点阵常数的精确测定
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点阵参数测定
布氏 硬度
0.07 0.037 0.022 0.015
X射线衍射法测点阵常数的原理
立方晶系物质：
λ H +K +L a= 2 2sin θ
2 2
2
波长λ是经过精确测定得到的，有效数字达五位以上， 如CuKα1辐射的波长为1.54060埃。可近似认为无误差。
干涉指数是整数，也无所谓误差。 点阵参数a的测量精度取决于sinθ的精度。
sin θ =
2
λ2
4d 2
2∆d ∆ sin θ = − 2 ⋅ d 4dห้องสมุดไป่ตู้
2
λ2
∆d = K cos 2 θ d
∆ sin 2 θ = −2 K sin 2 θ cos 2 θ = D sin 2 2θ
D 是常数，这里微分符号用Δ表示。
最小二乘法（柯亨法）
修正后立方系布拉格方程为 ：
sin 2 θ =
I A族碱金属元素的原子间距、熔点、沸点和硬度
金属 元素 Li Na K Rb Cs
结构 类型 bcc bcc bcc bcc bcc
键电 子数 1 1 1 1 1
原子间 距/Å 3.04 3.72 4.62 4.92 5.32
熔点 /℃ 180 97.8 63.3 39 28.4
沸点 /℃ 1342 883 760 686 669
点阵参数的测量精度
点阵参数测量的误差处理
德拜-谢乐法中系统误差的来源 1）相机半径误差 2）底片收缩（或伸长）误差 3）试样偏心误差 4）试样对X射线的吸收误差 5）X射线折射误差 消除德拜-谢乐法中系统误差的校正方法 1）采用精密实验技术 采用不对称装片法，将试样轴高精度地对准相机中心，采用直径更大 的相机，保证曝光时间的温度。 2）应用数学处理方法
6 点阵常数的精确测定
C
C
图 6-3 试样吸收误差产生 的示意图
衍射，衍射线束的中心线由试样中心 C 发出，位置为 P。可见由于吸收产生的衍射线位移 PP与试样在水平方向上位移 CC＝x 产生的衍射线位移是相同的。所以可将吸收误差合并
68
燕大老牛提供
到试样偏心误差中。 综合上述四种误差，可以得到角的总误差为：
燕大老牛提供
6 点阵常数的精确测定
点阵常数是晶体物质的重要参量，它随物质的化学成分和外界条件（温度和压力）而发 生变化。晶体物质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变、宏观应力等， 都与点阵常数的变化密切相关。 所以， 可通过点阵常数的变化揭示上述问题的物理本质及变 化规律。但在这些过程中，点阵常数的变化一般都是很小的（约为 10-4 量级） ，因此，必须 对点阵常数进行精确的测定。
在背反射区， 接近 90， 很小， sin ， cos 1 。则：
d sin S R x S R x [( ) sin sin ] ( ) sin2 d 1 S R R S R R
在同一张底片上，括号中各项均属恒量，可用常数 K 表示，则有：
(
S R x ) sin cos S R R
6-7)
由于 900 ， ， sin cos ， cos sin ，可将方程(6-2)写成：
d cos sin sin S R x cot [( ) sin cos ] d sin cos cos S R R
－
的数值，故不考虑它的误差，所以，点阵常数的测量精度主要取决于 sin 值。由布拉格方 程可知 sin ，若为常数，则两边取微分： 2d
第7章-点阵常数的测定
如何外延？
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d d
c
os2
(
A s in 2Βιβλιοθήκη Bs in C
D
sin2
4E
sin2 2
)
d d
ctg2 (A B sin
C sin2
D
E
cos2 )
n (HKL)
0.010
0.005 0.0010~
0.000 30 40 50 60 70 80 90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
7.1 基本原理
2d sin
a d
H 2 K 2 L2
a
H 2 K 2 L2
2 s in
d
cos 2sin2
d d
a a
cos 2sin2
ctg
2 s in
a
H 2 K 2 L2
2 s in
X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。
第七章 点阵常数精确测定
点阵常数是晶体的重要基本参数，随化学组分和 外界条件(T,P)而变。 材料研究中，它涉及的问题有：键合能、密度、 热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变，宏观 应力。 点阵常数的变化量很小，约为10－3 nm ,必须精 确测定。
曲线外推：通常引入人为主观因素。 直线外推：效果好。
a a0 a a0 bf
若用a0表示点阵常数精确值，则实测的点阵常数a为：
d d
c
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(
A s in 2Βιβλιοθήκη Bs in C
D
sin2
4E
sin2 2
)
d d
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C sin2
D
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n (HKL)
0.010
0.005 0.0010~
0.000 30 40 50 60 70 80 90
点阵参数测量精度与θ和Δθ的关系
当一定时，采用高角的衍射 线，面间距（或者立方系物质的 点阵参数）误差将减小。
因此，选择角度尽可能高的线条 进行测量。
7.2 误差来源
7.2.1 德拜照相法：
相机半径、 底片伸缩、 试样偏心、 试样吸收
7.1 基本原理
2d sin
a d
H 2 K 2 L2
a
H 2 K 2 L2
2 s in
d
cos 2sin2
d d
a a
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a
H 2 K 2 L2
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X射线测定点阵常数是一种 间接方法，它直接测量的是 某一衍射线条对应的θ角，然 后通过晶面间距公式、布拉 格公式计算出点阵常数。
第七章 点阵常数精确测定
点阵常数是晶体的重要基本参数，随化学组分和 外界条件(T,P)而变。 材料研究中，它涉及的问题有：键合能、密度、 热膨胀、固溶体类型、固溶度、固态相变，宏观 应力。 点阵常数的变化量很小，约为10－3 nm ,必须精 确测定。
X射线衍射之晶面标定及精确测定点阵常数
点阵常数的精确测定41130269 材料1109 顾诚【实验目的】了解点阵常数测定时的误差来源，消除误差的实验方法及数据处理方法。
