拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力

材料力学1拉伸压缩2剪切3扭转名称公式判别及汇总

一、拉（压）杆强度条件：--------（1）σmax =F NA≤[σ]二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ--------（2）=F S A≤[τ]2.挤压强度条件：--------（3）σbs =F bsA bs ≤[σbs ]三、圆轴扭转时的强度和刚度条件1.扭转强度条件：-----------（4）τmax =TR I P=TW t≤[τ]----------------（5）W t =116πD³2.扭转刚度条件： -----------（6）ψmax =TGI p≤[ψ]----------------（7）I p =132πD 4四：弯曲正应力强度条件：------(8)σmax =M max ×y maxI Z=M max W Z≤[σ]符号释义：1. ：正应力 σ2. τ：切应力3.T ：扭矩4.：轴力 F N 5.：剪切力 F S 6. F bs ：挤压力7.A ：剪切截面面积8. ：抗扭截面系数W t 9. ：横截面对圆心的极惯性矩 I p 10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变)三个弹性材料的关系：1.E ：弹性模量（GN/m²）E =σε=tanα2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G ：剪切弹性模量（GN/m²）G =γτG =E2（1+μ）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E ：抗拉刚度I p 17.胡可定律：σ=Eεσ=E y ρ18.ρ：曲率半径19. ：梁弯曲变形后的曲率 1ρ1ρ=MEI Z20.M ：弯矩21. ：外力偶矩M e12.γ：切应变(角应变)13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角F N F S梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。

一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。

(备份)材料力学复习重点难点

6 塑性材料在拉伸试验的过程中，其 — 曲
。
7 若传动轴所传递的功率为 P 千瓦，转速为 n 转/分，则外力偶矩的计算公式为
。
8 根据梁的支座简化情况，可将工程中的梁分为三种基本形
式
、
、
。
9 若某坐标轴通过截面图形的形心，则截面图形对该轴的静矩必为
面图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴必通过截面图形的
10 有剪力无弯矩的弯曲为
；既有剪力又有弯矩的弯曲为
11 中性轴一定通过截面
。
12 梁的合理强度设计措施主要有：
、
、
；反之，若截。
。
。
13 受力构件内的点在不同方位截面上应力的集合，称为点的__________。
14 切应力为零的平面称为__________，主平面上的正应力称为__________。
7 在梁某一段内作用有向下的均布力 q(x）时，则在该段内弯矩图是一条（
）。
A. 上凸曲线 B. 下凸曲线 C. 带有拐点的曲线 D. 斜直线
8 图示截面图形对形心轴 z 的惯性矩 Iz=（
）。
A. D4 dD3 32 12
B. D4 d 3D 32 12
C. D4 dD3 64 12
D. D4 d 3D 64 12
A
C
B
l
4 如图所示，长为 L 的简支梁承受均布载荷 q 的作用，作出其弯矩图。
5 图示传动轴，主动轮 C 上的外力偶矩为 3000N•
m，从动轮 B、C、D 上的外力偶矩分别为 500N•m、 1000 N•m 和 1500N•m。试作轴的扭矩图。
6 图示传动轴，主动轮 A 上的外力偶矩为 200N•m，从动轮 B 和 C 上的外力偶矩为 150N•m 和 50N•m。试作轴的扭矩图。

材料力学拉伸压缩剪切扭转名称公式判别及汇总

一、拉（压）杆强度条件：--------（1）二、（剪切）切应力条件和挤压强度条件1.切应力强度条件：τ --------（2）2.挤压强度条件：--------（3）三、圆轴扭转时的强度和刚度条件资料个人收集整理，勿做商业用途1.扭转强度条件：-----------（4）----------------（5）2.扭转刚度条件：-----------（6）----------------（7）四：弯曲正应力强度条件：------(8)符号释义：1.：正应力2. τ：切应力3.T：扭矩4.：轴力5.：剪切力6.7.A：剪切截面面积8.：抗扭截面系数9.：横截面对圆心的极惯性矩10.y: 正应力到中性轴的距离11.ε：正应变(线应变) 三个弹性材料的关系：1.E：弹性模量（GN/m²）2. μ：为泊松比（钢材的μ为0.25-0.33）3.G：剪切弹性模量（GN/m²）剪切胡可定律：τ=Gγ16.E：抗拉刚度17.胡可定律：σ=Eεσ=E18.ρ：曲率半径19.：梁弯曲变形后的曲率20.M：弯矩轴力、剪切力、均为内力求内力的方法-截面法：1.假想沿m-m横截面将杆件切开2.留下左半端或右半段3.将弃去部分对留下部分的作用(力)用内力代替4.对留下部分写平衡方程，求出内力的值。

当你选择好研究对象时，建立坐标系，这个对象的所有受力的x方向的代数和，和y方向的代数和为零，这就建立平衡方程，【me=o】，就是你在研究对象上选取一个点作为支点，然后所有力对这个点取矩，顺时针和逆时针方向的代数和为零，这样就分别建立三个平衡方程，可以联立接触其中未知数，这种情况只是用于解决静定结构的。

12.γ：切应变(角应变)21.：外力偶矩13.EA：抗拉强度(钢材的EA约为200GPa)14.δ：断后伸长率15.ψ：断面收缩率/相对扭转角梁受力有：轴力、剪切力和弯矩M。

一、材料力学的几个基本感念1.构件：工程结构或机械的每一组成部分。

805_材料力学

805 材料力学考试大纲
1、绪论：变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、应变、虎克定律。

2、轴向拉伸和压缩：概念和实例、横截面上的内力和应力、材料在拉伸时的力学性能、许用应力、强度条件、拉伸和压缩时的变形、拉伸和压缩时的静不定问题。

3、剪切，剪切和挤压的强度计算。

4、扭转，外力偶矩与扭矩的计算、薄壁圆筒的扭转、纯剪切、圆轴扭转时的应力和变形、强度和刚度计算。

5、平面图形的几何性质：静矩和形心、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩。

6、弯曲内力：剪力与弯矩、剪力与弯矩方程、剪力图与弯矩图、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系、叠加法作弯矩图、平面曲杆的弯曲内力。

7、抗弯强度：弯曲正应力、弯曲切应力、抗弯强度计算、提高抗弯强度的措施、弯曲中心。

8、弯曲变形：挠度和转角、梁的刚度条件、挠曲线的近似微分方程式、积分法求梁的变形、叠加法求梁的变形。

9、应力状态理论：一点应力状态的概念、平面应力分析的解析法与图解法、
三向应力状态简介、平面应变状态分析、广义虎克定律、变形比能。

10、组合变形和强度理论：组合变形的概念、斜弯曲、拉伸或压缩与弯曲的组合、偏心压缩与截面核心、强度理论的概念、四种常用的强度理论扭转和弯曲的组合。

11、交变应力：交变应力与疲劳失效、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力、持久极限、影响构件持久极限的因素、对称循环下构件的疲劳强度计算、持久极限曲线。

12、压杆稳定：压杆稳定的概念、两端铰支细长压杆的临界力、不同杆端约束细长压杆的临界力、欧拉公式的适用范围、经验公式、压杆稳定性计算。

参考书：《材料力学》（Ⅰ、Ⅱ册）刘鸿文高等教育出版社（第四版）。

材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系

许用应力和安全系数在前面我们已经研究了杆内的应力，通过以上几节我们又了解了材料的力学性能，在此基础上我们就可以讨论杆件的强度汁算问题。

先从杆的拉压(单向成力状态)时的强度问题开始研究。

由前面分析，已知杆在拉压时横截面上的应力为/N A σ=，此应力又称工作应力，它是杆件在工作时由载荷所引起的应力。

当杆件的尺寸已给定的情况下，它是随载荷的增大而增长的，但这种工作应力的增长将受到材料力学性能的限制。

如对塑性材料来讲，当杆内应力达到材料的屈服点s σ(或屈服强度0.2σ)时，杆内将发生明显的塑性变形；而对脆性材料来说，当杆件内的应力达到材料的强度极限b σ时，杆将发生破坏。

这些过度的塑性变形(将使另件不能正常工作)和破坏当然是工程上所不允许的。

因此，为了保证杆件在工作时不出现上述两种情况，就必须使杆内的最大正应力max σ低于材料达到此两种情况时的极限应力jxσ值（s σ或b σ），最多只能等于该材料极限应力值jx σ的若干分之一。

