理论力学(第四章)

β =1
∂f β ∂zi
)δ zi ]
=0
δ xi , δ yi , δ zi (i = 1,2,Ln) 共3n个，由于存在k个约束，故这3n个变分
有k个不是独立的。然而，由于不定乘子 λβ 可任意选择，总可以
选择适当的 λβ ( β = 1, 2,L , k )，使得某k个虚位移前括号内的量调节为零 而余下3n-k=S个虚位移就是全部独立的了。这样，变分前括号内 的量就全部为零。 ⎧ ∂f β
称此关系为虚功原理。其中 讨论：1.虚功原理是静力学的基本原理。 2.若主动力 Χi 则虚功原理可写成： ，
Χi
i
3.
=0 （i=1,2,……n) 不全是独立的，
=
Χi
除非没有任何约束。
4.虚功原理的最大优点是避免求约束力，最大的弱点也是 不能求约束力。 5.主动力和被动力的区别。 6.非理想约束，虚功原理亦可用，但 应包括非理想约束力. 二、广义坐标下的虚功原理 在约束体系中， 广义坐标的变更 问， 令 与 (i=1,……,3n)不完全独立，而 (α=1,……,s)是彼此独立的。 间的关系如何？以下寻求两者的关系。
i =1 ix i iy i iz i i =1 =1
n
n
k
∂f β
i
δ xi + λβ
∂f β ∂yi
δ yi + λβ
k
∂f β ∂zi
δ zi ]
= ∑ [( Fix + ∑ λβ
i =1
n
k
∂f β ∂xi
β =1
)δ xi + ( Fiy + ∑ λβ
β =1
k
∂f β ∂yi
)δ yi + ( Fiz + ∑ λβ
注：方程右边下标1均应为“，”, 且应补上“ = 0 ”
， ，， 或
f β ( x, y, z ) = 0( β = 1, 2,L k )
↙
体系的自由度 S = 3n − k 2、平衡方程
Q f β ( x, y , z ) = 0, ( β = 1, 2,L k )
δ f β ( x, y , z ) = 0, ( β = 1, 2,L k )
可
2.实位移：质点由于运动而实际发生的位移。以d
）。
表示。（dt
特点：
四、虚功和理想约束 虚功：质点作虚位移 W=
时，作用于质点上的力
所作的功
称为虚功。
理想约束：有一种约束，其约束力所做虚功之和为零，则称这 种约束为理想约束。（或无功约束 workless constraint） 如质点约束在光滑曲面运动，这时约束力 方向。故 总沿曲面的法线
⎧ ∂f ⎪ Fx + λ ∂x = 0L (2) ⎪ 据上，平衡方程： ⎪ ∂f = 0L (3) ⎨ Fy + λ ∂y ⎪ ⎪ ∂f = 0L (4) ⎪ Fz + λ ∂z ⎩
从（1）～（4）式可解出x, y, z及 λ
3、 λ 的物理意义
v v v 据上例,(2),(3),(4)分别乘以 i , j , k 并相加得
分析力学也曾被Rutherford 应用于α粒子散射； Sammerfield 应用分析力学理论扩充了Bohr的氢原子模型，为 量子光谱理论开辟了道路。
分析力学的 基本理论体系
§4.1 Basic concepts
一、约束 1、定义：力学体系中，限制质点自由运动的条件称为约束。 x2 + y 2 − l 2 = 0 x2 + y 2 = l 2 如单摆，必须满足 或 的约束条件。
⎪ Fix + ∑ λ β β ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ Fiy + ∑ λ β β ⎪ ⎪ ⎪ Fiz + ∑ λ β ⎪ β ⎩ ∂ xi ∂f β ∂yi ∂f β ∂zi =0 = 0 ， (i=1,2,L n)L 平 衡 方 程 =0
故有：
这就是3n个平衡方程，它们和k个约束方程联立可解出 3n+k个未知数（ 即 xi , yi , zi (i = 1, 2,L , n) 及 λβ ( β = 1, 2,L , k ) 这里 λ（k个） 为拉格朗日不定乘子。 β 例：一个质点约束在一个曲面上，用拉格朗日不定乘子法写出 其平衡方程。 解： 据题意，n=1,k=1, 约束方程为 f(x,y,z) = 0 ………… (1)
∂f v ∂f v ∂f v ( Fx + λ )i + ( Fy + λ ) j + ( Fz + λ )k ∂x ∂y ∂z v v v ∂f v ∂f v ∂f v = Fx i + Fy j + 3，z k + λ i + λ F j +λ k ∂x ∂y ∂z v = F + λ∇f = 0
O
A B F
习题: (4.2), (4.4), (4.6), (4.8)
