2018考研数学一真题及解析

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2018-2019年考研数学一真题及答案

2018考研数学一真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数1cos 0(),0xx f x b x ⎧->⎪=⎪≤⎩在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xx f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】22,,2f f fxy x z x y z∂∂∂===∂∂∂，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为()014,1,0(1,2,2)23f gradf n n∂=⋅=⋅=∂应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（）（A ）010t = （B ）01520t <<（C ）025t = （D ）025t >【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线运动的速度函数时，21()()T T S t v t dt =⎰表示时刻[]12,T T 内所走的路程．本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差，显然应该在25t =时乙追上甲，应该选（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆（B ）TE αα+不可逆（C ）2TE αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）． 6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B 是两个随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(/)(/)P A B P A B >的充分必要条件是（A ）(/)(/)P B A P B A > （B ）(/)(/)P B A P B A < （C ）(/)(/)P B A P B A > （D ）(/)(/)P B A P B A <【详解】由乘法公式：()()(/),()()((/)P AB P B P A B P AB P B P A B ==可得下面结论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P A P AB P A B P A B P AB P A P B P B P B P B ->⇔>=⇔>- 类似，由()()(/),()()(/)P AB P A P B A P AB P A P B A ==可得()()()()(/)(/)()()()()1()()P AB P AB P B P AB P B A P B A P AB P A P B P A P A P A ->⇔>=⇔>- 所以可知选择（A ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布（B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f = ．解：由函数的马克劳林级数公式：()0(0)()!n nn f f x x n ∞==∑，知()(0)!n n f n a =，其中n a 为展开式中nx 的系数．由于[]24221()1(1),1,11n n f x x x x x x==-+-+-+∈-+，所以(3)(0)0f =．10．微分方程230y y y '''++=的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程2230r r ++=有一对共共轭的根1r =-，所以通解为12()x y e C C -=+ 11．若曲线积分221L xdx aydy x y -+-⎰在区域{}22(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则a = .【详解】设 2222(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -==+-+-，显然 (,),(,)P x y Q x y 在区域内具有连续的偏导数，由于与路径无关，所以有1Q Pa x y∂∂≡⇒=-∂∂ 12．幂级数111(1)n n n nx ∞--=-∑在区间(1,1)-内的和函数为【详解】111121111(1)(1)()(1)1(1)n n n nn n n n n x nxx x x x ∞∞∞----===''⎛⎫⎛⎫'-=-=-== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 所以21(),(1,1)(1)s x x x =∈-+13．设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的分布函数4()0.5()0.52x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX = ．【详解】随机变量X 的概率密度为4()()0.5()0.25()2x f x F x x ϕϕ-'==+，所以 4()()0.5()0.25()240.25()0.252(24)()22()2x E X xf x dx x x dx x dx x x dx t t dt t dt ϕϕϕϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞-∞-==+-==⨯+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、解答题15．（本题满分10分）设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,cos )xy f e x =，求0|x dy dx=，202|x d y dx =．【详解】12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-，01|(1,1)x dyf dx='=； 2111122222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d ye f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+2011122|(1,1)(1,1)(1,1)x d yf f f dx=''''=+-．16．（本题满分10分）求21limln 1nn k k k nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰17．（本题满分10分）已知函数()y x 是由方程333320x y x y +-+-=．【详解】在方程两边同时对x 求导，得2233330x y y y ''+-+= （1）在（1）两边同时对x 求导，得2222()0x y y y y y '''''+++=也就是222(())1x y y y y'+''=-+令0y '=，得1x =±．当11x =时，11y =；当21x =-时，20y = 当11x =时，0y '=，10y ''=-<，函数()y y x =取极大值11y =；当21x =-时，0y '=，10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =． 18．（本题满分10分）设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x-→<，证明：（1）方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．证明：（1）根据的局部保号性的结论，由条件0()lim 0x f x x-→<可知，存在01δ<<，及1(0,)x δ∈，使得1()0f x <，由于()f x 在[]1,1x 上连续，且1()(1)0f x f ⋅<，由零点定理，存在1(,1)(0,1)x ξ∈⊂，使得()0f ξ=，也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根；（2）由条件0()lim 0x f x x-→<可知(0)0f =，由（1）可知()0f ξ=，由洛尔定理，存在(0,)ηξ∈，使得()0f η'=；设()()()F x f x f x '=，由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导，且(0)0,()0,()0F F F ξη===，分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理，则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈⊂∈⊂使得1212,()()0F F ξξξξ''≠==，也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根．19．（本题满分10分）设薄片型S 是圆锥面z =被柱面22z x =所割下的有限部分，其上任一点的密度为μ=C ．（1）求C 在xOy 布上的投影曲线的方程；（2）求S 的质量.M【详解】（1）交线C的方程为22z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩z ，得到222x y x +=．所以C 在xOy 布上的投影曲线的方程为222.0x y xz ⎧+=⎨=⎩（2）利用第一类曲面积分，得222222(,,)1864SSx y xx y xM x y z dS μ+≤+≤=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20．（本题满分11分）设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他．（1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=2019考研数学一真题及答案一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-. C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(yxy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -. C.y x 11-. D.yx 1-. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X PA.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11. 幂级数nn n x n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S . 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组TT T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为Tc b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量参考答案1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos + 10.23-xe 11.x cos 12.332 13. ，T)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.3215. 解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xe x y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1 =dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441 =ρρρθπd d ⎰⎰+202241=20232)41(1212ρπ+⋅=.313π 17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=P αααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩. （II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =2012t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，当,1,2,,i x i nμ≥=时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。

考研真题【2018考研数学(一)真题+答案解析】2018年考研数学一真题及答案解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D）【解析】根据导数的定义：（A）sin limlim0,x x x x x x x x→→== 可导；（B）0,x x →→==可导；（C）1cos 12limlim0,x x xx xx→→--==可导；（D）000122lim lim,x x x xx x→→→-==极限不存在，故选D。

（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与(B)022z x y z =+-=与2(C)1x y x y z =+-=与(D)22x y x y z =+-=与2【答案】（B）【解析】()()221,0,0,0,1,0=0z z x y =+过的已知曲面的切平面只有两个，显然与曲面相切，排除C 、D22z x y =+曲面的法向量为(2x,2y,-1),111(1,1,1),,22x y z x y +-=-==对于A选项,的法向量为可得221.z x y x y z z A B =++-=代入和中不相等，排除，故选（3）()()23121!nn n n ∞=+-=+∑（）(A)sin1cos1+(B)2sin1cos1+(C)2sin12cos1+(D)2sin13cos1+【答案】（B）【解析】00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn nn n n n n n n n ∞∞∞===++-=-+-+++∑∑∑0012=(1)(1)cos 2sin1(2)!(21)!nn n n l n n ∞∞==-+-=++∑∑故选B.（4）设()(2222222211,,1,1x x xM dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K >>(B)M K N >>(C)K M N >>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1).111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11xx xxx e x N dx dx Meeπππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx M πππππ--+>==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

