山东省济宁市第一中学2014-2015学年学科擂台赛数学试题

2015年山东省济宁市第一中学学科擂台赛试卷数学试题命题人：贾广素审题人：张永存考试用时：120分钟第一部分（满分100分）一、选择题(每题5分,共40分)1. 集合A 满足：若a A ∈，则11A a∈-，则满足条件的元素最少的集合A 中的元素个数有（ ）A.1B.2C.3D.4 2. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2).()f x f x +=-当23x ≤≤时，()f x x =，则(5.5)f = （ ）A.5.5B. 5.5-C. 2.5-D.2.53. 一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）正（主）视图 侧（左）视图 俯视图A.2πB.8π3C.4ππD.2π 4.设扇形的圆心角为60，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（ ）A.13π2 B.7π C.15π2D.8π 5.若直线l ：10ax by -+=平分圆C ：222410x y x y ++-+=的周长，则ab 的取值范围是（ ）A.1(,]4-∞B. 1(,]8-∞C. 1(0,]4D. 1(0,]86. 设方程41log ()04xx -=与141log ()04xx -=的根分别为1x ，2x ，则（ ）A.1201x x <<B.121x x =C.1212x x <<D.122x x ≥班级 姓7.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某球队参赛15场，积33分.若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（ ）种.A.15B.11C.9D.38. 已知函数2211,(,),2()1ln(1),[,),2x x x f x x x +⎧∈-∞-⎪⎪=⎨⎪+∈-+∞⎪⎩2()4 4.g x x x =-- 设b 为实数，若存在实数a ，使得()()0f a g b +=，则实数b 的取值范围是（ ） A.[1,5]- B.(,1]-∞- C.[1,)-+∞ D.(,5]-∞二、填空题（每小题5分，共20分）9. 已知x ∈R，则函数()f x =的值域是 .10. 已知()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意的x ∈R ，都有[()3]4xf f x -=，则(2)f = .11. 设211{|,1}k A x x kt t kt k==+≤≤，其中2k =，3…，2015，则所有k A 的交集是 .12.如右图所示，记正方体1111-ABCD A B C D 的中心为O ，面11B BCC 的中心为E ，11B C 的中点为.F 则空间四边形1D OEF 在该正方体各个面的上投影可能是 .（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）○1 ○2 ○3 ○4ABCD1B 1C 1D 1A E F O三、解答题(第13题满分12分，第14满分13分、第15题满分15分，共40分)13.（本题满分12分）已知二次函数()f x 的二次系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为{|13}.x x << （1）若函数()6y f x a =+有且只有一个零点，求()f x 的解析式； （2）记()f x 的最大值为()h a ，求()h a 的最小值.14.（本题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，M 是1AA 上的一点，1=4AA ，1 1.A M =P 是棱BC 上的一点，且由点P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点M的最短距离为设此最短距离的折线与1CC 交于点.N（1）求证：1//A B 平面MNP ；（2）求平面MNP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值.15（本题满分15分）已知定义域为[0,1]的函数()f x 同时满足下列三个条件： ○1对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ○2(1)1f =； ○3若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+成立则称函数()f x 为“友谊函数”.（1）已知()f x 是“友谊函数”，求(0)f 的值；（2）函数()21xg x =-在区间[0,1]上是否是“友谊函数”？说明你的理由.（3）已知()f x 是“友谊函数”，假定存在0[0,1]x ∈，使得0()[0,1]f x ∈，且00[()].f f x x = 求证：00().f x x =ABC1C 1A 1B N MP 班 姓名第二部分（满分50分）本部分共三道解答题，第1、2题每题15分，第3题20分，满分50分 1（本题满分15分）自锐角ABC ∆的顶点A 向边BC 引垂线，垂足为.D 在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于点E ，CH 交AB 于点.F证明：.EDH FDH ∠=∠（即AD 平分ED 与DF 所成的角）2（本题满分15分）四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面.