等腰三角形的性质习题附答案

等腰三角形的性质
一.判断题 (本大题共 40 分)
1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点
在同一直线上. ( )
2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO
( )
3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ( )
4. ( )
5. 等腰三角形的底角一定是锐角．
( )
6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝
AC
( )
7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )
8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ( )
9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )
12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm
( )
13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )
14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )
16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )
17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ( )
18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD
( )
19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝
AB
( )
20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.
( )
21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.
( )
22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ( )
24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ( )
25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)
( )
28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.
( )
29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )
30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )
31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A
( )
32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ( )
33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )
34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ( )
35. 在△ABC 中, AB ≤
AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.
( )
36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD
( )
37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ( )
38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ( )
39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )
40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC
( )
二.单选题 (本大题共 60 分)
1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则
∠BOC的度数是[ ]
A.110°
B.35°
C.140°
D.55°
2.如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA,
则∠BPC的度数是
[ ] A.115° B.110° C.120°
D.130°
3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]
A.11cm
B.13cm
C.11cm或13cm
D.以上都不对
4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]
A.20°、140°
B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80°
D.20°、80°
5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为
[ ]
A.17
B.17或22
C.22
D.13
6.一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为
[ ] A.55° B.55°或70° C.20°
D.20°或35°
7.等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]
A.120°
B.30°
C.60°
D.90°
8.有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°
9.等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ]
A．2厘米，8厘米 B．5厘米，5厘米
C．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D．无法确定
10.等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]
A.35cm
B.22cm
C.35cm或22cm
D.15cm
11.已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是[ ]
A.90°
B.36°
C.36°或90°
D.120°
12.等腰三角形两边长是9cm和15cm, 则它的周长是 [ ]
A.24cm
B.33cm
C.39cm
D.33cm或39cm
13.等边三角形ABC中, CD是∠ACB的平分线, 过D作BC的平行线交AC于E, 若△ABC的边长是a, 则△ADE的周长是 [ ]
A.2a
B. a
C. a
D. a
14.如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ]
A.11
B.5
C.5或11
D.8
15.已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ]
A.25°
B.40°
C.25°或40°
D.以上答案都不对
16.在等腰△ABC中, AB的长是AC的二倍, 三角形的周长是40, 则AB的长等于. [ ]
A.20
B.16
C.20或16
D.10
17.等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ]
A.a
B.
C. a
D.2a
18.已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]
A.16
B.16或17
C.17
D.11
19.等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则
它的腰长为
[ ]
A ．8厘米
B ．5厘米
C ．2厘米或8厘米
D ．2厘米
20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定
21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数
为
[ ]
A.70°
B.110°
C.55°
D.60°
22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为
[ ]
A.20°,140°
B.80°,80°
C.20°,140°或80°,80°
D.20°,80°
23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于
[ ]
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=
[ ]
A.26°
B.32 °
C.64°
D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有
[ ]
A ．3条
B ．5条
C ．7条
D ．9条
26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形
D ．锐角三角形
27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是
[ ]
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]
A.小于60°
B.等于60°
C.等于90°
D.大于90°
30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]
A.9
B.7
C.6
D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．
C ．
D ．
32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为
[ ]
A.25cm
B.12cm
C.25cm 或12cm
D.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝
，那么∠A 等于
[ ]
A ．
B ．
C ．
D ．
34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]
A.15cm
B.12cm
C.12cm 或15cm
D.18cm
35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形
D ．形状不确定
36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]
A.24cm
B.33cm
C.39cm
D.33cm 或39cm
37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°
38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定
39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 [ ]
A.边,边,边
B.边,角,边
C.角,边,角
D.角,角,边
40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是
[ ]
A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°
B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°
C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°
D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°
42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°
43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝
[ ]
A.10°
B.12.5°
C.15°
D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的
45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是
[ ]
A ．9
B ．12
C ．15
D ．12或15
46. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm,
则腰的长y 可为 [ ]
A.5cm
B.5cm 或4cm
C.4cm
D.-5cm
47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]
A.6cm
B.10cm
C.6cm 或10cm
D.以上都不对
48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.9
49. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是
[ ]
A.30°
B.36°
C.35°
D.54°
50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]
A.120°
B.20°
C.120°或20°
D.150°
51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足
[ ]
A.∠1＝2∠2
B.2∠1+∠2＝180°
C.∠1+3∠2＝180°
D.3∠1-∠2＝180°
52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足
，则此等腰三角形的周长为 [ ] A ．7 B ．5 C ．8 D ．7或5
53. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是
[ ]
A ．△ADC ≌△AE
B B ．△DB
C ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCD
D ． △BOD ≌△COE
54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰
三角形的
[ ]
A ．周长
B ．周长一半
C ．一腰长
D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]
A ．顶角
B ．顶角的一半
C ．顶角的2倍
D ．底角的一半
56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，
若∠A=
，则∠EDF=
[ ]
A ．
B ．
C ．
D ．
57. 等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则
它的腰长为 [ ]
A.2厘米
B.8厘米
C.2厘米或8厘米
D.9厘米
58. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA, 则∠BPC
的度数为
[ ]
A.115°
B.100°
C.130°
D.140°
59. 如图, △ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是
[ ]
A.∠A ＝∠B
B.∠A ＝∠ACB
C.∠A ＝2∠ACB
D.∠A ＝2∠DCB
60. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, BC ＝BD, AD ＝DE ＝EB, 则∠A 的度数是
[ ]
A.30°
B.36°
C.45°
D.54°
三.填空题 (本大题共 30 分)
1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm ．
2. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, ∠AED ＝∠F, 则∠F ＝___________
度.
