第三节(脉冲函数)

0 例2 求阶跃函数 H ( x) = 1
( x < 0) ( x > 0)
的傅里叶变换
解
由于
∫
∞
−∞
H ( x) dx = ∫ dx 发散，故傅里叶变换不存在 发散，
0
∞
把H(x)看成函数列 看成函数列
e − βx H ( x; β ) = 0
( x > 0) ( x < 0)
的极限， 在 β → 0 + 的极限，即
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
7
第一和三项为零， 第一和三项为零，对中间一项应用中值定理得
∫
∞
即可。 上的某个值， 其中 ξ 为区间 (t0 − ε ,t0 + ε ) 上的某个值，令 ε → 0 即可。 (4) 连续分布的质量、电荷或持续力也可用 连续分布的质量、 划分为许多小区间段，某个 [τ ,τ 划分为许多小区间段，
5
mδ ( x − x0 ), 位于 0电量为 的点电荷的线密度为qδ ( x − x0 ), 位于x 电量为q的点电荷的线密度为
（二） δ 函数的一些性质
(1) 作用于瞬时t 冲量为K的瞬时力为 作用于瞬时 0冲量为 的瞬时力为
有了 函数，位于 0的质量为 的质点的线密度分布为 δ 函数，位于x 的质量为m的质点的线密度分布为
2|a|
（三） δ 函数是一种广义函 数 意义上的函数，而是一种广义函数 我们定义的 δ 函数不是通常 意义上的函数，而是一种广义函数
具体说是某种通常函数的极限， 具体说是某种通常函数的极限，而这极限是在积分意义上定义 极限 的，如：
1 x δ ( x) = lim rect ( ) l→0 l l 1 ε δ ( x) = lim ε →0 π ε 2 + x 2
b
τ
a
8
(5) 如果 ϕ ( x )
=0
的实根x 全是单根， 的实根 k(k=1,2,3…)全是单根，则 全是单根
特别地，δ (ax) = δ ( x) ,
|a|
δ ( x − xk ) δ [ϕ ( x)] = ∑ k | ϕ ′( xk ) |
δ (x − a ) =
2 2
δ ( x + a) + δ ( x − a)
∞
−∞
f (τ )δ (τ − t0 )dτ = f (t0 )
= t0 的值挑出来。 的值挑出来。
τ 函数的挑选性，把函数 f (τ )在点
>0
f (τ )δ (τ − t0 )dτ = ∫
t 0 −ε −∞ ∞
∫
−∞
f (τ )δ (τ − t0 )dτ
+∫
+∫
t 0 +ε
∞
t 0 −ε
t 0 +ε
§5ຫໍສະໝຸດ Baidu3
δ 函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位 脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲 性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有 脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学 中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动 情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍 的单位脉冲函数.
1
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进 入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
K δ (t − t0 )
函数是偶函数， δ 函数是偶函数，导数是奇函数 δ (− x) = δ ( x) δ ′(− x) = −δ ′( x)
(2) 研究积分 当
H ( x) = ∫ δ (t )dt 当 x < 0 积分值为零
−∞
x
x > 0 积分值为 积分值为1
x
0 H ( x) = ∫ δ (t )dt = −∞ 1
1 δ ( x) = 2π
∫
∞
−∞
e iωx dω
这里不是通常意义的傅里叶变换，而是一种广义的傅里叶变换 这里不是通常意义的傅里叶变换，而是一种广义的傅里叶变换
x 1 sin ω / 2) ( l 1 l rect( l ) = 2 l π ω /2
δ
函数的广义傅里叶变换
[δ(x)] =lim l→ 0
ρl ( x)dx = ∫
m dx = m l
∞
∞
−∞
4
如果不求积分，而先求极限， 如果不求积分，而先求极限，则有
m x 0 ρ ( x) = lim ρ l ( x) = lim rect ( ) = l →0 l →0 l l ∞
( x ≠ 0) ( x = 0)
对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 对于质点、点电荷、瞬时力这类集中于空间某一点或时间的 质点 某个瞬时时刻的抽象模型， 某个瞬时时刻的抽象模型，物理学中引入 δ 函数描述
x积分 积分， 将ρ l (x)对x积分，可得质量
∫
若让 l
∞
→ 0, 得到位于原点的质量为 的质点, 线密度函数成为 得到位于原点的质量为m的质点, 质点的线密度函数， 质点的线密度函数，记为 ρ ( x ), 则
lim ∫ ρ l ( x)dx = ∫ ρ ( x)dx = m
l →0 − ∞
−∞
记 则有
(ω = 0) (ω ≠ 0) 0 1 =1 ω ω (ω = 0) (ω ≠ 0)
lim
ω β +ω
2 2
β →0
=
1 i [H ( x)] = δ (ω ) − 2 2π
1
ω
14
（五） 多维的
δ 函数
三维空间坐标原点的质点， 三维空间坐标原点的质点，密度函数可表示为 定义如下： 其中δ (r ) 定义如下：
0 ; , t ≠0 q(t) = 1 . , t =0
由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即
dq(t) q(t +∆ ) −q(t) t i(t) = i = lm ∆→ t 0 dt ∆ t
