高等代数教案第9章二次型
《高等代数》二次型
1
c1
S
0
0 1
d1
1
T
cr
1
1
0
0
1
dr
1
1
这里 ci , di 分别表示复数 ci , di 的一个平方根.
那么 S S, T T，而
SPAPS
T
QBQT
Ir O
O O
二次型（1）定义了一个函数 型也叫n 个变量的二次型.
q 所: F以nn元F二. 次
在（1）中令 aij a ji (1 i, j n因) . 为 xi x j 所x以j xi , （1）式可以写成以下形式：
nn
（2） q( x1, x2 ,, xn )
aij xi x j , aij a ji
实二次型的惯性定律.
复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型 和实二次型.
9.2.1 复二次型的典范形
定理9. 2. 1 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分 且必要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价 的充分且必要条件是它们有相同的秩.
证 显然只要证明第一个论断. 条件的必要性是明显的. 我们只要证条件的充
9.1.2 线性变换
如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：
n
（4） xi pi j y j , i 1,2,, n, pij F (1 i, j n)
i 1
那么就得到一个关于 y1, y2 ,, yn 的二次型
q( y1, y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
性变换将 q 变为 q，则B与A 合同. 反之，设B与A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B PAP. 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q.
高等代数 二次型PPT课件
y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
也就是要使CT AC成为对角矩阵.
11
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由 于 对 任 意 的 实 对 称 矩阵A, 总 有 正 交 矩 阵P ,
使 P1 AP ,即 PT AP .把此结论应用于二次
型,有
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
15
第15页/共32页
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
i 1,2,3,
1 3 2 5 Fra bibliotek2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 3
0
5
45
所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
16
它的顺序主子式
5 2 4
5 0,
52 1 0,
2
1 2 1 0,
21
4 2 5
故上述二次型是正定的.
第九章 二次型
第九章 二次型在解析几何中，一个有心二次曲线的中心与坐标原点重合时，它的一般方程是.222f cy bxy ax =++ （1）为便于讨论二次曲线性质，我们进行坐标轴的旋转变换（可逆的线性替换）：⎩⎨⎧'+'='-'=.cos sin ,sin cos θθθθy x y y x x （2） 把（1）化为.22f y c x a =''+'' （3）式（1）与（3）右端常数项f 是一样的，左端都是二次齐次多项式，但通过线性替换把二次齐次多项式化简. 二次齐次多项式不仅在集合中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常碰到，这一章主要讨论它的一些最基本的性质.§1 二次型及其矩阵一，二次型及它的矩阵定义1 数域P 上n 元二次齐次多项式22112211121),,,(n nn n x b x x b x b x x x f +++= （1）（其中j i n j i P b ij ≤=∈,,,2,1,, ），称为P 上n 元二次型或简称二次型.例如，2113)(x x f =是一元二次型，22212121562),(x x x x x x f +-=是二元二次型，23312121321225),,(x x x x x x x x x f ++-=是三元二次型.每一个二次型都可用矩阵的形式来表示，壁如，二次型22212121562),(x x x x x x f +-= （2）可用矩阵表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121215602),(),(x x x x x x f （3）（2）也可写成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=212122322121215332),(5332),(x x x x x x x x x x x x f （4）（4）中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--5332是对称矩阵，且对于二次型（2），这个对称矩阵是唯一确定的.因此二次型（2）均用矩阵形式（4）表示. 我们令,21⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x x X =A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5332， 则A 是对称矩阵，且（2）可写成矩阵形式：AX X x x f '=),(21.由这个例子不难看出，任何一个二次型都可用矩阵的形式表示，即AX X x x x f n '=),,,(21 ，其中A 是对称矩阵且是唯一确定的.我们容易得出同一个n 元二次型的三种写法：1）2212111121211222232322(,,,)2222n n n n n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x =+++++++2nn n a x ++ ； （5）2）j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,( ， （6）其中ij a =);,,2,1,(,n j i a ji =3）AX X x x x f n '=),,,(21 ， （7） 其中A 是n 阶对称矩阵且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n x x x X a a a a a a a a a A21212222111211,.定义2 （7）中对称矩阵A 称为二次型AX X '的矩阵.例如，二次型（2）的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--5332.矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0210203213200201所对应的二次型为 .42624),,,(4342322231214321x x x x x x x x x x x x x x f +++++=二， 可逆的线性替换与矩阵的合同定义 3. 设n n y y y x x x ,,,,,,2121 和是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 （8） 称为由n n y y y x x x ,,,,,,2121 到的一个线性替换，系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c c c c cc c c C212222111211 称为替换矩阵，当替换矩阵C 可逆时，则称(8)为可逆的线性替换（或非退化线性替换）.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121,则（8）可写成CY X = （9）二次型经过可逆线性替换后还是二次型，而二次型的矩阵有什么变化呢？我们有定理1 二次型（7）经过可逆线性替换（9）变为二次型BY Y '，其中AC C B '= 证明：12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C AC Y ''''===.C AC '容易看出是对称的事实上10C AC C A C C AC '''''==（），（）1B C AC Y BY ''=因此是二次型的矩阵，即定理得证定义4：设,A B 是数域P 上两个n 阶矩阵，若存在P 上一n 阶可逆矩阵C ,使得B C AC '= (11)则称A 与B 合同.下面讨论矩阵合同的简单性质：性质1：与对称矩阵合同的矩阵必对称. 由于（11）中C 是可逆的，于是有 性质2：合同的矩阵具有相同的秩. 性质3：合同关系满足（1）反射性：任一n 阶矩阵都与自身合同()A I AI '=;（2） 对称性：若A 与B 合同，则B 与A 合同（由B C AC '=即得11()A C BC --'=）; （3） 传递性：若A 与B 合同，B 与C 合同，则A 与C 合同（由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()A C C AC C '=）.定义5：数域P 上两个二次型f 与g 等价指的是存在一个系数属于P 的可逆线性替换把f 变为g .定理2：数域P 上两个二次型等价充分必要条件是两个二次型的矩阵合同§2 二次型的标准形本节具体讨论如何用可逆线性替换化简二次型.二次型最简单的一种是只含平方项的二次型（即平方和），它称为二次型的标准形.例1二次型23322231212132158222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准型. 解：采用配方法，先把含有1x 的项配方,得22222123112323232233(,,)2()()()285f x x x x x x x x x x x x x x x =++++-++++2221232233()64,x x x x x x x =+++++再对2x 配方有222222212312322333123233(,,)()2(3)(3)5()(3)5,f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++-令1123223333y x x x y x x y x =++=+=即,100310111321321QX x x x y y y Y =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 原二次型化为,5232221y y y -+这就是标准形. 下面讨论利用矩阵来化简二次型. 例1中二次型）（321,,x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=541421111A ， 它的标准形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=500010001B合同，若我们把矩阵A 化为与它合同的矩阵，称为对A 施行合同变换，则二次型为标准形的问题，相当于用合同变换化对称矩阵为对角形的问题.引理：一对同类型的行和列初等变换是合同变换；反之，一个合同变换总可分解为若干对同类型的行和列的初等变换.证明：设A 是一个n 阶矩阵，令1[,][,]I i j AI i j B =2[()][()]I i k AI i k B = 3[()][()]I j k i AI i k j B ++=由[,][,],[()][()],[()][()]I i j I i j I i k I i k I i k j I j k i '''==+=+知，对A 作行与列同型成对的初等变换所得的矩阵123,,B B B 都与A 合同.反之，设A 合同于B ，即存在可逆矩阵C ，使C AC B '=.因C 可逆，由第四章§3定理3知C 可写成若干初等矩阵12,,,s E E E 的乘积12s C E E E = ,因而2112s s C AC E E E AE E E B ''''==即由A 到B 的合同变换可分解为s 对同类型行和列的初等变换.定理1：设P 上n 阶对称矩阵A 的秩为k ，那么存在P 上可逆矩阵C 使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0021km m m AC C 当0k >时，),,2,1(0k i m i =≠.证明：若0A =，这时A 已是对角形且,0)(=A r 则取C I =，定理成立.现设0,A ≠并对A 的阶数用数学归纳法证明： （1） 1n =，结论显然成立；（2） 设定理对1n -阶矩阵成立，我们考察n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=.下面分两种情况考察：1 设A 的对角线元素不全为零。
高等代数正定二次型
g(k1, k2, · · · , kn) = f(c1, c2, · · · , cn) > 0.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定二次型与非退化线性替换
因为二次型 (3) 也可以经非退化线性替换 Y = C−1X
是正定的当且仅当 di > 0, i = 1, 2, · · · , n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
正定二次型与非退化线性替换
设实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
n = 1 时，1 级矩阵 (a)，已知 a > 0，从而 (a) 正定.