2018考研数学一真题+答案

2018全国研究生入学考试考研数学一试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1. 下列函数不可导的是： A.x x y sin =B.x x y sin =C.xy cos =D.x y cos=2.过点（1,0,0）与（0,1,0）且与22y x z +=相切的平面方程为 A.10=-+=z y x z 与 B.2220=-+=z y x z 与 C.1=-+=z y x x y 与 D.222=-+=z y c x y 与 3.)!12(32)1(0n ++-∑∞=n n n=A.1cos 1sin +B.1cos 1sin 2+C.1cos 1sin +D.1cos 21sin 3+4.dx xx M ⎰-++=22221)1(ππ， dx e x N x ⎰+=22-1ππ， dx x K ⎰+=22-cos 1ππ）（，则M,N,K 的大小关系为：A.K N M >>B.N K M >>C.N M K >>D.K M N >>5. 下列矩阵中，与矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110011相似的为________.A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001101-11B.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100110101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010111D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000101016.设A,B 为n 阶矩阵，记)(r X 为矩阵X 的秩，）（Y X 表示分块矩阵，则A.)A ()AB A (r r =B.)A ()BA A (r r =C.)}B (),A ({max )B A (r r r =D.)B A (r )B A (r TT= 7.设随机变量X 的概率密度)(x f 满足6.0)(),1()1(2=-=+⎰dx x f x f x f ，则}0{p ＜x = 。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

2018年硕士研究生入学考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）下列函数不可导的是：()()()()sin sin cos cosA y x xB y xC y xD y====（2）22过点（1，0，0）与（0，1，0）且与z=x 相切的平面方程为y + ()()()()0与10与222与x+y-z=1与222A zx y z B z x y z C y x D yx c y z =+-==+-===+-=（3）023(1)(2n 1)!nn n ∞=+-=+∑()()()()sin 1cos 12sin 1cos 1sin 1cos 13sin 12cos 1A B C D ++++（4）22222222(1x)1xN= K=(11xM dx dx x e ππππππ---++=++⎰⎰⎰），则M,N,K的大小关系为()()()()A M N K B M K N C K M N D NM K>>>>>>>>（5）下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭相似的为______. A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭ C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D.101010001-⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭（6）.设A ，B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，（X Y ）表示分块矩阵，则A.()()r A AB r A =B.()()r A BA r A =C.()max{(),()}r A B r A r B =D.()()TT r A B r A B =（7）设()f x 为某分部的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，20()d 0.6f x x =⎰，则{0}p X = .A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6 （8）给定总体2(,)XN μσ，2σ已知，给定样本12,,,n X X X ，对总体均值μ进行检验，令0010:,:H H μμμμ=≠，则A . 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时也拒绝0H . B. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时拒绝0H . C. 若显著性水平0.05α=时拒绝0H ，则0.01α=时接受0H . D. 若显著性水平0.05α=时接受0H ，则0.01α=时也接受0H .二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）1sin 01tan lim ,1tan kxx x e x →-⎛⎫= ⎪+⎝⎭则k =（10）()y f x =的图像过（0,0），且与x y a =相切与（1,2），求1'()xf x dx =⎰（11）(,,),(1,1,0)F x y z xy yz xzk rot F εη=-+=求（12）曲线S 由22210x y z x y z ++=++=与相交而成，求xydS =⎰ （13）二阶矩阵A 有两个不同特征值，12,αα是A 的线性无关的特征向量，21212()(),=A A αααα+=+则（14）A,B 独立，A,C 独立，11,()()(),()24BC P A P B P AC ABC P C φ≠===，则=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）.求不定积分2x e ⎰（16）.一根绳长2m ，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是所得的面积总和最小，并求该最小值。

2018考研数学一真题最强解析及点评(没有之一),给你2019考研数学最科学的指引

半送分题
可能是部分同学卷面遇上的第四道难题，考查具有对称性的重积分的简化运算。积分对称性的应用一直是《金讲》的反复重点强调的要点，同型题见《金讲》262页例1.8.5.如若掌握，本题亦是送分题。但《金讲》以外大部分参考书对重积分的本质定义的理解讲解甚少，只是繁杂公式的罗列，会让大部分同学对重积分产生畏惧，简单题亦变成难题，所以本题有可能成为《金讲》以外学习者的第四道难题。
用在乎泄题带来的不公，本源内容的掌握才是胜券在握的根本保障。
条件最值是最值求解中最简单的问题，没有难题，直接用公式就好。《金讲》202 页给出了明确详细的方法，属于送分题。
送分题
送分题
高斯公式的简单应用。基础试题，见《金讲》291页高斯公式应用详解，同型例题见296页例1.9.15，送分题。但《金讲》以外大部分参考书对重积分的本质定义理解讲解甚少，只是繁杂公式的罗列，让大部分同学对重积分产生畏惧，简单题亦成难题，所以本题有可能成为《金讲》以外学习者的第六道难题。
完全同型题
随机变量数字特征计算的关键掌握公式的使用。《金讲》在随机变量的数字特征这一章给出了每个公式的详细推导及通俗解释，足以应对任何本章的考题。问题2中求复合随机变量问题，《金讲》给出了同型例题的详细过程，足以化解这方面的任何问题。
应用公式
同型例题
同型例题
《金讲》645-646页不仅超越教材的理解给出最大似然估计的白话解释，更详细列出了似然估计的详细解题步骤，给出可以全面覆盖所有可能的似然估计函数例题，足以应对任何本章的考题。问题2是求随机变量特征值，《金讲》在610有完全同型例题的详细过程，足以化解这方面的任何问题。
半送分题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次方程组的详细解题过程，还给予具体具体方程解析示例，详细程度超越市面任何一本数学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。

2018年考研真题数学

2018年考研真题数学在2018年的考研真题数学部分中，涵盖了多个知识领域和题型，考察了考生的数学思维和解题能力。

本文将对2018年考研真题数学进行详细分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这一部分的考试内容。

