2019年上海市春考数学试卷(含答案)

上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学试卷

一、填空题（54分）

1、不等式1>x 的解集为______________；

2、计算：_________2

1

3lim

=+-∞→n n n ；

3、设集合{}20<<=x x A ，{}

11<<-=x x B ，则________=B A ； 4、若复数i z +=1（i 是虚数单位），则______2

=+

z

z ； 5、已知{}n a 是等差数列，若1082=+a a ，则______753=++a a a ；

6、已知平面上动点P 到两个定点()0,1和()0,1-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为_________；

7、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，3=AB ，4=BC ，51=AA ，O 是11C A 的中点，则三棱锥

11OB A A -的体积为_________；

第7题图 第12题图

8、某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为_____________（结果用数值表示）。

9、设R a ∈，若922⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+x x 与9

2⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的二项展开式中的常数项相等，则_______=a ；

10、设R m ∈，若z 是关于x 的方程012

2

=-++m mx x 的一个虚根，则-

z 的取值范围是________； 11、设0>a ，函数()()1,0),sin()1(2∈-+=x ax x x x f ，若函数12-=x y 与()x f y =的图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是__________；

12、如图，在正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的

速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长均为_____秒（精确到0.1）. 二．选择题（20分）

13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）

A 2

-=x y B 3

1x y = C 2

1-

=x

y D 3

x y =

14. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4

15. 若数列}{n a 的前n 项和，“}{n a 是递增数列”是“}{n S 是递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件

16、已知A 、B 是平面内两个定点，且2=→

AB ，该平面上的动线段PQ 的两个端点P 、Q 满足：5≤→

AP ，

6=⋅→

→

AB AP ，→

→

-=AP AQ 2，则动线段PQ 所围成的面积为（ ）

A 、50

B 、60

C 、72

D 、108

三、解答题（14+14+14+16+18=76分） 17、已知x x f cos )(= （1）.若31)(=

αf ，且],0[πα∈，求)3

(π

α-f 的值； （2）.求函数)(2)2(x f x f y -=的最小值；

18、已知R a ∈，双曲线1:2

22=-Γy a

x

（1）.若点)1,2(在Γ上，求Γ的焦点坐标；

（2）.若1=a ，直线1+=kx y 与Γ相交于B A ,两点，若线段AB 中点的横坐标为1，求k 的值；

19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，AB OC ⊥于C ，3=AB 米，5.4=OC 米.

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到

01.0）.

20.设0>a ，函数x

a x f 211

)(⋅+=

（1）.若1=a ，求)(x f 的反函数)(1

x f -

（2）求函数)()(x f x f y -⋅=的最大值，（用a 表示）

（3）设=)(x g )1()(--x f x f ，若对任意)0()(],0,(g x g x ≥-∞∈恒成立，求a 的取值范围？

21.若}{n c 是递增数列，数列}{n a 满足：对任意*,N m R n ∈∃∈，使得01

≤--+n m n

m c a a a ，则称}{n a 是}{n c 的

“分隔数列”

（1）设1,2+==n a n c n n ，证明：数列}{n a 是}{n c 的分隔数列；

（2）设n n S n c ,4-=是}{n c 的前n 项和，23-=n n c d ，判断数列}{n S 是否是数列}{n d 的分隔数列，并说明理由；

（3）设n n n T aq c ,1

-=是}{n c 的前n 项和，若数列}{n T 是}{n C 的分隔数列，求实数q a ,的取值范围？