1,0B-，)C，(P .()0,2,0BC =uu u r，PC = .设()01PM PC λλ=≤≤，则有(),,,,M M Mx y z λ=，解得),Mλ-，进而),AM λ=.设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =.由00m BC m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得200y y =⎧⎪+=，取()1,0,1m = .设直线AM 与平面PBC 所成的角为θ，则154sin cos ,m AM AM m m AMθ==⋅===⋅，化简得，2353070λλ-+=，此方程无解，所以满足条件的点P 不存在.22.已知点()4,0A ，()10B ,，动点P 满足6AB AP PB ⋅=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，斜率为k 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.若EM EN =，求k 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）1122k -<<【解析】【分析】（1）设动点(),P x y ，分别表示出,,AB AP PB，然后代入计算，化简即可得到结果；（2）根据题意，分0k =与0k ≠两种情况讨论，当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出MN 的中点Q 的坐标，再由条件列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设动点(),P x y ，则()3,0AB =- ，()4,AP x y =-，()1,PB x y =--，由已知，得3(4)x --=，化简，得223412x y +=，故动点P 的轨迹C 的方程是22143x y +=.【小问2详解】当0k ≠时，设直线l ：y kx m =+，将y kx m =+代入22143x y+=，整理，得()2223484120kxkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，()()2222644412340k m m k∆=-⨯-⨯+>，整理，得22430k m +->，①设MN 的中点为Q ，1224234x x km k +=-+，()12122232234k x x m y y mk +++==+，所以2243,3434km m Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，由EM EN =，得EQ MN ⊥，即直线EQ 的斜率为1k-，所以22131234434m k km k k-+=-+，化简，得()21432m k =-+，②将②代入①式，解得1122k -<<且0k ≠.当0k =时，显然存在直线l ，满足题设.综上，可知k 的取值范围是1122k -<<.。

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

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海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 以下哪个是等差数列？- A. 2, 4, 6, 8- B. 3, 6, 9, 12- C. 1, 3, 9, 27- D. 2, 5, 8, 11答案：A2. 函数y = x^2 + 3x + 2的图像是一个什么形状？- A. 抛物线- B. 直线- C. 双曲线- D. 圆答案：A3. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别为多少？- A. a = 4, b = 3- B. a = 3, b = 4- C. a = 5, b = 2- D. a = 2, b = 5答案：B4. 在一个等边三角形中，每个内角是多少度？- A. 60°- B. 90°- C. 120°- D. 180°答案：A5. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的周长是多少？- A. 4cm- B. 6cm- C. 8cm- D. 12cm答案：C6. 若sinθ = 0.5，那么θ的值是多少？- A. 30°- B. 45°- C. 60°- D. 90°答案：B7. 以下哪个是素数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 25答案：B8. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时30分钟，那么它行驶的距离是多少公里？- A. 75公里- B. 100公里- C. 125公里- D. 150公里答案：C9. 若a:b = 3:5，且b:c = 4:7，则a:c的比值是多少？- A. 12:20- B. 9:20- C. 3:7- D. 12:35答案：B10. 一个扇形的半径为5cm，弧长为10πcm，那么它的圆心角是多少度？- A. 36°- B. 54°- C. 72°- D. 90°答案：C二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 当x = 2时，函数y = 2x^2 + 3x - 1的值为 \_\_\_。

