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函数与导数

第1讲函数及其表示

【2013年高考会这样考】

1.主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法.

2.考杳分段函数的简单应用.

3.由于函数基础性强，渗透面广，所以也会与其他章节题口结合来考查.

【复习指导】

对函数概念的理解是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，不易理解，应做适量练习，通过练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误.重点解决：（1）求函数的定义域；（2）求函数解析式的基本方法；（3）分段函数及其应用.

必考必记i教学相长

基础梳理

1.函数的概念

（1）函数的定义

一般地，设4, B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系/,使对于集合4中的任意一个数x,在集合B中都有二确定的数/（兀）与之对应；那么就称: /：

A~^B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=/U）,炸人.

（2）函数的定义域、值域

在函数）=心），«P，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛.fM\x^A｝叫做函数的值域.显然，值域是集合B的了集.

（3）函数的三要索：定义域、值域和对应法则.

⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致,则这两个函数相等, 这是判断两函数相等的依据.

2.函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

3.映射的概念

设A, B是两个非空集合，如杲按照某种对应法则/,对A中的任意一个元素兀, 在

B屮有一个且仅有一个元素y与x对应，则称/是集合A到集合B的映射.

4.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则，这样

的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数. ^=助禽 < 博--------

两个区别

(1).函数是扭殊的映射亠.其犢殊性在壬―集佥A与集介上忠能是韭空数集“即函

数是韭空数集4到韭空数集$的映射-

(2)一映射丕二定是一函数亠从4到Q的二仝映射'…若4…E丕是数集〉…则这仝

映射•便丕是函数一:…

两个防范

(1)判断对应星否为-映-懸…即看…4…出兀素是査满足上每尤有象二和上且象惟

二二:…但要注意二①4虫丕」司元素可有相一同的象—即允许多对二儿但丕允许二

对一多;…②乞史元素可无原象，…即上…虫元素可有•剩余-

(2)求分段函数应注•意的问题

在求分段函数的值血°)时一二定要苴先判断也属王定义域的哪仝壬集.然后再代入相应的关系式;-分.段函数的值.域应是其定义域内丕同壬集上各关系式的取值.范围的并集:…

双基自测

1.(人教A版教材习题改编)函数/(兀)=些^的定义域为().

A. (—°°, 4)

B. [4, +°°)

C. ( — I 41

D. (-oo, 1)U(1,41

4—兀20,

解析要使函数/W有意义，贝IJ 一门

X— 1工()，

即兀W4且兀工1・

答案D

2. 下列各图形屮，是函数图彖的是（）.

解析 由函数的概念知：D 正确. 答案D

3. （2011 •广东）函数/W=±+lg （l+x ）的定义域是（）.

1 X A. （—8, -1）

B. （1, +8）

C. （一 1,1）U （1, 4-00）

D. （-OO, +oo ）

[1 +x>0, 解析由题意知：k 〜 11 —详 0,

即x> — l 且兀H1. 答案C

f =（ ）•

A. 4

B.才

C ・一4

D.—才

解析•••閒=10品=-2, 「2） = 2 2=4- 答案B

4

5. （2011-浙江）设函数若加）=2,则实数 _______________________ •

1 X

匚 4

解析由已知得：；—=2,贝ijd= —1.

1 —a 答案T

KA0XIAN0TANJIUDA0XI ................................................................................................................................................................................................................

■ » 考向探穽导析 研析才向i

案例突破

考向一求函数的定义域

Iog3 兀，

X>0, 2\ xWO,

4. （2012-西安模拟）已知函数乐）=

A.(—0) B (—+s c(-*, 0ju (0, +8)

D (_*, 2

［审题视点］根据解析式的结构特征，由分式的分母不能为零、对数的真数大于 零列出自变量满足的不等式组，解之即可. 解析 要使函数式有意义，兀必须满足：

［2兀+1>0, ［兀>_ 丄

1 一 即 2，

［吨(2x+l)H0, Uo.

所以沧)的定义域为(―£ 0)U(0, +8). 答案c

方法总结型求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则， 列出

不等式或不等式组，然后求出它们的解集，其准则一般是：①分式中，分母 不为零；②偶次根式，被开方数非负；③对于耍求xHO;④对数式中， 真数大于0,底数大于0且不等于1;⑤由实际问题确定的函数，其定义域要受 实际问题的约朿. 【训练1】函数歹=埋耳的定义域是 ___________ .

所以函数的定义域为｛xLr<4且｝ •

答案｛加<4且xH3｝

考向二求函数的解析式

【例2】》(1)己知.£+£)=»+$,求沧)； ⑵已知£+l) = lgx,求/(兀).

［审题视点］(1)若把x++看做一个整体，只要把右边配凑成用兀+*表示的代数式, 再利用代换即可求出/a ）；（2）采用换元法. 解（1）沽+弓

【例1] »(2oii •江西)若yu )= log|(2%+l)

,则乐)的定义域为(

)•

(4—兀 >0， 解析

4-3^0 x<4,

xH3.