3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm
4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°, 则∠ABD ＝______度.
5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．
6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm
7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度. 8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．
9. 已知: 如图: △ABC 中, AB ＝BC, ∠B ＝90°, AD ∥BC, ∠D ＝70°, 则∠EFA ＝____度
10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．
11. △ABC 中，如果AB=AC ，点M 是BC 边中点，那么M 到______两边的距离相等，AM 上的点到_____ _两点的距离相等。

12. 有一个角是100°的等腰三角形其余两角为_____________度.
13. 等腰三角形的每个底角都比顶角大30°则它的顶角为________________度.
14. 如图, 若△ABC 的∠ABC ＝50°, ∠ACB ＝70°, 延长CB 至点D, 使BD ＝BA, 延长BC 至 E 点, 使CE ＝CA, 连结AD 、AE, 则∠DAE 的度数为__________度.
15. 已知：等腰三角形一个底角的补角是100°, 那么这个等腰三角形的底角为_______ ,顶角为______．
16. 如图, 已知: AD ＝DB ＝BC, ∠C ＝25°, 则∠ADE 的度数为______度.
17.已知：如图所示，点D在BC的延长线上，∠ACD ＝，AB＝AC，则△ABC的形状为________，根据是________．
18.如果等腰三角形的两边为3、6,那么它的周长为______________________.
19.如图△ABC中, AB＝AC, AD⊥BC于D, 且AB+AC+BC＝50cm, 而AB+BD+AD＝40cm,
则AD＝__________cm.
20.等腰三角形的顶角等于一个底角的4倍时, 则顶角为_________度．
21.如图, ∠MPN＝25°, 又PA＝AB＝BC＝CD, 则∠DCM＝_________度.
22.在等腰△ABC中, AB＝AC, AD⊥BC于D, 且AB+AC+BC＝50cm, 而AB+BD+AD＝40cm, 则AD＝___________cm.
23.如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度.
24.等腰三角形腰上的高与底边的夹角α和顶角β之间的关系是______.
25.等腰三角形ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线(点A、C在垂线的异侧)交另一
腰AC于点E，连结BE，若AD＋AC=24，BD＋BC=20，则△EBC的周长为________．
26.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________．27.已知：在△ABC中,∠A=20°,D为AB上一点,AD=DC,且
∠ACD∶∠BCD=2∶3,则∠ABC=_______．
28.已知：如图△ABC中, AB=AC, 且AD=BD, AC=CD, 则∠B的度数是．
29.等腰三角形三个内角与顶角的外角的和等于260°, 则此三角形各角的度数为_________．
30.如下图，ED是△ABC中AC边上的中垂线，BC=7．△ABE的周长为12，则AB=________．
四.计算题 (本大题共 5 分)
1.已知：如图, △ABC是等边三角形, D是BC的中点, DF⊥AC于F, 延长DF到E, 使EF=DF, 连结AE,
求：∠E的度数．
2.已知：P,Q是△ABC的边BC上两点, 并且BP=PQ=QC=AP=AQ．
求∠BAC．
3.如图：△ABC中, AB=AC, AD⊥BC, AD=AE, ∠BAD=30°, 求∠EDC的度数．
4.等腰三角形顶角80°, 求一腰上的高与底边所夹的角的度数．
5.已知：如图, AB=AC, F为AC上一点, FD⊥BC于D, DE⊥AB于E,
若∠AFD=155°．求∠EDF的度数．
六.证明题 (本大题共 15 分)
1.已知：如图,△ABC和△CDE都是等边三角形．
求证：AD=BE
2.已知：如图：CA=CB, DA=DB
求证：(1)∠1=∠2．
(2)CD⊥AB．
3.已知：如图延长△ABC的BC边到D, 使CD=AC, CF是△ACD的中线, CE是△ABC的角平分线．
求证：CE⊥CF
4.
