人教版初中数学二次函数知识点

人教版初中数学二次函数知识点

一、选择题

1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；

根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；

根据函数对称轴可得：-

2b a

=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；

根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.

点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.

2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）

A ．①④

B ．②④

C ．②③

D ．①②③④

【答案】A

【解析】

【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；

③对称轴：直线12b x a

=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；

④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．

【详解】

解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，

∴240b ac ->，

即24b ac >，

所以①正确；

②由二次函数图象可知，

0a <，0b <，0c >，

∴0abc >，

故②错误；

③∵对称轴：直线12b x a

=-

=-， ∴2b a =，

∴24a b c a c +-=-，

∵0a <，40a <， 0c >，0a <，

∴240a b c a c +-=-<，

故③错误；

④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，

∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，

当1x =时，0y a b c =++<，

故④正确．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）

A ．﹣1＜x ＜1

B ．﹣3＜x ＜﹣1

C ．x ＜1

D ．﹣3＜x ＜1

【答案】D

【解析】

【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.

【详解】

解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，

∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），

∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．

所以答案为：D ．

【点睛】

此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.

4．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ∆的面积为2

cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．

【详解】

解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，

AB 2=42+（6-3）2，

解得，AB=5cm ．

下面分三种情况讨论:

当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==g

g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =

⨯=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2

⨯⨯=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21 1226,2

y t t t t =⋅-=-+y 是t 的二次函数