气体动力学函数及应用

下面举两个例子说明气动函数q() 和y() 的用法。
[例2—3—7]已知扩压器进口空气的总
压 p1 2．941x10牛顿／米，1 =0．85
• 扩压器出进口面积比
A2 A1
=2．5，
总
压
•
比
p2 p1
=0.94，求扩压器出口截面的速度系
• 数 2 和静压 p2 。
• 解：从流量公式(2—3—26)知
即
C A临 临C临 A
• 因为临界截面是流管中的最小截面积， 所以临界截面的密度最大，也就是说， 临界截面的单位面积流量最大。相对 密流一般小于1。它的大小，可用来说 明任一截面的密流与最大密流接近的 程度，即说明该截面的流通能力的大 小。相对密流越接近1，说明截面流通 能力越大。临界截面的相对密流等于1。
0.658
查表得 0.406, () 0.907
故总压为
p p 4.12 10 5 4.54 10 5 牛顿 米2
() 0.907
三、与冲力有关的气动函数 应用动量方程计算管壁受力时，往往出
现冲力J dm C pA 这个物理量，它与
dt
速度系数 也有某种函数关系。下面就
q() (4)当气流的总压和总温发生变化时， 和 流量就没有一一对应的关系了。在某种情q(况) 下，可能会出现流量增大，而流通能力
反而减小的现象。
• 公式中的流量是用总压来表示的，有时为了 测量和计算方便，也需要用截面上的静压来表 示流量。这时，流量公式可写为
dm B p Aq() B p A q()
k 1
• 代入上列诸式，化成数的函数，并分别
以， () ， () ， () 来表示；
• 可得
() T 1 k 1 2
T*
k 1
()
p p*

(1

k
1 2
)
k k 1
k 1
()


(1
k

1
2
)
k k 1
*
k 1
• 根据每一个数，把， ()、 ()、 ()三个函 数的数值计算出来，列成表格(见附录)。
气体动力学函数及应用
介绍气体动力学函数 定义及其应用
气体动力学函数的定义
气体动力学函数的应用 2/34
§3—3 气体动力学函数及应用
• 目前常用的气体动力学函数有三组： • (1)气流静参数与总参数之比的气动函
数； • (2)与流量有关的气动函数； • (3)与冲力有关的气动函数。 • 下面分别介绍，并举列说明其应用
• [例2—3—8]求某压缩器出口截面上气流
的总压，已知其出口截面积 A=0.1米2，
并测得出口的静压 p 4.14 10 5 牛顿 米2，
空气流量dm 50 千克／秒，总温
T

dt
480K
• 解：由(2—3—28)式求出 y()
y()
dm T dt
BFp

50 480 0.0404 0.1 4.12 105
的截面积应是流管的最小截面积，即临界截面
( =1的截面)必须是流管中的最小截面，必
须注意，这个结论反过来说并不一定正确，即 流管的最小截面并不一定是临界截面。要将气 流等熵绝能地由亚音速到超音速，管道必须做 成先收敛后扩散的形状，即所谓缩扩管。
• (3)在一维定常管流中，用临界截面的参数 计 算 流 量 最 为 方 便 ， 因 为 临 界q(截) 面 的 =1．
因此
q(2 ) 0.425 0.9729 0.414
再查表得 2 0.27, (2 ) 0.9579 所以
百度文库
p2 p2 (2 ) 0.94 p1 (2 ) 0.94 2.942 10 5 0.9579
2.649 10 5 牛顿 米2
• [例2—3—6]空气在超音速喷管内作等熵 绝能流动，已知进口截面上气流的静压 为 p1 5.884 10 5牛顿 / 米2，总温
T1 310K， 速度系数 0.6 ，出口截面
上的静温 T2 =243K，求气流在出口截面上
的静压 p2和速度系数 2。
• 解：因为是等熵绝能流动，喷管中各截面 处空气的总温和总压不变，所以
克·开时，B =0.0362。
•
在气体动力学和喷气发动机原理中，
用相对密流和总参数表示的流量公式来分
析问题和计算流量是很方便的。
• 从流量公式可知，流管中任一截面所通 过的流量大小，与该截面的面积、总压、 相对密流成正比，与总温的平方根成反 比。据此还可得到如下重要结论。
(1)在气流的总压和总温保持不变的情 况下，流过任一截面(即F一定)的流量q() 与dm成正比，也就是说，q() 与 dm有 一一dt对应的关系。因此，在总压d和t 总温