这种把材料的极限应力值jxσ除以某一大于1的系数n 而得到的应力值，通常就称为材料的许用应力值。

并用符号[]σ来表示，即[]0/n jx σσ=式中，jxσ为材料的极限应力。

在常温静荷时：对塑性材料jx sσσ=，；对脆性材料，jx bσσ=。

n 为规定的安全系数。

构件安全系数0n 的大小和一系列因素有关，例如和载荷估计的是否精确、材料的性质是否均匀及计算时所作的某些简化等等都有关。

凡构件实际的工作条件和设计时的主观设想不一致而偏于不安全的方面，都要通过安全系数来加以考虑；此外，为了保证构件有足够的强度储备，也要适当地加大安全系数。

尤其是对那些因破坏要造成严重后果的构件，更要加大其安全系数。

安全系数的确定不仅仅是个力学问题，故不赘述。

在一般强度计算中，通常对塑性材料可取0 1.5 2.0n =:；对脆性材可取0 1.5 2.0n =:，甚至更大。

材料的许用应力[]σ确定后，为了保持杆件在拉压时不致因强度不足而破坏，显然只需要杆内的最大工作应力max σ不超过材料在拉(压)时的许用应力[max σ]就可，即只需要满足下列条件：此条件即称为杆在拉(压)时的强度条件。

