高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战64272
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战36645
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂 的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位,复数z =()12i i +对应的点位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2. 已知集合{}|11M x x =-<<,{|N x y ==,则MN =A. {}|01x x <<B. {}|01x x ≤<C. {}|0x x ≥D. {}|10x x -<≤ 3. 命题“若0x >,则20x >”的否命题是A .若0x >,则20x ≤B .若20x >, 则0x >C .若0x ≤,则20x ≤D .若20x ≤,则0x ≤4. 设向量(,1)x =a ,(4,)x =b , ⋅a b 1=-, 则实数x 的值是A .2-B .1-C .13-D .15- 5. 函数()()1cos f x x x =的最小正周期为 A .2πB .32πC .πD .2π6. 一算法的程序框图如图1,若输出的12y =, 则输入的x 的值可能为A .1-B .0C .1D .57. 用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b .D C其中真命题的序号是A .① ②B .② ③C .① ④D .② ④ 8. 已知22log log a b >,则下列不等式一定成立的是 A .11a b> B .()2log 0a b ->C .1132ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .21a b -<9. 已知双曲线22:13x C y -=的左,右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 的 图1 直线与双曲线C 的右支相交于P ,Q 两点,且点P 的横坐标为2,则△1PF Q 的周长为A .3B .C .3D .10. 已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A .4029B .4029-C .8058D .8058-二、填空题: 本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题)11. 不等式2230x x --<的解集是.12. 在平面直角坐标系xOy 中,设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ,从区域W中随机取点(),M x y ,则2OM ≤的概率是.13. 已知实数x ,y 满足221x y xy +-=,则x y +的最大值为.(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图2,圆O 的直径9AB =,直线CE 与圆O 相切于点C ,AD CE ⊥于点D ,若1AD =,设ABC θ∠=,则sin θ=______.15.(坐标系与参数方程选讲选做题) 图2在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ,B , 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______.三、解答题: 本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.FEDCBA16.(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R ),4π是函数()f x 的一个零点. (1)求a 的值,并求函数()f x 的单调递增区间; (2)若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且104f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,3354f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,求()sin αβ+的值. 17.(本小题满分12分)某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究,他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x (°C )与该奶茶店的这种饮料销量y (杯),得到如下数据:日 期 1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x (°C ) 9 10 12 11 8 销量y (杯)2325302621(1)若从这五组数据中随机抽出2组,求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率;(2)请根据所给五组数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. (参考公式:()()()121ˆˆˆniii ni i x x y y bay bx x x==--==--∑∑,.) 18.(本小题满分14分)如图3,在多面体ABCDEF 中,DE ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,平面BCEF平面ADEF EF =,60BAD ︒∠=,2AB =,1DE EF ==.(1)求证:BC ∥EF ;(2)求三棱锥B DEF -的体积. 图3 19.(本小题满分14分) 已知首项为32,公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22S -,3S ,44S 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令n n b n a =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:n n T b +6<.20.(本小题满分14分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>()0,1.圆22221:C x y a b +=+.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l ():0y kx m k =+≠与椭圆C 有且只有一个公共点M ,且l 与圆1C 相交于,A B 两点,问AM BM +=0是否成立?请说明理由. 21.(本小题满分14分)已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =. (1)求实数a ,b 的值;(2)是否存在实数m ,当(]0,1x ∈时,函数()()()21g x f x x m x =-+-的最小值为0,若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)若120x x <<,求证:212212ln ln x x x x x -<-.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.102.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.36.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.28.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数=.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()=.13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是.15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB 的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.(1)证明:P是线段BC的中点;(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,令r=2可得,T3=C62x2=15x2,∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.故选:C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,∴A∩B={﹣1,0,1,2}.故选:A.【点评】本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,故选:A.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<【分析】利用特例法,判断选项即可.【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,则,,∴A、B不正确;,=﹣,∴C不正确,D正确.解法二:∵c<d<0,∴﹣c>﹣d>0,∵a>b>0,∴﹣ac>﹣bd,∴,∴.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域如图:当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.故选:C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,根据加法原理可得,共有120+96=216种.故选:B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),∴=m+=(m+4,2m+2),又∵与的夹角等于与的夹角,∴=,∴=,∴=,解得m=2,故选:D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中,==.sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,=1.∴sinα的取值范围是.故选:B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln ()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g (0)=0,又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确;故正确的命题有①②③,故选:A.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,结合及,得,∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,=.当且仅当,即时,取“=”号,∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.【解答】解:复数===﹣2i,故答案为:﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,∴=1.故答案为:1.【点评】本题属于容易题,是考查函数周期性的简单考查,学生在计算时只要计算正确,往往都能把握住,在高考中,属于“送分题”.13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于 60 m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)【分析】过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义,算出CD、BD的长,从而可得BC,即为河流在B、C两地的宽度.【解答】解:过A点作AD垂直于CB的延长线,垂足为D,则Rt△ACD中,∠C=30°,AD=46m,AB=,根据正弦定理,,得BC===60m.故答案为:60m.【点评】本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是 5 .【分析】先计算出两条动直线经过的定点,即A和B,注意到两条动直线相互垂直的特点,则有PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值.【解答】解:由题意可知,动直线x+my=0经过定点A(0,0),动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点B(1,3),注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直,P又是两条直线的交点,则有PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.故|PA|•|PB|≤=5(当且仅当时取“=”)故答案为:5【点评】本题是直线和不等式的综合考查,特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口,从而有|PA|2+|PB|2是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题.15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有①③④.(写出所有真命题的序号)【分析】根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论.【解答】解:(1)对于命题①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故①是真命题;(2)对于命题②,若函数f(x)∈B,即存在一个正数M,使得函数f(x)的值域包含于区间[﹣M,M].∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f (x)无最大值,无最小值,故②是假命题;(3)对于命题③,若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)值域为R,f(x)∈(﹣∞,+∞),并且存在一个正数M,使得﹣M≤g(x)≤M.故f (x)+g(x)∈(﹣∞,+∞).则f(x)+g(x)∉B,故③是真命题;(4)对于命题④,∵﹣≤≤,当a>0或a<0时,aln(x+2)∈(﹣∞,+∞),f(x)均无最大值,若要使f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故④是真命题.故答案为①③④.【点评】本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件,还考查了新定义概念的应用和极限思想.本题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.【分析】(1)令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈z,求得x的范围,可得函数的增区间. (2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,可得sin(α+)=cos(α+)cos2α,化简可得(cosα﹣sinα)2=.再由α是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得cosα﹣sinα 的值.【解答】解:(1)∵函数f(x)=sin(3x+),令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+,k∈Z,求得﹣≤x≤+,故函数的增区间为[﹣,+],k∈Z. (2)由函数的解析式可得 f()=sin(α+),又f()=cos(α+)cos2α,∴sin(α+)=cos(α+)cos2α,即sin(α+)=cos(α+)(cos2α﹣sin2α),∴si nαcos+cosαsin=(cosαcos﹣sinαsin)(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)即(sinα+cosα)=•(cosα﹣sinα)2(cosα+sinα),又∵α是第二象限角,∴cosα﹣sinα<0,当sinα+cosα=0时,tanα=﹣1,sinα=,cosα=﹣,此时cosα﹣sinα=﹣.当sinα+cosα≠0时,此时cosα﹣sinα=﹣.综上所述:cosα﹣sinα=﹣或﹣.【点评】本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【分析】(1)设每盘游戏获得的分数为X,求出对应的概率,即可求X的分布列;(2)求出有一盘出现音乐的概率,独立重复试验的概率公式即可得到结论.(3)计算出随机变量的期望,根据统计与概率的知识进行分析即可.【解答】解:(1)X可能取值有﹣200,10,20,100.则P(X=﹣200)=,P(X=10)==P(X=20)==,P(X=100)==,故分布列为:X ﹣200 10 20 100P由(1)知,每盘游戏出现音乐的概率是p=+=,则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣.由(1)知,每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)=(﹣200)×+10×+20××100=﹣=.这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知:许多人经过若干盘游戏后,入最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.【点评】本题主要考查概率的计算,以及离散型分布列的计算,以及利用期望的计算,考查学生的计算能力.18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB 的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.(1)证明:P是线段BC的中点;(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.【分析】(1)用线面垂直的性质和反证法推出结论,(2)先建空间直角坐标系,再求平面的法向量,即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值. 【解答】解:(1)由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知,在三棱锥A﹣BCD中:平面ABD⊥平面CBD,AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点,连接OA,OC于是OA⊥BD,OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M,N分别为线段AD,AB的中点,所以MN∥BD,MN⊥NP,故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点,则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC,这与∠DBC=60°矛盾,所以P为线段BC的中点(2)以O为坐标原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,),M(,O,),N(,0,),P(,,0)于是,,设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由,则,设z1=1,则由,则,设z2=1,则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值【点评】本题考查线线的位置关系,考查二面角知识的应用,解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤,属于中档题.19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.【分析】(1)由于点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,可得,又等差数列{an}的公差为d,利用等差数列的通项公式可得=2d.由于点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,可得=b8,进而得到=4=2d,解得 d.再利用等差数列的前n项和公式即可得出.(2)利用导数的几何意义可得函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程,即可解得a2.进而得到an,bn.再利用“错位相减法”即可得出.【解答】解:(1)∵点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上,∴,又等差数列{an}的公差为d,∴==2d,∵点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,∴=b8,∴=4=2d,解得d=2.又a1=﹣2,∴Sn==﹣2n+=n2﹣3n.(2)由f(x)=2x,∴f′(x)=2xln2,∴函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为,又,令y=0可得x=,∴,解得a2=2.∴d=a2﹣a1=2﹣1=1.∴an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n,∴bn=2n.∴.∴Tn=+…++,∴2Tn=1+++…+,两式相减得Tn=1++…+﹣=﹣==.【点评】本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”,属于难题.21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.【分析】(1)求出f(x)的导数得g(x),再求出g(x)的导数,对它进行讨论,从而判断g(x)的单调性,求出g(x)的最小值;(2)利用等价转换,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,所以g(x)在(0,1)上应有两个不同的零点.【解答】解:∵f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,∴g(x)=f′(x)=ex﹣2ax﹣b,又g′(x)=ex﹣2a,x∈[0,1],∴1≤ex≤e,∴①当时,则2a≤1,g′(x)=ex﹣2a≥0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递增,g(x)min=g(0)=1﹣b;②当,则1<2a<e,∴当0<x<ln(2a)时,g′(x)=ex﹣2a<0,当ln(2a)<x<1时,g′(x)=ex﹣2a>0,∴函数g(x)在区间[0,ln(2a)]上单调递减,在区间[ln(2a),1]上单调递增,g(x)min=g[ln(2a)]=2a﹣2aln(2a)﹣b;③当时,则2a≥e,g′(x)=ex﹣2a≤0,∴函数g(x)在区间[0,1]上单调递减,g(x)min=g(1)=e﹣2a﹣b,综上:函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为;(2)由f(1)=0,⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1,又f(0)=0,若函数f(x)在区间(0,1)内有零点,则函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间,由(1)知当a≤或a≥时,函数g(x)在区间[0,1]上单调,不可能满足“函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间”这一要求.若,则gmin(x)=2a﹣2aln(2a)﹣b=3a﹣2aln(2a)﹣e+1令h(x)=(1<x<e)则=,∴.由>0⇒x<∴h(x)在区间(1,)上单调递增,在区间(,e)上单调递减,==<0,即gmin(x)<0 恒成立,∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有三个单调区间⇔⇒,又,所以e﹣2<a<1,综上得:e﹣2<a<1.【点评】本题考查了,利用导数求函数的单调区间,分类讨论思想,等价转换思想,函数的零点等知识点.是一道导数的综合题,难度较大.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.【分析】第(1)问中,由正三角形底边与高的关系,a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2,b2;第(2)问中,先设点的坐标及直线PQ的方程,利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来,由取最小值时的条件获得等量关系,从而确定点T的坐标.【解答】解:(1)依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设T(﹣3,t),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点为N(x0,y0),①证明:由F(﹣2,0),可设直线PQ的方程为x=my﹣2,则PQ的斜率.由⇒(m2+3)y2﹣4my﹣2=0,所以,于是,从而,即,则直线ON的斜率,又由PQ⊥TF知,直线TF的斜率,得t=m.从而,即kOT=kON,所以O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,故得证.②由两点间距离公式得,由弦长公式得==,所以,令,则(当且仅当x2=2时,取“=”号),所以当最小时,由x2=2=m2+1,得m=1或m=﹣1,此时点T的坐标为(﹣3,1)或(﹣3,﹣1).【点评】本题属相交弦问题,应注意考虑这几个方面:1、设交点坐标,设直线方程;2、联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到一个关于x或y一元二次方程,利用韦达定理;3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战73073
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题,其他题为必考题。
满分150分。
注意事项: 1. 答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号,姓名”与考生本人准考证号,姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。
3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式:样本数据x1,x2,…,xa 的标准差 锥体体积公式13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 球的表面积,体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位,若集合S=}{1.0.1-,则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R ,则a=2是(a1)(a2)=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3,则2sin 2cos aα的值等于A.2B.3C.4D.64.如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A.14B.13C.12 D.23 5.10⎰(e2+2x )dx 等于A.1B.e1C.eD.e+1 6.(1+2x)3的展开式中,x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10 7.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F1,F2,若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2,则曲线r 的离心率等于 A.1322或B.23或2C.12或2D.2332或8.已知O 是坐标原点,点A (1,1)若点M (x,y )为平面区域,上的一个动点,则OA ·的取值范围是A.[1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[1.2]9.对于函数f (x )=asinx+bx+c(其中,a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f (1)和f (1),所得出的正确结果一定不可能是A.4和6B.3和1C.2和4D.1和210.已知函数f(x)=e+x ,对于曲线y=f (x )上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ,给出以下判断:①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数 学(理工农医类)注意事项: 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案,在试题卷上作答,答案无效。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战57677
注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分,共160分,考试用时120分钟.2.答题前,考生务必将自己的班级.姓名.学号写在答题纸的密封线内.答题时,填空题和解答题的答案写在答题纸对应的位置上,答案写在试卷上无效,本卷考试结束后,上交答题纸.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。
不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上。
1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}2,3A =,集合{}3,5B =,则()UA B = ▲ .2.复数z 满足(12i)5z +=,则z = ▲ . 3.函数y = ▲ .4.若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x -y =0,则点P 的坐标为 ▲ . 5.已知直线1:(2)10l ax a y +++=,2:20l ax y -+=.则“3a =-”是“1l ∥2l ”的 ▲ 条件. 6.若将函数()sin f x x ω=的图像向右平移6π个单位得到的函数图像与函数4()sin()3g x x ωπ=-的图像重合,则|ω|的最小值为 ▲ .7. 实数x ,y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩,如果目标函数z x y =-的最小值为-2,则实数m 的值为▲ .8. 直线10ax+y+=被圆2022x +y ax+a =-截得的弦长为2,则实数a 的值是▲. 9.已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+,则sin(2)3πθ-= ▲ . 10.设{}n a 是正项数列,其前n 项和n S 满足:4(1)(3)n n n S a a =-+,则n a = ▲ . 11.已知平面上三个向量OA ,OB ,OC ,满足1OA =,3OB =,2OC =,0OA OB ⋅=,则CA CB ⋅ 的最大值为 ▲ .12.已知22:1O x y +=,若直线2y kx =+上总存在点P ,使得过点P 的O 的两条切线互相垂直,则实数k 的取值范围是 ▲ .13.函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且x≤0时,()122x f x x a =-+,则函数()f x 的零点个数是 ▲ .14.已知实数,,z x y 为正数,则222xy yzx y z +++的最大值为 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)如图,在xOy 平面上,点(1,0)A ,点B 在单位圆上,AOB θ∠=(0θπ<<)(1)若点34(,)55B -,求tan()4πθ+的值;(2)若OA OB OC +=,1813OB OC ⋅=,求cos()3πθ-.16、(本题满分14分)在 ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,且sin sin cos ,,sin sin cos B C BA A A成等差数列.(1)求角A 的值;(2)若a =,5b c +=时,求ABC ∆的面积. 17.(本小题满分15分)设函数()(0xxf x ka a a -=->且1)a ≠是定义域R 上的奇函数. (1)若(1)0f >,试求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集; (2)若3(1)2f =,且22()2()x xg x a a mf x -=+-在[1,)+∞上的最小值为2-,求实数m 的取值集合.18.(本小题满分15分)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系t x 2000=.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元(以下称s 为赔付价格).(1)将乙方的年利润w (元)表示为年产量t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =(元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s 是多少?19.(本小题满分16分)设数列{}n a 的各项都是正数,且对任意*n ∈N 都有33332123,n n a a a a S ++++=其中nS 为数列{}n a 的前n 项和.(1)求证:22n n n a S a =-;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅(λ为非零整数,*n ∈N )试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有1n n b b +>成立.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ex ,g(x)=x -b ,b ∈R .(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求b 的值; (2)设T(x)=f(x)+ag(x),a ∈R ,求函数T(x)的单调增区间;(3)设h(x)=|g(x)|·f(x),b <1.若存在x1,x2∈,使|h(x1)-h(x2)|>1成立,求b 的取值范围.苏州市第五中学第一学期阶段测试数 学试 题Ⅱ(全卷满分40分,考试时间30分钟).1221.(本小题满分10分)已知矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,属于特征值4的一个特征向量为23⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求2A . 22.(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为12(x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρ=θθ-,若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,求线段AB 的长.23.(本小题满分10分)已知某校有甲、乙两个兴趣小组,其中甲组有2名男生、3名女生,乙组有3名男生、1名女生,学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动. (1)求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数;(2)记X 为选出的4名选手的人数,求X 的概率分布和数学期望. 24. (本小题满分10分)已知30123(1)(1)(1)(1)...(1),n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-(其中*n ∈N ) (1)求0a 及1nni i S a ==∑;(2)试比较n S 与2(2)22n n n -+的大小,并说明理由. 苏州市第五中学第一学期阶段测试高三数学(参考答案)一、填空题:1.{}2 2.12i - 3.1[,)2+∞4.(1,0) 5.充分不必要6.4 7.8 8.2-9 10.21n +11.2+.(,1][1,)-∞-+∞ 13.3 14.二、解答题:15.(1)由于34(,)55B -,AOB θ∠=,所以3cos 5θ=-,4sin 5θ=,4tan 3θ=-,3分所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==--; 6分(2)由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=, 所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+, 8分22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=,所以12sin 13θ=,12分所以cos()cos cos sin sin 333πππθθθ-=+=分 16、(本题满分14分) (I )、由sin sin cos ,,sin sin cos B C B A A A 成等差数列知sin cos sin 2sin cos sin B B CA A A+= 2分法1sin cos cos sin 2sin cos sin()sin 2sin cos B A B A C A B A C C A ⇒+=⇒+== 所以1cos 23A A π=⇒= 6分 法222222222222222222122a c b b c a c b ac b c b c a bc b c a a a b c a bc+-⎛⎫+-⇒+=⇒+=⇒+-= ⎪+-+-⎝⎭ 所以1cos 23A A π=⇒= 6分 (II)、由余弦定理知()22223a b c bc b c bc =+-=+-8分代入5a b c =+=得5bc =11分所以1sin 2S bc A ==14分 17.解:⑴∵()f x 是定义域为R 上的奇函数, ∴(0)0101f k k =⇒-=⇒=.2分 ∵(1)0f >,∴10a a->,又0a >且1a ≠,∴1a >. 4分 易知()f x 在R 上单调递增,∴原不等式化为:2(2)(4)f x x f x +>-, ∴224x x x +>-,即2340x x +->,解得1x >或4x <-. ∴不等式的解集为(,4)(1,)-∞-⋃+∞.7分 ⑵∵3(1)2f =,∴132a a -=,即22320a a --=, 解得2a =或12a =-(舍去).9分从而222()222(22)(22)2(22)2xx x x x x x x g x m m ----=+--=---+.令22x xt -=-,则2()()22h t g x t mt ==-+.∵1x ≥,∴32t ≥.11分∴2223()22()2()2h t t mt t m m t =-+=--+≥.当32m ≥时,则当t m =时,2min ()22h t m =-+=-,解得2m =;13分 当32m <时,则当32t =时,min 17()324h t m =-=-,解得253122m =>,(舍去).综上所述,2m =.15分18.解:(解:(1)乙方的实际年利润为:st t w -=20000≥t . 3分ss t s st t w 221000)1000(2000+--=-=,当21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 时,w 取得最大值. 所以乙方取得最大年利润的年产量21000⎪⎭⎫⎝⎛=s t (吨). 6分(2)设甲方净收入为v 元,则2002.0t st v -=.将21000⎪⎭⎫ ⎝⎛=s t 代入上式,432100021000ss v ⨯-=. 9得:分 又令0='v ,得20=s .当20<s 时,0>'v ;当20>s 时,0<'v ,所以20=s 时,v 取得最大值.14分 因此甲方向乙方要求赔付价格20=s (元/吨)时,获最大净收入.15分19.解:(解:(1)证明:由已知得,当32111,n a a ==时1133332123333321231131112121210,12()()()0,=21,12n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n na a n a a a a S a a a a S a S S S S a S S a a S S S S a a S a n a a S a ------->∴=≥++++=++++==-+=+>∴=+-∴=-==∴=-又当时① ②由①-②得又当时适合上式. 5分(2)解由(1)知:22n n n a S a =-③2111221111112,22()01{}1,1{}n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S a a a S S a a a a a a a a a a a n---------≥=---=--+=++>∴-=∴∴=当时④由③④得数列是以首项为公差为的等差数列数列的通项公式为23232551000810001000(8000)s v s s s ⨯-'=-+=10分(3)1,3(1)2n n n n n a n b λ-=∴=+-⋅11111111,33(1)2(1)2233(1)20(1))n n n n n nn n n n n n n n n b b b b λλλλ++-++--->-=-+-⋅--⋅=⋅--⋅>-<要使恒成立即恒成立3即(恒成立212分11))1,1n n n λλ--<∴<3①当为奇数时,即(恒成立23又(的最小值为2111,)),101,,n n n nn n N b b λλλλλλ--*+>-∴>-<<≠∴=-∈>3②当为偶数时即(恒成立2333又-(的最大值为-2223即-,又且为整数2使得对任意都有 16分20.解:(1)设切点为(t ,et),因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切, 所以et =1,且et =t -b ,解得b =-1. ……………………………………4分 (2)T(x)=ex +a(x -b),T′(x)=ex +a . 当a≥0时,T′(x)>0恒成立.当a <0时,由T′(x)>0,得x >ln(-a). …………………………………6分 所以,当a≥0时,函数T(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a <0时,函数T(x)的单调增区间为(ln(-a),+∞). ………………8分(3)h(x)=|g(x)|·f(x)=⎩⎨⎧(x -b)ex , x≥b ,-(x -b)ex , x <b.当x>b 时,h′(x)=(x -b +1)ex >0,所以h(x)在(b ,+∞)上为增函数; 当x<b 时,h′(x)=-(x -b +1)ex ,因为b -1<x <b 时,h′(x)=-(x -b +1)ex <0,所以h(x)在(b -1,b)上是减函数; 因为x <b -1时, h′(x)=-(x -b +1)ex >0,所以h(x)在(-∞,b -1)上是增函数.…………………10分① 当b≤0时,h(x)在(0,1)上为增函数.所以h(x)max =h(1)=(1-b)e ,h(x)min =h(0)=-b .由h(x)max -h(x)min >1,得b <1,所以b≤0. …………………12分 ②当0<b <ee +1时,因为b <x <1时, h′(x)=(x -b +1)ex >0,所以h(x)在(b ,1)上是增函数, 因为0<x <b 时, h′(x)=-(x -b +1)ex <0,所以h(x)在(0,b)上是减函数. 所以h(x)max =h(1)=(1-b)e ,h(x)min =h(b)=0. 由h(x) max -h(x) min >1,得b <e -1e .因为0<b <ee +1,所以0<b <e -1e . ………………14分③当ee +1≤b <1时, 同理可得,h(x)在(0,b)上是减函数,在(b ,1)上是增函数. 所以h(x)max =h(0)=b ,h(x)min =h(b)=0.因为b <1,所以h(x)max -h(x)min >1不成立.综上,b 的取值范围为(-∞,e -1e ). …………………………16分数 学试 题Ⅱ21.由条件,1224233a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2382612a b +=⎧⎨+=⎩,解得23a b =⎧⎨=⎩……5分 ∵1232A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, ∴276910A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦……10分 22.由2sin 2cos ρθθ=-,可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x2+y2=2y -2x , 标准方程为(x +1)2+(y -1)2=2. 直线l 的方程为化成普通方程为x -y +1=0.……………………4分圆心到直线l 的距离为d ==,所求弦长L == ……………………10分 23.(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为1121233321C C C C ⋅⋅+=种.…3分 (2)X 的可能取值为0,1,2,3. ………………5分23225431(0)10620C P X C C ====⨯, 11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯, 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯,(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………8分 X 的概率分布为:179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分 24.(1)令1x =,则02n a =,令2x =, 则3nn ii a==∑,∴32n n n S =-; 3分(2)要比较n S 与2(2)22nn n -+的大小,即比较:3n 与2(1)22nn n -+的大小, 当1n =时,23(1)22nnn n >-+;当2,3n =时,23(1)22nnn n <-+; 当4,5n =时,23(1)22nnn n >-+; 5分猜想:当4n ≥时4n ≥时,23(1)22nnn n >-+,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,4n =4n =时结论成立,假设当(4)n k k =≥,(4)n k k =≥时结论成立,即23(1)22nnn n >-+, 两边同乘以3 得1212233[(1)22]22(1)[(3)2442]k k k k k k k k k k k ++>-+=+++-+--22(3)2442(3)24(2)6(2)24(2)(1)60k k k k k k k k k k k k -+--=-+--+=-+-++>∴1123[(1)1]22(1)k k k k ++>+-++,即1n k =+时结论也成立,∴当4n ≥时,23(1)22nnn n >-+成立. 综上得,当1n =时,23(1)22nnn n >-+; 当2,3n =时,23(1)22nnn n<-+;当4,n n N*≥∈时,23(1)22n n n n>-+一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.(5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱2.(5分)复数z=(3﹣2i)i的共轭复数等于()A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i3.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.144.(5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()A. B. C.D.5.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于()A.18B.20C.21D.406.(5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.(5分)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)8.(5分)在下列向量组中,可以把向量=(3,2)表示出来的是()A.=(0,0),=(1,2)B.=(﹣1,2),=(5,﹣2)C.=(3,5),=(6,10)D.=(2,﹣3),=(﹣2,3)9.(5分)设P,Q分别为圆x2+(y﹣6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.610.(5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.(4分)若变量 x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为.12.(4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.13.(4分)要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(单位:元)14.