一线三等角典型例题

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三角函数一线三等角-答案

三角函数一线三等角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题1．在ABC 中，若tanA=1，cosB=22，则下列判断最确切的是（） A ．ABC 是等腰三角形B ．ABC 是等腰直角三角形 C ．ABC 是直角三角形D ．ABC 是一般锐角三角形2．在Rt ABC 中，390,2,2C AB BC ∠=︒==，则sin B 的值是（）． A ．34 B ．43 C ．74D ．4773．如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂1cos L L α=⋅，阻力臂2cos L l β=⋅，如果动力F 的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A ．越来越小B ．不变C ．越来越大D ．无法确定 4．下列计算错误的有（）①sin60sin30sin30︒-︒=︒；②22sin 45cos 451︒+︒=；③213tan 603︒=；④cos304tan 30sin 30︒︒=︒． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．已知α∠为锐角，且1sin 2α=，则α∠= （） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 评卷人得分二、填空题 6．如图，在Rt ABC 中，30B ