第8章：一维杆件系统的振动分析
第8章：一维杆件系统的振动分析
2
fn
n
l
T
T
4l 2
fn n
2
(1) ρ 的取值问题 ; 影响 fn的因素 : (2) 钢绞线抗弯刚度EI的影响；
J
pdx
2
t2
T x
dx mT (x, t) dx
内力—变形关系： T GJp ( / x)
运动微分方程：
等截面杆自由振动方程：
Jp
2
t2
x
GJ p
x
mT (x, t)
2
t2
G
2
x2
c12
2
x2
c1 G / 为剪切波传播的波速
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
Y (t) B1 cos t B2 sin t Bsin( t )
A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。
若弦在 x =0 和 x =l 两端固定，边界条件为：
y(0 , t) y(l , t) 0 (0) (l) 0
理论力学中的杆件的振动分析
理论力学中的杆件的振动分析杆件是理论力学中经常研究的一个重要物体。
它可以是直杆、曲杆或者弯折杆。
振动分析是研究杆件在外力作用下的动态响应，对于杆件在工程实践中的应用具有重要的意义。
本文将从理论力学的角度出发，对杆件的振动分析进行探讨。
一、杆件的自由振动杆件的自由振动是指在无外力作用下，杆件在某一固有频率下产生的振动。
对于直杆而言，自由振动可以通过解杆件的振动微分方程来求解。
对于曲杆或弯折杆，由于其几何形状的复杂性，需要借助数值求解方法进行分析。
自由振动的频率可以通过求解杆件的固有值问题得到。
根据杆件的几何形状和材料性质，可以导出杆件的振动微分方程。
然后，通过合适的边界条件，解出振动微分方程的特征方程，进而求解杆件的固有频率和振型。
二、杆件的受迫振动杆件的受迫振动是指在外力作用下，杆件产生的振动响应。
外力可以是静力荷载、动力荷载或者周期性激励力，例如谐振激励力。
在杆件的受迫振动分析中，需要建立动力学方程，考虑杆件的质量、刚度和阻尼等影响因素。
对于直杆而言，可以利用振动方程和边界条件求解出杆件的受迫振动响应。
对于曲杆或弯折杆，受迫振动的分析较为复杂。
通常需要借助有限元方法进行数值模拟，得到杆件的动态响应。
在模拟前，需要对杆件进行网格划分，并设置适当的材料参数和边界条件。
通过求解有限元方程，可以得到杆件的受迫振动响应。
三、振动分析的应用理论力学中的杆件振动分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用场景：1. 结构设计优化：通过对杆件的振动分析，可以评估结构的动态性能，从而优化设计。
例如，在桥梁工程中，振动分析可以用于评估桥梁的抗震性能，确保其在地震等外力作用下的稳定性。
2. 装配工艺分析：在装配过程中，杆件的振动响应可能会引起误差或者装配不良。
通过振动分析，可以识别潜在的装配问题，并采取相应的措施进行改进。
3. 动力学仿真：在机械系统或者工艺设备中，杆件的振动会对系统的动力学性能产生重要影响。
杆件系统的自由振动频率与模态分析
杆件系统的自由振动频率与模态分析引言：杆件系统是一种常见的结构形式，广泛应用于建筑、桥梁、机械等领域。
在设计和分析杆件系统时，了解其自由振动频率和模态分析是非常重要的。
本文将介绍杆件系统的自由振动频率与模态分析的基本原理和方法。
一、自由振动频率自由振动频率是指杆件系统在没有外部激励的情况下，由初始位移或初始速度引起的振动。
杆件系统的自由振动频率与其结构的刚度、质量和几何形状等因素有关。
1. 结构刚度杆件系统的刚度决定了其自由振动频率的大小。
刚度越大，自由振动频率越高。
刚度可以通过杆件的截面积、材料的弹性模量和杆件的长度等参数来描述。
2. 结构质量杆件系统的质量也会影响其自由振动频率。