第一部分：选择题2018年考研数学选择题主要分为数学一和数学二两个版本。

数学一版本涵盖了线性代数、概率统计和高等数学等知识点，而数学二版本则重点考察了实分析、复分析和常微分方程等专业数学知识。

其中，数学一部分的选择题考察了对数学知识的掌握和运用能力。

以线性代数为例，考生需要熟悉矩阵的性质、行列式的计算和特征值特征向量等内容，并能够将其应用于实际问题的解答中。

在概率统计方面，考生需要掌握概率计算、参数估计和假设检验等基本方法，并能够运用这些方法解决实际问题。

对于数学二的选择题部分，考生需要具备扎实的数学基础和相关专业知识。

实分析方面，题目主要涵盖了实数的性质、极限、连续性和可测性等概念，考察了考生对这些基本概念的理解和运用。

复分析方面，则考察了复数函数的性质、解析函数的概念和留数定理等内容。

在常微分方程部分，考生需要熟悉常微分方程的基本知识和解法，并能够运用这些方法解决具体问题。

第二部分：填空题填空题是2018年考研数学部分的重点考察内容之一。

填空题考察了考生的运算能力和解题思路。

在填空题中，考生需要根据题目给出的信息进行推理和计算，并填写正确的答案。

填空题的题型多样，包括求导、积分、概率计算和矩阵运算等。

考生需要熟练掌握各种数学方法和技巧，并能够准确地应用到填空题的解答中。

同时，考生还需要注意题目中的关键信息和要求，避免出现计算错误或理解偏差。

第三部分：解答题解答题是考研数学部分的重点和难点。

在2018年的考研真题中，解答题主要考察了考生的数学思维和解题能力。

题目涵盖了线性代数、概率统计、实分析、复分析和常微分方程等多个领域的知识，考生需要综合运用各种数学方法和技巧解决复杂的问题。

解答题要求考生具备扎实的数学基础和相关专业知识，同时需要具备较强的思维逻辑能力和数学建模能力。

2018年考研数学一二三真题解析及点评(史上最强版)

证明数列收敛只有唯一的方法：证明数列单调有界。《金讲》17页予以重要说明并给出两道难度高于本题的同型例题详解，本题再不济，直接用第一问的结论求出第二问的结果应该是一丝难度都没有。
数一第20题数三第20题数二第22题
《金讲》403-405页不仅给出了通用性齐次方程组的详细解题过程，还给予具体具体方程解析示例，详细程度超越市面任何一本数学参考书，足以解答任何复杂齐次方程组。
本质一样
数一第18题
(Ⅰ)是简单一阶微分方程求解，直接套公式即得，送分题；(Ⅱ)不定积分函数与变现积分函数的灵活转换，需要对两者关系有较深度地掌握方可轻易转换，稍有难度，本题完整证明出来的同学应该不超过万分之一。
较难题
考查不等式的证明，具有天然的难题属性。但《金讲》在142页对这类题型设了一个专题给予了本质性的总结，任何不等式证明本质都可以归结到两类情况，每类情况的证明有唯一思路，因此，不等式证明对于《金讲》读者不太可能成为难题，但《金讲》以外，没有任何参考书做过这种深度总结，因此本道题对于有些人是难题。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在《金讲》中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点，足以解决任何函数的展开式。
数一第19题数三第19题数二第21题
数二第20题
考查微分的基本应用，将题目内容用数学式子表示出来，问题就转化为了最简单的微分或积分问题，本题几乎是《金讲》配套暑期集训讲义中的原题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用旋度公式计算即得答案。旋度公式的详细计算公式参见《金讲》288页，属送分题。

19考研数一真题和答案

. .2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上 .1.下列函数中在x 0处不可导的是（）（A）f ( x) x sin x （B）f (x) x sin x（C） f ( x) cos x （D） f (x) cos x2.过点(1,0,0) ，(0,1,0) ，且与曲面2 2z x y 相切的平面为（）（A）z0与x y z 1 （B）z0与2x 2y z 2 （C）x y与x y z 1 （D）x y与2x 2y z 23.nn( 1)2n 3(2n 1)!（）A sin1 cos1B 2sin1 cos1C 2sin1 2cos1D 2sin1 3cos14.设2(1 x)M dx221 x21 x， 2N dx， 2K (1 cosx)dx，则（）xe2 2（A）M N K （B）M K N（C）K M N （D）K N M1 1 00 1 1 5. 下列矩阵中阵，与矩阵相似的是（）0 0 1. .专业资料 . .. .1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 （A）（B）（C）（D）0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 5.设A, B是n阶矩阵，记r(X ) 为矩阵X 的秩，( X ,Y)表示分块矩阵，则（）（A）r ( A, AB) r (A) （B）r ( A, BA) r (A)T T（C）r ( A, B) max{ r ( A), r ( B)} （D）( , ) ( , )r A B r A B6.设随机变量X 的概率密度 f (x) 满足f (1 x) f (1 x) ，且20 f (x)dx 0.6则P{ X 0} ( )（A）0.2 （B）0.3 （C）0.4 （D）0.57.设总体 X 服从正态分布2N(, ) , X1, X2, ,X n 是来自总体X 的简单随机样本，据此样本检测，假设H0 : 0 ,H1 : 0 ,则（）（A）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必拒绝0 H ；（B）如果在检验水平0.05下拒绝H，那么在检验水平0.01下必接受0 H ；（C）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必拒绝H0；（D）如果在检验水平0.05下接受H，那么在检验水平0.01下必接受H0。

2018年考研数学一真题

(A) 如果检验水平α = 0.05 下拒绝 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必拒绝 H0
(B) 如果检验水平α = 0.05 下拒绝 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必接受 H0
(C) 如果检验水平α = 0.05 下接受 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必拒绝 H0
13.设 2 阶矩阵 A 有两个不同特征值，α1 ,α2 是 A 的线性无关的特征向量，且满
足 A2 (α1 + α2 ) =α1 + α2 ，则 A = ________.
14.设随机事件 A 与 B 相互独立， A 与 C 相互独立， BC = ∅ ，若
P= (A) P= (B) 1 ， P (A C AB C) = 1 ，
(D) f (x) = cos x
2.过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ，且与曲面=z x2 + y2 相切的平面为 ( )
(A) z = 0 与 x + y − z =1
(B) z = 0 与 2x + 2y − z =2
(C) x = y 与 x + y − z =1
(D) x = y 与 2x + 2y − z =2
(A) r (A, AB) = r (A)
(B) r (A, BA) = r (ห้องสมุดไป่ตู้)
(C) r (A, B) = max{r (A), r (B)}
( ) (D) r (A, B) = r AT , BT
7.设随机变量 X 的概率密度 f (x) 满足 f (1 + x) =
f
(1
−
x
)
，且
2
∫0

2018年考研数学一真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（）(A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2(C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2（3）()()023121!n n n n ∞=+-=+∑（）(A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+(C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+（4）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===+⎰⎰⎰则（）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）(A) 111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 111010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）(A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =()()(){}()T T(A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5（8）设总体()212,,,,,n X N X X X X μσ服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（）(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝(B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受(C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝(D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