【实验原理】对立方晶系通常采用下式计算测定点阵常数的误差：θθ∆∙-=∆cot a a通常所指精确测定点阵常数，是指使测定点阵常数的精确度达到小数点第四位（0A ），即00001.0A a +=∆。
无论采用粉末照相方法还是衍射仪法测定点阵常数，都是通过测量衍射线的θ2角的位置，根据布拉格公式及晶面间距与点阵常数的关系公式来求出点阵常数值。
测定θ2角的误差包括偶然误差和系统误差两大类。
在精确测定点阵常数时，一方面应尽可能采用精密的实验技术，使这两类误差减至最小限度，另一方面，又根据这些误差所具有的特点和规律，采用合理的数据处理方法，使它们减至最小。
【实验方法】 衍射仪法用衍射仪精确测定点阵常数的精度可达到15万分之一。
由于衍射仪法与德拜法的测试方法与记录手段不同，故误差来源和消除误差的实验方法不相同。
误差来源1) X 射线管焦点偏离测角计180度的位置：()R x /2-=∆θ2) 试样表面偏离测角计轴：()R P /cos 22θθ-=∆3) 试样表面偏离聚焦圆：()θθcot 622a -=∆4) 试样吸收系数过小：()R μθθ2/2sin 2-=∆5) 入射束轴向发散：()θδθδθ2sin 36cot 2221+-=∆6) 因其他实验条件（如试样制备、温度波动、测角计传动、扫描速度以及时间常数等因数）所导致的误差。
消除误差的实验方法1. 精细调试测角计：不同厂家生产的衍射仪的调试细节各不相同。
2. 合理选择时间常数和扫描速度。
3. 消除测角计传动误差：用调试手段很难消除此种误差，但可通过将θ2角测量结果与精确点阵常数已知的标样的θ2角测量结果进行比较来校正。
比较时要选择θ2相近的线条逐一比较，以防因θ2角差值过大造成新的误差。
4. 利用双向扫描消除焦点不在180度处及接收狭缝不在零位的误差：采用双向扫描和θ2cos 外推法进行处理。
实验3 立方单相点阵常数的精确测定
实验 3 立方单相点阵常数的精确测定实验3 立方单相点阵常数的精确测定一、实验目的与任务1. 了解用图解法精确测定立方晶系点阵常数的基本原理。
2. 了解用最小二乘法精确测定立方晶系点阵常数的基本原理。
二、实验仪器与材料D8 Advance X-射线衍射仪，立方系单相物质XRD 图谱 三、实验原理要获得晶体的点阵常数，则要先知道各衍射峰的2θ角，依据λθ=sin 2d算出d 值，然后根据各峰的指数)(hkl 和面间距公式，可得点阵常数。
对于立方晶系：222lk h a d ++=，所以θλsin 2222l k h a ++=为实现点阵常数的精确测定，将布拉格公式微分得：θθλλ∆-∆=∆=∆.ctg d d a a令0=∆λ，则点阵常数精确度为 θθ∆-=∆.ctg aa本实验就是要消除或减小此类误差精确测定点阵常数。
主要误差来源（见详细讲义） 三、实验方法与步骤 (一)图解法 ⑴θ-a 曲线外推法① 先测出同一物质多根衍射线θ角值，并算出相应的a 值； ② 以θ为横坐标，a 值为纵坐标，将各点连成一光滑曲线； ③延伸曲线，使之与θ=90°处纵坐标相截，截点对应a 值即为精确点阵参数。
备注：曲线外延带有主观因素，最好寻求另一量(θ的函数)作为横坐标，使得各点以直线相连接。
备注：选做。
⑵θ2cos -a 直线外推法误差分析研究表明：以θ2cos 为横坐标，a 值为纵坐标，连接各点符合直线关系：,cos 2θK dd=∆K 为常数，对于立方系物质有：,cos 2θK dd a a =∆=∆处理方法如下：① 先测出若干高角度θ角衍射线，并求出相应a值；② 以θ2cos 为横坐标，a 值为纵坐标，连接各点应为一条直线；③ 按各点趋势，定出一条平均直线，其延长线与纵坐标交点即为精确的点阵常数。
⑶)2cos sin cos (212θθθθ+-a 直线外推法具体处理方法学生自己组织。
(二)最小二乘法 根据尼尔逊函数 )1sin 1(cos .21sin cos 21)(222θθθθθθθθ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=os f以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+θθθθ22sin cos 21os 即)1sin 1(cos .212θθθ+值为x 值（θ的单位用弧度），a 值作为y 值代入方程组：2∑∑∑∑∑∑+=+=xb x a xy x b a y 从而得到精确的0a 值。
6 点阵常数的精确测定
在背反射区， 接近 90， 很小， sin ， cos 1 。则：
d sin S R x S R x [( ) sin sin ] ( ) sin2 d 1 S R R S R R
在同一张底片上，括号中各项均属恒量，可用常数 K 表示，则有：
(6-2)
a cot a
(6-3)
由此可见， 在测量误差 一定的情况下， 点阵常数的相对误差 a a 与 cot 成正比， 当 0 时， a a 0 。但在实际测量中， ＝90的衍射线是得不到的。可以通过选用适当的波 长，来得到尽可能多的衍射线。必要时可以用 K衍射线，使 60的区域出现尽可能多的衍 射线，并使其最大角靠近 90。这样更便于利用最小二乘法作进一步的数学处理。 测量误差分为偶然误差和系统误差。 偶然误差可以通过多次重复测量将其降低到最小限
C
A (a) 图 6-2 试样偏心误差示意图
A
C (b)
可以将试样偏心分解为沿入射线方向的水平位移x 和垂直位移y 两个分量。 由图 6-2(b) 可见，y 使衍射线对的位置向同一侧位移。由于 ACBD，故 ABCD。可以近似地认为， 线对位移后其间距不变。因为可不考虑垂直位移y 的影响。 由图 6-2(a)可见，水平位移x 使衍射线对的位置由 AB 移到 CD，线对间距 S 发生明显 变化S， S AC BD 2BD 2PN ，而 PN x sin 2 ，故 S 4x sin cos 。 由此可导出导致角的误差：
69
燕大老牛提供
(4) 折射校正：X 射线从空气中进入试样时产生折射，因为折射率非常接近于 1，故在一般 情况下不必考虑它的影响。但当点阵常数测量精度达到 10-5 数量级时，就要考虑修正。 折射校正的布拉格方程为：
d sin S R x S R x [( ) sin sin ] ( ) sin2 d 1 S R R S R R
在同一张底片上，括号中各项均属恒量，可用常数 K 表示，则有：
(6-2)
a cot a
(6-3)
由此可见， 在测量误差 一定的情况下， 点阵常数的相对误差 a a 与 cot 成正比， 当 0 时， a a 0 。但在实际测量中， ＝90的衍射线是得不到的。可以通过选用适当的波 长，来得到尽可能多的衍射线。必要时可以用 K衍射线，使 60的区域出现尽可能多的衍 射线，并使其最大角靠近 90。这样更便于利用最小二乘法作进一步的数学处理。 测量误差分为偶然误差和系统误差。 偶然误差可以通过多次重复测量将其降低到最小限
C
A (a) 图 6-2 试样偏心误差示意图
A
C (b)