材料力学拉伸压缩与剪切

材料力学拉伸压缩与剪切材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科。

在材料力学中，拉伸、压缩和剪切是三种常见的受力方式。

本文将对这三种受力方式进行详细的讨论。

一、拉伸拉伸是将材料的两个端点向相反方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。

在拉伸过程中，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗拉极限，引起断裂。

拉伸强度是指材料在拉伸过程中所能承受的最大伸长应力，常用于评价材料的抗拉性能。

材料在拉伸过程中会发生塑性变形和弹性变形。

当应力较小时，材料发生弹性变形，即材料在去除应力后能恢复原状。

当应力较大时，材料发生塑性变形，即材料变形后无法完全恢复原状。

材料的塑性变形通常伴随着颈缩现象，即材料在拉伸过程中发生细颈，最终引起断裂。

在拉伸过程中，材料的变形主要通过断裂面的拉伸和滑移来实现。

断裂面的拉伸是指材料在拉伸过程中，沿断裂面发生直接断裂的现象。

滑移是指材料分子、原子或晶粒之间发生相对滑动的行为。

材料的拉伸性能主要由断裂面的塑性变形和滑移行为共同决定。

二、压缩压缩是将材料的两个端点向相同方向施加力，使材料产生变形和应力的一种受力方式。

在压缩过程中，材料的体积减小，应力沿受力方向逐渐递增，直到材料达到其抗压极限，引起破坏。

抗压强度是指材料在压缩过程中所能承受的最大应力，常用于评价材料的抗压性能。

与拉伸不同，材料在正常应力下的压缩变形主要是弹性变形。

材料在压缩过程中会呈现出不同的弹性阶段，即初期弹性阶段、线弹性阶段和屈服弹性阶段。

初期弹性阶段材料呈现出线性弹性变形；线弹性阶段材料呈现出弹性变形，但变形量不再是线性增加；屈服弹性阶段材料呈现出应力和应变之间非线性关系。

三、剪切剪切是指材料在外力作用下，造成平行于断裂面的错切运动和应力的一种受力方式。

在剪切过程中，材料发生剪切变形，即材料平行于受力方向发生错开运动。

剪切强度是指材料在剪切过程中所能承受的最大剪应力，常用于评价材料的剪切性能。

材料的剪切变形属于塑性变形，主要发生在晶体或晶体之间的滑移面上。

剪切及挤压应力计算

剪切及挤压应力计算剪切应力是物体内部的应力状态之一，指物体内部各部分相对于其它部分的平动趋势。

挤压应力则是指物体受到外部挤压力作用后内部产生的应力。

剪切及挤压应力计算需要考虑物体的形状、尺寸以及施加力的方向和大小。

对于剪切应力的计算，可以通过剪切力与剪切面积之比来求得。

假设一个物体受到平行于其中一平面的剪切力作用，剪切力的大小为F，剪切面的积为A。

剪切应力可以表示为τ=F/A。

其中τ表示剪切应力。

如果物体的形状不规则，可以将其划分为多个小面元，然后求和计算得到总的剪切应力。

对于挤压应力的计算，可以通过挤压力与挤压面积之比来求得。

假设一个物体受到垂直于其中一平面的挤压力作用，挤压力的大小为P，挤压面的积为A。

挤压应力可以表示为σ=P/A。

其中σ表示挤压应力。

如果物体的形状不规则，可以将其划分为多个小面元，然后求和计算得到总的挤压应力。

剪切应力和挤压应力的计算都需要明确给定施加力的方向和大小，以及物体的面积。

对于规则形状的物体，可以通过几何方法直接计算得到。

对于不规则形状的物体，需要采用数值方法进行近似计算。

除了这种简单情况外，对于复杂的物体形状和受力情况，需要运用工程力学的知识，通过应力分析、协调方程等方法来进行计算。

在这种情况下，需要考虑物体的几何形状、材料的性质、受力的位置和大小等因素，以得到更精确的剪切应力和挤压应力的计算结果。

最后，需要注意的是，剪切应力和挤压应力是物体内部的应力状态，其大小与物体的尺寸和形状有关。

在工程设计中，需要根据所需的应力状态来选择合适的材料和设计结构，以保证物体在受力情况下不会发生破坏或变形。

总之，剪切应力和挤压应力的计算是工程力学中重要的内容之一，需要综合运用几何学、力学、材料学等知识，通过适当的数值计算或工程分析方法来进行。

这样可以为工程设计提供可靠的理论基础，以保证物体的强度和稳定性。

材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系

许用应力和安全系数在前面我们已经研究了杆内的应力，通过以上几节我们又了解了材料的力学性能，在此基础上我们就可以讨论杆件的强度汁算问题。

先从杆的拉压(单向成力状态)时的强度问题开始研究。

由前面分析，已知杆在拉压时横截面上的应力为/N A σ=，此应力又称工作应力，它是杆件在工作时由载荷所引起的应力。

当杆件的尺寸已给定的情况下，它是随载荷的增大而增长的，但这种工作应力的增长将受到材料力学性能的限制。

如对塑性材料来讲，当杆内应力达到材料的屈服点s σ(或屈服强度0.2σ)时，杆内将发生明显的塑性变形；而对脆性材料来说，当杆件内的应力达到材料的强度极限b σ时，杆将发生破坏。

这些过度的塑性变形(将使另件不能正常工作)和破坏当然是工程上所不允许的。

因此，为了保证杆件在工作时不出现上述两种情况，就必须使杆内的最大正应力max σ低于材料达到此两种情况时的极限应力jxσ值（s σ或b σ），最多只能等于该材料极限应力值jx σ的若干分之一。

这种把材料的极限应力值jxσ除以某一大于1的系数n 而得到的应力值，通常就称为材料的许用应力值。

并用符号[]σ来表示，即[]0/n jx σσ=式中，jxσ为材料的极限应力。

在常温静荷时：对塑性材料jx sσσ=，；对脆性材料，jx bσσ=。

n 为规定的安全系数。

构件安全系数0n 的大小和一系列因素有关，例如和载荷估计的是否精确、材料的性质是否均匀及计算时所作的某些简化等等都有关。

凡构件实际的工作条件和设计时的主观设想不一致而偏于不安全的方面，都要通过安全系数来加以考虑；此外，为了保证构件有足够的强度储备，也要适当地加大安全系数。

尤其是对那些因破坏要造成严重后果的构件，更要加大其安全系数。

安全系数的确定不仅仅是个力学问题，故不赘述。

在一般强度计算中，通常对塑性材料可取0 1.5 2.0n =:；对脆性材可取0 1.5 2.0n =:，甚至更大。

材料的许用应力[]σ确定后，为了保持杆件在拉压时不致因强度不足而破坏，显然只需要杆内的最大工作应力max σ不超过材料在拉(压)时的许用应力[max σ]就可，即只需要满足下列条件：此条件即称为杆在拉(压)时的强度条件。