(4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.15.(4分)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.三、解答题:本大题共4小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.(13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.17.(13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.18.(13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.19.(13分)已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O点为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由.在2123题中考生任选2题作答,满分21分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.选修42:矩阵与变换20.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为﹣1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<ex;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<cex. 21.(7分)已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=().(1)求矩阵A;(2)求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.五、选修44:极坐标与参数方程22.(7分)已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为常数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.六、选修45:不等式选讲23.已知定义域在R上的函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r为正实数,且p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案) (2)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每个题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1.5分)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是()A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱【分析】直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可. 【解答】解:圆柱的正视图为矩形,故选:A.【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题.2.((5分)复数z=(3﹣2i)i的共轭复数等于()A.﹣2﹣3iB.﹣2+3iC.2﹣3iD.2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简z,则其共轭可求.【解答】解:∵z=(3﹣2i)i=2+3i,∴.故选:C.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于()A.8B.10C.12D.14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2,进而可得公差,可得a6【解答】解:由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12,解得a2=4,∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2,∴a6=a1+5d=2+5×2=12,故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.4.(5分)若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是()A. B. C.D.【分析】由题意可得a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可.【解答】解:由题意可知图象过(3,1),故有1=loga3,解得a=3,选项A,y=a﹣x=3﹣x=()x单调递减,故错误;选项B,y=x3,由幂函数的知识可知正确;选项C,y=(﹣x)3=﹣x3,其图象应与B关于x轴对称,故错误;选项D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x),当x=﹣3时,y=1,但图象明显当x=﹣3时,y=﹣1,故错误.故选:B.【点评】本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题.5.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S的值等于()A.18B.20C.21D.40【分析】算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值,计算满足条件的S值,可得答案. 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值,∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9<15,S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15.∴输出S=20.故选:B.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.(5分)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【解答】解:若直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B 两点,则圆心到直线距离d=,|AB|=2,若k=1,则|AB|=,d=,则△OAB的面积为×=成立,即充分性成立.若△OAB的面积为,则S==×2×==,即k2+1=2|k|,即k2﹣2|k|+1=0,则(|k|﹣1)2=0,即|k|=1,解得k=±1,则k=1不成立,即必要性不成立.故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键.7.(5分)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)【分析】由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可.【解答】解:由解析式可知当x≤0时,f(x)=cosx为周期函数,当x>0时,f(x)=x2+1,为二次函数的一部分,故f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性,故可排除A、B、C,对于D,当x≤0时,函数的值域为[﹣1,1],当x>0时,函数的值域为(1,+∞),故函数f(x)的值域为[﹣1,+∞),故正确.故选:D.【点评】本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题.8.(5分)在下列向量组中,可以把向量=(3,2)表示出来的是()A.=(0,0),=(1,2)B.=(﹣1,2),=(5,﹣2)C.=(3,5),=(6,10)D.=(2,﹣3),=(﹣2,3)【分析】根据向量的坐标运算,,计算判别即可.【解答】解:根据,选项A:(3,2)=λ(0,0)+μ(1,2),则3=μ,2=2μ,无解,故选项A不能;选项B:(3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2),则3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2,μ=1,故选项B能.选项C:(3,2)=λ(3,5)+μ(6,10),则3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项C不能. 选项D:(3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3),则3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选项D不能.故选:B.【点评】本题主要考查了向量的坐标运算,根据列出方程解方程是关键,属于基础题.9.(5分)设P,Q分别为圆x2+(y﹣6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出P,Q两点间的最大距离.【解答】解:设椭圆上的点为(x,y),则∵圆x2+(y﹣6)2=2的圆心为(0,6),半径为,∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为==≤5,∴P,Q两点间的最大距离是5+=6.故选:D.【点评】本题考查椭圆、圆的方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.10.(5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)【分析】根据“1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”,分别取红球蓝球黑球,根据分步计数原理,分三步,每一步取一种球,问题得以解决.【解答】解:从5个无区别的红球中取出若干个球,可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球,共6种情况,则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5;从5个无区别的蓝球中取出若干个球,由所有的蓝球都取出或都不取出,得其所有取法为1+b5;从5个有区别的黑球中取出若干个球,可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球,共6种情况,则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=(1+c)5,根据分步乘法计数原理得,适合要求的所有取法是(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.故选:A.【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理,合理的利用题目中所给的实例,要遵循其规律,属于中档题.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置11.(4分)若变量 x,y满足约束条件,则z=3x+y的最小值为 1 .【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最小值. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域如图,由z=3x+y,得y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A(0,1)时,直线y=﹣3x+z的截距最小,此时z最小.此时z的最小值为z=0×3+1=1,故答案为:1【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12.(4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于 2.【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B,再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积. 【解答】解:∵△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,由正弦定理得:,∴,解得sinB=1,∴B=90°,C=30°,∴△ABC的面积=.故答案为:.【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角,求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识,属于基础题.13.(4分)要制作一个容器为4m3,高为1m的无盖长方形容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 160 (单位:元)【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化,设池底长和宽分别为a,b,成本为y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解:设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则∵长方形容器的容器为4m3,高为1m,故底面面积S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80,∵a+b≥2=4,故当a=b=2时,y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元,故答案为:160【点评】本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题.14.(4分)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为.【分析】利用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率.【解答】解:由题意,y=lnx与y=ex关于y=x对称,∴阴影部分的面积为2(e﹣ex)dx=2(ex﹣ex)=2,∵边长为e(e为自然对数的底数)的正方形的面积为e2,∴落到阴影部分的概率为.故答案为:.【点评】本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到.15.(4分)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 6 .【分析】利用集合的相等关系,结合①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,即可得出结论.【解答】解:由题意,a=2时,b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4;a=3时,b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4;a=4时,b=1,c=3,d=2;∴符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是6个.【点评】本题考查集合的相等关系,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键.三、解答题:本大题共4小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤16.(13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣.(1)若0<α<,且sinα=,求f(α)的值;(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【分析】(1)根据题意,利用sinα求出cosα的值,再计算f(α)的值;(2)化简函数f(x),求出f(x)的最小正周期与单调增区间即可.【解答】解:(1)∵0<α<,且sinα=,∴cosα=,∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣=×(+)﹣=;(2)∵函数f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=(sin2x+cos2x)=sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为T==π;令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z;∴f(x)的单调增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题,是基础题目.17.(13分)在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.(1)求证:AB⊥CD;(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可得出;(2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ,利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出.【解答】(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊂平面ABD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,∴B(0,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),D(0,1,0),M.∴=(0,1,﹣1),=(1,1,0),=.设平面BCM的法向量=(x,y,z),则,令y=﹣1,则x=1,z=1.∴=(1,﹣1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ.则sinθ=|cos|===.【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=,考查了推理能力和空间想象能力,属于中档题.18.(13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.【分析】(1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率,依题意得X得所有可能取值为20,60,分别求出P(X=60),P(X=20),画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望;(2)先讨论,寻找期望为60元的方案,找到(10,10,50,50),(20,20,40,40)两种方案,分别求出数学期望和方差,然后做比较,问题得以解决.【解答】解:(1)设顾客所获取的奖励额为X,①依题意,得P(X=60)=,即顾客所获得奖励额为60元的概率为,②依题意得X得所有可能取值为20,60,P(X=60)=,P(X=20)=,即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)=20×+60×=40(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元,所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以数学期望不可能为60元,如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1,对于面值由20元和40元的组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2,以下是对这两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获取的奖励额为X1,则X1的分布列为 X1 60 20 100PX1 的数学期望为E(X1)=.X1 的方差D(X1)==,对于方案2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获取的奖励额为X2,则X2的分布列为 X2 40 60 80PX2 的数学期望为E(X2)==60,X2 的方差D(X2)=差D(X1)=. 由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1小,所以应该选择方案2.【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识,考查了数据处理能力,运算求解能力,应用意识,考查了必然与或然思想与整合思想.19.(13分)已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O点为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、第四象限),且△OAB的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程,若不存在,说明理由.【分析】(1)依题意,可知=2,易知c=a,从而可求双曲线E的离心率;(2)由(1)知,双曲线E的方程为﹣=1,设直线l与x轴相交于点C,分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论,当l⊥x轴时,易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,与双曲线E的方程联立,利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得:双曲线E的方程为﹣=1,从而可得答案.【解答】解:(1)因为双曲线E的渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=﹣2x,所以=2.所以=2.。
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本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至4页。
满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式:柱体的体积公式:V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高锥体的体积公式:13V Sh =其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高台体的体积公式:)(312211S S S S h V ++=其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高球的表面积公式:24S R π=球的体积公式:334R V π=其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。
1.已知集合{}{}2lg ,230A x y x B x x x ===--<,则A B = ( ▲ )A .(0,3)B .(1,0)-C .(,0)(3,)-∞+∞D .(1,3)-2.已知b a ,为异面直线,下列结论不正确的是( ▲ )A .必存在平面α使得αα//,//b aB .必存在平面α使得b a ,与α所成角相等C .必存在平面α使得αα⊥⊂b a ,D .必存在平面α使得b a ,与α的距离相等3.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ,则y x -的最大值为( ▲ )A .1B .3C .1-D .3-4.已知直线l :b kx y +=,曲线C :0222=-+x y x ,则“0=+b k ”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( ▲ ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数,对任意的R x ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+,则满足上述条件的)(x f 可以是( ▲ )A .()cos 3xf x π=B .()sin 3x f x π=C .2()2cos 6x f x π=D .2()2cos 12xf x π=6.如图,已知1F 、2F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点,点P 在第一象限,且满足 2||F P a =,1122()0F P F F F P +⋅=,线段2PF 与双曲线C 交于点Q ,若225F P F Q =,则双曲线C 的渐近线方程为( ▲ )A.y = B .C .y x =D .y x =7.已知集合22{(,)|1}M x y x y=+≤,若实数,λμ满足:对任意的(,)x y M ∈,都有(,)x y M λμ∈,则称(,)λμ是集合M的“和谐实数对”。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战27883
一、选择题(每题4分,共48分)1、设全集{}6,5,4,3,2,1=U ,集合{}6,4,2=A ,{}3,2=B ,则()=B A C U ( )A 、{}1B 、{}5C 、{}5,1D 、{}6,4,3,22、1>a 是a a >2的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3、若函数2)1(2)(2+++=x a x x f 在(]2,∞-上是减函数,则a 的取值范围是( )A 、(]3,-∞-B 、[)∞+,1C 、[)∞+-,3D 、(]1,∞-4、若复数i z +=1,则()=⋅+z z 1( )A 、i +3B 、i -3C 、i 31+D 、35、已知向量()3,1=a ,()4,x =b ,若()a b a -⊥2,则x 的值为( )A 、5-B 、6-C 、7-D 、76、已知过点()8,2--A 和()4,m B 的直线与012=-+y x 平行,则m的值为( )A 、22B 、10-C 、12D 、8-7、在ABC ∆中,2=a ,2=b ,︒=∠45B ,则=∠A ( )A 、︒︒12060或B 、︒60C 、︒︒15030或D 、︒308、函数x x y 2cos 2sin 2⋅=是( ) A 、周期为2π的奇函数B 、周期为2π的偶函数 C 、周期为4π的奇函数D 、周期为4π的偶函数9、过点()1,2-M 与圆C :()()53122=++-y x 相切的直线方程为( ) A 、01=-+y x B 、052=--y x C 、042=--y x D 、02=+y x10、有4名男生2名女生共6人排成一排,则女生不相邻的排法种数是( )A 、120B 、720C 、480D 、56011、设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若b a ⊥,α⊄b ,α⊥a ,则α//b ;②若α//a ,βα⊥,则β⊥a ;③若β⊥a ,βα⊥,则α//a 或α⊂a ;④若b a ⊥,α⊥a ,β⊥b ,则βα⊥,其中真命题的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、312、定义在R 上的奇函数)(x f y =在[)∞+,0上单调增加,且0)2(=f ,则不等式0)(<⋅x f x 的解集为( )A 、()2,2-B 、()()2,00,2 -C 、()()∞+-∞-,22,D 、()()∞+-,20,2二、填空题(每题4分,共24分)13、数列{}n a 满足11=a ,n n a a 21=+,则数列n a 的前n 项和=n S ____________14、函数()x x y 21-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<210x 的最大值是______________ 15、圆()9122=+-y x 上的点到直线07=+-y x 的最大距离是______________16、已知m 为实数,椭圆13222=+my x 的一个焦点为抛物线x y 42=的焦点,则=m _____17、某篮球运动员在罚球线投中球的概率为32,在某次比赛中罚3球恰好中2球的概率是_____________18、已知抛物线x y 62=,定点()3,2A ,F 为焦点,P 为抛物线上的动点,则PA PF +的最小值为______________三、解答题(本题包括7小题,共78分)19、(本题6分)求函数()2223log xx y --=的定义域20、(本题10分)已知()1tan =-απ,(1)求αtan 的值;(2)求ααα22sin cos 2sin +-的值21、(本题10分)在等差数列{}n a 中,前4项的和204-=S ,前12项的和13212=S ,(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n a 前n 项和n S 的最小值22、(本题10分)已知函数22)(2++=ax x x f ,[]5,5-∈x (1)当1-=a 时,求)(x f 的最大值与最小值;(2)求实数a 的取值范围,使)(x f y =在区间[]5,5-上单调增加23、(本题14分)甲袋中装有4个红球,2个白球,乙袋中装有3个红球,3个白球,现从甲袋中取出2个球,从乙袋中取出1个球(1)求从甲袋中取出的2个球中恰有1个白球的概率;(2)记ξ表示抽取的3个球中白球的个数,求ξ的概率分布及数学期望24、(本题14分) 如图,四边形ABCD 是边长为66的正方形,PABCD PA 平面⊥,若106==PD PB(1)求PC 与平面ABCD 所成角的大小(2)求P 到BD 的距离25、(本题14分)设椭圆C :12222=+by a x ()0>>b a 的离心率为22=e ,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4(1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上一动点()y x P ,关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围参考答案一、选择题(每题4分,共48分)13、12-n;14、81;15、243+;16、2±;17、94;18、27 三、解答题(共78分)19、()1,3- 20、(1)1-;(2)1-21、(1)154-=n a n ;(2)213-=S22、(1)最小值1,最大值37;(2)5≥a23、(1)158;(2) 67=ξE (2)76;24、(1)︒30;25、(1)12422=+y x ;(2)[]10,10-一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列2.(5分)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.(5分)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>6.(5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.728.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.39.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.16810.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=.12.(5分)函数f(x)=log2•log(2x)的最小值为.13.(5分)已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.三、选做题:考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值;(Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长;(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.(12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*)(Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(13)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解:A项中a3=a1•q2,a1•a9=•q8,(a3)2≠a1•a9,故A项说法错误,B项中(a3)2=(a1•q2)2≠a2•a6=•q6,故B项说法错误,C项中(a4)2=(a1•q3)2≠a2•a8=•q8,故C项说法错误,D项中(a6)2=(a1•q5)2=a3•a9=•q10,故D项说法正确,故选:D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.2.(5分)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.【解答】解:∵复数Z=i(1﹣2i)=2+i∵复数Z的实部2>0,虚部1>0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选:A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,是解答本题的关键.3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解:∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D;样本平均数=3,=3.5,代入A符合,B不符合,故选:A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.(5分)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的数量积等于0,得到关于k的方程,解方程即可.【解答】解:∵=(k,3),=(1,4),=(2,1)∴2﹣3=(2k﹣3,﹣6),∵(2﹣3)⊥,∴(2﹣3)•=0'∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0,解得,k=3.故选:C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出错.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>【分析】程序运行的S=××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件.【解答】解:由程序框图知:程序运行的S=××…×,∵输出的k=6,∴S=××=,∴判断框的条件是S>,故选:C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.(5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q【分析】由命题p,找到x的范围是x∈R,判断p为真命题.而q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解:因为命题p对任意x∈R,总有2x>0,根据指数函数的性质判断是真命题;命题q:“x>1”不能推出“x>2”;但是“x>2”能推出“x>1”所以:“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q是假命题;所以p∧¬q为真命题;故选:D.【点评】判断复合命题的真假,要先判断每一个命题的真假,然后做出判断.7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选:B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合条件可得a=b,从而c==b,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,∴2ex=3b,(ex)2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,∴(3b﹣4a)(3b+a)=0∴a=b,∴c==b,∴e==.故选:B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题.9.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意,分2步进行分析:①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:分2步进行分析:1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6种情况,排好后,有4个空位,2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选:B.【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算或分类简便.10.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式,利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+,∴sin2A+sin2B+sin2C=,∴2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B﹣C)=,2sinA(cos(B﹣C)﹣cos(B+C))=,化为2sinA[﹣2sinBsin(﹣C)]=,∴sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为R,由正弦定理可得:=2R,由S=,及正弦定理得sinAsinBsinC==,即R2=4S,∵面积S满足1≤S≤2,∴4≤R2≤8,即2≤R≤,由sinAsinBsinC=可得,显然选项C,D不一定正确,A.bc(b+c)>abc≥8,即bc(b+c)>8,正确,B.ab(a+b)>abc≥8,即ab(a+b)>8,但ab(a+b)>16,不一定正确,故选:A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B={7,9}.【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA,再根据两个集合的交集的定义求得(∁UA)∩B.【解答】解:∵全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},∴(∁UA)={4,6,7,9 },∴(∁UA)∩B={7,9},故答案为:{7,9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.12.(5分)函数f(x)=log2•log(2x)的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f(x)=,即可求得f(x)最小值. 【解答】解:∵f(x)=log2•log(2x)∴f(x)=log()•log(2x)=log x•log(2x)=log x(log x+log2)=log x(log x+2)=,∴当log x+1=0即x=时,函数f(x)的最小值是.故答案为:﹣【点评】本题考查对数不等式的解法,考查等价转化思想与方程思想的综合应用,考查二次函数的配方法,属于中档题.13.(5分)已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=4±.【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解:圆心C(1,a),半径r=2,∵△ABC为等边三角形,∴圆心C到直线AB的距离d=,即d=,平方得a2﹣8a+1=0,解得a=4±,故答案为:4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题:考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=4.【分析】由题意,∠PAB=∠C,可得△PAB∽△PCA,从而,代入数据可得结论.【解答】解:由题意,∠PAB=∠C,∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,∴,∵PA=6,AC=8,BC=9,∴,∴PB=3,AB=4,故答案为:4.【点评】本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判断,属于基础题.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求出公共点的坐标,即可求出极径.【解答】解:直线l的参数方程为,普通方程为y=x+1,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x,直线l与曲线C联立可得(x﹣1)2=0,∴x=1,y=2,∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.故答案为:.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程,考查学生的计算能力,属于中档题.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是[﹣1,].【分析】利用绝对值的几何意义,确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值,然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.【解答】解:|2x﹣1|+|x+2|=,∴x=时,|2x﹣1|+|x+2|的最小值为,∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,∴a2+a+2≤,∴a2+a﹣≤0,∴﹣1≤a≤,∴实数a的取值范围是[﹣1,].故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查绝对值不等式的解法,突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题,属于中档题.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值;(Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值.【分析】(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π 求得ω=2.再根据图象关于直线x=对称,结合﹣≤φ<可得φ 的值.(Ⅱ)由条件求得sin(α﹣)=.再根据α﹣的范围求得cos(α﹣)的值,再根据cos(α+)=sinα=sin[(α﹣)+],利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.再根据图象关于直线x=对称,可得 2×+φ=kπ+,k∈z.结合﹣≤φ<可得φ=﹣.(Ⅱ)∵f()=(<α<),∴sin(α﹣)=,∴sin(α﹣)=.再根据 0<α﹣<,∴cos(α﹣)==,∴cos(α+)=sinα=sin[(α﹣)+]=sin(α﹣)cos+cos(α﹣)sin=+=.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中档题.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)【分析】第一问是古典概型的问题,要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数,然后代入古典概型概率计算公式即可,相对简单些;第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值,此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字(如1或2)或不同数字(1和2、1和3、2和3三类)的卡片,因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析,然后计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解:(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=,(Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为:X 1 2 3P所以E(X)=.【点评】本题属于中档题,关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问;第二问的只要是准确记住了中位数的概念,应该说完成此题基本没有问题. 19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长;(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【分析】(Ⅰ)连接AC,BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz,分别求出向量,的坐标,进而根据MP⊥AP,得到•=0,进而求出PO的长;(Ⅱ)求出平面APM和平面PMC的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值,进而根据平方关系可得:二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【解答】解:(Ⅰ)连接AC,BD,∵底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,故AC∩BD=O,且AC⊥BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz,∵AB=2,∠BAD=,∴OA=AB•cos(∠BAD)=,OB=AB•sin(∠BAD)=1,∴O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(﹣,0,0),=(0,1,0),=(﹣,﹣1,0),又∵BM=,∴=(﹣,﹣,0),则=+=(﹣,,0),设P(0,0,a),则=(﹣,0,a),=(,﹣,a),∵MP⊥AP,∴•=﹣a2=0,解得a=,即PO的长为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知=(﹣,0,),=(,﹣,),=(,0,),设平面APM的法向量=(x,y,z),平面PMC的法向量为=(a,b,c),由,得,令x=1,则=(1,,2),由,得,令a=1,则=(1,﹣,﹣2),∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足:cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c,构造关于a,b的方程,可得a,b的值;(Ⅱ)将c=3代入,利用基本不等式可得f′(x)≥0恒成立,进而可得f(x)在定义域R为均增函数;(Ⅲ)结合基本不等式,分c≤4时和c>4时两种情况讨论f(x)极值的存在性,最后综合讨论结果,可得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)∴f′(x)=2ae2x+2be﹣2x﹣c,由f′(x)为偶函数,可得2(a﹣b)(e2x﹣e﹣2x)=0,即a=b,又∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c,即f′(0)=2a+2b﹣c=4﹣c,故a=b=1;(Ⅱ)当c=3时,f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1>0恒成立,故f(x)在定义域R为均增函数;(Ⅲ)由(Ⅰ)得f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣c,而2e2x+2e﹣2x≥2=4,当且仅当x=0时取等号,当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值;当c>4时,令t=e2x,方程2t+﹣c=0的两根均为正,即f′(x)=0有两个根x1,x2,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,当x∈(﹣∞,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,故当x=x1,或x=x2时,f(x)有极值,综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,+∞).【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档.22.(12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*)(Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.【分析】(Ⅰ)若b=1,利用an+1=+b,可求a2,a3;证明{(an﹣1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,即可求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设f(x)=,则an+1=f(an),令c=f(c),即c=﹣1,解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1即可.【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=+b,b=1,∴a2=2,a3=+1;又(an+1﹣1)2=(an﹣1)2+1,∴{(an﹣1)2}是首项为0,公差为1的等差数列;∴(an﹣1)2=n﹣1,∴an=+1(n∈N*);(Ⅱ)设f(x)=,则an+1=f(an),令c=f(c),即c=﹣1,解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=﹣1,∴a2<c<a3<1,成立;设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1∵f(x)在(﹣∞,1]上为减函数,∴c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,∴1>c>a2k+2>a2,∴c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1,∴c<a2k+3<1,∴a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1,即n=k+1时结论成立,综上,c=使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,难度大.21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.【分析】(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|==,|DF2|=,从而可得2a=2,于是可求得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣或x1=0,分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,由=2,得|DF1|==c,从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2,得=+=,因此|DF2|=,所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2﹣c2=1,因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣+=0,由椭圆方程得1﹣=,即3+4x1=0,解得x1=﹣或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;当x1=﹣时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战31693
