电磁学第一章作业

在r > R的区域II中的场强
ÒS
v E

dsv

2 rLEII


R2Le 0
r EII

R2 2 0 r
r er
E
R
r
（2） 0 rr r r2
UI r 20 dr 40
(r R)
UII

R r
e R2 2 0 r
err
drr

0 R
E 0 (R2 r R3)
E
Q
40r2
(R3 r R4 )
E 0 (r R4 )
由电势差的定义得
U14
R4
v E

v dl
R1

R2 R1
Q
40r 2
dr

R4 R3
Q
40r 2
dr

Q
4 0

1 R1

1 R2
E1 0 (r R1)

电场分布为：E2

q
40r 2
(R1 r R2 )

E3

0
(R2 r R3 )
E4

qQ
40r 2
(r R3)
R1
r
o q
-q
R2 R3
Q+q
（1）导体球的电势为：
U1
v v E dl
R1
+q -l l +q
-2q
P
r
解: (1)两个电偶极子在P +q -l l +q
点产生的场强为：
-2q
P
EP

E1

E2

2ql
40 (r
l )3 2

2ql
40 (r
l )3 2
r



ql
2 0

(r
1 l
)3

(r
1 l
)3

2
2

ql
2 0


E

E

e 2π0 x

e
2π0 a

x

2π 0
ae
a
x
x
A区：
EA

E

E

e 2π0 x

e
2π0 x

a

2π 0
ae
a
x
x
1-26 半径为R的圆面均匀带电，电荷的面密度se。
（1）求轴线上离圆心的坐标为x处的场强。
（2）在保持se不变的情况下，当 R→0 和R→∞时结果如何？ （3）在保持总电荷Q=R2se不变的情况下，当 R→0 和R→∞时
2.3103 V
1. 52 半径为R1的导体球带有电荷q，球外有一个内外半径 为R2和R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。
（1）求两球的电势U1和 U2； （2）求两球的电势差△U； （3）以导线把球和壳联接在一起后， U1、U2和△U为多少？ （4）在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和△U
R2 R1
E2dr


R3 E4dr

1
4 0

q R1

q R2

qQ R3
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导体球壳的电势为：
v v
U2
E dl
R3

R3 E4dr
qQ
4 0 R3
（2）电势差为：
U1
U2

q R2 R1
4 0 R1R2
R1
r
o q
-q
R2 R3
解（1）由题可得 U AB U AC
QC QB
0
S d AC
0
S d AB
C
B
得 QC 2
A
QB 1
由 QB QC 3107
得 QB 1107 C QC 2107 C
（2）
U AC
UA
UC

QC
0
S d AC
UC 0
UA

QC
0
S d AC
4 0 R1R2
U2 0
电势差为：
R1 R2 R3
ro
Q+q
VU
U1
U2

q R2 R1
4 0 R1R2
（5）若内球接地，则内球的电势为0。设此时内球 带有电荷q’的电场分布为：
E1 0 (r R1)


E2

q'
40r 2
(R1 r R2 )

σ
2 0
1

(R2
x

x2
)
1 2

考虑到方向
v E
σ
2 0

x x

(R2
x

x2
)
1 2
v i
（2）在保持se不变的情况下
当R 0时，E 0
当R 时，E se 2 0
v E
se
x
v i
20 x
（3）在保持总电荷Q不变的情况下
为多少？ （5）设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？
R1 R2 R3
r
o q
Q
解：
（1）静电平衡时，电容器内外极板及金属球壳内外表面所带的 电量如图所示。作半径为r的同心球面作为高斯面。利用电场的 球对称性，由高斯定理得：
Ò S
v E

v dl

4
r
2E

q
0
q
E 40r2
的电场强度为：
E e 2π0 x
A E+
E-
o
B E+
C
E+
E- E-
x
a
如图所示，两条带电直线构成的名面内，分为三个区间， 分别求电场分布。建立垂直带电直线的坐标轴ox。
A区：
EA

E

E

e
2π0 a

x

e
2π0 x

ae
2π0 a x x
B区：
EA



Q

R2 2x2
2 0 R 2

Q
4 0 x 2
v Q xv
E 40x2
i x
当R 时，E 0
（4）取无穷远处为零电势点
解法1 U
v v E dl
x
x
σ
2 0
1

(R2
x

x2
)
1 2
dx


σ
2 0
x
R
Ⅱ
r L
解： （1）作半径为r（r<R）、长为 L的共轴圆柱面作为高斯面
根据对称性，电场E仅有径向分量，因此， 圆柱面的上、下底面的E通量为0，仅有 侧面的E通量，利用高斯定理有
ÒS
v E

dsv

2 rLEI

r2Le 0
解得I区域内的场强
r EI

err 2 0
R
Ⅱ
r L
当R

0时，
(1
R2 x2
1
)2

1
R2 2x2
E

σ
2 0
1

(R2
x

x2
1
)2


Q
2 0 R 2




(1 (1
R2 x2
1
)2


R2 x2
1
)2
1



Q
2 0 R 2
1


1
R2 2x2


R2 2x2
1
由高斯定理：
v
Ò E dS S

q
0
由电场的对称性得：Ò S
v E

dS

4
r
2E

q
0
q
E 40r2
Ⅰ区 E 0 r R1
Ⅱ区 Ⅲ区
E

Q1
4 0r 2
R1 r R2
E

Q1 Q2
4 0r 2
r R2
（2）若 Q1 Q2

1 R3

1 R4

（2）由电容的定义得
CQ U

Q
Q
4 0

1 R1

1 R2

1 R3

1 R4


解：
（1）静电平衡时，电容器内外极板及金属球壳内外表面所带的 电量如图所示。作半径为r的同心球面作为高斯面。利用电场的 球对称性，由高斯定理得：
Ò S
v E