考研数学一模拟题2018年(74)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一模拟题2018年(74)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题下列各题给出的四个选项中，只有一个选项符合试题要求．1.设函数f(x)在[0，+∞)上二阶可导，且f"(x)＞f"(x)，则在区间[0，+∞)上是______SSS_SINGLE_SELA 单调增加．B 单调减少．C 有极值．D 常数．分值: 4答案:A[解析]∴ 单调增加．选A．2.函数z=z(x，y)由方程所给出，则______SSS_SINGLE_SELA 2xz．B 2yz．C 2xy．D xyz．分值: 4答案:A[解析]同理于是选A．3.设D={(x，y)|x 2 +y 2≤R 2，R＞0}，则二重积分的值______SSS_SINGLE_SELA 为零．B 为正．C 为负．D 当λ＞0时为正，当λ＜0时为负．分值: 4答案:A[解析] 先将极坐标化为直角坐标，再变量轮换，得∴被积函数e λx -e -λx是x的奇函数，区域D关于y轴对称，所以，从而I=0．选A．4.下列结论正确的是______A．若收敛，则条件收敛．＞0)条件收敛，则发散．B．若，(unC．若收敛，则收敛．D．若收敛．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 举反例排除A，C，D．取收敛，但发散，排除A；=(-1) n，则收敛，但发散，排除C；取un=(-1) n，发散，排除D，选B．取un5.设A为m×n矩阵，下列命题中正确的是______SSS_SINGLE_SELA 若A中有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．B 若A中有n阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．C 若A中有m阶子式不为零，则Ax=0仅有零解．D 若A中有，m阶子式不为零，则Ax=b必有唯一解．分值: 4答案:A[解析] (A)若A中有n阶子式不为零，此时A为列满秩矩阵，这时n-R(A)=0，则Ax=0仅有零解；反之，若Ax=0仅有零解，则n-R(A)=0．因此，A中有n阶子式不为零是Ax=0仅有零解的充分必要条件．选A．B．若A中有n阶子式不为零，这时R(A)=n，此时A为列满秩矩阵，这时n-R(A)=0，得不出R(A)=R(A b)，得不出Ax=b有解，更得不出Ax=b必有唯一解．B错．C．若A中有m阶子式不为零，这时R(A)=m，此时A为行满秩矩阵，得不出R(A)=n，得不出Ax=0仅有零解．C错．D．若A中有m阶子式不为零，此时A为行满秩矩阵，于是有R(A)=R(Ab)，这是Ax=b有解的充分必要条件，但得不出Ax=b必有唯一解．D错．6.P为正交矩阵，A为对角矩阵，则矩阵P -1 AP为______SSS_SINGLE_SELA 正交矩阵．B 对称矩阵．C 不一定为对称矩阵．D 以上都不对．分值: 4答案:B[解析] P为正交矩阵，PP T =E，P -1 AP(p -1 AP) T =P -1 APP T A T (p -1 ) T =P -1 AAP=P -1 A 2 P，P -1 AP(P -1 AP) T =E，不能得出P -1 AP为正交矩阵．排除A．(P -1 AP) T =P T A T (p -1 ) T =P -1 AP，所以P -1 AP为对称矩阵，选B．7.设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ，σ 2 )的简单随机样本，其均值和方差分别为，S 2，则服从自由度为n的χ 2分布的随机变量是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:D[解析] 由于总体X～N(μ，σ 2 )，又与S 2相互独立，而χ 2分布具有可加性，因而选D．8.设相互独立的两随机变量X和Y，其中，而Y具有概率密度等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] ，X只能取X=0或X=1，用全概公式选A．二、填空题1.SSS_FILL分值: 4[解析]2.曲线(C≠0)所围平面区域D的面积为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 平面Ax+By+Cz=0的法向量方向余弦为D的面积为3.圆x 2 +(y-b) 2 =a 2 (0＜a＜b)绕x轴旋转一周所生成的形如车胎的旋转体的体积为______SSS_FILL分值: 42π 2 a 2 b． [解析] 如下图，圆x 2 +(y-b) 2 =a 2由下列曲线组成：还可以用古尔金定理，秒杀搞定!Vx=xa 2·2πb=2π 2 a 2 b．4.设u=u(x，y，z)具有二阶连续的偏导数，且满足，又设S为曲面x 2 +y 2+z 2 =2az(a＞0)，取其外侧，则SSS_FILL分值: 4[解析] 由高斯公式，以Ω表示S所围成的球体，有5.设矩阵A的伴随矩阵则A=______．SSS_FILL分值: 4[解析] ∵|A * |=|A| n-1，∴|A * |=-8=|A| 4-1，∴|A|=-2．又AA * =|A|E，∴A=|A|(A * ) -1，∴6.相互独立的随机变量X1和X2均服从正态分布，则D(|X1-X2|)=______．SSS_FILL 分值: 4[解析] X1和X2均服从正态分布，则Z=X1-X2～N(0，1)．D(|X1 -X2|)=D(|Z|)=E(|Z| 2 )-[(|Z|)] 2=E(Z 2 )-[E(Z)] 2=D(Z)+[E(Z)] 2 -[E(|Z|)] 2，而D(Z)=1，E(Z)=0，∴三、解答题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1.设f(x)在(0，+∞)内单调减少，可微，且满足不等式0＜f(x)＜|f"(x)|，证明：当0＜x＜1时，成立不等式SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证] 欲证即证又f(x)单调减少，可微，f"(x)＜0，∴0＜f(x)＜|f"(x)|=-f"(x)，于是 f(x)+f"(x)＜0， (0＜x＜1)．构造 F(x)=e x f(x)．由拉格朗日中值定理，2.求，其中L是球面x 2 +y 2 +z 2 =2bx与柱面x 2 +y 2 =2ax(b＞a＞0)的交线(z≥0)，L的方向规定为沿L的方向运动时，从z轴正向往下看，曲线L 所围球面部分总在左边．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 记∑为曲线L所围球面部分的外侧(如下图)．由斯托克斯公式其中n={cos α，cos β，cos γ}为球面x 2 +y 2 +z 2 =2bx上每点处的单位法向量．3.将在[0，π]上展开成正弦级数，并求级数的和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 首先对f(x)进行奇延拓，接着进行周期延拓，4.设f(x)在[a，b]上连续，，求证：f(x)在(a，b)内至少有两个零点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[证] 令(a≤x≤b)，则F(a)=F(b)=0，且F"(x)=f(x)．于是F(c)=0，从而有F(a)=F(c)=F(b)=0．分别在[a，c]与[c，b]上应用罗尔定理，于是存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F"(ξ1 )=0，F"(ξ2)=0，即f(ξ1)=0，f(ξ2)=0．即f(x)在(a，b)内至少有两个零点．5.求目标函数f(x，y，z)=xyz在x+y+z=0和x 2 +y 2 +z 2 =1约束条件下的极大值和极小值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10[解] 作拉格朗日函数L=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -1)+μ(x+y+z)．并令 L"x=yz+2λx+μ=0，L"y=zx+2λy+μ=0，L"z=xy+2λz+μ=0，L"λ=x 2 +y 2 +z 2 -1=0，L"μ=x+y+z=0，由前三式消去μ，得再消去λ，又得(x-y)(y-z)(z-x)=0．于是求得x=y或x=z或y=z．当x=y时，代入条件函数后，得由此得出同样，当x=z或y=z时，仍可得到上述结果．∴已知B为3阶非零矩阵，且B的每个列向量都是Ax=0的解，其中试求：SSS_TEXT_QUSTI6.λ的值；分值: 3.XX667[解] 由已知齐次线性方程组Ax=0有非零解．R(A)＜3，于是|A|=0，即有解得λ=-1．SSS_TEXT_QUSTI7.Ax=0的通解；分值: 3.XX667齐次线性方程组即为SSS_TEXT_QUSTI8.求矩阵B的秩．分值: 3.XX667由已知AB=O，∴R(A)+R(B)≤3，又R(A)=2，∴R(B)≤1，又B≠O，∴R(B)≥1，∴R(B)=1．设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax满足a11+a22+a33=2，AB=0，其中SSS_TEXT_QUSTI9.用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换；分值: 3.XX667[解] 由题设条件B的三个列向量均为Ax=0的解向量．也是A的对应于特征值λ=0的特征向量，由于|B|=0，故B中的三个列向量线性相关，取α1，α2线性无关，且已正交．又λ1+λ2+λ3=a11+a22+a33=2，∴λ1=λ2=0 λ3=2． (单，重，重)因A为实对称矩阵，所以对应于λ3 =2的特征向量与α1，α2正交，即有[α1，α3]=x1+x2+x3=0，[α2，α3]=-x1+x2=0，解得再把α1，α2，α3单位化，得SSS_TEXT_QUSTI10.求该二次型分值: 3.XX667∵故所求二次型为SSS_TEXT_QUSTI 11.f(x1，x2，x3)=1代表什么曲面．分值: 3.XX667由标准化∴ 表示两个平行的平面．设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，令随机变量SSS_TEXT_QUSTI12.求Y的分布函数F(y)；Y分值: 5.5[解] F(y)=P{Y≤y}(如下图)．Yⅰ)y≤0， F(y)=0；Y(y)=1；ⅱ)y≥1， FYSSS_TEXT_QUSTI13.求Y的数学期望E(Y)．分值: 5.5设随机变量X与Y相互独立且服从同一分布N(0，σ 2 )，其中σ是未知参数且σ＞0，记Z=aX+bY，(a≠0，b≠0)．SSS_TEXT_QUSTI14.求Z的概率密度f(z；σ 2 )；分值: 3.XX667[解] 由于X，Y相互独立，所以aX+bY仍然服从正态分布N(0，(a 2 +b 2)σ 2 )．∴SSS_TEXT_QUSTI15.设Z1，Z2，…，Zn为来自总体Z的简单随机样本，求σ 2的最大似然估计量；分值: 3.XX667取对数，得求导并令∴SSS_TEXT_QUSTI 16.计算．分值: 3.XX6671。