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共10小题,每小题5分,共50分. 参考公式: ·如果事件A B ,互斥,那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =·如果事件A B ,相互独立,那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =··一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,32i 1i=-( ) A.1i +B.1i -+C.1i -D.1i --2.设变量x y ,满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩,,.≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为( ) A.4 B.11C.12D.143.“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的离心率为,且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合,则此双曲线的方程为( )A.2211224x y -=B.2214896x y -= C.222133x y -=D.22136x y -= 5.函数2log 2)(0)y x =>的反函数是( )A.142(2)x x y x +=-> B.142(1)x x y x +=-> C.242(2)xx y x +=->D.242(1)xx y x +=->6.设a b ,为两条直线,αβ,为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是( ) A.若a b ,与α所成的角相等,则a b ∥ B.若a b αβ,∥∥,αβ∥,则a b ∥ C.若a b a b αβ⊂⊂,,∥,则αβ∥ D.若a b αβ⊥⊥,,αβ⊥,则a b ⊥7.在R 上定义的函数()f x 是偶函数,且()(2)f x f x =-,若()f x 在区间[12],上是减函数,则()f x ( )A.在区间[21]--,上是增函数,在区间[34],上是增函数 B.在区间[21]--,上是增函数,在区间[34],上是减函数 C.在区间[21]--,上是减函数,在区间[34],上是增函数 D.在区间[21]--,上是减函数,在区间[34],上是减函数8.设等差数列{}n a 的公差d 不为0,19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项,则k =( ) A.2B.4C.6D.89.设a b c ,,均为正数,且122log a a =,121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭,21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭.则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b << D.b a c <<10.设两个向量22(2cos )λλα=+-,a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,b ,其中mλα,,为实数.若2=a b ,则mλ的取值范围是( ) A.B.[48],C.D.普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类) 第Ⅱ卷注意事项:1.答案前将密封线内的项目填写清楚. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.本卷共12小题,共100分.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上.11.若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52,则a =(用数字作答). 12.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为.13.设等差数列{}n a 的公差d 是2,前n 项的和为n S ,则22lim n n na n S →∞-=.14.已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于AB ,两点,则直线AB 的方程是.15.如图,在ABC △中,12021BAC AB AC ∠===,,°,D 是边BC 上一点,2DC BD =,则ADBC =·. 16.如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种(用数字作答).三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ,. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的最小值和最大值.18.(本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (Ⅰ)求取出的4个球均为黑球的概率;(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(Ⅲ)设ξ为取出的4个球中红球的个数,求ξ的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD,60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=,,°,PA AB BC ==,E 是PC 的中点. (Ⅰ)证明CD AE ⊥;(Ⅱ)证明PD ⊥平面ABE ;ABDCABCDPE(Ⅲ)求二面角A PD C --的大小. 20.(本小题满分12分)已知函数2221()()1ax a f x x x -+=∈+R ,其中a ∈R . (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程; (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值. 21.(本小题满分14分)在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ; (Ⅲ)证明存在k *∈N ,使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立. 22.(本小题满分14分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ,,是椭圆上的一点,212AF F F ⊥,原点O 到直线1AF 的距离为113OF .(Ⅰ)证明a =;(Ⅱ)设12Q Q ,为椭圆上的两个动点,12OQ OQ ⊥,过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ,垂足为D ,求点D 的轨迹方程.普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1.C 2.B 3.A 4.D 5.C6.D 7.B 8.B 9.A 10.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分24分. 11.2 12.14π 13.314.30x y +=15.83-16.390 三、解答题17.本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数sin()y A x ωϕ=+的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分12分.(Ⅰ)解:π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.因此,函数()f x 的最小正周期为π.(Ⅱ)解法一:因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为增函数,在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上为减函数,又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,最小值为1-.解法二:作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上的图象如下:间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由图象得函数()f x 在区,最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 18.本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.(Ⅰ)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ,“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件AB ,相互独立,且23241()2C P A C ==,24262()5C P B C ==. 故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P AB P A P B ==⨯=··. (Ⅱ)解:设“从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球”为事件C ,“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球;从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C D ,互斥,且21132422464()15C C C P C C C ==··,123422461()5C C PD C C ==·.x故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (Ⅲ)解:ξ可能的取值为0123,,,.由(Ⅰ),(Ⅱ)得1(0)5P ξ==,7(1)15P ξ==, 13224611(3)30C P C C ξ===·.从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19.本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分12分.(Ⅰ)证明:在四棱锥P ABCD -中,因PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,故PA CD ⊥.AC CD PA AC A ⊥=,∵,CD ⊥∴平面PAC .而AE ⊂平面PAC ,CD AE ⊥∴.(Ⅱ)证明:由PA AB BC ==,60ABC ∠=°,可得AC PA =. E ∵是PC 的中点,AE PC ⊥∴.由(Ⅰ)知,AE CD ⊥,且PC CD C =,所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ,AE PD ⊥∴.PA ⊥∵底面ABCD PD ,在底面ABCD 内的射影是AD ,AB AD ⊥,AB PD ⊥∴. 又AB AEA =∵,综上得PD⊥平面ABE .(Ⅲ)解法一:过点A 作AM PD ⊥,垂足为M ,连结EM .则(Ⅱ)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM ,则EM PD ⊥. 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,得30CAD ∠=°.设ACa =,可得PA a AD PD AE ====,,,. 在ADP Rt △中,AM PD ⊥∵,AM PD PA AD =∴··,则3a PA AD AM PD===··. ABCDPEM在AEM Rt △中,sin 4AE AME AM ==. 所以二面角A PD C --的大小是arcsin4. 解法二:由题设PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAD ,则平面PAD ⊥平面ACD ,交线为AD .过点C 作CF AD ⊥,垂足为F ,故CF ⊥平面PAD .过点F 作FM PD ⊥,垂足为M ,连结CM ,故CM PD ⊥.因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知,可得30CAD ∠=°,设AC a =,可得13326PA a AD a PD a CF a FD =====,,,,. FMD PAD ∵△∽△,FM FDPA PD=∴.于是,3a aFD PA FM PD ===··. 在CMF Rt △中,1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是.20.本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分. (Ⅰ)解:当1a =时,22()1x f x x =+,4(2)5f =, 又2222222(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·,6(2)25f '=-. 所以,曲线()y f x =在点(2(2))f ,处的切线方程为46(2)525y x -=--, 即62320x y +-=.(Ⅱ)解:2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++.由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)当0a >时,令()0f x '=,得到11x a=-,2x a =.当x 变化时,()()f x f x ',的变ABCDPEF M化情况如下表:所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∞,()a +,∞内为减函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, 函数()f x 在21x a=处取得极大值()f a ,且()1f a =. (2)当0a <时,令()0f x '=,得到121x a x a==-,,当x 变化时,()()f x f x ',的变所以()f x 在区间()a -,∞,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,+∞内为增函数,在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,内为减函数. 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ,且()1f a =. 函数()f x 在21x a=-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 22.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分14分.(Ⅰ)证法一:由题设212AF F F ⊥及1(0)F c -,,2(0)F c ,,不妨设点()A c y ,,其中0y >.由于点A 在椭圆上,有22221c y a b +=,即222221a b y a b-+=. 解得2b y a =,从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,.直线1AF 的方程为2()2b y x c ac=+,整理得2220b x acy b c -+=. 由题设,原点O 到直线1AF 的距离为113OF ,即23c =将222c a b =-代入上式并化简得222a b =,即a =.证法二:同证法一,得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭,.过点O 作1OB AF ⊥,垂足为B ,易知1F BO △∽12F F A △,故211BO F AOF F A=. 由椭圆定义得122AF AF a +=,又113BO OF =, 所以2212132F AF A F A a F A==-, 解得22aF A =,而22b F A a =,得22b a a =,即a =.(Ⅱ)解法一:设点D 的坐标为00()x y ,.当00y ≠时,由12OD Q Q ⊥知,直线12Q Q 的斜率为0x y -,所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+,或y kx m =+,其中00x k y =-,200x m y y =+.点111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩,.将①式代入②式,得2222()2x kx m b ++=, 整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=,于是122412kmx x k+=-+,21222212m b x x k -=+. 由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··.由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=.将③式和④式代入得22222322012m b b k k --=+, 22232(1)m b k =+.将200000x x k m y y y =-=+,代入上式,整理得2220023x y b +=.当00y =时,直线12Q Q 的方程为0x x =,111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩,. 所以120x x x ==,12y =,. 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=,即2220202b x x --=, 解得22023x b =. 这时,点D 的坐标仍满足2220023x y b +=. 综上,点D 的轨迹方程为 22223x y b +=.解法二:设点D 的坐标为00()x y ,,直线OD 的方程为000y x x y -=,由12OD Q Q ⊥,垂足为D ,可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+.记2200m x y =+(显然0m ≠),点111222()()Q x y Q x y ,,,的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, ①. ② 由①式得00y y m x x =-. ③由②式得22222200022y x y y y b +=. ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=. 整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=,于是222122200222m b y x x x y -=+. ⑤ 由①式得00x x m y y =-. ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=. ⑦将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=, 整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=,于是22212220022m b x y y x y -=+. ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=.将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++, 22220032()0m b x y -+=.将2200m x y =+代入上式,得2220023x y b +=. 所以,点D 的轨迹方程为22223x y b +=. 21.本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.(Ⅰ)解法一:22222(2)22a λλλλ=++-=+,2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+, 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+.由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+.以下用数学归纳法证明.(1)当1n =时,12a =,等式成立.(2)假设当n k =时等式成立,即(1)2k kk a k λ=-+,那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+.这就是说,当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立.解法二:由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ,0λ>,可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列,其公差为1,首项为0,故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+.(Ⅱ)解:设234123(2)(1)n n n T n n λλλλλ-=++++-+-, ①345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-②当1λ≠时,①式减去②式, 得212311(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ+++--=+++--=---,21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---.这时数列{}n a 的前n 项和21212(1)22(1)n n n n n n S λλλλ+++--+=+--. 当1λ=时,(1)2n n n T -=.这时数列{}n a 的前n 项和1(1)222n n n n S +-=+-. (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第一项21a a 最大,下面证明: 21214,22n n a a n a a λ++<=≥. ③ 由0λ>知0n a >,要使③式成立,只要212(4)(2)n n a a n λ+<+≥, 因为222(4)(4)(1)(1)2n nn a n λλλλ+=+-++124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+⨯=-+·1212222n n n n a n λ++++=,≥≥.所以③式成立.因此,存在1k =,使得1121n k n k a a aa a a ++=≤对任意n *∈N 均成立.一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}3.(5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.(5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.(5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2106.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>97.(5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()A. B. C. D.8.(5分)记max{x,y}=,min{x,y}=,设,为平面向量,则()A.min{|+|,|﹣|}≤min{||,||}B.min{|+|,|﹣|}≥min{||,||}C.max{|+|2,|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2,|﹣|2}≥||2+||29.(5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)10.(5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),,,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是.12.(4分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.13.(4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.14.(4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).15.(4分)设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.16.(4分)设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.17.(4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)三、解答题18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.19.(14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.(15分)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.(14分)已知函数f(x)=x3+3|x﹣a|(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(12)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质,分别判断“a=b=1”⇒“(a+bi)2=2i”与“a=b=1”⇐“(a+bi)2=2i”的真假,进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;当“(a+bi)2=a2﹣b2+2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=﹣1”,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;综上所述,“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件;故选:A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义,复数的运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}【分析】先化简集合A,结合全集,求得∁UA.【解答】解:∵全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3},则∁UA={2},故选:B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题.3.(5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据,判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4,∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).故选:D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.(5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解:函数y=sin3x+cos3x=,故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位,得到y==的图象.故选:C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查.5.(5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【分析】由题意依次求出x3y0,x2y1,x1y2,x0y3,项的系数,求和即可.【解答】解:(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0的系数是:=20.f(3,0)=20;含x2y1的系数是=60,f(2,1)=60;含x1y2的系数是=36,f(1,2)=36;含x0y3的系数是=4,f(0,3)=4;∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.故选:C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.6.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9【分析】由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出a,b,代入0<f(﹣1)≤3,即可求出c的范围.【解答】解:由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得,解得,则f(x)=x3+6x2+11x+c,由0<f(﹣1)≤3,得0<﹣1+6﹣11+c≤3,即6<c≤9,故选:C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题.7.(5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()A. B. C. D.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当0<a<1时和当a>1时两种情况,讨论函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象,比照后可得答案.【解答】解:当0<a<1时,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象为:此时答案D满足要求,当a>1时,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象为:无满足要求的答案,综上:故选D,故选:D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.8.(5分)记max{x,y}=,min{x,y}=,设,为平面向量,则()A.min{|+|,|﹣|}≤min{||,||}B.min{|+|,|﹣|}≥min{||,||}C.max{|+|2,|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2,|﹣|2}≥||2+||2【分析】将,平移到同一起点,根据向量加减法的几何意义可知,+和﹣分别表示以,为邻边所做平行四边形的两条对角线,再根据选项内容逐一判断.【解答】解:对于选项A,取⊥,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立;对于选项B,取,是非零的相等向量,则不等式左边min{|+|,|﹣|}=0,显然,不等式不成立;对于选项C,取,是非零的相等向量,则不等式左边max{|+|2,|﹣|2}=|+|2=4,而不等式右边=||2+||2=2,故C不成立,D选项正确.故选:D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将,,,放在同一个平行四边形中进行比较判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法.9.(5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)【分析】首先,这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的,然后分两种情况:即当ξ=1时,有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放入甲盒;ξ=2时,则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红;最后利用概率公式及分布列知识求出P1,P2和E(ξ1),E(ξ2)进行比较即可.【解答】解析:,,,所以P1>P2;由已知ξ1的取值为1、2,ξ2的取值为1、2、3,所以,==,E(ξ1)﹣E(ξ2)=.故选:A.【点评】正确理解ξi(i=1,2)的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法,不妨令m=n=3,也可以很快求解.10.(5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),,,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1【分析】根据记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,分别求出I1,I2,I3与1的关系,继而得到答案【解答】解:由,故==1,由,故×=×<1,+=,故I2<I1<I3,故选:B.【点评】本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与1的关系,属于难题.二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是 6 .【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件S>50,跳出循环体,确定输出的i 的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环S=1,i=2;第二次循环S=2×1+2=4,i=3;第三次循环S=2×4+3=11,i=4;第四次循环S=2×11+4=26,i=5;第五次循环S=2×26+5=57,i=6,满足条件S>50,跳出循环体,输出i=6.故答案为:6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.12.(4分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.【分析】结合方差的计算公式可知,应先求出P(ξ=1),P(ξ=2),根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析:设P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得p+q=,,解得,,所以.故答案为:【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.(4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是[].【分析】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点A,B,C的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得C(1,).联立,解得B(2,1).在x﹣y﹣1=0中取y=0得A(1,0).要使1≤ax+y≤4恒成立,则,解得:1.∴实数a的取值范围是.解法二:令z=ax+y,当a>0时,y=﹣ax+z,在B点取得最大值,A点取得最小值,可得,即1≤a≤;当a<0时,y=﹣ax+z,在C点取得最大值,①a<﹣1时,在B点取得最小值,可得,解得0≤a≤(不符合条件,舍去)②﹣1<a<0时,在A点取得最小值,可得,解得1≤a≤(不符合条件,舍去)综上所述即:1≤a≤;故答案为:.【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法,是中档题.14.(4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 60 种(用数字作答).【分析】分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有1人获得2张,1人获得1张.【解答】解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有=24种;一、二、三等奖,有1人获得2张,1人获得1张,共有=36种,共有24+36=60种.故答案为:60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.15.(4分)设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是(﹣∞,].【分析】画出函数f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数a的取值范围.【解答】解:∵函数f(x)=,它的图象如图所示:由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2.当a<0时,f(a)=a2+a=(a+)2﹣≥﹣2恒成立;当a≥0时,f(a)=﹣a2≥﹣2,即a2≤2,解得0≤a≤,则实数a的取值范围是a≤,故答案为:(﹣∞,].【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.16.(4分)设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【分析】先求出A,B的坐标,可得AB中点坐标为(,),利用点P (m,0)满足|PA|=|PB|,可得=﹣3,从而可求双曲线的离心率.【解答】解:双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,则与直线x﹣3y+m=0联立,可得A(,),B(﹣,),∴AB中点坐标为(,),∵点P(m,0)满足|PA|=|PB|,∴=﹣3,∴a=2b,∴=b,∴e==.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.17.(4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)【分析】过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,求出PP′,AP′,利用函数的性质,分类讨论,即可得出结论.【解答】解:∵AB=15m,AC=25m,∠ABC=90°,∴BC=20m,过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,设BP′=x,则CP′=20﹣x,由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=(20﹣x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则函数在x∈[0,20]单调递减,∴x=0时,取得最大值为=.若P′在CB的延长线上,PP′=CP′tan30°=(20+x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则y′=0可得x=时,函数取得最大值,故答案为:.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.【分析】(1)利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得,由a≠b得,A≠B,又A+B∈(0,π),可得,即可得出.(2)利用正弦定理可得a,利用两角和差的正弦公式可得sinB,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解:(1)由题意得,,∴,化为,由a≠b得,A≠B,又A+B∈(0,π),得,即,∴;(2)由,利用正弦定理可得,得,由a<c,得A<C,从而,故,∴.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.(14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】(Ⅰ)先利用前n项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值,结合首项的值,求出通项an,然后现利用条件求出通项bn;(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论;(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明.【解答】解:(Ⅰ)∵a1a2a3…an=(n∈N*)①,当n≥2,n∈N*时,②,由①②知:,令n=3,则有.∵b3=6+b2,∴a3=8.∵{an}为等比数列,且a1=2,∴{an}的公比为q,则=4,由题意知an>0,∴q>0,∴q=2.∴(n∈N*).又由a1a2a3…an=(n∈N*)得:,,∴bn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅱ)(i)∵cn===. ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====;(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,,而=>0,得,所以,当n≥5时,cn<0,综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理,还可以用数学归纳法.本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.20.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣E的大小.【分析】(Ⅰ)依题意,易证AC⊥平面BCDE,于是可得AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;(Ⅱ)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角,利用题中的数据,解三角形,可求得BF=,AF=AD,从而GF=,cos∠BFG==,从而可求得答案.【解答】证明:(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;(Ⅱ)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=;在Rt△AED中,由ED=1,AD=得AE=;在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=得BF=,AF=AD,从而GF=,在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BG=.在△BFG中,cos∠BFG==,所以,∠BFG=,二面角B﹣AD﹣E的大小为.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.22.(14分)已知函数f(x)=x3+3|x﹣a|(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用分段函数,结合[﹣1,1],分类讨论,即可求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b,则h(x)=,h′(x)=,则[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,转化为﹣2≤h(x)≤2对x∈[﹣1,1]恒成立,分类讨论,即可求3a+b的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+3|x﹣a|=,∴f′(x)=,①a≤﹣1时,∵﹣1≤x≤1,∴x≥a,f(x)在(﹣1,1)上是增函数,∴M(a)=f(1)=4﹣3a,m(a)=f(﹣1)=﹣4﹣3a,。