可以将试样偏心分解为沿入射线方向的水平位移x 和垂直位移y 两个分量。 由图 6-2(b) 可见，y 使衍射线对的位置向同一侧位移。由于 ACBD，故 ABCD。可以近似地认为， 线对位移后其间距不变。因为可不考虑垂直位移y 的影响。 由图 6-2(a)可见，水平位移x 使衍射线对的位置由 AB 移到 CD，线对间距 S 发生明显 变化S， S AC BD 2BD 2PN ，而 PN x sin 2 ，故 S 4x sin cos 。 由此可导出导致角的误差：
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(4) 折射校正：X 射线从空气中进入试样时产生折射，因为折射率非常接近于 1，故在一般 情况下不必考虑它的影响。但当点阵常数测量精度达到 10-5 数量级时，就要考虑修正。 折射校正的布拉格方程为：
X-ray实验报告
出GP 区、η'相或η相。
后两者具有六方结构，基本化学组成为MgZn2。
而GP 区为5-10nm 的球状粒子。
析出相不同，其合金性能也不相同。
图1 Al-Zn-Mg 合金的不同处理态TEM 观察a)Al 固溶态(基体) b) 120℃/24h 时效态 c)180℃/24h 时效态同一合金，固溶态的物相应为单相，而时态效为双相（基体和析出相），因此，首先应通过实验鉴定物相组成（物相定性分析）；对于双相态，应当了解析出相的百分含量；另外，由于合金元素在基体中不同程度的固溶，导致基体的点阵常数变化，通过这种变化可检测固溶程度。
2 实验目的了解X 射线衍射仪的结构，操作规程，掌握MDI JADE 的使用方法； 掌握X 射线在新材料开发中的实际应用方法（物相定性分析、物相定量分析和点阵常数精确测定）。
掌握新材料开发的最新进展和新实验方法和技巧。
0.5μ100nm b) a)100nm c)100nm二 实验原理1．物相定性分析：X 射线物相分析的基本原理是每一种结晶物质都有自己独特的晶体结构，即特定点阵类型、晶胞大小、原子的数目和原子在晶胞中的排列等。
因此，从布拉格公式和强度公式知道，当X 射线通过晶体时，每一种结晶物质都有自己独特的衍射花样，衍射花样的特征可以用各个反射晶面的晶面间距值d 和反射线的强度I 来表征。
其中晶面网间距值d 与晶胞的形状和大小有关，相对强度I 则与质点的种类及其在晶胞中的位置有关。
通过与物相衍射分析标准数据比较鉴定物相。
2定量分析 物质衍射线强度，随该相含量的增加而提高，但由于X 射线受试样吸收的影响，试样中某相的含量与其衍射线强度通常并不正好成正比。
第j 相某一衍射线的强度，随j 相所占体积分数的增加而增加。
假定：有n 个相，测其中第j 相的含量， 若该相参加衍射的体积为：Vj 则第j 相的衍射线强度为：Ij=CKj(8-7)式中：C ：与待测相含量无关的物理量=Kj ：与待测相含量无关的强度因子=•又多相混合物的线吸收系数• 绝热法一个含有N 个物相的多相体系中，在每个相的RIR 值（参比强度）均为已知的情况下，测量出每一个相的衍射强度，可计算出其中所有相的质量分数：其中某相X 的质量分数可表示为：∑==Ni iA i XA X X K I K I W 1∑==Ni i Ai XAX X K I KI W 1到最小 5）全谱拟合Retiveld 提出，采用一定的峰形函数对实验数据拟合，通过不断调整峰形函数和结构参数，使计算值一步一步地逼近实验值，直到两者的差值R 最小： 式中w i ——权重因子，w i =1/Y iYoi,Yci ——步进扫描第i 步的实测强度和计算强度使R 值最小的过程就是图谱拟合过程。
点阵常数的精确测定
X射线测定点阵常数是一种间接方法，它直接测量的是某 一衍射线条对应的θ角，然后通过晶面间距公式、布拉格 公式计算出点阵常数。以立方晶系为例，其晶面间距公
式为： adH 2K 2L 2
根据布拉格公式2dsinθ=λ，则有：
H2K2L2
a
sin
在式中，λ是入射特征X射线的波长，是经过精确测定的，
S
φ =S/4 R
设相机不准造成的半径误 差为ΔR，底片伸缩误差为 ΔS。则由于
R
2θ 2φ
S R SR
S R SR
相机半径误差及底片伸缩误
差导致的角度误差为
R、 S
（SR）
SR
编辑ppt
13
对于立方晶 a系 ： ctg
a
所以， a(SR)( )ctg
a S R2
当θ接近90度时，相机半径误差及底片伸缩误差
编辑ppt
20
数学处理方法
图解外推法 最小二乘法
编辑ppt
21
图解外推法
如果所测得的衍射线条θ角趋近 90°，那么误差（△a/a）趋近 于0。
但是，要获得θ=90°的衍射线 条是不可能的。于是人们考虑 采用“外推法”来解决问题。
所谓“外推法”是以θ角为横坐 标，以点阵常数a为纵坐标；求 出一系列衍射线条的θ角及其所 对应的点阵常数a；在所有点阵 常数a坐标点之间作一条直线交 于θ=90°处的纵坐标轴上，从 而获得θ=90°时的点阵常数， 这就是精确的点阵常数。
编辑ppt
9
对布拉格公式微分，可得:
2 d sin n 2 d cos 2 sin d d ctg d d ctg d 对于立方晶系： d a
da
编辑ppt
点阵常数精确测定
误差与校正
❖机械零点误差校正 只有通过精确调整设备的机械零点，现代X射线衍射仪都 有自动调整程序，通过反复调光来校准机械零点 ❖试样转动与计数器转动角度的匹配误差校正 由于样品转动与计数器转动速度不匹配，导致衍射峰位 置的偏移。可以通过标准硅作校正。 Δ（2θ）=A0+A1*（2θ）+A2*（2θ）2+A3*（2θ） 3+A4*（2θ）4 式中Δ（2θ）=2θ计算-2θ测量，A0，A1，A2，A3，A4为最 小二乘法的最佳匹配参数
2 theta/ °
精确测定点 阵参数原理
利用点阵参数的灵敏范围
测定点阵参数最灵敏的区域 是在高角度范围，这是因为影响
精确度的是 sin hkldຫໍສະໝຸດ kl 2 sinhkl1.0
0.9
0.8
0.7 0.6
相
0.5
同，高角
0.4 0.3
度sin 误
0.2
差较小。
0.1
0.0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
点阵常数 精确测定
点阵常数是晶体物质 的重要参数
晶体材料中原子键合力、密 度、填隙式固溶体和缺陷固溶体 的鉴定、宏观应力、固态相变、 热膨胀系数等，都与点阵常数的 变化密切相关。通过点阵常数的 变化可揭示这些问题的本质和变 化规律。
点阵常数的变化特点
晶体材料的点阵常数变化 较小，一般小于0.001nm，这 种微小的变化容易被实验误差 所掩盖。因此，测定点阵常数 在实验条件上要求较高。
误差与校正
❖ 温度校正 当实验温度不在25℃时，需要进行温度校正。这是由于在晶体点阵中 原子中心相对点阵结点在各个方向有热振动位置偏移,当X射线入射晶 体而对布喇格公式加以温度校正.公式为: a校=a测[1+α(25-T测)] α——晶体膨胀系数
第十二章 点阵常数的精确测定
主要内容
点阵常数精确测定的原理 德拜—谢乐法的系统误差 衍射仪的主要误差 外推法消除系统误差 最小二乘法
8.1
点阵常数精确测定的原理
测定点阵常数的依据
衍射线的位置 即2角
以衍射花样指数化为基础
通过布拉格方程和晶面间距 公式计算点阵常数
以立方晶系为例，点阵常数的计算公式为：
影响点阵常数的因素： 1）入射X射线的波长； 2）晶面指数（HKL）； 3）sin.