假设对于 n − 1 级实对称阵命题为真. 现在来看 n 级实对称矩阵
A = (aij). 把 A 写成分块矩阵：
(
)
A = An−1 α ,
(6)
α′ ann
其中 An−1 是 n − 1 级实对称矩阵. 显然 An−1 的所有顺序主子
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
aijxixj = X′AX
i=1 j=1
是正定的充分必要条件为矩阵 A 的顺序主子式全大于零.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
正定矩阵
定理 实二次型
∑n ∑n
f(x1, x2, · · · , xn) =
(2021年整理)高等代数教案北大版第九章
绩进步，以下为高等代数教案北大版第九章的全部内容。
教学时数2授课类型讲授教学目标使学生理解、基本掌握欧几里得空间的定义及其度量性概念，基本掌握n维欧几里得空间的内积表示教学重点Euclid空间的内积及其度量性结论教学难点n维Euclid空间的内积规律教学方法与手段讲授法启发式一、定义与例子大家知道，几何空间V3中两个非零向量α，β的内积是实数α•β=|α||β|cos，这里｜α|,｜β|分别表示向量α,β的长,表示α与β的夹角；当α和β中有一个是零向量时，就定义α·β=0．于是，向量的内积具有下列性质：α•β=α•β；(α+β)•γ=α•γ+β•γ；(kα）•β=k(α•β）；当α≠0时，α•α＞0,这里α，β,γV3，k∈R．再作分析，可知这些性质足以刻画内积的概念．因此，将其一般化，引入定义1设V是实数域R上的一个向量空间．若对于α，β∈V,有一个确定的记作<α,β〉的实数与它们对应,叫做向量α与β的内积；并且对于α，β，γ∈V，k∈R，满足下列条件：1）〈α，β>=〈β,α>;2）〈α+β,γ>=〈α，γ>+ <β,γ〉；3）<kα，β>=k 〈α,β〉；4）当α≠时，〈α，α〉＞0,则称V关于这个内积是一个Euclid空间．例1在R n里，对于任意两个向量α=(x1，x2，…,x n），β=（y1，y2，…，y n)，规定〈α，β〉=x1y1+x2y2+…+x n y n．（1）容易验证，定义1中的公理1)－4）都成立，因而R n关于这样定义的内积是一个Euclid空间．又若规定〈α,β〉=x1y1+2x2y2+…+nx n y n．不难验证,这时R n也作成一个Euclid空间．这个例子表明，对同一个向量空间可以引入不同的内积，使它们分别作成Euclid空间．因此，以后说到Euclid空间R n时，都是关于前面的内积(称为标准内积）所作成的Euclid空间．例2在实向量空间R nxm中规定〈A,B>=Tr AB．容易验证它满足定义1的四条公理,因此R nxm关于这个内积成为一个nm维Euclid空间．例3设C[a，b］是定义在［a，b]上一切连续实函数所成的向量空间．设f(x),g（x)∈C［a,b］，规定〈f , g〉=⎰badxxgxf)()(．根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)－4）都成立,因而C ［a，b］作成一个Euclid空间．例4令H是一切平方和收敛的实数列α=( x1，x2,…）,∑∞=12nnx＜∞所成的集合．在H中用自然的方式定义加法和纯量与向量的乘法：设α=（ x1，x2,…），β=( y1，y2，…），k∈R．规定α+β=（x1+y1，x2+y2，…); kα=(kx1,kx2，…）则H是实向量空间．又规定<α，β〉=∑∞=1nnny x，则H是一个Euclid 空间．首先需要验证以上定义的加法和纯量与向量的乘法以及内积的合理性．由基本不等式|x n y n |≤)(2122n n y x +推出,级数∑∞=1n n n y x 收敛．其次,等式∑∑===m n nmn n x kkx 12212)(，∑∑∑∑====++=+mn nm n n n mn nmn n n y y x x y x 12112122)( 表明，级数∑∞=+12)(n n n y x 和∑∞=12)(n n kx收敛．因此,对于β，α∈H , k ∈R ，α+β∈H ,k α∈H ．剩下待验证定义1的1)4）成立，请同学们思考完成．向量空间H 通常叫做Hilbert 空间．由定义1，我们来推导内积的一些简单性质． 设V 是一个Euclid 空间．由1）及3)得到<,α〉=<α， >=0，αV ．反过来，若对任意β∈V ，都有<α，β>=0，特别地有〈α,α>=0，则由4）得到α=．其次,由1）,2），3)，对于α，β,γ∈V ，k ∈R ，我们有<γ，α+β>=<γ,α〉+<γ，β〉；〈α, k β〉=k <α，β〉． 因此，对于α1，α2，…，αm ，β1，β2，…，βn ∈V ,k 1，k 2，…，k m ，l 1,l 2，…,l n ∈R ，有∑∑∑∑=====m i nj ji j i n j j j m i i i l k l k 1111βαβα，，．二、度量性概念注意到〈α, α〉总是非负实数，因而可以合理地引入向量长度的概念．定义2 设α是Euclid 空间V 的一个向量．非负实数〈α，α>的算术根αα,叫做α的长度,用符号|α|表示，即｜α｜=αα,． （2）这样，Euclid 空间的每一向量都有一个确定的长度．零向量的长度是零，任意非零向量的长度是一个正数．例5 设R n是例1中关于标准内积的Euclid 空间．R n的向量α=（ x 1，x 2，…，x n )的长度是｜α｜=αα，=22221nx x x +++ ． 由长度的定义,对于Euclid 空间中任意向量α和任意实数k ，有|k α|=αααα，，2k k k ==｜k ｜ ｜α|． （3)因此，一个实数k 与一个向量α的乘积的长度等于k 的绝对值与α的长度的乘积．我们把长度是1的向量叫做单位向量．由(2)，若α是一个非零向量，则α/｜α|是一个单位向量，叫做α的单位化向量．下面证明Euclid 空间的一个重要不等式．定理9。
二次型及其标准形教学设计
二次型及其标准形教学设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二次型及其标准形的概念，了解二次型的标准形和规范形之间的转化过程。
2.过程与方法：通过观察、分析和讨论，理解二次型及其标准形的基本性质和特点，掌握求解二次型标准形的方法。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和探究精神，增强学生对数学的理解和应用能力。
二、教学内容1.二次型及其标准形的概念：二次型是一种具有特殊形式的多项式，其标准形是将二次型化为最简形式的过程。
2.二次型的标准形和规范形：标准形是将二次型化为最简形式的过程，规范形则是将二次型化为规范形式的过程。
3.二次型的标准形和规范形的转化：通过线性变换，将二次型化为标准形或规范形，并讨论其性质和特点。
三、教学重点与难点1.重点：二次型的标准形和规范形的概念、性质和特点；二次型的标准形和规范形的转化方法。
2.难点：如何将二次型化为最简形式或规范形式；二次型在不同基下的标准形或规范形的变化。
四、教学策略1.教学方法：采用讲解、讨论和实践相结合的教学方法，通过案例分析、小组讨论和实践活动等方式，帮助学生理解和掌握二次型及其标准形的基本概念和性质。
2.教学手段：利用多媒体教学设备和教学软件，展示二次型及其标准形的实例和转化过程，帮助学生更好地理解和掌握相关内容。
五、教学过程1.导入新课：通过展示一些二次型的实例，引导学生思考二次型的定义和特点，进而引入二次型及其标准形的概念。
2.知识讲解：详细讲解二次型及其标准形的概念、性质和特点，包括二次型的定义、标准形和规范形的概念、性质和特点等。
3.案例分析：通过分析具体的二次型实例，让学生了解如何将二次型化为最简形式或规范形式，并讨论其性质和特点。
4.小组讨论：组织学生进行小组讨论，探讨二次型在不同基下的标准形或规范形的变化，以及如何选择合适的基进行转化。
5.实践活动：设计一些实践题目，让学生亲自动手进行二次型的计算和转化，加深对二次型及其标准形的理解和掌握。
第九章 二次型
2．R上的二次型： 实二次型——实数域上的二次型.
（1） 实二次型等价的充要条件（实对称矩阵合同的充要条 件）.为此：
定理3 设是数域F上一个n 阶对称矩阵,则总存在F上一个n阶可逆矩 阵P使证,即A与对角阵合同.
例：将化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角 型）. 解：（略）P= . 将Th3应用于二次型得：
定理4 设q(x,x,…x)== xAX是数域F上一个n元二次型,则总可以通过 变量替换=. 把它化为,其中P为可逆矩阵.
的等价标准形的化法.
三 教学过程
1．二次型及表示
（1） 定义 数域F上n个文字x,x,…x的一个二次齐次多项式叫做F上n个文
字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以
写成：
q(x,x,…x)=ax+ax+…+ax
+2axx+…+2axx
9.1 二次型
一 教学思考 1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,
但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容 上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理 论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的
同.
合同关系的性质：
1 自反性： A∈M(F),A与A合同.(∵A=).