考研数学一(向量代数和空间解析几何、多元函数微分学)历年真题

考研数学一（向量代数和空间解析几何、多元函数微分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2018年] 过点(1，0，0)与(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为( )．A．z=0与x+y-z=1B．z=0与2x+2y一z=2C．y=x与x+y一z=1D．y=x与2x+2y一z=2正确答案：B解析：设切点的坐标为(x0，y0，x02+y02)，由题意可知切平面的法向量为n=(2x0，2y0，一1)，则切平面的方程为2x0(x—x0)+2y0(y—y0)一[z一(x02+y02)]=0 ，即2x0x+2y0y-z一(x02+y02)=0．(*)将点(1，0，0)与(0，1，0)代入上式得解得x0=y0=0或x0=y0=1．将x0，y0的值代入(*)式，可得z=0或2x+2y-z=2．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何2．设直线L：及平面π：4x-2y+z一2=0，则直线L( )．A．平行于πB．在π上C．垂直于πD．与π斜交正确答案：C解析：易求得直线L的方向向量为而平面π的法向量为，n=(4，一2，1)，故s与n共线，即l的方向向量s与平面π的法向量n平行．因而直线L和平面π垂直．仅C入选．知识模块：向量代数和空间解析几何3．[2002年] 设有三个不同平面的方程ai1x+ai2y+ai3z=bi，i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩为2，则这三个平面可能的位置关系为( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设，建立线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2，小于未知数个数3．由线性方程组解的理论知，此方程组有无穷多组解，即三个平面有无穷多个交点．对照四个选项，A只有一个交点，C、D无交点，只有B符合要求．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何4．设矩阵是满秩的，则直线( )．A．相交于一点B．重合C．平行但不重合D．异面正确答案：A解析：因秩，又经初等行变换得到而经初等行变换，矩阵的秩不变，故两行向量(a1一a2，b1一b2，c1一c2)，(a2一a3，b2一b3，c2一c3)线性无关，所以它们不共线．因而两直线的方向向量不平行，也不重合．B、C不能入选．又因两直线分别过点M3(a3，b3，c3)，M1(a1，b1，c1)．而三向量=(a3-a1，b3-b1，c3-c1)，s1=(a1一a2，b1—b2，c1一c2)，s2=(a2一a3，b2—b3，c2一c3)共面．这是因为故此两直线不是异面直线，而是共面直线．又因它们不平行，所以必相交．仅A入选．知识模块：向量代数和空间解析几何5．[2008年] 设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程[x，y，z]A[x，y，z]T=1在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：由图可知二次曲面为旋转双叶双曲面，其标准方程应为从而方程左端对应二次型的正惯性指数为1，即正特征值的个数为1．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何6．[2016年] 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )．A．单叶双曲面B．双叶双曲面C．椭球面D．柱面正确答案：B解析：由f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3易求得其矩阵为易知A的特征值为λ1=a+(n一1)b=1+(3—1)×2=5，λ2=λ3=a—b=1—2=一1.或直接计算由｜λE—A｜==(λ一5)(λ+1)2=0得到λ1=5，λ2=λ3=一1．故此二次型在正交变换X=QY下的标准形为f(y1，y2，y3)=5y12一y22一y32，因而f(y1，y2，y3) 5y12一y22一y32=2，表示双叶双曲面．仅B入选．知识模块：向量代数和空间解析几何7．二元函数在点(0，0)处( )．A．连续，偏导数存在B．连续，偏导数不存在C．不连续，偏导数存在D．不连续，偏导数不存在正确答案：C解析：仅C入选．二元函数f(x，y)在点(0，0)处不连续．这是因为当y=kx 时，有k取不同值时，也不同，故不存在，因而在点(0，0)处f(x，y)不连续．或由点(x，y)沿直线y=x趋于点(0，0)时极限存在但不等于f(0，0)=0证之．事实上，有由偏导数的定义知，fx’(0，0)=，再由对称性有fy’(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处的两个偏导数都存在．知识模块：多元函数微分学8．[2012年] 如果函数f(x，y)在点(0，0)处连续，则下列命题正确的是( )．A．若极限存在，则f(x，y)在点(0，0)处可微B．若极限存在，则f(x，y)在点(0，0)处可微C．若f(x，y)在点(0，0)处可微，则极限存在D．若f(x，y)在点(0，0)处可微，则极限存在正确答案：B解析：设(k为常数)，则，因而f(x，y)～k(x2+y2)(x→0，y→0)．因f(x，y)在点(0，0)处连续，故又则故f(x，y)在点(0，0)处可微．仅B入选．知识模块：多元函数微分学9．[2002年] 考虑二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处下面4条性质：(1)f(x，y)在点(x0，y0)处连续；(2)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；(3)f(x，y)在点(x0，y0)处可微；(4)f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“P=＞Q”表示可由性质P推出性质Q，则有( )．A．(2)=＞(3)=＞(1)B．(3)=＞(2)=＞(1)C．(3)=＞(4)=＞(1)D．(3)=＞(1)=＞(4)正确答案：A解析：若f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，则f(x，y)在点(x0，y0)处可微，而f(x，y)在(x0，y0)处可微时，又必有f(x，y)在(x0，y0)处连续．