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数学(理科)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合{}|24x A x =≤,集合{}|lg(1)B x y x ==-,则A B 等于( )(A )(1,2)(B ) (1,2](C ) [1,2)(D ) [1,2](2)在复平面内,复数11i i++所对应的点位于( ) (A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限(3)已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =,则双曲线的离心率等于( )(A )3(B )2(C )5(D )6(4)已知两个非零单位向量12,e e 的夹角为θ,则下列结论不正确的是( ) (A )1e 在2e 方向上的投影为cos θ (B )2212e e = (C )()()1212e e e e +⊥-(D )121e e ⋅=(5)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示, 则该三棱锥的外接球表面积( ) (A )29π(B )30π(C )292π(D )216π (6)惠州市某机构对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间,根据调查结果俯视图主视图侧视图342得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如右图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( ) (A )31.6岁 (B )32.6岁 (C )33.6岁 (D )36.6岁(7)函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图像如图所示,为了得到()cos 22g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,只需将()f x 的图像( )(A )向左平移3π个长度单位 (B )向右平移3π个长度单位 (C )向左平移6π个长度单位 (D )向右平移6π个长度单位(8)若函数()xxf x k a a-=⋅-(a >0且1a ≠)在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图像是( )(A ) (B ) (C ) (D )(9)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数有( )(A )144个 (B )120个 (C )96个 (D )72个(10)已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则3x y ++的取值范围是( )(A )52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B )55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C )45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D )5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦(11)由等式4324321234123(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x ++++=+++++++4b +,xy O 12xyO 12xyO1-2xyO1-2π7πx定义映射43214321),,,(b b b b a a a a f +++→,则→)1,2,3,4(f ( ) (A )0 (B )10 (C )15 (D )16(12)如图,正五边形ABCDE 的边长为2,甲同学在ABC ∆中用余弦定理解得88cos108AC =-,乙同学在Rt ACH ∆中解得1cos 72AC =,据此可得cos 72的值所在区间为( )(A )()0.1,0.2 (B )()0.2,0.3(C )()0.3,0.4(D )()0.4,0.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.1.(5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i2.(5分)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{0,1}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣1,0,2}D.{﹣1,0,1}3.(5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A.5B.6C.7D.84.(5分)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等5.(5分)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是()A.(﹣1,1,0)B.(1,﹣1,0)C.(0,﹣1,1)D.(﹣1,0,1)6.(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,107.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定8.(5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为.10.(5分)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为.11.(5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.12.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则=.13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).17.(13分)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40] 8 0.32(40,45] n1 f1(45,50] n2 f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.18.(13分)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21.(14分)设函数f(x)=,其中k<﹣2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案) (3)参考答案与试题解析一、选择题:本小题共8小题,每小题5分,共40分.1.(5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=()A.3﹣4iB.3+4iC.﹣3﹣4iD.﹣3+4i【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得z 的值.【解答】解:∵复数z满足(3+4i)z=25,则z====3﹣4i,故选:A.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.2.(5分)已知集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=()A.{0,1}B.{﹣1,0,1,2}C.{﹣1,0,2}D.{﹣1,0,1}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:∵集合M{﹣1,0,1},N={0,1,2},∴M∪N={﹣1,0,1,2},故选:B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.3.(5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m﹣n=()A.5B.6C.7D.8【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y,得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A,直线y=﹣2x+z的截距最小,此时z最小,由,解得,即A(﹣1,﹣1),此时z=﹣2﹣1=﹣3,此时n=﹣3,平移直线y=﹣2x+z,由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B,直线y=﹣2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得,即B(2,﹣1),此时z=2×2﹣1=3,即m=3,则m﹣n=3﹣(﹣3)=6,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.4.(5分)若实数k满足0<k<9,则曲线﹣=1与曲线﹣=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论.【解答】解:当0<k<9,则0<9﹣k<9,16<25﹣k<25,即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25,b2=9﹣k,c2=34﹣k,曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2=25﹣k,b2=9,c2=34﹣k,即两个双曲线的焦距相等,故选:A.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.5.(5分)已知向量=(1,0,﹣1),则下列向量中与成60°夹角的是()A.(﹣1,1,0)B.(1,﹣1,0)C.(0,﹣1,1)D.(﹣1,0,1)【分析】根据空间向量数量积的坐标公式,即可得到结论.【解答】解:不妨设向量为=(x,y,z),A.若=(﹣1,1,0),则cosθ==,不满足条件.B.若=(1,﹣1,0),则cosθ===,满足条件.C.若=(0,﹣1,1),则cosθ==,不满足条件.D.若=(﹣1,0,1),则cosθ==,不满足条件.故选:B.【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算,根据向量的坐标公式是解决本题的关键.6.(5分)已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200,20B.100,20C.200,10D.100,10【分析】根据图1可得总体个数,根据抽取比例可得样本容量,计算分层抽样的抽取比例,求得样本中的高中学生数,再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数.【解答】解:由图1知:总体个数为3500+2000+4500=10000,∴样本容量=10000×2%=200,分层抽样抽取的比例为,∴高中生抽取的学生数为40,∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20.故选:A.【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样的特征是关键.7.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得,∴l1与l4的位置关系不确定.【解答】解:∵l1⊥l2,l2⊥l3,∴l1与l3的位置关系不确定,又l4⊥l3,∴l1与l4的位置关系不确定.故A、B、C错误.故选:D.【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定,考查了学生的空间想象能力,在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面.8.(5分)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{﹣1,0,1},i={1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手,讨论xi所有取值的可能性,分为5个数值中有2个是0,3个是0和4个是0三种情况进行讨论.【解答】解:由于|xi|只能取0或1,且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”,因此5个数值中有2个是0,3个是0和4个是0三种情况:①xi中有2个取值为0,另外3个从﹣1,1中取,共有方法数:;②xi中有3个取值为0,另外2个从﹣1,1中取,共有方法数:;③xi中有4个取值为0,另外1个从﹣1,1中取,共有方法数:.∴总共方法数是++=130.即元素个数为130.故选:D.【点评】本题看似集合题,其实考察的是用排列组合思想去解决问题.其中,分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法,也是高考中一定会考查到的思想方法.二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) .【分析】把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5,可得①,或②,或③.解①求得x≤﹣3,解②求得 x∈∅,解③求得x≥2.综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞),故答案为:(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞).【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.10.(5分)曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为 y=﹣5x+3. .【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率,点斜式写出切线方程.【解答】解;y′=﹣5e﹣5x,∴k=﹣5,∴曲线y=e﹣5x+2在点(0,3)处的切线方程为y﹣3=﹣5x,即y=﹣5x+3.故答案为:y=﹣5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程,属基础题.11.(5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.【分析】根据条件确定当中位数为6时,对应的条件即可得到结论【解答】解:从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,有C107种方法,若七个数的中位数是6,则只需从0,1,2,3,4,5,选3个,从7,8,9中选3个不同的数即可,有C63种方法,则这七个数的中位数是6的概率P==,故答案为:.【点评】本题主要考查古典概率的计算,注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的.比较基础.12.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则= 2 .【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解:将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,∵sin(B+C)=sinA,∴sinA=2sinB,利用正弦定理化简得:a=2b,则=2.故答案为:2【点评】此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.13.(5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=50 .【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5,然后利用对数的运算性质化简后得答案.【解答】解:∵数列{an}为等比数列,且a10a11+a9a12=2e5,∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5,∴lna1+lna2+…lna20=ln(a1a2…a20)=ln(a10a11)10=ln(e5)10=lne50=50.故答案为:50.【点评】本题考查了等比数列的运算性质,考查对数的运算性质,考查了计算能力,是基础题.(二)、选做题(14~15题,考生只能从中选作一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)(极坐标与参数方程)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1) .【分析】首先运用x=ρcosθ,y=ρsinθ,将极坐标方程化为普通方程,然后组成方程组,解之求交点坐标.【解答】解:曲线C1:ρsin2θ=cosθ,即为ρ2sin2θ=ρcosθ,化为普通方程为:y2=x,曲线ρsinθ=1,化为普通方程为:y=1,联立,即交点的直角坐标为(1,1).故答案为:(1,1).【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化,考查解方程的运算能力,属于基础题【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则= 9 .【分析】利用ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,可得=,利用△CDF∽△AEF,可求.【解答】解:∵ABCD是平行四边形,点E在AB上且EB=2AE,∴=,∵ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴△CDF∽△AEF,∴=()2=9.故答案为:9.【点评】本题考查相似三角形的判定,考查三角形的面积比,属于基础题.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.(1)求A的值;(2)若f(θ)+f(﹣θ)=,θ∈(0,),求f(﹣θ).【分析】(1)由函数f(x)的解析式以及f()=,求得A的值.(2)由(1)可得f(x)=sin(x+),根据f(θ)+f(﹣θ)=,求得cosθ 的值,再由θ∈(0,),求得sinθ 的值,从而求得f(﹣θ)的值.【解答】解:(1)∵函数f(x)=Asin(x+),x∈R,且f()=.∴Asin(+)=Asin=A•=,∴A=.(2)由(1)可得 f(x)=sin(x+),∴f(θ)+f(﹣θ)=sin(θ+)+sin(﹣θ+)=2sin cosθ=cosθ=,∴cosθ=,再由θ∈(0,),可得sinθ=.∴f(﹣θ)=sin(﹣θ+)=sin(π﹣θ)=sinθ=.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 17.(13分)随机观测生产某种零件的某工作厂25名工人的日加工零件个数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:分组频数频率[25,30] 3 0.12(30,35] 5 0.20(35,40] 8 0.32(40,45] n1 f1(45,50] n2 f2(1)确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.【分析】(1)利用所给数据,可得样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值;(2)根据上述频率分布表,可得样本频率分布直方图;(3)利用对立事件可求概率.【解答】解:(1)(40,45]的频数n1=7,频率f1=0.28;(45,50]的频数n2=2,频率f2=0.08;(2)频率分布直方图:(3)设在该厂任取4人,没有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件A,则至少有一人的日加工零件数落在区间(30,35]为事件,已知该厂每人日加工零件数落在区间(30,35]的概率为,∴P(A)==,∴P()=1﹣P(A)=,∴在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为.【点评】本题考查了频数分布表,频数分布直方图和概率的计算,属于中档题.18.(13分)如图,四边形ABCD为正方形.PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F,FE∥CD,交PD于点E.(1)证明:CF⊥平面ADF;(2)求二面角D﹣AF﹣E的余弦值.【分析】(1)结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF,即得所求;(2)由已知数据求出必要的线段的长度,建立空间直角坐标系,由向量法计算即可.【解答】解:(1)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又CD⊥AD,PD∩CD=D,∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,又AF⊥PC,∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF;(2)设AB=1,在RT△PDC中,CD=1,∠DPC=30°,∴PC=2,PD=,由(1)知CF⊥DF,∴DF=,AF==,∴CF==,又FE∥CD,∴,∴DE=,同理可得EF=CD=,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E(,0,0),F(,,0),P(,0,0),C(0,1,0)设向量=(x,y,z)为平面AEF的法向量,则有,,∴,令x=4可得z=,∴=(4,0,),由(1)知平面ADF的一个法向量为=(,1,0),设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ,可知θ为锐角,cosθ=|cos<,>|===∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为:【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值,建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键,属中档题.19.(14分)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列{an}的通项公式.【分析】(1)在数列递推式中取n=2得一关系式,再把S3变为S2+a3得另一关系式,联立可求a3,然后把递推式中n取1,再结合S3=15联立方程组求得a1,a2;(2)由(1)中求得的a1,a2,a3的值猜测出数列的一个通项公式,然后利用数学归纳法证明.【解答】解:(1)由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,n∈N*,得:S2=4a3﹣20 ①又S3=S2+a3=15 ②联立①②解得:a3=7.再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1,得:a1=2a2﹣7 ③又S3=a1+a2+7=15 ④联立③④得:a2=5,a1=3.∴a1,a2,a3的值分别为3,5,7;(2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1.由此猜测an=2n+1.下面由数学归纳法证明:1、当n=1时,a1=3=2×1+1成立.2、假设n=k时结论成立,即ak=2k+1.那么,当n=k+1时,由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n,得,,两式作差得:.∴==2(k+1)+1.综上,当n=k+1时结论成立.∴an=2n+1.【点评】本题考查数列递推式,训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题,考查了学生的灵活应变能力和计算能力,是中档题.21.(14分)设函数f(x)=,其中k<﹣2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示);(2)讨论函数f(x)在D上的单调性;(3)若k<﹣6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).【分析】(1)利用换元法,结合函数成立的条件,即可求出函数的定义域.(2)根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论.(3)根据函数的单调性,即可得到不等式的解集.【解答】解:(1)设t=x2+2x+k,则f(x)等价为y=g(t)=,要使函数有意义,则t2+2t﹣3>0,解得t>1或t<﹣3,即x2+2x+k>1或x2+2x+k<﹣3,则(x+1)2>2﹣k,①或(x+1)2<﹣2﹣k,②,∵k<﹣2,∴2﹣k>﹣2﹣k,由①解得x+1>或x+1,即x>﹣1或x,由②解得﹣<x+1<,即﹣1﹣<x<﹣1+,综上函数的定义域为(﹣1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣)∪(﹣1﹣,﹣1+).(2)f′(x)===﹣,由f'(x)>0,即2(x2+2x+k+1)(x+1)<0,则(x+1+)(x+1﹣)(x+1)<0 解得x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,结合定义域知,x<﹣1﹣或﹣1<x<﹣1+,即函数的单调递增区间为:(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1,﹣1+),同理解得单调递减区间为:(﹣1﹣,﹣1),(﹣1+,+∞).(3)由f(x)=f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)﹣3=(3+k)2+2(3+k)﹣3,则[(x2+2x+k)2﹣(3+k)2]+2[(x2+2x+k)﹣(3+k)]=0,∴(x2+2x+2k+5)(x2+2x﹣3)=0即(x+1+)(x+1﹣)(x+3)(x﹣1)=0,∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1,∵k<﹣6,∴1∈(﹣1,﹣1+),﹣3∈(﹣1﹣,﹣1),∵f(﹣3)=f(1)=f(﹣1﹣)=f(﹣1+),且满足﹣1﹣∈(﹣∞,﹣1﹣),﹣1+∈(﹣1+,+∞),由(2)可知函数f(x)在上述四个区间内均单调递增或递减,结合图象,要使f(x)>f (1)的集合为:()∪(﹣1﹣,﹣3)∪(1,﹣1+)∪(﹣1+,﹣1+).【点评】本题主要考查函数定义域的求法,以及复合函数单调性之间的关系,利用换元法是解决本题的关键,综合性较强,难度较大.20.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△=0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x0和y0的关系式,即P点的轨迹方程.【解答】解:(1)依题意知,求得a=3,b=2,∴椭圆的方程为+=1.(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y0)的切线为y=k(x﹣x0)+y0,+=+=1,整理得(9k2+4)x2+18k(y0﹣kx0)x+9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,∴△=[18k(y0﹣kx0)]2﹣4(9k2+4)×9[(y0﹣kx0)2﹣4]=0,整理得(x02﹣9)k2﹣2x0×y0×k+(y02﹣4)=0,∴﹣1=k1•k2==﹣1,∴x02+y02=13.把点(±3,±2)代入亦成立,∴点P的轨迹方程为:x2+y2=13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.A 基础巩固训练1.【组卷网合作校特供】已知直线的倾斜角α的余弦值为12,则此直线的斜率是().A.3 B.-3C.32D.±3【答案】A2.【高考数学一轮配套特训】直线ax+by+c=0同时要经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足()A.ab>0,bc<0 B.ab>0,bc>0C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<0【答案】A3. 【组卷网合作校特供】直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是().A.1 B.-1C.-2或-1 D.-2或1【答案】D【解析】当直线过(0,0)时,a=-2;当直线不过原点时,a=1,选D项.4.【高考前30天】直线的倾斜角为()A. B. C. D.【答案】C5. 【上海市杨浦区高三上学期学业质量调研】已知直线l经过点()()1,2,3,2A B--,则直线l的方程是___________________. 【答案】01=++y x【解析】由题意,得11322-=--+=l k ,所以直线方程为)1(2--=+x y ,即01=++y x .6.【枣庄市第五中学高三上学期期末考试】对于任意实数a ,直线32y ax a =-+所经过的定点是;【答案】()2,3 【解析】试题分析:23+-=a ax y 可化为)3(2-=-x a y ,即直线恒过点()2,3. B 能力提升训练(满分70分)1. 【高考名师推荐】已知A(1,0),B(2,a),C(a ,1),若A ,B ,C 三点共线,则实数a 的值为( ) A .2B .-2 C .D .【答案】C2. 【高考数学三轮冲刺模拟】若k ,-1,b 三个数成等差数列,则直线y =kx +b 必经过定点( ) A .(1,-2)B .(1,2)C .(-1,2) D .(-1,-2) 【答案】A【解析】依题意,k +b =-2,∴b =-2-k , ∴y =kx +b =k(x -1)-2,∴直线y =k(x -1)-2必过定点(1,-2). 3. 【数学一轮复习迎战高考】一次函数y =-m n x +1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )A.m>1,且n<1B.mn<0C.m>0,且n<0D.m<0,且n<0 【答案】B4.【高考数学一轮配套特训】已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y =ax +1a 表示的直线是( )【答案】C5.【高考数学一轮配套特训】直线xcosα+3y +2=0的倾斜角的取值范围是( )A .[-6π,6π] B .[6π,56π] C .[0,6π]∪[56π,π) D .[0,6π]∪[56π,π] 【答案】C6.【高考数学一轮总复习】已知直线PQ 的斜率为-3,将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________.37. 已知直线l 的斜率与直线623=-y x 的斜率相等,且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1,求直线l 的方程. 【答案】3325y x =-C 思维扩展训练(满分30分)1. 【高考名师推荐】已知直线l 过(a ,1)和(a+1,tanα+1),则( )A .α一定是直线l 的倾斜角B .α一定不是直线l 的倾斜角C .α不一定是直线l 的倾斜角D .180°-α一定是直线l 的倾斜角【答案】C2.【数学一轮复习迎战高考】直线x +(a2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦∪,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B3.【高考名师推荐】设点A(-2,3),B(3,2),若直线ax +y +2=0与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】直线ax +y +2=0恒过点M(0,-2),且斜率为-a ,∵kMA =, kMB =,由图可知,-a>且-a<,∴a ∈.选B4. 【数学一轮复习迎战高考】在平面直角坐标系xOy 中,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),定义:d(P ,Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点B(1,0),点M 为直线x -2y +2=0上的动点,则使d(B ,M)取最小值时点M 的坐标是________. 【答案】31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭5.直线l 过点(2,4)P --,若直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,求直线l 的方程.【答案】直线l 的方程为:2x y -=或6x y +=-.【解析】若直线l 过原点,则其方程为2y x =.若直线l 过不原点,则设其方程为1x y a b+=,由已知,241a b a b --⎧+=⎪⎨⎪=⎩.当a b =-时,2,2a b ==-;当a b =时,6a b ==-.所以直线l 的方程为:2x y -=或6x y +=-.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战38435
数学(文科).3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至8页,共150分.考试时间120分钟.考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.不能答在试卷上.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设全集}4,3,2,1{=U ,集合}2,1{=P ,}3,1{=Q ,则=)(Q C P UA .{1}B .{2}C .{4}D .{1,2,4}2.若向量a=(1,—1),b=(—1,1),c=(5,1),则c+a+b=A .aB .bC .cD .a+b 3.抛物线24y x =的焦点坐标为A .(0,2)B .(2,0)C .(0,1)D .(1,0)4.已知1=a ,复数),()2()1(2R b a i a a z ∈-+-=,则“1=a ”是“z 为纯虚数”的 A .充分非必要条件B .必要非充分条件 C .充要条件D .既非充分又非必要条件5.如图,是CCTV 青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均 数为 A .85 B .86 C .87 D .88 6.右图,是一个简单空间几何体的三视图,其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形,俯视图轮廓为正方形,则 其体积是A 342C 43D .837.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为A .827 B .271 C .2627 D .1527 8.已知数列:1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律,这个数列的第项2010a 满足A .20101010a <<B .20101110a ≤< C .2010110a ≤≤ D .201010a >第Ⅱ卷(非选择题 共110分)注意事项:用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.函数y x=的定义域是__. 10.=8cos8sinππ.11.如图,是计算111124620++++的值的一个程序 框图,其中判断框内应填入的条件是. 12.若函数2)(3++-=cx x x f )(R c ∈,则/3()2f -、/(1)f -、/(0)f 的大小关系是_.13.如图,直角POB ∆中,90=∠PBO ,以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点.若圆弧AB 等分△POB 的面积,且∠AOB=α弧 度,则tan α=α.14.已知函数⎩⎨⎧>-≤++-=0,20,)(2x x c bx x x f ,若1)1(=-f ,2)0(-=f ,则函数x x f x g +=)()(的零点个数为____.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分12分)已知函数)2cos(cos )(x x x f -+=π.(Ⅰ)求)3(πf 的值;(Ⅱ)求)(x f 的单调递减区间.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥A —BPC 中,AP ⊥PC ,AC ⊥BC ,M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正 三角形.(Ⅰ)求证:MD//平面APC ;(Ⅱ)求 证:平面ABC ⊥平面APC . 17.(本小题满分13分)已知函数b ax x x f ++=23)(的图象在点)0,1(P 处的切线与直线03=+y x 平行.(Ⅰ)求常数a 、b 的值;(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]4,0[上的最小值和最大值.18.(本小题满分13分)某校高三数学竞赛初赛考试后,对90分以上(含90分)的成绩进行统计,其频率分布直方图如图 所示.若130~140分数段的人数为2人.(Ⅰ)估计这所学校成绩在90~140分之间学生的参赛人数;(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人,形成帮扶学习小组.若选出的两人成绩之差大于20,则称这两人为“黄金搭档组”,试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为21,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边 形周长等于8.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点(0,—2)的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求直线l 的方程.20.(本小题满分14分) 当n p p p ,,,21 均为正数时,称np p p n+++ 21为n p p p ,,,21 的“均倒数”.已知数列{}n a 的各项均为正数,且其前n 项的“均倒数”为121+n . (Ⅰ)试求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设12+=n a c nn ,试判断并说明()*1n n c c n N +-∈的符号; (Ⅲ)已知(0)n an b t t =>,记数列{}n b 的前n 项和为n S ,试求1n nS S +的值.怀柔区~度第二学期高三数学期中练习参考答案及评分标准(文科).3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDACCBB9. }0{>x x 10.4211. 20n ≤ 12./(0)f >/(1)f ->/3()2f -13. 2 14. 3三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)()coscos()3323f ππππ=+-=4分 (Ⅱ) x x x x x f cos sin )2cos(cos )(+=-+=π2()22coscos sin )44)84x x x x x πππ=+=+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分由232422πππππ+≤+≤+k x k 得45242ππππ+≤≤+k x k∴)(x f 的递减区间为]452,42[ππππ++k k ,)(Z k ∈12分16.(本小题满分14分)解(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点,∴MD//AP ,又MD ⊄平面ABC , ∴MD//平面APC 。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战27033
高三理科数学 试题卷本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i 为虚数单位,若复数()()()211a a i a R -+-∈是纯虚数,则实数a 的值为( ) A .1±B .1-C .0D .12.“23sin =θ”是“3πθ=”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.已知数列{}n a 为等比数列,191,3a a ==,则5a =( )A . 2 BC.4.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1BB 的中点,用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )ABCD5.设双曲线()22221,0,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为y =,则该双曲线的离心率为() A .223B .2C .332 D .26.已知平面向量22(2sin ,cos )a x x =,22(sin ,2cos )b x x =-,()f x a b =⋅,要得到2cos 2y x x =-的图像,只需将()y f x =的图像( )A .向左平移6π个单位长度 B .向右平移6π个单位长度 C .向左平移3π个单位长度 D.向右平移3π个单位长度7.设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8,则a b +的最小值为( )ABCA B C D 1111E第4题图第9题图A .3B .4C .8D .98.定义平面向量的正弦积为sin 2a b a b θ•=,(其中θ为a 、b 的夹角),已知ABC ∆中,AB BC BC CA •=•,则此三角形一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .钝角三角形 9.运行如图所示的流程图,则输出的结果S 是( )A .42011 B .42013 C .22011 D .2201310.如图,矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成,向矩形OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为14,则a 的值是( )A .712πB .23πC .34πD .56π11.已知向量OA OB与的夹角为()2,1,,1,OA OB OP tOA OQ t OB θ====-,PQ 在0t 时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围是( )A .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C .2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭12.设定义在()1,e 上函数()f x =()a R ∈.若曲线1cos y x =+上存在点()00,x y 使得()()0ff y y =,则实数a 的取值范围是( )A .[]1,2ln 2-+B .(]02ln 2+,C .)21,1e e ⎡--+⎣D .()20,1e e -+第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数4log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战42673
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第I 卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式:样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程:y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑,a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==13V Sh = 其中S 为底面积,h 为高 第I 卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈,则复数x yi +=( )A.2i -+B.2i +C.12i -D.12i + 答案:B解析: ()iyi x x y i y i xi i y i i x +=+∴==∴+=-+=-22,12,222.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于( )A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂ 答案:D 解析:{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U , ()(){}6,5=⋂N C M C U U3.若121()log (21)f x x =+,则()f x 的定义域为()A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2- 答案:C解析:()()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,21112,012,012log 21x x x x4.曲线xy e =在点A (0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e答案:A解析: 1,0,0'===e x e y x5.设{n a }为等差数列,公差d = 2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( ) A.18 B.20 C.22 D.24答案:B 解析:20,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S6.观察下列各式:则234749,7343,72401===,…,则20117的末两位数字为( )A.01B.43C.07D.49 答案:B 解析:()()()()()()343***2011,200922011168075,24014,3433,492,7=∴=-=====f f f f f x f x7.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为e m ,众数为o m ,平均值为x ,则( )A.e o m m x ==B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案:D解析:计算可以得知,中位数为5.5,众数为5所以选D8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:父亲身高x(cm ) 174176176 176178 儿子身高y(cm )175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x1B.y = x+1C.y = 88+ 12x D.y = 176 答案:C解析:线性回归方程bx a y +=,()()()∑∑==---=ni ini iix x yyx x b 121,x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示,则该几何体的左视图为( )答案:D解析:左视图即是从正左方看,找特殊位置的可视点,连起来就可以得到答案。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战36583
一.基础题组1.(北京市昌平区高三二模理3)已知等差数列{}n a 的公差是2,若134,,a a a 成等比数列,则1a 等于( ) A. 4- B. 6- C. 8- D. 10- 【答案】C考点:等差数列与等比数列.2.(北京市东城区高三5月综合练习(二)理3)已知{}n a 为各项都是正数的等比数列,若484a a ⋅=,则567a a a ⋅⋅=( )(A )4(B )8(C )16(D )64 【答案】B 【解析】试题分析:由于数列{}n a 是正各项都是正数的等比数列,所以根据等比数列的性质可知:248664,2a a a a ==∴=,356768a a a a ==,所以答案为B.考点:1.等比数列的性质;2.等比数列的求值.3.(北京市丰台区度第二学期统一练习(一)理2)在等比数列}{n a 中,344a a +=,22a =,则公比q 等于( )A .2B .1或2C .1D .1或2 【答案】B 【解析】试题分析:∵344a a +=,∴2224a q a q +=∴解得1q =或2q =-,故选B.考点:等比数列的通项公式.4.(北京市顺义区高三第一次统一练习(一模)理11)已知无穷数列{}n a 满足:1110,2()n n a a a n N *+=-=+∈.则数列{}n a 的前n 项和的最小值为.【答案】30考点:等差数列. 二.能力题组1.(北京市石景山区高三3月统一测试(一模)理6)等差数列{}n a 中,11,m k a a k m==()m k ≠,则该数列前mk 项之和为( ) A .12mk - B .2mk C .12mk + D .12mk+ 【答案】C 【解析】试题分析:设公差为,d 由已知1111111,(1)(1),kk m d a a k d k m k mk m mk mk -===--=--⋅=-所以,1(1)1(1)11,222mk mk mk mk mk mk S mka d mk mk mk --+=+=⋅+⋅=选C .考点:等差数列及其求和公式.2.(北京市西城区高三一模考试理12)若数列{}n a 满足12a =-,且对于任意的*,m n ∈N ,都有m n m n a a a +=⋅,则3a =___;数列{}n a 前10项的和10S =____.【答案】8-,682 【解析】试题分析:由m n m n a a a +=⋅得2113214,8,a a a a a a =⋅==⋅=-由m n m n a a a +=⋅得112n n n a a a a +=⋅=-,所以数列{}n a 为等比数列,因此10102[1(2)]682.1(2)S ---==---考点:等比数列通项与和项3.(北京市朝阳区高三第二次综合练习理13)已知点()11,1a A ,()22,2a A ,⋅⋅⋅,(),n n a n A (n *∈N )在函数13log y x =的图像上,则数列的通项公式为__________;设O 为坐标原点,点,则,中,面积的最大值是__________.【答案】13n⎛⎫ ⎪⎝⎭,16考点:1.对数函数性质;2.求数列通项;3.数列单调性.4.(北京市海淀区101中学高三上学期期中模拟考试理10)在公差为正数的等差数列}{n a 中,n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和,则使n S 取最小值的n 是.【答案】10 【解析】试题分析:因为数列的公差为正数,所以数列为递增数列,又因为0,011101110<<+a a a a 且, 所以0,01110><a a ,所以前10项的和最小,即使n S 取最小值的。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战39559
