5.2 三角函数的概念(解析版).docx
三角函数的概念(精练)(解析版)
5.2 三角函数的概念【题组一 三角函数的定义】1．（2020·河南高三其他（理））若角α的终边过点8,6cos ()60P m --，且4cos 5α=-则实数m 的值为（ ）A ．12-B ．C ．12D 【答案】C【解析】6cos603-=-，则点P 的坐标为(8,3)P m --， 因为4cos 5a =-．所以角a 的终边在第二象限或第三象限，故0m >．45=-，即214m =，解得12m =-（舍)或12m =.故选：C ． 2．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））点(,)A x y 是300︒角终边上异于原点的一点，则yx值为（ ）．A B ．C ．3D ．3-【答案】B 【解析】tan 300yx==-3．（2020·浙江丽水·高一期末）已知角α的终边经过点()1,P m ，且sin 10α=-，则cos α=（ ）A ．B ．CD ．13【答案】C【解析】由三角函数定义得sin 0,310m m α==-<=-由三角函数定义得cos 10α==C4．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边上有一点P ⎝⎭，则sin cos αα+ ________.【答案】5-【解析】因为角α的终边上有一点P ⎝⎭，则221⎛+= ⎝⎭⎝⎭所以sin α=，cos α=所以sin cos αα⎛+=+= ⎝⎭-5．（2020·浙江高一课时练习）已知角α的终边上一点的坐标为33sin ,cos 44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为________. 【答案】74π【解析】∵角α的终边上一点坐标为33sin ,cos 44M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即22M ⎛- ⎝⎭， 故点M在四象限，且tan 12α==-，则角α的最小正值为74π.故答案为：74π6．（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)”，求2sin α＋cos α. 【答案】1或－1.【解析】因为r5a =． ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r＝4455a a =，cos α＝3355x a r a -==-， 所以2sin α＋cos α＝83155-=，②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限.sin α＝4455a a =--，cos α＝3355a a -=-， 所以2sin α＋cos α＝83155-+=-.7．（2020·全国高一课时练习）已知θ终边上一点()(),30P x x ≠，且cos 10x θ=，求sin θ、tan θ. 【答案】当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-.【解析】由题意知r OP ==cos x x r θ===，0x ≠，解得1x =±.当1x =时，点()1,3P，由三角函数的定义可得sin 10θ==，3tan 31θ==；当1x =-时，点()1,3P -，由三角函数的定义可得sin θ==，3tan 31θ==--. 综上所述，当1x =时，sin 10θ=，tan 3θ=；当1x =-时，sin 10θ=，tan 3θ=-. 【题组二 三角函数值正负判断】1．（2019·上海中学高一期中）若cos 0tan 0＞，＜，αα则α在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由于cos 0α>，故角α为第一、第四象限角.由于tan 0α<，故角α为第二、第四象限角.所以角α为第四象限角.故选D.2．（2019·安徽省舒城中学高一月考）若sin 0tan αα>且cos tan 0αα⋅<，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由题,因为sin 0tan αα>,则α的终边落在第一象限或第四象限； 因为cos tan 0αα⋅<,则α的终边落在第三象限或第四象限；综上,α的终边落在第四象限故选D3．（2020·南昌市新建一中高一期末）已知角α满足sin 0α<且cos 0α>，则角α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】由题意，根据三角函数的定义sin y r α=＜0，cos xrα=＞0 ∵r ＞0，∴y ＜0，x ＞0．∴α在第四象限，故选：D ．4．（2020·上海高一课时练习）已知tanα>0，且sinα+cosα>0，那么角α是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】A【解析】tan 0α>则角为第一或第三象限，而sin cos 0αα+>，故角为第一象限角. 5．（2020·甘肃高一期末）已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B【解析】由题意可得00cos tan αα<⎧⎨<⎩,则0sin cos αα>⎧⎨<⎩,所以角α的终边在第二象限，故选B.6．（2019·广东越秀·高一期末）若cos θ0>，sin θ0<，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】根据三角函数的定义有()sin ,cos 0y xr r rθθ==>，所以0,0x y ><， 所以θ在第四象限，故选D ．7．（2020·辽河油田第二高级中学高一期中）如果点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限+【答案】C【解析】因为点(sin ,cos )P θθ位于第三象限，所以sin 0cos 0θθ<⎧⎨<⎩，因此角θ在第三象限.故选：C.8．（2020·全国高一课时练习）“点(tan ,cos )P αα在第三象限”是“角α为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵(tan ,cos )P αα为第三象限，∴tan 0α<，cos 0α<，∴α为第二象限角，反之也成立. 故选：C.9．（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知第二象限角α的终边上一点()sin ,tan P ββ，则角β的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】因为点()sin ,tan P ββ在第二象限，所以有sin 0,tan 0,ββ<⎧⎨>⎩所以β是第三象限角.故选：C 【题组三 三角函数线】1．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）设5sin 12a π=，5cos 12b π=，5tan 12c π=，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】设512π的终边与单位圆相交于点P ，根据三角函数线的定义可知5sin 12a MP π==，5cos 12b OM π==，5tan 12c AT π==，显然AT MP OM >>所以b a c <<故选：D2．（2020·全国高一课时练习）若02θπ≤<,且不等式cos sin θθ<和tan sin θθ<成立,则角θ的取值范围是( )A ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由三角函数线知,在[)0,2π内使cos sin θθ<的角5,44πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使tan sin θθ<的角3,,222πθπππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故θ的取值范围是,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.3．（2020·全国高一课时练习）如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<<【答案】C【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.4．（2020·全国高一课时练习）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.（1）sin α≥2（2）cos α≤－12. 【答案】（1）作图见解析；22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣；（2）作图见解析；2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣.【解析】（1）作直线y A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为22k 2k ,k Z 33ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. （2）作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭∣. 【题组四 同角三角函数】1．已知sin θ=a−11+a ,cos θ=−a1+a ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 A ．−12 B ．−2C ．−34D ．−43【答案】C【解析】由sin 2θ+cos 2θ=1，得：(a−11+a )2+(a1+a )2=1，化简，得： a 2−4a =0，因为θ是第二象限角，所以，a =4， tan θ=sin θcos θ=a−11+a ×(−1+a a)＝1−a a=1a −1＝−34，故选C.2．（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角α的终边落在直线0x y +=上，cos α+的值等于（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．2-或2【答案】A【解析】由题意，若角α的终边落在直线0x y +=上，则角α的终边落在第二象限或第四象限，当角α的终边在第二象限时，根据三角函数的定义，可得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=；当角α的终边在第四象限时，根据三角函数的定义，可得sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，0cos α+=，故选A.3．（2019·江西高三月考（文））已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A.D. 【答案】A【解析】因为tan 2α，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故答案为:A.【题组五 弦的齐次】1.（2020·山西平城·大同一中高一月考）已知tan 3α=，则3sin cos 5cos sin αααα-=-（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】由已知3sin cos 3tan 133145cos sin 5tan 53αααααα--⨯-===---．故选：B ．2．（2020·辽宁高一期末）若3sin 5cos 1sin 2cos 5αααα+=--，则tan α的值为（ ）A ．32B ．﹣32C ．2316D ．﹣2316【答案】D 【解析】因为3sin 5cos 3tan 51sin 2cos tan 25αααααα++==---，解得23tan 16α=-.故选：D3．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知θ是第二象限角，(),2P x 为其终边上一点且cos θ5x =，则2sin cos sin cos θθθθ-+的值A ．5B ．52C ．32D ．34【答案】A【解析】由题意得cos 5θ==1x =±．又θ是第二象限角，∴1x =-．∴tan 2θ=-．∴2sin cos 2tan 1415sin cos tan 121θθθθθθ----===++-+．选A ．4．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））已知sin αα=，则2sin sin cos 1ααα++=（ ）A B C ．1 D ．3【答案】B【解析】由sin αα=可得tan α=22222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin sin cos 1sin cos tan 1αααααααααααα++++++====++． 故选：B ．5．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知4tan 3α=，求下列各式的值． ①222sin 2sin cos 2cos sin ααααα+⋅-； ②sin cos αα． 【答案】①20；②1225. 【解析】①原式2222442tan 2tan 33202tan 423ααα⎛⎫+⨯ ⎪+⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭． ②原式22224sin cos tan 123sin cos tan 125413αααααα====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 6．（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））（1）已知tan 3α=，计算4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+ 的值 .（2）已知3tan 4θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值. 【答案】（1）57；（2）2225. 【解析】（1）∵tan 3α= ∴cos 0α≠∴原式=1(4sin 2cos )4tan 24325cos =153tan 5337(5cos 3sin )cos αααααααα-⨯-⨯-==++⨯+⨯.（2）()2222222sin cos sin cos cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++-+-=+=2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos 1tan θθθθθθθθθ++++=++ =223393211224484925311164⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫++- ⎪⎝⎭. 7．（2020·山东潍坊·高一期末）已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边落在x 轴的正半轴上，终边经过点()04,A y ，其中00y ≠.（1）若cos 5α=，求0y 的值； （2）若04y =-，求2sin 3cos cos 4sin αααα+-的值. 【答案】（1）2±；（2）15. 【解析】（1）由题意知，OA =cos α==. 解得02y =±，所以02y =±.（2）当04y =-时，0tan 14y α==-，所以2sin 3cos 2tan 31cos 4sin 14tan 5αααααα++==--. 8．（2020·四川凉山·高一期末）已知tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且32ππα<<，求cos sin αα+的值【答案】【解析】由题意，tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 可得21tan 31tan k αα⋅=-=，解得2k =±， 又由32ππα<<，则1tan 2tan k αα+==，解得tan 1α=，则sin cos 2αα==-，所以cos sin αα+= 【题组六 sinacosa 与sina±cosa 】1．（2020·浙江高三专题练习）已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈(0,)4π，则sin θ－cos θ的值为( ) AB ．13 CD ．－13【答案】A【解析】∵sinθ+cosθ=43，∴（sinθ+cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=169 ，所以2sinθcosθ=79 又因为0＜θ＜4π，所以0<sinθ<cosθ∴sinθ﹣cosθ＜0，∴（sinθ﹣cosθ）2=sin 2θ+cos 2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=29 ，则sinθ﹣cosθ=﹣3 ．故选A ．2．（2020·山西应县一中高三开学考试（文））若cosα＋2sinα，则tanα＝________.【答案】2【解析】由2221cos sin sin cos αααα⎧⎪⎨+=⎪⎩＋sin α，cos α=，∴tanα＝sin αcos α=2， 故答案为2.3．（2019·石嘴山市第三中学高一期中）已知sinθ−cosθ=15（1）求sinθcosθ的值；（2）当0<θ<π时，求tanθ的值．【答案】(1) sinαcosα=1225 (2) tanθ=43【解析】（1）(sin θ−cos θ)2=1−2sin θcos θ =(15)2=125⇒sin αcos α=1225.（2）∵0<θ<π且sin αcos α>0，∴0<θ<π2.由{sinθ−cosθ=15sinθcosθ=1225 ⇒{sinθ=45cosθ=35 得tanθ=sin θcos θ=43.。
三角函数的概念和性质
三角函数的概念和性质三角函数是数学中的一类重要函数，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍三角函数的概念和性质，并对其应用进行简要探讨。
一、三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
1. 正弦函数（sin(x)）：正弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标即为sin(x)。
2. 余弦函数（cos(x)）：余弦函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标即为cos(x)。
3. 正切函数（tan(x)）：正切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为正弦函数与余弦函数的比值。
正切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的纵坐标与横坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的纵坐标与横坐标之比即为tan(x)。
4. 余切函数（cot(x)）：余切函数是以角度或弧度为自变量的周期函数，定义为余弦函数与正弦函数的比值。
余切函数描述了角度和弧度与单位圆上对应点的横坐标与纵坐标之间的关系。
在单位圆上，对于任意角度或弧度x，其对应点的横坐标与纵坐标之比即为cot(x)。
二、三角函数的性质三角函数具有一系列的性质，这些性质对于解题和推导三角函数的各种公式都起到重要作用。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数都是周期函数。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数和余切函数的周期是π。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
这表明正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
3. 余切函数关于原点对称：cot(x) = 1/tan(x) = cos(x)/sin(x)。
高中数学必修一(人教版)《5.2.1 三角函数的概念》课件
题型三 诱导公式一的应用 【学透用活】
对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°) 范围内的角的三角函数值．
[方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各 三角函数值．
(2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝xy.
(3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则 sin α＝yr， cos α＝xr，tan α＝xy(r＝ x2＋y2)．
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.
答案：(1)√ (2)×
2．sin(－315°)的值是
A．－
2 2
B．－12
C.
2 2
D.12
解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin
45°＝
2 2.
答案：C
() ()
()
3．tan235π＝________. 解析：tan235π＝tan8π＋π3＝tanπ3＝ 3. 答案： 3
sin
α＝
2 ＝2 5
5
5，cos
α＝
1＝ 5
55，tan
α＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，在角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，由 r＝|OQ|
＝ －12＋－22＝ 5，
三角函数概念(重难点突破)(解析版)
突破5.2 三角函数的概念一、考情分析二、考点梳理考点1 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy =αtan 2.三角函数的定义域：三角函数 定义域=)(x f sin x R =)(x f cos x R=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且考点2 三角函数值的符号第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.考点3 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z k ∈ 考点4 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.三、题型突破重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】解：因为270305360<<，所以305为第四象限角， 所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限； 故选：D（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值： ①sin 1()00-︒；②cos 2()20-︒；③()tan 10-；④cos π． 其中符号为负的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断． 【详解】因为－100°角是第三象限角，所以sin 10()00-︒<；因为－220°角是第二象限角，所以cos 22()00-︒<；因为710,32⎛⎫-∈-π-π ⎪⎝⎭，所以角－10是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<．所以符号为负的有4个， 故选：D ．【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若2α=，则（ ） A ．sin 0α>且cos 0α> B ．sin 0α>且cos 0α< C ．sin 0α<且cos 0α< D ．sin 0α<且cos 0α>【答案】B 【分析】确定α所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】 因22ππ<<，则2α=是第二象限象限角，所以sin 0,cos 0αα><. 故选：B【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据α为第二象限角可求得2α为第一或第三象限角，由cos 02α<可得结果.【详解】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.重难点题型突破02 三角函数的概念例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，则sin cos αα⋅=（ ）A ．3B ．23- C 3D 2【答案】B 【分析】根据角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭， 所以1r OP ==， 所以36sin αα==， 所以362sin cos αα⋅==． 故选：B（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角α的终边经过点()3,P m ，且2sin mα=，求cos α，tan α的值．【答案】答案见解析 【分析】根据正弦函数的定义求出m 值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算． 【详解】由题意，可知3x =-y m =，所以2223r x y m ++ 所以22sin 3y m r mα==+解得0m =或5± 当0m =时，3r =cos 1x r α==-，tan 0yxα==； 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== （3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角α的终边经过点()1,1P -，则sin α= （ ） A ．12B ．12-C 2D ．2【答案】C 【分析】首先根据题意求出2r =sin α的值. 【详解】22(1)12r -+=2sin 2α=故选：C【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（ ） A.B. C. D. 【答案】D【解析】, ,选D. 【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且3sin cos 4αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3B ．43±C ．－3433D 3【答案】C 【解析】由已知，得()()()22222243sin 4444aa a a αα-==∴=-+-+-+，解得43a =-433α()()3,40P a a a ≠sin α=354535±45±229165r a a a =+=44sin 55a a α==±故选C ．【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，则m =___________. 【答案】3- 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解. 【详解】解：∵已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，∴223sin 5(4)m α=--+，显然0m <，解得3m =-，3m =（舍去）， 故答案为：3-例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m -，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值． 【答案】5m =±；当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-；当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α= 【分析】根据三角函数定义可由()22sin 043m m m m α==≠+求得m 的值；结合m 的值，由三角函数定义可求得cos ,tan αα. 【详解】()22sin 043m m m m α==≠+，5m ∴=±； 当5m =时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=-； 当5m =-时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=. 【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m -，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【答案】(1)10sin 4=a ； (2)1-或61543--或61543-+. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到2243m m m =+，通过解方程即可求出m 的值，从而可求出sin α值；（2）根据（1）中求出的m 值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. (1)由三角函数的定义，可知2243m m m =+，解得0m =或5m =±， ∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m ＝5， ∴10sin 4α=； (2)由（1）知0m =或5m =±，当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-； 当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-，所以cos ta 43n 615αα=--+； 当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α=，所以cos ta 43n 615αα=-++. 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61543--或61543-+．重难点题型突破03 同角三角函数的公式例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________． 【答案】43-【分析】先利用三角函数的定义求出tan 2α=，再进行弦化切，代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P ，所以12cos 0,tan 215αα.所以sin 2sin 2cos tan 2224cos sin sin cos tan 12131cos αααααααααα--------====-++++. 故答案为：43-（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（ ） A ．175B ．4C ．225D ．285【答案】C【分析】根据22sin cos 1αα+=，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 【详解】解：原式222222225sin 3cos sin cos 6tan 222sin cos tan 15αααααααα-++-===++． 故选：C ．（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则222sin sin cos 3cos αααα+-的值为（ ） A ．95B ．18C ．1710D ．15【答案】A【分析】原式可除以22sin cos αα+化简成222tan tan 3tan 1ααα+-+，代入tan 3α=求值即可【详解】222sin sin cos 3cos αααα+- 22222sin sin cos 3cos sin cos αααααα+-+=222tan tan 3tan 1ααα+-=+， 代入tan 3α=可算得原式的值为95.故选：A【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-，则tan α=（ ）A ．13B ．12C ．13-D ．12-【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 【详解】 由sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-可得tan 255tan 16αα+=-，解得：1tan 3α=-，故选：C.【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+_____________ 【答案】29-【分析】分子，分母同除以cos θ，再把tan θ的值代入即可求解 【详解】2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯故答案为：29-【变式训练4-3】.已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan α=______，sin 2cos 2sin 3cos αααα-+=_______.【答案】2- 4 【解析】根据题意知：2tan 21α-==-，sin 2cos tan 242sin 3cos 2tan 3αααααα--==++. 故答案为：-2；4.例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知tan 3α=，计算3sin αcos αsin α2cos α；（2）已知1sin cos (0)2αααπ+=<<，求sin cos αα．【答案】（1）10；（2）38-【分析】（1）利用商数关系化弦为切，即可得解;（2）将1sin cos 2αα+=进行平方即可求得答案 【详解】（1）因为tan 3α=，所以3sin cos 3tan 110sin 2cos tan 2αααααα++==--；(2)由1sin cos (0)2αααπ+=<<，平方可得221sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααα++=+=，所以3sin cos 8αα=-【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知23sin 4sin cos 10ααα-+=． (1)求tan α的值； (2)求2sin cos 1cos ααα+的值．【答案】(1)1tan 2α=(2)29 【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求1tan 2α=. （2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值. （1）解法一：∵22sin cos 1αα+=，23sin α-4sin cos 10αα+=， ∴2223sin 4sin cos 10sin cos ααααα-+=+， 分子分母同时除以2cos α，得223tan 4tan 10tan 1ααα-+=+，即()22tan 10α-=，解得1tan 2α=．解法二：∵23sin 4sin cos 10ααα-+=，∴224sin 4sin cos cos 0αααα-+=， 即2(2sin cos )0αα-=，∴2sin cos 0αα-= ∴1tan 2α=． （2） ∵1tan 2α=，∴2222sin cos sin cos tan 21cos sin 2cos tan 29ααααααααα===+++．重难点题型突破4 综合应用例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++ 【答案】详见解析【证明】方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++ ()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边，∴原式成立．方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立．【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式2222cos 1sin ,sin 1cos αααα=-=-，得cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+ ，然后运用等比定理即可证明. 【详解】证明：方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边， ∴原式成立.方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=是证明的关键,法二恒等式cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+的合理利用是证明的关键;本题属于难题. 【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是A ．(,)42ππ B ．3(,)24ππ C ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 【答案】C 【详解】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得12a =-，舍去()12+，则sin cos 120θθ=-<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 120θθ+=-<而sin cos 2sin 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C. 点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得12a =-，即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,3-【分析】原不等式可化为2cos 2cos 20x a x a +++≥，令cos ,[1,1]t x t =∈-，转化为二次不等式 2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.【详解】由原不等式可化简为2cos 2cos 20x a x a +++≥对任意x R ∈恒成立，令cos ,[1,1]t x t =∈-得：2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，令2()22h t t at a =+++，[1,1]t ∈-，函数对称轴方程为t a =-，当1t a =-<-，即1a >时，min ()(1)30h t h a =-=-≥，解得13a ，当11t a -≤=-≤，即11a -≤≤时，2min ()()20h t h a a a =-=-++≥，解得12a -≤≤， 所以11a -≤≤，当1t a =->，即1a <-时，min ()(1)330h t h a ==+≥，解得1a ≥-，所以a ∈∅，综上实数a 的取值范围是13a -≤≤，故答案为[]1,3-【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.四、课堂训练1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ）A 2B ．2C ．2D ．1 【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==，所以22sin 2r α==. 故选：A2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知tan 2θ=,则cos sin sin cos θθθθ-+的值为（ ） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cos θ,将弦化切,代入求解即可.【详解】tan 2θ=, ∴cos sin 1tan 121sin cos tan 1123θθθθθθ---===-+++. 故选:A.3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）A ．经过30分钟，钟表的分针转过2π-弧度B ．若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角C ．若sin cos 1θθ+>，则θ为第一象限角D ．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限 【答案】BC【分析】根据任意角的概念可判断A ；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将sin cos 1θθ+>平方推出sin 0,cos 0θθ，判断θ为第一象限角，判断C;举反例可判断D.【详解】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，A 错误；对于B ，若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角，正确；对于C ，因为sin cos 1θθ+>，故2(sin cos )1,12sin cos 1θθθθ+>∴+>，即sin cos 0>θθ，结合sin cos 1θθ+>可知sin 0,cos 0θθ，故θ为第一象限角，C 正确；对于D ，第一象限角不都是锐角，比如390是第一象限角，但不是锐角， 故D 错误；故选：BC4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【答案】25或25-． 【分析】先求点P 到原点的距离，再利用定义求sin α，cos α，应注意分类讨论．【详解】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-； 当0a <时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=． 综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.16。
三角函数的概念
三角函数的概念三角函数是数学中一种重要的函数类型，它描述了角度和长度之间的关系。
它在几何、物理、工程和计算机图形等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念以及它们的定义、性质和图像特征。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值，用sin表示。
在三角形中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的横坐标值，用cos表示。
在三角形中，余弦函数表示邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是指一个单位圆上任意角的对应坐标的纵坐标值与横坐标值的比值，用tan表示。
在三角形中，正切函数表示对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
例如，sin(θ)=sin(θ+360°)=sin(θ+2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数（sin(-θ)=-sin(θ)），余弦函数和正切函数是偶函数（cos(-θ)=cos(θ)，tan(-θ)=tan(θ)）。
3. 值域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1, 1]；正切函数的值域为全体实数。
三、三角函数的图像1. 正弦函数的图像呈现出周期性的波形，对于一个周期内的任意值，其取值范围在[-1, 1]之间。
2. 余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是在横坐标上有一个相位差。
3. 正切函数的图像在某些角度上会出现无穷大或无穷小，这些角度被称为正切函数的奇点。
四、三角函数的应用1. 几何学应用：三角函数在几何学中广泛应用于解决三角形相关的问题，如计算三角形的边长、角度和面积等。
2. 物理学应用：三角函数在物理学中用于描述波动、振动和周期性现象，如声音和光的传播。
3. 工程学应用：三角函数在工程学中用于解决各种实际问题，如测量、设计和建模等。
三角函数的概念与应用
三角函数的概念与应用三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的概念、性质以及其在实际生活中的应用。
一、三角函数的概念三角函数是指与角度有关的一类函数，它们的变量是角度，输出是一个比值。
常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是最基本的三角函数，它们是通过点在单位圆上的投影来定义的。
二、三角函数的性质1. 正弦函数的性质：正弦函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
它是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
正弦函数具有周期性，在每个周期内，其值经过一次完整的振荡，周期为2π。
2. 余弦函数的性质：余弦函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
它是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
余弦函数也具有周期性，其周期也为2π。
3. 正切函数的性质：正切函数的定义域为所有不是余弦函数零点的实数，值域为全体实数。
正切函数是一个奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
正切函数在60度和120度时取到最大值1，在30度和150度时取到最小值-1。
三、三角函数的应用三角函数在实际生活中有广泛的应用。
下面简要介绍其中的几个应用领域。
1. 几何学中的应用：三角函数在几何学中有重要的应用，可以帮助我们解决各种角度和边长的计算问题。
例如，通过正弦函数可以求解一个三角形的边长和角度，通过余弦函数可以求解两个边长和包含它们的夹角，通过正切函数可以求解两个边长的比值。
2. 物理学中的应用：在物理学中，三角函数被广泛用于描述和计算各种振动和周期现象。
例如，正弦函数可以用来描述周期性运动的位移，余弦函数可以用来描述周期性波动的内部形态，正切函数可以用来描述斜面上物体的运动和力的作用关系。
3. 工程学中的应用：三角函数在工程学中也有重要的应用，例如在建筑工程中，通过三角函数可以计算建筑物的高度和倾斜角度；在电子工程中，三角函数可用于描述和计算交流电流和电压的相位关系。
5.2.1三角函数的概念课件(人教版)
13
5
13
5
12
则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
六、归纳小结提高认识
1.知识：三角函数的定义及其定义域.
2.数学思想方法：数形结合思想；类比法.
七、布置作业 检测目标
课本179-180页练习1、2、3、4题.
谢
谢！
作x轴的垂线PM,P0M0,垂足分别为M,M0,则
|P0M0|=|y0|,|PM|=|y|,|OM0|=|x0|,|OM|=|x|,△OMP∽△OM0P0.
因为y0与y同号，所以y0= .即sinα= .
同理可得cosα= , tanα= .
于是
0 0
1
=
,即|y0|= .
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位
圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，
我们将它们统称为三角函数
2.三角函数的定义域：
三角函数
定义域
sin α
R
cos α
R
tan α
| ≠ ＋， ∈
2
四、举例应用掌握定义
5
例1.求 的正弦、余弦和正切值.
3
5
解：在直角坐标系中，作∠AOB= ，易知∠AOB的终边与单
在锐角的终边上任取一点P(a, b),
设 OP r a 2 b2 0
P(a
, b)
y
P ( a, b)
MP b
sin
OP r
OM a
cos
OP
r
tan
(word完整版)三角函数最全知识点总结,推荐文档
三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表：(2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。
三角函数知识讲解
三角函数知识讲解一、三角函数的定义三角函数是数学中的一类函数，它们涉及到角度和三角形的边长。
具体来说，三角函数是以角度（通常用弧度表示）为自变量，角度对应的正弦、余弦、正切等值为函数值的函数。
1.1 定义给定一个角度θ，三角函数定义如下：正弦函数（sine）：sinθ余弦函数（cosine）：cosθ正切函数（tangent）：tanθ其中，正弦、余弦、正切等符号分别表示一个直角三角形中的对边、邻边和斜边的长度比。
二、三角函数的恒等变换三角函数的恒等变换是指一些在三角函数值之间进行变换的公式。
这些公式在解决三角函数问题时非常有用，可以帮助我们简化问题并找到解决方案。
2.1 恒等变换公式以下是一些常见的三角函数恒等变换公式：和差角公式：sin(θ+φ) = sinθcosφ + cosθsinφ；cos(θ+φ) = cosθcosφ - sinθsinφ；tan(θ+φ) = (tanθ+tanφ)/(1-tanθtanφ)积化和差公式：sinθcosφ = 0.5[sin(θ+φ) + sin(θ-φ)]；cosθsinφ = 0.5[sin(θ+φ) - sin(θ-φ)]；tanθcotφ = (tanθ+cotθ)/(1-tanθcotφ)倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ；cos2θ = cos²θ - sin²θ；tan2θ = (2tanθ)/(1-tan²θ)半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/2]；cos(θ/2) = ±√[(1+cosθ)/2]；tan(θ/2) = ±√[(1-cosθ)/(1+cosθ)]三、三角函数的应用三角函数在许多数学问题中都有应用，包括解三角形、处理振动和波动问题、进行单位转换等。
在实际问题中，我们经常需要使用三角函数来建立数学模型，并通过求解模型来找到问题的解决方案。
5.2 三角函数的概念(解析版)
5.2三角函数的概念1. 利用三角函数的定义求三角函数值；2. 三角函数在各象限内符号的应用；3. 诱导公式(一)的应用；4. 分类讨论思想的应用；5. 根据同角三角函数关系求值；6. 弦化切求值；7. 化简三角函数式；8. 三角恒等式的证明；9. sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用.一、单选题1．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）已知角α终边过点P (1，-1)，则tan α的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．2-【答案】B 【解析】∵ 角α终边过点P (1，-1)， ∴ 1tan 11y x α-===-， 故选：B.2．（2020·阜新市第二高级中学高一期末）若sin cos 0>θθ，则θ在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第一、四象限 D ．第二、四象限【答案】B 【解析】设(),P x y 是θ角终边上任意一点（异于原点），r =2sin cos 0,0y x xyxy r r rθθ=⋅=>> 即x 与y 同号，则θ在第一、三象限 故选：B主要命题方向配套提升训练3．（2020·辽宁大连�高一期末）若42ππα<<，则点()cos sin ,sin tan P αααα--位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 由42ππα<<知：cos sin 1tan ααα<<<∴cos sin 0αα-<，sin tan 0αα-< 故，P 位于第三象限 故选：C4．已知α是第三象限的角,若tanα=12,则cosα=（ ）A. −√55 B. −2√55 C. √55 D. 2√55【答案】B 【解析】tanα=12,sinαcosα=12,cosα=2sinα ,sin 2α+cos 2α=1,解方程组得：cosα=−2√55，选B.5．若角α终边经过点()()3,40P a a a ≠,则sin α=（ ）【答案】D选D. 6．（2020·四川武侯�成都七中高三其他（理））记0cos(80)k -=，那么0tan100=（ ）AB ． CD ．【答案】B 【解析】()0cos 80k -=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =-=-，sin 801tan 80cos80∴==，那么21tan100tan(18080)tan 80k -=-=-=-故选B ．7．（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且sin cos 4αα⋅=，则a 的值为( ) A ．B．±C ．－或D【答案】C【解析】由已知，得()224sin 4aa αα-==∴=-+，解得a =-故选C ．8.已知2παπ<<，1sin cos 5αα+=，则tan α等于（ ） A. 34-B. 34-或43- C. 34或43D.35【答案】A 【解析】∵2παπ<<，1sin cos 5αα+=， ∴平方可得112sin cos 25αα+=，即12sin cos 025αα=-<， ∴sin 0α<，cos 0α>，∵22sin cos 1αα+=可得：221cos cos 15αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得：4cos 5α=，或35-（舍去），∴143sin 555α=-=-，可得：3tan 4α=-． 故选：A ．9．（2020·永州市第四中学高一月考）点P 从(1,0)点出发，沿单位圆221x y +=逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 点坐标为（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由题意可知1r =，根据三角函数的定义可知1cos32x r π==，sin 32y r π==， 所以点Q的坐标是12⎛ ⎝⎭.故选：A10．（2020·安徽高三月考（文））达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A 、B 间的圆弧长为l ，嘴角间的距离为d ，圆弧所对的圆心角为θ（θ为弧度角），则l 、d 和θ所满足的恒等关系为（ ）A ．