2018考研数学一真题及解析

2018考研数学一真题及解析

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 下列函数中,在0x =处不可导的是（ ） (A)()sin f x x x =

(B)

(

)f x x =(C)()cos f x x = (D)(

)f x =【答】选(D).

【解】对于D:

由定义得0

1

12'(0)lim lim 2

x x x

f x +

+

+→→-===-;

1

12'(0)lim lim 2

x x x

f x -

-

-→→-

===，'(0)'(0)f f +-

≠，所以不可导.

(2) 过点()()1,0,0,0,1,0,且与曲面2

2

z x y =+相切的平面为( )

(A) 0z =与1x y z +-= (B) 0z =与22x y z +-=2

(C) x y =与1x y z +-=

(D) x y =与22x y z +-=2

【答】应选(B).

【解】法一:

设平面与曲面的切点为000(,,)x y z ，则曲面在该点的法向量为

00(2,2,1)n x y →

=-，切平面方程为

000002()2()()0x x x y y y z z -+---=

切平面过点 (1,0,0)，(0,1,0)，故有

000002(1)2(0)(0)0x x y y z -+---=，（1） 000002(0)2(1)(0)0x x y y z -+---=，

（2） 又000(,,)x y z 是曲面上的点，故 2

2

000z x y =+ ，（3）

解方程 （1）（2）（3）,可得切点坐标 (0,0,0)或(1,1,2).因此,切平面有两个0z =与

222x y z +-=,故选(B).

【解】法二:

由于x y =不经过点(1,0,0) 和 (0,1,0)，所以排除（C ）（D ）。

对于选项（A ），平面1x y z +-=的法向量为(1,1,1)-，曲面2

2

0x y z +-=的法

向量为(2,2,1)x y -，如果所给平面是切平面，则切点坐标应为111

(

,,)222

，而曲面在该点处的切平面为12

x y z +-=

，所以排除（A ）.所以唯一正确的选项是(B).

(3)

()

()0

23

121!

n

n n n ∞

=+-=+∑( )

(A)

sin1cos1+

(B)

2sin1cos1+ (C)

2sin12cos1+

(D)

2sin13cos1+ 【答】应选(B). 【解】因为 21

20

(1)

(1)

sin ,cos ,(21)!(2)!n

n

n n

n n x x

x x

n n ∞

∞

+==--=

=

+∑∑

而 0

0023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!n

n n n n n n n n n n ∞

∞∞

===++-=-+-+++∑∑∑ 00(1)(1)cos12sin1(2)!(21)!2n n

n n n n ∞

∞

==--=+=++∑∑，故选(B). (4) 设()

2

222

1d 1x M x x π

π

-

+=

+⎰,2

21d x x N x e ππ-+=⎰

,(22

1d K x π

π-=+⎰,则( ) (A)M N K >>

(B)M K N >> (C)K M N >> (D)K N M >>

【答】应选(C).

【解】22

2222

12d d 1x x

M x x x π

π

πππ--++===+⎰⎰; 11221122

1111d d d d x x x x x x x x N x x x x e e e e ππ

ππ----++++==++⎰⎰⎰⎰, 221

1111111121111d 0,d d d 1d 2x x x x x

x x x x x x x e e e e π------+++<<=<=⎰⎰⎰⎰⎰,

222112

1d 1d ,1d 2x x x x N x M e π

ππππ-+<=∴<=⎰⎰⎰;

22

,K x K M N π

ππ-=>∴>>⎰.故选(C).

(5) 下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）

(A) 111011001-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(B) 101011001-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(C) 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

(D) 101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

【答】选A.

【解】~,~A B E A E B ∴--()()r E A r E B ∴-=-

各选项中：:()1;B r E B -=:()1;C r E B -=:()1D r E B -=选A.

(6) 设A ,B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩, (,)X Y 表示分块矩阵,则( ) (A) ()(),r r =A AB A

(B) ()(),r r =A BA A

(C) ()()(){},max ,r r r =A B A B (D) ()(

)T T ,,r r =A B A B

【答】应选(A).

【解】设AB C =,则矩阵A 的列向量组可以表示C 的列向量组,

所以()()→A AB A O ,即()()()r A AB r A O r A ==,故答案选A. (7) 设随机变量X 的概率密度()f x 满足()()11f x f x +=-,且

()2

d 0.6f x x =⎰,则

{}0P X <=（ ）

(A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 【答案】A

已知(1)(1)f x f x +=-可得()f x 图像关于1x =对称，

2

()d 0.6f x x =⎰

从而

(0)0.2P x ≤=

(8) 设总体X 服从正态分布()

2,N μσ.12,,

,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,据此

样本检验假设: 00:=H μμ,10:H μμ≠,则( )

(A) 如果在检验水平=0.05α下拒绝0H ,那么在检验水平=0.01α下必拒绝0H