一、选择题(共15小题,每小题3分,满分45分)1.(3分)(•海淀区一模)的值等于()A .1B.﹣1C.i D.﹣i2.(3分)设圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=2,直线L的方程为x+y﹣3=0,点P的坐标为(2,1),那么()A .点P在直线L上,但不在圆M上B.点P在圆M上,但不在直线L上C .点P既在圆M上,又在直线L上D.点P既不在直线L上,也不在圆M上3.(3分)集合{1,2,3}的子集共有()A .7个B.8个C.6个D.5个4.(3分)已知双曲线方程,那么双曲线的焦距是()A .10B.5C.D.5.(3分)在的展开式中,x6的系数是()A .﹣27C106B.27C104C.﹣9C106D.9C1046.(3分)(•北京模拟)函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是()A .B.πC.2πD.4π7.(3分)方程的解集是()A .B .C .D .8.(3分)极坐标方程所表示的曲线是()A .圆B.双曲线右支C.抛物线D.椭圆9.(3分)如图,正四棱台中,A'D'所在的直线与BB'所在的直线是()A .相交直线B.平行直线C .不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线10.(3分)的值等于()A .4B.C.D.811.(3分)设命题甲:△ABC的一个内角为60°,命题乙:△ABC的三内角的度数成等差数列.那么()A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件B甲是乙的必要条件,但不是充分条件.C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件12.(3分)在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z﹣i|,则z所对应的点Z的集合构成的图形是()A .圆B.直线C.椭圆D.双曲线13.(3分)如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1,那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为()A .(1,1)B.(﹣1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,﹣1)14.(3分)(•杭州一模)假设在200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A .C32C1973种B.C32C1973+C33C1972种C .C﹣C1975种D.C﹣C31C1974种15.(3分)已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角,C是平面α内一点(它不在棱AB上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点,那么()A .∠CEB>∠DEBB.∠CEB=∠DEBC .∠CEB<∠DEBD.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定二、解答题(共5小题,满分0分)16.(20分)四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱SB垂直于底面,并且SB=,用α表示∠ASD,求sinα的值.17.(10分)已知tgx=a,求的值.18.(10分)如图,正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.19.(12分)给定实数a,a≠0,且a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠).证明:(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.20.(12分)某中学在一次健康知道竞赛活动中,抽取了一部分同学测试的成绩,绘制的成绩统计图如图所示,请结合统计图回答下列问题:(1)本次测试中,抽取了的学生有多少人?(2)若这次测试成绩80分以上(含80分)为优秀,则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几?.21.(11分)21、设的大小,并证明你的结论.全国统一高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题3分,满分45分)1.(3分)(•海淀区一模)的值等于()A .1B.﹣1C.i D.﹣i考点:复数代数形式的混合运算.专题:计算题.分析:根据复数的计算方法,可得的值,进而可得=(﹣i)2,可得答案.解答:解:根据复数的计算方法,可得==﹣i,则=(﹣i)2=﹣1,故选B.点评:本题考查复数的混合运算,解本题时,注意先计算括号内,再来计算复数平方.2.(3分)设圆M的方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=2,直线L的方程为x+y﹣3=0,点P的坐标为(2,1),那么()A .点P在直线L上,但不在圆M上B.点P在圆M上,但不在直线L上C .点P既在圆M上,又在直线L上D.点P既不在直线L上,也不在圆M上考点:点与圆的位置关系.分析:点P代入直线方程和圆的方程验证即可.解答:解:点P坐标代入直线方程和圆的方程验证,点P的坐标为(2,1),适合L的方程,即2+1﹣3=0;点P 的坐标为(2,1),满足圆M的方程,即(2﹣3)2+(1﹣2)2=2.显然A、B、D不正确.选项C正确.故选C.点评:本题是基础题,考查点的坐标适合方程.3.(3分)集合{1,2,3}的子集共有()A .7个B.8个C.6个D.5个考点:子集与真子集.分析:集合{1,2,3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,包括空集.解答:解:集合{1,2,3}的子集有:∅,{1},{2},{3},{1,2}…{1,2,3}共8个.故选B.点评:本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的子集共有2n个.4.(3分)已知双曲线方程,那么双曲线的焦距是()A .10B.5C.D.考点:双曲线的简单性质.专题:计算题.分析:根据题设条件求出c2,然后求出c,就能得到双曲线的焦距2c.解答:解:c2=25,c=5,∴双曲线的焦距2c=10.故选A.点评:本题比较简单,解题时注意不要和椭圆弄混了.5.(3分)在的展开式中,x6的系数是()A .﹣27C106B.27C104C.﹣9C106D.9C104考点:二项式定理的应用.专题:计算题.分析:利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为6求出x6的系数.解答:解:展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评:本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(3分)(•北京模拟)函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是()A .B.πC.2πD.4π考点:同角三角函数基本关系的运用.分析:观察题目条件,思路是降幂,先用平方差公式,再逆用二倍角公式,式子变为能判断周期等性质的形式,即y=Asin(ωx+φ)的形式.解答:解:∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x,∴T=π,故选B点评:对于和式的整理,基本思路是降次、消项和逆用公式,本题就是逆用余弦的二倍角公式.另外还要注意切割化弦,变量代换和角度归一等方法.7.(3分)方程的解集是()A .B .C .D .考点:正弦函数的图象.分析:令t=cosx代入后转化为一元二次方程后即可解.解答:解:令t=cosx则可转化为:4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±故选C.点评:本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题.一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后再处理.8.(3分)极坐标方程所表示的曲线是()A .圆B.双曲线右支C.抛物线D.椭圆考点:简单曲线的极坐标方程.分析:圆锥曲线的统一的极坐标方程是,其中e表示曲线的离心率,欲判断极坐标方程所表示的曲线,只须将它化成统一的形式后看其离心率即可.解答:解:∵,∴,∴其离心率e=,是椭圆.故选D.点评:本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程,属于基础题.9.(3分)如图,正四棱台中,A'D'所在的直线与BB'所在的直线是()A .相交直线B.平行直线C .不互相垂直的异面直线D.互相垂直的异面直线考点:空间中直线与直线之间的位置关系.分析:首先由“直线平行于平面,则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面;然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角,确定A'D'与BB′不垂直.解答:解:在正四棱台中,A'D'∥B′C′,又A'D'⊄平面BCC′B′,所以A'D'∥平面BCC′B′,又BB′⊂平面BCC′B′,所以A'D'与BB′异面;又因为四边形BCC′B′是等腰梯形,所以BB′与B′C′不垂直,即BB′与A'D'不垂直.故选C.点评:本题考查异面直线的定义及其夹角.10.(3分)的值等于()A .4B.C.D.8考点:反三角函数的运用.专题:计算题.分析:应用两角和的正切公式直接化简,以及公式tg(arctgx)=x直接求解即可.解答:解:=故选D.点评:本题考查反三角函数的运算,两角和的正切公式,是基础题.11.(3分)设命题甲:△ABC的一个内角为60°,命题乙:△ABC的三内角的度数成等差数列.那么()A.甲是乙的充分条件,但不是必要条件B.甲是乙的必要条件,但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件考点:等差关系的确定.分析:根据三角形内角和180°,△ABC的一个内角为60°,另外两个角的和是120°,满足等差中项的特点,△ABC的三内角的度数成等差数列,等差中项是60°.解答:解:∵△ABC的一个内角为60°,∴另外两个角的和是120°,∴三个角满足等差数列;∵△ABC的三内角的度数成等差数列,∴等差中项是60°,故选C点评:本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.以便利于区分等差和等比.12.(3分)在复平面内,若复数z满足|z+1|=|z﹣i|,则z所对应的点Z的集合构成的图形是()A .圆B.直线C.椭圆D.双曲线考点:复数的代数表示法及其几何意义.分析:本题考查的是复数的模的几何意义.|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离.先明确几何意义,再数形结合就可以给出解答.解答:解:|z+1|,|z﹣i|的几何意义分别是点Z到﹣1所对应的点A(﹣1,0)和点Z到i所对应的点B(0,1)的距离.由|ZA|=|ZB|,则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线.点评:本题考查的是复数的模的几何意义.注意掌握|z1﹣z2|表示点Z1到Z2距离.13.(3分)如果曲线x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0经过平移坐标轴后的新方程为x'2﹣y'2=1,那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为()A .(1,1)B.(﹣1,﹣1)C.(﹣1,1)D.(1,﹣1)考点:函数的图象与图象变化.分析:先将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方,再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x'2﹣y'2=1,从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标.解答:解:将方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得:(x﹣1)2﹣(y+1)2=1,其中心在(1,﹣1),故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为(1,﹣1),故选D.点评:本题主要考查了函数的图象的图象变化,属于基础题.14.(3分)(•杭州一模)假设在200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有()A .C32C1973种B.C32C1973+C33C1972种C .C﹣C1975种D.C﹣C31C1974种考点:组合及组合数公式.专题:计算题;压轴题.分析:根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数,进而相加可得答案.解答:解:根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种,“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种,则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法,故选B.点评:本题考查组合数公式的运用,解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论.15.(3分)已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角,C是平面α内一点(它不在棱AB上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任一点,那么()A .∠CEB>∠DEBB.∠CEB=∠DEBC .∠CEB<∠DEBD.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定考点:三垂线定理.专题:作图题;综合题;压轴题.分析:作出图形,利用三垂线定理和直角三角形,推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小,推出结论.解答:解:过C向AB做垂线交AB于F,连接DF,因为CD⊥AB又CF⊥AB,所以AB⊥面CDF,所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中,CF为斜边DF为直角边,所以CF>DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF>DF知,∠CEB>∠DEB故选A.点评:本题考查三垂线定理,考查学生逻辑思维能力,是基础题.二、解答题(共5小题,满分0分)16.(20分)四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱SB垂直于底面,并且SB=,用α表示∠ASD,求sinα的值.考点:三垂线定理.专题:作图题;证明题.分析:利用三垂线定理说明DA⊥SA,求出SD,解三角形SAD,即可得到sinα的值.解答:解:因为SB垂直于底面ABCD,所以斜线段SA在底面上的射影为AB,由于DA⊥AB所以DA⊥SA从而连接BD,易知BD=由于SB⊥BD,所以因此,点评:本题考查三垂线定理,考查学生分析问题解决问题的能力,是基础题.17.(10分)已知tgx=a,求的值.考点:三角函数中的恒等变换应用.分析:先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值.解答:解:==点评:本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式.三角函数中公式比较多,一定要熟练记忆,能够灵活运用.19.(12分)给定实数a,a≠0,且a≠1,设函数y=(x∈R,且x≠).证明:(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.考点:反函数.专题:证明题.分析:(1)欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴,设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为0得到;(2)要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形,设点P(x',y')是这个函数图象上任意一点,证明其对称点(y',x')也在此函数的图象上即可.解答:解:(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,则x1≠x2,且=,∵a≠1,且x1≠x2,∴y2﹣y1≠0.从而直线M1M2的斜率,因此,直线M1M2不平行于x轴.(2)设点P(x',y')是这个函数图象上任意一点,则x'≠,且y'=(1)易知点P(x',y')关于直线y=x的对称点P'的坐标为(y',x')由(1)式得y'(ax'﹣1)=x'﹣1,即x'(ay'﹣1)=y'﹣1,(2),即ax'﹣a=ax'﹣1,由此得a=1,与已知矛盾,∴这说明点P'(y',x')在已知函数的图象上,因此,这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.点评:本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力,属于中档题.对(1)也可用反证法或考查平行x轴的直线y=c与所给函数的图象是否相交及交点数目的情况.由其无交点或恰有一交点,从而得证.对(2)也可先求反函数,由反函数与原函数相同证明其图象关于y=x对称).20.(12分)某中学在一次健康知道竞赛活动中,抽取了一部分同学测试的成绩,绘制的成绩统计图如图所示,请结合统计图回答下列问题:(1)本次测试中,抽取了的学生有多少人?(2)若这次测试成绩80分以上(含80分)为优秀,则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几?.考点:频率分布直方图.专题:压轴题;图表型.分析:(1)由频数直方图的意义,将各组人数相加可得共抽取的学生人数,即答案;(2)读直方图可得:这次测试成绩80分以上的人数,除以总人数即可得优秀率,即答案.解答:解:(1)由频数直方图可知:本次测试中,抽取了的学生有2+3+41+4=50人;(2)这次测试成绩80分以上(含80分)的人数为41+4=45,则优秀率为=90%.故答案为:(1)50人;(2)90%.点评:本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.21.(11分)21、设的大小,并证明你的结论.考点:对数的运算性质;对数值大小的比较.专题:压轴题.分析:先判断与的大小,再由对数函数的单调性可得到答案.解答:解:当t>0时,由基本不等式可得,当且仅当t=1时取“=”号∴t≠1时,当0<a<1时,y=logax是单调减函数,∴,即当a>1时,y=logax是单调增函数,∴>,即>点评:本题主要考查对数函数的单调性,即当底数大于1时函数单调递增,当底数大于0小于1时函数单调递减.18.(10分)如图,正三棱锥S﹣ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台);棱锥的结构特征.专题:计算题.分析:连接AE,说明ED⊥SA,作DF⊥SE,交SE于点F.所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,求出DF,然后求出几何体的体积.解答:解:连接AE,因为△SDE和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到,所以,,.所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即.点评:本题是基础题,考查空间想象能力,圆锥的体积的求法,考查计算能力以及发现问题解决问题的能力.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.102.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.36.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.28.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数=.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()=.13.(5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)14.(5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y).则|PA|•|PB|的最大值是.15.(5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B.④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>﹣2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=sin(3x+).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f()=cos(α+)cos2α,求cosα﹣sinα的值.17.(12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18.(12分)三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示,设M,N分别为线段AD,AB 的中点,P为线段BC上的点,且MN⊥NP.(1)证明:P是线段BC的中点;(2)求二面角A﹣NP﹣M的余弦值.19.(12分)设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).(1)若a1=﹣2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2﹣,求数列{}的前n项和Tn.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=﹣3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.21.(14分)已知函数f(x)=ex﹣ax2﹣bx﹣1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值;(2)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(10)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给处的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10【分析】利用二项展开式的通项公式求出(1+x)6的第r+1项,令x的指数为2求出展开式中x2的系数.然后求解即可.【解答】解:(1+x)6展开式中通项Tr+1=C6rxr,令r=2可得,T3=C62x2=15x2,∴(1+x)6展开式中x2项的系数为15,在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为:15.故选:C.【点评】本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础,计算准确是关键.2.(5分)已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{﹣1,0,1,2}B.{﹣2,﹣1,0,1}C.{0,1}D.{﹣1,0}【分析】计算集合A中x的取值范围,再由交集的概念,计算可得.【解答】解:A={x|﹣1≤x≤2},B=Z,∴A∩B={﹣1,0,1,2}.故选:A.【点评】本题属于容易题,集合知识是高中部分的基础知识,也是基础工具,高考中涉及到对集合的基本考查题,一般都比较容易,且会在选择题的前几题,考生只要够细心,一般都能拿到分.3.(5分)为了得到函数y=sin(2x+1)的图象,只需把y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动1个单位长度D.向右平行移动1个单位长度【分析】根据 y=sin(2x+1)=sin2(x+),利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.【解答】解:∵y=sin(2x+1)=sin2(x+),∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,即可得到函数y=sin(2x+1)的图象,故选:A.【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.4.(5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A.>B.<C.>D.<【分析】利用特例法,判断选项即可.【解答】解:不妨令a=3,b=1,c=﹣3,d=﹣1,则,,∴A、B不正确;,=﹣,∴C不正确,D正确.解法二:∵c<d<0,∴﹣c>﹣d>0,∵a>b>0,∴﹣ac>﹣bd,∴,∴.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,特值法有效,导数计算正确.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为()A.0B.1C.2D.3【分析】算法的功能是求可行域内,目标函数S=2x+y的最大值,画出可行域,求得取得最大值的点的坐标,得出最大值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求可行域内,目标还是S=2x+y的最大值,画出可行域如图:当时,S=2x+y的值最大,且最大值为2.故选:C.【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.6.(5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【分析】分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.【解答】解:最左端排甲,共有=120种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有=96种,根据加法原理可得,共有120+96=216种.故选:B.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.7.(5分)平面向量=(1,2),=(4,2),=m+(m∈R),且与的夹角等于与的夹角,则m=()A.﹣2B.﹣1C.1D.2【分析】由已知求出向量的坐标,再根据与的夹角等于与的夹角,代入夹角公式,构造关于m的方程,解方程可得答案.【解答】解:∵向量=(1,2),=(4,2),∴=m+=(m+4,2m+2),又∵与的夹角等于与的夹角,∴=,∴=,∴=,解得m=2,故选:D.【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角,难度中档.8.(5分)如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点O为线段BD的中点,设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成的角为α,则sinα的取值范围是()A.[,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]【分析】由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出.【解答】解:由题意可得:直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪.不妨取AB=2.在Rt△AOA1中,==.sin∠C1OA1=sin(π﹣2∠AOA1)=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=,=1.∴sinα的取值范围是.故选:B.【点评】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系、线面角的求法,考查了推理能力,属于中档题.9.(5分)已知f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1).现有下列命题:①f(﹣x)=﹣f(x);②f()=2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是()A.①②③B.②③C.①③D.①②【分析】根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后综合判断结果,可得答案.【解答】解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),x∈(﹣1,1),∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x),即①正确;f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln()﹣ln()=ln ()=ln[()2]=2ln()=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x),故②正确;当x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|⇔f(x)﹣2x≥0,令g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x(x∈[0,1))∵g′(x)=+﹣2=≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g (0)=0,又f(x)≥2x,又f(x)与y=2x为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确;故正确的命题有①②③,故选:A.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等知识点,难度中档.10.(5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,•=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.【分析】可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及•=2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.【解答】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),由⇒y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1•y2=﹣m,∵•=2,∴x1•x2+y1•y2=2,结合及,得,∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1•y2=﹣2,故m=2.不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又,∴S△ABO+S△AFO═×2×(y1﹣y2)+×y1,=.当且仅当,即时,取“=”号,∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消x或y后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式.2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高.3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)复数= ﹣2i .【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数,可得结果.【解答】解:复数===﹣2i,故答案为:﹣2i.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.12.(5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[﹣1,1)时,f(x)=,则f()= 1 .【分析】由函数的周期性f(x+2)=f(x),将求f()的值转化成求f()的值.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数,。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16599
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.356437-⎛⎫⎪⎝⎭; 2.34; 3.(,1)-∞-; 4.4π; 5.(,0)-∞6.(0,2); 7.13b -≤≤; 8.10082017; 9.π32; 10.16; 11.3; 12.(),1n n -+;13.;14.66a -≤≤. 二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.A ;16. A ; 17.B ;18.D .三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题6分.19.解:(1)证明:AB PAD ⊥平面,PH PAD ⊆平面,AB PH ⊥又PAD ∆中,PD PA =,点H 为线段AD 的中点,PH AD ⊥PH ADPH ABPH ABCD AD AB A ⊥⎧⎪⊥⇒⊥⎨⎪=⎩平面 (2)1,PH AD AH DH ===,又PH AD ⊥,PA PD ∴== 连结BH ,可得PBH ∠是PB 与平面ABCD 所成角,又PB 与平面ABCD 所成角的大小为45,1BH ∴=,在Rt ABH ∆中,AB =, 1111()3322P ABCDABCD V S PH AB CD AD PH -∴==⨯+⋅⋅=梯形.分 20.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题8分. 解:(1)因为抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点,即(1,0)F又椭圆M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为22221,0x y a b a b+=>>,且221a b -=又以F 为圆心,以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线20l x -+=:相切即1b ==,所以椭圆M 的方程是2212x y += (2)设11(,)A x y ,22(,)B x y22223422022y x mx mx m x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩ 222(4)12(22)8240m m m ∆=--=-+>m ⇒<<1212,(,)OP OA OB P x x y y =+∴++又121242,33x x m y y m +=-+=, 即42(,)33P m m -在椭圆2212x y +=上,即2242()2()233m m m -+=⇒=21.(本题满分14分)本题共2小题,第(1)小题4分,第(2)小题10分. 解:(1)1212sin12032ABCDS=⨯⨯⨯=当点F 与点D 重合时,由已知134CDEABCDS S ==,又13sin12012CDESCE CD x x =⋅⋅==⇒= ,E 是BC 的中点 (2)①当点F 在CD上,即12x ≤≤时,利用面积关系可得1CF x=, 再由余弦定理可得y =≥1x =时取等号 ②当点F 在DA 上时,即01x ≤<时,利用面积关系可得1DF x =-, (ⅰ)当CE DF <时,过E 作EG ∥CD 交DA 于G ,在EGF ∆中,1,12,60EG GF x EGF ==-∠=,利用余弦定理得y =(ⅱ)同理当CE DF ≥,过E 作EG ∥CD 交DA 于G ,在EGF ∆中,1,21,120EG GF x EGF ==-∠=,利用余弦定理得y =由(ⅰ)、(ⅱ)可得y =,01x ≤<y∴==,01x ≤< ,min y ∴=12x =时取等号 ,由①②可知当12x =时,路EF 的长度最短为2.22.(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题4分,第(3)小题8分.解:(1)因为(,)n n n P a S 、*111(,),n n n P a S n N +++∈都在直线y kx b =+上,所以11n nn nS S k a a ++-=-,即1(1)n n k a ka +-=,又0k ≠,且1k ≠,所以11n n a ka k +=-为非零常数,所以数列{}n a 是等比数列(2)由12log n n b a =得31()22nb n n a -==,即21kk =-得2k =. 由*(,),n n n P a S n N ∈在直线y kx b =+上得n n S ka b =+上,令1n =得111124b S a a =-=-=-(3)由12log n n b a =知1n a >恒成立等价于0n b <恒成立.因为存在*,,t s N s t ∈≠使得点(),s t b 和(),t s b 都在直线在21y x =+上,所以21s b t =+,21t b s =+即2()t s b b s t -=-,另1,2s t t =-≥,易证12(1)2t t b b t t --=--=-,又1(1)(2)21s b b s t =+--=+12()10b t s ⇒=+->,即{}n b 是首项为正,公差为2-的等差数列. 所以一定存在自然数M ,使100M M b b +≥⎧⎨<⎩即2()1(1)(2)02()1(2)0t s M t s M +-+--≥⎧⎨+-+-<⎩,解得1122t s M t s +-<≤++,*M N ∈,M t s ∴=+.存在自然数M ,其最小值为t s +使得当n M >(*n N ∈)时,1n a >恒成立时,1n a >恒成立.23.(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分.解:(1) x x x f sin cos )(+=,2πα=∴x x x f sin cos )(-=+α;∴x x g 2cos )(=(2)()2cos (cos )4cos cos()3g x x x x x x π=+=-,若()2cos f x x =,则()()2cos()33f x f x x ππα+=-=-(2)33k ππααπ⇒∴=-=-∈取,k Z 中一个都可以,()2cos f xx =(3)()sin cos f x x x =+,()()()g x f x f x α∴=⋅+=(sin cos )x x +(cos sin )x x -cos 22,2,2sin 212,2,23cos 22,2,2312sin 22,22.2x x k k x x k k k Z x x k k x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪ ⎥⎪⎝⎦=∈⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩显然,(2)()g x g x π+=即()y g x =的最小正周期是2π,因为存在12,x x R ∈,对任意x R ∈,12()()()g x g x g x ≤≤恒成立, 所以当12x k ππ=+或12,2x k k Z ππ=+∈时,1()()1g x g x ≥=-当272,4x k k Z ππ=+∈时,2()()2g x g x ≤= 所以12121272(2),4x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、 或12121272(2),24x x k k k k Z ππππ-=+-+∈、 所以12x x -的最小值是34π. 说明:写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像,用数形结合的方法解同样给分一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为.2.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B=.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是.4.(5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.5.(5分)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.6.(5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.7.(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.8.(5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.9.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.10.(5分)已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.12.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是.13.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是.14.(5分)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15.(14分)已知α∈(,π),sinα=.(1)求sin(+α)的值;(2)求cos(﹣2α)的值.16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.18.(16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O 正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?19.(16分)已知函数f(x)=ex+e﹣x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,试比较ea﹣1与ae﹣1的大小,并证明你的结论.20.(16分)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn (n∈N*)成立.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修41:几何证明选讲】21.(10分)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.【选修42:矩阵与变换】22.(10分)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.【选修43:极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点,则线段AB的长为.【选修44:不等式选讲】24.已知x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.(二)必做题(本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分)25.(10分)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).26.(10分)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn﹣1(x)的导数,n∈N*. (1)求2f1()+f2()的值;(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn﹣1()+fn()|=都成立.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(附详细答案)参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B={﹣1,3}.【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:∵A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},∴A∩B={﹣1,3},故答案为:{﹣1,3}【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 21 .【分析】根据复数的有关概念,即可得到结论.【解答】解:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i,故z的实部为21,故答案为:21【点评】本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是 5 .【分析】算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,代入正整数n验证可得答案.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,∵24=16<20,25=32>20,∴输出n=5.故答案为:5.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.4.(5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.【分析】首先列举并求出“从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,利用概率公式计算即可.【解答】解:从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)共6个,所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6),(2,3)共2个,故所求概率P=.故答案为:.【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件.5.(5分)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是.【分析】由于函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.【解答】解:∵函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,∴=.∵0≤φ<π,∴,∴+φ=,解得φ=.故答案为:.【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题.6.(5分)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 24 株树木的底部周长小于100cm.【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率,再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.【解答】解:由频率分布直方图知:底部周长小于100cm的频率为(0.015+0.025)×10=0.4,∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24(株).故答案为:24.【点评】本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=.7.(5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 4 . 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.【解答】解:设等比数列{an}的公比为q>0,a1>0.∵a8=a6+2a4,∴,化为q4﹣q2﹣2=0,解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为:4.【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.8.(5分)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是.【分析】设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比.【解答】解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r;高分别为H,h;∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===.故答案为:.【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目.9.(5分)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为.【分析】求出已知圆的圆心为C(2,﹣1),半径r=2.利用点到直线的距离公式,算出点C 到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.【解答】解:圆(x﹣2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,﹣1),半径r=2,∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==,∴根据垂径定理,得直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为2=2=故答案为:.【点评】本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.10.(5分)已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是(﹣,0) .【分析】由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围.【解答】解:∵二次函数f(x)=x2+mx﹣1的图象开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,∴,即,解得﹣<m<0,故答案为:(﹣,0).【点评】本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是﹣3 .【分析】由曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,可得y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,解方程可得答案.【解答】解:∵直线7x+2y+3=0的斜率k=,曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,∴y′=2ax﹣,∴,解得:,故a+b=﹣3,故答案为:﹣3【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到y|x=2=﹣5,且y′|x=2=,是解答的关键.12.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,•=2,则•的值是 22 .