2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年福建师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．椭圆221x my +=的焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m 的值 【详解】由221x my +=，得2211y x m+=， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以2211,a b m==， 因为长轴长是短轴长的两倍， 所以224a b =，即41m=，得4m =， 故选：D2．已知双曲线222:1x C y a-=的一个焦点为()2,0-，则双曲线C 的一条渐近线方程为（ ）A．0x = B0y += C．0x = D0y +=【答案】A【分析】根据双曲线中,,a b c 的关系，即可求得双曲线的标准方程，并写出对应的渐近线方程. 【详解】由题意可知，1,2==b c ， 则由222c a b =+得a =所以，渐近线方程为by x a =±=，即0x ±=故选：A.3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，且2OM MA =，BN NC =，则MN 等于（ ）A ．221332a b c ++B ．111222a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+【答案】C【分析】根据空间向量的线性表示，用OA 、OB 和OC 表示出MN 即可. 【详解】由题意知，MN MA AC CN =++ ()1132OA OC OA CB =+-+ ()2132OA OC OB OC =-++-211322OA OB OC =-++211322=-++a b c 故选：C.4．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则2022a =（ ） A ．-1 B ．12C ．1D ．2【答案】A 【分析】由111n n a a +=-，且112a =，得到所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列求解. 【详解】解：因为数列{}n a 满足111n n a a +=-，且112a =， 所以()2341211112,1,11112a a a a a ====-==----，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2022367401a a ⨯+==-， 故选：A5．圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（ ）A ．2B ．32C ．26D ．23【答案】A【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆1O 的圆心到公共弦的距离，再由公共弦长公式=d .【详解】联立两个圆的方程222222260820x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩， 两式相减可得公共弦方程3120x y -+=，圆()()221:1128O x y -+-=的圆心坐标为()11,1O ，半径为r =圆心()11,1O 到公共弦的距离为1==d公共弦长为==d 故选：A.6．已知点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上运动，则yx的最大值是（ ）A B ．12C D 【答案】D 【分析】令yk x=，即为0kx y ，可知直线与圆有交点，由此列出不等式求出k 的范围，即可得到结果.【详解】圆22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=， 圆心为()2,0C ，半径=1r ， 则yx的几何意义就是圆上一点(),P x y 与原点()0,0之间连线的斜率， 令yk x=，即为0kx y ， 可知直线0kx y 与圆有公共点，即相交或相切，1≤，解得k ≤≤，所以y x 故选：D.7．如图，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，准线与对称轴交于点M ，若3BC BF=，且3AF =，则p 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，根据抛物线的定义以及图象可得sin sin sin BCD ACE FCM ∠=∠=∠，结合已知条件求得,a p ，即可. 【详解】如图，分别过点A 、B 作准线的垂线，垂足分别为点E 、D ，设BF a =，则由己知得3BC a =，由抛物线的定义得BD a =， 故1sin 33BD a BCD BC a ∠===， 在直角三角形ACE 中，3AF =，34AC a =+， 又因为31sin sin 343AE BCD ACE AC a ∠=∠===+， 则349a +=，从而得32a =， 又因为1sin sin 463MF p p BCD FCM FC a ∠=∠====， 所以2p =. 故选：B.8．空间直角坐标系O xyz -中，经过点()000,,P x y z ，且法向量为(),,m A B C =的平面方程为()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=，经过点()000,,P x y z 且一个方向向量为()(),,0n μυωμυω=≠的直线l 的方程为x x y y z z μυω---==，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3570x y z -+-=，经过()0,0,0的直线l 的方程为321x y z==-，则直线l 与平面a 所成角的正弦值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线l 与平面a 所成角的正弦值.【详解】因为平面α的方程为3570x y z -+-=，故其法向量为()3,5,1n =-， 因为直线l 的方程为321x y z==-，故其方向向量为()3,2,1m =-，故直线l 与平面a=，故选：B.【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.二、多选题9．已知椭圆22:198x y C +=的左､右两个端点分别为12,,F F P 为椭圆上一动点，()1,1M 则下列说法正确的是（ ）A ．12PF F △的周长为6B ．12PF F △的最大面积为C ．存在点P 使得120PF PF ⋅=D ．1PMPF 的最大值为7【答案】BD【分析】对于A ，利用椭圆的定义可得12PF F △的周长为8，由此判断即可；对于B ，根据椭圆的几何性质，当P 为椭圆短轴顶点时，可得12PF F △的面积最大，从而得以判断； 对于C ，由120PF PF ⋅=可得点P 的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点P 的轨迹与椭圆C 没有交点，由此得以判断；对于D ，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得17PM PF +≤，从而得以判断.【详解】对于A ，因为椭圆22:198x y C +=，所以229,8a b ==，则23,22,1,1a b c c ====，所以12PF F △的周长为1212228PF PF F F a c ++=+=，故A 错误；对于B ，当P 为椭圆C 短轴顶点时，点P 到12F F 的距离最大，则12PF F △的面积最大， 所以121122222222PF F Sc b =⨯⨯=⨯⨯=，故B 正确； 对于C ，假设存在点P 使得120PF PF ⋅=，则12PF PF ⊥， 所以点P 的轨迹是以原点O 为圆心，12F F 为直径的圆O ，则12112r F F ==， 因为椭圆C 上的任一点到原点O 的最小距离是短轴顶点与原点O 的距离，即22b =， 由r b <可知，圆O 与椭圆C 没有交点，所以假设不成立，即不存在点P 使得120PF PF ⋅=，故C 错误； 对于D ，由选项A 易得()21,0F ，又()1,1M ，所以()()22211011MF =-+-=，所以12222667PM PF PM a PF PM PF MF +=+-=+-≤+=，故D 正确. 故选：BD..10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法正确的是（ ） A ．0d <B ．120S >C ．数列{}n S 的最大项为11SD ．67a a >【答案】ABD【分析】由675S S S >>判断出70a <，60a >，求出760d a a =-<，即可判断A ；利用等差数列的性质求出()126760S a a =+>，可以判断B ； 由60a >，70a <，可判断出6S 最大，可以判断C ； 由60a >，70a <，670a a +>，可以判断D.【详解】因为7670S S a -=<，6560S S a -=>，所以760d a a =-<，A 正确； 75670S S a a -=+>，所以()()112126712602a a S a a +==+>，B 正确； 因为60a >，70a <，所以数列{}n S 的最大项为6S ，C 不正确；因为60a >，70a <，670a a +>，所以670a a >->，即67a a >，D 正确． 故选：ABD ．11．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且1160,DAB DAA BAA ∠∠∠===则下列说法中正确的有（ ）A ．1AC BD ⊥B ．16BDC ．BD ⊥平面1ACC D ．直线1BD 与AC 6【答案】ACD【分析】根据空间向量的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，11,AC AB AD AA BD AD AB =++=-， ()()11AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅-11AB AD AD AD AA AD AB AB AD AB AA AB =⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-⋅ 221111111111*********=⨯⨯++⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯=，所以1AC BD ⊥，A 选项正确.111A BD D AB AD AA AB =-=+-，所以()2211BD AD AA AB =+-222111222AD AA AB AD AA AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅2221111112112112112222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以12BD =，B 选项错误.依题意可知，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 由于1AC AC A =，1,AC AC ⊂平面1ACC ，所以1BD ⊥平面1ACC ，C 选项正确. 设直线1BD 与AC 所成角为π,02θθ≤≤， AC AB AD =+，11BD AD AA AB =+-，()222212121113,32AC AB ADAB AB AD AD AC =+=+⋅+=+⨯⨯⨯+==，()()11AC BD AB AD AD AA AB ⋅=+⋅+-11AB AD AB AA AB AB AD AD AD AA AD AB =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅221111111111*********=⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯-⨯⨯=，所以1116cos 632AC BD AC BD θ⋅===⨯⋅，D 选项正确. 故选：ACD12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点F ，使得1A F AE ⊥B ．线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C ．四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D ．设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4【答案】BCD【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项；求出b 与a 的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用等积法可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为1CC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()12,0,2A 、()10,2,2B 、()10,0,2C 、()0,1,2E ，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤.对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()12,2,2A F a =--，()2,1,2AE =-，()142220A F AE a ⋅=++-=，解得1a =-，不合乎题意，A 错；对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中m 、R n ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即22=2+2=02+=2m n b m n m an ---⎧⎪⎨⎪⎩，可得424b a =+-，02a ≤≤，则442a -≤-≤-，所以，[]420,14b a =+∈-，B 对； 对于C 选项，2C AFEG C AGE C AFE V V V ---=+=， 其中11233C AGE E ACG ACGV V SEC --==⋅⋅=，故43C AFE V -=， 又124333C AFE A CEF CEFCEFV V AC SS --==⋅⋅==，故2CEFS =即11122CEFCBB C SS ==正方形，故点F 只能与点B 重合，C 对； 对于D 选项，()2,1,2AE =-，()2,2,AF a =-，则点F 到直线AE 的距离为221AE AF d AF AE ⎛⎫⋅⎪=-= ⎪⎝⎭()2,0,2AG b =-，则点G 到直线AE 的距离为222AG AE d AG AE ⎛⎫⋅⎪- ⎪⎝⎭==所以，223124S d S d a ==-，故()2223312232332242242S SS S S a S S S S S S a +-==++=++-， 24≥=，当且仅当=2a 时，等号成立，故2123S S S 的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.三、填空题13．已知直线l10y ++=，则直线l 的倾斜角为__________. 【答案】2π3【分析】先求得直线l 的斜率，然后求得其倾斜角. 【详解】10y ++=的倾斜角为()0πθθ≤<， 10y ++=的斜率为tan θ=2π3θ=所以倾斜角为2π3. 故答案为：2π314．已知空间三点坐标分别为()()()1,1,1,0,3,0,2,1,4A B C --,点()3,,3P x -在平面ABC 内,则实数x 的值为___________. 【答案】1【分析】根据题意,存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立,将各点坐标代入,列出方程组求解即可.【详解】点()3,,3P x -在平面ABC 内,∴存在实数,λμ使得等式AP AB AC λμ=+成立, ()()()4,1,21,2,13,2,3x λμ∴--=--+--, 4=31=222=+3x --λ-μ∴-λ-μ-λμ⎧⎪⎨⎪⎩, 解得=1=1=1x λμ⎧⎪⎨⎪⎩.故答案为:1.15．已知数列{}n a 满足118a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为_________. 【答案】152【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可． 【详解】12n n a a n +-=， 212a a -=， 324a a -=，⋯()121n n a a n --=-，由累加得()()()12124212123122n n n a n n n n a -=++⋯+-=⨯+++⋯+-==-⨯-，所以12218n a n n n n a ==-+-+ ∴181n a n n n=+-， ()18f x xx=+在()0,32上单调递减，在()32,+∞上单调递增， ∴na n在(]0,4上单调递减，在[)5,+∞上单调递增，且N n *∈， 4n ∴=或5时最小，4n =时，21814145n a n +-==； 5n =时，31285581515n a n +==>-； 所以na n 的最小值为152故答案为：152． 16．如图，已知斜率为2-的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支交于A ，B 两点，点A 关于坐标原点O 对称的点为C ，且=45ABC ∠︒，则该双曲线的离心率为______.【答案】153##1153 【分析】取AB 的中点M ，连接OM ，求得直线OM 的斜率，再利用点差法求得2223b a =，进而求得该双曲线的离心率【详解】如图，设直线AB 与x 轴交于点D ，取AB 的中点M ，连接AC ，OM ， 由双曲线的对称性可知O 为线段AC 的中点，则OM BC ∥，所以45OMD ∠=︒.由直线AB 的斜率2AB k =-，得tan 2ODM ∠=-，则直线OM 的斜率()()tan tan45211tan 1tan tan451213OM ODM k ODM OMD ODM ∠∠∠∠+︒-+=+===--︒--⨯.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减，得22221212220x x y y a b---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-， 即()2212233OM ABb k k a ⋅==-⨯-=，所以该双曲线的离心率e ==四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+.【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． （2）由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．已知ABC 的边AB 边所在直线的方程为()36020x y M --=，满足BM MC =, 点()11T -，在AC边所在直线上且满足0AT AB ⋅=．（I ）求AC 边所在直线的方程； （II ）求ABC 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点()20N -，，且与ABC 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程． 【答案】（I ）320x y ++=；（II ）22(2)8x y -+=；（III ）221(2)22x y x -=≤-.【分析】本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意直线和圆的位置关系的合理运用． （I ）由0AT AB ⋅=，T 在AC 上，知ABC 是直角三角形．由AB 边所在的直线方程是360x y --=，知直线AC 的斜率是-3，再由T(1,1)-在直线AC 上，能求出AC 边所在的直线方程;（II ）AC 与AB 的交点为A ，由360{320x y x y --=++=，，解得A （0，-2）．由BM MC =，知()2,0M 为Rt ABC 外接圆的圆心，再由r=22||(20)(02)22AM -++=能求出ABC 外接圆的方程． （III ）由动圆P 过点N ，知|PN|是该圆的半径，再由动圆P 与圆M 外切，知|PM ||PN |22=+P 的轨迹． 【详解】（I ）（I ）∵0AT AB ⋅=，∴AT ⊥AB ， ∵T 在AC 上，∴AC ⊥AB ，△ABC 是直角三角形．又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AC 上， 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=．（II ）AC 与AB 的交点为A ，所以由360{320x y x y --=++=，解得点A 的坐标为(02)，-， ∵BM MC =，∴M （2，0）为Rt △ABC 外接圆的圆心， 又r=22(20)(02)22AM =-++从ABC ∆外接圆的方程为:22(2)8x y -+=．（III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以22PM PN =+，即22PM PN -=．故点P 的轨迹是以M N ，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支． 因为实半轴长2a =，半焦距2c =． 所以虚半轴长222b c a =-=．从而动圆P 的圆心的轨迹方程为221(2)22x y x -=≤-．【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题（Ⅰ）就是利用方法①求M 的轨迹方程的.19．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AC =4，BD =2，且侧棱AA 1=3.其中O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点.（1）求点B 1到平面D 1AC 的距离；（2）在线段BO 1上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与CD 1垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（13105（2）存在，10BP =【分析】（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出11D B →的方向向量和平面D 1AC 的法向量，最后根据距离公式求解即可.（2）设1BP BO λ→→=⋅，分别求出直线AP 与CD 1的方向向量，根据数量积等于0求出λ的值，最后确定点P 的位置.【详解】解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与BD 的交点O 为原点， 以射线OA ､OB ､OO 1分别为x ､y ､z 轴，建立空间直角坐标系.由已知条件，相关点的坐标为A (2，0，0)，B (0，1，0)，C (﹣2，0，0)，O 1(0，0，3)，B 1(0，1，3)，D 1(0，﹣1，3)，设平面D 1AC 的法向量为n (x,y,z)→=， 由(4,0,0)AC →=-，1(2,1,3)AD →=--， 得1.4003·230n AC x x y z n AD x y z ⎧=-==⎧⎪⇒⎨⎨==--+=⎩⎪⎩，令z =1，则(0,3,1)n →= 因11(0,2,0)D B →=，故点B 1到平面D 1AC 的距离为11||6310510||D B n d n →→→⋅===. （2）设1BP BO λ→→=⋅，则由(2,1,0)AB →=-，1(0,1,3)BO →=-， 得(2,13)AP AB BP λλ→→→=+=--，. 又1(2,1,3)CD →=-，故当1AP CD →→⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)10502AP CD λλλλ→→⋅=--⋅-=-=⇒=. 于是，在线段BO 1上存在点P ，使得AP ⊥CD 1， 此时111022BP BO ==.【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.20．已知抛物线()2:20C y px p =>，点()2,4P 在抛物线C 上.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若以线段PQ 为直径的圆过原点，求m 的值.【答案】(1)28y x = (2)8-【分析】（1）将点()2,4P 代入抛物线C 方程即可求得p 的值，进而可求出抛物线的方程； （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的12120x x y y +=，得到关于m 的方程，解之即可．【详解】（1）因为点()2,4P 在抛物线()2:20C y px p =>上，所以2422p =⨯，即4p =， 故抛物线C 的方程为28y x =. （2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩，消去y ，得22(28)0x m x m +-+=，所以1282x x m +=-，212x x m =，22(28)40m m ∆=-->，则2m <，因为以线段PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y +=⋅=，所以222121212121212()()2()2(82)0x x y y x x x m x m x x m x x m m m m m +=+++=+++=+-+=，解得8m =-或0m =，当0m =时，直线l 为y x =，显然直线l 过原点O ，不满足题意，舍去； 当8m =-，满足2m <，且有12120x x y y +=，即OP OQ ⊥，满足题意； 综上：m 的值为8-．21．如图，在平面四边形ABCD 中，=AB AD ，BC CD =且BC CD ⊥，以BD 为折痕把ABD △和CBD △向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）.(1)求证：EF BD ⊥；(2)若平面EBD ⊥平面FBD ，点G 为ABD △的重心，EG ⊥平面ABD ，且直线EF 与平面FBD 所成角为60°，求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）作出辅助线，证明出EH ⊥BD ，FH ⊥BD ，从而证明线面垂直，得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角. 【详解】（1）取BD 中点H ，连接EH ，FH ， 因为AB =AD ，BC =DC ， 所以EB =ED ，FB =FD ， 故EH ⊥BD ，FH ⊥BD ， 因为EHFH H =，,EH FH ⊂平面EFH ，所以BD ⊥平面EFH 。