2 对称性：若A与B合同,则B与A亦合同.事实上:
二次型趣味讲解教案
二次型趣味讲解教案一、教学目标。
1. 了解二次型的定义和性质；2. 掌握二次型的标准形式和矩阵表示法；3. 能够通过变换将二次型化为标准形式；4. 能够利用二次型的性质解决实际问题。
二、教学重点。
1. 二次型的定义和性质；2. 二次型的标准形式和矩阵表示法；3. 通过变换将二次型化为标准形式。
三、教学难点。
1. 二次型的矩阵表示法；2. 利用变换将二次型化为标准形式。
四、教学过程。
1. 导入。
教师可以通过一个生动的例子引入二次型的概念，比如一个抛物线的形状，然后引出二次型的定义和一般形式。
2. 概念讲解。
首先，教师可以给学生讲解二次型的定义和性质，包括对称性、正定性、负定性和半定性等。
然后，介绍二次型的标准形式和矩阵表示法，让学生了解二次型的一般形式是什么样的，以及如何用矩阵表示二次型。
3. 案例分析。
教师可以给学生一些具体的案例，让他们通过变换将二次型化为标准形式，然后求出二次型的最值，让学生通过实际的例子来理解二次型的性质和变换的方法。
4. 练习。
在讲解完理论知识后，教师可以设计一些练习题让学生做，巩固他们对二次型的理解和掌握程度。
可以包括将二次型化为标准形式、求二次型的最值等题目。
5. 拓展。
如果时间允许，教师可以给学生介绍一些二次型在实际问题中的应用，比如在物理、经济等领域中的应用，让学生了解二次型的实际意义。
六、教学反思。
通过本节课的教学，学生能够了解二次型的定义和性质，掌握二次型的标准形式和矩阵表示法，能够通过变换将二次型化为标准形式，并且能够利用二次型的性质解决实际问题。
但是，教师需要引导学生多做一些实际问题的练习，加深他们对二次型的理解和应用能力。
同时，教师还需要关注学生的学习情况，及时发现问题并进行调整。
高等代数 二次型
1 A E ( 1) 0
1 2
1 2 1 0
1 2 2 1
0 1
0 0 2 2 1 ( 1) 2 1
2 2
( 1) ( 2 3) ( 3) ( 1) .
3
于是A的特征值为 1 3, 2 3 4 1. 当 1 3时, 解方程( A 3 E ) x 0,
通过正交变换 X PY , 化成标准形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
17 A E 2 2
2 14 4
2 4 14
18 9
5
a11 a 21 x1 , x 2 ,, x n a n1 a11 a12 a21 a22 记 A a n1 a n 2
a1 n x1 a 22 a 2 n x 2 a n 2 a nn x n a1n x1 a2 n x2 , x , x ann n a12
a ij x i x j .
i , j 1
4
n
2．用矩阵表示 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n x1 ( a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 ( a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n )
高等代数09二次型
定理9.1.3
数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵 合同等价的二次型具有相同的秩
定理9.1.4
设 A (aij) 是数域F上一个阶对称矩阵，总存在F上一个附 非奇异矩阵P，使得
c1 0 c2 P' AP 0 cn
主轴问题
定理9.4.1
设 q ( x1 , x2 , , xn )
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是实数域上一个二次型。那么总可以通过变量的正交变换
x1 y1 x2 y U 2 x y n n
类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互 不行装价。
正定二次型
定理9.3.1
实数域上二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的充分且必要的条件是 它的秩和符号差都等于
定理9.3.2
实二次型
q( x1 , x2 ,, xn ) =
a
i 1 j 1
n
n
ij
xi x j
是正定的，必要且只要它的一切主子式都大于零
2 2 2 化为1 y1 2 y2 n yn，
这里U是一个正交矩阵，而λ1 ,λ2,…， λn∈R是二 次型的矩阵A=(aij)的全部特征根.
定理9.4.2
设 q ( x1 , x2 , , xn )
i 1 n
a
j 1
n
ij
xi x j
是实数域上一个n元二次型，A=(aij )是它的矩阵. (i) 二次型q(x1,x2,……,xn)的秩等于A的不等于零的特征根的个 数，而符号差等于A的正特征根个数与负特征根个数的差。 (ii)二次型q(x1,x2,……,xn)是正定的必要且只要A的所有特征根 都是正数。
二次型教学教案模板范文
一、教学目标1. 知识与技能：掌握二次型的基本概念、性质及运算规则。
2. 过程与方法：通过实际问题引入，培养学生观察、分析、归纳和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养严谨求实的科学态度。
二、教学重难点1. 重点：二次型的概念、性质及运算规则。
2. 难点：灵活运用二次型解决实际问题。
三、教学准备1. 教学课件2. 实际问题案例3. 练习题四、教学过程（一）导入1. 教师通过展示生活中的实际问题，如物体在重力作用下的运动轨迹、弹性力学中的应力等，引导学生思考如何用数学语言描述这些现象。
2. 提出二次型的概念，让学生了解二次型在数学和实际应用中的重要性。
（二）新授1. 讲解二次型的定义、性质及运算规则，结合实例进行说明。
2. 引导学生总结二次型的特点，如对称性、正定性等。
3. 讲解二次型的应用，如最小二乘法、线性规划等。
（三）练习1. 学生独立完成课件中的练习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
（四）课堂小结1. 教师总结本节课的重点内容，强调二次型的概念、性质及运算规则。
2. 强调二次型在实际应用中的重要性，鼓励学生在生活中发现数学问题。
（五）布置作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 结合实际生活，寻找二次型应用的例子，并进行分析。
五、教学反思1. 教师在教学中要注重引导学生思考，激发学生的兴趣。
2. 结合实际问题，让学生体会二次型在数学和实际应用中的价值。
3. 关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行教学，确保每位学生都能掌握二次型的基本知识。
六、教学评价1. 学生能够掌握二次型的概念、性质及运算规则。
2. 学生能够运用二次型解决实际问题。
3. 学生对数学的兴趣和自信心得到提高。
高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
高等代数第九章电子讲稿
高等代数第九章电子讲稿1.12.23.3高等代数第九章电子讲稿2017-08-23 01:36:12 | #1楼(410076)1231.2.1.2.3.§11VRV1)(α,β)=(β,α);2)(kα,β)=k(α,β);3)(α+β,γ)=(α,β)+(α,γ);4)(α,α)≥0,α=0(α,α)=0;α,β,γkV(V)(α,β),1Rnα=(a1,a2,···,an),β=(b1,b2,···,bn),(α,β)=a1b1+a2b2+···anbn.RnRnn=32(f,g)=b[a,b]C(a,b)f(x),g(x)f(x)g(x)dx.C(a,b)aR[x],R[x]n1)2)3)2’(α,kβ)=k(β,α)=k(α,β);3’(α,γ+β)=(γ+β,α)=(β,α)+(γ,α)=(α,β)+(α,γ);4)(α,α)≥0.α,(α,α)2(kα,kα)=α|α|ααα,αα,β<α,β>cos<α,β>=|α||β|(α,β)|≤1α,β-α,βt|(α,β)|≤|α||β|.β=0β=0.γ=α+tβ.t=(α,β)t(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.(β,β)≥0.|(α,β)|≤|α||β|.(α,β)2≤(α,α)(β,β).(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0.αα,β(α,β)22a21+a2+···+an2(|α||β|,0≤<α,β>≤πbag2(x)dx)12-|α+β|≤|α|+|β|.|α+β|2=α⊥β.(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤|α|2+2|α||β|+|β|2=(|α|+|β|)2.|α+β|≤|α|+|β|.4α,β(α,β)=0,α,βπα1,α2,···,αmk1α1+k2α2+···+kmαm=0.ki=0(i=1,2,···,m).αiki(αi,αi)=0.α1,α2,···,αmαi=0,n(αi,αi)>0,n6nnε1,ε2,···,εn(εi,εj)=1,0,i=j;i=j.nnα=(ε1,α)ε1+(ε2,α)ε2+···+xi=(εi,α)(i=1,2,···,n).(εn,α)εn.α=x1ε1+x2ε2+···+xnεn.εiα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+···+ynεn,(α,β)=x1y1+x2y2+···+xnyn=X′Y.1nα1,α2,···,αmnmnm=0α1,α2,···,αmnm=kβ1,β2,···,βk,α1,α2,···,αm,β1,β2,···,βkα1,α2,···,αmnm=k+1m<n,βαm+1=βk1α1k2α2···kmαm.k1,k2,···,km(αi,αm+1)=(β,αi)ki(αi,αi)(i=1,2,···,m).ki=(β,αi)αiαm+12nε1,ε2,···,εnη1,η2,···,ηn,1L(ε1,ε2,···,εi)=L(η1,η2,···,ηi),i=1,2,···,n.