因而有(2)=＞(3)=＞(1)．仅A入选．知识模块：多元函数微分学10．[2005年] 设有三元方程xy—zlny+exz=1，根据隐函数存在定理，存在点(0，1，1)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x，y)B．可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y，z)和y=y(x，z)正确答案：D解析：仅D入选．F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=xy—zlny+exy一1．显然，F在点(0，1，1)附近对x，y，z均有连续偏导数，且F(0，1，1)=0．相应的三个偏导数为F’z｜(0，1，1)=(lny+xexz)｜(0，1，1)=0，F’y｜(0，1，1)==一1≠0，F’x｜(0，1，1)=(y+zexz)｜(0，1，1)=2≠0．由隐函数存在定理知，在点(0，1，1)的一个邻域内，由方程F(x，y，z)=xy—zlny+exz一1=0可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x，z)，x=x(y，z)．知识模块：多元函数微分学11．[2010] 设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’z≠0，则= ( )．A．xB．zC．一xD．一z正确答案：B解析：用直接法求之．设，在方程两边对x求偏导．由于x是x，y的函数，求关于x的偏导数时必须也要对z求偏导，得到易解得再在方程两边对y求偏导，同样必须对z也要对y求偏导，得到解得则仅B入选．知识模块：多元函数微分学12．[2005年] 设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x—y)+∫x-yx+yψ(t)dt，其中φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：知识模块：多元函数微分学填空题13．设(a×n)·c=2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=______．正确答案：4解析：由叉积对加法的分配律得[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=[(a×b)+(a×c)+(b×b)+(b×c)]·(c+a)，其中b×b=0．再由点积对加法的分配律得原式=(a×b)·c+(a ×b)·a+(a×c)·c+(a×c)·a+(b×c)·c+(b×c)·a．由混合积的性质知，若a，b，c中有两个相同，则(a×b)·c=0，且(a×b)·c中相邻两向量互换，混合积变号，从而原式=2(a×b)·c=4．知识模块：向量代数和空间解析几何14．设一平面过原点及点A(6，一3，2)，且与平面4x—y+2z=8垂直，则此平面方程为______．正确答案：2x+2y-3z=0解析：已知平面的法向量n1=(4，一1，2)，又，由可取所求平面的法向量为n=(2，2，一3)．由点法式得所求平面方程为2(x一6)+2(y+3)一3(z一2)=2x+2y 一3z=0．知识模块：向量代数和空间解析几何15．[2006年] 点(2，1，0)到平面3x+4y一5z=0的距离d=______．正确答案：解析：由点到平面的距离公式得到知识模块：向量代数和空间解析几何16．[2007年] 设f(u，v)为二元可微函数，z=f(xy，yx)，则=______.正确答案：f’1·yxy-1+f’2·yxlny解析：设u=xy，v=yx，得到=f’1`yxy-1+f’2·yxlny．知识模块：多元函数微分学17．[2009年] 设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(x，xy)，则=______.正确答案：xf’’22+f’2+xyf’’22解析：=f’1(x，xy)+yf’2，则=xf’12+f’2(x，xy)+yxf’’22(x，xy)=xf’’22+f’2+xyf’’22．知识模块：多元函数微分学18．[2011年]设函数F(x，y)=则=______.正确答案：4解析：故知识模块：多元函数微分学19．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ez+xyz+x+cosx=2确定，则dz｜(0，1)=______．正确答案：-dx解析：在所给方程两边求全微分，得到d(ez+xyz+z+cosx)=dez+d(xyz)+dx+dcosx=d(2)=0，ezdz+xydz+xzdy+yzdx+dx—sinx dx=0，整理得(ez+xy)dz=(sinx—yz-1)dx-xzdy，将x=0，y=1代入所给方程得到ez+1=2，得到z=0．将x=0，y=1，z=0代入式①，得到知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2018年考研农学门类联考《数学》真题及详解【圣才出品】

x3
2 12
。
10．∫（2x＋cos2x）dx＝______。
【答案】2x/ln2＋sin2x/2＋C
【解析】
2x cos 2x
dx
2xdx
cos
2xdx
2x ln 2
1 2
sin
2x
C
z
x 11．已知函数 z＝xesin（x－y）＋ylnx，则
＝______。
1,1
【答案】3
【解析】求 x 的偏导，可以先将 y＝1 代入 z（x，1）＝xesin（x－1）＋lnx
10
Xi 2
i2
所以 Q 不是统计量且服从分布 t（9）。答案选 D。
二、填空题（9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分。）
9．已知函数 y arctan
x2
1 ，则
dy dx
x3
＝______。
6 / 17
【答案】 2 12
【解析】
dy dx
1
1 x2 1
x x2 1
dy ，所以 dx
2018 年考研农学门类联考《数学》真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．函数 f（x）＝sinx/x 是（）。 A．有界的奇函数 B．有界的偶函数 C．无界的奇函数 D．无界的偶函数【答案】B 【解析】f（－x）＝sin（－x）/（－x）＝sinx/x＝f（x），所以 f（x）是偶函数。因为 |sinx|≤|x|，x∈（－∞，＋∞），所以|f（x）|≤1，即 f（x）为有界函数。
Xi ～ N （ μ ， σ 2 ）， i ＝ 1 ， 2 ，．．．， 10. （ Xi － μ ） / σ ～ N （ 0 ， 1 ），所以