轴向拉伸或压缩变形

？杆件的轴向长
度变化与外力大小有何关系？
2.剪切和挤压变形
剪切特点：作用于构件两侧面上外力的合力大小相等，方向相反，且作用线相距很近；构件的两个力作用线之间的部分相对错动。
挤压特点：受剪切作用的连接件，在传力的接触面上，由于局部承受较大的压力，会出现塑性变形。
？怎样判断剪切面和挤压面？
⒊扭转变形定义：由于受到两个力偶作用，引起的变形。特点：力偶大小相等、转向相反、且均垂直于杆的轴线；各横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。
？扭转时同一横截面哪一点变形最大？
4.弯曲变形弯曲变形特点：在轴线的平面内，受到力偶或垂直于轴线的外力作用；梁的轴线由直线变成曲线。
三、杆件轴向拉伸和压缩时的强度校核
为了零件有足够的承载能力，零件必须满足下列基本要求：足够的强度足够的刚度足够的稳定性 1. 内力的计算 ⑴内力计算步骤截开代替平衡
例1 求下图所示拉杆的内力。
⑵ 轴力的符号规定杆件受到轴向拉压作用时，其受力方向沿着轴线，因此将
轴向内力简称为轴力。拉伸—拉力，其轴力为正值，方向背离所在截面。压缩—压力，其轴力为负值，方向指向所在截面。
一、杆件变形的基本形式
杆件或杆：零件的长度远大于横截面的尺寸。基本变形：轴向拉伸（或压缩）、剪切和挤压变形、扭转变形、弯曲变形四种。
1.轴向拉伸（或压缩变形）定义：杆件在一对大小相等、方向相反、作用在一条直线上的平衡力作用下，发生的轴向变形。
特点：外力的作用线与杆轴线重合；杆件的轴向长度发生伸长或缩短。
2. 强度校核
为了保证拉（压）构件使用安全，必须使其最大应力不
超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力，即
。

各种许用应力关系表

nb 铸铁 4
[n]=1.3～1.5 [n]=1.5～1.8 [n]=1.8～2.5
许用挤压应力 1~1.5Sy
许用拉应力 0.67Sy
Sm=0.67Sy
S许用应力
Sm 设计应力强度
Sy 最小屈服强度
API 6D 7.20.2 ASME Ⅷ BPVC 第二篇 AD-132
与拉伸许用应力的近似关系
剪切[τ
sh]Βιβλιοθήκη 挤压[σbs](0.6～0.8)[σ ] (0.8～1.0)[σ ]
(1.5～2.5)[σ ] (0.9～1.5)[σ ]
服安全系数服安全系数
静载荷下安全系数的推荐值材质均匀、计算精确时材质不够均匀、计算精度较低时材质较差、计算精度很低时
注：摘自《机械工程师手册》（第3版）
[n]=1.3～1.5 [n]=1.5～1.8 [n]=1.8～2.5
ASME BPVC 许用弯曲应力 1.5S
许用剪切应力 0.6Sm（0.8Sm）
许用扭转应力 0.8Sm
弯曲、扭转、剪切、挤压许用应力与拉伸许用应力的近似关系
变形情况塑性材料脆性材料弯曲[σ f] (1.0～1.2)[σ ] 1.0[σ ] 扭矩[τ ] (0.5～0.6)[σ ] (0.8～1.0)[σ ]
塑性材料[σ ]=σ s/ns 其中σ s为材料的屈服极限、ns为屈服安全系数脆性材料[σ ]=σ b/nb 其中σ b为材料的屈服极限、nb为屈服安全系数静载荷下安全系数的推荐值 ns 轧、锻钢件 1.2～2.2 铸钢件 1.6～3.0 钢 2.0～2.5 nb

