基于非对称Laplace分布和椭球copula的投资组合风险值度量(VaR)

2 ⎛ (1 − p ) I ⎞ r p2 ⎟ t σ t +1 = λσ t + (1 − λ ) ⎜ 1 + I + 1+ [ rt < 0] 2 [ r > 0] ⎜ ⎟ p2 (1 − p ) t ⎝ ⎠
可见，当 p < 0.5时，负收益率所赋予的权重更大，即波动率增大，反之亦然。从上一章我们对开放 式基金收益率进行非对称Laplace极大似然估计的结果表3-3中也可以看出，除了嘉实理财债券以外 ，其余30只基金的的估计值均小于0.5，因此有偏型EWMA能够很好地刻画Christie(1982), Schwert(1989)和Nelson(1991)所指出收益率波动率之间的不对称得相关性。 有偏型EWMA模型是针对单个风险资产予以考虑的，并没有考虑多个风险资产组合的风险度量问 题,如何使用非对称Laplace分布来度量投资组合的风险就是下面的部分所要重点考虑解决的问题。
⎫ k ⎧ 1 1 k f (x | µ,σ, p) = exp ⎨−( I[x>µ] + I[x<µ] ) x − µ ⎬ σ ⎩ 1− p p σ ⎭
(1)
其中，k = p 2 + (1 − p ) 2
σ µ 是位置参数， 是标准差，p是形状参数，介于0到1之间，它控制着偏度和峰度，p的不
同取值使得偏度为正或负。
8
有偏型EWMA
有偏型EWMA的计算公式为：
σ t +1 = λσ t + (1 − λ ) ⎜
⎛ k ⎞ k I[ rt >0] + I[ rt <0] ⎟ rt p ⎝ 1− p ⎠
(5)
其中， k = p 2 + (1 − p )2 从上式中我们可以看出有偏型EWMA模型正好可以反映Christie(1982), Schwert(1989) and Nelson(1991)所指出的“在股票市场，当前的波动率和过去的收益率之间有一种不对称的相关性， 当股价上升时，波动率通常见小，反之，股价下跌时，波动率增大”的现象，其中 p 值控制着正负收 益率对标准差预测的不同影响。把的表达式代入(5)式可得 (6)
1 N 1 1 N N 1 N
在这里，x j,1 = a j , x j,2 = b j，j ∈ {1, 2,
N}
5
copulas
从Sklar定理中我们可以看出，连续的多元分布函数可以分为一元边际分布和多 元相关性结构两部分，其中相关性结构通过copula函数来表示。
尾相关性(Tail dependence) 定义：已知随机变量X和Y，其分布函数分别为 F 和 F，那么随机变量X和Y的上尾(upper tail)相关系数为 lim p[Y > F2−1 (α ) | X > F1−1 (α )] = λ (4) α →1− 其成立的前提是极限 λ ∈ [0,1] 存在。如果 λ ∈ (0,1]，那就意味着随机变量X和Y(的上尾)是渐进 =0 相关的；如果 λ，意味着X和Y(的上尾)是渐进独立的。
λ = 2 tυ +1
(
υ +1 1− ρ / 1+ ρ
)
14
尾相关性
υ
ρ
-0.5 0.06 0.01 0.0 0
0 0.18 0.08 0.01 0
0.5 0.39 0.25 0.08 0
0.9 0.72 0.63 0.46 0
1 1 1 1 1
2 4 10
∞
其中，最后一行代表正态copuห้องสมุดไป่ตู้a。 从上表中我们可以看出，采用t-copula也许能更好地度量在极端情形下的风险。
N
N
1
N
1
N
i
i
i
N
1
N
1
N
i
i
∑ ∑ ( −1)
i1=1 i N =1
2
2
i1 +
+iN
C( x1,i1 ,
, xN ,i N ) ≥ 0
定理(Sklar定理[1959])：H是一个N维分布函数，F1,….,FN为其边际分布函数，那么必定 存在一个copula函数，使得： H( x , , x ) = C(F ( x ), , F ( x )) (3) 其中，如果所有的边际分布函数F1,….,FN均为连续的，那么C是唯一的；否则C在 RanF × RanF 上是被唯一决定的。相反，即使 F1,….,FN不全为连续的，但联合分布函数 仍能用(2.12)式来表示(见Schweizer & Skalar[1983]第6章)，尽管在这种情形下，C不再 是唯一的，我们仅仅可以把它看作为联合分布函数F的一个可能的copula函数。
2
非对称Laplace分布定义
为了拟合实际金融数据的有偏性，黄海、卢祖帝(2003)提出一种能同时刻划金融数 据尖峰、有偏和厚尾性的分布函数——非对称Laplace分布，并将它引入了金融市场风 险管理中。 定义：如果是一个随机变量，有如下的分布密度函数形式，那么就成它服从非对称 Laplace分布(Asyymetric Laplace Distribution)，记为，