质量越大，自由振动频率越低。
质量可以通过杆件的密度和体积来描述。
3. 几何形状杆件系统的几何形状也会对其自由振动频率产生影响。
例如，杆件的长度、截面形状和连接方式等因素都会影响自由振动频率的大小。
二、模态分析模态分析是一种研究杆件系统振动特性的方法，通过计算和分析杆件系统的模态参数，可以了解其在不同模态下的振动特性。
1. 模态参数模态参数包括自由振动频率、振型和模态质量等。
自由振动频率是模态分析的核心参数，可以通过数值计算或实验测试获得。
振型描述了杆件系统在不同模态下的振动形态，可以通过数值模拟或实验观测得到。
模态质量描述了杆件系统在不同模态下的质量分布情况，可以通过数值计算或实验测试获得。
2. 模态分析方法模态分析可以通过数值方法或实验方法进行。
数值方法主要包括有限元法和模态超级位置法等。
有限元法是一种常用的数值方法，通过将杆件系统离散成有限个单元，利用数值计算求解杆件系统的模态参数。
模态超级位置法是一种基于振动测量的实验方法，通过在杆件系统上布置加速度传感器，测量杆件系统在不同模态下的振动响应，进而得到模态参数。
三、应用与意义了解杆件系统的自由振动频率和模态分析对于结构设计和工程应用具有重要意义。
1. 结构设计在结构设计过程中，通过自由振动频率和模态分析可以了解杆件系统的振动特性，从而选择合适的结构参数，避免共振和破坏性振动的发生。
第8章 弹性体振动
第八章 弹性体振动§8-1 概述任何机器的零部件都是由质量和刚度连续分布的物体所组成，也就是说这些零部件都是弹性体。
但是在很多情况下，为了使问题简化，计算简便，常常将它们简化成多自由度的离散系统来分析。
然而，在有些工程实践中，却要求对弹性体振动作严密的分析，这时就不能对它进行离散化处理。
因此对工程上常用的连续弹性体(如杆、轴、梁、板、壳，以及它们的组合系统)进行振动分析求出它们的固有频率和主振型，计算他们的动力响应，这在实用上和理论研究上都有非常重要的意义。
多自由度系统(离散系统)和弹性体(连续系统)是对同一个客观事物(机器零部件)的不同的分析方法，因此它们之间必然存在一定的联系和明显的区别。
xx)a )b ((图8-1 多自由度系统和弹性体的动力学模型从动力学模型上看，多自由度系统是将零部件看成由质量、刚度集中在若干点上的离散元件所组成。
如图8-1(a )所示它是把一个零件分成若干段，每段的质量分成两半，分别加在两端的集中质量上。
两个质量之间则用不计质量、只计刚度的弹性元件相联结。
这样就形成了具有n 个集中质量(m 1、m 2、…m n )和n －1个弹簧(k 1、k 2、…、k n －1)所组成的n 个自由度的集中参数模型，其广义坐标用振动位移y i (t)表示。
弹性体则将零部件看成由质量、刚度连续分布的物体所组成如图8-1(b )所示。
当一个零件的分段数n →∞时，离散系统就变成连续系统，其横坐标x 也从一个离散值(x 1、x 2、…x n )变为连续函数。
因此系统的广义坐标要用一个由截面位置x 和时间t 所表达的二元函数y (x ,t )来表示。
这就是说，弹性体有无穷多个广义坐标，而且它们之间有一定的相互关系。
从运动方程来看，多自由度系统用一个方程数与自由度相等的常系数线性微分方程组来描述；而弹性体则要用偏微分方程式来描述，其阶数决定于所研究的对象和振动形态。
从振动特性来看，多自由系统振动特性的推广即为弹性体的振动特性；而弹性体振动特性的近似即为多自由度系统的振动特性。
关于一维相对论振子
关于一维相对论振子众所周知，一维相对论振子被认为是现代物理中最重要的基础概念之一，它可以用来描述不同物理系统中的振动行为。
一维相对论振子是一种机械系统，由摆杆、块体、锚点和弹簧组成，弹簧的力与摆杆的角度成正比。
这种机械系统可以模拟不同物理系统中的振动行为，从而为物理学家们提供了一种简单而有效的方法来理解物理系统的振动行为。