许用应力与拉应力的关系

一拉伸' Y2 J# P% F7 W9 J5 Q C钢材的屈服强度与许用拉伸应力的关系塑性材料，[δ ]= δs/n s脆性材料，[δ ]= δb/n bn s ，n b为安全系数轧、锻件& p _5 Y4 [% I0 ?' rn=1.2—2.2起重机械n=1.7人力钢丝绳8 I! E& e+ A; @ s8 W4 w, F, v# i" Zn=4.5土建工程n=1.5) Z# B n) w, M" ]# m, H4 y* M载人用的钢丝绳n=94 N& r' d/ Q9 ?" M螺纹连接n=1.2-1.7$ {; ]0 q0 E J/ X; ~; w3 r) K9 @, a$ ~) {) Z8 C N铸件+ q0 B/ R8 S( j3 x$ x4 pn=1.6—2.5一般钢材$ J* u9 {1 x9 E1 M) qn=1.6—2.5/ V I* ^' x& H$ M二剪切1 s' B" T; W" C N+ [许用剪应力与许用拉应力的关系1 对于塑性材料[τ]=0.6—0.8[δ]2 对于脆性材料[τ]=0.8--1.0[δ]+ @* A' r+ l0 \3 r三挤压% D$ k* e* d; q& `5 {3 g# D B8 u; I" }# K. \- y7 p许用挤压应力与许用拉应力的关系2 _1 F2 a9 Q+ |+ f8 t M$ E- {1 对于塑性材料[δj]=1.5—2.5[δ]2 对于脆性材料[δj]=0.9—1.5[δ]- s7 j% n7 j5 F( m; u% }, Q注：[σj]=(1.7—2)[σ]（部分教科书常用）7 o3 a% q1 A( z1 G四扭转许用扭转应力与许用拉应力的关系:% Z) [6 [1 G- h9 B' t( A0 b& z! ? @+ v9 a* ^9 V+ s( j1 对于塑性材料[δn]=0.5—0.6[δ]. [6 w) n7 c3 r$ X7 _0 z( @4 o0 h% d! m$ I! ^6 ]; C/ u V6 C2 对于脆性材料[δn]=0.8—1.0[δ]7 ^/ T3 X: I* T$ E' ?0 s轴的扭转变形用每米长的扭转角来衡量。

第三章应力与强度计算.

第三章杆件的应力与强度计算一.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。

1.2了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。

1.3理解许用应力、安全系数和强度条件，熟练计算强度问题。

2.扭转变形2.1理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。

2.2理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。

2.3理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。

3.弯曲变形3.1理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。

3.2理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯曲切应力强度条件。

4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。

5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。

3.1 引言本章讨论了拉伸或压缩、扭转变形和弯曲变形的应力和强度计算，以及剪切和挤压的实用计算。

3.2 拉压杆的应力与应变一．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。

根据平面假设得知，横截面上各点正应力σ相等，即正应力均匀分布于横截面上，σ等于常量。

2）由静力平衡条件确定σ的大小由于dN=σ⋅dA，所以积分得则式中：σ—横截面上的正应力FN—横截面上的轴力A—横截面面积此式对于过集中力作用点的横截面不适应。

3）正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。

对于的变截面直杆，在考虑杆自重（密度ρ）时，有FN=⎰σdA=σA Aσ=FN Aσx=FNx Ax其中FN=P+ρAx⋅x若不考虑自重，则FNx=P对于等截面直杆，最大正应力发生在最大轴力处，也就是最易破坏处。

而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑FNx，同时还要考虑Ax。

例1 起吊三角架，如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为10.86cm的角钢制成，2P=130kN，α=30 。