sin2=d lθθB ．2sin2=d lθθC ．cos2=d lθθD ．2cos2=d lθθ【答案】B 【解析】设该圆弧所对应的圆的半径为r ，则2sin 2r d θ=，⋅=r l θ，两式相除得2sin2=d lθθ 故选：B . 二、多选题11.（2020·全国高一课时练习）给出的下列函数值中符号为负的是（ ）A ．sin(1000)︒-B ．10cos 3πC ．tan 2D ．sin5E.cos 4π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】A 为正，∵1000336080︒︒︒-=-⨯+，∴1000︒-是第一象限角，∴sin(1000)0︒->；B 为负，104233πππ=+，∴103π是第三象限角，∴10cos 03π<；C 为负，∵2rad 2571811436︒︒''≈⨯=，是第二象限角，∴tan20<；D 为负，∵3522ππ<<，5弧度是第四象限角，∴sin50<；E 为正，因为4π-是第四象限角，∴cos 04π⎛⎫-> ⎪⎝⎭. 故选：BCD.12．（2020·山东临沂�高一期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（ ） A ．①③ B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【答案】BC 【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩. 故选：BC.13．设角α的终边上一点P 的坐标是()4,4sin cos --，则α的值不可能为（ ）、 A ．42π-B ．42π+C ．42π-+D ．42π--【答案】ABC 【解析】因为角α的终边上一点P 的坐标是()44sin cos --，， 则40sin ->，40cos ->， 所以角α第一象限角，所以cos 4tan tan 4sin 42πα-⎛⎫==- ⎪-⎝⎭，所以42k παπ=+-，k Z ∈，当1k =-时，42πα=--为第一象限的角， 所以α的值可能为42π--，42π-和42π+不可能为α的值，而42π-+不是第一象限的角．所以A ，B ，C 都不能取到． 故选：ABC ．14．（2020·山东省微山县第一中学高一月考）已知(0,)θπ∈，1sin cos 5θθ+=，则下列结论正确的是（ ） A ．,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．3cos 5θ=- C ．3tan 4θ=-D ．7sin cos 5θθ-=【答案】ABD 【解析】1sin cos 5θθ+=①()221sin cos 5θθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭即221sin 2sin cos cos 25θθθθ++= 242sin cos 25θθ∴=-(0,)θπ∈sin 0θ∴>，cos 0θ<,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭()249sin cos 12sin cos 25θθθθ∴-=-= 7sin cos 5θθ∴-=②①加②得4sin 5θ=①减②得3cos 5θ=-4sin 45tan 3cos 35θθθ∴===--综上可得，正确的有ABD 故选：ABD 三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）若角α的终边上有一点P （－4，a ），且sinα·cosα＝，则a 的值为 ； 【答案】或【解析】根据三角函数的定义，，，所以根据已知条件，24316a a -=+，所以解得：或16，则tan α=______. 两边平方可得)cos (sin 5cos 4cos sin 4sin 2222αααααα+=+-,即0cos cos sin 4sin 422=++αααα,即01tan 4tan 42=++αα,故0)1tan 2(2=+α,故应选D.17又∵θ为第一象限的角，四、双空题18．（2020·浙江衢州�高一期末）已知角α的终边过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin α=________，tan α=________. 【答案】45- 43- 【解析】角α的终边过点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则4sin 5α=-，3cos 5α=， 445tan 335α-==-，故答案为：45-；43-．19．（2018·浙江丽水�高一期末）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(1)P -，则tan α=_______；cos sin αα-=_______.【解析】∵角α终边过点(1)P -，||2OP =，∴t an α==1sin 2α-=，cos α=∴cos sin αα-=. 20．（2020·浙江丽水�高一期中）已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan α=______，sin 2cos 2sin 3cos αααα-+=_______.【答案】2- 4【解析】根据题意知：2tan 21α-==-，sin 2cos tan 242sin 3cos 2tan 3αααααα--==++. 故答案为：-2；4.21．（2020·上海高一课时练习）若1sin cos 2αα+=，则sin cos αα⋅=___________；tan cot +=αα__________.【答案】38- 83- 【解析】因为1sin cos 2αα+=，所以112sin cos 4αα+=，所以sin cos αα⋅=38-，22sin cos sin cos 18tan cot cos sin sin cos sin cos 3αααααααααααα++=+===-.故答案为：38-；83- 五、解答题22．（2020·内蒙古集宁一中高一期末（理））已知角α的终边经过点(P m ，且13cos α=-． （1）求m 的值；（2）求22cos sin 2sin cos αααα-+⋅的值．【答案】（1）1-；（2 【解析】（1）因为已知角α的终边经过点(P m ，且13cos α=-13=-，求得1m =-；（2）由（1）可得，tan α=-原式=22222cos sin sin cos cos sin αααααα-++=22121tan tan tan ααα-++=79--．23．（2020·浙江高一课时练习）若已知角θ终边上一点(,3)(0)P x x ≠，且cos 10x θ=，能否求出sin ,tan θθ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．【答案】能，见解析 【解析】能求出sin θ，tan θ的值． 因为角θ的终边过点(,3)P x ，所以cos 10x θ==． 因为0x ≠，所以1x =或1x =-．①当1x =时，点P 的坐标为(1,3)，角θ为第一象限角，此时3sin tan 3101θθ====；②当1x =-时，点P 的坐标为(1,3)-，角θ为第二象限角，此时3sin tan 3101θθ====--．24.（甘肃省宁县第二中学2019年高一下期中） 求证：121sin cos sin cos sin cos αααααα+++=++sinα+cosα．【答案】见证明 【解析】证明：∵1+2sinα•cosα＝()2sin cos αα+ ∵1+sinα+cosα≠0， ∴左端121sin cos sin cos sin cos αααααα+++++()21sin cos sin cos sin cos αααααα+++=++()()11sin cos sin cos sin cos αααααα+++=++＝sinα+cosα＝右端． ∴121sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+++=+++25．（2020·山西应县一中高一期中（理））已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值.11 / 12（1）sin 3cos sin cos αααα-+； （2）2sin sin cos 2ααα++.【答案】（1）53-；（2）135． 【解析】 由tan 1tan 1αα=--，解得1tan 2α=． （1）sin 3cos sin cos αααα-+13tan 3521tan 1312αα--===-++； （2）2sin sin cos 2ααα++22222sin sin cos 2(sin cos )sin cos ααααααα+++=+ 2222223sin sin cos 2cos 3tan tan 2sin cos tan 1ααααααααα++++==++22113()2132215()12⨯++==+． 26．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值. 【答案】－154或94. 【解析】当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)， 所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝35-＝－35，cos α＝x r ＝45， tan α＝y x ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154. 当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4，3)， 所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，12 / 12 tan α＝y x ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×45⎛⎫- ⎪⎝⎭－34＝35＋125－34＝94. 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94. 27．（2020·永州市第四中学高一月考）已知22sin 2sin cos 01tan 2k αααπαα+⎛⎫=<< ⎪+⎝⎭.试用k 表示sin cos αα-的值.【答案】详见解析【解析】()22sin sin cos2sin 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααααα++=++()2sin cos sin cos sin cos αααααα+=+2sin cos k αα==，()222sin cos sin cos 2sin cos αααααα-=+- 12sin cos αα=-1k =-, 当04πα<<时，sin cos αα<，此时sin cos αα-=， 当42ππα≤<时，sin cos αα≥，此时sin cos αα-=。
三角函数的概念(精讲)(解析版)
5.2 三角函数的概念考点一三角函数的定义-，则cosα=（）【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）已知角α的终边经过点(4,3)A ．45B ．35C ．35D ．45-（2）（2020·甘肃省岷县第一中学高二月考）若角600°的终边上有一点（-4，a ），则a 的值是（ ）A ．B ．±C ．-D（3）（2020·应城市第一高级中学高一月考）已知角α的终边上一点的坐标为（sin 43π，cos 43π），则角α的最小正值为（ ） A ．76πB ．116πC ．56π D ．43π 【答案】（1）D （2）C （3）A【解析】（1）∵已知角α的终边经过点(4,3)-,∴4,3,5x y r =-===．∴4cos 5x r α==-.故选：D ．（2）∵角600︒的终边上有一点()4,a -，根据三角函数的定义可得tan 6004a︒=-，即()4tan 6004tan 540604tan 60a =-︒=-+=-︒=-，故选C.（3）由题意41sin cos32πα==-，又4sin 03π<，点(sin ,cos )33ππ44在第三象限，即α是第三象限角， ∴72,6k k Z παπ=+∈，最小正值为76π．故选：A ．【一隅三反】1．（2020·辽宁沈河·沈阳二中高一期末）如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin α=.故选：C.2．（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且sin cos αα⋅=，则a 的值为( )A ．B ．±C ．－或D 【答案】C【解析】由已知，得()224sin44aaαα-==∴=-+，解得a=-C．3．（2020·河南高一期末）已知点()8,6cos60P m-在角α的终边上，且3tan4α=，则m的值为（）A．2-B．2C．-D．【答案】A【解析】16cos60632m m m=⨯=，即点()8,3P m-，由三角函数的定义可得33tan84mα==-，解得2m=-.故选：A.考点二三角函数值正负判断【例3】（2020·辽宁高一期末）若sin tan0αα<，且costanαα<，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】2sinsin tan0cosαααα=<，cos0α∴<，又2cos costan sinαααα=<，则sin0α<.因此，角α为第三象限角.故选：C.【一隅三反】1．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）已知点()tan,sinPαα在第三象限，则角α的终边所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】点()tan,sinPαα在第三象限，∴tan0α<，sin0α<，由tan0α<，知角α的终边所在的象限为第二象限或第四象限，由sin 0α<，知角α的终边所在的象限为第三象限或第四象限， 综上，角α的终边所在的象限为第四象限.故选：D. 2．（2020·昆明市官渡区第一中学高一月考）若－2π<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】∵－2π<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B 3．（2020·山东滨州·高二期末）“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件.故选：A考点三 三角函数线【例3】（1）（2020·辽宁沈阳·高一期中）下列关系式中，正确的是（ ） A ．sin1cos1tan1<< B ．cos1sin1tan1<< C ．tan1sin1cos1<<D ．cos1tan1sin1<< （2）（2020·内蒙古通辽·高一期中（理））对于下列四个命题： ①sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③tan138tan143︒>︒； ④tan 40sin 40︒>︒. 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】（1）B （2）B【解析】（1）画出1弧度的正弦线，余弦线和正切线，如图所示：则sin1,cos1,tan1MP OM AT ===，比较,,OM MP AT 的长度， 得cos1sin1tan1<< .故选：B.（2）根据正弦函数的性质，可知：sin y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增1810ππ->-，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫∴->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①正确； 由诱导公式，可得：2525cos cos 6cos 444ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1717cos cos 4cos 444ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2517cos cos 44ππ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②错误； 根据正切函数的性质，可知：tan y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，138143︒<︒，tan138tan143∴<︒︒，③错误；画出2409πα==的正弦线和正切线，如下： ︒=tan 40AT ,︒=sin 40MP ，所以tan 40sin 40︒>︒，故④正确.故选：B【一隅三反】1．（2019·重庆）sin4,cos4,tan4a b c===则,,a b c的的大小关系是( )A．a b c<<B．b a c<<C．a c b<<D．c b a<<【答案】A【解析】设4α=,则5π3π42α<<,作出角α的三角函数线,如下图,则sin0MPα=<,cos0OMα=<,tan0ATα=>,又在OMP中,ππ,42MOP⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,则MP OM>,故sin cos0tanααα<<<,即sin4cos40tan4<<<.故选:A.2．（2020·湖南长沙·高一月考）设sin1,cos1,tan1a b c===，则,,a b c的大小关系为（）A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =， 因为ππ124>>，AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C 3．（2019·伊美区第二中学高一月考）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（ ）． A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．考点四 同角三角函数【例4】（1）（2020·镇原中学高一期末）若1sin 2α=，π(,π)2α∈，则cos α= 。