其中，给出一个边长为a 的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a 的值.3（本题满分20分）已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+（x ∈R ），且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的实数x 均有(())f f x x =成立，试求出()f x 值域外的唯一数.A BCEFH2015年济宁市第一中学学科擂台赛试卷数学试题参考答案及评分标准第一部分（满分100分）一、选择题(每题5分,共40分)1. C 提示：1{,2,1}2- 由2A ∈1112A ⇒=-∈-；由1111(1)2A A -∈⇒=∈--，又有12112A =∈-.此时，集合元素个数最少.2. D 提示： 1111(5.5)(1.5)(1.5)(2.5) 2.5.11(3.5)(0.5)(1.5)(2.5)f f f f f f f f =-=-==-=-=-==--3.D 提示：由三视图可知，该几何是一个圆锥与一个圆柱的组合体. 4．B 提示：设扇形的半径为r ，则由21π6π23r =⨯，得6r =. 于是扇形的弧长为π62π.3l =⨯=即圆锥的底面周长为2π，其半径为1.所以底面面积为2π1π⨯=，所以圆锥的表面积是6ππ7π.S =+=5.B 提示：圆周C 被直线l 平分，所以圆心(1,2)-在直线l 上，即210a b --+=，从而21a b +=，所以22111(12)22().488ab b b b b b =-=-+=--+≤6.A 提示：显然212x =，设41()log ()4xf x x =-，由(1)(2)0f f <，知112x <<，所以120 1.x x <<7.D 提示：设该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，则15,333.x y z x y ++=⎧⎨+=⎩解得113yx =-，所以11,0,4x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，10,3,2x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，9,6,0.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩共3种情形.8．A 提示：当1(,)2x ∈-∞-时，易得21()(1)1[1,0)f x x=+-∈-，又当1[,)2x ∈-+∞时，易知()ln(1)[ln 2,)f x x =+∈-+∞，所以()[1,)f x ∈-+∞，所以只要()(,1]g b ∈-∞就一定存在实数a 满足()()0f a g b +=，即2(2)8(,1]b --∈-∞，解得[1,5].b ∈-二、填空题（每小题5分，共20分）9. (1,1)- 提示：由于()f x考虑其几何意义，构造点(,0)P x ，1(22A -，1(,22B ，函数()f x 的值域表示||||PA PB -的取值范围.由于三角形的两边之差小于第三边，从而||||||1PA PB AB -<=，故函数()f x 的值域为(1,1).-10. 10 提示：依题意，()3xf x -为常数，设()3xf x m -=，则()4f m =，()3xf x m =+. 所以34mm +=，340mm +-=，易知方程340mm +-=有唯一解1m =，所以()31x f x =+，从而2(2)3110.f =+=11.5[2,]2提示：由211t k ≤≤知1kt k k ≤≤，所以1[2,]kA k k =+，且1k k+在[2,)+∞上递增，因此所有k A 的交集是25[2,].2A =12.○1○2○3 提示：当向前后两个底面投影时，得到○1；当向左右两个侧面投影时，得到○2；当向上下两个面投影时，得到○3. 三、解答题(第13题满分12分，第14题满分13分，第15题满分15分，共40分)13.解：（1）由()20f x x +>的解集为{|13}x x <<知()2(1)(3)f x x a x x +=--（0a <）. 则2()(1)(3)2(24)3f x a x x x ax a x a =---=-++ ○1………………………4分 又因为()6y f x a =+有且只有一个零点，即方程2(24)90ax a x a -++=有两个相等的实根，于是2[(24)]490a a a ∆=-+-⨯=，即25410a a --=，解得15a =-或1a =（舍），将15a =-代入○1式，得2163().555f x x x =---……………………………………8分 （2）由○1及0a <知，()f x 的最大值2411()4a a h a a a a++=-=---. 又因为0a ->，由对勾函数的性质，得1()4242h a a a=---≥-=-，当且仅当1a =-时，等号成立.故()h a 的最小值为 2.-…………………………………………………………………12分14.解：（1）由1AA ⊥平面ABC 及ABC ∆是等边三角形，知侧面均为全等的矩形. 如图所示，将侧面旋转120，使其与侧面11ACC A 在同一个平面上.在同一个平面内，点P 运动到1P 位置，联结1MP ，则1MP 即为点P 沿棱柱侧面经过棱1CC 到点M 的最短路径. …………………………3分设=PC x ，则1PC x =，在1Rt MAP ∆，注意到22(2)18x x ++=，得1x =.故P 为BC 的中点，于是 1.NC =设1A C 与MN 交于点Q ，则Q 为1A C 的中点，所以1//A B PQ ，所以1//A B 平面.MNP ………………………………………………………………………6分（2）如图，连接1PP ，则1PP 即为平面MNP 与平面ABC 的交线. 作MH ⊥1PP 于点H ，连接.CH又因为1CC ⊥平面ABC ，从而1.CH PP ⊥故NHC ∠即为平面ABC 与平面MNP 所成二面角的平面角.