【分析】由=3,可得=+,=﹣,进而由AB=8,AD=5,=3,•=2,构造方程,进而可得答案.【解答】解:∵=3,∴=+,=﹣,又∵AB=8,AD=5,∴•=(+)•(﹣)=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2,故•=22,故答案为:22.【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=+,=﹣,是解答的关键.13.(5分)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是(0,) .【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.【解答】解:f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x2﹣2x+|,若函数y=f(x)﹣a在区间[﹣3,4]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数f(x)与y=a的图象如图:由图象可知.故答案为:(0,).【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用.14.(5分)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.【分析】根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论.【解答】解:由正弦定理得a+b=2c,得c=(a+b),由余弦定理得cosC====≥=,当且仅当时,取等号,故≤cosC<1,故cosC的最小值是.故答案为:.【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,结合基本不等式的性质是解决本题的关键.二、解答题(本大题共6小题,共计90分)15.(14分)已知α∈(,π),sinα=.(1)求sin(+α)的值;(2)求cos(﹣2α)的值.【分析】(1)通过已知条件求出cosα,然后利用两角和的正弦函数求sin(+α)的值;(2)求出cos2α,然后利用两角差的余弦函数求cos(﹣2α)的值.【解答】解:α∈(,π),sinα=.∴cosα=﹣=(1)sin(+α)=sin cosα+cos sinα==﹣;∴sin(+α)的值为:﹣.(2)∵α∈(,π),sinα=.∴cos2α=1﹣2sin2α=,sin2α=2sinαcosα=﹣∴cos(﹣2α)=cos cos2α+sin sin2α==﹣.cos(﹣2α)的值为:﹣.【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.16.(14分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.【分析】(1)由D、E为PC、AC的中点,得出DE∥PA,从而得出PA∥平面DEF;(2)要证平面BDE⊥平面ABC,只需证DE⊥平面ABC,即证DE⊥EF,且DE⊥AC即可. 【解答】证明:(1)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE∥PA,又∵PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,∴PA∥平面DEF;(2)∵D、E为PC、AC的中点,∴DE=PA=3;又∵E、F为AC、AB的中点,∴EF=BC=4;∴DE2+EF2=DF2,∴∠DEF=90°,∴DE⊥EF;∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC;∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面ABC;∵DE⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面ABC.【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系,是基础题目.17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.【分析】(1)根据椭圆的定义,建立方程关系即可求出a,b的值.(2)求出C的坐标,利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系,解方程即可求出e的值.【解答】解:(1)∵C的坐标为(,),∴,即,∵,∴a2=()2=2,即b2=1,则椭圆的方程为+y2=1.(2)设F1(﹣c,0),F2(c,0),∵B(0,b),∴直线BF2:y=﹣x+b,代入椭圆方程+=1(a>b>0)得()x2﹣=0,解得x=0,或x=,∵A(,﹣),且A,C关于x轴对称,∴C(,),则=﹣=,∵F1C⊥AB,∴×()=﹣1,由b2=a2﹣c2得,即e=.【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题,要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系,运算量较大.18.(16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O 正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【分析】(1)在四边形AOCB中,过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F,设出AF,然后通过解直角三角形列式求解BE,进一步得到CE,然后由勾股定理得答案;(2)设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,设OM=xm,把PC、PQ用含有x的代数式表示,再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围,得到x取最小值时圆的半径最大,即圆形保护区的面积最大. 【解答】解:(1)如图,过B作BE⊥OC于E,过A作AF⊥BE于F,∵∠ABC=90°,∠BEC=90°,∴∠ABF=∠BCE,∴.设AF=4x(m),则BF=3x(m).∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°,∴OE=AF=4x(m),EF=AO=60(m),∴BE=(3x+60)m.∵,∴CE=(m).∴(m).∴,解得:x=20.∴BE=120m,CE=90m,则BC=150m;(2)如图,设BC与⊙M切于Q,延长QM、CO交于P,∵∠POM=∠PQC=90°,∴∠PMO=∠BCO.设OM=xm,则OP=m,PM=m.∴PC=m,PQ=m.设⊙M半径为R,∴R=MQ=m=m.∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m,则R﹣AM≥80,R﹣OM≥80,∴136﹣﹣(60﹣x)≥80,136﹣﹣x≥80.解得:10≤x≤35.∴当且仅当x=10时R取到最大值.∴OM=10m时,保护区面积最大.【点评】本题考查圆的切线,考查了直线与圆的位置关系,解答的关键在于对题意的理解,是中档题.19.(16分)已知函数f(x)=ex+e﹣x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,试比较ea﹣1与ae﹣1的大小,并证明你的结论.【分析】(1)根据函数奇偶性的定义即可证明f(x)是R上的偶函数;(2)利用参数分离法,将不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围;(3)构造函数,利用函数的单调性,最值与单调性之间的关系,分别进行讨论即可得到结论.【解答】解:(1)∵f(x)=ex+e﹣x,∴f(﹣x)=e﹣x+ex=f(x),即函数:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e﹣x+m﹣1在(0,+∞)上恒成立,即m(ex+e﹣x﹣1)≤e﹣x﹣1,∵x>0,∴ex+e﹣x﹣1>0,即m≤在(0,+∞)上恒成立,设t=ex,(t>1),则m≤在(1,+∞)上恒成立,∵=﹣=﹣,当且仅当t=2时等号成立,∴m.(3)令g(x)=ex+e﹣x﹣a(﹣x3+3x),则g′(x)=ex﹣e﹣x+3a(x2﹣1),当x>1,g′(x)>0,即函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,故此时g(x)的最小值g(1)=e+﹣2a,由于存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(﹣x03+3x0)成立,故e+﹣2a<0,即a>(e+),令h(x)=x﹣(e﹣1)lnx﹣1,则h′(x)=1﹣,由h′(x)=1﹣=0,解得x=e﹣1,当0<x<e﹣1时,h′(x)<0,此时函数单调递减,当x>e﹣1时,h′(x)>0,此时函数单调递增,∴h(x)在(0,+∞)上的最小值为h(e﹣1),注意到h(1)=h(e)=0,∴当x∈(1,e﹣1)⊆(0,e﹣1)时,h(e﹣1)≤h(x)<h(1)=0,当x∈(e﹣1,e)⊆(e﹣1,+∞)时,h(x)<h(e)=0,∴h(x)<0,对任意的x∈(1,e)成立.①a∈((e+),e)⊆(1,e)时,h(a)<0,即a﹣1<(e﹣1)lna,从而ea﹣1<ae﹣1,②当a=e时,ae﹣1=ea﹣1,③当a∈(e,+∞)⊆(e﹣1,+∞)时,当a>e﹣1时,h(a)>h(e)=0,即a﹣1>(e ﹣1)lna,从而ea﹣1>ae﹣1.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定,函数单调性和最值的应用,利用导数是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大.20.(16分)设数列{an}的前n项和为Sn,若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是“H数列”.(1)若数列{an}的前n项和为Sn=2n(n∈N*),证明:{an}是“H数列”;(2)设{an}是等差数列,其首项a1=1,公差d<0,若{an}是“H数列”,求d的值;(3)证明:对任意的等差数列{an},总存在两个“H数列”{bn}和{cn},使得an=bn+cn (n∈N*)成立.【分析】(1)利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,当n=1时,a1=S1”即可得到an,再利用“H”数列的意义即可得出.(2)利用等差数列的前n项和即可得出Sn,对∀n∈N*,∃m∈N*使Sn=am,取n=2和根据d<0即可得出;(3)设{an}的公差为d,构造数列:bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,cn=(n﹣1)(a1+d),可证明{bn}和{cn}是等差数列.再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出.【解答】解:(1)当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1,当n=1时,a1=S1=2.当n=1时,S1=a1.当n≥2时,Sn=an+1.∴数列{an}是“H”数列.(2)Sn==,对∀n∈N*,∃m∈N*使Sn=am,即,取n=2时,得1+d=(m﹣1)d,解得,∵d<0,∴m<2,又m∈N*,∴m=1,∴d=﹣1.(3)设{an}的公差为d,令bn=a1﹣(n﹣1)a1=(2﹣n)a1,对∀n∈N*,bn+1﹣bn=﹣a1,cn=(n﹣1)(a1+d),对∀n∈N*,cn+1﹣cn=a1+d,则bn+cn=a1+(n﹣1)d=an,且数列{bn}和{cn}是等差数列.数列{bn}的前n项和Tn=,令Tn=(2﹣m)a1,则.当n=1时,m=1;当n=2时,m=1.当n≥3时,由于n与n﹣3的奇偶性不同,即n(n﹣3)为非负偶数,m∈N*.因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使Tn=bm成立,即{bn}为H数列.数列{cn}的前n项和Rn=,令cm=(m﹣1)(a1+d)=Rn,则m=.∵对∀n∈N*,n(n﹣3)为非负偶数,∴m∈N*.因此对∀n∈N*,都可找到m∈N*,使Rn=cm成立,即{cn}为H数列.因此命题得证.【点评】本题考查了利用“当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,当n=1时,a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、构造法,属于难题.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修41:几何证明选讲】21.(10分)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.【分析】利用OC=OB,可得∠OCB=∠B,利用同弧所对的圆周角相等,即可得出结论.【解答】证明:∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∵∠B=∠D,∴∠OCB=∠D.【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 【选修42:矩阵与变换】22.(10分)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.【分析】利用矩阵的乘法,结合A=B,可得方程组,即可求x,y的值,从而求得x+y 的值.【解答】解:∵矩阵A=,B=,向量=,A=B,∴,∴x=﹣,y=4,∴x+y=【点评】本题考查矩阵的乘法,考查学生的计算能力,属于基础题.【选修43:极坐标及参数方程】23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点,则线段AB的长为.【分析】直线l的参数方程化为普通方程,与抛物线y2=4x联立,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长.【解答】解:直线l的参数方程为(t为参数),化为普通方程为x+y=3,与抛物线y2=4x联立,可得x2﹣10x+9=0,∴交点A(1,2),B(9,﹣6),∴|AB|==8.故答案为:8.【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.【选修44:不等式选讲】24.已知x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥,两式相乘可得结论.【解答】证明:由均值不等式可得1+x+y2≥3,1+x2+y≥分别当且仅当x=y2=1,x2=y=1时等号成立,∴两式相乘可得(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.【点评】本题考查不等式的证明,正确运用均值不等式是关键.(二)必做题(本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分)26.(10分)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn﹣1(x)的导数,n∈N*. (1)求2f1()+f2()的值;(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn﹣1()+fn()|=都成立.【分析】(1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:xf0(x)=sinx,然后两边求导后根据条件两边再求导得:2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,把x=代入式子求值;(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx和2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,利用相同的方法再对所得的式子两边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立,主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后再把x=代入所给的式子求解验证.【解答】解:(1)∵f0(x)=,∴xf0(x)=sinx,则两边求导,[xf0(x)]′=(sinx)′,∵fn(x)为fn﹣1(x)的导数,n∈N*,∴f0(x)+xf1(x)=cosx,两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,将x=代入上式得,2f1()+f2()=﹣1,(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+),恒成立两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx=sin(x+π),再对上式两边同时求导得,3f2(x)+xf3(x)=﹣cosx=sin(x+),同理可得,两边再同时求导得,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π),猜想得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+)对任意n∈N*恒成立,下面用数学归纳法进行证明等式成立:①当n=1时,成立,则上式成立;②假设n=k(k>1且k∈N*)时等式成立,即,∵[kfk﹣1(x)+xfk(x)]′=kfk﹣1′(x)+fk(x)+xfk′(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x)又===,∴那么n=k+1(k>1且k∈N*)时.等式也成立,由①②得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+)对任意n∈N*恒成立,令x=代入上式得,nfn﹣1()+fn()=sin(+)=±cos=±,所以,对任意n∈N*,等式|nfn﹣1()+fn()|=都成立.【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等,本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大,考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力. 25.(10分)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).【分析】(1)先求出取2个球的所有可能,再求出颜色相同的所有可能,最后利用概率公式计算即可;(2)先判断X的所有可能值,在分别求出所有可能值的概率,列出分布列,根据数学期望公式计算即可.【解答】解(1)一次取2个球共有=36种可能,2个球颜色相同共有=10种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率P=.(2)X的所有可能值为4,3,2,则P(X=4)=,P(X=3)=于是P(X=2)=1﹣P(X=3)﹣P(X=4)=,X的概率分布列为X 2 3 4P故X数学期望E(X)=.【点评】本题考查了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学期望,知识点比较多,属基础题.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战42300
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x﹣1)2C.y=2﹣xD.y=log0.5(x+1)2.((5分)已知集合A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}3.(5分)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上4.(5分)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S的值为()A.7B.42C.210D.8405.(5分)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(5分)若x,y满足,且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为()A.2B.﹣2C.D.﹣7.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S18.(5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)复数()2=.10.(5分)已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|=.11.(5分)设双曲线C经过点(2,2),且与﹣x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为.12.(5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{an}的前n项和最大.13.(5分)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.14.(5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f(),则f(x)的最小正周期为.三、解答题(共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15.(13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.16.(13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立);场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX与的大小(只需写出结论).17.(14分)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P ﹣ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH 的长.18.(13分)已知函数f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0,](1)求证:f(x)≤0;(2)若a<<b对x∈(0,)上恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.(14分)已知椭圆C:x2+2y2=4,(1)求椭圆C的离心率(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.20.(13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk﹣1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk﹣1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数,(Ⅰ)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小;(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值(只需写出结论).高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)参考答案与试题解析(5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x﹣1)2C.y=2﹣xD.y=log0.5(x+1)【分析】根据基本初等函数的单调性,判断各个选项中函数的单调性,从而得出结论. 【解答】解:由于函数y=在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件,由于函数y=(x﹣1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=2﹣x在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=log0.5(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件,故选:A.【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断,基本初等函数的单调性,属于基础题.一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)2.(5分)已知集合A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}【分析】解出集合A,再由交的定义求出两集合的交集.【解答】解:∵A={x|x2﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2}故选:C.【点评】本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.3.(5分)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上【分析】曲线(θ为参数)表示圆,对称中心为圆心,可得结论.【解答】解:曲线(θ为参数)表示圆,圆心为(﹣1,2),在直线y=﹣2x 上,故选:B.【点评】本题考查圆的参数方程,考查圆的对称性,属于基础题.4.(5分)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S的值为()A.7B.42C.210D.840【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值,根据条件确定跳出循环的k值,计算输出S的【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=7×6×…×k的值,当m=7,n=3时,m﹣n+1=7﹣3+1=5,∴跳出循环的k值为4,∴输出S=7×6×5=210.故选:C.【点评】本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.5.(5分)设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【解答】解:等比数列﹣1,﹣2,﹣4,…,满足公比q=2>1,但{an}不是递增数列,充分性不成立.若an=﹣1为递增数列,但q=>1不成立,即必要性不成立,故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件,故选:D.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质,利用特殊值法是解决本题的关键.6.(5分)若x,y满足,且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为()A.2B.﹣2C.D.﹣【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解,k<0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 【解答】解:对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,故由约束条件作出可行域如图,当y=0,由kx﹣y+2=0,得x=,∴B(﹣).由z=y﹣x得y=x+z.由图可知,当直线y=x+z过B(﹣)时直线在y轴上的截距最小,即z最小.此时,解得:k=﹣.故选:D.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.7.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.【解答】解:设A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),则各个面上的射影分别为A',B',C',D',在xOy坐标平面上的正投影A'(2,0,0),B'(2,2,0),C'(0,2,0),D'(1,1,0),S1=.在yOz坐标平面上的正投影A'(0,0,0),B'(0,2,0),C'(0,2,0),D'(0,1,),S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'(2,0,0),B'(2,0,0),C'(0,0,0),D'(0,1,),S3=,则S3=S2且S3≠S1,故选:D.【点评】本题主要考查空间坐标系的应用,求出点对于的投影坐标是解决本题的关键.8.(5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文成绩得A,B,C的学生各最多只有1个,继而推得学生的人数.【解答】解:用ABC分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得A的学生最多只有1个,语文成绩得B得也最多只有一个,得C最多只有一个,因此学生最多只有3人,显然(AC)(BB)(CA)满足条件,故学生最多有3个.故选:B.【点评】本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)复数()2= ﹣1 .【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部,然后由虚数单位i的运算性质得答案. 【解答】解:()2=.故答案为:﹣1.【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.10.(5分)已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|=. 【分析】设=(x,y).由于向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),可得,解出即可.【解答】解:设=(x,y).∵向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),∴=λ(x,y)+(2,1)=(λx+2,λy+1),∴,化为λ2=5.解得.故答案为:.【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法,属于基础题.11.(5分)设双曲线C经过点(2,2),且与﹣x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为 y=±2x .【分析】利用双曲线渐近线之间的关系,利用待定系数法即可得到结论.【解答】解:与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m,(m≠0),∵双曲线C经过点(2,2),∴m=,即双曲线方程为﹣x2=﹣3,即,对应的渐近线方程为y=±2x,故答案为:,y=±2x.【点评】本题主要考查双曲线的性质,利用渐近线之间的关系,利用待定系数法是解决本题的关键,比较基础.12.(5分)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n= 8 时,{an}的前n项和最大.【分析】可得等差数列{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数,进而可得结论.【解答】解:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0,又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0,∴等差数列{an}的前8项为正数,从第9项开始为负数,∴等差数列{an}的前8项和最大,故答案为:8.【点评】本题考查等差数列的性质和单调性,属中档题.13.(5分)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有 36 种.【分析】分3步进行分析:①用捆绑法分析A、B,②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况,即将ABC看成一个元素,与其他产品全排列,③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.【解答】解:先考虑产品A与B相邻,把A、B作为一个元素有种方法,而A、B可交换位置,所以有2=48种摆法,又当A、B相邻又满足A、C相邻,有2=12种摆法,故满足条件的摆法有48﹣12=36种.故答案为:36.【点评】本题考查分步计数原理的应用,要优先分析受到限制的元素,如本题的A、B、C.14.(5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f(),则f(x)的最小正周期为π .【分析】由f()=f()求出函数的一条对称轴,结合f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=﹣f()可得函数的半周期,则周期可求.【解答】解:由f()=f(),可知函数f(x)的一条对称轴为x=,则x=离最近对称轴距离为.又f()=﹣f(),则f(x)有对称中心(,0),由于f(x)在区间[,]上具有单调性,则≤T⇒T≥,从而=⇒T=π.故答案为:π.【点评】本题考查f(x)=Asin(ωx+φ)型图象的形状,考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力,是中档题.三、解答题(共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15.(13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.【分析】根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【解答】解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADC=,∴sin∠ADC====,则sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)=sin∠ADC•cosB﹣cos∠A DC•sinB=×﹣=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD==,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49,即AC=7.【点评】本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.16.(13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立);场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX与的大小(只需写出结论).【分析】(1)根据概率公式,找到李明在该场比赛中超过0.6的场次,计算即可,(2)根据互斥事件的概率公式,计算即可.(3)求出平均数和EX,比较即可.【解答】解:(1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A,由题意知,李明在该场比赛中超过0.6的场次有:主场2,主场3,主场5,客场2,客场4,共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P(A)=,(2)设李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为事件B,同理可知,李明主场命中率超过0.6的概率,客场命中率超过0.6的概率,故P(B)=P1×(1﹣P2)+P2×(1﹣P1)=;(3)=(12+8+12+12+8+7+8+15+20+12)=11.4EX=【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望,平均数,互斥事件的概率,属于中档题.17.(14分)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P﹣ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH 的长.【分析】(1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE为正方形,建立如图的空间直角坐标系Axyz,分别求出A,B,C,E,P,F,及向量BC的坐标,设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),求出一个值,设直线BC与平面ABF所成的角为α,运用sinα=|cos|,求出角α;设H(u,v,w),再设,用λ表示H的坐标,再由n=0,求出λ和H的坐标,再运用空间两点的距离公式求出PH的长.【解答】(1)证明:在正方形AMDE中,∵B是AM的中点,∴AB∥DE,又∵AB⊄平面PDE,∴AB∥平面PDE,∵AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,∴AB∥FG;(2)解:∵PA⊥底面ABCDE,∴PA⊥AB,PA⊥AE,如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1),,设平面ABF的法向量为=(x,y,z),则即,令z=1,则y=﹣1,∴=(0,﹣1,1),设直线BC与平面ABF所成的角为α,则sinα=|cos<,>|=||=,∴直线BC与平面ABF所成的角为,设H(u,v,w),∵H在棱PC上,∴可设,即(u,v,w﹣2)=λ(2,1,﹣2),∴u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵是平面ABF的法向量,∴=0,即(0,﹣1,1)•(2λ,λ,2﹣2λ)=0,解得λ=,∴H(),∴PH==2.【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面平行、垂直的判定和性质,同时考查直线与平面所成的角的求法,考查运用空间直角坐标系求角和距离,是一道综合题.18.(13分)已知函数f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0,](1)求证:f(x)≤0;(2)若a<<b对x∈(0,)上恒成立,求a的最大值与b的最小值.【分析】(1)求出f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,判定出在区间∈(0,)上f′(x)=﹣xsinx<0,得f(x)在区间∈[0,]上单调递减,从而f(x)≤f(0)=0.(2)当x>0时,“>a”等价于“sinx﹣ax>0”,“<b”等价于“sinx﹣bx<0”构造函数g(x)=sinx﹣cx,通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值,进一步求出a,b的最值.【解答】解:(1)由f(x)=xcosx﹣sinx得f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,此在区间∈(0,)上f′(x)=﹣xsinx<0,所以f(x)在区间∈[0,]上单调递减,从而f(x)≤f(0)=0.(2)当x>0时,“>a”等价于“sinx﹣ax>0”,“<b”等价于“sinx﹣bx<0”令g(x)=sinx﹣cx,则g′(x)=cosx﹣c,当c≤0时,g(x)>0对x∈(0,)上恒成立,当c≥1时,因为对任意x∈(0,),g′(x)=cosx﹣c<0,所以g(x)在区间[0,]上单调递减,从而,g(x)<g(0)=0对任意x∈(0,)恒成立,当0<c<1时,存在唯一的x0∈(0,)使得g′(x0)=cosx0﹣c=0,g(x)与g′(x)在区间(0,)上的情况如下:x (0,x0) x0 (x0,)g′(x)+ ﹣g(x)↑↓因为g(x)在区间(0,x0)上是增函数,所以g(x0)>g(0)=0进一步g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立,当且仅当综上所述当且仅当时,g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立,当且仅当c≥1时,g(x)<0对任意x∈(0,)恒成立,所以若a<<b对x∈(0,)上恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的最值;考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题,属于一道综合题.20.(13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk﹣1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk﹣1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk﹣1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数,(Ⅰ)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小;(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值(只需写出结论).【分析】(Ⅰ)利用T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk﹣1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),可求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b},分类讨论,利用新定义,可比较T2(P)和T2(P′)的大小;(Ⅲ)根据新定义,可得结论.【解答】解:(Ⅰ)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8;(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b,∵a+b+d≤c+d+b,且a+c+d≤c+b+d,∴T2(P)≤T2(P′);当m=d时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b,∵a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+d,∴T2(P)≤T2(P′);∴无论m=a和m=d,T2(P)≤T2(P′);(Ⅲ)数对(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2),T5(P)最小;T1(P)=10,T2(P)=26;T3(P)42,T4(P)=50,T5(P)=52.【点评】本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确理解与运用新定义是解题的关键.19.(14分)已知椭圆C:x2+2y2=4,(1)求椭圆C的离心率(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.【分析】(1)化椭圆方程为标准式,求出半长轴和短半轴,结合隐含条件求出半焦距,则椭圆的离心率可求;(2)设出点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0,由OA⊥OB得到,用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示,然后分A,B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程,然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切.【解答】解:(1)由x2+2y2=4,得椭圆C的标准方程为.∴a2=4,b2=2,从而c2=a2﹣b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=;(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OA⊥OB,∴,即tx0+2y0=0,解得.当x0=t时,,代入椭圆C的方程,得.故直线AB的方程为x=,圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为,即(y0﹣2)x﹣(x0﹣t)y+2x0﹣ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又,t=.故=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,考查了圆与圆锥曲线的综合,训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系,体现了分类讨论的数学思想方法,考查了计算能力和逻辑思维能力,是压轴题.1.定积分⎠⎛-22f(x)dx(f(x)>0)的积分区间是( ) A .[-2,2] B .[0,2] C .[-2,0]D .不确定解析:选A 由定积分的概念得定积分⎠⎛2-2f(x)dx 的积分区间是[-2,2]. 2.定积分⎠⎛13(-3)dx 等于( ) A .-6 B .6 C .-3D .3解析:选A 由定积分的几何意义知,⎠⎛13(-3)dx 表示由x =1,x =3,y =0及y =-3所围成的矩形面积的相反数,故⎠⎛13(-3)dx =-6.3.下列命题不正确的是( )A .若f(x)是连续的奇函数,则⎠⎛a -a f(x)dx =0B .若f(x)是连续的偶函数,则⎠⎛a -a f(x)dx =2⎠⎛0a f(x)dxC .若f(x)在[a ,b]上连续且恒正,则⎠⎛a bf(x)dx >0D .若f(x)在[a ,b]上连续且⎠⎛a b f(x)dx >0,则f(x)在[a ,b]上恒正解析:选D A 项,因为f(x)是奇函数,图象关于原点对称,所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等,故积分是0,所以A 项正确;B 项,因为f(x)是偶函数,图象关于y 轴对称,故y 轴两侧的图象都在x 轴上方或下方且面积相等,故B 项正确;由定积分的几何意义知,C 项显然正确;D 项,f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.4.设f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x2,x ≥0,2x ,x<0,则⎠⎛1-1f(x)dx 的值是( )A.⎠⎛-11x2dxB.⎠⎛-112xdxC.⎠⎛-11x2dx +⎠⎛1-12xdxD.⎠⎛-102xdx +⎠⎛10x2dx解析:选D 由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D 正确,故应选D.5.下列各阴影部分的面积S 不可以用S =⎠⎛a b[f(x)-g(x)]dx 求出的是( )解析:选D 定积分S =⎠⎛a b[f(x)-g(x)]dx 的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方.对照各选项可知,D 项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方.故选D.6.若⎠⎛a b f(x)dx =3,⎠⎛a b g(x)dx =2,则⎠⎛a b [f(x)+g(x)]dx =__________. 解析:⎠⎛a b [f(x)+g(x)]dx =⎠⎛a b f(x)dx +⎠⎛a b g(x)dx =3+2=5. 答案:57.若⎠⎛a b f(x)dx =1,⎠⎛a b g(x)dx =-3,则⎠⎛a b [2f(x)+g(x)]dx =_______. 解析:⎠⎛a b [2f(x)+g(x)]dx =2⎠⎛a b f(x)dx +⎠⎛a b g(x)dx =2×1-3=-1. 答案:-18.计算:⎠⎛0416-x2dx =____________.解析:⎠⎛0416-x2dx 表示以原点为圆心,半径为4的14圆的面积,∴⎠⎛0416-x2dx =14π·42=4π. 答案:4π9.化简下列各式,并画出各题所表示的图形的面积. (1)⎠⎛-3-2 x2dx +⎠⎛1-2x2dx ; (2)⎠⎛01(1-x)dx +⎠⎛12(x -1)dx.解:(1)原式=⎠⎛-31x2dx ,如图(1)所示.(2)⎠⎛01(1-x)dx +⎠⎛12(x -1)dx =⎠⎛02|1-x|dx ,如图(2)所示.10.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ x5,x ∈[-1,1],x ,x ∈[1,π,sin x ,x ∈[π,3π],求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分.解:由定积分的几何意义知:∵f(x)=x5是奇函数,故⎠⎛1-1x5dx =0;⎠⎛π3πsin xdx =0(如图(1)所示);⎠⎛1πxdx =12(1+π)(π-1)=12(π2-1)(如图(2)所示).∴⎠⎛-13πf(x)dx =⎠⎛-11x5dx +⎠⎛1πxdx +⎠⎛-π3πsin xdx=⎠⎛1πxdx =12(π2-1).层级二应试能力达标1.设f(x)是[a,b]上的连续函数,则⎠⎛a b f(x)dx-⎠⎛a b f(t)dt的值( )A.小于零B.等于零C.大于零D.不能确定解析:选B ⎠⎛a b f(x)dx和⎠⎛a b f(t)dt都表示曲线y=f(x)与x=a,x=b及y=0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.2.(陕西高考)如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )A.⎠⎛02(x2-1)dxB.⎠⎛01(x2-1)dxC.⎠⎛02|x2-1|dxD.⎠⎛01(x2-1)dx+⎠⎛12(x2-1)dx解析:选C 由定积分的几何意义和性质可得:图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S =⎠⎛01(1-x2)dx+⎠⎛12(x2-1)dx=⎠⎛02|x2-1|dx,故选C.3.设a=⎠⎛01x 13dx,b=⎠⎛01x2dx,c=⎠⎛01x3dx,则a,b,c的大小关系是( )A.c>a>b B.a>b>c C.a=b>c D.a>c>b解析:选B 根据定积分的几何意义,易知⎠⎛01x3dx<⎠⎛01x2dx<⎠⎛01x 13dx,即a>b>c,故选B.4.已知t>0,若⎠⎛0t(2x-2)dx=8,则t=( )A.1 B.-2C.-2或4 D.4解析:选 D 作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,∵⎠⎛0t (2x -2)dx =8,且⎠⎛01(2x -2)dx =-1,∴t>1,∴S △AEF =12|AE||EF|=12×(t -1)(2t -2)=(t -1)2=9,∴t =4,故选D. 5.定积分⎠⎛01(2+1-x2)dx =________.解析:原式=⎠⎛012dx +⎠⎛011-x2dx.因为⎠⎛012dx =2,⎠⎛011-x2dx =π4, 所以⎠⎛01(2+1-x2)dx =2+π4.答案:2+π46.已知f(x)是一次函数,其图象过点(3,4)且⎠⎛01f(x)dx =1,则f(x)的解析式为______.解析:设f(x)=ax +b(a ≠0),∵f(x)图象过(3,4)点,∴3a +b =4.又⎠⎛01f(x)dx =⎠⎛01(ax +b)dx =a ⎠⎛01xdx +⎠⎛01bdx =12a +b =1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a +b =4,12a +b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =65,b =25.∴f(x)=65x +25. 答案:f(x)=65x +25 7.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程.解:依题意,汽车的速度v 与时间t 的函数关系式为v(t)=⎩⎪⎨⎪⎧ 32t ,0≤t<20,50-t ,20≤t<40,10,40≤t ≤60.所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s =∫600v(t)dt =∫20032tdt +⎠⎛2040(50-t)dt +⎠⎛406010dt =300+400+200=900(米).8.求证:12<⎠⎛01xdx <1. 证明:如图,⎠⎛01xdx 表示阴影部分面积,△OAB 的面积是12,正方形OABC 的面积是1,显然,△OAB 的面积<阴影部分面积<正方形OABC 的面积,即12<⎠⎛01xdx <1.。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战32823
