第8章：一维杆件系统的振动分析

2 m

l 0

A
m ( x)
n (x)
dx


l 0
d dx
[
EAm
'
(
x)]
n
(x)
dx

n
(
x)EAm
'
(x)
l 0


l 0
EAm'(x) n '(x) dx
不管两端是固定还是自由，都能保证右边第一项为零。

2 m

l 0
A
m
( x)

n
( x)
dx


l 0
EAm'(x)n'(x) dx
振型函数的正交性：

l 0
m(x)n(x) dx 0
(m n)
一般解答：
y( x
, t)


An
n1
sin
n
l
x

s
in(nt
n)
初始条件： y(x , 0) f1(x) y(x , 0) f2 (x)
f1 ( x)


A
n1
n
s
in
n
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
t)
n1
8.2.4 振型函数的正交性
第8章 一维杆件系统的振动分析
振型函数： m (x) , n (x)
分别满足特征方程：
A
m2
m
(
x)


d dx
[
EA
m
'
(
x)]
A
n2
n
(x)


d dx
[EAn
'
(
x)]
第一式两边乘以φn(x) , 从0到 l 积分，并分部积分：

第8章 一维杆件系统的振动分析
8.2.3 直杆的纵向自由振动
自由振动方程 :

2u t2

c2
2u x2
与弦的方程在数 学上相似，一个 是横向振动，一
分离变量法： u(x, t) U (t) (x) 个是纵向振动。
类似得到解答： (x) A1 cos x / c A2 sin x / c
y方向的平衡条件:
y
T
图8.1.1 弦单元体的受力分析
T




x

dx
T


2 y t2
dx
F(x
, t)
dx
Fra Baidu bibliotek

0
T

x


2 y t2

F(x
, t)
(8.1.2)
几何关系: tan y / x
2y T 2y F(x , t)
斜拉桥通过拉索将桥面荷载经主塔传入地基，当桥 建成并投入运行一段时间后，由于桥本身结构的自我 调整，拉索的张力会有所变化，但不允许变化太大， 这就需要采用某种比较实用的方法来进行监测。
2
fn

n
l
T

T

4l 2

fn n
2

(1) ρ 的取值问题 ; 影响 fn的因素 : (2) 钢绞线抗弯刚度EI的影响；
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)

N
Yi (t)
i1
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。
工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。

n ( x)

sin
n
l
x
,
n

n
l
E

(n 1, 2 , 3, )
③ 两端自由的杆： '(0) '(l) 0

n ( x)

cos n
l
x
,
n

n
l
E

(n 0,1, 2 , )
一般解：
u( x
,
t)




n (x)
( An
cosn
t

Bn
sin n
y(x , t)


Yn (t) sin
n1
n
l
x
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件 :
Ym (t) m2Ym (t) fm (t)
(m 1, 2, )
fm (t)

2 l

l 0
F(x
, t)sinm
x / l dx
c2 "(x) Y(t) 2
(x) Y (t)
第8章 一维杆件系统的振动分析
左边仅是 x 的函数， 右边仅是 t 的函数。
"(x) c 2 (x) 0 (x) A1 cos x / c A2 sin x / c
Y(t) 2Y (t) 0
四川宜宾小 南门大桥为 跨径240m的 中承式肋拱， 是我国该种 桥型的最大 跨径。
第8章 一维杆件系统的振动分析
第8章 一维杆件系统的振动分析
洞庭湖斜拉桥
1. 索的振动 2. 索的振动控制
第8章 一维杆件系统的振动分析
济南黄河公路桥位于 济南市北郊，距济青 高速公路约2km，全 长2033.44m , 主桥长 488m，为5孔 40+94+220+94+20(m) 连续的预应力混凝土 双塔斜拉桥。引桥长 1535.44m，采用51孔 30m跨度的先张法预 应力组合槽形梁。主 梁断面为闭口双室箱 梁，梁高2.75m，采 用挂篮悬浇施工。
第8章 一维杆件系统的振动分析
§8-2 直杆的纵向振动和扭转振动
8.2.1 直杆纵向振动的微分方程
力学模型: 单元体受力分析: 0
u
x dx
u u dx x x
F ( x, t )
Adx u&&
FN