dm dt

a临


k 1 a临
2k

k 1 2k
a临


dm dt
k 1 2k
a临

2k k 1


1


k k

1 1



dm dt
k 1 2k a临


1


•令
Z（） 1
•
最后写成
J

k 1 2k
dm dt
不同 数下，这三个函数的大小还与气
体的性质有关。对于空气来说，k=1.4，
当 =1时， ()=0．8333， () =0．5828
， () =0．6340。同理，根据静参数与总参 数之比的数值，也可以查出相对应
的 数和M数大小。
• [例2—3—5]用风速管测量空气流中一 点 的 总 压 p =9 ． 81x 牛 顿 ／ 米 ， 静 压 p 8.44 10 4 牛顿 / 米2，用热电偶测得 该点气流的总温 T 400K，试求该点气 流速度 C 。
• 当k=1.4时，函数 ()、 ()和 ()随 数的
变化曲线如图2—3—9所示。从图中可看
出 ， 在 任 一数 下 ， 都 有 一 个 确 定 的， () 、 ()、 ()数值相对应。当 =0
时， () = () =1； 数增大时，三个函数
都减小；当 = 最大时， ()= () = () =0
截面积。即亚音速时，流管截面减小，气 流加速；反之流管截面积增大，气流减速。
• 当气流为超音速时( >1)，由图2—3—10可 见，因q() 随 数的增大而减小，故速度增
大时，必须相应地增大流管截面积，即超音速 时，流管截面增大，气流加速；反之，流管截 面积减小，气流减速。
• 当 =1时，q()达到最大值，q() =1，相应
保持不变的情况下，相对密流 的大小， 反映流量的大小。
• (2)在气流的总压和总温保持不变的情况下， 要使通过同一管道中不同截面的流量相 等，
则必须使乘积A 保持q为(常) 数。由此可知；
当气流为亚音速时( <1)时，由图2—3— 10可见，随着 数的增大， 也跟q(着)增大，
为了保持流量不变，必须相应地减小流管
在 =0和 最大
k 1 k 1
时，q()
=0时
=1 时，q() =1，达到最大。这说明，
当 =1时，单位面积上通过的流量最
大。q() 的数值可由气动函数表中查到
（见附录）。
• 应用相对密度 q() ，可以直接根据总参数计 算流量。因为
dm dt

AC

(临C临 ) A
dm B p Aq()
dt
T
式中
B
k(
2
k 1
) k 1
R K 1
• 对于给定的气体(k及R一定)，B 是个常数。
对于空气，k=1.4，R=287．06焦耳／千
克·开，B =0.0404；对于燃气，
当 k=1.33，R=287．4焦耳／千克·开时
B =0.0397；当k=1.2，R=320焦耳／千
• 相对密流可写成速度系数的函数，具体
推导如下。
C C
临临



临
C C
临
（1
k
1
1）2 k1
k 1
k 1 1
(1
) k 1

k 1

(k
1)
1 k 1
(1
k
1
2
)
1 k 1
2
k 1
•令
(k

1)
1 k 1

(1

k

1
2
)
1 k 1
p1 T1
A1q()
p1 T1
A2q(2 )
由于是绝能流动 T1 T2
又是非等熵流动 所以
p2 0.94 p1
q()
p 1
p 2
F1 F2
q()
1 0.94

1 2.5
q(1
)

0425
q(1
)
查表知 0.85时，q() 0.9729
来推导这种气动函数关系。
J

dm C dt

pA

dm (C dt

p)
C
式中
C

a临；p

RT

RT ()

k 1
2k
(
)a临2
于是
J

dm dt
a临

k 1 () 2k
a临


dm dt
a临


k 1 2k
a临（1

k k

1 1
2）

3.11105
牛顿
米2
二、与流量有关的气动函数
•
由流量公式知
dm dt

A临临C临，流管任一
截面和临界截面的密度（即单位面积流
量）分别为：
dm
dm
C
dt A
和临C临
dt A临
• 任一截面单位面积上的流量与临界截面 单位面积流量之比，也就是任一截面的密 流与临界截面密流之比，称为相对密流。 又叫做无量纲密流。
• 解：(2—3-23)式有
()
p
8.44 104

0.86
p 9.81104
• 由气动函数查得 =0.5025
• 气流速度
C a临
2k RT k 1
•得
C 0.5025 2 1.4 287 .06 400 184 米 秒 1.4 1
dt
T
() T
•令
y() q() ()
•则
dm B p Ay()
dt
T
• y() 随 数的变化情形，如图2—3—10
所示。由图中看出，y()随 数增大而增 大，当 接近最大时，y() 趋于无穷大，
• y()的数值可由气动函数表中查到(见附 录)。
C 临C临

临C临 Aq()
(1)
而
临 （1 k 1）k11 (
2
1
) k 1

k 1
k 1
•即
临

（
2
1
）k 1
k 1

p RT
(
2
1
) k 1
k 1
(2)
而
C临 a临
2 kRT k 1
(3)
将(2)和(3)式代入(1)式整理后得质量流量
a临
Z（）
•或
J k 1 dm Z () k 1RT
2k dt
2k
• 气动函数Z( )随 数的变化情形，如 图2—3—11所示。由图中看出，当 =1
时，Z( )为最小，其值等于2；当 接 近0时，Z( )趋于无穷大。对于空气来
说，k=1．4，J dm C pA 除了用气动函
• 查表得
(2 )
T2 T2

T2 T1

243 310
0.7839
2 1.14
p2

p2 (2 )

p1 (2 )

p1
(1 )
• (2 )
• 查表得
(1) 0.8053 , (2 ) 0.4255
• 所以
p2

5.884
0.4255 105 0.8053

q()
2
k 1
• 所以
C A临 q() 临C临 A
• q() 仅是 数的函数，所以它也是气动函
数。
• 由（2-3-25a）式可知，气动函数q() 就是
相对密流，它也等于临界截面与所研究截
面的面积比。当k=1.4时，q() 随 数的变
化情形，如图2-3-10所示。由图可见，
一、气流静参数与总参数之比的气动函数
• 气流的总参数与静参数之比可以写成数的 函数：
T 1 k 1M 2
T
2
p

(1

k
1
M
2
)
K K 1
p
2


(1
k
1M
2
)
1 K 1

2
• 为了画曲线和制表方便，需把上式中的数 换成数，为此，将前式
2 2
M 2 k 1
1 k 1 2
使用时，根据气流的 数(或M数)，就可以 查出与 数相的静参数与总参数之比的数
值。以此为基础，如已知总参数，就可以
求出静参数；已知静参数，就可求出总参
数。
• 显然三个函数 () 、 () 、 () 之间的关系 是：
•
()

*

T* T
.
P P*

() ()