三角函数的概念解析
5.2.1 三角函数的概念知识点1 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠． 2．推广：设点(,)P x y 是角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则：sin y r α=，cos x r α=，tan (0)yx xα=≠． 注：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点到原点的距离22r OP x y ==+，那么22sin x y α=+22cos x y α=+tan (0)yx xα=≠知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．考点一 三角函数的定义及应用解题方略：(1)求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．sin y r α=，cos x r α=，tan y xα=. 注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ．(3)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ①注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(,)(0)a b a ≠，则对应角的正弦值22sin a b α=+，余弦值22cos a b α=+tan baα=. 注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况(点所在象限不同)进行分析．(4)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.(一)利用定义求角的三角函数值【例1-1】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(2,1)-，则sin α的值为( )A ．5B 5C ．25D 25【答案】B【解析】已知点()2,1P -，则()22215r OP ==-+5sin =5y r α=.变式1-1-1：若角α的终边经过点2(5,)1P -，则sin α=_______，cos α=______，tan α=________．【答案】1213-；513；125- 【解析】因为5,12x y ==-，所以225(12)13r =+-，则12512sin ,cos tan 13135y x y r r x ααα==-====-，．变式1-1-2：已知角α的终边过点()43-，，则2sin cos αα+=( ) A ．1 B ．25-C ．25D ．1-【答案】B【解析】因为角α的终边过点()43-，， 所以()()222234sin ,cos 554343αα=-==+-+-，所以3422sin cos 2555αα⎛⎫+=⨯-+=- ⎪⎝⎭，变式1-1-3：(多选)已知函数()()log 2401a f x x a a =-+>≠且的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则11tan sin θθ+的值可能是( ) A ．2 B ．3 C 171+ D 171+【答案】AC【解析】由题意，可知(3,4)A 或(1,4)A ，当点是(3,4)A 时，由三角函数的定义有2244tan ,sin 3534θθ==+，所以11352tan sin 44θθ+=+=； 当点是(1,4)A 时，由三角函数的定义有224tan 4,sin 11714θθ==+11117171tan sin 4θθ+∴+==变式1-1-4：(多选)若角α的终边上有一点(4,)P a -，且3sin cos αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3 B 3 C ．43-D ．43【答案】CD【解析】由三角函数的定义可知，()22sin 4a α=-+()22cos 4a α=-+又3sin cos αα⋅=，则()22434a a -=-+43a =-433(二)由三角函数值求终边上的点或参数【例1-2】已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()02,y -，若π3α=，则0y 的值为( )． A ．3- B ．23C ．3D 23【答案】A【解析】因为角α终边经过点()02,y -，且3πα=，所以0πtan332y =-023y =-变式1-2-1：已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =( )A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =．变式1-2-2：已知()2,P y -是角θ终边上一点，且22sin θ=y 的值是( ) A ．22B 22C ．434D 434【答案】D【解析】因为()2,P y -是角θ终边上一点，22sin 05θ=>，故点()2,P y -位于第二象限 所以0y >，2222sin (2)y θ==-+21732y =，因为0y >，所以434y =变式1-2-3：已知角θ的终边经过点()21,2a a +-，且3cos 5θ=，则实数的a 值是( )A ．2-B ．211C ．2-或211D ．1【答案】B2235(21)(2)a a =++-且210a +>，即12a >-，①2244195525a a a ++=+，则2112040a a +-=，解得2a =-或211a =，综上，211a =.变式1-2-4：已知角α的终边上有一点(3P m ，且2cos 4mα=，则实数m 取值为______．【答案】0或5【解析】因为角α的终边上有一点(3P m ， 所以22cos 43mm α==+，解得0m =或5±(三)由单位圆求三角函数值【例1-3】已知角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，则sin α的值为( )A. 3 B ．12-C 3D ．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α==．变式1-3-1：角α的终边与单位圆的交点A 3sin α=________，若点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则转过的角度为________． 132π 【解析】α的终边与单位圆的交点A 3可得：3cos α=sin 0α>，则有：22313sin 1cos 14αα⎛⎫=--=⎪⎝⎭点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，可得：2AOB π∠=变式1-3-2：已知角α的终边与单位圆交于点36(P ，则sin cos αα⋅=( ) A 3 B ．2C ．3D 2【答案】B【解析】α的终边与单位圆交于点36(P ,故36||1,r OP x y ====， 故636333sin cos 11y x r r αα==== 所以632sin cos 3αα⋅=（=-，(四)已知角α的终边在直线上求三角函数值【例1-4】已知角α的终边落在射线2(0)y x x =≥上，求sin α，cos α的值．【解析】设射线2(0)y x x =≥上任一点00(,)P x y ，则002y x =，220005OP r x y x ∴==+=，00025sin 55y r x α∴===，0005cos 55x r x α===.变式1-4-1：已知α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α的值255255【解析】①若α的终边在第一象限内，设点(,2)(0)P a a a >是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=>25sin 55y r a α∴===，5cos 55x r a α===①若α的终边在第三象限内，设点(,2)(0)P a a a <是其终边上任意一点22(2)5(0)r OP a a a a ==+=-<25sin 5y r a α∴===-，5cos 5x r a α===-变式1-4-2：α是第二象限角，其终边上一点(5P x ，且2cos x α=，则sin α的值为( ) A 10 B 6 C 2 D ．10 【答案】A【解析】由题意可知0x <，22cos 5x x α=+，解得3x =-510sin 35α==+考点二 三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号．如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解．(一)已知角或角的范围确定三角函数式的符号【例2-1】坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第( )象限.A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>，则点P 位于第二象限，变式2-1-1：若α为第四象限角，则( )A ．cos 2α＞0B ．cos 2α＜0C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0 【答案】D【解析】法一：因为α为第四象限角，22,2k k k Z ππαπ∴-<<∈，424,k k k Z ππαπ∴-<<∈所以2α的终边在第三象限、第四象限或y 轴的负半轴上，所以sin 20α<.法二：因为α为第四象限角，sin 0α∴<，cos 0α>，sin 22sin cos 0ααα∴=<.变式2-1-2：下列各选项中正确的是( )A ．sin300>0︒B ．cos(305)0-︒<C ．22tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭D ．sin100<【答案】D【解析】30036060︒=︒-︒，则300︒是第四象限角，故sin3000︒<；30536055-︒=-︒+︒，则305-︒是第一象限角，故cos(305)0-︒>；222833πππ-=-+，则223π-是第二象限角，故22tan 03π⎛⎫-< ⎪⎝⎭； 73102ππ<<，则10是第三象限角，故sin100<，故选D.变式2-1-3：下列各式：①()sin 100-︒； ①()cos 220-︒； ①()tan 10-； ①cos π. 其中符号为负的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】100-︒，故()sin 1000-︒<；220-︒在第二象限，故()cos 2200-︒<；710,32ππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭在第二象限，故()tan 100-<，cos 10π=-<.(二)由三角函数式的符号确定角的范围或象限【例2-2】已知sin tan 0θθ⋅<，则角θ位于第________象限．【答案】二或三【解析】当θ为第一象限角时，sin 0θ>，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅>； 当θ为第二象限角时，sin 0θ>，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第三象限角时，sin 0θ<，tan 0θ>，sin tan 0θθ⋅< 当θ为第四象限角时，sin 0θ<，tan 0θ<，sin tan 0θθ⋅> 综上，若sin tan 0θθ⋅<，则θ位于第二或第三象限变式2-2-1：已知sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是( )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角【答案】D【解析】sin 0θ<，则θ是第三、四象限的角，tan 0θ<，则θ是第二、四象限的角 ①θ是第四象限的角变式2-2-2：若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】sin cos 0αα⋅<，α是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<； 当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意； 综上所述：α是第二象限角.变式2-2-3：若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【答案】C【解析】由sin tan 0αα<可知sin α,tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由cos 0tan αα<可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角． 综上可知，α是第三象限角．变式2-2-4：已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】因为点P 在第四象限，所以有tan 0cos 0αα>⎧⎨<⎩，由此可判断角α的终边在第三象限．变式2-2-5：若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限 【答案】B【解析】因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，所以α在第一、二象限.变式2-2-6：在ABC 中，A 为钝角，则点()cos ,tan P A B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】在ABC 中，A 为钝角，则B 为锐角，则cos 0,tan 0A B <>，则点()cos ,tan P A B 在第二象限变式2-2-7：已知角α的终边经过点(39,2)a a -+，且cos 0α≤，sin 0α>，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 【答案】A【解析】①cos 0α≤，sin 0α>，①角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ①39020a a -≤⎧⎨+>⎩ ①23a -<≤ .。
三角函数的概念(讲义)解析版
专题16 三角函数的概念及诱导公式知识点一、同角三角函数的基本关系 (1)知识点二、三角函数的诱导公式 (1)知识点三、有关三角函数的常用结论 (2)题型01：同角三角函数的基本关系式 (2)题型02：sinα±cosα与sinαcosα的关系及应用 (6)题型03：利用诱导公式化简求值 (10)题型04：同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用 (13)知识点一、同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商数关系：tan x＝sin xcos x⎝⎛⎭⎪⎫其中x≠kπ＋π2，k∈Z.知识点二、三角函数的诱导公式组数一二三四五六角α＋2kπ(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan αtan_α－tan_α－tan_α知识点三、有关三角函数的常用结论1．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．2．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z .(3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.题型01：同角三角函数的基本关系式【规律方法】1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．2. 利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．（1）若已知tan α＝m ，求形如a sin c sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2αc sin 2α＋d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．（2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解．【典例1】（1）（2021·镇原中学高一期末）若1sin 2α=，π(,π)2α∈，则cos α= 。