ε1,ε2,···,εnη1,η2,···,ηnηi =.η1,η2,···,ηm,ηm+1L(ε1,ε2,···,εm+1)=L(η1,η2,···,ηm+1|ηm).+1|2L(ε1,ε2,···,εi)=L(η1,η2,···,ηi),i=1,2,···,n.η1,η2,···,ηn2α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(1,0,0,1),α4=(1,1,1,1)β1=α1=(1, 1,0,0),βα(α2,β1)2=22,11(ββ(α3,β2)11,β1)3,3,1),β(α4,β1)β(α4,β3)4=α4(β22,β2)√√√√√√1√1√√2,2,ε1,ε2,···,εnAa1ia1j+a2ia2jη1,η2,···,ηn1,+···+anianj=0,ε1,ε2,···,εni=j;i=j.A′A=E,A1=A′.7nAA′A=E.···+ainajn=A′A=EAA′=Eai1aj1+ai2aj2+1,0,i=j;i=j.§38RVV′VV′σ,1)σ(α+β)=σ(α)+σ(β),2)σ(kα)=kσ(α),3)(σ(α),σ(β))=(α,β),α,β∈V,k∈R,σVV′σVV′σVV′VnVε1,ε2,···,εn1)2)Vαα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,σ(α)=(x1,x2,···,xn)∈Rn.V3)RnσσVRnnRnσVV′σ11)2),Vα,β∈V′,(α,β)=(σ(σ1(α)),σ(σ1(β)))=(σ1(α),σ1(β)).σ1V′V′V′σ,τVV′′τσVV′′nRnn3§469VAα,β∈V,(Aα,Aβ)=(α,β).4AnV1)A3)2)Aα∈V,|Aα|=|α|;ε1,ε2,···,εnAε1,Aε2,···,Aεn4)A1)2)A(Aα,Aα)=(α,α).|Aα|=|α|.A(Aα,Aα)=(α,α),(Aβ,Aβ)=(β,β),(A(α+β),A(α+β))=(α+β,α+β),(Aα,Aα)+2(Aα,Aβ)+(Aβ,Aβ)=(α,α)+2(α,β)+(β,β).(Aα,Aβ)=(α,β).A1)3)ε1,ε2,···,εn(εi,εj)=(Aεi,Aεj)=1,0,i=j;i=j.(i,j=1,2,···,n).A1,0,i=j;i=j.(i,j=1,2,···,n).Aε1,Aε2,···,Aεnα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+···+ynεn,···+xnAεn,Aβ=y1Aε1+y2Aε2+···+ynAεn,(α,β)=(x1y1+x2y2+···+xnyn=(Aα,Aβ).Aα=x1Aε1+x2Aε2+A3)4)Aε1,ε2,···,εnA,(Aε1,Aε2,···,Aεn)=(ε1,ε2,···,εn)A.Aε1,Aε2,···,AεnAε1,ε2,···,εnAε1,Aε2,···,AεnAAε1,Aε2,···,Aεn1)2)3)4)AAA′=E,|A|2=1|A|=±1.+11+11ε1,ε2,···,εnAAε1=ε1,Aεi=εi,i=2,···,n.A§5710V2V1,V2Vα∈V1,β∈V2,α,(α,β)=0,β∈V1,V1V2(α,β)=0,αV1α⊥V1.V1⊥V2.V1⊥V2V1∩V2={0};α⊥V1,α∈V1α=0.5V1,V2, (V)V1+V+2+ (V)αi∈Vi,i=1,2,···,s,α1+···+···+αs=0.αi=0.αi(αi,αi)=0.V1αi=0(i=1,2,···,s).V1⊥V2,V1+V2+ (V)11V2V1+V2=V.V2V1V1V26nVV1V,V1={0},V1ε1,ε2,···,εmV1={0}.1Vε1,ε2,···,εm,εm+1,···,εn.V2,V3V1α∈V2,α=α1+α3,(α1+α3,α1)=(α1,α1)+(α3,α1)=(α1,α1)=0,α1∈V1,α3∈V3.α1=0.L(εm+1,···,εn)V=V1V2.V=V1V3.V1α⊥α1(α1,α1)=α∈V3,V1V3V2.V3=V2V2V3.V1⊥.(V1)+(V1⊥)=n.V1⊥V1αV=V1+V1⊥Vαα=α1+α2,α2∈V1⊥.α1V1α1∈V1,§6CC′ACnA,nT′,T′AT=T1AT1AAλ0Ax1x2ξ=···xn8Aξ=λ0ξ.x1xn,Aξ=ξ.ξ′A′ξ=(Ax1x1+Aξ)′ξ,λ0ξξ′λ0ξξ′ξxnxn=0.λ0= n1α1nRn,Aα1,λ1.α1L(α1)V1.3V1An1,A|V1(Aα,β)=(α,Aβ) A|V1n1α2,α3,···,αn V1α1,α2,···,αn TRnAnAx1x2A···xnAx1=Ax2···xnT′ATRnTRnAt22η2=···tn2ε1,ε2,···,εn t12,···,ηn=t2n···tnnη1,η2,···,ηnt1nt11t21η1=···tn1,RnATT1AT=T′ATt11t21T=...tn1t12t22...tn2 ·········t1nt2n...tnn.T1.Aλ1,···,λrA2.λi,Vλiηi1,···,ηiki.x2(λiEA) 0xnx1A3.λ1,···,λr4η11,···,η1k1,···,ηr1,···,ηrkr 7Rn101A=110111A0111|λEA|=1,10ATTT′ATλ11111λ1λ1111λ11100=001λ1λ1λ1010λ111λλ1=λ1λ211(λ1)310011λ=(λ1)3(λ+3).112A1()-3.1λ=1α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α=(1,0,0,1),λx1x2x3+x4=0,x+λx+xx=0,1234x1+x2+λx3x4=0,x1x2x3+λx4=0.-3β1=α1=(1,1,0,0),(α2,β1)1β2=α2, 2(α3,β1)1β1,,1),(β1,β1)3311η=(,,1,0),122112η2=(,,,0),6661113β3=(,,,), 121212121λx1x2x3+x4=0,x+λx+xx=0,1234λ=3x1+x2+λx3x4=0,x1x2x3+λx4=0.11η4=(,),22α4=(1,1,1,1),η1,η2,η3,η4R4T′AT=11173.T=12√016√26112√112√12.12T-1|T|=1.111S=...1.11T1=TS′T1|=|T||S|=1.T1AT1=T′AT.x1=c11y1+c12y2+···+c1nyn,x=cy+cy+···+cy, 22112222nnC=(cij)············xn=cn1y1+cn2y2+···+cnnyn,78222λ1y1+λ2y2+···+λnyn,nni=1j=1aijxixj,aij=aji.λ1,λ2,···,λnAa11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+ 2b2y+2b3z+d=0.aa1211A=a21a22a13a23a33a31a322B′X+d=0.C|C|=1.xb1,X=y,B=b2.zb3xc11c12y=c21c22zc31c32X′AX+c13c23c33λ11C22λ1x21+λ2y1+λ3z1+2b1x1+2b2y1+2b3z1+d=0, C′AC=′X1(C′AC)X1+2(B′C)X1+d=0.x1y1,z1λ2.X=CX1.λ3(b1,b2,b3)=(b1,b2,b3)Cλ1,λ2,λ3λ1,λ2,λ3bx1=x21λ1b2λ3.λ2bz1=x23§7·αβαβ13|αβ|αβd(α,β).1)d(α,β)=d(β,α);2)d(α,β)≥0,α=β3)d(α,β)≤d(α,γ)+d(γ,β)12“.W,α1,α2,···,αkW=L(α1,α2,···,αk).αW,αWαWααi(i=1,2,···,k).β,γWβγW.βWWδ,|βγ|≤|βδ|.βδ=(βγ)+(γδ).Wγ∈W,δ∈W,γδ∈W,βγγδ.|βγ|2+|γδ|2=|βδ|2, |βγ|≤|βδ|yxy(%)x(%)yxb1b2B=.,X= ..bnsa1jxjj=1sx1a2jxjx2j=1,Y=.. ....xssanjxjj=1=AX.|YB|2.00x01,x2, (x)YBYa2sxs...ansa1sa21a22Y=x1.+x2.+···+....an1an2a11a12A.α1,α2,···,αs.L(α1,α2,···,αs).YL(α1,α2,···,αs)Y,BXni=1(ai1x1+ai2x2+···+aisxsbi)2 L(α1,α2,···,αs)L(α1,α2,···,αs)Y=AX=x1α1+x2α2+···+xsαs C=BY=BAXL(α1,α2,···,αs)(C,α1)=(C,α2)=···=(C,αs)=0.′′α′1C=0,α2C=0,···,αsC=0,′′α′1,α2,···,αsA′,A′AA′(BAX)=0,A′AX=A′B.A′B.A′B=0,106.75a+27.3b19.675=0,273.3a+7b5.12=0.A=3.63.73.83.94.04.14.210.90110.900.81,,B=10.60110.5610.351.00a,bA′Aaba=1.05,b=4.81.14高等代数第四章电子讲稿2017-08-23 01:37:55 | #2楼2526§11(),x=x′cosθy′sinθ,y=x′sinθ+y′cosθ.(1)θxcosθ2×2sinθsinθcosθ(2)(2)(1)y+a13z,y=a21x′+a22y′+a23z′,a11a12a13z=a31x′+a32y′+a33z′.a22a23x=a11x′+a12′′(4)(3)a32a332ax2a21a31+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0(5),(5)yxbyc1e(3)a11a21...as14a12a22...as2·········a1na2n...asnaijAiBjnn1×nnn×1A,B,···(aij),(bij),···s×nAsn,Bsn,···(aij),(bij),···.