首先，我们从一维相对论振子的起源说起。
它最早是由德国数学家、物理学家“拉伯特”提出的。
他指出，当一个弹簧的失稳力与摆杆的角度成正比时，振子会产生持续的振动行为。
他的理论得到了广泛的应用，给研究物理系统的振动提供了一种新的方法。
其次，一维相对论振子也可以用来模拟物理系统中的振动行为。
例如，它可以用来模拟转子振动以及地震振动。
在转子振动中，摆杆用来模拟轴转动方向，弹簧用来模拟离心力，而锚点则模拟重力和惯性力。
地震振动中，摆杆用来模拟地壳的位移，弹簧用来模拟应力，而锚点则用来模拟地壳的各种属性。
在这两种情况下，一维相对论振子可以有效地模拟物理系统的振动行为，为物理学家们提供了一种简单而有效的理论模型。
此外，一维相对论振子还可以用来描述物理系统的非线性现象。
当摆杆的弯曲程度超出一定的程度时，弹簧的力会发生变化，从而使摆杆的运动发生变化，产生非线性现象。
因此，一维相对论振子可以用来模拟不同物理系统中的非线性现象，为物理研究提供了有益的指导。
最后，一维相对论振子也可以用来研究物理系统的参数耦合和多相变化。
例如，当摆杆的物理参数发生变化时，弹簧的力也会发生变化，从而影响摆杆的运动，从而使物理系统发生参数耦合和多相变化。
因此，一维相对论振子可以用来研究物理系统的参数耦合和多相变化，为物理学家们提供了一种有效的理论模型。
综上所述，一维相对论振子是一种重要而有效的理论工具，它可以用来描述物理系统中的振动行为，也可以用来模拟物理系统的非线性现象，以及研究物理系统的参数耦合和多相变化。
因此，一维相对论振子可以说是现代物理学中最重要的基础概念之一。
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
结构动力学一维杆件系统的振动分析
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)
N
Yi
i1
(t)
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。 工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。
J
pdx
2
t2
T x
dx
mT
(x,
t)
dx
内力—变形关系： T GJ由振动方程：
Jp
2
t2
x
GJ p
x
mT (x, t)
2
t2
G
2
x2
c12
2
x2
杆的纵向振动与轴的扭转振动
振动方向不同：杆的纵向振动方向 与杆的轴线方向平行而轴的扭转振 动方向则与轴的截面垂直。
实际应用场景
机械制造：在机械制造中杆的纵向振动与轴的扭转振动常常同时存在影响机器的正常运转。
交通运输：车辆、船舶等交通工具中的传动系统如发动机、变速箱等都涉及到杆的纵向振动 与轴的扭转振动。
建筑工程：在建筑工程中如桥梁、高层建筑等需要考虑到风、地震等外力作用下杆的纵向振 动与轴的扭转振动的影响。
对系统稳定性的影响
振动可能导致系统失稳产生共振现象 振动会加速系统各部件的疲劳损伤降低使用寿命 振动会影响系统的测量精度和控制稳定性 适当抑制振动可以提高系统的稳定性和可靠性
对系统效率的影响
振动会使系统中的 元件磨损导致效率 降低
振动会产生额外的 热量影响系统的热 效率
振动会干扰信号传 输影响系统的信息 传递效率
杆的纵向振动与轴的扭转振动在工 程实际中常常同时存在需要综合考 虑它们的耦合效应。
振动类型不同：杆的纵向振动是拉 伸或压缩振动轴的扭转振动是旋转 振动。
区别
振动频率不同：杆的纵向振动频率 通常较高而轴的扭转振动频率相对 较低。
添加标题
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影响因素不同：杆的纵向振动主要受 轴向力、阻尼和支撑的影响而轴的扭 转振动主要受扭矩、阻尼和转动惯量 的影响。