三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中的重要概念，它与三角关系密切相关，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将从基本概念、性质以及应用三个方面对三角函数进行探讨。
一、基本概念三角函数是利用一个角的两条直角边之间的比值关系来定义的。
设角A的两条直角边分别为a和b（a为对边，b为邻边），则常见的三角函数包括正弦函数sin(A)、余弦函数cos(A)、正切函数tan(A)。
1. 正弦函数（sin(A)）：定义为对边与斜边之间的比值，即sin(A) =a / c，其中c为斜边。
2. 余弦函数（cos(A)）：定义为邻边与斜边之间的比值，即cos(A) = b / c。
3. 正切函数（tan(A)）：定义为对边与邻边之间的比值，即tan(A) =a / b。
以上三个函数对于不同的角度A，其取值范围由-1到1，通过三角函数表可以得到具体的数值。
二、性质三角函数具有一系列的基本性质，这些性质是我们深入研究和应用三角函数的基础。
1. 周期性：正弦函数、余弦函数都是周期函数，周期为2π；而正切函数则是以π为周期。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)；余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)；正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 特殊值：根据角度的变化，三角函数具有一些特殊值。
例如，sin(0) = 0，cos(0) = 1，tan(0) = 0。
4. 互余关系：对于同一角度A，sin(A)和cos(A)被称为互余角，它们之间满足sin(A) = cos(90°-A)，cos(A) = sin(90°-A)。
三、应用三角函数在几何学、物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
以下介绍一些常见的应用：1. 几何学：利用三角函数可以计算三角形的各个边长和角度。
例如，根据已知的两边长和夹角，可以通过三角函数求解第三边的长度。
2. 物理学：在物理学中，三角函数广泛应用于描述波动、振动等现象，如正弦函数可以描述周期性的波动。
三角函数的基本概念与性质解析
三角函数的基本概念与性质解析三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将对三角函数的基本概念与性质进行解析，以帮助读者更好地理解和运用三角函数。
一、基本概念解析三角函数主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）及其倒数函数分别为余弦的倒数（sec）、正弦的倒数（csc）和正切的倒数（cot）。
这些函数是角度的函数，基于单位圆上的点坐标关系推导而来。
1. 正弦函数（sin）：在单位圆上，任意角的正弦值等于以角所在点为顶点的半径在y轴上的长度。
它是一个奇函数，其定义域为实数集，值域为[-1,1]。
2. 余弦函数（cos）：在单位圆上，任意角的余弦值等于以角所在点为顶点的半径在x轴上的长度。
它是一个偶函数，其定义域为实数集，值域也为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）：在单位圆上，任意角的正切值等于该角的正弦值与余弦值的比值。
当角的余弦值为0时，不存在正切值。
当角为90度或270度时，正切值不存在。
其定义域为实数集，值域为全体实数。
二、性质解析三角函数具有多个重要的性质，下面将逐一进行解析。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即在每个2π的区间内，函数值重复出现。
正切函数的周期为π，即在每个π的区间内，函数值重复出现。
2. 奇偶性：正弦函数为奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数为偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
正切函数为奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 诱导公式：根据三角函数的定义和坐标关系，可以推导出一些重要的诱导公式。
例如，sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB；cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB等。
4. 值域与定义域：正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]，定义域为全体实数。
正切函数的值域为全体实数，定义域为除去奇数个π的整数倍的点。
5. 增减性与单调性：在某些区间上，三角函数具有增减性或单调性。
三角函数的概念(解析版)
5．2．1 三角函数的概念【知识点梳理】 知识点一：三角函数定义设α是一个任意角，它的终边与半径是r 的圆交于点(,)P x y ，则22r x y +，那么： （1）y r 做α的正弦，记做sin α，即sin y r α=； （2） x r 叫做α的余弦，记做cos α，即cos x rα=； （3）y x叫做α的正切，记做tan α，即tan (0)yx x α=≠．知识点诠释：（1）三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关．我们只需计算点到原点的距离22r x y +，那么22sin x y α=+22cos x y α=+，tan yxα=． （2）三角函数符号是一个整体，离开α的sin 、cos 、tan 等是没有意义的，它们表示的是一个比值，而不是sin 、cos 、tan 与α的积．知识点二：三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号：在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 知识点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正．知识点三：诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： sin(2)sin k απα+= cos(2)cos k απα+=tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈注意：利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求02π～（或0360︒︒～）范围内角的三角函数值．知识点四、特殊角的三角函数值 0° 30°45°60°90°120°135°150°180°270°6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π sin α 0 12 22 3213222 12 0 1-cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0tan α0 331 33-1- 33- 0【题型归纳目录】 题型一：三角函数的定义 题型二：判断三角函数值的符号 题型三：确定角所在象限 题型四：诱导公式（一）的应用 题型五：圆上的动点与旋转点 【典型例题】题型一：三角函数的定义例1．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））设α是第二象限角，(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α，则x =（ ） A ．3-B ．4-C ．6-D ．10-【答案】C【解析】因为(),8P x 为其终边上的一点，且4sin 5α， 所以2284sin 58x α，解得6x =±， 因为α是第二象限角，所以6x =-， 故选：C例2．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（ ）A 2B ．2C ．2D ．1【答案】A【解析】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==22sin r α==. 故选：A例3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos αα+的值为（ ） A ．35 B ．25C ．1或25-D ．25或25-【答案】D【解析】由题意可得：点P 与原点间的距离()()22435r m m m =-+=，∴34sin ,cos 55m mm mαα-==. 当0m >时，则34sin ,cos 55αα==-，故22sin cos 5αα+=；当0m <时，则34sin ,cos 55αα=-=，故22sin cos 5αα+=-.故选：D.变式1．（2022·山西大附中高三阶段练习（文））已知角x 的终边上一点的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角x 的最小正值为（ ） A ．56πB ．53π C ．6π D ．3π 【答案】B 【解析】5153sincos 626ππ==， 角x 的终边上点的坐标为13()2，可得角为第四象限角，且tan 3x =- 所以53x π=. 故选：B变式2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））已知点2π(cos ,1)3P 是角α终边上一点，则cos α=（ ）A 5B ．5C 25D ．3 【答案】B【解析】依题意点P 的坐标为1(,1)2-，2211552125OP α-⎛⎫=-+=== ⎪⎝⎭故选：B.变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin cos 11tan ααα--+的值为（ ）A ．65-B ．1C ．2D ．3【答案】A()22345-+=，得4sin 5α，3cos 5α=-，4tan 3α=-，代入原式得4316554513⎛⎫--- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 故选：A变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的终边经过点(,3)M m m -，且1tan 2θ=，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．52【答案】C【解析】由题意31tan 2m m θ-==，解得2m =． 故选：C ．变式5．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m ，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．【解析】()22sin 03m m α==≠+，5m ∴= 当5m =236cos 3m α==+15tan 3α==；当5m =236cos 3m α==+15tan 3α= 变式6．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在函数()102y x x =->的图像上，求sin α，cos α的值．【解析】在函数()102y x x =->的图像上取一点2,1，则()225sin 21α=-+()2225sin 21α=-+5sin α=25cos α= 【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求值的策略（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．方法二：在α的终边上任选一点(,)P x y ，P 到原点的距离为r （0r >）．则sin y rα=，cos xr α=．已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 题型二：判断三角函数值的符号例4．（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（ ） A ．sin 0α< B ．tan 0α> C ．cos 0α< D ．sin cos 0αα>【答案】C【解析】因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0,tan 0ααα><<，故ABD 错误，C 正确. 故选：C例5．（2022·湖北·高一阶段练习）下列各式的符号为正的是（ ） A ．cos3 B ．5ππsin cos 36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin2cos2-D ．7πtan8【答案】C 【解析】因为32ππ<<，所以1cos30-<<，故A 错误；因为35π223ππ<<，π026π-<-<，所以5πsin 03<，πcos 06⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 所以5ππsin cos 036⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故B 错误； 因为22ππ<<，所以sin 20,cos 20><，所以sin2cos20->，故C 正确；因为7π28ππ<< ，所以7πtan 08<，故D 错误. 故选：C.例6．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（文））sin 4tan7⋅的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不大于0【答案】B【解析】∵4在第三象限，∴sin40<，∵7在第一象限，∴tan 70>，∴sin 4tan70⋅<， 故选：B.变式7．（2022·江西省万载中学高一期中）设02πα≤<，如果sin 0α<且cos20α<，则α的取值范围是（ ） A ．π<α<3π2B ．3π2<α<2π C ．π4<α<34π D ．5π4<α<7π4【答案】D【解析】02πα≤<，sin 0α<，则π2πα<<，所以2π24πα<<， cos20α<，则5π7π222α<<，所以5π7π44α<<． 故选：D ．【方法技巧与总结】三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负．题型三：确定角所在象限例7．（2022·全国·高一课时练习）点()cos2018,sin 2018P ︒︒所在的象限是（ ） A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】C【解析】20185360218︒=⨯︒+︒在第三象限，cos 20180,sin 20180∴︒<︒<，∴点P 在第三象限. 故选：C.例8．（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.例9．（2022·陕西汉中·高一期中）若cos tan 0αα<，且sin cos 0αα<，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】因为cos tan sin 0ααα=<，sin cos 0αα<，所以sin 0α<，且cos 0α>， 故a 是第四象限角． 故选：D变式8．（2022·全国·高三专题练习）若sin 0θ<且tan 0θ<，则角θ所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】sin 0θ<，则角θ在第三，四象限，tan 0θ<，则角θ在第二，四象限， 所以满足sin 0θ<且tan 0θ<，角θ在第四象限. 故选：D变式9．（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高一期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><， 则角α的终边在第二象限. 故选：B变式10．（2022·辽宁·高一期末）坐标平面内点P 的坐标为()sin5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】32π2π5<<，sin50,cos50∴<>， 则点P 位于第二象限， 故选：B【方法技巧与总结】 确定角所在象限的步骤（1）判断该角的某些三角函数值的符号；（2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限． 题型四：诱导公式（一）的应用例10．