…………………………10分在Rt PHC ∆中，由11602PCH PCP ∠=∠=，则1.2CH = 在Rt NHC ∆中，tan 2.NCNHC CH∠==………………………………………………13分15.解：（1）令120x x ==，得(0)(0)(0)f f f ≥+，知()0f x ≤，又由○1知对任意[0,1]x ∈都有()0f x ≥，所以(0)0.f =…………………………………………………………3分（2）显然()21xg x =-在[0,1]上满足○1，即()0g x ≥，也满足○2，即()1g x ≥，下面只需验证()g x 是否满足条件○3.ABC1C 1A 1B N MP 1P OH若10x ≥，20x ≥，且121x x +≤，则有12121212()[()()]21[(21)(21)]x x x x g x x g x g x ++-+=---+-21(21)(21)0xx=--≥.故()g x 满足条件○1○2○3，所以()21xg x =-在[0,1]上是“友谊函数”.…………6分 （3）由○3知任给1x ，2[0,1]x ∈，且121x x +≤，不妨设21x x ≥，则存在x ∆，使得21x x x =+∆，其中必有0 1.x ≤∆<所以211111()()()()()()()()0.f x f x f x x f x f x f x f x f x -=+∆-≥+∆-=∆≥所以21()().f x f x ≥依题意必有00()f x x =.……………………………………………10分 下用反证法证明之.假设00()f x x ≠，则00()f x x >或00().f x x <若00()f x x >，则00[()]()f f x f x ≥，而00[()]f f x x =，从而00()x f x ≥，矛盾； 若00()f x x <，则00[()]()f f x f x ≤，而00[()]f f x x =，从而00()x f x ≤，矛盾； 故由上述两个矛盾可知假设不成立，则必有00().f x x =…………………………………15分第二部分（满分50分）本部分共三道解答题，第1、2题每题15分，第3题20分，满分50分 1.证法一：以D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系如图所示.设(0,)A a ，(,0)B b ，(,0)C c ，(0,)H h ，于是BH 所在的直线方程为1x yb h+=，AC 所在的直线方程为 1.x yc a+=………………………………………5分过BH 与AC 交点的E 的直线系是1(1)0.x y x yb hc aλ+-++-=令1λ=-，得1111()()0.x y b c h a-+-= （*）…………………………………10分直线（*）经过坐标原点，因此（*）即为DE 所在的直线方程.同理，DF 所在的直线方程为1111()()0.x y c b h a-+-= 显然，直线与直线DF 的斜率互为相反数，即DE DF k k =-，故AD 平面ED 与DF 所成的角.………………………………………………………15分 解法二：过A 作直线//l BC ，延长DF 、DE 分别交l 于P 、.Q于是有AP AF BD FB =，.AQ AEDC EC=………………5分又同塞瓦定理，知1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，所以1AP BD DC BD DC AQ⋅⋅=，所以.AP AQ = 所以Rt ADP Rt ADQ ∆≅∆，从而.EDH FDH ∠=∠………………………………………………………………………15分2.解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，设该四面体为.ABCD 过点A 的高交底面BCD 于点G ，则G 为ABC ∆的重心.取BC 的中点E ，析出平面图形AEG ∆，如图所示.与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD 相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，……………………………………………………………………………………5分于是将AEG ∆扩展为该四面体中相应的111A E G ∆，只须分别作11//A E AE ，11//E G EG ，平行线间距均为1，即可得到111A E G ∆，通过AEG ∆求出111A E G ∆的边， 进而可求出a 的值.…………………………………………………………………………5分事实上，易知=2AE AC =133EG DE ==，3AG ==，11AA AE EG =，所以1 3.AE AA EG ==所以11114AG A A AG GG =++=又因为1111AG AG A E AE ==，得2a ==+………………………15分 ABCEDG1A AGE1E 1G ABCEF HDPQl3.解：由题设，对任意实数d x c ≠-有(())f f x x =，即ax ba bcx d x ax b c d cx d+⋅++=+⋅++，化简，得222()()()0a d cx d a x b a d ++--+=，由于上述方程对d x c≠-恒成立，故0a d +=，且220d a -=，所以.d a =-………10分 又(19)19f =，(97)97f =，即19、97是方程ax bx cx d +=+的两个根，即方程是2()0cx d a x b +--=的两个根，故由韦达定理，得116a d c -=，1843dc-=-，结合d a =-，得58a c =，1843b c =-，58d c =-，所以5818431521()58.5858x f x x x -==+-- 于是()f x 取不到58这个数，即58是()f x 值域外的唯一的数.…………………………20分。