().A=(aij)mn,B=(bij)lkm=ln=k,aij=biji=1,2,···,m,j=1,2,···,nA=B.§211A=(aij)sna11a21=...as1s×nC=(cij)snABC=A+B.b11b12...b1nb21b22...b2na22...a2n,B=(bij)sn=....... ........as2...asnbs1bs2...bsna11+b11a12+b12...a1n+b1na21+b21a2 2+b22...a2n+b2n=(aij+bij)sn=.........as1+bs1as2+bs2...asn+bsna1 2 (1)A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.0sn,0,A,A+0=A.a11a12a21a22......as1a s2·········a1na2n...asnAA,A+(A)=0.AB=A+(B).21sns×naijAiBjs×n(A+B)≤(A)+(B).2x1,x2,x3,x4y1,y2,y3Z1,z2y1,y2,y3(1),(2)x1,x2,x3,x4z1,z223j=1k=123aikbkjzj=(aikbkj)zj(i=1,2,3,4)(3)(2)y2=b21z1+b2 2z2y=bz+bz331132233232xi=aikyk=aik(bkjzj)=aikbkjzj=y1=b11 z1+b12z2x1=a11y1+a12y2+a13y3x=ay+ay+ay2211222233x3= a31y1+a32y2+a33y3x4=a41y1+a42y2+a43y3(1)k=1k=1j=1k=1j =1xi=j=1k=12j=13k=1cijzj(i=1,2,3,4;j=1,2)(4)aikbkj(i=1,2,3,4;j=1,2)(5)x1,x2,x3, x4z1,z2(3),(4),cij=(A=(aij)43,B=(bij)32x1,x2,x3,x4y1,y2,y3y1,y2,y3(5)z1,z2x1,x2,x3,x4z1,z2C=(cij)42CABC=A×B.n2A=(aij)sn,B=(bij)nm,C=(cij)sm,cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbn j=aikbkj(6)ABC=AB.k=1ABCijAiBj110A=110510C=AB=110512130,B=311,141210341256712130311=1026142171012 1312034(6)10AB(1)×0+1×1+3×3+0×(1)=10.x1x2...xn2A=(aij)snn×1s×1X=b1b2,B=...bsAX=B.3a11a21a31a12a22a32a13a23a33,X2=BX3,b11B=b21b311,z1)(x1,yx1x2X1=,X=y12y2,z1z2(x2,y2,z2)A=X1=AX2.b12b22b32b13b23b33x3,X3=y3,z3(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)wjl=mj=1mA=(aij)sn,B=(bij)nm,C=(cij)mr,(AB)C=A(BC).nV=AB=(vik)sm,W=BC=(wjl)nr,vik=aijbjk(i=1,2,···,s;k=1,2,···,m), j=1bjkckl(j=1,2,···,n;l=1,2,···,r).(AB)C=VCVCiillk=1vikcklk=1nmnmn=(aijbjk)ckl=aijbjkcklk=1j=1nm(7),(8).A(BC)=AWAWaijwjl=aij(bjkckl)=j=1k=1k=1j=1nmaijbjkckl(7)(8)j=1k=1ABBAABBA1ABn×n11111111=0000,BA=3×3A=11111111BA1,B=1114×41=112212,AB=,2AB=ACB=C.31,n×n 1001 (00)·········00 (1)n4En,E.AmEm=Am,EmAm=Am.(9)A(B+C)=AB+AC;(10)(B+C)A=AB+CA.(9)(10)n×nAkAl=Ak+l,(AK)l=Akl.A1=A;Ak+1=AkAlAkkAk,l(AB)kAkBk34kka11ka21...kas1ka12ka22...kas2 ·········ka1nka2n...kasnA=(aij)snkkA.k.13)k(lA)=(kl)A;14)1A=A;15)11)(k+l)A=kA+lA;k(AB)=(kA)B=A(kB).12)k(A+B)=kA+kB;(i,t)kkE=0k 0kA=(kE)A=A(kE). (15) 0···0...···knj=1aijbjt,nj=1(kaij)bjtA=(aij)sn,B=(bjt)nm,k(AB),(kA)B,A(kB) nnn=kaijbjt,aij(kbjt)=kaijbjt,j=1j=1j=1(15)An×nn×nn×nn(7).kE+lE=(k+l)E,(kE)(lE)=(kl)E,4.5s×na21A=...as1a11a12a22...as2n×s ·········a1na2nAA′.,Aa12′A=...a1na11a21a22 (2)·········an1an2...ans.(16)(A′)′=A(17)(A+B)′=A′+B′(18)(AB)′=B′A′5(19)(kA)′=kA′(16)a11a12a22...as2a21...as1·········(i,j)′b11b12b21b22a2n,B=.........asnbs1bs2najkbki(20).a1n(17),(1 9)···b1n···b2n,AB...···bsn(18).A=(i,j)naikbkj.(AB)′k=1B(i,k)bki,A′(k,j) ajk,k=1BA′(i,j)nbkiajk=k=1k=1najkbki(21).(20),(21)(18).210A=(1,1,2),B=1134211214,B′=112,A′=B′A′12031(AB)′.210=(9,2,1).AB=(1,1,2)113421214191=2=(9,2,1)′==112 03121,2728§31A,BPn×n|AB|=|A||B|,(1)8116A1,A2,···,AmPAn×n|A1A2···Am|=|A1||A2|···|Am|.Pn×n|A|=0 n×nn.1,2A,BPn×nABA,B2(2)APn×mBPm×s(AB)≤min[(A),(B)](2),(AB)≤(A),6(AB)≤(B).Ba11a21A=...an1ja12a22...an2·········a1ma2m...anmC1,C2,···,Cn···+aimBmAB(C1,C2,···,cn)mABb11b21,B=...bm1b12b22...bm2·········Cib1sb2s...bmsj,B1,B2,···,Bmai1B1+a12B2+aikbkj,Ci=ai1B1+a12B2+···+aimBm(i=1,2,···,n).k=1ABB(10),(AB)≤(B).1,A2,···,AmAAD1,D2,···,DsABDi=b1iA1+b2iA2+···+bmiAm(i=1,2,···,s). ABA(AB)≤(A).23A=A1A2···At,(A)≤1min≤j≤t(Aj).§42n×nA,n×nAE=EA=A.nnn111aaa=17nAnB,AB=BA=E,(1)(1)(),A,(1)B().B1,B2(1)B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2. 18B(1),BAA.AAA1a1n9AijA=a11a12···a21a22 (2)A11A21···An1.........an1an2···annA12A22···An2 .........AA1nA2n···Ann7a=0EnA=()AA(2)d=|A|=0,3 AA=A=A=d0 00···d···...0···dA(1AA)A=E.(3) d0···0d···=AA=. .....00d=|A|.=dE,...d0..=dE.(2).dAA1=1AA1AA1d=E.A.|A||A1|=|E|=1.(5)|A|=0,3nA,B,AB=E,A,B3(4).(5)|A|=d=0,|A1|=d1.A,BA′AB(A′)1=(A1)′,(AB)1=B1A1.AA1=A1A=E,(A′)1=(A1)′. (A1)′A′=A′(A1)′=A!!E′=E.(AB)(B1A1)=(B1A1)(AB)=E,(AB)1=B1A1.(§22)AX=B.(6)A|A|=0X=CX=A1B(6),A(A1B)=B,a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1,ax+ax+···+ax=b, 2112222nn2 ···············an1x1+an2x2+···+annxn=bn,A1B(6)AC=B,A1(AC)=A1B,C=A1B.X=A1BA1(4)4As×nPs×sQn×nR(A)=R(PA)=R(AQ).B=PA,2,R(B)≤R(A),A=P1B,R(A)≤R(B),R(A)=R(B)=R(PA). 82930§5000100A=1E20210=AE2 1E210120012A1=1211,0=1100.B=1031B11B12B10=3221B22B11=12,B1201 1200=,B 104122121=1011,B22=420.ABA,2ABE20B11B12B12A1E2BA,A21B11+B21=21B22B1B11+B21A1B12+B11=111011==B113402+1011=241122.A=12321B12+B2211101+32410120=3033+4120=1153.AB=101224111153.4A11A12···A1lA=(Aik)sn,B=(Bkj)nm A,BA=A21A22 (2)B11B12···B1r.........At1At2···Atl,B=B21B22 (2).........Bl1,si×njBijjAijni×mC1rC=AB=Al2···AlrC11C12···C21C22 (2)........C.pq=Qp1B1q+Ap2B2q+···+AplBlq= Ct1Ct2···ClApiBiq(p=i=1tr1,2,···,t;q=1,2,···,r).,902+Ba11B1+a12B2+···+a1mBm a21B1+a22B2+···+a2mBm AB=···············an1B1+an2B2+···+anmBm B1B2B=...BmB1,B2,···,Bm,Ba11...ak1D=c11...cr1AB (1)...···c1k...crkA0 0 0akk······b11...br1Cr×kk×r...0A=b1rC...brr.ABB().0BA,Bkr|D|=|A||B|,X12A,B0.DD1=kAC0BX11X21X11=A1,X12=A10=0.=X220ErAX11=Ek,AX12=0,CX11=BX21=0, CX12+BX22=E.rX11X21X12X22.EkEkErBX21=CX11=CA1,X21=B1CA1.A00B1D1=X22=B1.A10B1CA1B1.C=00a2...00...Al=A100B1A1a10 0·········00...alai(i=1,2,···,l) A20Aini×ni(i=1,2,···,l),···10A=A1A2..0 .AlA1B1A2B2AB=,B=0..B1B2... Bl.,0A+B=A1+B1A2+B2 ...Al+Bl,A1A1,A2,···,Al A2...§610E1...10···11P(i,j)= ...... (11)···.1 (1)11AlBl 1A11=AlA12 ...EiA1l,jPcEiP(i(c))= 1 ...c.Ejkis×nAAAA1,A2,···,AsAA1=P(i,j)A=...P(i,j)Ai...Aj...AsP(i(c1)),P(i,j(k))1=P(i,j(k)).511AB1...11...1···kP(i,j(k))=...1 (1)EikjP(i,j(k)).As×sn×nij)s×b11A1+b12A2+···+b1sAs b21A1+b22A2+···+b2sAssBA=B=(b ············.bs1A1+bs2A2+···+bssAs Aij1P(i,j)=P(i,j),P(i(c))1=BA125s×nA10...00 00···1···...0···0···...0···00...10 0···············00...00 0A1A(1).A=0A=0.Aa11=01a11a1j(j=1,2,···,n) 1a111)×(n1)A11 a...,s)11ai1(i=1,2, 10 0A..A1.0.A1(s11A100001001102A→00 020000→01 0031011000 0100A,B14→005 400000.100011325A=2267.2456000100214→021000005214000113114→00500002000000→50P1,P2,···,Ps,Q1,···,Qt,A=P1P2···PsBQ1···Qt.(1)n n,(1)6nAA=Q1Q2···Qm.(2)1s×nA,BsPnQA=PBQ.(2)111Qm···Q2Q1A=E.(3)AA(3)132An2,P1,P2,···,Pm Pm···P1A=E,(4)(4)AA1=Pm···P1=Pm···P1E.(5)(4),(5)A1.A,Bn×n(AE),2n×2n(4),(5)Pm···P1(AE)=(Pm···P1APm···P1E)=(EA1)n×2n (6),(6)E,0111211→001→0011121214000110014200104,000A1.A1.012322142114010→012101210001011400→0101101→1010010A100232211421.=32114010→02100011038021 010110632→421010421 0023212321 02110421,31231§7Em00En.()()En0Em(),P00En,P00EnACBD=PACPBD,EmP140EnAC()()()Em0EmPEm0 ,,.0P0EnPEn AB,CD0EnABCD =,Em0CDAB BAB=.DC+PAD+PB (3)P,C+PA=0AP=CA1C+PA=0 (3)ABDCA1B.(3)A011T= CDT.A01Em0CA1=A00E=A100D1T1=A10A10D1n.A,DCDDA0Em0CA001En=DCA1D1D.TAB21=CT1(ABD1C)1T11. ,DEmBD1ABBD1C010EnDCD=ACD,(ABDC)1C)1mBD11,T11=(ABD111D1E0=DC(ABD1C)(ABD1C)1BD1 1C(ABD1C)1D1C(ABD1C)1BD1+D1 En(ABD1C)1D.3EA0EAB|=|A||B|A00ABEB|=EB.(4)A,Bn×nPij=EnEij0E,i,j=n1,2,···,nEijn×nij·P0EAP11P12...P1n..n1 (i)pEnnnn0En=E.nAPijEP··PPA0A011P12·1n···n1···nnEB=EAAB0BE,0ABEBEn=|A||B|.(4)0En0E|AB|=|A||B|.=(1)BABB=(1)n|AB||E|=|A||B|.···a1k4 A=(aij)n×n,.a11....=0,1≤k≤n,ak1···akkBn×nBA=.nn=1150B=n1AB10(B1)(n1)×(n1)B1A1=A1βE0A1βA1β=,A=,11αannαA1αa0αAβ+annnn11 0A1βB1A1B1β=,1110αAβ+a0αAβ+annnn11B10E0B10A1=a11...an1,1······a1,n1...an1,n1,B=01αA11161=αA111,32-341(1)A,BnA2B2=(A+B)(AB).(2)A,Bn|AB|=|A||B|.(3)A,Bn|A+B|=|A| +|B|.(4)A,BnAB=BA,(A+B)1=A1B1.(5)aEnn|aEn|=|a||En|.(6)k),AA=0,kA=0.(7)AAA=0.(8)A,BnAB=0AB=0.2(1)Am×nBn×sAB(2)nAA|A|111(3)A=1124813927A 141664,(5)A,BnP,Q,PAQ=B,A(7)A=(1,0,2),B=54 ,AB=32λ+1,A=100(8)f(λ)=λ2 01211,f(A)=2.1234(10)A=1。
高等代数(张禾瑞版)教案-第9章二次型
第九章 二 次 型9.1双线性函数和二次型教学目的:1 掌握二次型,二次型的矩阵表示,二次型的矩阵,矩阵合同,二次型的秩. 教学内容:1 双线性函数:定义1 设V 是数域F 上的一个n 维向量空间.V 上一个双线性函数指的是一个映射f:V*V →F ,即对于V 中每一对向量(ξ,η),有F 中一个 确定的数f(ξ,η)与它对应,并且满足下列条件:1. f(ξ+η, ζ)=f (ξ, ζ)+f (η, ζ);2. f(ξ,η+ζ)= f(ξ,η)+ f(ξ, ζ);3. f(a ξ,ζ)= f(ξ,a ζ)=a f(ξ, ζ),这里ξ,η,ζ是V 中任意数.由条件1和3,固定第二个变量ζ,f 是V 到F 的一个线性映射;由条件2和3,固定地一个变量ξ,f 也是V 到F 的一个线性映射.由于这个原因,所以称f 是V 上的一个双线性函数.例1 设F 是一个数域.对于二元列空间F 2的每一对向量ξ= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x 211 η= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y y 21 定义f ()ηξ,=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+y x y x y x y x 22122111. 容易验证,f 是F 2 上的一个双线性函数.例2 由8.1的定义1,欧氏空间的内积是一个双线性函数.我们以下主要用到的是所谓对称双线性函数.V 上一个双线性函数f 说是对称的,如果对于V 中的任意两个向量ξ,η,有:4. f(ξ,η)= f(η,ξ) .例如, 欧氏空间的内积就是一个对称双线性函数.设f 是向量空间V 上的一个双线性函数.由定义1的条件1,2,3推出: (1)fξim i ia ∑=1,ηjn j jb ∑=1=∑=m i 1b a jnnm j i ∑=1f(ξi ,ηj),这里().1;1,;,n j m i V F iiiib a ≤≤≤≤∈∈ηξ设V 是F 上一个n 维向量,{}αααn,,,21是V 的一个基.对于V 上任意一个双线性函数f ,令().,1,,n j i fjiija≤≤=αα这n 2个数组成F 上一个n ×n 矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a aa aa a a a a nn n n n nA矩阵A 叫做双线性函数f 关于基{}αααn,,,21的矩阵.很明显,一个对称双线性函数关于V 的任意基的矩阵是对称矩阵. 如果ααχηξini iini iy ∑∑====11,是V 的任意两个向量,f 是V 上一个双性函数,那么由(1),我们有f(ξ,η)= fx in i ∑=1α ,αjnj jy ∑=1=∑=n i 1yx jnj i∑=1f(αα,ji),=yx jinj ijn i ∑∑==11α.反过来,给了F 上任意一个n*u 矩阵A=(αij),那么公式(2)定义了V 上一个双线性函数f,并且当A 是对称矩阵时,f 是对称双线性函数.利用矩阵的乘法,(20式可以写成以下形式(3) f(ξ,η)={}x x x n,,,21 ，A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛y y y n 21 双线性函数f 的矩阵自然依赖于基的选取,让我们看一下,基改变时,f 的矩阵怎样改变.设{}βββn,,,21是V 的另一个基.而B=(b ij )是f 关于这个基的矩阵.又P=(pij)是由基{}αααn,,,21到基{}βββn,,,21的过渡矩阵.即.1,1n k ini ikkp ≤≤=∑=αβ那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑==n i n j j jl i ik l k kl p p b f f 11,),(ααββ.),(1111ppppjlijn i nj ikj i jln i nj ikf ααα∑∑∑∑======最后等式右端正是矩阵P ’AP 的第k 行第l 列位置的元素.这样,我们有(4)B=P’AP,这里P ’是矩阵P 的转置. 2.矩阵的合同定义2 设A ，B 是数域F 上两个n 阶矩阵。
