第三章 平稳时间序列模型的建立

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AR(p)的模型为 X t 1 X t p X t p at ，则有效的样本容 量为 N-P，估计的参数为 (p+1),所以 AR(p)的残差方差为：
ˆ2 残差平方和 残差平方和 或 N p ( p 1) N 2p
ˆ1 1 ˆ1 ˆ2 ˆ p 1 ˆp
ˆ1 1 ˆ p2
ˆ2 ˆ1
ˆ p 2 ˆ p 3 ˆ1
ˆ p 1 ˆ1 ˆ p2 ˆ2 1 ˆp
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（二）偏相关系数截尾性的判断 若yt是一个AR（p）过程 ，
s p
ˆ kk
~ N (0,
1 ) N
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ˆ ss | 1 p |
ˆ ss | 2 p |

N 68.3%
N 95.5%
2 a
的矩估计：
ˆ1 ˆ 2 ˆp) ˆ ˆ0 (1 ˆ1 ˆ2 ˆp
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例1，AR(1)模型的矩估计
设xt 1 xt 1 at 则 ˆ1 ˆ1 ˆ1 ˆ0
ˆ 0(1 ˆ 1 ˆ1 )
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xt 1 xt 1 2 xt 2 p xt p at
k 1 k 1 2 k 2 p k p
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于是可得如下的Yule-Walk方程：
1 1 0 2 1 p p 1 2 1 1 2 0 p p 2 p 1 p 1 2 p 2 p 0
ˆ1 ˆ0 ˆ k ... ... ˆ k 1 ˆ k 2
... ˆ k 2 ... ... ... ˆ0
通常是正定的。
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（二）偏自相关函数的估计
1 ˆ 1 ˆ s 1
1
ˆ p 3
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0 E ( xt2 ) E ( xt (1 xt 1 2 xt 2 p xt p at ))
2 1 1 2 2 p p a
于是可得到
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AIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此 准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否合 适)的推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则 既适合于AR，也适合于ARMA模型。
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实际中, 常用 AIC 准则: (1) 分别取 p k 0,1, , P0 ;
残差方差
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2、ACF和PACF定阶法
模 型 AR(p) 拖 尾 截 尾 MA(q) 截 尾 拖 尾 ARMA(p,q) 拖 尾 拖 尾
自相关函数（ACF） 偏自相关函数 （PACF）
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（三）F 检验定阶法 利用方差分析的工具，比较 ARMA（p，q）模型和 ARMA（p-1，q-1）的残差平方和，用 F 检验判定阶数降低 后的模型与原来的模型之间是否存在显著性差异。 做法是： 拟合 ARMA（p，q）和 ARMA（p-1，q-1）模型，并记模 型的残差平方和为 Q0 和 Q1 ， df0 和 df 分别为其自由度。检验
1/ 2

1 2 2 - 0.2782 0.1075 1 2 - 0.025 10


ˆ3 i 1,2,...., 10 时，
-0.125， ˆ4
-0.037...,
ˆ12 0.042， ˆ k i 0.1075 满足
7 的比例为 10 70 % ，大于 68.3%。因此该序列自相关函数在 2 阶截尾。
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第二节 模型参数的估计 一、模型参数的矩方法估计 二、最小二乘估计 三、极大似然估计
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一、模型参数的矩估计 （一）AR(p)模型的矩估计
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q 2 s 1 2
P | k |
2
ˆ ) 95.5% (1 2 N s 1
q 2 s 1 2
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例1，某资产组合过去100个交易日收益率情况
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80
100
120
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第三章 平稳时间序列模型的建立 本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别 时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估 计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模 方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出 实际案例。
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ˆ1 1 ˆ s 2
ˆ s 1 ˆ1 ˆ s1 ˆ s 2 ˆ2 ˆ s2 ˆs ˆ ss 1
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2 ˆ (2) 求 AR(k)时的 k ;
(3) 计算
ˆ k2 AIC(k ) ln
2k , k 0,1, , P0 N
ˆ min{k |[AIC(k )]} 称为 AIC 定阶. (4) p k
注:
ˆ p, 一般 p
依概率 ˆ p p , 即不相合; 并无
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ˆk ˆ k , k 0,1,... ˆ0
* ˆ * ˆk k , k 0,1,... ˆ0
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* ˆk ˆ k 是平稳时间序列自协方差的无偏估计量； 1）
则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。 ˆ0 ˆ1 ... ˆ k 1 2）
2 a
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例2，AR(2)模型参数的矩估计
设xt 1 xt 1 2 xt 2 at
2 待估计参数 1 , 2 , a
由前推导的一般公式得 ˆ1 ˆ 1 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ˆ 1 ˆ1 ˆ2 求解得 : ˆ (1 ˆ2) ˆ1 ˆ 12 1 ˆ2 ˆ 12 ˆ2 ˆ 12 1
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为克服不相合, 改用 BIC(k)函数定阶.
k ln N ˆ BIC(k ) ln , k 0,1, , P0 N
2 k
注:
2 ~ WN(0, ) 若 t
是独立同分布的, 则
BIC(k)是强相合的; 当 N 不大, BIC 定阶偏低,会失真, 宜取 AIC.
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H 0 : 4 0
Q1 Q0 F 1
H1 : 4 0
71123.96 71104.13 Q0 1 0.015 60 5 71104.13 / 55
两模型几乎没有差异。
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（四）模型定阶的最佳准则函数法
1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某 一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模 型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就 是最合适的阶数。 衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。 2、最佳准则函数包括AIC、BIC等准则。
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模型
残差平方和
自由度
残差方差
AR(1) AR(2)
AR(3)
8184.654 7920.037
7919.2947
68 67
66
120.03095 117.76331
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模型的残差方差图 8250 8200 8150 8100 8050 8000 7950 7900 7850 7800 7750 AR(1) AR(2) 模型类别 AR(3)



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（三） ARMA（p，q）模型识别
模型
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
ACF
拖尾
截尾
拖尾
PACF
截尾
拖尾
拖尾
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三、模型的定阶
1、残差的方差
残差的方差 ˆ 实际观测值个数－模型的参数个数
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第一节 模型识别与定阶 一、 自相关函数和偏自相关函数的估计 （一）自协方差函数和自相关函数的估计
1 ˆk N
N k k 1
y
N k k 1
t
y yt k y , k 0,1,...