FN x
d
x
FN
轴向的平衡条件:
Fdx
图 8.2.1 杆纵向振动时单元体的受力分析
第二篇 连续系统的线性振动
第8章 一维杆件系统的振动分析
描述离散系统的运动方程——常微分方程组 描述连续分布系统的运动方程——偏微分方程(组) 偏微分方程(组)所描述的是一个场的问题：
位移场 应力场 温度场 电磁场
关键问题： 控制方程、边界条件
一维问题：弦、杆、梁等结构 一个空间坐标 x 和一个时间坐标 t
t2 x2
(8.1.3)
自由振动方程(波动方程)： 横波沿弦传播的波速：
第8章 一维杆件系统的振动分析
2y c2 2y
t2
x2
(8.1.4)
c T/
波动方程的一般解： y Y1(ct x) Y2 (ct x)
第一项表示振动波形以波速c沿x轴的正方向传播
y Y1(ct x)
润扬长江公路大桥是长江上第一座由悬索桥和斜拉桥 组成的组合型桥梁，于2000年10月20日开工建设，她 跨江连岛，北起扬州，南接镇江，全长35.66公里，主 线采用双向6车道高速公路标准，设计时速100公里。
汕头海湾大桥全景
第8章 一维杆件系统的振动分析
位于广东汕头游览风景点妈屿岛处跨越汕头海湾，面对台湾 海峡，全长2420米，悬索桥主跨 452米，采用预应力钢筋混凝 土加劲梁，桥面宽23.8米。1999年荣获全国第八届优秀工程设 计银质奖，国家科技进步二等奖， 中国建筑工程鲁班奖。
Adx
2u t 2

FN x
dx F (x, t)
dx
(8.2.1)
虎克定律:
FN A EA EA u / x
运动微分方程: 等截面杆自由振动方程:
A

2u t2

x
EA

u x
F (x, t)
2u t2

E

2u x2
U (t) B1 cos t B2 sin t B sin( t )
边界条件 ： ① x =0固支，x =l自由的杆
u(0, t) 0 , N(l, t) 0
(0) 0 '(l) 0
(0) 0 '(l) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c
西藏拉萨达孜桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
达孜桥位于西藏拉萨市东郊25km处，跨越拉萨河，建于 1984年。为跨径500m的悬索桥。由于一侧的塔架和鞍座设 在山上，桥面长度仅415m。桥面宽4.5m，为单车道桥。
第8章 一维杆件系统的振动分析
江阴长江大桥悬索－吊杆特写
润杨大桥全景图
第8章 一维杆件系统的振动分析

c2
2u x2
c E/
为纵波传 播的波速
第8章 一维杆件系统的振动分析
8.2.2 轴扭转振动的微分方程
力学模型: 单元体受力分析:

dx
x
x dx mT (x,t)
J pdx&&
T
x
T T dx x
m T dx
转动平衡条件:
图8.2.2 轴扭转振动时单元体的受力分析
Y (t) B1 cos t B2 sin t Bsin( t )
A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。
若弦在 x =0 和 x =l 两端固定，边界条件为：
y(0 , t) y(l , t) 0 (0) (l) 0
(0) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c

2 l

l 0
f2 (x)sinm
x / ldx

bm
A m am2 bm /m 2 tan m amm / bm
第8章 一维杆件系统的振动分析
弦的受迫振动 :

2 y t2
T
2 y x2

F(x
, t)
(8.1.3)
引入广义坐标Yn(t)，应 用振型叠加法，设解：
l
x

sin

n
f2 (x)

A
n1
nn
sin
n
l
x

cos
n
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件:
A m
s in m

2 l

l 0
f1 ( x) s in m
x / ldx

am

A mm
c os m
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
铜陵长江大桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
位于铜陵市羊山矶下游600米处，桥型为预应力钢筋混凝 土双塔索面斜拉桥，是世界上同类型第3位大跨径桥梁。 全长2592米，主桥长1152米，最大跨径为432米，桥面宽 度23米，其中4车道15米，人行道5米，通航净高24米。
芜湖长江大桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
A2 cos l / c 0
cos l / c 0
cos l / c 0
第8章 一维杆件系统的振动分析
n

n

1 2

l
c

n

1 2

l
E

(n 1, 2 , 3, )
振型函数：
n(x) sin
n

1 2

x/l
② 两端固支的杆： (0) (l) 0

J
pdx
2
t2

T x
dx mT (x, t) dx
内力—变形关系： T GJp ( / x)
运动微分方程：
等截面杆自由振动方程：

Jp
2
t2

x
GJ p

x
mT (x, t)
2
t2

G

2
x2
c12
2
x2
c1 G / 为剪切波传播的波速
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
二维问题：薄膜、薄板、中厚板、薄壳等结构
两个空间坐标 x 、y 和一个时间坐标 t
三维问题：重力坝、厚板、厚壳等结构
三个空间坐标 x 、y 、z 和一个时间坐标 t
第8章 一维杆件系统的振动分析
§8-1 弦的振动
弦，是指极易弯曲，在 轴向可以承受很大张力 的非常细的杆。
y(x,t) T

dx
x
F(x,t) d x x
(l) 0
A2 sin l / c 0
非零解： A 2 0 sin l / c 0
n l / c n (n 1, 2, 3 )
n

n
l
c

n
l
T

第8章 一维杆件系统的振动分析
第n阶固有振型: n (x) An sinnx / c An sinn x / l