高二上学期文科数学第一次月考

高二上学期文科数学第一次月考试题
（满分：150分 考试时间 ：120分钟）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知向量a ＝（4，2），向量b ＝（x ，3），且a //b ,则x ＝( ) A.9 B.6 C.5 D.3
2．已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）
A. A 、B 、D B ．A 、B 、C C. B 、C 、D D ．A 、C 、D 3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )
A ．()βαβαsin sin sin +>+
B ．()βαβαcos cos sin +>+
C ．()βαβαsin sin cos +<+
D ．()βαβαcos cos cos +<+ 4.已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（ ）
A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，
B ．122⎛
⎫- ⎪⎝⎭， C ．(32)，
D ．(13)， 5.已知5cos 5sin 3cos 2sin -=+-α
αα
α，αtan 的值为（ ）
A ．－2
B ．2
C ．1623
D ．－16
23
6.函数2
3cos 32sin 212+-=
x x y 的最小正周期为( ) A. 2π B. π C.
2π D. 4
π
7.已知，是非零向量且满足⊥-)2(，⊥-)2(，则与的夹角是（ ） A ．
6π B ．3π C ． 23π D ．56
π
8.已知O A B 、、是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）
A ．2OA O
B - B ．2OA OB -+
C ． 2
133OA OB - D ．12
33
OA OB -+
9.若1sin(
),63π
α-=则2cos(2)3πα+=（ ） A ．79- B ．13- C ．13 D ．7
9
10.函数)80sin(5)20sin(30
+++=x x y 的最大值为（ ）
A ．211
B ．2
13 C ．7 D ．8 11.已知βαtan ,tan 是方程04332
=++x x 的两根，若⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα，则=
+βα（ ）
A ．
3π B ．3
π
或32π- C ．3π-或32π D ．32π-
12．在ABC ∆中，64cosB 3sinA =+，13cosB 4sinA =+，则C 等于（ ）
A ． 0150
B ．030或0150
C ．060或0120
D ．030
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.若两个向量,a b 的夹角为
θ，则称向量“⨯”为向量积，其长度为
=sin θ.
现已知1=
5=，4-=⋅，
=__________．
14.设)43,
4(
π
πα∈，)4,0(πβ∈)，
534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，13
5
43sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+βπ，则()=+βαsin _________．
15.已知平面上三点C B A ,,，满
足=3
，=4
，=5，则
⋅+⋅+⋅的值等于__________．
16.
设
()
0056cos 56sin 2
2
-=
a ，
00038cos 40cos 128cos 50cos +=b ，
'
02'023040tan 13040tan 1+-=c ，()150cos 280cos 2
1020+-=d ，则a 、b 、c 、d 的大小关系是____>___>___>___．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。

17.（12分）已知
310
,tan cot 43
παπαα<<+=- （Ⅰ）求tan α的值；
（Ⅱ）求
2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
2α
α
α
α
πα++-⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭的值.
18.（12分）（12分）如图，正方形OABC 两边AB ，BC 的
中点分别为D 和E ，求DOE ∠的余弦值.
D
19.（12分）已知向量(cos ,sin )m θθ=和(
)
()2sin ,cos ,,2n θθθππ=
-∈，且
825m n +=
求cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值. 20.（12分）已知向量)sin
,
(cos αα=
，)sin ,(cos ββ==+ （1）求)cos(βα-的值； （2）若2
0π
α<
<，02
<<-
βπ
且13
5
sin -
=β，求αsin 的值.
21.（12分）如图，在ABC Rt ∆中，已知a BC =，若长为a 2的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时，⋅的值最大？并求出这个最大值.
22.（14分）已知函数x f ⋅=)(，其中()1,cos 2x =，()
x x 2sin 3,cos =.
（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的递增区间；
（3）求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的集合； （4）若函数x y 2sin 2=的图像平移向量()n m ,=⎪⎭
⎫
⎝
⎛<2πm 得到函数)(x f 的图像，求实数m ，n 的值.
A
B
C
Q
P
高二文科数学第一次月考试题答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） BADAD BBADC DD
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. 3 14.
65
56
15. -25 16. d>b >a >c 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. 解：(Ⅰ)由10
tan cot 3
αα+=-
得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1
tan 3
α=-为所求.
（Ⅱ）225sin 8sin cos 11cos 822222αααα
πα++-⎛⎫- ⎪⎝
⎭
1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-
=
=6-
18.解法一：21+
=+=，2
1
+=+= ⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅+
=⋅∴CB OC AB OA OE OD 21)21(=⋅+OC AB ⋅21+CB OA ⋅21+⋅4
1
⋅⋅=410=，OC AB ⋅21=CB OA ⋅2
1=
OE OD =⋅∴
又=
=54cos ===∠∴DOE 解法二：如图建立直角坐标系，设()0,a A ，()a C ,0，则
⎪⎭⎫ ⎝⎛a a D 21,，⎪⎭
⎫
⎝⎛a a E ,21，22121a a a a a OE OD =⨯+⨯=⋅，
a 25
==，
故544
5cos 22===
∠∴a a DOE 19. 解
:()
cos sin sin m n θθθθ+=-++
(
cos
m n +=
=
由已知82m n +=
,得7cos 425πθ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
216cos ()2825θπ+= ∴(),2θππ∈ ∴ 598288
πθππ<+<
∴ cos 028θπ⎛⎫+< ⎪⎝⎭
∴ 4cos 285θπ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
20.解：（1）
=(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ=|a |=1,|b |=1，由已知，
得：a ·b =
53，∴cos(α－β) =5
3
……………………………………………6分 （2）πβαβπ
π
α<-<∴<<-
<
<002,2
0 ………………………………7分
13
12
cos 135sin 54)sin(5
3
)cos(=-==-∴=
-βββαβα得由 ……10分
∴sin α=sin[(α－β)+ β]=sin(α－β)cos β+cos(α－β)sin β
=6533
)135(53131254=
-⋅+⋅
21．解法一：∵AB ⊥,∴AB ·=0.
∵= -,=-,=-, ∴·CQ =(-)·(AQ -AC )
=·-·-·+· = -a 2-·+·
= -a 2
-AP ·(AB -) = -a 2
+
2
1
·
= -a 2+ a 2
cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0 (PQ 与BC 方向相同)时, BP ·CQ 最大,解法二:以直角顶点为坐标原点,所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(0,0),C(0,0).
且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x, -y), ∴BP =(x -c, y),CQ =( -x, -y - b).
=(-c, b), =(-2x, -2y).
·=( x -c)(-x)+ y(-y - b)= - (x 2+y 2)+ c x - b y .
∵cos θ
2
a
by
cx -=
, ∴c x - b y= a 2 cos θ. ∴·CQ = -a 2
+ a 2
cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0 (与方向相同)时, ·最大,最大值为0. 22. 依题设，f(x)=2cos 2x +sin2x =2sin(2x +)+1 （1）π=T ； （2）)(6,3
Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡+
-
πππ
π （3）3)(max =x f ，⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
=Z k k x x ,6π
π （4）函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x －m)+n 的图象，即函
数y=f(x)的图象.
由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x +)+1. ∵|m|<
，∴m=-，n=1.
本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考
查运算能力.满分14分.
36
π
12
π
2π12
π。