二次型教学教案模板范文
教学对象：高中一年级教学课时：2课时教学目标：1. 理解二次型的概念，掌握二次型的表示方法。
2. 掌握二次型的性质，包括正定性、负定性、非正定性等。
3. 能够运用二次型解决实际问题。
教学重点：1. 二次型的概念及其表示方法。
2. 二次型的性质及其判断方法。
教学难点：1. 二次型的性质及其应用。
教学准备：1. 多媒体课件2. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 通过回顾平面直角坐标系中点与点的距离公式，引入二次型的概念。
2. 提出问题：如何表示一个平面图形的面积？二、教学内容1. 二次型的概念：平面直角坐标系中，点P(x,y)到点Q(x0,y0)的距离的平方，记为d² = (x - x0)² + (y - y0)²，称为二次型。
2. 二次型的表示方法：用矩阵表示二次型，设二次型为f(x,y) = ax² + bxy + cy²，其中a、b、c为常数，则f(x,y)可表示为矩阵形式：f(x,y) =(x,y)²A(x,y)²T，其中A = [a b/c; c b/c]。
3. 二次型的性质：（1）正定性：若对于所有非零向量x，有f(x,x) > 0，则称二次型f(x,x)为正定二次型；（2）负定性：若对于所有非零向量x，有f(x,x) < 0，则称二次型f(x,x)为负定二次型；（3）非正定性：若存在非零向量x，使得f(x,x) = 0，则称二次型f(x,x)为非正定二次型。
三、课堂练习1. 判断下列二次型的性质：（1）f(x,y) = 4x² - 6xy + 3y²；（2）f(x,y) = -x² - 2xy + 2y²；（3）f(x,y) = x² + y²。
四、小结1. 本节课学习了二次型的概念、表示方法及其性质。
2. 学生应掌握二次型的性质及其判断方法。
高等代数教案
《高等代数》课程教学总体安排一、课程名称：高等代数二、课程性质与类型：专业必修课，理论课三、课程总学时及学分：150学时，学分四、教学目的与要求：教学目的：高等代数是数学与应用数学专业必修基础课，也是一门重要主干课程，是中学代数的提高，也是近代数学的基础。
通过本课程的教学，使学生掌握高等代数的基本知识，基本方法，基本思路，适当地了解代数的一些历史，一些背景，以加深对中学数学的理解，获得独立分析和解决有关的理论和实际问题的能力，并为进一步学习其他后继课程：近世代数、微分方程、泛函分析等，以及将来从事教学，科研及其他实际工作打下基础。
教学基本要求：基本掌握全书的基本概念；能独立处理书后的绝大部分习题；通过本书抽象理论的学习，提高自学能力，数学思维，专业素质，以便阅读较深的文献。
五、教材及参考书目教材：张禾瑞,郝炳新著，高等代数，高等教育出版社，2007年6月第四版，ISBN:7-04-021465-9，主要参考书：[1] 北京大学数学系，高等代数，高等教育出版社，2003年7月第三版ISBN:7-04-011915-3[2] 李师正等编，高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社，2004 年2月版ISBN:7-04-012942-6[3] 徐仲,陆全,张凯院，高等代数考研教案，西北工业大学出版社，2006年6月出版，ISBN:7-5612-2088-X六、考核方式及成绩计算方法期末进行闭卷考试，综合平时学习态度、课堂表现、平时作业确定学生学习成绩。
具体计算方法为：学科成绩=期末考试成绩×90%+平时成绩×10%七、课程教学日历第一章基本概念教学安排说明章节题目：§1.5数环数域学时分配：2学时。
教学时数为2学时本章教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
其它：本章以自学为主，只讲授第五节课堂教学方案§1.5数环数域课程名称：§1.5数环数域授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握数环和数域概念，判别方法，理解有理数域的最小性。
第九章二次型
y1 x1
n
a111a1 j x j
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
y1 y2 yn
,
它是非退化的，
nn
2a12 x1x2 2a13x1x3 2an1,n xn1xn
nn
aij xi x j
i1 j1
（令 aij a ji ）
X AX
a11 a12 ... a1n
其中A
a21
a22
...
a2n
an1 an2 ... ann
x1
,
X
x2
,
xn
4）说明: 在二次型f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX中
n
anj x j
j1
n
n
x1 a1 j x j x2 a2 j x j
j 1
j 1
nn
aij xi x j
i1 j1
n
xn anj x j
j 1
于是有 f结：
f (x1, x2,
, xn ) a11x12 a22 x22 ann xn2
6、分析 ： 二次型 f X AX与二次型 g YBY等价
f X AX实施非奇异X PY可化为 g YBY
B PAP
A与B合同
7、结论： 两个二次型等价 它们的矩阵合同
8、问： 若两个二次型等价，则它们的秩 相等
第九章 二次型-掌握二次型及其矩阵的定义.ppt
3、性质: 若A与B合同, 则秩A = 秩B
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15
4、比较：合同，相似
A与B合同 存在可逆矩阵P可使PAP B 秩A=秩B
A与B相似 存在可逆矩阵P可使P1AP B 秩A=秩B AB fA(x) fB (x) 特征值相同
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y1 y2 yn
,
它是非退化的，
nn
且使 f ( x1, x2 , , xn ) a11 y12
bij yi y j .
i2 j2
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22
nn
由归纳假设，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i2 j2
z2 c22 y2 c23 y3
x1
y1－
n
a111a1 j y j
令
j2
y2 x2
或
j2
x2 y2
yn xn
xn yn
即,
x1
1
x2 xn
0 0
a12 a11 1 0
0
a1n a11 0
1
ii）二次型与它的矩阵相互唯一确定
（这表明二次型 f ( x1, x2 ,..., xn ) X AX 完全由对称矩阵A决定.)
谢谢你的观看
正因为如此，讨论二次型时 矩阵是一个有力的工具.
谢谢你的观看
8
3、例题: 1）求下列二次型的矩阵
f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x1x2 x1x3
第九章 二次型
MATLAB 软件应用 第九章 二次型例1：用正交线性替换将二次型2221231231223(,,)2344f x x x x x x x x x x =++--化为标准形.解：建立m 文件b1.m 如下： clcA=[1 -2 0;-2 2 -2;0 -2 3]; %二次型矩阵A[V,D]=eig(A) %将矩阵A 正交规范化 V'*V %验证V 是正交阵 inv(V)*A*V %验证V^-1AV=D syms y1 y2 y3 y=[y1,y2,y3];X=V*y' %作正交线性替换X=Vy f=y*D*y' %二次型的标准形%其中y1*conj(y1)为y1与其共轭的乘积运行结果如下： V =-2/3 -2/3 1/3 -2/3 1/3 -2/3 -1/3 2/3 2/3 D =-1 0 0 0 2 0 0 0 5 ans =1 * * * 1 * * * 1 ans =-1 0 * * 2 * * * 5 X =-2/3*conj(y1)-2/3*conj(y2)+1/3*conj(y3) -2/3*conj(y1)+1/3*conj(y2)-2/3*conj(y3) -1/3*conj(y1)+2/3*conj(y2)+2/3*conj(y3) f =-y1*conj(y1)+2*y2*conj(y2)+5*y3*conj(y3)例2：判别下列二次型是否正定（1）2221231231213(,,)102344f x x x x x x x x x x =-+++ （2）222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--解（1）建立m 文件b2.m 如下： clcA=[10 2 2;2 -2 0;2 0 3]; %二次型矩阵Ad=eig(A) %矩阵A 的特征值 运行结果如下： d =-2.3449 2.5217 10.8232所以该二次型不是正定二次型。
高等代数教案第9章二次型
k1 K =
其中
k2
， O kn
1 ,1 ≤ i ≤ r , ki = ki 1, r + 1 ≤ i ≤ n,
则 K 是可逆阵，作变换 y = Kz ，则二次型 f 可化为
f ( CKz ) = z T K T ΛKz ，
其中
λ1 λr K T ΛK = diag , ⋅⋅⋅ , , 0, ⋅⋅⋅ , 0 λ . λ 1 r
T
其中 B = C T AC 也是对称阵，由于 C 是可逆阵，则 B 与 A 的秩相等. 于是得到 定理 9.1 任意二次型经过可逆线性变换后仍是一个二次型，且秩不变.