所以, 当t≠0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
很短，可以看成瞬时力， 力f(t)的冲量为 f (τ ) dτ , 由于 dτ 很短，可以看成瞬时力，记作 的冲量为 瞬时力的总计就是持续力 f (τ )δ (t − τ )dτ , 瞬时力的总计就是持续力F(t)
F (t ) = ∑ f (τ )δ (t − τ )dτ = ∫ f (τ )δ (t − τ )dτ
3
（一）
δ
函数
质量m均匀分布在长为 的线段 质量 均匀分布在长为l的线段 均匀分布在长为 的线段[-l/2,l/2]上，则线密度 ρ l (x ) 上
0 ρl ( x)＝ m / l
(|x| > l/ 2) (|x| ≤ l/ 2)
l 2 l − 2
m x ρl ( x) = rect ( ) l l
−∞
f (τ )δ (τ − t0 )dτ = f (ξ ) ∫
t 0 +ε
t 0 −ε
δ (τ − t0 )dτ = f (ξ )
δ
函数表示
持续作用到t＝ 的作用力 的作用力F(t)，把时间区间 ，b] 从t＝a持续作用到 ＝b的作用力 ＝ 持续作用到 ，把时间区间[a，
+ dτ ] 时间段上， 时间段上，
12
1 1 1 1 − ( β + iω ) x ∞ =− e 0 = 2π β + iω 2π β + iω 我们以 [H ( x; β )] 在 β → 0 + 的极限作为 的极限作为H(x)的傅里叶变换 的傅里叶变换
1 1 [H ( x)] = lim β →0 2π β + iω β 1 ω = lim 2 β +ω2 −i β 2 +ω2 →0 2π β →0 (ω ≠ 0) 0 β = 其中， 其中， lim 2 2 β →0 β + ω (ω = 0) ∞
2
如果我们形式地计算这个导数, 则得
q(0+∆t) −q(0) 1 i(0) = lim = lim− = ∞ ∆t→ 0 ∆t→ 0 ∆t ∆t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能 够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成δ-函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷 点热源 集中于一点的质量 脉冲技术 点电荷, 点电荷 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术 中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量 中的非常窄的脉冲 那样, 以统一的方式加以解决.
mδ (r )
0 (r ≠ 0) δ (r ) = ∞ (r = 0)
∫∫∫ δ (r )dxdydz = 1
∞
三维的
δ
函数的乘积表示： 函数可以用三个一维的 δ 函数的乘积表示：
δ (r ) = δ ( x )δ ( y )δ (z )
15
( x < 0) ( x > 0)
H(x) 阶跃函数 亥维赛单位函数
6
δ 并且有H(x)是δ (x )的原函数， (x )是H(x)的导函数 是 的原函数， 并且有 的导函数
dH ( x) δ ( x) = dx (3) 对于任意定义在( −∞, ∞) 的连续函数 f (τ )
∫
δ
证明： 证明： ∀ε
1 sin ω / 2) 1 ( l = 2 π ωl / 2 2 π
10
例1
1 的三重傅里叶变换， 是球坐标中的极径 计算 δ (r − c) 的三重傅里叶变换，r是球坐标中的极径 r
c为正实数 为正实数 解 1 δ (r − c) 的三重傅里叶变换为 r
1 1 3 r δ (r − c) = ( 2π )
e − βx ( x > 0) H ( x) = lim+ H ( x; β ) = lim+ β →0 β →0 0 ( x < 0) 而对 H ( x; β ) 来说傅里叶变换是存在的
1 [H ( x; β )] = 2π
∫
∞
0
e
− βx −iωx
e
1 dx = 2π
∫
∞
0
e −( β +iω ) x dx
且有 lim 故
−1 ω π π ∫−∞ β 2 + ω 2 dω = lim0 tg β = 2 − (− 2 ) = π β →0 β→ −∞
∞
β
∞
lim
β
β →0
β +ω
2
2
= πδ (ω )
13
0 ω lim 2 = 1 又 β →0 β + ω 2 ω
1 sin Kx δ ( x ) = lim K →∞ π x
9
（四） δ 函数的傅里叶变换
把
δ
函数表示为复数形式的傅里叶积分
δ ( x) = ∫ C (ω )eiωx dω
−∞
∞
其中
1 C (ω ) = 2π
∫
∞
−∞
δ ( x )e
−iωx
1 − iω 0 1 dω = e = 2π 2π
δ
函数的傅里叶积分是
∫∫∫
1 δ (r − c)e − ik ⋅r dxdydz r
化成球坐标计算，以k的方向作为球坐标系的极轴方向 化成球坐标计算， 的方向作为球坐标系的极轴方向
∞ π 2π 1 1 1 δ (r − c) = δ (r − c)e −ikr cosθ ⋅ r 2 sin θdrdθdϕ 3 ∫r = 0 ∫ = 0 ∫ = 0 r θ ϕ r (2π ) ∞ π 1 = δ (r − c)e −ikr cosθ rd (− cosθ )dr (2π )2 ∫r =0 ∫θ =0 ∞ 1 1 = δ (r − c) (eikr − e −ikr )dr ik (2π )2 ∫r =0 1 1 ikc −ikc = (e − e ) 2 11 (2π ) ik
0 δ ( x) = ∞ b 0 ∫a δ ( x)dx = 1
( x ≠ 0) ( x = 0)
(a, b < 0或都 > 0) ( a < 0 < b)
δ ( x − x0 )
∞
↑
x
与常规函数不同，是一种广义函数 与常规函数不同，是一种广义函数
O
x0
δ ( x − x0 ) 示意图如图： 示意图如图： 无限高，无限窄，但面积为1. 无限高，无限窄，但面积为