数字信号处理试题选讲C

H（3）到 H（13）都为零，H（14）=1-j，H（15）=-3+j 3 ，试画出滤波器的频率采样 结构，设修正半径 r=1（即不修正极点位置）。
12
z −1
−3− j 3
x(n)
1/16
W −1 16
z −1
1+j
y(n)
− z − 16
W −2 16
W −14 16
W −15 16
z −1
1−j
π2 －(ωc + B)
2π ωc
∫ ∫ = 1 −ωc
e ω d jω (n−α） + 1 e dω (ωc + B) jω (n−α）
π2 －(ωc + B)
2π ωc
=
2πj
(
1 n
−
α）[e
−
jω
c
(
n
−α）−
e + − j(ωc + B )(n−α）
e − j(ωc + B)(n−α）
e ] jωc (n−α）
1、
已知
H (z)
=
(1 −
0.19 0.9z)(1 −
0.9 z −1 )
，讨论关于
h(n)
的各种可能的情况，并指出哪种情
况下系统为因果系统。
答： ① z < 0.9 时， h(n) = (0.9−n − 0.9n )u(−n −1) ；
② 0.9 < z < 0.9−1 时， h(n) = 0.9 n ； ③ 0.9 < z 时， h(n) = (0.9n − 0.9−n )u(n) ，此时系统为因果系统。
１０、利用脉冲响应不变法由一个通带为 2π (300) ≤ Ω ≤ 2π (600) 的理想带通模拟滤波器
设计出一个通带为 π ≤ ω ≤ π 的理想带通数字滤波器，则满足设计要求的 T = 0.4167 ms
4
2
（保留四位小数）。
二、 选择题（每题 3 分，共 6 题）
1、 若系统稳定，其系统函数 H (Z ) 的收敛域一定包括C。
。
X (k)
=
− j 1πk
e4
sin( 16 π
k)
sin( k)
16
k = 0,1,L15 。
４、通过窗函数截取有限长序列，截取长度N一定时，只能以降低 谱分辨率 为代价，换取 谱间干扰的减小。
±N
５、WN 4
＝____( m
j)
６、影响FFT的变换速度有（采样点数，数据的存储，运算器件速度）
７、流图形成其转置结构需改变（流图中所有支路信号的流向，并保持支路增益不变），并
分别求 DFT[xe (n)] 和 DFT[xo (n)] ；
③ 求 X (k) 的共轭对称分量 X e (k) 和共轭反对称分量 X o (k) 。
解：①
x(n)
= [cos(2π N
mn)
+
sin( 2π N
mn)]RN (n) ；
②
DFT[
xe
(n)]
=
⎧N /
⎨ ⎩
0
2
k = m, k = N − m
数字信号处理选讲 C
一、 填空题（每题 2 分，共 10 题）
1、 序列 x(n) = a n ，其中 a
••
< 1 ，则 X (Z ) 的收敛域为 a
<
Z
<
1
。
a
2、
x(n)
=
(1)nu(n) ，则 FT[x(n)] 3
=
3 3 − e− jω
。
5π
３、
x(n)
=
R5 (n) ，变换区间
N
= 16 ，则
６、关于IIR滤波器和FIR滤波器的比较，其中关于IIR滤波器的特点描述 C 是不正确的。 A.IIR 滤波器可以用较低的阶数获得高的选择性 B.IIR 滤波器对计算工具要求不高 C.IIR 滤波器可以保证线性相位 D.IIR 滤波器可以借助于模拟滤波器的成果
三、 分析问答题（每题 5 分，共 2 题）
，设 T
=
0.2s
，
用双线性变换法将 Ha (s) 转换为数字滤波器系统函数 H (z) 。
解：H (z) =
H (s) a
s
=10
1− 1+
z z
−1 −1
=
2 + 4z−1 + 2z−2 91 − 88z−1 + 21z−2
=
0.0219 + 0.0439z−1 + 0.0219z−2 1 − 0.9670z−1 + 0.2308z−2
=
1 π（n −
α）{sin[(ωc
+
B（) n
−
α
)]
−
sin[ω（c n
−
α
)]}
（2）
h(n)
=
hd
(n)RN
(n)
=
⎨⎧δ ⎩
(n
−
α
)
−
sin[ω（c n − α π（n − α )
)]
⎫ ⎬ ⎭
RN