5.如图：△ABC中, AB=AC, PB=PC．求证：AD⊥BC
6.已知：如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC延长线于F，连结AF．
求证：∠B=∠CAF.
7.已知：在△ABC中, ∠C=90°, 在AB上截取AE=AC, BD=BC
求证：∠DCE=45°
8.求证：等腰三角形两底角的平分线相等．
9.已知：如图,C是线段AB上的一点, 分别以AC和BC为边, 在线段AB的同侧作等边△ACM和△CBN．
求证：AN=MB
10.求证：等腰三角形两腰上的高的交点到两底角顶点的距离相等．
11.已知：如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 长线上一点，CE=CD，DM⊥BC于M. 求证：M是BE的中点.
12.求证：若把等腰三角形的底边向两方向分别延长相等的线段, 则延长线段的两个外端与等腰
三角形的顶点的距离相等．
13.如图所示，△ABC中，∠CAB的平分线AD⊥BD于D，DE∥CA交AB于点E．
求证：AE＝EB．
14.
15.已知：如图, △ABC中, ∠ABC=2∠ACB, AD⊥BC于D．
求证：DC=AB+BD．
33 ——答案
一.判断题 (本大题共 40 分)
1. T
2. T
3. T
4. T
5. T
6. T
7. F
8. T
9. T
10. T
11. T
12. T
13. F
14. T
15. T
16. T
17. T
18. T
19. T
20. T
21. T
22. F
23. T
24. T
25. F
26. F
27. T
28. F
29. T
30. T
31. T
32. T
33. T
34. T 35. T
36. T
37. T
38. T
39. T
40. F
二.单选题 (本大题共 60 分)
1. A
2. B
3. C
4. B
5. C
6. D
7. B
8. C
9. B
10. C
11. C
12. D
13. C
14. B
15. C
16. B
17. B
18. B
19. A
20. D
21. A
22. C
23. D
24. B
25. C
26. A
27. A
28. C
29. C
30. D
31. D
32. A
33. B
34. A
35. C
36. D
37. C
38. A
39. B
40. C
41. D
42. A
43. C
44. B
45. C
46. B
47. C
48. B
49. C
50. C
51. D
52. A
53. C
54. D
55. B
56. C
57. B
58. A
59. D
60. C
三.填空题 (本大题共 30 分)
1.
2. 35
3. 17
4. 20
5. 13,10
6. 30
7. 20
8.底边上高,顶角平分线
9. 115 10.40°,40°
11. AB、AC,B和C
12. 40
13. 40
14. 120
15.80°, 20°
16. 75
17.等边三角形,有一个角为的等腰三角形是等边三角形．
18. 15
19. 15
20. 120
21. 100
22. 15
23. 45
24.β=2α
25. 28
26.70°
27.110°
28. 36°
29.100°,40°,40°
30. 5
四.计算题 (本大题共 5 分)
1.解：连结AD
∵△ABC是等边三角形, D是BC的中点
∴∠1=∠2=30°
又∵DF⊥AC于F, DF=EF
∴∠AFD=∠AFE, AF=AF
∴△AFD≌△AFE (SAS)
∴∠2=∠3=30°, AD=AE
∴∠E=60°
2.解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ ∴∠1=∠2=∠5=60°
∴∠B=∠3 ∠5=2∠B ∠4=∠C
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
3.解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C
∵AD BC, ∴AD又是顶角∠BAC的平分线
∵∠BAD=30°∴∠CAD=∠BAD=30°
∴∠EDC=90°-75° =15°
4.已知：△ABC中, AB=AC, ∠A=80°, CD是一腰AB上的高求：∠BCD的度数
解：∵AB=AC, ∠B=∠BCA