,
汇报人：
目录
定义与原理
添加标题
定义：杆的纵向振动是指杆在轴向方向上的振动是机械振动的一种形式。
添加标题
原理：当外力作用于杆的一端或杆本身的重力引起杆的轴向变形时杆的轴向会产生周期性的振动即杆的纵 向振动。这种振动可以通过弹性理论和动力学方程进行描述和预测。
影响因素
一维简谐振子的能量分析
一维简谐振子的能量分析一维简谐振子是物理学中一个经典的模型，广泛应用于多个领域。
其能量分析过程既有趣又具有重要意义。
本文将探讨一维简谐振子的能量分析，包括其动能、势能以及总能量的计算方法，并对其应用于实际问题中的意义进行一定的讨论。
一维简谐振子是指一个只在一个方向上振动的物体，其受力与其位移成正比，并且与振动方向相反。
根据胡克定律，振子受到的力可以用公式F=-kx表示，其中F是受到的力，k是弹性常数，x是位移。
根据牛顿第二定律F=ma，可以得到振子的运动方程ma=-kx，或者简化为振子的运动方程a=-kx/m。
在进行能量分析之前，我们需要明确一维简谐振子的位移、速度、加速度与时间之间的关系。
根据牛顿第二定律，在简谐振动中，加速度与位移之间存在着一个简单的正弦关系。
假设一维简谐振子的位移为x(t)=Asin(ωt+φ)，其中A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位差。
对位移求一次导数得到速度v(t)=Aωcos(ωt+φ)，再对速度求一次导数得到加速度a(t)=-Aω^2sin(ωt+φ)。
可以看出加速度与位移之间的关系也是一个正弦函数，并且相位比位移提前了90度。
这个关系非常重要，将在后文中用于能量分析。
我们先从一维简谐振子的动能分析开始。
动能是物体运动时所拥有的能量，由速度决定。
一维简谐振子的速度函数为v(t)=Aωcos(ωt+φ)，可以得到速度的平方v^2(t)=A^2ω^2cos^2(ωt+φ)。
根据动能的定义，动能K=0.5mv^2，其中m是振子的质量。
将速度的平方代入动能公式中，得到动能的表达式K=0.5mA^2ω^2cos^2(ωt+φ)。
由于cos^2(ωt+φ)的取值在0到1之间，动能的取值范围也在0到0.5mA^2ω^2之间。
这表明一维简谐振子的动能是一个随时间变化的量，且取值介于0和最大值0.5mA^2ω^2之间。
接下来我们来分析一维简谐振子的势能。
势能是物体由于位置而具有的能量，由位移决定。
《工程试验技术》第四章-振动与波动理论基础(下-波动理论)
此即为原方程的通解。
其中 x0 为任意一点，而k 为积分常数，
F ( x) + G( x) = ϕ ( x) 1 x C − F ( x) + G( x) = ∫ ψ (α )dα − a x0 a
1 1 x C F ( x) = ϕ ( x) − ∫ ψ (α )dα + 2 2a x0 2a 1 x C 1 G( x) = ϕ ( x) + ∫ ψ (α )dα − 2 2a x0 2a
∂ 2u = 0 ∂ξ∂η
⎞ ⎟ ⎟ （C） ⎠
∂ u = 0 ∂ξ∂η
2
函数 F，G具体形式，由初值 条件确定：
∂u = F * (ξ ) ∂ξ
u (ξ , η ) =
* F ∫ (ξ )d ξ + G (η )
u( x,0) = ϕ ( x)
（初始位移）
F ( x) + G( x) = ϕ ( x)
速度幅值谱
时域测试曲线
加速度功率谱
速度功率谱
速度幅值谱
2、嵌岩桩的检测
嵌岩桩的桩尖反射应为反向，同向应作为异常，需要进行验证
台州某工程检测结果
台州某工程检测结果
台州某工程检测结果—对同类型桩已进行静载验证
临安某工程检测结果
临安某工程检测结果-已进行取芯验证
3、浅层缺陷检测与分析
宜进行开挖验证
上行的力波和速度波的关系为：