(n)
α = N −1 2
４、已知模拟滤波器传输函数为 Ha (s)
=
s2
+
4 7s
+ 12
B. x(n) = anu(n)
D. x(n) = cos(ωn)u(n)
D. Ωs < 2Ωc C. x(n) = sin(ωn)u(n)
4、 有 限 长 序 列 x(n), 0 ≤ n ≤ N −1 ， ZT[x(n)] = X (Z ) ， FT[x(n)] = X (e jω ) ，
DFT[x(n)] = X (k) ，以下说法中 D 是不正确的。
z −1
−3+ j 3
z −1
五、 计算证明题（每题 9 分，共 4 题）
1、
已知
x(n)
的Ｎ点 DFT
为：
X (k)
=
⎧ ⎪ ⎨
N 2
N 2
(1 − (1 +
j) j)
⎪⎩ 0
式中， m, N 是正的整常数， 0 < m < N / 2 。
k =m k = N −m，
其它k
① 求 x(n) ；
② 设 xe (n) 和 xo (n) 为 x(n) 的共轭对称分量和共轭反对称分量，
四、 画图题（每题 8 分，共 2 题）
1、 已知线性时不变因果2 +
1 4
，定性画出幅频特性
H (e jω )
（ω
的范围是
0 − 2π ）。
解:
│H(ejω)│
0 π/2 π 3π/2 2π ω ２、已知 FIR 滤波器的 16 个频率采样值为 H（0）=12，H（1）=-3-j 3 ，H（2）=1+j
2、 从模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器时，将 Ha (s) 转换成 H (z) 的转换关系必须满足哪些
要求？为什么？
答：①转换关系应使 s 平面左半平面映射 z 平面的单位圆内部，从而保证因果稳定的模 拟滤波器转换成数字滤波器后仍是因果稳定的；
②转换关系应使 s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆上，从而保证数字滤波器的频响 能模仿模拟滤波器的频响。
N −1
W k(n+n') N
k =0
=
⎧N,n + n'=
⎨ ⎩
0, 其它
Nl
N −1
∑ 所以 x1(n) = Nx(−n + Nl) = Nx((−n))N RN (n) n'=0
３、用矩形窗函数设计一线性相位带通滤波器，逼近滤波器传输函数 H d (e jω ) 为
H d (e jω ) =
⎧ e− jwα , ⎩⎨0, ω
将输入和输出互换位置。
８、设有一连续时间带限信号，它的最高频率为 2.5KHz,先采用 FFT 对其做谱分析，要求分
辨率不超过 5Hz，至少要取（1024）点才能满足要求。
N
∑ bi z−i
９、IIR系统 H (z) =
i=0 N
用直接Ⅰ型结构实现共需 2N 个延时单元。
∑ 1 − ak z−k
K =1
A. X (k) 是 X (Z ) 在单位圆上的 N 点等间隔采样
B. X (k) 是 X (e jω ) 在[0, 2π ] 上的 N 点等间隔采样
C. X (e jω ) 是单位圆上的 X (Z )
D. X (Z ) 是[0, 2π ] 上的 X (e jω )
５、下面关于 IIR 滤波器和 FIR 滤波器错误的说法是 (BD) A IIR 滤波器一般具有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算 B FIR 滤波器一般具有有效的封闭形式的设计公式可供准确计算 C IIR 滤波器适合对线性相位要求不高的场合 D FIR 滤波器适合对线性相位要求不高的场合
，
其它k
DFT
[
xo
(n)]
=
⎧−
⎪ ⎨
j
j
N 2
N 2
⎪⎩ 0
k=m k =N −m ；
其它k
③ 因为 x(n) 是实序列， X e (k) = X (k) ， Xo (k) = 0 。
２、令 X(k)表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT, X(k)本身也是一个 N 点序列。如果计算 X(k)
的离散傅立叶变换得另一序列 x1(n) ，试用 x(n) 表示 x1(n) 。
解：
N −1
N −1 N −1