v dl

4
r
2E

q
0
q
E 40r2
电场分布为：
E 0 (r R1)
E

Q
4 0r 2
(R1 r R2 )
err 2 0
drr

e R2 2 0
ln( R) r
e R2 4 0
eR2 (2 ln R 1)
4 0
r
解析：
(r R)
由于柱体外的电场与半径r成反比，沿径向积分时，在 上限为无限远时，函数不收敛，因此零电势点不能选在无限 远处。
1. 49 三平行金属板A、B、和C，面积都是200cm2，AB相距 4.0mm，AC相距2.0mm，BC板都接地。如果使A板带正电 3.0X10-7C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是 多少？问A板的电势是多少？
结果如何？ （4）求轴线上电势U(x)的分布，并画出 U-x曲线。
解：（1）将圆盘分割为宽度为dr的无数个圆环， x
dr
取圆电荷元 dq σ 2πrdr
由上题结果
dE

xdq
4π0 (x2
r 2 )32
r
1. 26 圆盘电荷
则
E

R 0
2πσxrdr
4π0 (x2 r2
3
)2
Q+q
（3）导线把球和壳联接在一起后，则导体球上的 电荷将传到球壳上，分布到导体球壳的外表面。则 此时的电场分布为：
E1 0 (r R3)
R1
E2

qQ
4 0r 2
(r R3)
ro
电势为：
U1 U2
R3
E2dr

qQ
4 0 R3
R2 R3
Q+q
电势差为：
4 0
R1 R2 R3
r
o q’
-q’ Q+q’
1. 62 一球行电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在 两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。
（1）给内壳（R1）一电量Q，求R1和R4两壳的电势差。 （2）求以R1和R4为两极的电容。
R1 R2 R3
r
o Q
R4
-Q
-Q Q
VU U1 U2 0
（4）若外球接地，则球壳外表面的电荷流向大地， 球壳的电势为0。则此时的电场分布为：

E1

0
(r R1)

E2


q
40r 2
(R1 r R2 )
E3 0 (r R2 )
电势为：
U1
R2 R1
E2dr

q R2 R1

1 2
(R2
1
x
2
)
1 2


2
x
5.5

σ
2 0
(R2

x2
)
1 2

x

5.0 4.5 4.0
σR
2 0
3.5
U
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
-10 -8 -6 -4 -2 0
2
4
6
8 10
x
解法2 将圆盘分割为宽度为dr的无数个圆环，
取圆电荷元在p产生的电势
的电势为：
v v
U P r E dl
-2q
P
r
3Q

dr
r 40r 4

Q
4 0 r 3
1.12 两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a，电荷 线密度分别为 e 。求这两线构成的平面上任一点（设这点
到其中一线的垂直距离为x）的场强。
e
e
解：已知无限长直带电线
dU

dq
40
(x2

r
2
)
1 2

2 rsedr
40 (x2

r2
1
)2
px
dr
U
R 2 rs edr
0
4 0
(x2

r2
1
)2
r
s

2 0
R rdr
0
(x2

r
2
)
1 2

s 2 0
(x2

r2
)
1 2
R 0

σ
2 0
(R2

x
2
)
1 2

x

1. 26 圆盘电荷
1.36 半径为R1和R2的两个同心球面均匀带电，电荷量分别为 Q1和Q2.
（1）求Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布；
（2）若Q1 Q2 ，情况如何？画出此情况下的E-r曲线。
（3）按情形（2）求Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的电势分布，并 画出U-r曲线。
Ⅲ
Ⅱ
R2
Ⅰ
O R1
解：（1）以o点为圆心作半径为r得球面作为高斯面。
l



(r

l )2 2
(r (r
l )(r l ) 22
l )3(r l )3

(r

l )2 2



22

ql l 3r2 3 2 ql2 3Q
20 r6
40r 4 40r 4
其中: Q 2ql2
(2) 电四极子在P点产生 +q -l l +q
2
dr

R2
Q1 Q2
40r 2
dr

Q1
4 0
(1 r

1 R2
)
Ⅰ区的电势为
U1(r)

U（Ⅱ R1）
Q1
40
(
1 R1

1 R2
)
U
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
O
R1 R2
r
1. 38 半径为R的无限长圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρe。
（1）求场强分布，并画出E-r曲线。 （2）轴线为电势零点求电势分布。
Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
E 0 r R1
E

Q1
4 0r 2
R1 r R2
E 0 r R2
E
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
r
（3）根据电势的定义， Ⅲ区的电势为
UⅢ（r） 0
Ⅱ区的电势为
UⅡ

R2 r
Q1
4 0 r
1.10 本题图中所示是一种电四极子，它由两个相同的
电偶极子组成p=ql，这两个偶极子在一直线上，但方向相反，
它们的负电荷重合在一起。试证明：在它们的延长线上离
中心（即负电荷）为r(r>>l)处，
（1）场强为
E

3Q
4π0r 4
（2）电势为 U (r) Q 4π 0 r 3
式中Q=2ql2叫做它的电四极矩。

E3

0
(R2 r R3 )
E4

q ' Q
40r 2
(r R3)
电势为：
U1
v v E dl
R1
R2 R1
E2dr


R3 E4dr

1
4 0

q' R1

q' R2

q
' Q R3


0
q ' QR1R2 R2 R1