− EA p ↑= ⋅ v ↑= − ρAC ⋅ v ↑= − Z ⋅ v ↑ c
结论：杆件（桩）中的一维波动（振动）可以分解为两个传播方向相反， 但传播速度相同的两列独立的“行波”，波形由初始条件决定。
4、波在杆件端部的反射情况
一维震荡系统方程
一维震荡系统方程震荡是物体在某个平衡位置附近做来回振动的现象，对于一维震荡系统来说，可以通过方程来描述其运动规律。
本文将深入探讨一维震荡系统方程，并解释其含义和应用。
一维震荡系统方程是描述一维谐振子（或简谐振动）运动的数学公式，其形式为:m*a + k*x = 0其中，m是质量，a是加速度，k是弹性系数，x是位移。
这个方程可以通过牛顿第二定律推导得出，它表达了质点在回复力的作用下做简谐振动的运动规律。
方程中的第一项m*a表示质点的惯性，它是质点的质量与加速度的乘积。
第二项k*x表示回复力，它是质点受到的恢复力与位移的乘积。
当质点偏离平衡位置时，回复力会将其拉回平衡位置，使质点做振动。
一维震荡系统方程的解是一个简谐函数，表达了质点随时间变化的位移。
解的一般形式为:x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x(t)是位移随时间的函数，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
振幅A表示质点离开平衡位置的最大位移，角频率ω表示单位时间内的振动周期数。
初相位φ表示质点在t=0时刻的位移相位。
一维震荡系统方程有许多应用，例如在弹簧振子、摆钟、声波传播等领域。
在弹簧振子中，质点通过连接弹簧和质量来实现振动，通过求解方程可以得到质点的位移随时间的变化规律。
在摆钟中，摆锤通过重力和摆线的作用下做周期性振动，方程可以描述摆锤的运动规律。
在声波传播中，声波以波的形式传播，通过方程可以分析声波的振动特性。
总结一下，一维震荡系统方程是描述一维谐振子运动的数学公式，它表达了质点在回复力的作用下做简谐振动的运动规律。
方程的解是一个简谐函数，描述了质点随时间变化的位移。
这个方程在物理学中有广泛的应用，可以用于分析弹簧振子、摆钟、声波传播等现象。
通过研究和应用一维震荡系统方程，我们可以更好地理解和掌握物体的振动行为。
一维振动方程PPT学习教案
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根据受力情况，可以写出运动方程：
T2 cos2 T1 cos1 0
T2
sin
2
T1
sin
1
m
2u(x, t 2
t)
T (x x) cos (x x) T (x) cos (x) 0
则
：T
(
x
x)
sin
(x
x)
T
(
x)
sin
(
x)
dx
2u ( x, t 2
t)
对于微小振动，有u(x,t)<< x, 由此可近似得：cos( ) 1
所以有：tan( ) sin( ) sin( ) cos( )
tan( ) u
x 所以：sin u
x
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由横向受力方程近似得：T (x dx) T (x) 0
所以在微小振动下有：T (x,t) T (t)
所以：x
2u t 2
T
sin
x x
sin
x
u
u
T
x
xx
x
x
T
2u x2
x
最后得：x 2u T 2u x 0
t 2 x2
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所以一维弦振动方程为：2u k 2 2u 0
t 2
x2
这里：k T ，为弦振动传播的速度.
若弦在同时受到外加横向力F(x,t) 的作用，则横向受力方程为
2
2u( x, t ) x2
0
这里： Y ，为杆振动传播的速度.