2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高二上学期期末监测考试数学试题(解析版)

2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高二上学期期末监测考试数学试题(解析版)

2022-2023学年贵州省贵阳市普通中学高二上学期期末监测考试数学试题一、单选题1．已知两个空间向量(),4,2a m =-，()1,2,1b =-，且a b ，则实数m 的值为（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-【答案】D【分析】根据空间向量平行的坐标运算得出答案. 【详解】a b ∥，(),4,2a m =-，()1,2,1b =-， 42121m -∴==-，解得2m =-， 故选：D.2．在等比数列{}n a 中，24a =，42a =，则6a =（ ）A ．1-B ．1C ．1或1-D 【答案】B【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解.【详解】设公比为,q 则由24a =，42a =得222421422a a q q q ===⇒=，故226421a a q q ===， 故选：B3．已知直线l ：0Ax By C ++=，如果0AC <，0BC <，那么直线l 不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据题意，求出直线在坐标轴上的截距，即可求解. 【详解】当0x =时，Cy B =-，由0BC <得0C B->， 即点(0,)CB -在y 轴的正半轴；当0y =时，Cx A =-，由0AC <得0C A->， 即点(,0)CA-在x 轴的正半轴， 又直线l 过点(0,)C B -和点(,0)CA -，所以直线l 不经过第三象限.4．以下四个命题，正确的是（ ）A ．若直线l 的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B ．经过()()101,3A B -，，两点的直线的倾斜角为锐角 C ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 D ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可. 【详解】A ：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为45︒，故A 错误； B ：过点A 、B 的直线的斜率为3030112k -==-<--， 即3tan 02α=-<(α为直线的倾斜角)，则α为钝角，故B 错误；C ：当直线的倾斜角为90︒时，该直线的斜率不存在，故C 错误；D ：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D 正确. 故选：D.5．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，M ，N 分别是1BB 和11A C 的中点，且1MN xAB y AC z AA =++，则实数x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．111,,22-B ．111,,22--C ．111,,22---D ．111,,22-【答案】A【分析】根据题意用空间基底向量表示向量，结合空间向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：()11111111112222MN MB B C C N AA AC AB AC AB AC AA =++=+--=-++， 故111,,22x y z =-==.故选：A.6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且510S =，1050S =，则15S =（ ） A ．70B ．90C ．100D ．120【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得51051510,,S S S S S --成等差数列，即可求得15S 的值. 【详解】在等差数列{}n a 中，51051510,,S S S S S --成等差数列，所以()051051512S S S S S -=-+，则()152********S ⨯-=+-，即15120S =. 故选：D.7．设1F ，2F 分别是双曲线C ：2212y x -=的左､右焦点，P 为C 上一点且在第一象限若122PF PF =，则点P 的纵坐标为（ ） A ．1 B ．3C ．2D ．23【答案】C【分析】根据双曲线的定义可得124,2PF PF ==，进而根据长度关系判断212PF F F ⊥，代入3x =即可求解.【详解】根据题意可知：1,2,3a b c === ，由122PF PF =以及1222PF PF a -==可得124,2PF PF ==，又12223F F c ==，由于2221212PF PF F F =+,故212PF F F ⊥，即三角形12PF F 为直角三角形，将3x =代入2212y x -=得2y =，由于P 为C 在第一象限，故点P 的纵坐标为2， 故选：C8．已知直线l ：210x y --=是圆C ：22610()x y x ay a +-++=∈R 的对称轴，过点()4,P a -作圆的一条切线，切点为A ，则PA =（ ） A ．10 B ．7 C ．3D ．2【答案】B【分析】根据题意分析可得直线l 过圆心C ，可求得2a =-，再根据圆的切线长公式运算求解. 【详解】由题意可知：直线l ：210x y --=过圆心3,2a C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则32102a ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得2a =-，故圆C ：226210x y x y +--+=的圆心为()3,1C ，半径3r =，且点()4,2P --， ∵()()22432158PC =--+--=，∴227PA PC r =-=.故选：B.二、多选题9．斐波那刻螺旋线被骨为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等.如图，小正方形的边长分别为斐波那契数1，1，2，3，5，8....，从内到外依次连接通过小正方形的14圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线，现将每一段“斐波那契螺旋”弧线所在的正方形边长设为(N )n a n *∈，数列{}n a 满足11a =，21a =，21(N )n n n a a a n *++=+∈，每一段“斐波那契螺旋”弧线与其所在的正方形围成的扇形面积设为(N )n b n *∈，则下列说法正确的有（ ）A ．13578a a a a α+++=B ．62984a a a a a +++=C ．()54364πb b a a -=D ．()67544b b b +=【答案】AC【分析】由题意可得{}n a 的前9项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34，根据运算即可判断AB,根据2π4n n b a =，利用平方差公式以及12n n n a a a --=+即可判断选项C,代入计算即可判断D.【详解】根据11a =，21a =，21(N )n n n a a a n *++=+∈得数列的前9项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34，所以135781251321a a a a α=+++=+++=，629841382133a a a a a =+++=+++≠，故A 正确，B 错误，由题意可得2π4n n b a =，即24πn n b a =，所以2254545454364()π()π()()πb b a a a a a a a a -=-=-+=，故C 正确， ()222256564()π()π5889πb b a a =+=+=+，22774ππ13169πb a ==⨯=，所以()67544b b b +≠，故D 错误， 故选：AC.10．如图，在正方线ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，K ，L 分别是AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D 1，DA 各棱的中点，则下列选项正确的有（ ）A ．向量EA ，EK ，EF 共面B ．A 1C ⊥平面EFGHKL C ．BC 与平面EFGHKL 3D ．∠KEF =90°【答案】BCD【分析】建系，利用空间向量判断向量共面和线、面关系以及求线面夹角. 【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2AD =， 则()()()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0,2,2,1,0,2,2,1,0,0,1,0,2,1A B C A E F K H ，可得()()()()()()10,1,0,2,1,1,0,1,1,2,2,2,2,0,0,0,1,1EA EK EF A C BC KH =-=--==--=-=， 对A ：若向量EA ，EK ，EF 共面，则存在实数,λμ，使得EA EK EF λμ=+成立，∵()()0,1,0,2,,EA EK EF λμλλμλμ=-+=+-+，可得2010λλμλμ=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩，无解，∴不存在实数,λμ，使得EA EK EF λμ=+成立， 故向量EA ，EK ，EF 不共面，A 错误； 对B ：由题意可得：EF KH =，则EF KH ，同理可得：ELGH ，KL GF ，故,,,,,E F G H K L 六点共面，∵()()()1122212102021210AC EK ACEF ⎧⋅=-⨯+⨯+-⨯-=⎪⎨⋅=-⨯+⨯+-⨯=⎪⎩，则11,A C EK A C EF ⊥⊥， EKEF E =，,EK EF ⊂平面EFGHKL ，∴1A C ⊥平面EFGHKL ，B 正确；对C ：由B 可得()12,2,2AC =--是平面EFGHKL 的法向量， ∵11143cos ,3223BC A C BC A C BC A C⋅===⨯，∴BC 与平面EFGHKL 所成角的正弦值为33，C 正确； 对D ：∵()2011110EK EF ⋅=⨯+⨯+-⨯=，则EK EF ⊥， ∴90KEF ∠=︒，D 正确. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：利用空间向量处理立体几何问题的一般步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标； （3）结合公式进行论证、计算； （4）转化为几何结论．三、填空题11．直线l 1：10x y +-=与直线l 2：30x y ++=间的距离是___________. 【答案】2【分析】根据两平行线间距离公式运算求解.【详解】由题意可得：直线l 1：10x y +-=与直线l 2：30x y ++=间的距离22132211d --=+.故答案为：22.12．已知空间向量(1,2,2)a =-，()1,0,1b =，则2a ab -⋅=___________. 【答案】6【分析】利用空间向量数量积运算法则计算即可.【详解】()()()21441,2,21,0,19126a a b -⋅=++--⋅=-+=. 故答案为：613．已知a ，b ，c 成等比数列，则二次函数22y ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数是___________. 【答案】1【分析】根据题意有2b ac =，再借助二次函数的判别式判断交点个数 【详解】a ，b ，c 成等比数列,则2b ac =， ()224440b ac ac ac ∆=-=-=，则二次函数的图像与x 轴有1个交点， 故答案为：1.14．已知抛物线2:4C y x =的准线是直线l ，M 为C 上一点，MN l ⊥，垂足为N ，点P 的坐标是()0,2，则PM MN +的最小值为___________. 【答案】5【分析】由抛物线的定义可得出MN MF =，当M 为线段PF 与抛物线C 的交点时，PM MN +取最小值可得结果.【详解】抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线为:1l x =-，如图所示：由抛物线的定义可得MN MF =，所以，()()2201205PM MN PM MF PF +=+≥=-+-= 当且仅当M 为线段PF 与抛物线C 的交点时，等号成立，因此，PM MN +的最小值为5. 故答案为：5.15．若直线y x b =+与曲线214x y y =+-有公共点，则b 的取值范围是___________.【答案】122,3⎡⎤-⎣⎦【分析】由题意可得：该曲线为以()1,2为圆心，半径2r =的右半圆，根据图象结合直线与圆的位置关系运算求解.【详解】∵2141x y y =+-≥，整理得()()()221241x y x -+-=≥， ∴该曲线为以()1,2为圆心，半径2r =的右半圆， 直线y x b =+的斜率1k =，如图所示： 当直线0x y b -+=与圆相切时，则()2212211b -+=+-，解得122b =-或122b =+（舍去）；当直线y x b =+过点()1,4A 时，则41b =+，解得3b =； 综上所述：b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦. 