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）17sin 4π=____________． 22【解析】17162sinsin sin 4444ππππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ 故答案为：22例11．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）13sin 3π=_________. 3【解析】因为133sin sin 4sin 333πππ⎛⎫===⎪⎝⎭. 3 例12．（2022·湖南·高一课时练习） 17tan()3π-＝______. 3【解析】17tan tan 6tan 3333ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3变式11．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））()cos 300-︒=______． 【答案】12【解析】()()1cos 300cos 360300cos602-︒=︒-︒=︒= 故答案为：12变式12．（2022·湖南·()3tan330sin 60︒+︒+-︒． ()3tan330sin 60︒+︒+-︒()()336060tan 36030sin 60︒+︒+︒-︒-︒360tan 30sin 60︒-︒-︒ 13332=3= 【方法技巧与总结】利用诱导公式一化简或求值的步骤（1）将已知角化为·360k α︒＋（k 为整数，0360α︒≤<︒）或2k πβ＋（k 为整数，02βπ≤<）的形式． （2）将原三角函数值化为角α的同名三角函数值．（3）借助特殊角的三角函数值或任意角的三角函数的定义达到化简求值的目的． 题型五：圆上的动点与旋转点例13．（2022·湖南益阳·高一期末）在直角坐标系xOy 中，一个质点在半径为2的圆O 上，以圆O 与x 正半轴的交点0P 为起点，沿逆时针方向匀速运动到P 点，每5s 转一圈，则2s 后0P P 的长为（ ） A ．42sin 5πB ．42cos 5πC ．24sin5π D ．24cos5π 【答案】C 【解析】由题意可知，一个质点在圆O 上每5s 逆时针方向转一圈，那么2s 后，到达P 点，所以04π5POP ∠=，而在0POP 中，02OP OP ==且为圆的半径，取0P P 的中点T ，如图，则2π5POT ∠=，所以2πsin sin 5PT POT OP ∠==，则012π2sin 25PT PP ==，所以02π4sin 5PP =故选：C例14．（2022·全国·高一专题练习）点P 从()1,0出发，沿单位圆按逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（ ） A ．13,22B ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．13,2⎛- ⎝⎭D ．321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】点P 从()1,0出发，沿单位圆逆时针方向运动263π弧长到达Q 点，所以点Q 是角263π的终边与单位圆的交点，所以Q 2626(cos,sin )33ππ，又角263π的终边与262833-=πππ的终边是相同的，所以2621coscos 332==-ππ，2623sin sin 33==ππ132Q ⎛- ⎝⎭. 故答案为：A例15．（2022·江西师大附中高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，若点P 从()2,0出发，沿圆心在原点，半径为2的圆按逆时针方向运动43π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A ．(3- B ．(1,3--C ．(3D ．(1,3-【答案】B【解析】如图，作出半径为2的圆，由题意，43POQ π∠=，2OQ过Q 作QM x ⊥轴于M 点，3MOQ π∠=则1,3OM MQ ==(1,3Q ∴-- 故选：B变式13．（2022·江西·模拟预测（文））已知单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ，若点Q 的横坐标为12-，则点P 的横坐标为（ ）A ．13B ．12C 22D 3【答案】B【解析】由单位圆上第一象限一点P 沿圆周逆时针旋转3π到点Q ， 点Q 的横坐标为12-，所以1cos 2xOQ ∠=-，即()223xOQ k k Z ππ∠=+∈， 所以()23xOP k k Z ππ∠=+∈，设点P 的横坐标为x ，则1 cos cos2cos332 x xOP kπππ⎛⎫=∠=+==⎪⎝⎭.故选：B变式14．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，滚珠P，Q同时从点(2,0)A出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转6π弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；(2)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．【解析】（1）设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则ππ··2π36t t+=，4t∴=（秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C，则4π2cos13Cx==-，4π2sin33Cy==C∴点的坐标为(1,3)--，（2）第一次相遇时，P点滚动的路程为4π8π233⨯=，Q点滚动的路程为4π4π263⨯=，故第二次相遇时，P点滚动的路程为8π16π233⨯=，Q点滚动的路程为4π8π233⨯=．【方法技巧与总结】利用三角函数的定义求解【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点132P⎛-⎝⎭，则sinα的值为（）A．3B．12-C3D．12【答案】C【解析】因为角α的终边与单位圆交于点132P ⎛- ⎝⎭，所以根据三角函数的定义可知，3sin y α== 故选：C ．2．（2022·江西赣州·高一期末）在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin9︒的近似值为（π取近似值3.14）（ ）A ．0.039B ．0.157C ．0.314D ．0.079【答案】B【解析】假设圆的半径为1r =，此圆内接正二十边形等分成20个等腰三角形， 则每个等腰三角形的顶角为18°，选取其中一个小等腰三角形AOB ，过等腰三角形顶点O 向底边AB 作垂线OC ，垂足为C ，延长OC 交圆O 于点D ， 则由三线合一可知：9AOC BOC ∠=∠=︒， 则sin 9AC OA ︒=，其中π20AC AD ≈=，1OA =，所以π 3.14sin 90.1572020︒≈≈=故选：B3．（2022·四川省平昌中学高一阶段练习）如图，角α的终边与单位圆O的交点34(,)55A-，则4cos2sin5cos3sinαααα-=+（）A．203B．23C．45D．203-【答案】A【解析】因为角α的终边与单位圆O的交点34(,)55A-，||1OA=,故43 sin,cos55αα==-，所以344()24cos2sin2055345cos3sin35()355αααα⨯--⨯-==+⨯-+⨯，故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知角α的终边与单位圆交于点1,3P m⎛⎫-⎪⎝⎭，则sinα=（）A．223B．13C．22D．13±【答案】C【解析】在单位圆中，22113m⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得22m=22sinα=.故选：C.5．（2022·江西上饶·高一阶段练习）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为α，则sinαcosα的值为（）A ．15B ．25C 5D 25【答案】B【解析】设直角三角形的短边为x ，一个直角三角形的面积为10020204-=， 小正方形的面积为20，则边长为5大正方形的面积为100，则边长为10. 直角三角形的面积为1(25)20252x x x ⋅+=⇒=则直角三角形的长边为5 故2545sin αα=. 即2sin cos 5αα=.故选：B.6．（2022·北京市第五中学高一期末）在直角坐标系xOy 中，已知43sin ,cos 55αα=-=，那么角α的终边与单位圆O 坐标为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为43sin ,cos 55αα=-=，所以角α的终边与单位圆O 坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选：A7．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知α是第二象限角，则（ ） A ．2α是第一象限角 B ．sin02α>C ．sin 20α<D ．2α是第三或第四象限角【答案】C【解析】∵a 是第二象限角， ∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，即422k k παπππ+<<+，Z k ∈，∴2α是第一象限或第三象限角，故A 错误；由2α是第一象限或第三象限角，sin 02α>或sin 02α<，故B 错误；∵a 是第二象限角， ∴222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴4224k k ππαππ+<<+，Z k ∈，∴2α是第三象限，第四象限角或终边在y 轴非正半轴，sin20α<，故C 正确，D 错误. 故选：C ．8．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P 与原点O 之间距离为r ，比值rx叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=-；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【解析】当甲：5sec 4β=-错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=-，∴丙：3tan 4β=-不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=-，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=-；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=-=-，故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D ． 二、多选题9．（2022·江苏·南京市第一中学高一阶段练习）已知α是第一象限角，则下列结论中正确的是（ ） A ．sin20α> B ．cos20α> C ．cos02α> D ．tan02α>【答案】AD【解析】已知α是第一象限角，∴()π2π2π2k k k α<<+∈Z 由()4π24ππk k k α<<+∈Z ，2α角的终边在一、二象限或y 轴非负半轴上，sin20α>成立，A 正确；cos20α>不一定成立，B 错误； 由()πππ24k k k α<<+∈Z ，2α角的终边在第一象限或第三象限，cos 02α>不一定成立，C 错误；tan 02α>成立， D 正确. 故选：AD ．10．（2022·全国·高一单元测试）下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为32πC ．若角α的终边上有一点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC【解析】选项A 中，75266πππ-=-+，是第二象限角，故A 错误； 选项B 中，设该扇形的半径为r ，则3r ππ⋅=，∴3r =，∴2133232S ππ=⨯⨯=扇形，故B 正确； 选项C 中，()22345r =-+=，cos 53x r α==-，故C 正确； 选项D 中，取30α=︒，则α是锐角，但260α=︒不是钝角，故D 错误． 故选：BC ．11．（2022·辽宁朝阳·高一阶段练习）已知角θ的终边经过点(2,3)--，且θ与α的终边关于x 轴对称，则（ ） A ．21sin θ=B ．α为钝角C ．27cos α= D ．点(tan θ，tan α)在第四象限【答案】ACD【解析】角θ的终边经过点(2,3)--，21sin θ=A 正确． θ与α的终边关于x 轴对称，由题意得α的终边经过点(3)-，α为第二象限角，不一定为钝角，27cos α=，B 错误，C 正确． 因为tan 30，3tan 0α=<，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确．故选：ACD12．（2022·全国·高一）以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标不可能的是（ ） A ．312⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．132⎛ ⎝⎭D ．13,2⎛ ⎝⎭【答案】ABD【解析】以原点为圆心的单位圆上一点P 从()1,0出发，沿逆时针方向运动133π弧长到达点Q ， 则设运动过程中弧长对应的角为α，则133πα=， 根据三角函数的定义可得1313cos ,sin 33Q ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即132Q ⎛ ⎝⎭. 故选：ABD. 三、填空题13．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）角α的终边上有一点()()3,40P a a a ->，则sin α的值为______； 【答案】45【解析】由题意22(3)(4)5OP a a a -+，所以44sin 55a a α==． 故答案为：45．14．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边在射线3(0)y x x =≥上，则角α的正弦值为______，余弦值为______． 【答案】312【解析】设角α的终边与单位圆的交点为(,)P x y ，则221x y +=，又3(0)y x x =≥，∴123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 于是3sin y α==1cos 2x α==,312 15．（2022·全国·高一课时练习）已知角α的终边上有一点()3,P m -，且2sin α=，则m 的值为______． 【答案】5±0 【解析】由题意可知()222sin 43m α==-+，解得5m =±0． 故答案为：5±016．（2022·全国·高一课时练习）若角θ是第四象限角，则sin cos tan sin cos tan y θθθθθθ=++=______． 【答案】－1【解析】因为角θ是第四象限角，所以sin 0θ<，cos 0θ>，tan 0θ<， 所以sin cos tan 1111sin cos tan y θθθθθθ=++=-+-=-． 故答案为：-1.17．（2022·江苏盐城·高一期末）已知角α为第一象限角，其终边上一点(),P x y 满足()()222ln 2ln x y x y -=+，则2cos α-sin α=________． 【答案】1【解析】由题意知，222ln(2)ln()x y x y -=+， 即222(2),,0x y x y x y -=+>， 化简得34x y =，则22223242cos sin 1.916x x x yx x αα--===++ 故答案为：1 四、解答题18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【解析】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-；当a<0时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=．综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.19．（2022·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m ，且满足2sin α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【解析】(1)223m=+，解得0m =或5m =±∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m 5 ∴10sin α=(2)由（1）知0m =或5m =当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-； 当5m =6cos α=，15tan α=cos ta n 615αα=+ 当5m =6cos α=15tan α=cos ta n 615αα=+ 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61561520．（2022·全国·高一课时练习）已知11sin sin αα=-，且lg cos α有意义． (1)试判断角α是第几象限角；(2)若角α的终边上有一点3,5M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且1OM =（O 为坐标原点），求实数m 的值及sin α的值．【解析】（1）∵11sin sin αα=-，∴sin 0α<，∴角α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lg cos α有意义，可知cos 0α>，∴角α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上，角α是第四象限角（2）∵1OM =，∴22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得45m =±．又角α是第四象限角，故0m <，∴45m =-． ∴445sin 15α-==-． 21．（2022·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒；(2)t 15s 25an n 3i 4ππ⎛⎫- ⎝+⎪⎭. 【答案】331 【分析】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；(1)tan405sin450cos750︒-︒+︒()()()tan 36045sin 36090cos 236030=︒+︒-︒+︒+⨯︒+︒33tan 45sin 90cos3011=︒-︒+︒=-= (2)t 15s 25an n 3i 4ππ⎛⎫- ⎝+⎪⎭442tan 3sin 22ππππ⎛⎫+⨯+⎪⎛⎫=⎪-⨯⎝⎭ ⎝⎭3sin4tan ππ+= 31=。