理论力学中的波动与振动分析
理论力学中的波动与振动分析波动与振动是理论力学中重要的研究方向，涉及到许多实际应用和科学理论。
本文将从经典力学和量子力学两个方面，对波动与振动进行深入分析。
一、经典力学中的波动与振动在经典力学中，波动可以用以下形式的波动方程来描述：ψ(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)其中，ψ是波函数，A代表振幅，k是波数，x表示位置变量，ω代表角频率，t为时间变量，φ为相位角。
振动是波动的一种特殊形式，当振动发生在一维系统中时，可以用简谐振动方程来描述：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x为位移，A为最大位移量，ω为角频率，t为时间，φ为初相位角。
二、量子力学中的波动与振动在量子力学中，粒子的波动性由波函数来描述，而波函数的演化满足薛定谔方程：i * ℏ * ∂ψ/∂t = -Ĥψ其中，Ĥ为哈密顿算符，ℏ为普朗克常数除以2π。
量子力学中的波动性表现为粒子的波粒二象性，即既具有粒子性又具有波动性。
粒子的波函数通过薛定谔方程得到后，可以用波包的形式表示。
波包是一个由多个简谐波组合而成的波动形式，可以用高斯波包表达。
对于振动来说，在量子力学中，可以用谐振子模型进行描述。
谐振子模型是量子力学中的一个重要模型，它是简谐振动的量子版本。
谐振子的哈密顿算符表达式为：Ĥ = (ℏω/2) * (a^†a + aa^†)其中，a和a^†分别是谐振子的湮灭算符和产生算符，ℏ是普朗克常数除以2π，ω为角频率。
谐振子的能级由能量本征值给出。
三、波动与振动的应用波动和振动在物理学、工程学和其他学科中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.声学：声音是通过空气中的波动传播的，声学研究了声音的起源、传播和感知。
声波的频率和振幅可以影响我们对声音的感知。
2.光学：光是一种电磁波，光学研究了光的传播、反射、折射等现象。
波动光学理论可以解释光的干涉、衍射等现象。
3.无线通信：通过调制载波的振幅和频率，可以实现无线信号的传输。
振动理论与应用第8章 弹性体的一维振动
Theory of Vibration with Applications
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
dU dx
x =0
= 0,
dU dx
x =l
=0
px px U ( x) = C cos + D sin a a p p D = 0， C sin l = 0 a a p ∴ sin l = 0 a
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
现在来确定各种简单边界条件下杆的固有频率和主振型
U ( x ) = C cos px px + D sin a a
1. 杆两端固定的情况 边界条件为
U (0) = 0 , U (l ) = 0
若
k =，相当于自由端，即 0
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8.1 杆的纵向振动
8.1.2固有频率和主振型
例8-2 与例8-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。 解：此系统仍属于复杂边界条件问题。 当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力 因此杆的边界条件为
U (0) = 0 , EA dU dx
x =l
= − kU (l )
U ( x) = C cos
EA
px px + D sin a a
p C = 0, U ( x) = D sin x a
8连续系统的振动创新之一维波动方程之二梁的弯曲振动
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动
Evaluation
o2t 2ynlya.02
2 y x 2
1
p(x,t)
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
（3）轴C的o扭py转r振ig动ht
2004-2011
A2ts2 p oa02sex22
• 主C振op型yr的ig正ht交2性004-2011 Aspose Pty Ltd.
• 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
杆参数：杆长 l E截va面l积uaStion only.
l
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/
Client
Profile
5.2
假设C杆o的p各yr点ig作ht同2步0运04动-，20即1设1 A：sup(ox,st)ePt(yx)Lq(ttd).