定义 9.3 设 A 与 B 是数域 P 上的两个 n 阶矩阵，如果存在可逆阵 C ，使得
B = C T AC
则称矩阵 A 与 B 合同. 合同是矩阵的一个等价关系，不难验证，它具有反身性、对称性、传递性. 矩阵的等价、相似、 合同的关系可以表示为 等 价 相 似
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《高等代数》教案-9-第 9 章 二次型
λ1 λ2 T −1 ， C AC = C AC = O λn
其中 λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅, λn 是 A 的特征值. 把这个结论用于二次型，则有 定理 9.2 对任意二次型 f = xT Ax ，总可以经过适当的正交变换 x = Cy ，把它化成标准形
记 P = CK ，于是原二次型 f 经过可逆线性变换 x = Pz 后化成规范型
f ( Pz ) =
λ1 2 λ z1 + ⋅⋅⋅ + r zr2 . λ1 λr
例 9.1 求一个正交变换 x = Cy 把二次型
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1 0 1 1 0 −1 α2 = ,α = ,α = ， 0 3 1 4 1 0 1 −1 1 0 1 1 0 1 1 1 −1 单位化即得 p2 = . , p3 = , p4 = 2 1 2 0 2 1 0 1 −1
2 2 f = k1 y12 + k 2 y2 + ⋅⋅⋅ + kn yn
称之为二次型的标准形（或法式）. 如果标准形的系数 k1 , k2 , ⋅⋅⋅, kn 只取1, −1, 0 三个数，则
2 2 f = y12 + ⋅⋅⋅ + y 2 p − y p +1 ⋅⋅⋅ − yr
称之为二次型的规范形. 由定理 8.17 可以知道，对任意一个实对称阵 A ，总存在正交阵 C ，使 C −1 AC 成对角形矩阵，即
x1 = c11 y1 + c12 y2 + ⋅⋅⋅ + c1n yn x = c y + c y + ⋅⋅⋅ + c y 2 21 1 22 2 2n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + ⋅⋅⋅ + cnn yn
= ∑∑ aij xi x j .
i =1 j =1
n
n
若记
a11 a 21 A= M an1
a12 a22 M an 2
⋅⋅⋅ a1n x1 x ⋅⋅⋅ a2 n 2 ， x = ， M M ⋅⋅⋅ ann xn
《高等代数》教案-9-第 9 章 二次型
第九章 二次型
Ⅰ.授课题目 §9.1 二次型 §9.2 二次型的标准形与规范型 §9.3 正定二次型与正定阵 Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解二次型的相关概念及其矩阵表示法； 2. 掌握求二次型为标准形的正交变换法与配方法； 3. 掌握正定二次型与正定阵的相关概念和性质. Ⅲ.重点与难点 重点: 求二次型为标准形的正交变换法与配方法，正定二次型与正定阵； 难点: 配方法，正定二次型与正定阵. Ⅳ.教学内容
………………………………………
2 2 = an −1,n −1 xn −1 + 2 an −1,n xn −1 xn + 2 ann xn ，
称为一个 n 元二次型. 当系数 aij 是实数时，我们称它为实二次型，当系数 aij 是复数时，称它为一个 复二次型. 本章我们只讨论实二次型. 若令 aij = a ji ( i, j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ) ，则 n 元二次型可以写成
T
其中 B = C T AC 也是对称阵，由于 C 是可逆阵，则 B 与 A 的秩相等. 于是得到 定理 9.1 任意二次型经过可逆线性变换后仍是一个二次型，且秩不变.
定义 9.3 设 A 与 B 是数域 P 上的两个 n 阶矩阵，如果存在可逆阵 C ，使得
B = C T AC
则称矩阵 A 与 B 合同. 合同是矩阵的一个等价关系，不难验证，它具有反身性、对称性、传递性. 矩阵的等价、相似、 合同的关系可以表示为 等 价 相 似
证 由定理 9.2，二次型 f = xT Ax 可以经过适当的正交变换 x = Cy ，化成标准形
2 2 f ( Cy ) = y T Λy = λ1 y12 + λ2 y2 + ⋅⋅⋅ + λn yn .
设二次型 f 的秩为 r ，特征值 λi 中恰有 r 个不为零. 不妨设 λ1 , ⋅⋅⋅, λr 不等于零， λr +1 = ⋅⋅⋅ = λn = 0 ， 令
§9.1 二次型
1. 二次型的概念 定义 9.1 含有 n 个变量 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 的二次齐次多项式
f ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + ⋅⋅⋅ + 2a1n x1 xn
2 = a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ⋅⋅⋅ + 2a2 n x2 xn
2 2 f = λ1 y12 + λ2 y2 + ⋅⋅⋅ + λn yn ，
其中 λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅, λn 是 A 的特征值. 推论 对任意二次型 f = xT Ax ，总可以经过某个正交变换 x = Cy ，把它化成规范形
2 2 f = y12 + ⋅⋅⋅ + y 2 p − y p +1 ⋅⋅⋅ − yr .
合 同
T ，此时， A 与 B 既 但是，如果两矩阵 A 与 B 合同， B = C AC ，且 C 为正交阵（即 C = C ） T −1
合同也相似.
§9.2 二次型的标准型与规范型
1. 用正交变换化二次型为标准形 对于二次型 f = xT Ax ，我们希望作某个可逆线性变换 x = Cy ，得到只含平方项的简单形式
容易知道，任给一个二次型可以唯一确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵也可以唯一决定一 个二次型. 因此，二次型与对称阵之间是一一对应关系. 我们把对称阵 A 叫做二次型 f 的矩阵，把 f 叫做对称阵 A 的二次型. 对称阵 A 的秩也叫的二次型 f 的秩.
2. 线性变换与矩阵合同 为了简化二次型，引入线性变换的概念 定义 9.2 设 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 和 y1 , y2 , ⋅⋅⋅, yn 是两组文字，系数在数域 P 上的关系式
⋅⋅⋅ c1n y1 y ⋅⋅⋅ c2n 2 ， y = ， M M ⋅⋅⋅ cnn yn
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x1 c11 c12 x c 2 = 21 c22 M M M xn cn1 cn 2
称为由 x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn 到 y1 , y2 , ⋅⋅⋅, yn 的一个线性变换. 如果系数行列式 cij ≠ 0 ， 则称它为可逆线性变换 （也叫非退化线性变换，或满秩线性变换）. 例如，坐标旋转变换
x = x′ cos θ − y′ sin θ y = x′ sin θ + y′ cos θ
2 2 2 f = −3 y12 + y2 + y3 + y4 .
如果进一步令
1 y1 = 3 z y 2 = z2 ， y = z 3 3 y 4 = z4
于是 A 的特征值为 λ1 = −3, λ2 = λ3 = λ4 = 1 . 当 λ1 = −3 时，解方程 ( 3I + A ) x = 0 ，由
3 1 1 −1 1 1 3 −1 1 0 r 3I + A = → 1 −1 3 1 0 −1 1 1 3 0 1 1 −1 1 −1 ，单位化即得 p1 = ， 得基础解系 α1 = −1 2 −1 1 1 当 λ2 = λ3 = λ4 = 1 时，解方程 ( I − A ) x = 0 ，由
0 1 0 0
0 −1 0 1 1 1 0 0
1 −1 −1 1 1 −1 −1 −1 1 1 −1 0 0 0 r I − A= → −1 1 1 −1 0 0 0 1 −1 −1 1 0 0 0
可得正交的基础解系
1 0 ， 0 0
于是正交变换为
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1 2 x1 1 − x2 = 2 x3 1 − x4 2 1 2
且有
1 2 1 2 0 0
0 0 1 2 1 2
1 2 1 y1 − 2 y2 1 y3 2 y4 1 − 2
k1 K =
其中
k2
， O kn
1 ,1 ≤ i ≤ r , ki = ki 1, r + 1 ≤ i ≤ n,
则 K 是可逆阵，作变换 y = Kz ，则二次型 f 可化为
f ( CKz ) = z T K T ΛKz ，
其中
λ1 λr K T ΛK = diag , ⋅⋅⋅ , , 0, ⋅⋅⋅ , 0 λ . λ 1 r
化成标准形. 解 二次型的矩阵为
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0 1 1 −1 1 0 −1 1 ， A= 1 −1 0 1 −1 1 1 0
它的特征多项式为
λ −1 −1 1 −1 λ 1 −1 3 = ( λ + 3 )( λ − 1) ， λI − A = −1 1 λ −1 1 −1 −1 λ
f ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) = xT Ax ,
可以用矩阵表示为
1 −1 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) −1 2 3 1 2 −2
3 2 x 1 1 − x2 . 2 x3 −5
或者
⋅⋅⋅ c1n y1 ⋅⋅⋅ c2 n y2 M M ⋅⋅⋅ cnn yn
x = Cy .
对二次型 f = xT Ax 作可逆线性变换 x = Cy ，得到
f = ( Cy ) A ( Cy ) = yT C T ACy = y T By ，
的矩阵
cos θ C = sin θ
T
− sin θ . cos θ
容易计算， C = 1 ，且 C C = I . 因此，旋转变换是可逆线性变换，且是正交变换. 令