三角函数的基本概念和性质
三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、信号处理等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本概念三角函数是以单位圆上的点的坐标值为基础定义的。
单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
对于单位圆上的点P(x,y)，其中x和y 分别为点P的横坐标和纵坐标，定义三角函数的基本比值为：正弦函数（sine）：sinθ = y余弦函数（cosine）：cosθ = x正切函数（tangent）：tanθ = y/x其中，θ表示单位圆上点P与x轴正半轴的夹角。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，即在一个周期内的函数值是重复的。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
周期性使得三角函数在处理周期性现象时非常有用。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
奇偶性质在简化计算和证明中起到了重要作用。
3. 诱导公式：三角函数存在一系列的诱导公式，可以用来简化函数的表示。
例如，sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ等。
这些公式常用于展开三角函数的乘积或和差形式。
4. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像为连续的曲线，呈现周期性的起伏；正切函数的图像由一系列的无穷多个断点和渐近线组成。
图像能够帮助我们直观地理解三角函数的性质。
三、三角函数的应用1. 几何学上，三角函数可用于解决各种三角形问题，如求解角度、边长、面积等。
例如，利用正弦函数可以求解不直角三角形的任意一边；利用余弦函数可以求解直角三角形的角度。
2. 物理学中，三角函数广泛应用于描述周期性的运动。
例如，调和运动的位移可以用正弦函数或余弦函数表示。
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5.2 三角函数的概念A 组-[应知应会]1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则cos α=（ ）A ．12B C D ．12±【参考答案】B【解析】由于1,r OP x ===,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ．2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【参考答案】C【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C.3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+C ．cos tan αα-D ．sin tan αα-【参考答案】B【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项.【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ∆∆,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B.4．若角α的终边经过点()()sin 780,cos 330P ︒-︒,则sin α=（ ）A B ．12C D ．1【参考答案】C【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值.【解析】因为()sin 780sin 236060sin 60︒=⨯︒+︒=︒=()()cos 330cos 36030cos30-︒=-︒+︒=︒=,所以22P ⎛ ⎝⎭,所以sin α=故选C. 5．（2019·江苏崇川·南通一中高一期中）已知()P y 为角β的终边上的一点,且sin β=则2222sin sin cos βββ=-（ ） A ．12± B ．211-CD ．2±【参考答案】B【分析】利用三角函数的定义列方程,解方程求得y 的值,进而求得tan β的值,将所求表达式转化为只含tan β的形式,由此求得表达式的值.【解析】因为r ==解得12y =或12y (舍去),所以1tan 6β==-,所以222222222sin 2tan 2sin cos tan 1111βββββ⎛⨯ ⎝⎭===---⎛- ⎝⎭,故选B. 6．已知1sin 1cos 3x x +=-,则cos sin 1xx -的值为（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．3-【参考答案】A【分析】令cos sin 1x t x =-,利用1sin sin 11cos cos x x x x +-⋅=-列方程,解方程求得t 的值,也即求得cos sin 1xx -的值.【解析】令cos sin 1x t x =-,则1sin sin 1111cos cos 33x x x x t t +-⋅=-⋅=-,∴22sin 11cos 3x x t-=-,∴113t =,∴13t =.故选A. 7．（2019·涟水县第一中学高一月考）下列说法中正确的有（ ） A ．正角的正弦值是正的,负角的正弦值是负的,零角的正弦值是零B ．若三角形的两内角,αβ满足sin cos 0αβ⋅<,则此三角形必为钝角三角形C ．对任意的角α,都有sin cos sin cos αααα+=+D ．对任意角,2k k Z παα⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭,都有11tan tan tan tan αααα+=+ 【参考答案】BD【分析】对于选项A,利用正角和负角的正弦值都可正、可负判断得解；对于选项B,分析得到cos 0β<,得到三角形是钝角三角形；对于选项C, 当sin α,cos α异号时,等式不成立；对于选项D,根据tan α,1tan α的符号相同判断得解. 【解析】对于A,正角和负角的正弦值都可正、可负,故A 错误；对于B,∵sin cos 0αβ⋅<,(),0,αβπ∈,∴sin 0α>,cos 0β<,即,2πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,∴三角形必为钝角三角形,故B 正确； 对于C,当sin α,cos α异号时,等式不成立,故C 错误；对于D,∵tan α,1tan α的符号相同,∴11tan tan tan tan αααα+=+,故D 正确.因此正确的有B,D. 故选BD8．已知1sin 4α=,且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2sin 2cos αα-=________. 【参考答案】138-【分析】先利用同角三角函数的基本关系式求得cos α的值,进而求得表达式的值.【解析】由已知得cos 4α==-,所以22113sin 2cos 248αα⎛-=-⨯=- ⎝⎭. 故填：138-. 9．化简（α为第二象限角）=_________.【参考答案】tan α【分析】利用同角三角函数的基本关系式,结合角α终边所在象限进行化简.【解析】原式=11sin cos cos ααα+=+-tan α=.故填：tan α.10．已知cos cos θθ=-且0tan θ<,则代数式()sin cos lg θθ-_______0.（填“＞”“＜”） 【参考答案】>【分析】根据题目已知条件判断出θ终边所在现象,由此求得sin cos 1θθ->,进而判断出所填写的不等号. 【解析】由|cos |cos θθ=-,得0cos θ≤,又∵tan 0θ<,角θ的终边在第二象限,即π2ππ2π2k k θ+<<+,ππ3π2π2π444k k θ+<-<+,∴(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭,∴lg(sin cos )0θθ->. 故填：>.11．若sin 2cos αα-=,则2tan 1α-=________.【参考答案】34-【分析】将sin 2cos αα-=,由此求得tan α的值,进而求得所求表达式的值.【解析】将sin 2cos αα-=()2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos αααααα-+=+,所以224sin 4sin cos cos 0αααα++=,所以24tan 4tan 10αα++=,所以2(2tan 1)0α+=,解得1tan 2α=-,所以2213tan 1124α⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭.故填：34-. 12．已知3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,4=,则sin cos 2sin cos αααα-=+_______. 【参考答案】15【分析】根据同角三角函数基本关系,先得到sin cos sin cos 4cos ααααα++-=,结合题中条件,进而得到sin 2cos αα=,代入所求式子,即可得出结果.【解析】()212sin cos sin cos αααα+=+,()212sin cos sin cos αααα-=-,cos sin αα=+sin cos αα=-.又3,44ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭,sin cos 0αα∴+>,sin cos 0αα->. 由题意,得()()sin cos sin cos 4cos ααααα++-=,sin 2cos αα∴=.sin cos 2cos cos 12sin cos 4cos cos 5αααααααα--∴==++.故参考答案为1513．已知tan α＝－12,求2212sin cos sin cos αααα+-的值． 【分析】由sin tan αcos αα=,及22sin ?1cos αα+=,将要求的式子分子分母同时除以cos α即可. 【解析】原式＝()222sin cos sin cos αααα+-＝sin cos sin cos αααα+-＝tan 1tan 1αα+-＝112112-+--＝－13.14．已知11|sin |sin αα=-,且lg(cos )α有意义.（1）试判断角α所在的象限；（2）若角α的终边上一点3,5M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且||1OM = (O 为坐标原点),求m 的值及sin α的值.【分析】（1）由条件可分别判断sin ,cos αα的正负,即可判断α所在的象限；（2）由||1OM =可得22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再由α是第四象限角可判断0m <,即可求出m ,根据定义可求出sin α. 【解析】（1）由11|sin |sin αα=-,得sin 0α<,由lg(cos )α有意义,可知cos 0α>, 所以α是第四象限角；（2）因为||1OM =,所以22315m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,解得45m =±, 又因为α是第四象限角,所以0m <, 从而45m =-, 445sin ||15y m r OM α-====-.15．（2019·安徽金安·六安一中高一月考）sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,求m 及α的值.【分析】由sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根,得sin cos m αα+=,21sin cos 4m αα-=,利用三角函数的基本关系式,得到m =进而得到sin cos αα+,即可求解m 及α的值.【解析】sin α,cos α为方程244210x mx m -+-=的两个实根2210m m ∴-+≥且sin cos m αα+=,21sin cos 4m αα-=,代入()2sin cos 12sin ?cos αααα+=+,得m =,又,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.21sin ?cos 04m αα-∴=<,1sin cos 2m αα+==,sin α=∴,1cos 2α=,又,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭,3πα∴=-,12m ∴=,3πα=-.16．已知角α的终边经过点(,P x ,（0x ≠）,且cos x α=,求cos sin sin ααα+的值【分析】根据三角函数的定义以及cos 6x α=可解得x ,再根据三角函数的定义求出正弦值,代入可得.【解析】∵(,P x （0x ≠）,∴点P 到坐标原点的距离r =.又cosx α=,x =,∵0x ≠,210x =,∴x r ==当x =时,点P 的坐标为,由三角函数的定义,得cos sin sin ααα====∴cos sin sin 66ααα+=-=-；当x =时,同理,可求得cos sin sin 6ααα+=.综上,cos sin sin ααα+的值为17．求证： （1）2212sin cos 1tan cos sin 1tan x x xx x x；（2）2222tan sin tan sin αααα-=；（3）22(cos 1)sin 22cos βββ-+=-；（4）4422sin cos 12sin cos x x x x +=-.【分析】根据同角三角函数式关系,结合齐次式的化简即可证明. 【解析】（1）证明:根据同角三角函数关系式,化简等式左边可得2212sin cos cos sin x x x x ()2222sin cos 2sin cos cos sin x x x xx x+-=-2(cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x x x x -=+- cos sin 1tan cos sin 1tan x x xx x x--==++而右边1tan 1tan xx-=+所以原式得证.（2）证明:根据同角三角函数关系式,可得22tan sin αα-222sin sin cos ααα=-()222sin 1cos cos ααα-=22tan sin αα=⋅ 而右边22tan sin αα=⋅ 原式得证.（3）证明: 22(cos 1)sin ββ-+22cos 2cos 1sin βββ=-++22cos β=-而右边22cos β=-原式得证（4）证明:由同角三角函数关系式可知44sin cos x x +442222sin cos 2sin cos 2sin cos x x x x x x =++-()22222sin cos 2sin cos x x x x =+-2212sin cos x x =-而右边2212sin cos x x =- 原式得证18．已知34πθπ<<,110tan .tan θ3θ+=- （1）求tan θ的值；。