q(t) 表示运动规律的时间函数
(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
代入，得：
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定
0
特征：两端位移为零
x
一维膜振动的实验研究与解释
一维膜振动的实验研究与解释一维膜振动是固体物理学中一个重要的研究领域，研究对象是一维弹性薄膜在外界作用下的振动行为。
它的研究对于理解固体的振动行为和性质具有重要的理论和应用价值。
本文将围绕一维膜振动的实验研究和解释展开讨论，从实验方法、现象描述到理论模型和解释，全面系统地介绍这一领域的研究进展和成果。
一、实验方法在实验研究一维膜振动时，通常会采用光学干涉法和谐波激励法等不同的实验方法。
光学干涉法是通过观察薄膜表面的光学干涉图样来研究振动情况，可以得到薄膜的位移和振幅信息；而谐波激励法则是通过在薄膜表面施加外界谐波激励来诱发薄膜的振动，从而研究薄膜的振动特性和谐波响应。
这些实验方法能够有效地研究一维膜振动的频率、振幅、波形等特性，为理论解释提供必要的实验依据。
二、现象描述1.简谐振动：一维膜在外界作用下以简谐振动的形式进行振动，振动频率与外界激励频率一致，振幅随时间变化为正弦波形式。
2.混合振动：在一维膜上可以同时存在多种频率的振动模式，各个振动模式相互耦合、相互作用，形成复杂的振动现象。
3.共振现象：当外界激励频率与薄膜的固有频率匹配时，会出现共振现象，振幅显著增大，薄膜呈现出较大的振动幅度。
以上这些现象描述表明，一维膜振动是一个多模式、多参数、非线性系统，其振动行为受到多种因素的共同影响，需要结合理论模型进行深入解释。
三、理论模型和解释在解释一维膜振动的理论模型中，常常采用弹性力学理论和薄膜理论进行描述。
弹性力学理论可以描述薄膜在外界作用下的力学响应，包括位移场、应力场、变形场等；而薄膜理论则更加关注薄膜的形变行为和自由振动特性，通过数学分析和数值计算得到薄膜的振动频率、振型等物理量。
基于理论模型，我们可以解释一维膜振动的几个重要问题：1.振动频率：薄膜的振动频率与其固有频率和外界激励频率有密切关系，可以通过理论模型计算得到不同模式的振动频率，与实验结果进行比较验证。
2.谐波响应：薄膜在外界谐波激励下的振动响应可以通过理论模型进行预测和解释，包括谐波的振幅、相位、波形等特性。
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y方向的平衡条件:
y
T
图8.1.1 弦单元体的受力分析
T
x
dx
T
2 y t2
dx
F(x
, t)
dx
0
T
x
2 y t2
F(x
, t)
(8.1.2)
几何关系: tan y / x
2y T 2y F(x , t l / c 0
非零解： A 2 0 sin l / c 0
n l / c n (n 1, 2, 3 )
n
n
l
c
n
l
T
第8章 一维杆件系统的振动分析
第n阶固有振型: n (x) An sinnx / c An sinn x / l
n ( x)
sin
n
l
x
,
n
n
l
E
(n 1, 2 , 3, )
③ 两端自由的杆： '(0) '(l) 0
n ( x)
cos n
l
x
,
n
n
l
E
(n 0,1, 2 , )
一般解：
u( x
,
t)
n (x)
( An
cosn
t
Bn
sin n
芜湖长江大桥是一座公铁两用低塔斜拉特大桥，正桥共有15个桥墩。 大桥为双层，铁路在下层，公路在上层。铁路桥为I级，双线，全 长10511米，正桥长2193米，桥宽21米(设四车道宽18米，两侧人行 道各宽1.5米)，芜湖岸引桥长2038米，无为岸引桥长1449米。全桥 混凝土总量约为55万立方米，结构用钢材约11万吨。
t 0
t 1
t2
c 10 , y Y1(100) x 100 x 90 x 80
分离变量法解波动方程，设 ： y(x , t) Y (t) (x)
Y(t) (x) c2 "(x)Y (t)
上标“ ′”表示对x 的偏导数
c2 "(x) Y(t) (x) Y (t)
2 l
l 0
f2 (x)sinm
x / ldx
bm
A m am2 bm /m 2 tan m amm / bm
第8章 一维杆件系统的振动分析
弦的受迫振动 :
2 y t2
T
2 y x2
F(x
, t)
(8.1.3)
引入广义坐标Yn(t)，应 用振型叠加法，设解：
y(x , t)
Yn (t) sin
n1
n
l
x
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件 :
Ym (t) m2Ym (t) fm (t)
(m 1, 2, )
fm (t)
2 l
l 0
F(x
, t)sinm
x / l dx
A2 cos l / c 0
cos l / c 0
cos l / c 0