又∠A=80° , CD⊥AB
∴∠B=∠BCA=50°∠BDC=90°
故∠BCD=180°-50°-90°=40°
5.解：∵AB=AC ∴∠B=∠C
又∵DE⊥AB, DF⊥BC
∴∠B+∠1=∠EDF+∠1=90°
∴∠B=∠EDF=∠C
又∵∠C=155°－90°=65°
∴∠EDF=65°
六.证明题 (本大题共 15 分)
1.证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形
∴AC=BC, ∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
∴DC=EC
∴△ADC≌△BEC (SAS)
∴AD=BE
2.证明：(1)
在△ACD和△BCD中
∵AC=BC AD=DB CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SSS)
∴∠1=∠2
(2)在△CAB中,
∵AC=BC, ∴△ABC是等腰三角形
∵∠1=∠2 ∴CD平分∠ACB
∴CD AB(等腰三角形的三线合一)．
3.证明：
在△CDA中，
∵CD=CA, CF是AD的中线
∴CF又是∠ACD的平分线(等腰三角形, 底边中线, 顶角平分线) ∴∠ACF=∠DCF
又CE是△ABC的角平分线∴∠2+∠3=∠1+∠4=Rt∠
∴CE⊥CF
4.证明：
∵AB=AC, ∴∠B=∠C
∵CD⊥AB于D, ∴∠ADC=90°
∴∠A=30°
∴∠B=∠C=75°
5.证明：
在△ABP和△ACP中
∵AB=AC, BP=PC, AP=AP
∴△ABP≌△ACP (SSS)
∴∠BAP=∠CAP
∴AD⊥BC(等腰三角形顶角平分线又是底边的垂线)
6.略证：如图，AF=DF
∴∠FAD=∠1
∵AD平分∠BAC
∴∠2=∠3
∵∠B=∠1－∠3
∠FAC=∠FAD－∠2
∴∠B=∠FAC
7.证明：
∵AE=AC
∴△ACE是等腰三角形
∴∠1+∠2=∠4
又∵BD=BC
∴∠2+∠3=∠CDB
∵∠ACB=90°
即∠1+∠2+∠3=90°(1)
又∵在△CDE中, ∠2+∠4+∠CDE=180°(2)
(2)－(1) 得∠4+∠CDE－∠1－∠3=90°,
∠2－∠3+∠2+∠3=90°
2∠2=90°∴∠2=45°
即∠DCE=45°
8.已知：如图, 在△ABC中, AB=AC, BE, CF是三角形ABC的角平分线．
求证：BE=CF
证明：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠1=∠2 ∵BC=BC ∠1=∠2 ∠ABC=∠ACB
∴△BEC≌△CFB (ASA)
∴BE=CF
9.证明：
∵△ACM,△CBN是等边三角形
∴AC=MC
∠ACN=∠MCB=60°+∠MCN
CN=CB
∴△ACN≌△MCB (SAS)
∴AN=MB
10.已知：△ABC中,AB=AC,CD, BE分别是腰AB, AC上的高, 且CD, BE交于O
求证：OB=OC
证明：
∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
∵CD, BE分别是腰AB, AC上的高
∴∠BDC=∠CEB=Rt∠
BC=CB
∴△DBC≌△ECB (AAS)
在△BOC中, ∵∠1=∠2, ∴OB=OC
11.略证：由已知证得BD平分∠ABC
∠DBC=30°
∵CE=CD ∠ACB=60°
∴∠E=∠DBC=30°
∴DB=DE
∵DM⊥BC
∴M是BE的中点.
12.已知：△ABC中, AB=AC, BD=CE
求证：AD=AE
证：∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACE
∵AB=AC, ∠ABD=∠ACE, BD=CE
∴△ABD≌△ACE (SAS)
∴AD=AE
13.
14.证明：作AE⊥BC于E交CD于F
则AE平分∠BAC, 即∠1＝∠2
∵∠ADF=∠CEF=Rt∠
∠AFD=∠CFE(对顶角相等)
∴∠1=∠FCE
15.
证明：
延长DB到F, 使BF=AB, 连结AF
∵∠F=∠BAF , ∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F
∵∠ABC=2∠ACB ∴∠F=∠C, AC=AF
∵AD⊥BC ∴DC=DF
∵DF=BD+BF=AB+DB
∴DC=AB+DB。