注意：1.应用虚功原理解题时，符号选取的原则：主动力若与 坐标轴同向，取正号，反之取负号。 2.坐标原点应选在不动点上。否则，在原点变分不为零。 四、拉格朗日不定乘子和约束力 利用虚功原理求平衡条件很方便，但无法求约束力。拉格朗 日不定乘子法既可求平衡条件，又可求约束力。 1、所考虑的力学体系 n个质点，k个完整且稳定的约束，约束方程为：
. 1
% % Δ q = δ q + q (t + Δ t ) − q ( t )
全变分亦称不等时变分，其主要性质： d dq Δq ≠ Δ dt dt
§4.2 Principle of virtual work and its application 一、虚功原理 在理想约束下，力学体系平衡的充要条件为作用于体系的所 有主动力所作的虚功之和等于零，即 W＝ i ，证明略。
Χi
，
， 即 Χi
（i=1,2,…,n）
则有,
∑ [Χiδ xi +Yiδ yi + Ζiδ zi ] = −∑
i =1
n
∂V δ xi i =1 ∂xi
3n
＝－ 或 注意到， ＝0 （ ＝0
＝－
＝0
↙
（据虚功原理）
……保守质点组平衡的充要条件 )＝ ， ，必有
可见，在稳定理想约束下，保守质点组平衡的充要条件是势 能具有极值。 例题：两长度分别为l1和l2质量分别为m1和m2的均质杆OA和 OB,位于同一铅直平面内，并在A点光滑铰链相连，OA的另一 端则固定在O点。杆AB的端点B受一水平力F作用，如图示。 求平衡条件。（课堂讲解）
y
θ
l
x
2、分类： 含 如 如 含 （t)
实
有一种运动约束可经积分变为几何约束，如纯滚动。
（Holonomic constraint; Nonholonomic constraint) 几何约束与运动约束是按数学表式来分类的; 而完整约束与 非完整约束是按物理实质来分类的。 3.完整组（系） 只受完整约束的力学体系（质点组）称为完整系（组）。 （以后除特别说明，一般都指完整系） 4、约束力： 迫使力学系统遵守约束条件的力称为约束力。
% δ q = q (t ) − q (t ) = εξ (t )
这里δq 称为等时变分（同在t时刻） 注意，δq与dq不同。δq是由于函数曲线的形状变化所引起； 而dq是由于函数本身q(t)的自变量t的微小变化所引起，如图示。
q
δq
~ q(t)
~ q(t+ Δt)
~
~ q(t)
q(t) dq
t
t+ Δt
（注意这里x,y,z都是缩写）
即有
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v v v v 又第i个质点所受的主动力： Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k
i
∑ [ ∂x
i =1
n
∂f β
δ xi +
∂f β ∂yi
δ yi +
∂f β ∂zi
δ zi ] = 0( β = 1, 2,L k )L (1)
v v v v 而第i个质点的虚位移： δ ri = δ xi i + δ yi j + δ zi k
(i=1,……,3n)
(i=1,…,3n)
据虚功原理
，结合上式,有
令
……广义力
则 由于 都是独立的，因而必有
这就是广义坐标下力学体系的平衡方程或虚功原理。 叙述：理想约束下，体系平衡的充要条件是所有广义力等于零。
由上亦可得
(=0)
注意：广义力一般不属于某一质点，也不对应于某一主动力或 其某一分量，而可能与作用在体系上的所有主动力及所有质点 有关。 三、广义坐标下保守组的平衡条件 若作用在质点组上的主动力具有势（保守力）， 且注意到
二、自由度和广义坐标 1、自由度 确定系统运动状态所需的独立坐标数称之。 如空间自由质点的自由度为3, 平面运动质点的自由度为2,… 2、自由度与约束方程数的关系 n个质点，k个约束的完整系，其自由度 S＝3n－k。 3、广义坐标 建立一个力学体系的动力学方程所必需的独立坐标称之。 或：对自由度为S的完整系，需要S个独立坐标来描述体系的 运动。这S个独立坐标称为广义坐标。以 表示。
讨论：1）广义坐标不限于长度量纲，也可以是：角度
→
，
→
电量q，面积A，体积V，电位移矢量 D ，磁化强度 M 等 2）自由度对一个系统是唯一确定的，而广义坐标则可多 种选取。例：
3）对非完整约束，自由度总小于广义坐标数。 (自由度＝广义坐标数－非完整约束方程数) 三、虚位移和实位移（Virtual displacement and actual displacement） 1.虚位移：质点在某时刻的虛位移是指质点在该时刻的约束条件 → 下所允许作的任意无限小位移，以 δ r 表示。 特点：