2）
外推函数cos2只适 用于 ≥ 60°的衍 射线，其中至少一条 >80°的衍射线。这 种外推函数可获得 2×10-5精度的点阵 常数。
3）对衍射仪法，不能用一个统一的外推函数 消除全部系统误差。只能采用逐项处理或总 体处理两种办法消除系统误差。实际处理时， 只能以某种函数为主选取外推函数。
8.2
德拜—谢乐法的系统误差
系统误差的主要来源：
（只有背反射区的衍射线适合作点阵常数的 精确测定，误差讨论以背反射区为基准）
（1）相机半径误差
（2）底片伸缩误差 （3）试样偏心误差 （4）试样吸收误差
2
综合上述因素，可得：
2
8.3
衍射仪法的主要误差
Байду номын сангаас
1) 不能用利用外推函数消除的误差 2) 可利用外推函数消除（部分消除）的误差
第十二章
点阵常数的精确测定
点阵常数晶体物质的重要参量，它随物质的化 学成分和外界条件而发生变化； 许多材料研究和实际应用问题，都与点阵常数 的变化密切相关；如晶体物质的键合能、密度、 热膨胀、固态相变等； 上述过程中，点阵常数的变化一般很小（约为 10-4Å）数量级。
必须对点阵常数进行精确测定
点阵常数精确测定
B Data1B
X axis title
点阵常数精确测定
崔喜平
哈尔滨工业大学 材料学院
1. 精确测定的意义
晶胞参数是决定晶体结构 的重要参数之一 化学成分如参杂等 外界条件如温度等
晶胞参数相应地有规律发生微小变化
精确测定特定条件下的晶胞参数的意义 研究结晶物质的键能； 晶体结构的缺陷、固溶体的性质； 精确测定分子量； 晶体的密度和膨胀系数。
3. 精确测定晶胞参数
衍射仪法的误差来源
(1) X射线管焦点偏离测角仪180度位置 Δ（2θ）= -x/R
(2) 样品表面偏离测角仪
Δ（2θ）= -2Pcosθ/R (3) 样品表面偏离聚焦圆 Δ（2θ）= α2/6 * cotθ (4) 样品吸收系数过小 Δ（2θ）= - sin2θ/2μR (5)入射束轴向发散
2. 精确测定步骤
精确测定晶胞点阵常数的基本步骤
①精确测定物质的X射线衍射图谱，标定各个衍射 峰的h、k、l值； ②根据Bragg公式 d sin n 计算出晶面间距d； ③由d及h、k、l值计算出点阵参数的粗算值a、b、
c及α、β、γ；
④消除各种误差得到精确的点阵参数。
3. 精确测定晶胞参数
Cos θ
0.2876 0.2841 0.1700 0.1658 0.1284 0.0519 0.0473 0.0326
2
3.1655 3.1650 3.1645 3.1640 3.1635 3.1630 3.1625 3.1620 3.1615 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Δ（2θ）= δ 1cotθ/6 +δ /3sin2θ
2
2
其他实验误差有传动、扫描速度、时间常数等
点阵常数的精确测量
南大学 接近 90°时，由 ∆θ 产生的 ∆d 也趋于零（见表 1）；另一方面，较高角度程衍学射院的衍射角对晶
中 体
d
值的变化或差异更加敏感。所以，无论是为了精确测定晶胞参数或工者是为了比较结构参 与
数的差异或变化，原则表上1都当应该Δ尽θ可=能0使.0用1°高时角，度对衍于射不线材同的料衍数科射据学角。的晶面
院 晶面间距测材定料中科的系统误差进行分析。晶面间距 d 的测定准确度取决于衍射角的测定准确
度，可分学为两方面对此进行讨论。
学 大 工程 中南（1）衍射角的测量误差 ∆θ 与 d 值误差 ∆d 的关系
与 微分 Brag 方程可以得到： 科学∆d = −∆θ cotθ
料d
材 从上式可见，对于在较高角度下产生的衍射，同样大小的 ∆θ 值引起的 ∆d 值较小，当 θ
实验 3 点阵常数的精确测量
一、实验目的
1．掌握精确测量合金点阵常数的实验方法及数据处理方法。
2．熟悉晶体结构参数精密化处理的原理与方法。
3．了解 X 射线衍射法测量点阵常数的实验误差来源。
4．了解金属材料点阵常数变化与热处理制度的关系。
二、实验原理概述
院
1．晶胞参数的精确工测程定学
晶胞参数需由学已与知指标的晶面间距来计算，因此，如果要精确测定晶胞参数，首先要对
中南
式中 wi ——权重因子， wi ＝1/ Yi ；
Yoi ， Yci ——步进扫描第 i 步的实测强度和计算强度。
使 M 值最小的过程也就是结构精修的过程。通过结构精修的方法精确计算点阵常数比 前两种方法可靠性大，操作简单，是近年来发展的新方法。 三、实验步骤与方法
1．采用步进扫描方式，测量金属粉末的点阵常数，实验条件为扫描范围 2θ=80-140 °， 步进宽度 0.01 °，步进时间 1s，晶体单色器，衍射束石墨单色器，接收狭缝 0.15°，发散狭 缝 0.30°。
点阵常数精确测定
3.3 外延层和表面膜厚度的测定
在衍射仪法中试样的偏心是要尽力避免的．但是，我们也可 利用它来测量外延层或表面膜的厚度．外延层或表面膜的存在 位材底位置偏离了测角台中心轴一个距离，其值等于外延层厚 度．
R s= ( ∆ 2θ ) 2 cosθ
当我们精确地测出了有外延层与无外延层的衬底某—高角衍 射线峰位差
对于大多数固溶体，其点阵参数随溶质原子的浓度呈近 似线性关系，即服从费伽(Vegard)定律：
ax − a A x= × 100% aB − a A
式中，aA和aB分别表示固溶体组元A和B的点陈参数。因此， 测得含量为x的B原子的因溶体的点阵参数工ax，用上式即求 得固溶体的组分。 实验表明，固溶体中点阵参数随溶质原子的浓度变化有不 少呈非线性关系，在此情况下应先测得点阵参数与溶质原子 浓度的关系曲线。 实际应用中，将精确测得的点阵参数与 已知数据比较即可求得固溶体的组分。
2.3 德拜－谢乐法
2.3 德拜－谢乐法
系统误差的主要来源：
相机半径、底片伸缩、试样偏心、试样吸收
系统误差修正关系：
∆d 2 立方晶系 = K cos θ d 立方晶系 sin 2 θ = Aα + Dδ C A = 2 ;α = H + K + L ;δ = 10 sin 2θ ; D = 4a 10
3.2 钢中马氏体和奥氏体的含碳量 马氏体的点阵参数a和c与含碳量呈直线性关系： a=aα - 0.015x c=aα + 0.016x 式中， aα= 2866nm为纯α铁的点阵参数；x为马氏体中合碳重 量百分数。因此可以事先计算出对应不同含碳量的点阵参数c/a 以及各晶面的面问距，将实验测得的数值与计算值对比即可确定 马氏体的含碳量与马氏体的四方度c／a或者由精确测定的点阵 参数按上式直接计算出马氏体含碳量。通常，钢中含碳量低时仅 仅表现出衍射线的宽化，只有当含碳量高于0．6形时，原铁素体 的衍射线才明显地分裂为两条或三条线。 在淬火高碳钢中有时出现奥氏体相，它是碳在γ—铁中的过饱 和固溶体。奥氏体的点阵参数a与含碳量。呈直线性关系： a=aγ+0.033x 式中aγ=0.3573nm。求出a即可求得奥氏体含碳量重量百分数