1 2
6
议程
1. 非对称Laplace分布和Copula函数 2. 基于非对称Laplace分布的波动率预测 3. 投资组合风险度量 基于非对称Laplace分布和正态copula的风险度量 基于非对称Laplace分布和 t t-copula的风险度量
7
基于非对称Laplace分布的波动率预测
(7)
它的密度函数就可以写为：
Ga cρ (u1 ,
, un ) =
∂C ρ (u1 , ∂u1
, un ) ∂u n
(8)
由(7)和(8)式可得多元正态copula对应的密度函数就可以表示为
Ga cρ (u1 , , un ; ρ ) =
⎧ 1 ⎫ exp ⎨− ς τ ( ρ −1 − Ι)ς ⎬ 1 ⎩ 2 ⎭ ρ 2 1
15
基于非对称Laplace分布和 t-copula的风险度量
金融风险主要是由于金融资产价格的波动引起的，因此风险测量的核心就是价格波 动性的估计和预测。大量的实证结果表明，收益率的方差不是不变的，而是时变的，有 着明显的积聚性和暴发性，金融市场尤其是股票市场，价格运动与波动性是负相关的。 根据“展望理论(Prospect Theroy)”(Kahneman and Tversy 1979)，投资者对市场向下移 动的感觉(perception)同向上移动的感觉是不同的，这也被由Black(1976)提出的所谓的 杠杆效应理论所反映。Christie(1982)，Schwert(1989) and Nelson(1991)指出，在股票 市场，当前的波动性与过去的收益率之间有一种不对称的相关性，当股价上升时，波动 率通常减小，反之，股价下跌时，波动率增大。收益率序列呈现明显的自相关性，即使 收益率序列本身不相关，但它的平方序列也是自相关的，并且平方收益率序列的相关性 比收益率序列显著得多。 目前常用的波动性度量模型包括移动平均类模型、GARCH类模型等。这些方法或 模型多数基于正态分布，当收益率服从条件正态分布时，这些方法有很好的效果，但是 大量的实证文献以及我们上一章对基金收益率进行的正态性检验都表明实际金融资产收 益率不服从正态分布的，表现了明显的厚尾性和有偏性。
9
议程
1. 非对称Laplace分布和Copula函数 2. 基于非对称Laplace分布的波动率预测 3. 投资组合风险度量 基于非对称Laplace分布和正态copula的风险度量 基于非对称Laplace分布和 t t-copula的风险度量
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投资组合风险度量
在现代金融理论与实践中，椭球分布（例如，多元正态分布、多元t-分布等）扮演着非 常重要的角色，因此在本章中使用椭球copulas来描述多元随机变量相关性结构。在这 方面，Malevergne & Sornette(2004)已经尝试使用基于边际分布为修正的weibull分布和 多元正态copula的联合分布来度量风险，并把它引入到投资组合管理研究中。 定义：如果X是n维随机向量，对于某个 µ ∈ R 和 n × n 维非负定、对称阵 Σ ，X − µ 的特征 Σ 函数ϕ µ (t )是二次型 tτ Σt 的函数，即 ϕ µ (t ) = φ (tτ Σt ) ，那么就说X服从参数为µ ， 和 φ 的椭球分 布，记为 X ~ E (µ , Σ, φ )。
∞ ρ υ
\ λ = 2 lim Φ x 1 − ρ / 1 + ρ
x →∞
(
)
因此，如果 ρ < 1 ，正态copula是渐进独立的；因为正态copula是对称的，所以同样条件 下下尾相关性也是渐进独立的。这就与我们在实际中看到的现象不符，因此用正态 copula来描述相关性结构，并据此计算所得的风险度量值VaR有可能低估风险。而t分布 却与正态copula相反。
3
非对称Laplace分布密度函数图
4
copulas
定义（Paul Embrechts等[2001]） 一个copula就是边际分布服从均匀(0,1)分布的随 机向量 X = (x , , x ) ∈ R 的分布函数。也就是说，copula就是函数 C:[0,1] →，它拥有下面 [0,1] 的三个属性： 1. C(x , , x )关于每一个变量(each component) xi都是增的； 2. C(1, ,1, x ,1, ,1) = x ,其中x ∈ [0,1],i ∈ {1,2, , N}, 3. 对于所有的(a , ,a ),(b , , b ) ∈ [0,1] , 满足a ≤ b , 有 (2)
n
X−
X−
n
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基于非对称Laplace分布和正态copula的风险度量