考研数学一模拟题2018年(65)_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一模拟题2018年(65)(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．)1.设函数f(x)处处可导，且有f"(0)=1，对任何实数x和h恒有f(x+h)=f(x)+f(h)+2hx，则f"(x)等于______•**+1•**+1•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 取x=0，则有f(h)=f(0)+f(h)，得f(0)=0，故选A．2.设其中g(x)在x=0的一个邻域内二阶导数存在，且g(0)=0，g"(0)=0，则______SSS_SINGLE_SELA f(x)在x=0处不连续B f(x)在x=0处连续但不可导C f(x)在x=0处可导，但其导函数不一定连续D f(x)在x=0处导函数连续分值: 4答案:C[解析]这个极限不一定存在，就是存在也不一定等于g"(0)，故选C．3.已知x=0是函数的可去间断点，则常数a，b的取值范围是______SSS_SINGLE_SELA a=1，b为任意实数B a≠1，b为任意实数C b=-1，a为任意实数D b≠-1，a为任意实数分值: 4答案:D[解析] 若存在且则称x是f(x)的可去间断点．因为x=0是f(x)的可去间断点，所以为保证存在，只须1+b≠0，即b≠-1，故选择D．4.设级数其中α，β，γ均为大于1且与n无关的常数，则______SSS_SINGLE_SELA 当α＞β时，级数收敛B 当α＜β时，级数收敛C 当α＞γ时，级数收敛D 当α＜γ时，级数收敛分值: 4答案:B[解析] 当α＜β时，所以级数与收敛性相同，而是以为公比的几何级数，且当时是收敛的，此时原级数也收敛，选B．5.设内量组(Ⅰ)α1，α2，…，αs，其秩为r1，向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs，其秩为r2，且βi(i=1，2，…，s)均可由(Ⅰ)α1，α2，…，αs线性表出，则______SSS_SINGLE_SELA 向量组α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B 向量组α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩为r1-r2C 向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D 向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1分值: 4答案:D[解析] 因向量组A项α1+β1，α2+β2，…，αs+βs中任一向量及向量组B项α1 -β1，α2-β2，…，αs-βs中任一向量均可由α1，α2，…，αs线性表出，故秩均应≤r1．同样向量组C项及D项中，因βi (i=1，2，…，s)均可由α1，α2，…，αs线性表出，故应有r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αs )=r1，故应选D．6.设A为4×5矩阵，且A的行向量线性无关，则______A．A的列向量组线性无关B．方程组Ax=b有无穷多解C．方程组Ax=b的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关D．A的任意四个列向量构成的向量组线性无关SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:B[解析] 因为方程组Ax=b有解，故应选B．7.设随机变量X的分布函数为又知，则A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:A[解析] 由于分布函数F(x)是右连续函数，因此有F(-1+0)=F(-1)．即由于F(1)=P{X≤1}=P{X＜1}+P{X=1}，且P{X＜1}=F(1-0)=a+b．因此可得方程解由①，②组成的关于a，b的二元一次方程组，可得a=5/16，b=7/16.因此应选A．8.假设随机变量X1，X2，…，X5，独立同分布且其方差存在，记W=X1+X2+X3，Z=X3+X4+X5，则W和Z的相关系数ρWZ为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 4答案:C[解析] 设D(Xi)=σ 2，i=1，2，…，5，则Cov(W，Z)=Cov(X1 +X2+X3，X3+X4+X5)=Cov(X3，X3)=σ 2，于是二、填空题(每小题4分，共24分．)1.微分方程yy"+y" 2 =0满足初始条件的特解是______．SSS_FILL分值: 4[解析] 这是特殊的二阶方程．令y"=u，并取y为新的自变量，则原方程化为由初值条件知，故有分离变量得积分得ln(uy)=lnC1，uy=C1，由于y=1时，，故于是分离变量再积分得y 2 =x+C2，由于x=0时，y=1，故C2=1，于是所求特解为2.=______．SSS_FILL分值: 41[解析]3.设二元函数z=xe x+y +(x+1)ln(1+y)，则dz|(1，0)=______．SSS_FILL分值: 42edx+(e+2)dy [解析] 求二元函数偏导数时，可将一变量暂时看作定值．对x求偏导数(此时y为定值)得对y求偏导数(此时x为定值)得于是z的全微分为所以dz|(1，0)=2edx+(e+2)dy．4.设函数f(x)具有连续的二阶导数，点(x0，f(x))是曲线y=f(x)上的拐点，则=______．SSS_FILL分值: 40 [解析] 由题设f"(x)=0，根据洛必达法则，有5.设A为三阶方阵，|A|=4，则|(A * ) * -2A|=______．SSS_FILL分值: 432 [解析] |(A * ) * -2A|=||A| 3-2 A-2A|=|2A|=2 3 |A|=32.6.设平面区域D由曲线及直线y=0，x=1，x=e 2所围成，二维随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，则(X，Y)关于X的边缘概率密度在x=2处的值为______．SSS_FILL分值: 4[解析] 区域D的面积故(X，Y)的联合密度为：(X，Y)关于X的边缘概率密度为：于是三、解答题(共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)1.若u=u(x，y)具有连续的二阶偏导数，证明u(x，y)=f(x)φ(y)的充要条件是：SSS_TEXT_QUSTI分值: 10必要性．设u(x，y)=f(x)φ(y)，则故得充分性．由已知及令代入上式得将此等式变形得即从而得亦即对y积分，得所以其中2.设f(x)可微，f(0)=0，f"(0)=1，试求SSS_TEXT_QUSTI分值: 10对定积分作变量代换：令x 2 -t 2 =u，则且F"(x)=xf(x 2 )，于是由洛必达法则得3.设f(x)在[-2，2]上二阶可导．(1)若|f(x)|≤1(x∈[-2，2])，又证明：使得f"(x)+3f 2 (x)=0.(2)若f"(x)＞0(x∈(-2，2))，又使得f"(a)≥0，证明：使得f"(x0 )+3f 2 (x)=0.SSS_TEXT_QUSTI分值: 10要证使得令要证F"(x)在(-2，2)内有零点，常用以下方法．(1)证明使得F(α)=F(β)；(2)证明使得F"(α)F"(β)＜0；(3)证明在[α，β]的最大(小)值在(α，β)内取到．[证明] (1)令，要证我们用前面分析中指出的方法(3)来证明．由中值定理，使得同理，使得又在[α，β]上的最大值必在(α，β)中某点x取到，于是F"(x0 )=0，即f"(x)(f"(x)+3f 2 (x))=0.知f"(x)≠0，否则与|f(x)|≤1矛盾．因此f"(x0 )+3f 2 (x)=0.(2)令要证使得F"(x)=0.我们用分析中提到的方法(2)证明．按假设条件：F"(α)=f"(α)[f"(α)+3f 2(α)]≥0.若等号成立，则命题得证．若F"(a)＞0，则必使F"(β)＜0，否则对与F(-2)＞F(2)矛盾．因F"(α)，F"(β)异号，在α，β之间使得F"(x0 )=f"(x)(f"(x0 )+3f 2 (x))=0，即f"(x0 )+3f 2 (x)=0.4.设且p＞0，判别级数的收敛性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10由于所以，所以从而可知该级数收敛．5.求其中S为在第一卦限是0≤z≤1的部分的上侧．SSS_TEXT_QUSTI分值: 10添加曲面S1：y=0，(x，z)∈Dzx，cosβ=-1，S2：x=0，(y，z)∈Dyz，cosα=-1，S3：z=1，(x，y)∈Dxy，cosγ=1，则6.设α1 =(1，2，0) T，α2=(1，a+2，-3a) T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3) T，试讨论当a，b为何值时：(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11设存在数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β．①记A=(α1，α2，α3)．对矩阵(A，β)施以初等行变换，有(1)当a=0时，有可知r(A)≠r(A，β)．故方程组①无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，有r(A)=r(A，β)=3，方程组①有唯一解：此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，其表示式为(3)当a=b≠0时，对矩阵(A，β)施以初等行变换，有r(A)=r(A，β)=2，方程组①有无穷多解，其全部解为其中c为任意常数．β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为设SSS_TEXT_QUSTI7.用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换及标准形；分值: 5.5得λ1=λ2=1，λ3=4，λ1=1时，得ξ1 =[1，1，1]，ξ2=[1，-1，0]．(取ξ2时，考虑到既满足方程，是λ=1对应的特征向量，又和ξ1正交)得ξ3 =[1，1，-2]，将ξ1，ξ2，ξ3单位化，并合并成正交阵，得令x=Ty，则SSS_TEXT_QUSTI8.是否存在可逆阵W，使得WW T =A．其中A是二次型的对应矩阵，若存在，求W，若不存在，说明理由．分值: 5.5因故A=WW T，其中9.设X与Y的概率密度分别为且X与Y相互独立，求的概率密度．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11用分布函数法先求分布函数FZ (z)，再用导数求fZ(z)．其中故当z≤0时，fZ(z)=0.10.设且相互独立．U=a1 X+a2Y，V=a1X-a2Y．(1)分别写出U，V的概率密度函数；(2)求U，V的相关系数；(3)讨论U，V的独立性；(4)当U，V相互独立时，写出(U，V)的联合密度函数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 11(1)E(U)=a1 E(X)+a2E(Y)=0，E(V)=0由于U，V都是X，Y的线性组合，都服从正态分布，所以(2)(3)①当时，ρUV≠0，U，V相关，U，V不独立．②当时，ρUV=0，U，V不相关，因为U，V都服从正态分布，独立与不相关等价，所以U，V相互独立．(4)1。