点阵常数的精确测定
足够了。干涉指数是整数无所谓误差。所以影响点阵常
数精度的关键因素是sinθ。
影响sinθ精度的关键因素
• 由图可见，当θ角位于低 角度时，若存在一△θ的测 量误差，对应的△sinθ的 误差范围很大；当θ角位 于高角度时，若存在同样 △θ的测量误差，对应的△s inθ的误差范围变小；当θ 角趋近于90°时，尽管存 在同样大小的△θ的测量误 差，对应的△sinθ的误差 却趋近于零。
同，点阵常数a从
3.615 Å 到4.078
Å 连续变化。
3.615
Cu
4.078
%Au
Au
例3 固溶体类型确定
有许多元素，当它们溶解于作为溶剂的金属中时， 将置换溶剂原子，并占据基体点阵的位置。
对立方晶系的基体，点阵参数将增大或减小，通常 取决于溶质原子和溶剂原子大小的比例。若前者大则 点阵参数增大，反之则减小。
据此规律，可以初步判断固溶体的类型。若用物理 方法测定了固溶体的密度，又精确测定了它的点阵参 数，则可以计算出单胞中的原子数，再将此数与溶剂 组元单胞的原子数比较即可确定固溶体类型。
例4 钢中马氏体含碳量的测定
马氏体的点阵参数a、c与含碳量呈线性关系： a=2.867-0.013x c=2.867+0.116x 式中:2.867 Å为纯α铁的点阵参数；
系统误差来源
• 德拜法中的系统误差包括：
❖ 相机半径误差 ❖ 底片伸缩误差 ❖ 试样偏心误差 ❖ 试样吸收误差 ❖ X射线折射误差
相机半径误差及底片伸缩误差
• 某衍射弧对的距离S=R∙4φ
,即
φ =S/4 R
S
• 设相机不准造成的半径误 差为ΔR，底片伸缩误差为 ΔS。则由于
R
点阵常数测定课件
数据对比
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将实验测定的点阵常数与理论值或已知值进行对比，以评 估实验结果的准确性，并找出可能的误差来源。
结果误差分析
01
误差来源识别
02
通过分析实验过程和操作，识别可能导致误差的各种因素，如测量设 备的精度、环境因素、操作误差等。
03
误差传递分析
04
对实验中的各个步骤进行误差传递分析，评估每个步骤对最终结果的 影响程度，为改进实验方法和提高精度提供依据。
点阵常数测定的意义
了解物质的基本结构
点阵常数的测定可以帮助我们了解物质的基本结构，包括原子或分子的排列规 律，这对于理解物质的物理和化学性质至关重要。
指导材料科学研究和应用
通过点阵常数的测定，可以为材料科学研究和应用提供重要的基础数据，例如 在材料合成、性能优化等方面。
点阵常数测定的方法
X射线晶体学
结果可靠性评估
重复性测试
01
输标02入题
为了验证实验结果的可靠性，进行了重复性测试，并 对多次测量的结果进行统计分析，以评估结果的稳定 性和一致性。
03
与其他实验方法或已知数据进行对比，以验证本实验 结果的可靠性。同时，也与理论值进行比较，以评估
实验方法的准确性和适用范围。
04
对比验证
05
点阵常数测定实验注意事项
实验安全注意事项
实验前应检查实验设 备和仪器是否完好， 如有故障应及时报修 或更换。
实验结束后应关闭电 源，整理好实验器材 ，确保实验室整洁有 序。
实验过程中应保持安 静，避免干扰和意外 事故的发生。
实验操作规范
实验前应仔细阅读实验指导书， 了解实验原理、操作步骤和注意
事项。
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将实验测定的点阵常数与理论值或已知值进行对比，以评 估实验结果的准确性，并找出可能的误差来源。
结果误差分析
01
误差来源识别
02
通过分析实验过程和操作，识别可能导致误差的各种因素，如测量设 备的精度、环境因素、操作误差等。
03
误差传递分析
04
对实验中的各个步骤进行误差传递分析，评估每个步骤对最终结果的 影响程度，为改进实验方法和提高精度提供依据。
点阵常数测定的意义
了解物质的基本结构
点阵常数的测定可以帮助我们了解物质的基本结构，包括原子或分子的排列规 律，这对于理解物质的物理和化学性质至关重要。
指导材料科学研究和应用
通过点阵常数的测定，可以为材料科学研究和应用提供重要的基础数据，例如 在材料合成、性能优化等方面。
点阵常数测定的方法
X射线晶体学
结果可靠性评估
重复性测试
01
输标02入题
为了验证实验结果的可靠性，进行了重复性测试，并 对多次测量的结果进行统计分析，以评估结果的稳定 性和一致性。
03
与其他实验方法或已知数据进行对比，以验证本实验 结果的可靠性。同时，也与理论值进行比较，以评估
实验方法的准确性和适用范围。
04
对比验证
05
点阵常数测定实验注意事项
实验安全注意事项
实验前应检查实验设 备和仪器是否完好， 如有故障应及时报修 或更换。
实验结束后应关闭电 源，整理好实验器材 ，确保实验室整洁有 序。
实验过程中应保持安 静，避免干扰和意外 事故的发生。
实验操作规范
实验前应仔细阅读实验指导书， 了解实验原理、操作步骤和注意
事项。
材料研究方法点阵常数的精确测定
三 、测量方法
3）标准样校正法
外延函数的制定－主观 最小二乘法的计算－繁琐 因此，需要更简捷的方法－标准试样法 采用比较稳定物质如Si、Ag、SiO2等作标样，其点阵常数已精确测定。如纯度为99.999％的Ag 粉，aAg=0.408613nm，纯度为99.9％的Si粉，aSi=0.54375nm，将标准物质的粉末掺入待测 试样的粉末中混合均匀，或在待测块状试样的表层均匀铺上一层标准试样的粉末，于是在衍射图 中就会出现两种物质的衍射花样。由标准物的点阵常数和已知的波长计算出相应角的理论值， 再与衍射花样中相应的角相比较，其差值即为测试过程中的所有因素综合造成的，并以这一差 值对所测数据进行修正，就可得到较为精确的点阵常数。 显然，该法的测量精度基本取决于标准物的测量精度。
材料研究方法
点阵常数的精确测定
南京理工大学材料学院·朱和国
课程内容
一
测量原理
二
误差源分析
三
测量方法
一、测量原理
a 2 sin
H 2 K 2 L2
sin成了精确测量点阵常数的关键因素
误差
偶然误差－没有规律可循，也无法消除，可通过增 加测量次 数，统计平均可将其降到最低程度。
系统误差－由实验条件决定，具有一定规律，可通过适当的方 法使其减小甚至消除。
三 、测量方法
4）抛物线拟合法
峰相对漫散时
（1）三点法