材料力学思考题答案

材料力学复习思考题1. 材料力学中涉及到的内力有哪些？通常用什么方法求解内力？轴力，剪力，弯矩，扭矩。

用截面法求解内力2. 什么叫构件的强度、刚度与稳定性？保证构件正常或安全工作的基本要求是什么？杆件的基本变形形式有哪些？构件抵抗破坏的能力称为强度。

构件抵抗变形的能力称为刚度。

构件保持原有平衡状态的能力称为稳定性。

基本要求是：强度要求，刚度要求，稳定性要求。

基本变形形式有：拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲。

3. 试说出材料力学的基本假设。

连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。

均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。

各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。

小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形或位移,其大小远小于其原始尺寸。

4. 什么叫原始尺寸原理？什么叫小变形？在什么情况下可以使用原始尺寸原理？可按结构的变形前的几何形状与尺寸计算支反力与内力叫原始尺寸原理。

可以认为是小到不至于影响内力分布的变形叫小变形。

绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时可以使用原始尺寸原理。

5. 轴向拉伸或压缩有什么受力特点和变形特点。

受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。

变形特点：沿轴向伸长或缩短6. 低碳钢在拉伸过程中表现为几个阶段？各有什么特点？画出低碳钢拉伸时的应力－应变曲线图，各对应什么应力极限。

弹性阶段：试样的变形完全弹性的，此阶段内的直线段材料满足胡克定律εσE =。

p σ --比例极限。

e σ—弹性极限。

屈服阶段：当应力超过b 点后，试样的荷载基本不变而变形却急剧增加，这种现象称为屈服。

s σ--屈服极限。

强化阶段：过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形必须增加拉力.这种现象称为材料的强化。

b σ——强度极限局部变形阶段：过e 点后，试样在某一段内的横截面面积显箸地收缩，出现颈缩 (necking)现象，一直到试样被拉断。

强度理论及应用范围

强度理论及应用范围
1.二向或三向压缩应力状态：第三强度理论或第四强度理论
2.非压缩二向应力状态
○1塑性材料：（如低碳钢，非淬硬中碳钢，退火球墨铸铁，铜，铝等）
用第三强度理论或第四强度理论
○2极脆材料：（如淬硬工具钢，陶瓷等）
用第一强度理论
○3拉伸与压缩强度极限不等的脆性材料或低塑性材料（铸铁，淬硬高强度钢，混凝土等）
精确计算用莫尔强度理论，简化计算用第一强度理论
3.非压缩三向应力状态：第一强度理论
5.弯曲，剪切，挤压，扭转许用应力与拉伸许用应力的关系
第一强度理论（最大拉应力理论）：破坏条件：σ1=σb 强度条件：σⅠ=σ1≤[σ]=σb /n 第二强度理论（最大伸长线变形理论）： σⅡ=σ1-μ（σ2+σ3）≤[σ]
第三强度理论（最大剪应力理论）破坏条件：σ1-σs =σb
强度条件：σⅢ=σ1-σs ≤[σ]=σb /n 第四强度理论（形状改变比能理论）：破坏条件：()()()[]b σσσσσσσ=-+-+-21323222121 强度条件：()()()[][]n b σσσσσσσσ=≤-+-+-21323222121 莫尔强度理论（修正后的第三强度理论）：破坏条件：σ1-υσs =σb
强度条件：σm -υσs =σb ≤[σ]=σb /n。

材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系

许用应力和安全系数在前面我们已经研究了杆内的应力，通过以上几节我们又了解了材料的力学性能，在此基础上我们就可以讨论杆件的强度汁算问题。

先从杆的拉压(单向成力状态)时的强度问题开始研究。

由前面分析，已知杆在拉压时横截面上的应力为/N A σ=，此应力又称工作应力，它是杆件在工作时由载荷所引起的应力。

当杆件的尺寸已给定的情况下，它是随载荷的增大而增长的，但这种工作应力的增长将受到材料力学性能的限制。

如对塑性材料来讲，当杆内应力达到材料的屈服点s σ(或屈服强度0.2σ)时，杆内将发生明显的塑性变形；而对脆性材料来说，当杆件内的应力达到材料的强度极限b σ时，杆将发生破坏。

这些过度的塑性变形(将使另件不能正常工作)和破坏当然是工程上所不允许的。

因此，为了保证杆件在工作时不出现上述两种情况，就必须使杆内的最大正应力max σ低于材料达到此两种情况时的极限应力jxσ值（s σ或b σ），最多只能等于该材料极限应力值jx σ的若干分之一。

这种把材料的极限应力值jxσ除以某一大于1的系数n 而得到的应力值，通常就称为材料的许用应力值。

并用符号[]σ来表示，即[]0/n jx σσ=式中，jxσ为材料的极限应力。

在常温静荷时：对塑性材料jx sσσ=，；对脆性材料，jx bσσ=。

n 为规定的安全系数。

构件安全系数0n 的大小和一系列因素有关，例如和载荷估计的是否精确、材料的性质是否均匀及计算时所作的某些简化等等都有关。

凡构件实际的工作条件和设计时的主观设想不一致而偏于不安全的方面，都要通过安全系数来加以考虑；此外，为了保证构件有足够的强度储备，也要适当地加大安全系数。

尤其是对那些因破坏要造成严重后果的构件，更要加大其安全系数。

安全系数的确定不仅仅是个力学问题，故不赘述。

在一般强度计算中，通常对塑性材料可取0 1.5 2.0n =:；对脆性材可取0 1.5 2.0n =:，甚至更大。

材料的许用应力[]σ确定后，为了保持杆件在拉压时不致因强度不足而破坏，显然只需要杆内的最大工作应力max σ不超过材料在拉(压)时的许用应力[max σ]就可，即只需要满足下列条件：此条件即称为杆在拉(压)时的强度条件。