故答案为：122,3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】方法点睛：直线与圆位置关系问题的求解思路：研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，结合图象分析相应的性质与关系，列式求解．四、解答题16．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，1AA ⊥底面ABCD ，AB =BD =2，13AA =，E ，F 分别是棱BB 1，DD 1上的动点（不含端点），且1BE D F =.(1)求四棱锥A BEFD -的体积；(2)当BE =1时，求平面AEF 与平面11BB D D 夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2)64【分析】（1）作出辅助线，得到AO 是四棱锥A BEFD -的高，求出各边的长，利用锥体体积公式求出答案；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两平面的夹角的余弦值.【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，因为底面ABCD 是菱形，所以AO BD ⊥，因为点E ，F 分别在1BB ，1DD 上， 所以1AA //BE //DF ， 又1AA ⊥底面ABCD ，AO ⊂底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以BE ⊥BD ，BE ⊥AO ，所以四边形BEFD 是直角梯形， 且因为13AA =，1BE D F =，所以3BE DF +=， 又因为BD BE B ⋂=，,BD BE ⊂平面BEFD ，所以AO ⊥平面BEFD ，即AO 是四棱锥A BEFD -的高， 因为AB =BD =2，底面ABCD 是菱形，所以ABD △是等边三角形，故1OB =，33AO OB ==， 所以()1332A BEFD BE DF BDV AO -+⋅=⋅=，所以四棱锥A BEFD -的体积为3（2）以O 为原点，分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()3,0,0A，()0,1,1E ，()0,1,2F -，所以()3,1,1AE =-，()3,1,2AF =--. 设(),,n x y z =是平面AEF 的法向量，则()()()(),,3,1,130,,3,1,2320n AE x y z x y z n AF x y z x y z ⎧⋅=⋅=++=⎪⎨⋅=⋅--=--+=⎪⎩， 取1y =，则3x =2z =. 所以，()3,1,2n =是平面AEF 的一个法向量，由（1）可知，OA ⊥平面BEFD ，即OA ⊥平面11BB D D ， 所以()3,0,0OA =是平面11BB D D 的一个法向量，而(3,1,23,0,06cos ,3143n OA n OA n OA⋅⋅<>===++⨯ 所以平面AEF 与平面11BB D D 617．设直线()2R x my m =+∈与抛物线22(0)y px p =>相交于,A B 两点，且OA OB ⊥. (1)求抛物线方程；(2)求AOB 面积的最小值. 【答案】(1)22y x = (2)4【分析】（1）联立直线与抛物线方程，消元得出韦达定理，将OA OB ⊥表示为坐标形式，列方程化简计算，可得抛物线方程；（2）利用三角形的面积公式，结合韦达定理，根据m 的取值，得出面积的最小值． 【详解】（1）设直线与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，联立222(0)x my y px p =+⎧⎨=>⎩得2240y pmy p --=，显然0∆>，所以121224y y pm y y p +=⎧⎨=-⎩，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即()()1212220my my y y +++=，化简得()()212121240m y y m y y ++++=，代入得()2241440p m pm -+++=解得1p =，所以抛物线方程为22y x =（2）因为直线2x my =+过定点()2,0， 所以12121242AOBSy y y y =⨯⨯-=-==，当且仅当0m =时，AOB 的面积取得最小值为418．已知圆O ：224x y +=，过定点()1,1A 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且1l 交圆O 于()()111333,,,P x y P x y 两点，2l 交圆O 于()()222444,,,P x y P x y 两点. (1)若13PP =1l 的方程；(2)求证：1234x x x x +++为定值. 【答案】(1)20x y +-= (2)证明见解析【分析】（1）根据题意分析可得()0,0O 到直线1l 的距离为d =点到直线的距离运算求解；（2）讨论直线是否与坐标轴垂直，结合韦达定理证明结论. 【详解】（1）由题设可知圆O 的圆心为()0,0O ，半径为2r =，由13PP =()0,0O 到直线1l 的距离为d == 因为直线1l 经过点()1,1A ，则有：当直线1l 的斜率不存在时，则1:1l x =，此时()0,0O 到直线1l 的距离为1d =，不合题意； 当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为()11y k x -=-，即10kx y k --+=，=1k =-，所以直线1l 的方程为()11y x -=--，即20x y +-=.（2）∵2OA r ==<，即定点()1,1A 在圆O 内， ∴直线12,l l 与圆O 均相交，当直线1l 与x 轴垂直时，直线2l 与x 轴平行，此时132x x +=，240x x +=， 所以12342x x x x +++=；当直线2l 与x 轴垂直时，直线1l 与x 轴平行，此时130x x +=，242x x +=， 所以12342x x x x +++=；当直线1l 与不坐标轴垂直时，设直线1l 的方程为()()110y k x k =-+≠， 则直线2l 的方程为()()1110y x k k=--+≠， 联立方程()22114y k x x y ⎧=-+⎨+=⎩，消去y 得()()2222122230k x k k x k k ++-+--=， 所以2132221k kx x k-+=+， 同理可得242221kx x k ++=+， 所以12342x x x x +++=，综上所述：1234x x x x +++为定值2. 19．设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-=.(1)求1a ，2a ，3a ，试猜想{}n a 的通项公式，并证明；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】(1)12a =，223a =，325a =，221n a n =-，证明见解析 (2)()3223nn +-【分析】（1）根据已知求出1a ，2a ，3a ，猜想数列{}n a 的通项公式为221n a n =-，当2n ≥时，()()12132321n a a n a n -+++-=-，结合已知式子两式相减即可得出当2n ≥时，221n a n =-，再验证1n =成立即可；（2）结合第一问结论得出数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，利用错位相减法得出答案.【详解】（1）因为()123212n a a n a n+++-=①，当1n =时，12a =当2n =时，1234a a +=，可得223a =， 当3n =时，123356a a a ++=，可得325a =， 所以猜想数列{}n a 的通项公式为221n a n =-，证明如下： 由题意，当2n ≥时，()()12132321n a a n a n -+++-=-②，-①②，得()212n n a -=，所以221n a n =-， 当1n =时，上式为12a =，这就是说，当1n =时，上式也成立. 因此，数列{}n a 的通项公式为221n a n =-； （2）由（1）知()12221n n n n a -=-，记2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则()0112123221n n S n -=⨯+⨯++-③，故()()12122123223221n n n S n n -=⨯+⨯++-+-④，-④③，得()()12122222211n n n S n -=-++++--，()()()121222211322312n nnn n --=-⨯+--=+--，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()3223nn +-.20．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G ：22220Ax Cy Dx Ey F ++++=，则称点P (0x ，0y )和直线l ：()()00000Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线G 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x (另一变量y 也是如此)，即可得到点P (0x ，0y )对应的极线方程.特别地，对于椭圆22221x y a b+=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b +=；对于双曲线22221x y b b-=，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为00221x x y y a b -=；对于抛物线22y px =，与点P (0x ，0y )对应的极线方程为()00y y p x x =+.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理①当P 在圆锥曲线G 上时，其极线l 是曲线G 在点P 处的切线；②当P 在G 外时，其极线l 是曲线G 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P 在G 内时，其极线l 是曲线G 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题：(1)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点P (4，0)C 的方程并写出与点P对应的极线方程；(2)已知Q 是直线l ：142y x =-+上的一个动点，过点Q 向（1）中椭圆C 引两条切线，切点分别为M ，N ，是否存在定点T 恒在直线MN 上，若存在，当MT TN =时，求直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221164x y +=，40x -= (2)存在，240x y +-=【分析】(1)根据题意和离心率求出a 、b ，即可求解；(2)利用代数法证明点Q 在椭圆C 外，则点Q 和直线MN 是椭圆C 的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点Q 对应的极线MN 方程，可得该直线恒过定点T （2,1），利用点差法求出直线的斜率，即可求解.【详解】（1）因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点P (4,0)，则2222140a b +=，得4a =，又c e a ==，所以c =，所以2224b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为221164x y +=. 根据阅读材料，与点P 对应的极线方程为401164x y ⨯+=，即40x -=； （2）由题意，设点Q 的坐标为(0x ,0y )，因为点Q 在直线142y x =-+上运动，所以00142y x =-+，联立221164142x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得28240x x -+=，Δ64424320=-⨯=-<，该方程无实数根，所以直线142y x =-+与椭圆C 相离，即点Q 在椭圆C 外，又QM ，QN 都与椭圆C 相切，所以点Q 和直线MN 是椭圆C 的一对极点和极线.对于椭圆221164x y +=，与点Q (0x ,0y )对应的极线方程为001164x x y y +=， 将00142y x =-+代入001164x x y y +=，整理得()0216160x x y y -+-=，又因为定点T 的坐标与0x 的取值无关，所以2016160x y y -=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以存在定点T (2,1)恒在直线MN 上. 当MT TN =时，T 是线段MN 的中点，设()()1122,,M x y N x y ，，直线MN 的斜率为k ，则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，整理得21122112442211616212y y x x x x y y -+⨯=-⋅=-⋅=--+⨯，即12k =-， 所以当MT TN =时，直线MN 的方程为()1122y x -=--，即240x y +-=.。