（2）多点法
I1
a0
a1
(2
1)
a2(2
)2
1
I
2
a0
a1 (2
2)
a2(2
)2
2
I
3
a0
a1
(2
3)
第8章 点阵常数及晶粒尺寸的测定
在六方晶系中， a=b≠c,α=β=90˚，γ=120˚，同理可证
明： sin2 hkl 2 / 3a2 h2 k 2 l 2 2 / 4c2 l 2 A h2 hk k 2 Bl2
六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。
第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4 个分子，结构只有两种：NaCl型和金刚石型 ，根据未出现的200,222,420晶面衍射，可确 定为金刚石型(在NaCl结构中，这类晶面为强 衍射线）。
则在CdTe结构中?
Te(000, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½）
Cd(¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾)
3 111 3 3 211 6 3 220 8 2.66 311 11 3.67
4 200 4 4 220 8 4 311 11 3.67 400 16 5.33
5 210 5 5 310 10 5 222 12 4 331 19 6.33
6 211 6 6 222 12 6 400 16 5.33 422 24 8
第8章 点阵常数及晶粒尺寸的 测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途 二、衍射线条的指标化 三、点阵常数的精确测定 四、点阵常数精确测定的应用 五、晶粒尺寸的测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途
物质的种类千差万别，即使是同种物质 ，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构 也存在较大差别。通过物相分析，可查找实 测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合 ，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对 应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析 和计算晶体结构参数。
对于立方体心格子， Ni/N1的比值为
明： sin2 hkl 2 / 3a2 h2 k 2 l 2 2 / 4c2 l 2 A h2 hk k 2 Bl2
六方晶系各衍射晶面（hkl)的sin2θhkl除满足上 式外，(hk0)面的sin2θhk0有公因子A。
第六步：面心立方格子，单位晶胞中有4 个分子，结构只有两种：NaCl型和金刚石型 ，根据未出现的200,222,420晶面衍射，可确 定为金刚石型(在NaCl结构中，这类晶面为强 衍射线）。
则在CdTe结构中?
Te(000, ½ ½ 0, ½ 0 ½, 0 ½ ½）
Cd(¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾)
3 111 3 3 211 6 3 220 8 2.66 311 11 3.67
4 200 4 4 220 8 4 311 11 3.67 400 16 5.33
5 210 5 5 310 10 5 222 12 4 331 19 6.33
6 211 6 6 222 12 6 400 16 5.33 422 24 8
第8章 点阵常数及晶粒尺寸的 测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途 二、衍射线条的指标化 三、点阵常数的精确测定 四、点阵常数精确测定的应用 五、晶粒尺寸的测定
一、点阵常数精确测定的意义及用途
物质的种类千差万别，即使是同种物质 ，经过不同的制备及加工过程，其晶体结构 也存在较大差别。通过物相分析，可查找实 测衍射线的PDF卡片，但也往往不能完全吻合 ，甚至有时完全找不到合适的卡片与谱线对 应，在此情况下，可以利用衍射谱线来分析 和计算晶体结构参数。
对于立方体心格子， Ni/N1的比值为
点阵常数测定
A C
列出一个方程式。在每个方程式中，sin2θ、 α和δ都可由实验求得，而A和C是未知数。 与方程y=a＋bx比较 令sin2θ＝y， δ代x；A代a，C代b
建立正则方程为：
sin A C sin A C
2 2 2 2
n 2d 1 （
sin
2
） sin
用校正折射的布拉格方程 ，计算d观察时， d观察<d校正，对立方晶系，点阵常数的折射校 正公式可以近似地表达为：
a校正 a观察 1 ） （
通常， 10 10 之间
5 7
4.4.3 德拜－谢乐法的误差校正方法
1、采用精密实验技术（P73自学）
4.4 点阵常数的测定方法
主要内容： 1、 原理 2、 德拜－谢乐法的系统误差 3、德拜－谢乐法的误差校正方法 4、点阵常数计算举例 5 、衍射仪精确测定点阵常数
4.4.1 原理
点阵参数是晶体物质的重要参数，它随物 质的化学成分和外界条件（温度和压力）而 变化。在金属与合金材料的研究过程中所涉 及到的许多理论和实际应用问题，如晶体物 质的键合能、密度、热膨胀、固溶体类型、 固溶度、固态相变、宏观应力等都与点阵常 数变化密切相关。
2、外推法消除系统误差
3 、柯亨最小二乘法
图解外推法
根据德拜－谢乐法中相机半径误差、底片 伸缩误差、试样偏心误差、试样对x射线的 吸收误差的讨论得出综合误差：
△S、R、C、A
△S′ △R △x （ ） sin cos S′ R R
由于
90 、△ △、 cos 和 cos sin sin
△R 表现 真实 △R （ ） R △R
相关主题
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Abstract: The crystal lattice constant is an important parameter of the crystal and it changes extremely slightly. To discover this slight change, we must carry on the accurate determination to the crystal lattice constant. This paper deals with how to carry on the accurate determination to the crystal lattice constant and explores it. Keywords: Crystal, lattice constant, accurate determination, Bragg equation ， Least squares method ， Canonical equation. [正文] 0 引言 晶体的点阵常数是晶体的重要参数，它随物质的化学成分和外界条件而改变；同时，晶体 的点阵常数发生微小改变，往往给该物质的性质、结构以及材料的其它性能带来重大的变化， 晶体的许多重要性能都是由于晶体的点阵常数的改变引起的。尤其在材料科学研究日益发达的 今天，新型材料的获得和新性能的发现，对社会的发展、现代信息产业的技术支持和改善今天 的能源短缺，都有十分积极的意义。从这点上说，我们在研究材料的时候，确定晶体的点阵常 数是十分必要的。但是，这类改变往往在 10 须对晶体的点阵常数进行精确测定。 1 传统的测量理论： 我们对晶体的点阵常数进行精确测定，主要还是利用 X 射线技术来进行测量。在测量中所 用到的最基本的公式就是晶体衍射的布拉格方程：
d cot （4） d hkl
由此可见，由布拉格角度 所引起误差是一个与余切函数相关的函数，显然，布拉格角度 越 0 0 小，所引起误差就越大。从精确度角度考虑，我们所选择的布拉格角度 处于 25 ～35 这样的 一个范围。当然了，该实验的误差还有如下几个方面：1、仪器的固有误差： （1）2 角度的误 差； （2）2：1 跟随误差与齿缝误差； （3）样品转轴和偏心摆动误差等。2、光阑系统和准直误 差。3、光束几何误差。4、物理因素误差。我们主要考虑的是折射误差。其校正的经验公式为
精确测定点阵常数的探索
摘要： 晶体的点阵常数是晶体的重要参数，它的改变是极细微的。若要发现这些细微改变，我们 必须对晶体的点阵常数进行精确测定。 本文从如何对晶体的点阵常数进行精确测定这一点谈起， 对此作以探索。 关键词： 晶体、点阵常数、精确测定、布拉格方程、最小二乘法、正则方程。
Exploration of the Accurate Determination to the Lattice Constant
通信地址:安徽省蚌埠市大学城安徽电子信息职业技术学院电子系 邮编:233060 Email:zhoufsh123@ 手机：（0）13721179174
3
4
Å数量级以下。若要揭示这些极细微的变化，必
2d hkl sin n
（1）
其中， d hkl 为晶面指数为（hkl）的面间距， 为衍射角，也称布拉格角度， 为所用 X 射线的 波长， n 为衍射的发生级数，布拉格衍射方程可以确定出多级衍射情况，但是，级数越高，所 得到的衍射强度越小，光谱分析越不明显，误差也就越大，所以，在点阵常数的精确测定中， 真正起作用的就是级数较低的情形。在具体的分析过程中，我们只考虑衍射最强的情形，即
n 1 ，此时的布拉格方程就变为[1]：
对于上面的式子，我们来做一个微分近似处理，得
2d hkl sin d 1 பைடு நூலகம் cot 2 sin
（2） （ 3）
这个式子表达了在具体的实验中，由测量布拉格角度 所引起误差的确定方法，点阵常数的精
1
确测定必须考虑到这一点。将（3）和（2）进行比较后可得，
4 结语： 至此，我对晶体点阵常数精确测定的探索，是在引入数学这个工具的基础之上进行的。利 用这些，可以加深我们对微观世界的认识和探索，同时，也为我们将来对微观世界的进一步研 究中提供一个方法。 参考文献： [1]方俊鑫、陆栋. 固体物理学[M]. 上海：上海科技出版社，1995. [2]范雄. 金属 X 射线学[M]. 广州：广东工学院出版社，1997. [3] C.Kittel, Introduction to Solid State Physics Chapts. John Wiley & Sons,Inc.
sin 2
2 a ，对于立方晶系来说， d hkl ，所以， 2 4d h2 k 2 l 2
2
变化后的布拉格方程有这样的一种关系
2 2 sin 2 h k 2 l 2 4a
2
（ 8）
其实， 对于任何晶系来说， 都有类似关系， 可以用这个方程来表示
sin 2 mi A ni C （9）
其中， i l i ， i 10 sin 2 ， C
2 2
（10）
2 ，D 为漂移常数。这里还需要说明一下，在四 4c 2
方晶系中， A
2 2 2 2 2 2 A h k ， ；在六方晶系中， ， i hi hi k i k i 。 i i i 4c 2 3c 2
d 2 与测量误差 (sin ) 的关系。再 d
利用最小二乘法原理中 “多次测量误差平方和最小时所求变量为最佳值”的原理，推出计算晶 格常数的正则方程。 四方晶系和六方晶系的正则方程同为[3]
A i2 C i i D i i i sin 2 i A i i C i2 D i i i sin 2 i A i i C i i D i2 i sin 2 i
d 测 d 校 1
（7）
以上即为对晶体点阵常数进行精确测定的理论依据。 2 晶体 X 射线衍射图的获得和数据分析基础： 我们在进行晶体的点阵常数进行精确测定的过程中，首先要获得晶体的实验数据。获得准 确的实验数据需要有一个较好的实验方 法。我们采用的方法为金属 X 射线衍射 粉末相分析法，简称粉末法[2]。这种方 法操作简单，具体过程如下。 （1）用酒 精将实验用的小匙子、 研钵等器具洗净。 （2）将待测物质放入研钵中，大约需要 两个小时至四个小时将其研得极细。 （3） 将研细的粉末用小匙子放在预先洗净的 载玻片上，滴入几滴酒精至表面形成溶 液层，并且使得表面平均。 （4）将载玻 片放好，开始实验、监测。这种实验方 法简单、所获得的数据也很准确，主要 的工作集中在第二步中，这一步是实验 成功与否的关键。实验的结果是，计算机输出该物质的 X 射线衍射图。我们分析该衍射图，出 现波峰位置所对应的角度即为衍射角度，获得了衍射角度，也就获得了精确测定晶体的点阵常 数所依据的数据。在衍射图中，27.41o 是指发生衍射的衍射角度应该为 13.705o，不是 27.41o， 同样，93.84o 是指另一级衍射的衍射角度为 46.92o，不是 93.84o。 3 我对晶格常数精确测定的见解： 我们在进行每一级运算的时候， 代入的是所给角度的一半。 我们对布拉格方程进行变化后， 有这样的一种关系为
在四方晶系中，