第8章 一维杆件系统的振动分析
n
n
1 2
l
c
n
1 2
l
E
(n 1, 2 , 3, )
振型函数：
n(x) sin
n
1 2
x/l
② 两端固支的杆： (0) (l) 0
结论：一个弹性系统相当于具有无穷多个自由度，具有 无穷多个固有频率，每个固有频率都对应一个振型。
常采用模态截断：
y(x
,
t)
N
Yi (t)
i1
sin
i
l
x
第8章 一维杆件系统的振动分析
共振原理：当激振力频率等于弦的固有频率ωn ，出现共振峰。
工程应用： 测试弦的固有频率推算弦的索力。
第8章 一维杆件系统的振动分析
安庆长江大桥施工情况
第8章 一维杆件系统的振动分析
都江堰安谰桥(1)
第8章 一维杆件系统的振动分析
云南永平县霁虹桥
云南永平县霁虹桥，跨澜沧江，是中国现存最古、最宽、 铁索最多的铁索桥，桥净跨57.3m，全长113.4m，桥宽约 4.1m。桥底有索16根，左右栏杆索共两根，桥位于通往印 度、缅甸的千年古道上。
c2 "(x) Y(t) 2
(x) Y (t)
第8章 一维杆件系统的振动分析
左边仅是 x 的函数， 右边仅是 t 的函数。
"(x) c 2 (x) 0 (x) A1 cos x / c A2 sin x / c
Y(t) 2Y (t) 0
西藏拉萨达孜桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
达孜桥位于西藏拉萨市东郊25km处，跨越拉萨河，建于 1984年。为跨径500m的悬索桥。由于一侧的塔架和鞍座设 在山上，桥面长度仅415m。桥面宽4.5m，为单车道桥。
第8章 一维杆件系统的振动分析
江阴长江大桥悬索－吊杆特写
润杨大桥全景图
第8章 一维杆件系统的振动分析
Y (t) B1 cos t B2 sin t Bsin( t )
A1与A2由边界条件确定，B与α由初始条件确定。
若弦在 x =0 和 x =l 两端固定，边界条件为：
y(0 , t) y(l , t) 0 (0) (l) 0
(0) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c
第8章 一维杆件系统的振动分析
§8-2 直杆的纵向振动和扭转振动
8.2.1 直杆纵向振动的微分方程
力学模型: 单元体受力分析: 0
u
x dx
u u dx x x
F ( x, t )
Adx u&&
FN
FN x
d
x
FN
轴向的平衡条件:
Fdx
图 8.2.1 杆纵向振动时单元体的受力分析
t2 x2
(8.1.3)
自由振动方程(波动方程)： 横波沿弦传播的波速：
第8章 一维杆件系统的振动分析
2y c2 2y
t2
x2
(8.1.4)
c T/
波动方程的一般解： y Y1(ct x) Y2 (ct x)
第一项表示振动波形以波速c沿x轴的正方向传播
y Y1(ct x)
2 m
l 0
A
m ( x)
n (x)
dx
l 0
d dx
[
EAm
'
(
x)]
n
(x)
dx
n
(
x)EAm
'
(x)
l 0
l 0
EAm'(x) n '(x) dx
不管两端是固定还是自由，都能保证右边第一项为零。
2 m
l 0
A
m
( x)
n
( x)
dx
l 0
EAm'(x)n'(x) dx
t)
n1
8.2.4 振型函数的正交性
第8章 一维杆件系统的振动分析
振型函数： m (x) , n (x)
分别满足特征方程：
A
m2
m
(
x)
d dx
[
EA
m
'
(
x)]
A
n2
n
(x)
d dx
[EAn
'
(
x)]
第一式两边乘以φn(x) , 从0到 l 积分，并分部积分：
第二篇 连续系统的线性振动
第8章 一维杆件系统的振动分析
描述离散系统的运动方程——常微分方程组 描述连续分布系统的运动方程——偏微分方程(组) 偏微分方程(组)所描述的是一个场的问题：
位移场 应力场 温度场 电磁场
关键问题： 控制方程、边界条件
一维问题：弦、杆、梁等结构 一个空间坐标 x 和一个时间坐标 t
l
x
sin
n
f2 (x)
A
n1
nn
sin
n
l
x
cos
n
两式同乘m (x) sinm x / l，从0到 l 积分, 并利用正交条件:
A m
s in m
2 l
l 0
f1 ( x) s in m
x / ldx
am
A mm
c os m
U (t) B1 cos t B2 sin t B sin( t )
边界条件 ： ① x =0固支，x =l自由的杆
u(0, t) 0 , N(l, t) 0
(0) 0 '(l) 0
(0) 0 '(l) 0
A1 0 (x) A2 sin x / c
铜陵长江大桥
第8章 一维杆件系统的振动分析
位于铜陵市羊山矶下游600米处，桥型为预应力钢筋混凝 土双塔索面斜拉桥，是世界上同类型第3位大跨径桥梁。 全长2592米，主桥长1152米，最大跨径为432米，桥面宽 度23米，其中4车道15米，人行道5米，通航净高24米。