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。

天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案

西城区2023-2024学年第一学期期末高二数学试题及答案

北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学 2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y -+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz -中，点()4,2,8A -到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.136.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.C.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y -+-=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡--⎣C.22⎡--+⎣D.2⎡-+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A -且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+-m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；①不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；①异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ①三棱锥1F A DE -的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A --的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y -+=上.（1）求C 的方程；（2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y -+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：PB BD =；条件①：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2024.1一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩ 令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB mAB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ， 则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C 的离心率c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=.所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x =时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,5⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD ====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩ 取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP n d n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BMn BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AM k x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−− ()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()1212010220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

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高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量()1,,2a m m =+-，()2,1,4b =-，且a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．103-B ．10-C ．10D ．103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选：B. 2．抛物线214x y =的准线方程为（ ） A ．1x =- B ．116x =-C ．1y =-D ．116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =，即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =， 所以1216p =， 故准线方程为116y =-． 故选：D310+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．23π C ．6πD ．56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式，进而可得倾斜角.【详解】10+=，即y =，所以倾斜角α满足tan α=，[)0,απ∈， 所以6πα=，故选：C.4．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比2q ，且满足2616a a =，则5a =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列，则通项为11n n a a q -=，然后根据条件可解出112a =，进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列，不妨设首项为1a由2616a a =，可得：26261216a a a =⋅=又0n a >，则有：112a = 则451282a =⨯=故选：A5．如图，在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，2CQ QB =，P 为线段OA 的中点，则PQ 等于（ ）A ．112233a b c ++B ．112233a b c --C ．112233a b c -++D ．121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++，故选：D ．6．若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．()6,+∞ B ．[)6,+∞C ．(]4,6D ．[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5，由此可知当圆的半径为516r =+=时，圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1，当圆的半径516r >+= 时，圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1，故半径r 的取值范围是51=6r ≥+，即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-，圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+，∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1， ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+，即6r ≥，即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选：B .7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，且213PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,4 B ．[)4,+∞ C ．(]1,2 D ．[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ，利用2PF c a ≥-可得离心率范围． 【详解】因为122PF PF a -=，又213PF PF =，所以13PF a =，2PF a =， 又2PF c a ≥-，即a c a ≥-，2ca≤，所以离心率(1,2]e ∈． 故选：C ．8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME —7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ，令22n n b a =-，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长，进而可得周长n a 及n b ，进而可得n S ，可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=，可得2OA =3OA =⋅⋅⋅，n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=， 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+，所以9919S =， 故选：B. 二、多选题9．已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++，则下列说法错误的是（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c =则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为c e a ==，焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x 轴上，a b =c =.故选：ABC .10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（ ）A ．若2111n S n n =-+，则212n a n =-B ．若()2,n S pn qn p q =+∈R ，则{}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则78S S >D ．若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <，则8n =时，n S 最大 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质，逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+，当1n =时，211111119a S ==-⨯+=-，若212n a n =-，则当1n =时，1211210a =⨯-=-，又091-≠-，故A 错误；因为()2,n S pn qn p q =+∈R ，当1n =时，11a S p q ==+；当2n ≥且*n N ∈时，()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦， 当1n =时，上式亦满足，所以2n a pn q p =-+；所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ，所以{}n a 是首项为p q +，公差为2p 的等差数列；故B 正确；若数列{}n a 为等差数列，10a >，69S S =，则96789830S S a a a a -=++==，即80a =，所以78S S =，故C 错误；若数列{}n a 为等差数列，150S >，160S <， 所以()115158151205S a a a+==>⨯，()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=，所以80a >，890a a +<，即80a >，90a <，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以980d a a =-<，所以等差数列{}n a 是递减数列， 所以在等差数列{}n a 中，当8n ≤且*n N ∈时0n a >，当9n ≥且*n N ∈时0n a <， 所以8n =时，n S 最大，故D 正确. 故选：BD.11．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点A ，B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -，()2,0B ，动点M 满足MA =，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 的轨迹围成区域的面积为32πB ．ABM 面积的最大值为C ．点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D ．若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ，则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意，设点(),M x y ， 又2MA MB =， 所以()()2222222x y x y ++=⋅-+，化简可得()22632x y -+=，所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心，42为半径的圆， 所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π，A 选项正确； 又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦，B 选项正确； 点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-，所以直线与圆相离，所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=，C 选项错误；由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点，所以4242r CN r -≤≤+， 且()()22610152CN =++-=，即425242r r -≤≤+， 所以292r ≤≤，D 选项正确； 故选：ABD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．PE 的长最小值为12B ．PE PF ⋅的最小值为148-C ．若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D ．若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，得(1,1,)P λλλ--，然后用空间向量法求得PE ，判断A ，求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ，由线面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积，判断C ，结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则11(,1,)22E ，(1,1,0)B ，1(0,0,1)D ，1(0,,1)2F ，1(1,1,1)BD =--，设1(,,)BP BD λλλλ==--，(01)λ≤≤，所以(1,1,)P λλλ--，11(,,)22PE λλλ=--，(PE λ==13λ=时，min PE =，A 错；1(1,,1)2PF λλλ=---，111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--，所以712λ=时，min 1()48PE PF ⋅=-，B 正确；12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112(,,)333P ，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12(,,0)33G ，12(0,,)33PG =-，显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行，作//CM PG 交11C D 于点M ， 设(0,,1)M k ，则(0,1,1)CM k =-，由//CM PG 得21(1)33k --=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11A D 中点N ，易得//NF AC ，截面为ACFN ，它是等腰梯形，2AC =，22NF =，52AN CF ==，梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=， 截面面积为12329(2)2248S =+⨯=，C 正确；(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，1(1,1,1)B ，(1,1,0)AC =-，1(1,1,1)BD =--，11100AC BD ⋅=-+=，1AC BD ⊥，同理11AB BD ⊥，所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π．D 正确． 故选：BCD ．三、填空题13．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行， 得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.14．已知等差数列{}n a 的公差为1，且3a 是2a 和6a 的等比中项，则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ，再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ，由已知条件得2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++，()()()2111215a a a +=++，解得112a =-，则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为：40.15．如图，把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则折纸后异面直线AB ，CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，进而DEC ∠（或其补角）是所求角，算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ，且使得CE =AB ，则四边形ABEC 是平行四边形，设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2，取AC 的中点O ，连接DO ,BO ，则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥，而平面ACD ⊥平面ABC ，且交于AC ，所以DO ⊥平面ABEC ，则DO OE ⊥.易得，22BE AC ==//BE AC ，而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是，2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中，2DC CE ==，取DE 的中点F ，则CF DE ⊥，所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为：6π.16．抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出，先经抛物线反射，再经直线3y x =-反射后，恰好经过点A ，则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，再经直线3y x =-反射后经过点A ，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ，抛物线的焦点为F ，则可得：1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为：11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ，则有： 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得：2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为： 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知：点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ，1AA 的中点为C ，则有： 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-，则有：22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上，则有：2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上，则有： 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得：()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为：216y x =【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是关键 四、解答题17．已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程；(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ，根据垂径定理，可得：()22213R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时，则有：1x = 故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：22421k d k--==+解得：34k =- ，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离；(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标，进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标，点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. （2）由（1）知平面1A CE 的法向量，在把平面11BCC B 的法向量表示出来，平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅，计算即可求出答案.(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ，F 分别为线段AB ，11B C 的中点知，1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =， 平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -，点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 作斜率为k 的直线l ，与椭圆C 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅>-，求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】（1）根据焦点坐标可得2c =，根据点F，然后根据222a b c =+即可；（2）先设联立直线l 与椭圆的方程，然后根据韦达定理得到A ，B 两点的坐标关系，然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式，解出不等式即可. (1)根据题意，已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -，则有：2c = 点Fa =则有：b =故椭圆C 的方程为：22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为：()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得： ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有：()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ，所以0∆>恒成立，不妨设A ，B 两点的坐标分别为：()()1122,,,A x y B x y ，则有：21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有：()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+，212212631k x x k -=+代入后可得：2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-，则有：22164031k k ->+ 解得：12k >或12k <- 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，112AD CD BC CF AB =====.(1)求证：EF BC ⊥；(2)点M 在线段BF （不含端点）上运动，设直线BE 与平面MAC 所成角为θ，求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】（1）过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，利用正余弦定理可证AC BC ⊥，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证；（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明：由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形， 过C 作CH AB ⊥，垂足为H ，则21122BH -==， 在Rt BCH 中，221314CH BC BH =-=-=， 则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°， 在ABC 中，由余弦定理可得，22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则222AC BC AB +=，AC BC ∴⊥， 又CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，CF AC ∴⊥，BC CF C ⋂=，BC ，CF ⊂平面BCF ，AC ∴⊥平面BCF ， 又ACFE 为矩形，//AC EF ∴，则EF ⊥平面BCF ， 而BC ⊂平面BCF ，EF BC ∴⊥；(2)CF ⊥平面ABCD ，且AC BC ⊥，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则)A，()0,1,0B ，()0,0,1F，)E，M BF ∈，∴设()0,1,M a a -，则()0,1,CM a a =-，又()3,0,0CA =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =， 由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩， 取y a =，得()0,,1n a a =-， 又()3,1,1BE =-，sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅，()0,1a ∈，21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，则sin θ∈⎝⎦.21．已知等差数列{}n A 的首项为2，公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若1k a ，2k a ，⋅⋅⋅，nk a ，⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，11k =，23k =，令n n b nk =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈； (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】（1）由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，可知{}n a 的公差824d ==，进而可求出其通项公式； （2）根据题意可得1=23n n k a -⨯，进而得到1=3n n k -，再代入n b 中得1=3n n b n -⋅，利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8，在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差824d ==，{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2，则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ，2k a 是等比数列的前两项，且11k =，23k =，则132,6a a ==，则等比数列的公比为3， 则1=23n n k a -⨯，即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒，1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22．已知圆()22:24F x y -+=，点()2,0E -，点G 是圆F 上任意一点，线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ，点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >，动圆()()222:20N x y r r -+=>，且点M 在圆N外，过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ，B . （i ）求证：直线AB 的斜率为定值；（ii ）若直线AB 与2x =交于点Q ，且2BQM AQM S S =△△时，求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）答案见解析（ii ）4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】（1）通过几何关系可知2ET TF -=，且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=，即得到直线AB 的斜率为定值；（ii ）由（i ）可知124x x m +=，由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△，联立方程即可求出1x ，2x 的值，代入2123x x m =+即可求出m 的值，即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知，点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点，且实轴长为2的双曲线， 即1a =，2c =，2223b c a =-=， 则点T 的轨迹方程为2213y x -=； (2)（i ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y kx m =+， 联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=， 其中230k -≠，且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>，12223km x x k +=-，212233m x x k+=--， ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >，∴()2,3M ，由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称，则0MA MB k k +=， 即121222033x x y y --+=--，整理得()()()()121223320x y y x --+--=， ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=， ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--，()()221230k m k m +++-=，即()()2230k k m ++-=， 则2k =-或32m k =-，当32m k =-，直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+，此直线过定点()2,3，应舍去， 故直线AB 的斜率为定值2-.（ii ）由（i ）可知124x x m +=，2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△，即122122AQM BQM S x S x -==-△△， 当122122x x -=-时，2122x x =-， 1211224x x x x m +=+-=，即1423m x +=，2823m x -=， 2124282333m m x x m +-=⋅=+，解得1m =或3123m =-， 但是当1m =时，0∆=，故应舍去，当3123m =-时，直线方程为4623310x y ++=， 当122122x x -=--时，2162x x =-，即164x m =-，286x m =-， ()()21264863x x m m m =--=+，解得1m =（舍去）或1311m =， 当1311m =时，直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。