mi hi2 k i2 , n l i2 2 2 A 2 ,C 2 4a 4c mi hi2 hk k i2 , n l i2 2 2 A , C 3a 2 4c 2
；
在六方晶系中，
。
我们考虑到晶体的布拉格衍射是同时在不同的晶面出现的，所以，由对方程（8）所得出的 结果一定是分散的。这也就说明了误差的存在。如何将误差降为最小值，我们还得引入最小二 乘法。为此，布拉格方程要微分，以求得面间距相对误差
d 测 d 校 1 2 sin
其中，
（5）
2.702 10 6 2 Z A
（6）
为该物质的密度， Z 为组成该物质分子的总的电子数， A 为该物质分子的总的质量数。
根据组成该物质分子的总的电子数 Z 和 该物质分子的总的质量 A 的关系，我们可以把上 面的式子作以近似为
d cot （4） d hkl
由此可见，由布拉格角度 所引起误差是一个与余切函数相关的函数，显然，布拉格角度 越 0 0 小，所引起误差就越大。从精确度角度考虑，我们所选择的布拉格角度 处于 25 ～35 这样的 一个范围。当然了，该实验的误差还有如下几个方面：1、仪器的固有误差： （1）2 角度的误 差； （2）2：1 跟随误差与齿缝误差； （3）样品转轴和偏心摆动误差等。2、光阑系统和准直误 差。3、光束几何误差。4、物理因素误差。我们主要考虑的是折射误差。其校正的经验公式为
精确测定点阵常数的探索
摘要： 晶体的点阵常数是晶体的重要参数，它的改变是极细微的。若要发现这些细微改变，我们 必须对晶体的点阵常数进行精确测定。 本文从如何对晶体的点阵常数进行精确测定这一点谈起， 对此作以探索。 关键词： 晶体、点阵常数、精确测定、布拉格方程、最小二乘法、正则方程。
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Å数量级以下。若要揭示这些极细微的变化，必
2d hkl sin n
（1）
其中， d hkl 为晶面指数为（hkl）的面间距， 为衍射角，也称布拉格角度， 为所用 X 射线的 波长， n 为衍射的发生级数，布拉格衍射方程可以确定出多级衍射情况，但是，级数越高，所 得到的衍射强度越小，光谱分析越不明显，误差也就越大，所以，在点阵常数的精确测定中， 真正起作用的就是级数较低的情形。在具体的分析过程中，我们只考虑衍射最强的情形，即
n 1 ，此时的布拉格方程就变为[1]：
对于上面的式子，我们来做一个微分近似处理，得
2d hkl sin d 1 பைடு நூலகம் cot 2 sin
（2） （ 3）
这个式子表达了在具体的实验中，由测量布拉格角度 所引起误差的确定方法，点阵常数的精
1
确测定必须考虑到这一点。将（3）和（2）进行比较后可得，
4 结语： 至此，我对晶体点阵常数精确测定的探索，是在引入数学这个工具的基础之上进行的。利 用这些，可以加深我们对微观世界的认识和探索，同时，也为我们将来对微观世界的进一步研 究中提供一个方法。 参考文献： [1]方俊鑫、陆栋. 固体物理学[M]. 上海：上海科技出版社，1995. [2]范雄. 金属 X 射线学[M]. 广州：广东工学院出版社，1997. [3] C.Kittel, Introduction to Solid State Physics Chapts. John Wiley & Sons,Inc.
sin 2
2 a ，对于立方晶系来说， d hkl ，所以， 2 4d h2 k 2 l 2
2
变化后的布拉格方程有这样的一种关系
2 2 sin 2 h k 2 l 2 4a
2
（ 8）
其实， 对于任何晶系来说， 都有类似关系， 可以用这个方程来表示
sin 2 mi A ni C （9）
其中， i l i ， i 10 sin 2 ， C
2 2
（10）
2 ，D 为漂移常数。这里还需要说明一下，在四 4c 2
方晶系中， A
2 2 2 2 2 2 A h k ， ；在六方晶系中， ， i hi hi k i k i 。 i i i 4c 2 3c 2
d 2 与测量误差 (sin ) 的关系。再 d
利用最小二乘法原理中 “多次测量误差平方和最小时所求变量为最佳值”的原理，推出计算晶 格常数的正则方程。 四方晶系和六方晶系的正则方程同为[3]
A i2 C i i D i i i sin 2 i A i i C i2 D i i i sin 2 i A i i C i i D i2 i sin 2 i
d 测 d 校 1
（7）
以上即为对晶体点阵常数进行精确测定的理论依据。 2 晶体 X 射线衍射图的获得和数据分析基础： 我们在进行晶体的点阵常数进行精确测定的过程中，首先要获得晶体的实验数据。获得准 确的实验数据需要有一个较好的实验方 法。我们采用的方法为金属 X 射线衍射 粉末相分析法，简称粉末法[2]。这种方 法操作简单，具体过程如下。 （1）用酒 精将实验用的小匙子、 研钵等器具洗净。 （2）将待测物质放入研钵中，大约需要 两个小时至四个小时将其研得极细。 （3） 将研细的粉末用小匙子放在预先洗净的 载玻片上，滴入几滴酒精至表面形成溶 液层，并且使得表面平均。 （4）将载玻 片放好，开始实验、监测。这种实验方 法简单、所获得的数据也很准确，主要 的工作集中在第二步中，这一步是实验 成功与否的关键。实验的结果是，计算机输出该物质的 X 射线衍射图。我们分析该衍射图，出 现波峰位置所对应的角度即为衍射角度，获得了衍射角度，也就获得了精确测定晶体的点阵常 数所依据的数据。在衍射图中，27.41o 是指发生衍射的衍射角度应该为 13.705o，不是 27.41o， 同样，93.84o 是指另一级衍射的衍射角度为 46.92o，不是 93.84o。 3 我对晶格常数精确测定的见解： 我们在进行每一级运算的时候， 代入的是所给角度的一半。 我们对布拉格方程进行变化后， 有这样的一种关系为
在四方晶系中，
mi hi2 k i2 , n l i2 2 2 A 2 ,C 2 4a 4c mi hi2 hk k i2 , n l i2 2 2 A , C 3a 2 4c 2
；
在六方晶系中，
。
我们考虑到晶体的布拉格衍射是同时在不同的晶面出现的，所以，由对方程（8）所得出的 结果一定是分散的。这也就说明了误差的存在。如何将误差降为最小值，我们还得引入最小二 乘法。为此，布拉格方程要微分，以求得面间距相对误差
d 测 d 校 1 2 sin
其中，
（5）
2.702 10 6 2 Z A
（6）
为该物质的密度， Z 为组成该物质分子的总的电子数， A 为该物质分子的总的质量数。
根据组成该物质分子的总的电子数 Z 和 该物质分子的总的质量 A 的关系，我们可以把上 面的式子作以近似为