学生签字:教学主任审批:华实教育一对一个性化学案教师:肖传略学生:日期: 年月日时间:§教学内容:高考解答题-数列◆教学目标:数列求和及综合应用的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法◆重难点:数列求和及综合应用的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法◆教学步骤及内容:一、可转化为等差、等比数列的求和问题考情聚焦:1.可转化为等差或等比数列的求和问题,已经成为高考考查的重点内容之一。
2.该类问题出题背景选择面广,易与函数方程、递推数列等知识综合,在知识交汇点处命题。
3.多以解答题的形式出现,属于中、高档题目。
解题技巧:某些递推数列可转化为等差、等比数列解决,其转化途径有: 1.凑配、消项变换——如将递推公式(q 、d 为常数,q≠0,≠1)。
通过凑配变成;或消常数转化为2.倒数变换—如将递推公式(c 、d 为非零常数)取倒数得3.对数变换——如将递推公式取对数得4.换元变换——如将递推公式(q 、d 为非零常数,q≠1,d≠1)变换成,令,则转化为的形式。
例1:数列{n a } 中a =13,前n 项和n S 满足1n S +n S =113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N ).( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 以及前n 项和n S ;(II )若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数t 的值。
【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数方程思想、化归转化思想。
【思路点拨】第一步先求n a 的通项,可知n a 为等比数列,利用等比数列的前n 项和求解出n S ;第二步利用等差中项列出方程求出t 二、错位相减法求和考情聚焦:1.错位相减法求和,是高中数学中重要的数列求和方法,是近年来高考的重点考查内容。
2.该类问题背景选择面广,可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合,在知识交汇点处命题。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战16989
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集{1,2,3,4}U =,集合{1,2}A =,那么集合UA 为(A ){3}(B ){3,4}(C ){1,2}(D ){2,3}(2)“1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的(A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件(3)已知ABCD 为平行四边形,若向量AB =a ,AC =b ,则向量BC 为(A )-a b (B )a +b (C )-b a (D )--a b(4)执行如图所示的程序框图,输出的结果是56, 则判断框内应填入的条件是 (A )5?n ≤ (B )5?n < (C )5?n > (D )5?n ≥(5)已知一个几何体的三视图如图所示(单位:cm), 那么这个几何体的侧面积是(A )2(1+2)cm (B )2(3+2)cm(C )2(4+2)cm (D )2(5+2)cm(6)已知点(2,1)A ,抛物线24y x =的焦点是F ,若抛物线上存在一点P ,使得PA PF +最小,则P 点的坐标为(A )(2,1)(B )(1,1)(C )1(,1)2(D )1(,1)4(7)对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系如下表:x1 2 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列n 满足1,且对任意,点1+n n 都在函数)(x f 的图象上,则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为(A )9394(B )9380(C )9396(D )9400(8)已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-,且当3x ≥-时,()23xf x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -(k ∈Z )上有零点,则k 的值为(A )2或7- (B )2或8- (C )1或7- (D )1或8-第Ⅱ卷(共110分) 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战29650
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列2.(5分)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.44.(5分)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>6.(5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.728.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.39.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.16810.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B=.12.(5分)函数f(x)=log2•log(2x)的最小值为.13.(5分)已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=.三、选做题:考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值;(Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长;(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.22.(12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*)(Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(13)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质,对四个选项中的数进行验证即可.【解答】解:A项中a3=a1•q2,a1•a9=•q8,(a3)2≠a1•a9,故A项说法错误,B项中(a3)2=(a1•q2)2≠a2•a6=•q6,故B项说法错误,C项中(a4)2=(a1•q3)2≠a2•a8=•q8,故C项说法错误,D项中(a6)2=(a1•q5)2=a3•a9=•q10,故D项说法正确,故选:D.【点评】本题主要考查了是等比数列的性质.主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断.2.(5分)在复平面内复数Z=i(1﹣2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则,我们可以将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,分析实部和虚部的符号,即可得到答案.【解答】解:∵复数Z=i(1﹣2i)=2+i∵复数Z的实部2>0,虚部1>0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选:A.【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义,其中根据复数乘法的运算法则,将复数Z化为a=bi(a,b∈R)的形式,是解答本题的关键.3.(5分)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3B.=2x﹣2.4C.=﹣2x+9.5D.=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解:∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D;样本平均数=3,=3.5,代入A符合,B不符合,故选:A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.4.(5分)已知向量=(k,3),=(1,4),=(2,1)且(2﹣3)⊥,则实数k=()A.﹣B.0C.3D.【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直关系,写出两个向量的数量积等于0,得到关于k的方程,解方程即可.【解答】解:∵=(k,3),=(1,4),=(2,1)∴2﹣3=(2k﹣3,﹣6),∵(2﹣3)⊥,∴(2﹣3)•=0'∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0,解得,k=3.故选:C.【点评】本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式,注意数字的运算不要出错.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是()A.s>B.s>C.s>D.s>【分析】程序运行的S=××…×,根据输出k的值,确定S的值,从而可得判断框的条件.【解答】解:由程序框图知:程序运行的S=××…×,∵输出的k=6,∴S=××=,∴判断框的条件是S>,故选:C.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键.6.(5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q【分析】由命题p,找到x的范围是x∈R,判断p为真命题.而q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件是假命题,然后根据复合命题的判断方法解答.【解答】解:因为命题p对任意x∈R,总有2x>0,根据指数函数的性质判断是真命题;命题q:“x>1”不能推出“x>2”;但是“x>2”能推出“x>1”所以:“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q是假命题;所以p∧¬q为真命题;故选:D.【点评】判断复合命题的真假,要先判断每一个命题的真假,然后做出判断.7.(5分)某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A.54B.60C.66D.72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥,根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据,把数据代入面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥,如图:三棱柱的高为5,消去的三棱锥的高为3,三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形,∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60.故选:B.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.8.(5分)设F1,F2分别为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x,由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,结合条件可得a=b,从而c==b,即可求出双曲线的离心率.【解答】解:不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a,|PF2|=ex﹣a,∵|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|•|PF2|=ab,∴2ex=3b,(ex)2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab,即9b2﹣4a2﹣9ab=0,∴(3b﹣4a)(3b+a)=0∴a=b,∴c==b,∴e==.故选:B.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于中档题.9.(5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【分析】根据题意,分2步进行分析:①、先将3个歌舞类节目全排列,②、因为3个歌舞类节目不能相邻,则分2种情况讨论中间2个空位安排情况,由分步计数原理计算每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:分2步进行分析:1、先将3个歌舞类节目全排列,有A33=6种情况,排好后,有4个空位,2、因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在2端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种;②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2种情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种;则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选:B.【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算或分类简便.10.(5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,在下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式,利用不等式的性质进行证明即可得到结论. 【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+,∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+,∴sin2A+sin2B+sin2C=,∴2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B﹣C)=,2sinA(cos(B﹣C)﹣cos(B+C))=,化为2sinA[﹣2sinBsin(﹣C)]=,∴sinAsinBsinC=.设外接圆的半径为R,由正弦定理可得:=2R,由S=,及正弦定理得sinAsinBsinC==,即R2=4S,∵面积S满足1≤S≤2,∴4≤R2≤8,即2≤R≤,由sinAsinBsinC=可得,显然选项C,D不一定正确,A.bc(b+c)>abc≥8,即bc(b+c)>8,正确,B.ab(a+b)>abc≥8,即ab(a+b)>8,但ab(a+b)>16,不一定正确,故选:A.【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上.11.(5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B={7,9}.【分析】由条件利用补集的定义求得∁UA,再根据两个集合的交集的定义求得(∁UA)∩B.【解答】解:∵全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},∴(∁UA)={4,6,7,9 },∴(∁UA)∩B={7,9},故答案为:{7,9}.【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集,两个集合的交集的定义和求法,属于基础题.12.(5分)函数f(x)=log2•log(2x)的最小值为.【分析】利用对数的运算性质可得f(x)=,即可求得f(x)最小值. 【解答】解:∵f(x)=log2•log(2x)∴f(x)=log()•log(2x)=log x•log(2x)=log x(log x+log2)=log x(log x+2)=,∴当log x+1=0即x=时,函数f(x)的最小值是.故答案为:﹣【点评】本题考查对数不等式的解法,考查等价转化思想与方程思想的综合应用,考查二次函数的配方法,属于中档题.13.(5分)已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆(x﹣1)2+(y﹣a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=4±.【分析】根据圆的标准方程,求出圆心和半径,根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【解答】解:圆心C(1,a),半径r=2,∵△ABC为等边三角形,∴圆心C到直线AB的距离d=,即d=,平方得a2﹣8a+1=0,解得a=4±,故答案为:4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用,利用条件求出圆心和半径,结合距离公式是解决本题的关键.三、选做题:考生注意(14)(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分14.(5分)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B、C,若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=4.【分析】由题意,∠PAB=∠C,可得△PAB∽△PCA,从而,代入数据可得结论.【解答】解:由题意,∠PAB=∠C,∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,∴,∵PA=6,AC=8,BC=9,∴,∴PB=3,AB=4,故答案为:4.【点评】本题考查圆的切线的性质,考查三角形相似的判断,属于基础题.15.(5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=.【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,联立求出公共点的坐标,即可求出极径.【解答】解:直线l的参数方程为,普通方程为y=x+1,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x,直线l与曲线C联立可得(x﹣1)2=0,∴x=1,y=2,∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ==.故答案为:.【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程,考查学生的计算能力,属于中档题.16.若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是[﹣1,].【分析】利用绝对值的几何意义,确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值,然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可.【解答】解:|2x﹣1|+|x+2|=,∴x=时,|2x﹣1|+|x+2|的最小值为,∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,∴a2+a+2≤,∴a2+a﹣≤0,∴﹣1≤a≤,∴实数a的取值范围是[﹣1,].故答案为:[﹣1,].【点评】本题考查绝对值不等式的解法,突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题,属于中档题.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(Ⅰ)求ω和φ的值;(Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值.【分析】(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π 求得ω=2.再根据图象关于直线x=对称,结合﹣≤φ<可得φ 的值.(Ⅱ)由条件求得sin(α﹣)=.再根据α﹣的范围求得cos(α﹣)的值,再根据cos(α+)=sinα=sin[(α﹣)+],利用两角和的正弦公式计算求得结果.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得函数f(x)的最小正周期为π,∴=π,∴ω=2.再根据图象关于直线x=对称,可得 2×+φ=kπ+,k∈z.结合﹣≤φ<可得φ=﹣.(Ⅱ)∵f()=(<α<),∴sin(α﹣)=,∴sin(α﹣)=.再根据 0<α﹣<,∴cos(α﹣)==,∴cos(α+)=sinα=sin[(α﹣)+]=sin(α﹣)cos+cos(α﹣)sin=+=.【点评】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,两角和差的三角公式、的应用,属于中档题.18.(13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)【分析】第一问是古典概型的问题,要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数,然后代入古典概型概率计算公式即可,相对简单些;第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值,此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字(如1或2)或不同数字(1和2、1和3、2和3三类)的卡片,因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析,然后计算出每个随机变量所对应事件的概率,最后将分布列以表格形式呈现.【解答】解:(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=,(Ⅱ)由题意知X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以X的分布列为:X 1 2 3P所以E(X)=.【点评】本题属于中档题,关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问;第二问的只要是准确记住了中位数的概念,应该说完成此题基本没有问题. 19.(13分)如图,四棱锥P﹣ABCD,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上的一点,且BM=,MP⊥AP.(Ⅰ)求PO的长;(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【分析】(Ⅰ)连接AC,BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz,分别求出向量,的坐标,进而根据MP⊥AP,得到•=0,进而求出PO的长;(Ⅱ)求出平面APM和平面PMC的法向量,代入向量夹角公式,求出二面角的余弦值,进而根据平方关系可得:二面角A﹣PM﹣C的正弦值.【解答】解:(Ⅰ)连接AC,BD,∵底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,故AC∩BD=O,且AC⊥BD,以O为坐标原点,OA,OB,OP方向为x,y,z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz,∵AB=2,∠BAD=,∴OA=AB•cos(∠BAD)=,OB=AB•sin(∠BAD)=1,∴O(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(﹣,0,0),=(0,1,0),=(﹣,﹣1,0),又∵BM=,∴=(﹣,﹣,0),则=+=(﹣,,0),设P(0,0,a),则=(﹣,0,a),=(,﹣,a),∵MP⊥AP,∴•=﹣a2=0,解得a=,即PO的长为.(Ⅱ)由(Ⅰ)知=(﹣,0,),=(,﹣,),=(,0,),设平面APM的法向量=(x,y,z),平面PMC的法向量为=(a,b,c),由,得,令x=1,则=(1,,2),由,得,令a=1,则=(1,﹣,﹣2),∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足:cosθ===﹣故sinθ==【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角,建立空间坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,是解答的关键.20.(12分)已知函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c.(Ⅰ)确定a,b的值;(Ⅱ)若c=3,判断f(x)的单调性;(Ⅲ)若f(x)有极值,求c的取值范围.【分析】(Ⅰ)根据函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数f′(x)为偶函数,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c,构造关于a,b的方程,可得a,b的值;(Ⅱ)将c=3代入,利用基本不等式可得f′(x)≥0恒成立,进而可得f(x)在定义域R为均增函数;(Ⅲ)结合基本不等式,分c≤4时和c>4时两种情况讨论f(x)极值的存在性,最后综合讨论结果,可得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)∴f′(x)=2ae2x+2be﹣2x﹣c,由f′(x)为偶函数,可得2(a﹣b)(e2x﹣e﹣2x)=0,即a=b,又∵曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4﹣c,即f′(0)=2a+2b﹣c=4﹣c,故a=b=1;(Ⅱ)当c=3时,f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1>0恒成立,故f(x)在定义域R为均增函数;(Ⅲ)由(Ⅰ)得f′(x)=2e2x+2e﹣2x﹣c,而2e2x+2e﹣2x≥2=4,当且仅当x=0时取等号,当c≤4时,f′(x)≥0恒成立,故f(x)无极值;当c>4时,令t=e2x,方程2t+﹣c=0的两根均为正,即f′(x)=0有两个根x1,x2,当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,当x∈(﹣∞,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)>0,故当x=x1,或x=x2时,f(x)有极值,综上,若f(x)有极值,c的取值范围为(4,+∞).【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,是导数的综合应用,难度中档.22.(12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*)(Ⅰ)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若b=﹣1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立,证明你的结论.【分析】(Ⅰ)若b=1,利用an+1=+b,可求a2,a3;证明{(an﹣1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,即可求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设f(x)=,则an+1=f(an),令c=f(c),即c=﹣1,解得c=.用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1即可.【解答】解:(Ⅰ)∵a1=1,an+1=+b,b=1,∴a2=2,a3=+1;又(an+1﹣1)2=(an﹣1)2+1,∴{(an﹣1)2}是首项为0,公差为1的等差数列;∴(an﹣1)2=n﹣1,∴an=+1(n∈N*);(Ⅱ)设f(x)=,则an+1=f(an),令c=f(c),即c=﹣1,解得c=.下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n+1<1.n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=﹣1,∴a2<c<a3<1,成立;设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1∵f(x)在(﹣∞,1]上为减函数,∴c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,∴1>c>a2k+2>a2,∴c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1,∴c<a2k+3<1,∴a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1,即n=k+1时结论成立,综上,c=使得a2n<c<a2n+1对所有的n∈N*成立.【点评】本题考查数列递推式,考查数列的通项,考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,难度大.21.(12分)如图,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上.DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.【分析】(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),依题意,可求得c=1,易求得|DF1|==,|DF2|=,从而可得2a=2,于是可求得椭圆的标准方程;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,依题意,利用圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由F1P1⊥F2P2,得x1=﹣或x1=0,分类讨论即可求得圆的半径.【解答】解:(Ⅰ)设F1(﹣c,0),F2(c,0),其中c2=a2﹣b2,由=2,得|DF1|==c,从而=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2,得=+=,因此|DF2|=,所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2﹣c2=1,因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1;(Ⅱ)设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,由圆和椭圆的对称性,易知x2=﹣x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|,由(Ⅰ)知F1(﹣1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(﹣x1﹣1,y1),再由F1P1⊥F2P2,得﹣+=0,由椭圆方程得1﹣=,即3+4x1=0,解得x1=﹣或x1=0.当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在;当x1=﹣时,过P1,P2,分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2,又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用,考查综合分析与运算能力,属于难题.姓名:__________班级:__________考号:__________一 、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战30983
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)1.【高考天津,理3】阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( ) (A )10- (B )6 (C )14 (D )18否是开始结束输出【答案】B【解析】模拟法:输入20,1S i ==;21,20218,25i S =⨯=-=>不成立; 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立输出6,故选B.2. 【改编题】行下图所示的程序框图,则输出的S 为( )A .10B .12C .20D .30【答案】C3. 某程序框图如右图所示,当输出y 值为8-时,则输出x 的值为( ) A. 64 B. 32 C. 16 D.8开始4?n >否是1,0n S ==结束S输出2S S n=+1n n =+【答案】C4.【改编题】如图所示的程序框图,输出S 的值是20161,则判断框内应填( ) A. 2015?n < B. 2014?n ≤ C. 2016?n ≤ D. 2015?n ≤【答案】D5. 【高考湖南卷第6题】执行如图1所示的程序框图,如果输入的]2,2[-∈t ,则输出的S 属于( ) A.]2,6[-- B.]1,5[-- C.]5,4[- D.]6,3[-【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下,(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-, 当[]0,2t ∈时,[]33,1S t =-∈--,则(][][]2,63,13,6S ∈---=-,故选D.6.【改编题】执行如图所示的程序框图,输出结果是i =1209x dx ⎰.若{}01,2,3a ∈,则0a 所有可能的取值为( )A .1,2,3B .1C .2D .2,3【答案】D7. 【山东高考理第11题改编】 执行右面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C8.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为56,则判断框中应填入的条件是( )A.4i <B.5i <C. 5i ≥D. 6i < 【答案】D .9. 【郑州市高中毕业年级第一次质量预测试题】执行如图的程序框图,若输出的78S =,则输入的整数P 的值为( ).A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】∵23111702228S =+++=,此时3n =,必须使?n p <否时,输出S ,所以3p =.故选C. 10. 【原创题】如图是一个算法的流程图.若输入x 的值为3,则输出y 的值是( )A .12B .12-C .32-D .3- 【答案】C11. 【高考湖北卷第13题】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ,按从大到小排成的三位数记为()D a (例如815a =,则()158I a =,()851D a =).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a ,输出的结果b =( ).A.495B.594C.693D.815【答案】A12. 【原创题】执行如图所示的程序框图,输出的a值为______.A.12B.3C.2-D.13-【答案】C二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.) 13. 如图,是一程序框图,则输出结果为K =,S =.(说明,M N =是赋值语句,也可以写成M N ←,或:M N = 【答案】49,33【解析】运行成句如下0,1113,035151125,1557212137,2179273149,2791133S k k S k S k S k S ====+===+===+===+=故填4 9, 3314. 下图是一个算法的程序框图,最后输出的W=_______.【答案】22.15. 【高考四川卷文第6题】执行如图1所示的程序框图,如果输入的,x y R∈,则输出的S的最大值为_________【答案】2xy–112–1–2–3–412O16. 【高考山东卷第11题】执行右面的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为.【答案】317. 【黄冈市重点中学第二学期高三三月月考】若下框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于整数k 的条件是 _______________【答案】8k >(或9k ≥ )18. 【湖北八校高三第二次联考数学试题】定义某种运算⊗,b a S ⊗=的运算原理如图所示.设)3()0()(x x x x f ⊗-⊗=.则=)3(f ______;()f x 在区间[]3,3-上的最小值为______【答案】3;12高考模拟复习试卷试题模拟卷一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}3.(5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.(5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位5.(5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.2106.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>97.(5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()A. B. C. D.8.(5分)记max{x,y}=,min{x,y}=,设,为平面向量,则()A.min{|+|,|﹣|}≤min{||,||}B.min{|+|,|﹣|}≥min{||,||}C.max{|+|2,|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2,|﹣|2}≥||2+||29.(5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)10.(5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),,,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是.12.(4分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.13.(4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.14.(4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).15.(4分)设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.16.(4分)设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.17.(4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)三、解答题18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.19.(14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.20.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣E的大小.21.(15分)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.22.(14分)已知函数f(x)=x3+3|x﹣a|(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(12)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共50分)1.(5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用复数的运算性质,分别判断“a=b=1”⇒“(a+bi)2=2i”与“a=b=1”⇐“(a+bi)2=2i”的真假,进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解:当“a=b=1”时,“(a+bi)2=(1+i)2=2i”成立,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分条件;当“(a+bi)2=a2﹣b2+2abi=2i”时,“a=b=1”或“a=b=﹣1”,故“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的不必要条件;综上所述,“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的充分不必要条件;故选:A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义,复数的运算,难度不大,属于基础题.2.(5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=()A.∅B.{2}C.{5}D.{2,5}【分析】先化简集合A,结合全集,求得∁UA.【解答】解:∵全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3},则∁UA={2},故选:B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题.3.(5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据,判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为3,底面是直角边长分别为3、4的直角三角形,四棱柱的高为6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为3和4,∴几何体的表面积S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138(cm2).故选:D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.4.(5分)为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=cos3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解:函数y=sin3x+cos3x=,故只需将函数y=cos3x的图象向右平移个单位,得到y==的图象.故选:C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查.5.(5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【分析】由题意依次求出x3y0,x2y1,x1y2,x0y3,项的系数,求和即可.【解答】解:(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0的系数是:=20.f(3,0)=20;含x2y1的系数是=60,f(2,1)=60;含x1y2的系数是=36,f(1,2)=36;含x0y3的系数是=4,f(0,3)=4;∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120.故选:C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.6.(5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.且0<f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9【分析】由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)列出方程组求出a,b,代入0<f(﹣1)≤3,即可求出c的范围.【解答】解:由f(﹣1)=f(﹣2)=f(﹣3)得,解得,则f(x)=x3+6x2+11x+c,由0<f(﹣1)≤3,得0<﹣1+6﹣11+c≤3,即6<c≤9,故选:C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题.7.(5分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x>0),g(x)=logax的图象可能是()A. B. C. D.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当0<a<1时和当a>1时两种情况,讨论函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象,比照后可得答案.【解答】解:当0<a<1时,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象为:此时答案D满足要求,当a>1时,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象为:无满足要求的答案,综上:故选D,故选:D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.8.(5分)记max{x,y}=,min{x,y}=,设,为平面向量,则()A.min{|+|,|﹣|}≤min{||,||}B.min{|+|,|﹣|}≥min{||,||}C.max{|+|2,|﹣|2}≤||2+||2D.max{|+|2,|﹣|2}≥||2+||2【分析】将,平移到同一起点,根据向量加减法的几何意义可知,+和﹣分别表示以,为邻边所做平行四边形的两条对角线,再根据选项内容逐一判断.【解答】解:对于选项A,取⊥,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立;对于选项B,取,是非零的相等向量,则不等式左边min{|+|,|﹣|}=0,显然,不等式不成立;对于选项C,取,是非零的相等向量,则不等式左边max{|+|2,|﹣|2}=|+|2=4,而不等式右边=||2+||2=2,故C不成立,D选项正确.故选:D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将,,,放在同一个平行四边形中进行比较判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法.9.