大学《材料力学》(拉压、剪切、扭转、弯曲)

与材料的成份、组织结构密切相关的，同时还与工作条件，如受力方式，加载速度，工作温度等因素有关。在常温、静载（缓慢加载）下的力学行为。构件变形包括——弹性变形、塑性变形根据材料破坏前产生的塑性变形的大小，将材料分为
① 塑性材料例：低碳钢、铝、铜等； ② 脆性材料例：铸铁、岩石、普通玻璃等。
A 1 B 2 C 3 D 4E
10 kN
5 kN
FN图：
10 kN
天津大学材料力学
§1.3 拉压杆件的应力与变形一、应力（stress）
应力——反映内力的分布集度
lim FN
A0 A
应力符号： σ
应力的量纲为[力]/[长度]2；国际单位为Pa，常用MPa
天津大学材料力学
A0
材料学中规定，δ10≥5％的材料为塑性材料，δ10<5％的材料为脆性材料。
低碳钢Q235的 ψ=60％，10=26％。
天津大学材料力学
• 多数塑性材料没有明显的屈服阶段
• 名义屈服极限0.2
天津大学材料力学
铸铁的拉伸实验
天津大学材料力学
铸铁的拉伸实验结果分析：
• 试件断口平齐、粗糙，几乎没有塑性变形 ——脆性断裂
第1章轴向拉伸、压缩和剪切
§1.1 概述 §1.2 轴力和轴力图 §1.3 拉压杆件的应力和变形 §1.4 工程材料的力学性能简介 §1.5 许用应力和强度条件 §1.6 简单桁架的结点位移计算 §1.7 应力集中 §1.8 拉压超静定问题 §1.9 连接杆件的实用计算
轴向拉伸或压缩
受力特点：外力合力作用线与杆轴线重合。变形特点：杆件沿轴线方向伸长或缩短。
F'N = F
截面内力FN及F'N的作用线与轴线重合——称为轴力。轴力的正负号规定：当杆件受拉，轴力FN背离截面时为正号；当杆件受压，轴力FN指向截面时为负号。

拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力

拉伸、剪切、挤压、扭转许用应力剪应力与抗拉强度关系我们在设计的时候常常取许用剪切应力,在不同的情况下安全系数不同,许用剪切应力就不一样...校核各种许用应力常常与许用拉应力有联系,而许用材料的屈服强度(刚度)与各种应力的关系一拉伸钢材的屈服强度与许用拉伸应力的关系[σ ]= σu/n n为安全系数a.ASME VIII-II, [σ ]=0.67σs二剪切许用剪应力与许用拉应力的关系1 对于塑性材料 [τ]=0.6—0.8[σ]2 对于脆性材料 [τ]=0.8--1.0[σ]三挤压许用挤压应力与许用拉应力的关系1 对于塑性材料 [σj]=1.5—2.5[σ]2 对于脆性材料 [σj]=0.9—1.5[σ]注：：[σj]=(1.7—2)[σ]（部分教科书常用）四扭转许用扭转应力与许用拉应力的关系:1 对于塑性材料 [σn]=0.5—0.6[σ]a.ASME VIII-II AD132-0.6Sm(Key,shear ring and pin),b.ASME VIII-II AD132-0.8Sm(Sm=0.67σs(circle round of stem )2 对于脆性材料 [σn]=0.8—1.0[σ]轴的扭转变形用每米长的扭转角来衡量。

对于一般传动可取[υ]=0.5°--/m;对于精密传动，可取[υ]=0.25°—0.5°/M；对于要求不严格的轴，[υ]可大于1°/M计算。

五弯曲许用弯曲应力与拉应力的关系:1 对于薄壁型钢一般采用轴向拉伸应力的许用值.2 对于实心型钢可以略高一点,具体数值可参见有关规范..拉应力与材料的屈服强度有关,。