2022-2023学年辽宁省辽阳市协作校高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省辽阳市协作校高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2022-2023学年辽宁省辽阳市协作校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．3524A A =（ ） A ．10 B ．5 C ．20 D ．4【答案】B【分析】用排列数公式A (1)(2)(1)mn n n n n m =⨯-⨯-⨯⨯-+展开即可求得.【详解】3524A 5435 A 43⨯⨯==⨯． 故选：B2．已知圆C ：2225x y +=与直线l ：()3400x y m m -+=>相切，则m =（ ） A ．15 B ．5 C ．20 D ．25【答案】D【分析】根据圆与直线相切的判定列式求解得出答案. 【详解】易知C 的圆心为原点O ， 设O 到直线l 的距离为d ， 因为圆C 与直线l相切，则5d ==，解得25m =. 故选：D.3．若抛物线22y mx =的准线经过双曲线223x y -=的右焦点，则m =（ ） A．-B．C．D【答案】A【分析】由双曲线的定义求得双曲线的右焦点，再求得抛物线的准线2mx =-，即可得到m 的值. 【详解】由双曲线223x y -=即22133y x -=得右焦点为)，再由抛物线22y mx =的准线为2m x =-，因此2m-=m =-故选：A.4．在72的展开式中，系数为有理数的项是（ ）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】C【分析】根据二项式定理展开式的通项)2177C kkk kT -+⎛= ⎝可确定系数为有理数时k 的取值，即可得出结果.【详解】在72的展开式中，根据通项)2177C kkk kT -+⎛= ⎝可知，4k =时系数为有理数，即第五项为)43424157CT T +⎛== ⎝．故选：C5．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解学情，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B 表示“抽到的2名成员性别相同”，则()|P A B =（ ） A ．715B ．23C ．34D ．57【答案】D【分析】由条件概率计算公式可得答案.【详解】由题可知，()2264210C C 7C 15P B +==，()26210C 1C 3P AB ==，()()()5|7P AB P A B P B ==. 故选：D6．向量()3,2,1m =-在向量()3,2,3n =-上的投影向量为（ ）A ．646,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．313,,221122⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．323,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据向量的投影向量求法直接得出答案. 【详解】向量()3,2,1m =-在向量()3,2,3n =-上的投影向量为2323,,111111m n n n⋅⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C.7．某市场供应的电子产品中，甲厂产品占73%，乙厂产品占27%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%．若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，则该产品不是合格品的概率为（ ） A ．17.2% B ．14.3% C ．12.7% D ．87.3%【答案】C【分析】利用条件概率和事件的独立性求解概率.【详解】设,A B 表示买到的产品来自甲，乙厂，C 表示买到的产品为合格品， 则()73%,()27%P A P B ==,|90%,80%(|),()P C A P C B ==所以()()(|)()(|)73%90%+27%80%=87.3%P C P A P C A P B P C B =+=⨯⨯, 所以该产品不是合格品的概率为1()=12.7%P C -， 故选:C.8．某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天夜班，则这五天排夜班方式的种数为（ ） A ．800 B ．842 C ．864 D ．888【答案】C【分析】采用间接法，先计算没有限制条件的种数，再减去一人连排三天夜班、四天夜班、五天夜班的种数即可.【详解】所有可能值班安排共有54种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能， （1）从四人中选一人连排三天夜班，若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有11432C C 24＝种； 若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有11432C C 24＝种；若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有12432C A 48＝种；若形如□▲▲▲□排列：共有1143C C 12＝种；若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有1243C A 24＝种； 因此，选一人连排三天夜班共有132种．（2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班，形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有11432C C 24=种．（3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能． 故满足题意的排夜班方式的种数为54132244864---=． 故选：C.二、多选题 9．已知(),X B n p ，且()()393927E X D X -=-=，则（ ）A ．18n =B ．16n =C ．14p =D ．34p =【答案】BD【分析】由题得39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩，解方程组即得解.【详解】由题意可知()()39927E X D X -==，则39279(1)27np np p -=⎧⎨-=⎩，解得34p =，16n =.故选：BD10．已知椭圆C ：22179x y +=的一个焦点为F ，P 为C 上一动点，则（ ）A ．C 的短轴长为B ．PFC ．C 的长轴长为6D ．C 【答案】ACD【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD ，再利用椭圆性质即可判断B 选项，进而得出结果. 【详解】由标准方程22179x y +=可知，29a =，27b =，所以3a =，b =c =所以短轴长为2b =26a =，即选项AC 正确；离心率c e a ==，即D 正确；由椭圆性质得max 3PF a c =+= 故选项B 错误. 故选：ACD11．已知关于变量x ，y 的4组数据如表所示：根据表中数据计算得到x ，y 之间的线性回归方程为ˆ 1.420.6yx =-+，x ，y 之间的相关系数为r （参考公式：()()()()12211niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑），则（ ）A ．12a = B ．变量x ，y 正相关C ．7210r =-D ．223r =-【答案】AC【分析】根据回归直线必过点(),x y 解得12a =，所以选项A 正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出7210r =-，所以选项C 正确，选项D 错误. 【详解】回归直线必过点(),x y ，9x =，10641.420.684a y x +++=-+==，解得12a =，所以选项A 正确；由回归方程和表格可知，变量x ，y 负相关，所以选项B 错误；()()()()()()()()414422113412123472109119164416iii iii i x x y y r x x y y ===---⨯+-⨯+⨯-+⨯-===-+++⨯+++--∑∑∑，所以选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．2cos ,3CQ PF =B ．122CQ AB AD AA =--+C ．点1C 到直线CQ 5D ．异面直线CQ 与BD 17【答案】BCD【分析】利用向量的线性运算求出122CQ AB AD AA =--+，所以选项B 正确；以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出选项ACD 的几何量判断即得解.【详解】()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以选项B 正确； 如图以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()10,1,0B ，()11,1,0C -，()11,0,0D -，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()11,2,1QC =--，()1,2,2CQ =-，()110,1,0PF A B ==，则22cos ,31441CQ PF -==-++⨯，所以选项A 错误；设173QC CQ m CQ ⋅==-，则点1C 到直线CQ 的距离221495693d QC m =-=-=，所以选项C 正确；因为()111,1,0BD B D ==--，所以11cos ,144232CQ BD ==++⋅，所以tan ,17CQ BD =，所以选项D 正确. 故选：BCD三、填空题13．已知平面α的一个法向量为(1,6m =-，()2,1,2A -，()1,2,2B ，则直线AB 与平面α所成角的正弦值为___________. 10【分析】根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】因为()1,3,0AB =-，所以直线AB 与平面α所成角的正弦值为10cos ,19619m AB m AB m AB⋅===++⋅+14．甲､乙两人各自在1小时内完成某项工作的概率分别为0.6，0.8，两人在1小时内是否完成该项工作相互独立，则在1小时内甲､乙两人中只有一人完成该项工作的概率为___________. 【答案】0.44##1125【分析】由独立事件和互斥事件的概率公式进行求解.【详解】由独立事件概率乘法公式可得：甲完成而乙没有完成工作的概率为()0.610.80.12⨯-=， 乙完成工作而甲没有完成的概率为()10.60.80.32-⨯=， 故概率为0.120.320.44+=. 故答案为：0.44四、双空题15．若()()56016221x x a a x a x +-=++⋅⋅⋅+，则123456a a a a a a -+-+-=___________，2a =___________.【答案】 241 70-【分析】第一空，令0x =，可得0a ，再令=1x -，可得0123456a a a a a a a -+-+-+； 第二空，所求即为展开式中2x 的系数，又()()()()55522121221x x x x x +-=-+-， 则2a 为()521x -展开式中，x 系数与2倍2x 系数之和. 【详解】令()()()5221f x x x =+-，则()002f a ==-，()01234561243f a a a a a a a -=-+-+-+=-，故()1234562243241a a a a a a -+-+-=---=； 因()()()()55522121221x x x x x +-=-+-，则()()()4232432255C 212C 2170a x x x x x =⋅-+⋅-=-，所以270a =-. 故答案为：241；70-.五、填空题16．已知P 为抛物线C ：216x y =-上一点，F 为焦点，过P 作抛物线的准线的垂线，垂足为H ，若PFH △的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是___________.【答案】(],5-∞-【分析】设点P 的坐标为(),m n ，求出PFH △的各边即得PFH △的周长为()4424n n -+-，再利用函数的单调性解不等式得解.【详解】如图，设点P 的坐标为(),m n ，则216m n =-. 准线4y =与y 轴的焦点为A ， 则4PF PH n ==-，222286416FH AF AH m n =+=+=-44n =-，所以PFH △的周长为()4424n n -+-. 设函数()()()44240f n n n n =-+-≤， 则()f n 为减函数（减函数+减函数=减函数）， 因为()530f -=，所以()30(5)f n f ≥=-的解为5n ≤-. 故答案为：(],5-∞-六、解答题17．如图，在底面为矩形的四棱锥E -ABCD 中，⊥AE 底面ABCD ，AE AB =，G 为棱BE 的中点.(1)证明：AG ⊥平面BCE .(2)若4AB =，6AD =，3ED EF =，求AG CF ⋅. 【答案】(1)证明见解析；(2)83-.【分析】（1）根据已知，利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面ABE ，从而得到BC AG ⊥，利用等腰三角形的中线性质得到AG BE ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明AG ⊥平面BCE ； （2）以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.求出,AG CF 的坐标，利用空间向量数量积的坐标表示即得解.【详解】（1）证明：因为⊥AE 底面ABCD ，所以AE BC ⊥， 又AB BC ⊥，AB AE A =，,AB AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AG ⊥.因为G 为棱BE 的中点，AE AB =，所以AG BE ⊥， 又BCBE B =，,BC BE ⊂平面BCE .所以AG ⊥平面BCE .（2）以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意可得()0,0,0A ，()4,6,0C ，()2,0,2G ，80,2,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为()2,0,2AG =，84,4,3CF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()()882404233AG CF ⋅=⨯-+⨯-+⨯=-.18．已知椭圆C ：2221(0)5x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且15PF =，21PF =．(1)求1F ，2F 的坐标．(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为()2,1P -，求直线l 的斜率． 【答案】(1)1F ，2F 的坐标分别为()2,0-，()2,0(2)109【分析】（1）根据椭圆的定义求出长半轴长，根据,,a b c 的关系求解. （2）把设出的两个点代入椭圆方程，化简整理成斜率的形式即可求解. 【详解】（1）因为1226PF PF a +==， 所以3a =，所以2224c a b =-=，2c =，故1F ，2F 的坐标分别为()2,0-，()2,0．（2）设A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212590x x x x y y y y -++-+=．因为弦AB 的中点()2,1P -在椭圆内，所以121242x x y y +=-⎧⎨+=⎩，所以直线l 的斜率1212109AB y y k x x -==-． 19．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z （单位：mm ）服从正态分布()2240,N σ，且()2480.95P z ≤=.(1)求232z <或248z >的概率；(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X 表示零件尺寸小于232mm 加或大于248mm 的零件个数，求2X =的概率. 【答案】(1)0.1 (2)0.027【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X 服从二项分布()3,0.1XB 求解.【详解】（1）因为零件尺寸z 服从正态分布()2240,N σ，所以()()24812480.05P z P z >=-≤=，因为2322482402+=，所以()()2322480.05P z P z <=>=. 故232z >或248z >的概率为0.050.050.1+=. （2）依题意可得()3,0.1XB ，所以()()2232C 0.110.10.027P X ==⨯⨯-=.20．如图，三棱柱111ABC A B C 的底面ABC 是正三角形，侧面11ACC A 是菱形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点.(1)证明：EF ∥平面11ABB A .(2)若2AC =，160ACC ∠=︒，12C G GC =，求平面ABC 与平面EFG 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)55353【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)取AC 的中点O ，连接OB ，1OC ，证明OB ，OC ，1OC 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，1OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求解. 【详解】（1）取11A B 的中点M ，连接ME ，MB .因为E ，F 分别是棱11A C ，BC 的中点，所以11ME B C BF ∥∥，111122ME B C BC BF ===， 所以四边形MEFB 为平行四边形，EF MB ∥.因为EF ⊄平面11ABB A ，MB ⊂平面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A . （2）取AC 的中点O ，连接OB ，1OC . 因为四边形11ACC A 是菱形，所以1CA CC =.因为160ACC ∠=︒，所以1ACC △为等边三角形. 因为O 为AC 的中点，所以1C O AC ⊥.因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1C O ⊂平面11ACC A ，所以1C O ⊥平面ABC .因为底面ABC 是正三角形，所以OB AC ⊥.以O 为原点，OB ，OC ，1OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为2AC =，所以13C O BO ==，则()3,0,0B，()0,1,3E -，31,,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,,33G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以33,,322EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，5230,,33EG ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =，则33.3022523.033n EF x y z n EG y z ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩令5z =，则()4,23,5n =.因为()10,0,3OC =是平面ABC 的一个法向量， 且11153553cos ,53353OC n OC n OC n⋅===⨯， 令平面ABC 与平面EFG 所成角为θ，由图可知θ为锐角， 所以553cos 53θ=.21．某甜品屋店庆当天为酬谢顾客，当天顾客每消费满一百元获得一次抽奖机会，奖品分别为价值5元，10元，15元的甜品一份，每次抽奖，抽到价值为5元，10元，15元的甜品的概率分别为12，13，16，且每次抽奖的结果相互独立.(1)若某人当天共获得两次抽奖机会，设这两次抽奖所获甜品价值之和为X 元，求X 的分布列与期望. (2)某大学“爱牙协会”为了解“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”情况之间的关系，随机对200名青少年展开了调查，得知这200个人中共有120个人“有蛀牙”，其中“不爱吃甜食”但“有蛀牙”的有35人，“不爱吃甜食”且”无蛀牙”的也有35人.完成上面的列联表，试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析“爱吃甜食”是否更容易导致青少年“蛀牙”. 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：503(2)列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关【分析】（1）由题意可得X 的所有可能取值为10,15,20,25,30，分别求出对应的概率，即可的X 的分布列，从而求得数学期望；（2）由已知填充列联表，根据公式计算出2χ，比较临界值即可. 【详解】（1）由题意可得X 的所有可能取值为10,15,20,25,30， ()2111024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()111152233P X ==⨯⨯=，()2111520226318P X ⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，()111252369P X ==⨯⨯=，()21130636P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则X 的分布列为故()1151150101520253043189363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意可得列联表如下：所有()2220045358535 4.4871208070130χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，查表可得()23.8415%P χ≥=，因为2 3.841χ>，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“爱吃甜食”与青少年“蛀牙”有关.22．在①C 的渐近线方程为y x =± ②C 并解答．已知双曲线C 的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点(2,P 在C 上，且______． (1)求C 的标准方程；(2)已知C 的右焦点为F ，直线PF 与C 交于另一点Q ，不与直线PF 重合且过F 的动直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM 和QN 交于点A ，证明：A 在定直线上． 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)22122x y -= (2)证明见解析【分析】（1）根据①②提供的渐近线方程和离心率得出,,a b c之间的关系，再利用(2,P 在双曲线上即可求得C 的标准方程；（2）根据坐标位置可利用对称性求得Q 点坐标，分别别写出直线PM 和QN 的直线方程，求得交点A 的坐标表示，利用韦达定理即可证明. 【详解】（1）选①因为C 的渐近线方程为y x =±，所以1ba=， 故可设C 的方程为22x y λ-=，代入点P的坐标得222(λ-=，可得2λ=， 故C 的标准方程为22122x y -=． 选②．因为Ca b =，故可设C 的方程为22x y λ-=，代入点P的坐标得222(λ-=，可得2λ=， 故C 的标准方程为22122x y -=． （2）由（1）可知F 的坐标为()2,0，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为(． 设点M ，N 的坐标分别为1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为()2y k x =-，联立直线和双曲线方程得()222214420k x k x k --++=，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，直线PM ：()112(2)2k x y x x -=--112y k x k ⎛=- ⎝⎭直线QN ：()2222)2k x y x x -=--222y k x k ⎛=- ⎝⎭消去y ，得12121111212222x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 整理得()()12121242x x x x x x x +-=--，则()12121224x x x xxx x--=+-．因为2222121221224242111444241k kx x x x k kkx xk+-----===+---，所以A的横坐标为1．故A在定直线1x=上．。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

