二项式定理说课稿

二项式定理

第一课时

说课人：王文敏 时海燕 2010.4.6

教学目标：

（1）使学生参与并探讨二项式定理的形成过程，掌握二项式系数、字母的幂次、展开式

项数的规律；

（2）能够应用二项式定理对所给出的二项式进行正确的展开。

教学过程：

一、复习：

公式：⑴22202122

222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；

⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++． 二、新课讲解：

1．二项式定理：

①4()a b +的展开式：4

()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，

展开式各项的系数：上面4个括号中，

每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；

恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，

恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，

恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，

有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，

∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．

②()n a b +的展开式：()n a b +的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n

a ，n a

b ，…，n r r a b -，…，n b ，展开式各项的系数：

每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；

恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，

恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a

b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，

∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，它

有1n +项，

各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数，r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表

示，

根据其特点，注意以下几个问题：

1、通项1r n r r r n T C a b -+=．注意这是第1r +项，不是第r 项；

2、共有1n +项；

3、各项里a 的指数从n 起依次减少1， 直到0为止；b 的指数从0起依次增加1，直到

n 为止；即：a 按降幂排列，b 按升幂排列

4、每一项里a 、b 的指数和均为n ；

5、每一项的二项式系数为：0n C ，1n C 。。。r n C 。。。n n C

6、(1)n x +的展开式：二项式定理中，设1,a b x ==，

则(1)n x += 7、()n x +1的展开式：二项式定理中，设x b a -==,1

=-n x )1(

三、例题

例1．展开31(1)x +．

例2．展开6

，并指出第二项、第二项的二项式系数、第二项系数分别是什么。

例3．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．

例4．求12()x a +的展开式中的倒数第6项。

例5.求9(

3x +

的展开式的中间两项以及常数项。

四、课堂小结：掌握二项式定理，二项展开式的通项公式，并会求其指定项。

第二课时

教学目标

（1）深入理解并掌握二项式定理；

（2）会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。

教学过程

一、复习回顾：1、从项数、指数、系数、通项几个特征熟记二项式定理的展开式？

2、求122)12(x

x + 的展开式中不含的x 的项。 二、例题讲解、 例1、求2

4(2)x x +-的展开式中含4x 的项.

例2、求10

2)1)(1(x x x -++的展开式中，4x 的系数。

例3 、如果在（x +421

x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，

（1） 求 n

（2） 求展开式中的有理项.

（3） 求二项式系数最大的项

练习：求10

)2(x +的展开式中系数最大的项

三、课堂小结：本节重在理解并掌握二项式定理；并会运用展开式的通项公式求展开式v

的特定项。

第三课时

学习目标：1.掌握并会应用二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系

数的和。

2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题。

教学重点：二项式系数的性质

教学难点：用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题。

教学过程：

一．复习回顾

()

n a b +＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…C r n a n －r b r ＋…C n n b n 二．讲授新课 ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1，2，3…时，如下表所示：（见课本P106） 由学生发现规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

共同分析原因：C 1r n +＝C 1r n -＋C r n

课本118P 的表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解

九章算术》中就有所记载，称为杨辉三角。此表将二项式系数的性质表现得淋

漓尽致。比法国的数学家帕斯卡要早五百年左右，这是中华民族的自豪。

由此表，归纳二项式系数的主要性质。

1． 对称性：即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。

2． 增减性与最大值：

当k<12n +时，二项式系数是逐渐增大的；当k>12

n +时，二项式系数是逐渐减小的； 当n 是偶数时，C 2n

n 最大；当n 是奇数时，C 12n n -，C 1

2n n +相等，且最大。

3．各二项式系数的和

()n a b +的展开式中的各个二项式系数的和等于n 2。即：n n n n n n n n C C C C C 21210=+++++-