(5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2).则()A.p1>p2,E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2,E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2,E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)<E(ξ2)【分析】首先,这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的,然后分两种情况:即当ξ=1时,有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放入甲盒;ξ=2时,则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红;最后利用概率公式及分布列知识求出P1,P2和E(ξ1),E(ξ2)进行比较即可.【解答】解析:,,,所以P1>P2;由已知ξ1的取值为1、2,ξ2的取值为1、2、3,所以,==,E(ξ1)﹣E(ξ2)=.故选:A.【点评】正确理解ξi(i=1,2)的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法,不妨令m=n=3,也可以很快求解.10.(5分)设函数f1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),,,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,k=1,2,3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1【分析】根据记Ik=|fk(a1)﹣fk(a0)|+|fk(a2)﹣fk(a1)丨+…+|fk(a99)﹣fk (a98)|,分别求出I1,I2,I3与1的关系,继而得到答案【解答】解:由,故==1,由,故×=×<1,+=,故I2<I1<I3,故选:B.【点评】本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与1的关系,属于难题.二、填空题11.(4分)在某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是 6 .【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件S>50,跳出循环体,确定输出的i 的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环S=1,i=2;第二次循环S=2×1+2=4,i=3;第三次循环S=2×4+3=11,i=4;第四次循环S=2×11+4=26,i=5;第五次循环S=2×26+5=57,i=6,满足条件S>50,跳出循环体,输出i=6.故答案为:6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.12.(4分)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)=,E(ξ)=1,则D(ξ)=.【分析】结合方差的计算公式可知,应先求出P(ξ=1),P(ξ=2),根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析:设P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得p+q=,,解得,,所以.故答案为:【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.(4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是[].【分析】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤4恒成立,结合可行域内特殊点A,B,C的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数a的取值范围.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得C(1,).联立,解得B(2,1).在x﹣y﹣1=0中取y=0得A(1,0).要使1≤ax+y≤4恒成立,则,解得:1.∴实数a的取值范围是.解法二:令z=ax+y,当a>0时,y=﹣ax+z,在B点取得最大值,A点取得最小值,可得,即1≤a≤;当a<0时,y=﹣ax+z,在C点取得最大值,①a<﹣1时,在B点取得最小值,可得,解得0≤a≤(不符合条件,舍去)②﹣1<a<0时,在A点取得最小值,可得,解得1≤a≤(不符合条件,舍去)综上所述即:1≤a≤;故答案为:.【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了不等式组得解法,是中档题.14.(4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有 60 种(用数字作答).【分析】分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有1人获得2张,1人获得1张.【解答】解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有=24种;一、二、三等奖,有1人获得2张,1人获得1张,共有=36种,共有24+36=60种.故答案为:60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.15.(4分)设函数f(x)=,若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是(﹣∞,].【分析】画出函数f(x)的图象,由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2,数形结合求得实数a的取值范围.【解答】解:∵函数f(x)=,它的图象如图所示:由 f(f(a))≤2,可得 f(a)≥﹣2.当a<0时,f(a)=a2+a=(a+)2﹣≥﹣2恒成立;当a≥0时,f(a)=﹣a2≥﹣2,即a2≤2,解得0≤a≤,则实数a的取值范围是a≤,故答案为:(﹣∞,].【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.16.(4分)设直线x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【分析】先求出A,B的坐标,可得AB中点坐标为(,),利用点P (m,0)满足|PA|=|PB|,可得=﹣3,从而可求双曲线的离心率.【解答】解:双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,则与直线x﹣3y+m=0联立,可得A(,),B(﹣,),∴AB中点坐标为(,),∵点P(m,0)满足|PA|=|PB|,∴=﹣3,∴a=2b,∴=b,∴e==.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.17.(4分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)【分析】过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,求出PP′,AP′,利用函数的性质,分类讨论,即可得出结论.【解答】解:∵AB=15m,AC=25m,∠ABC=90°,∴BC=20m,过P作PP′⊥BC,交BC于P′,连接AP′,则tanθ=,设BP′=x,则CP′=20﹣x,由∠BCM=30°,得PP′=CP′tan30°=(20﹣x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则函数在x∈[0,20]单调递减,∴x=0时,取得最大值为=.若P′在CB的延长线上,PP′=CP′tan30°=(20+x),在直角△ABP′中,AP′=,∴tanθ=•,令y=,则y′=0可得x=时,函数取得最大值,故答案为:.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题18.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A ﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.【分析】(1)利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得,由a≠b得,A≠B,又A+B∈(0,π),可得,即可得出.(2)利用正弦定理可得a,利用两角和差的正弦公式可得sinB,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解:(1)由题意得,,∴,化为,由a≠b得,A≠B,又A+B∈(0,π),得,即,∴;(2)由,利用正弦定理可得,得,由a<c,得A<C,从而,故,∴.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.19.(14分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=(n∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.(Ⅰ)求an和bn;(Ⅱ)设cn=(n∈N*).记数列{cn}的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn.【分析】(Ⅰ)先利用前n项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值,结合首项的值,求出通项an,然后现利用条件求出通项bn;(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论;(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明.【解答】解:(Ⅰ)∵a1a2a3…an=(n∈N*)①,当n≥2,n∈N*时,②,由①②知:,令n=3,则有.∵b3=6+b2,∴a3=8.∵{an}为等比数列,且a1=2,∴{an}的公比为q,则=4,由题意知an>0,∴q>0,∴q=2.∴(n∈N*).又由a1a2a3…an=(n∈N*)得:,,∴bn=n(n+1)(n∈N*).(Ⅱ)(i)∵cn===. ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn====;(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;当n≥5时,,而=>0,得,所以,当n≥5时,cn<0,综上,对任意n∈N*恒有S4≥Sn,故k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理,还可以用数学归纳法.本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.20.(15分)如图,在四棱锥A﹣BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(Ⅰ)证明:DE⊥平面ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣E的大小.【分析】(Ⅰ)依题意,易证AC⊥平面BCDE,于是可得AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;(Ⅱ)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角,利用题中的数据,解三角形,可求得BF=,AF=AD,从而GF=,cos∠BFG==,从而可求得答案.【解答】证明:(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD;(Ⅱ)作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AE交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得AC⊥CD.在Rt△ACD中,由DC=2,AC=,得AD=;在Rt△AED中,由ED=1,AD=得AE=;在Rt△ABD中,由BD=,AB=2,AD=得BF=,AF=AD,从而GF=,在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得cos∠BAE=,BG=.在△BFG中,cos∠BFG==,所以,∠BFG=,二面角B﹣AD﹣E的大小为.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.22.(14分)已知函数f(x)=x3+3|x﹣a|(a∈R).(Ⅰ)若f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)设b∈R,若[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,求3a+b的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用分段函数,结合[﹣1,1],分类讨论,即可求M(a)﹣m(a);(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b,则h(x)=,h′(x)=,则[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,转化为﹣2≤h(x)≤2对x∈[﹣1,1]恒成立,分类讨论,即可求3a+b的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=x3+3|x﹣a|=,∴f′(x)=,①a≤﹣1时,∵﹣1≤x≤1,∴x≥a,f(x)在(﹣1,1)上是增函数,∴M(a)=f(1)=4﹣3a,m(a)=f(﹣1)=﹣4﹣3a,∴M(a)﹣m(a)=8;②﹣1<a<1时,x∈(a,1),f(x)=x3+3x﹣3a,在(a,1)上是增函数;x∈(﹣1,a),f(x)=x3﹣3x+3a,在(﹣1,a)上是减函数,∴M(a)=max{f(1),f(﹣1)},m(a)=f(a)=a3,∵f(1)﹣f(﹣1)=﹣6a+2,∴﹣1<a≤时,M(a)﹣m(a)=﹣a3﹣3a+4;<a<1时,M(a)﹣m(a)=﹣a3+3a+2;③a≥1时,有x≤a,f(x)在(﹣1,1)上是减函数,∴M(a)=f(﹣1)=2+3a,m(a)=f(1)=﹣2+3a,∴M(a)﹣m(a)=4;(Ⅱ)令h(x)=f(x)+b,则h(x)=,h′(x)=,∵[f(x)+b]2≤4对x∈[﹣1,1]恒成立,∴﹣2≤h(x)≤2对x∈[﹣1,1]恒成立,由(Ⅰ)知,①a≤﹣1时,h(x)在(﹣1,1)上是增函数,最大值h(1)=4﹣3a+b,最小值h(﹣1)=﹣4﹣3a+b,则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾;②﹣1<a≤时,最小值h(a)=a3+b,最大值h(1)=4﹣3a+b,∴a3+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2,令t(a)=﹣2﹣a3+3a,则t′(a)=3﹣3a2>0,t(a)在(0,)上是增函数,∴t(a)>t(0)=﹣2,∴﹣2≤3a+b≤0;③<a<1时,最小值h(a)=a3+b,最大值h(﹣1)=3a+b+2,则a3+b≥﹣2且3a+b+2≤2,∴﹣<3a+b≤0;④a≥1时,最大值h(﹣1)=3a+b+2,最小值h(1)=3a+b﹣2,则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2,∴3a+b=0.综上,3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0.【点评】本题考查导数的综合运用,考查函数的最值,考查分类讨论、化归与转化的数学思想,难度大.21.(15分)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(Ⅰ)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(Ⅱ)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【分析】(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,利用△=0,可求得在第一象限中点P的坐标;(Ⅱ)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,设直线l1的方程为x+ky=0,利用点到直线间的距离公式,可求得点P到直线l1的距离d=,整理即可证得点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b..【解答】解:(Ⅰ)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故△=0,即b2﹣m2+a2k2=0,此时点P的横坐标为﹣,代入y=kx+m得点P的纵坐标为﹣k•+m=,∴点P的坐标为(﹣,),又点P在第一象限,故m>0,故m=,故点P的坐标为P(,).(Ⅱ)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离d=,整理得:d=,因为a2k2+≥2ab,所以≤=a﹣b,当且仅当k2=时等号成立.所以,点P到直线l1的距离的最大值为a﹣b.【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.。
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第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。
)1.【广西梧州、崇左两市联考高三(上)摸底】设向量,满足|+|=,||=1,||=2,则•等于( ) A .B .C .D .2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测(一)6】b a ,是两个向量,2,1==b a 且a b a ⊥+)(,则a 与b 的夹角为( )A.30 B.60 C.120 D.1503. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===,且(23)a b c -⊥,则实数k =( )9.2A -.0B .C 3 D.1524.【·长春调研】已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4),若λ为实数,(b +λa)⊥c ,则λ的值为( )A .-311B .-113C.12D.355.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量,已知命题P :若0a b ⋅=,0b c ⋅=,则0a c ⋅=;命题q :若//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ⌝∧⌝ D .()p q ∨⌝6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a =(2,4),b =(1,-2),若c =a -(a ·b)b ,则|c|=________. A.2 B.22 C.28 D.2167. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=,则⊿ABC 为( )A.三边均不等的三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰非等边三角形8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学(江西卷)】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α,且1cos 3α=,向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β,则cos β等于( )A.23 B. 22 C. 223 D. 4239. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角,已知对任意实数t ,||t a b +的最小值为1( )A.若θ确定,则 ||a 唯一确定B.若θ确定,则 ||b 唯一确定C.若||a 确定,则 θ唯一确定D.若||b 确定,则 θ唯一确定10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点,()1,1A ,若点()221,,01,01,x y B x y x OA OB y ⎧+≥⎪⎪≤≤⋅⎨⎪≤≤⎪⎩满足则取得最小值时,点B 的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个 11.【高考重庆,理6】若非零向量a ,b 满足|a|=223|b|,且(ab )⊥(3a+2b ),则a 与b 的夹角为 ( ) A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ,下列命题中正确的是( ). A.a ∥b ⇒a 在b 上的投影为a B.0a b ⋅=0a ⇒=或0b = C.a ⊥b ⇒()2a b a b ⋅=⋅D.a c b c ⋅=⋅⇒a b =二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在题中的横线上。
)13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为3π,||2,||1a b ==,则||||a b a b +-的值是_____;14.【高考天津,文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为. 15.【高三六校联考(一)数学(文)】在直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,2AC BC ==,点P 是斜边AB 上的一个三等分点,则=⋅+⋅CA CP CB CP16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图,已知ABC ∆中,4AB AC ==,90BAC ∠=,D 是BC 的中点,若向量14AM AB m AC =+⋅,且AM 的终点M 在ACD ∆的内部(不含边界),则AM BM ⋅的取值范围是.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.【高考名师推荐】设向量(1)若,求x 的值(2)设函数,求f(x)的最大值18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=,(1+cos ,sin )b ββ=-. (1)若3πα=,(0,)βπ∈,且a b ⊥,求β;(2)若=βα,求a b ⋅的取值范围.19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ,)1,1(=d ,对任意*N n ∈都有a a n n +=+1. (1)求||n a 的最小值; (2)求正整数,m n ,使m n a a ⊥(第13题图)DCA20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心,AB=6,AC=10,AO xAB yAC =+,且2x+10y=5,求边BC 的长.21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中,1,2,120AB AC BAC ==∠=︒,点M 是边BC 上的动点,动点N 满足30MAN ∠=︒(点,,A M N 按逆时针方向排列).(1)若2AN AC =,求BN 的长;(2)若3AM AN ⋅=,求△ABN 面积的最大值. 22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图:()()3,,3,A m m Bn n -两点分别在射线,OS OT 上移动,且12OA OB ⋅=-,O 为坐标原点,动点P 满足OP OA OB =+(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)设01,2Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,过Q 作(1)中曲线C 的两条切线,切点分别为,M N ,①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ⋅=-,求0x 的值。
高考模拟复习试卷试题模拟卷ABCN一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.D.22.(5分)复数i(2﹣i)=()A.1+2iB.1﹣2iC.﹣1+2iD.﹣1﹣2i3.(5分)执行如图所示的程序框图输出的结果为()A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8)4.(5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β“是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.56.(5分)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>07.(5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|﹣1≤x≤1}C.{x|﹣1<x≤1}D.{x|﹣1<x≤2}8.(5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为(用数字作答)10.(5分)已知双曲线﹣y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=.11.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为.12.(5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.13.(5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y=.14.(5分)设函数f(x)=,①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sin cos﹣sin.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值.16.(13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组;12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;(Ⅱ)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(Ⅲ)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)17.(14分)如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE.(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,求a的值.18.(13分)已知函数f(x)=ln,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x)>;(Ⅲ)设实数k使得f(x)对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由.20.(13分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.高考数学模拟试卷(理科) (2)参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共40分)1.(5分)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为()A.0B.1C.D.2【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,即可求出z取得最大值.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,当l经过点B时,目标函数z达到最大值∴z最大值=0+2×1=2.故选:D.【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.2.(5分)复数i(2﹣i)=()A.1+2iB.1﹣2iC.﹣1+2iD.﹣1﹣2i【分析】利用复数的运算法则解答.【解答】解:原式=2i﹣i2=2i﹣(﹣1)=1+2i;故选:A.【点评】本题考查了复数的运算;关键是熟记运算法则.注意i2=﹣1.3.(5分)执行如图所示的程序框图输出的结果为()A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8)【分析】模拟程序框图的运行过程,即可得出程序运行后输出的结果.【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;x=1,y=1,k=0时,s=x﹣y=0,t=x+y=2;x=s=0,y=t=2,k=1时,s=x﹣y=﹣2,t=x+y=2;x=s=﹣2,y=t=2,k=2时,s=x﹣y=﹣4,t=x+y=0;x=s=﹣4,y=t=0,k=3时,循环终止,输出(x,y)是(﹣4,0).故选:B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,是基础题目.4.(5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,“m∥β“是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β,根据面面平行的判定定理,只有α内的两相交直线都平行于β,而α∥β,并且m⊂α,显然能得到m∥β,这样即可找出正确选项.【解答】解:m⊂α,m∥β得不到α∥β,因为α,β可能相交,只要m和α,β的交线平行即可得到m∥β;α∥β,m⊂α,∴m和β没有公共点,∴m∥β,即α∥β能得到m∥β;∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选:B.【点评】考查线面平行的定义,线面平行的判定定理,面面平行的定义,面面平行的判定定理,以及充分条件、必要条件,及必要不充分条件的概念.5.(5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()A.2+B.4+C.2+2D.5【分析】根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EA=EB=1,OA=1,:BC⊥面AEO,AC=,OE=判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积.【解答】解:根据三视图可判断直观图为:OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点,EA=2,EC=EB=1,OA=1,∴可得AE⊥BC,BC⊥OA,运用直线平面的垂直得出:BC⊥面AEO,AC=,OE=∴S△ABC=2×2=2,S△OAC=S△OAB=×1=.S△BCO=2×=.故该三棱锥的表面积是2,故选:C.【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用,空间想象能力,计算能力,关键是恢复直观图,得出几何体的性质.6.(5分)设{an}是等差数列,下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论.【解答】解:若a1+a2>0,则2a1+d>0,a2+a3=2a1+3d>2d,d>0时,结论成立,即A 不正确;若a1+a3<0,则a1+a2=2a1+d<0,a2+a3=2a1+3d<2d,d<0时,结论成立,即B不正确;{an}是等差数列,0<a1<a2,2a2=a1+a3>2,∴a2>,即C正确;若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)=﹣d2≤0,即D不正确.故选:C.【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.7.(5分)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|﹣1<x≤0}B.{x|﹣1≤x≤1}C.{x|﹣1<x≤1}D.{x|﹣1<x≤2}【分析】在已知坐标系内作出y=log2(x+1)的图象,利用数形结合得到不等式的解集. 【解答】解:由已知f(x)的图象,在此坐标系内作出y=log2(x+1)的图象,如图满足不等式f(x)≥log2(x+1)的x范围是﹣1<x≤1;所以不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是{x|﹣1<x≤1};故选:C.【点评】本题考查了数形结合求不等式的解集;用到了图象的平移.8.(5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油【分析】根据函数图象的意义逐项分析各说法是否正确.【解答】解:对于A,由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,∴当速度大于40km/h时,消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5km,故A错误;对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴用丙车比用乙车更省油,故C正确;对于D,由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80km,燃油为8升,故D错误. 故选:C.【点评】本题考查了函数图象的意义,属于中档题.二、填空题(每小题5分,共30分)9.(5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为 40 (用数字作答)【分析】写出二项式定理展开式的通项公式,利用x的指数为3,求出r,然后求解所求数值.【解答】解:(2+x)5的展开式的通项公式为:Tr+1=25﹣rxr,所求x3的系数为:=40.故答案为:40.【点评】本题考查二项式定理的应用,二项式系数的求法,考查计算能力.10.(5分)已知双曲线﹣y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=.【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±,结合条件可得=,即可得到a的值.【解答】解:双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±,由题意可得=,解得a=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题.11.(5分)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为 1 .【分析】化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出.【解答】解:点P(2,)化为P.直线ρ(cosθ+sinθ)=6化为.∴点P到直线的距离d==1.故答案为:1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= 1 .【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论.【解答】解:∵△ABC中,a=4,b=5,c=6,∴cosC==,cosA==∴sinC=,sinA=,∴==1.故答案为:1.【点评】本题考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础.13.(5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=,若=x+y,则x=,y= ﹣.【分析】首先利用向量的三角形法则,将所求用向量表示,然后利用平面向量基本定理得到x,y值.【解答】解:由已知得到===;由平面向量基本定理,得到x=,y=;故答案为:.【点评】本题考查了平面向量基本定理的运用,一个向量用一组基底表示,存在唯一的实数对(x,y)使,向量等式成立.14.(5分)设函数f(x)=,①若a=1,则f(x)的最小值为﹣1 ;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是≤a<1或a≥2 .【分析】①分别求出分段的函数的最小值,即可得到函数的最小值;②分别设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a),分两种情况讨论,即可求出a的范围.【解答】解:①当a=1时,f(x)=,当x<1时,f(x)=2x﹣1为增函数,f(x)>﹣1,当x>1时,f(x)=4(x﹣1)(x﹣2)=4(x2﹣3x+2)=4(x﹣)2﹣1,当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增,故当x=时,f(x)min=f()=﹣1,②设h(x)=2x﹣a,g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)若在x<1时,h(x)=与x轴有一个交点,所以a>0,并且当x=1时,h(1)=2﹣a>0,所以0<a<2,而函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有一个交点,所以2a≥1,且a<1,所以≤a<1,若函数h(x)=2x﹣a在x<1时,与x轴没有交点,则函数g(x)=4(x﹣a)(x﹣2a)有两个交点,当a≤0时,h(x)与x轴无交点,g(x)无交点,所以不满足题意(舍去),当h(1)=2﹣a≤0时,即a≥2时,g(x)的两个交点满足x1=a,x2=2a,都是满足题意的,综上所述a的取值范围是≤a<1,或a≥2.【点评】本题考查了分段函数的问题,以及函数的零点问题,培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力,属于中档题.三、解答题(共6小题,共80分)15.(13分)已知函数f(x)=sin cos﹣sin.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值.【分析】(Ⅰ)运用二倍角公式和两角和的正弦公式,化简f(x),再由正弦函数的周期,即可得到所求;(Ⅱ)由x的范围,可得x+的范围,再由正弦函数的图象和性质,即可求得最小值. 【解答】解:(Ⅰ)f(x)=sin cos﹣sin=sinx﹣(1﹣cosx)=sinxcos+cosxsin﹣=sin(x+)﹣,则f(x)的最小正周期为2π;(Ⅱ)由﹣π≤x≤0,可得﹣≤x+≤,即有﹣1,则当x=﹣时,sin(x+)取得最小值﹣1,则有f(x)在区间[﹣π,0]上的最小值为﹣1﹣.【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式,同时考查正弦函数的周期和值域,考查运算能力,属于中档题.16.(13分)A,B两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16B组;12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙.(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;(Ⅱ)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(Ⅲ)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)【分析】设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,由题意可知P(Ai)=P(Bi)=,i=1,2,••,7(Ⅰ)事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”,由概率公式可得;(Ⅱ)设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,易得P(C)=10P(A4B1),易得答案;(Ⅲ)由方差的公式可得.【解答】解:设事件Ai为“甲是A组的第i个人”,事件Bi为“乙是B组的第i个人”,由题意可知P(Ai)=P(Bi)=,i=1,2,••,7(Ⅰ)事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”∴甲的康复时间不少于14天的概率P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=;(Ⅱ)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6,∴P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P (A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=(Ⅲ)当a为11或18时,A,B两组病人康复时间的方差相等.【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及概率的加法公式和方差,属基础题.17.(14分)如图,在四棱锥A﹣EFCB中,△AEF为等边三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点.(Ⅰ)求证:AO⊥BE.(Ⅱ)求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,求a的值.【分析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE.(Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值;(Ⅲ)利用线面垂直的性质,结合向量法即可求a的值【解答】证明:(Ⅰ)∵△AEF为等边三角形,O为EF的中点,∴AO⊥EF,∵平面AEF⊥平面EFCB,AO⊂平面AEF,∴AO⊥平面EFCB∴AO⊥BE.(Ⅱ)取BC的中点G,连接OG,∵EFCB是等腰梯形,∴OG⊥EF,由(Ⅰ)知AO⊥平面EFCB,∵OG⊂平面EFCB,∴OA⊥OG,建立如图的空间坐标系,则OE=a,BG=2,GH=a,(a≠2),BH=2﹣a,EH=BHtan60°=,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,,0),=(﹣a,0,a),=(a﹣2,﹣,0),设平面AEB的法向量为=(x,y,z),则,即,令z=1,则x=,y=﹣1,即=(,﹣1,1),平面AEF的法向量为,则cos<>==即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为;(Ⅲ)若BE⊥平面AOC,则BE⊥OC,即=0,∵=(a﹣2,﹣,0),=(﹣2,,0),∴=﹣2(a﹣2)﹣3(a﹣2)2=0,解得a=.【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解,建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.18.(13分)已知函数f(x)=ln,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x)>;(Ⅲ)设实数k使得f(x)对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.【分析】(1)利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程.(2)构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.(3)对k进行讨论,利用新函数的单调性求参数k的取值范围.【解答】解答:(1)因为f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)所以又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)证明:令g(x)=f(x)﹣2(x+),则g'(x)=f'(x)﹣2(1+x2)=,因为g'(x)>0(0<x<1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)>g(0)=0,x∈(0,1),即当x∈(0,1)时,f(x)>2(x+).(3)由(2)知,当k≤2时,f(x)>对x∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h(x)=f(x)﹣,则h'(x)=f'(x)﹣k(1+x2)=,所以当时,h'(x)<0,因此h(x)在区间(0,)上单调递减.当时,h(x)<h(0)=0,即f(x)<.所以当k>2时,f(x)>并非对x∈(0,1)恒成立.综上所知,k的最大值为2.【点评】本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明.在高考中属常考题型,难度适中.19.(14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A (m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N,问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标,若不存在,说明理由.【分析】(I)根据椭圆的几何性质得出求解即可.(II)求解得出M(,0),N(,0),运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ,=,求解即可得出即yQ2=xM•xN,+n2,根据m,m的关系整体求解.【解答】解:(Ⅰ)由题意得出解得:a=,b=1,c=1∴+y2=1,∵P(0,1)和点A(m,n),﹣1<n<1∴PA的方程为:y﹣1=x,y=0时,xM=∴M(,0)(II)∵点B与点A关于x轴对称,点A(m,n)(m≠0)∴点B(m,﹣n)(m≠0)∵直线PB交x轴于点N,∴N(,0),∵存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,yQ),∴tan∠OQM=tan∠ONQ,∴=,即yQ2=xM•xN,+n2=1yQ2==2,∴yQ=,故y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,)或Q(0,﹣)【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程,位置关系,数形结合的思想的运用,运用代数的方法求解几何问题,难度较大,属于难题.20.(13分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…),记集合M={an|n∈N*}.(Ⅰ)若a1=6,写出集合M的所有元素;(Ⅱ)如集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合M的元素个数的最大值.【分析】(Ⅰ)a1=6,利用an+1=可求得集合M的所有元素为6,12,24;(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由an+1=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数;(Ⅲ)分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论,即可求得集合M的元素个数的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)若a1=6,由于an+1=(n=1,2,…),M={an|n∈N*}.故集合M的所有元素为6,12,24;(Ⅱ)因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数,由an+1=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.如果k=1,M的所有元素都是3的倍数;如果k>1,因为ak=2ak﹣1,或ak=2ak﹣1﹣36,所以2ak﹣1是3的倍数;于是ak﹣1是3的倍数;类似可得,ak﹣2,…,a1都是3的倍数;从而对任意n≥1,an是3的倍数;综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则集合M的所有元素都是3的倍数(Ⅲ)对a1≤36,an=(n=1,2,…),可归纳证明对任意n≥k,an<36(n=2,3,…)因为a1是正整数,a2=,所以a2是2的倍数.从而当n≥2时,an是2的倍数.如果a1是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{12,24,36},这时M的元素个数不超过5.如果a1不是3的倍数,由(Ⅱ)知,对所有正整数n,an不是3的倍数.因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},这时M的元素个数不超过8.当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32},有8个元素.综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.【点评】本题考查数列递推关系的应用,突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力,属于难题.。