2018年考研数学一真题及全面解析(Word版)

2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题与全面解析一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 0x=处不可导的是〔〕〔A 〕()sin f x x x = 〔B〕()sin f x x =〔C 〕()cos f x x = 〔D〕()f x =【答案】(D )【解析】根据导数定义，A. 000sin ()(0)limlim lim 0x x x x x x x f x f x x x→→→-=== ，可导； B.000()(0)lim0x x x x x f x f x x→→→-===, 可导； C. 20001cos 1()(0)2lim lim lim 0x x x x x f x f x x x→→→---=== ，可导；D. 20001122lim limx x x x x x→→→--== ，极限不存在。

应选〔D 〕. 2. 过点(1,0,0)，(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为〔〕〔A 〕01zx y z =+-=与〔B 〕022z x y z =+-=与2 〔C 〕1x y x y z =+-=与〔D 〕22x y x y z =+-=与2【答案】〔B 〕【解析一】设平面与曲面的切点为000(,,)x y z ，那么曲面在该点的法向量为00(2,2,1)n x y →=-，切平面方程为000002()2()()0x x x y y y z z -+---=切平面过点(1,0,0)，(0,1,0)，故有000002(1)2(0)(0)0x x y y z -+---=，〔1〕 000002(0)2(1)(0)0x x y y z -+---=，〔2〕又000(,,)x y z 是曲面上的点，故22000z x y =+ ，〔3〕解方程〔1〕〔2〕〔3〕，可得切点坐标(0,0,0) 或 (1,1,2)。

新东方龚紫云：2018年考研数学一线性代数真题解析(新东方版)

轾 1 1 -1 犏 0 1 0 （C）犏犏犏 0 0 1 臌
轾 1 0 -1 犏 0 1 0 （D）犏犏犏 0 0 1 臌
轾轾轾 1 0 -1 1 1 -1 1 1 0 r1 - r2 犏犏犏 0 1 1 0 1 1 ，则 A 犏 0 1 1 ，B =犏设A=犏犏犏犏犏犏犏 0 0 1 0 0 1 0 0 1 臌臌臌轾 1 -1 0 轾 1 1 0 犏犏 0 1 0 A犏 0 1 0 即 B = P- 1 AP 得B=犏犏犏犏 0 0 1 犏 0 0 1 臌臌
第三题
1.真题展示：（2018 数一 13）二阶矩阵 A 有两个不同特征值， a1 , a 2 是 A 的线性无关的特征向量，
A2 (a1 +a 2 ) = (a1 +a 2 ) ，则 | A |=
2.真题解答：设 A 的特征值为 l 1, l 2 ，则 A 的特征值为 l 1 , l 2 ， A 的特征向量与 A 相同。根据特征值与特征向量的定义可知， A (a1 +a 2 ) = A a1 + A a 2 = l 1 a1 + l 2 a 2 = a1 +a 2 ，得
ì y1 = x1 - x2 + x3 ï ï （2）当 a ¹ 2 时， í y2 = x2 + x3 这是可逆的线性变换， ï ï î y3 = x1 + ax3
直接得到规范形： f = y1 + y2 + y3
2 2 2
当 a = 2 时，二次型矩阵 f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 - x2 + x3 ) + ( x2 + x3 ) + ( x1 + 2 x3 )