高二数学上学期期末考试题精选及答案

高二数学上学期期末考试题精选及答案

！高二数学上学期期末考试题第I 卷（试题） 一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x≥0, (D)(x-3)(2-x)>06、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ） （A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π :（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π437、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）22911、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±516/12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .￥三、 解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）…19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

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高二数学上学期期末考试题及答案
Revised on November 25, 2020
高二数学上学期期末考试题
一、 选择题：（每题5分，共60分）
2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）
（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式
x
x --23
≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)3
2--x x
≥0,
(D)(x-3)(2-x)>0
6、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）
（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π
（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π43
7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）
（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=0
8、直线y=x+23被曲线y=21
x 2截得线段的中点到原点的距离是
（ ）
（A ）29 （B ）29 （C ）
429 （D ）2
29
11、双曲线： 的准线方程是19
162
2=-x y （ ） （Ａ）y=±
7
16 (B)x=±
516 (C)X=±7
16 (D)Y=±516
12、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（
a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a
161
,0)
二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–
21,3
1
），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 .
15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθ
sin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程
为 .
16、已知双曲线162x -9
2
y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆
与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 . 三、
解答题：（74分）
17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分） 19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

（12分）
21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1㎡的造价为150元，池壁每1㎡的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低造价是多少元（13分）
22、某家具厂有方木料90m 3，五合板600㎡，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2㎡，生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1㎡，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大（13分） 一、 选择题：
2、（B ），
3、（B ），6、（A ）， 7、（B ）， 8、（D ）， 11、（D ）， 12、（B ）。

二、 填空题：
13、-10， 14、 8， 15、（x-5）2
+(y-3)2
=42
, 16、13
522
22=+y x
三、 解答题：
17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+
于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则 x=x 44),(,2
,2
020220000=+=+=
y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程
即14
22
=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。

21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x
34800
， 又设水池总造价为L 元，根据题意，得
答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低， 最低总造价是297600元。

22、解：设生产书桌x 张，书橱y 张，由题意得
,0
6002902.01.0⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧≥≥≤+≤+y o x y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩⎨
⎧=+=+600
290
2.01.0y x y x 的交点A （100，400）。

答：生产书桌100张，书橱400张时，可使生产利润最大。

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