由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2

()2

3

f π

=-

，则(0)f =（ ） （A ）23-

(B) 23 (C)－ 12 (D) 1

2

2π

3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为

＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称，

所以f(2π3

)

＝－f(π2)＝23.

如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫

⎪⎝⎭

，0中心对称，那么||ϕ的最小值 为（ ） （A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π

【解析】选A.

函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫

⎪⎝⎭

，0中心对称

4232k ππφπ∴⋅

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

π

φ=. 已知函数y=sin （ωx+ϕ）（ω>0, -π≤ϕ<π）的图像如图所示，则 ϕ=________________

【解析】由图可知，

()544,,2,1255T x πωπϕ⎛⎫

=

∴=+ ⎪⎝⎭

把代入y=sin 有： 89,510ππϕϕ⎛⎫

+∴= ⎪⎝⎭

1=sin

已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712

f π

⎛⎫

=

⎪⎝⎭

。

【解析】由图象知最小正周期T ＝

32（445ππ-）＝

32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4

π时，f （x ）＝0，即2φπ

+⨯

4

3sin(）＝0，可得4

π

φ=

，所以，712f π

⎛⎫

=

⎪

⎝⎭

2)41273sin(ππ+⨯＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02

A π

ωϕ>><<

）的图象与x 轴的

交点中，相邻两个交点之间的距离为2

π

，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.

(Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[

,]122

x ππ

∈，求()f x 的值域.

【解析】（1）由最低点为2(,2)3

M π

-得A=2.

由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2

π

，即T π=，222T ππωπ===

由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ

ϕϕ⨯+=-+=-即sin(

故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126

k πϕπ∴=- 又(0,

),,()2sin(2)266f x x π

ππ

ϕϕ∈∴=

=+故

（2）7[,],2[,]122636x x πππππ

∈∴+∈

当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266

x ππ+=

即2

x π

=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4

π

)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( )

A.向右平移

4π B.向左平移4

π

C.向右平移

12π D.向左平移12

π 分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或

图象，此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且须x 的系数相同.

解：∵y ＝cos(3x ＋4π)＝sin(4π－3x )＝sin ［－3(x －12π)］ ∴由y ＝sin ［－3(x -12π)］向左平移12

π

才能得到y ＝sin(－3x )的图象.

答案：D

4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移

3

π

，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )

A.y ＝sin(2x ＋

3π) B.y ＝sin(2x －3π) C.y ＝sin(2x ＋32π) D.y ＝sin(2x －3

2π

)

分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法.

解：y ＝f (x )可由y ＝sin x ，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2，得y =sin2x ;再沿x 轴向左平移3π得y ＝sin2(x ＋3π)，即f (x )＝sin(2x ＋3

2π).

若函数f (x )＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－

8

π

对称，则a ＝–1. 分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.

解：∵x 1＝0，x 2＝－4π是定义域中关于x ＝－8

π

对称的两点 ∴f (0)＝f (－

4

π) 即0＋a ＝sin(－2π)＋a cos(－2

π) ∴a ＝－1

若对任意实数a ，函数y ＝5sin(

312+k πx －6π)(k ∈Ｎ)在区间［a ，a ＋3］上的值4

5

出

现不少于4次且不多于8次，则k 的值是( )

A.2

B.4

C.3或4

D.2或3

分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：先求出与k 相关的周期T 的取值范围，再求k .

解：∵T ＝

3)3(,1

26

3

122=-++=+a a k k ππ