一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用

一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年·卷）

(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.

(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.

(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B 相切，求t 的值.

变式1 ( 2012 年) ( 1) 问题探究

如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1 和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK = ∠ACD 1 ． 作

D 1M ⊥ KH，D 2N ⊥ KH，垂足分别为点M 、N ． 试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸

1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K 1H 1

，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1、H 2，使∠AH 1K 1 = ∠BH 2K 2 = ∠ACD 1 ． 作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N⊥K 2H 2，垂足分别为点M 、N ． D 1M = D 2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．

2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D 1M = D 2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

二、添加辅助线后运用基本图形

例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。

例2、 ( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．

例3、如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。

三、应用举例

1、等腰三角形底边上的一线三等角

例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.

(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似的

三角形。

(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），

不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。

(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的长。

例2、如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°)．

( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值围;

( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;

( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应

x 的值; 若不能，请说明理由．

【例3】（2012·卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．

（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；

并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）

6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. （1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

2、四边形中的一线三等角

例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，

且始终保持AM ⊥ MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值

例 2

例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，BC = 4AD = 4 2，∠B = 45°，点 E 、F 分别在边BC 、CD 上移动，且∠AEF = 45°，则点E 移动过程中，线段AF 长 的最小值是（ ）

例4．如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =． ⑴ 求y 与x 的函数表达式；

⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

例4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，

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tan =

∠CAD ，CA =CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的

动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y . （1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；

（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.

Ａ Ｅ Ｄ Ｆ Ｃ Ｂ

3、函数问题中的一线三等角．

例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x 2在第二象限上的点，连结OA ，过点O 作OB ⊥ OA，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC ． 如图，当点A 的横坐标为－1/2时，求点B 的坐标．

F

C

B

D

A

E

例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = － 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3，6) ．若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ，点D( m，0 ) 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE = ∠BED = ∠AOD．试探究: m 在什么围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个?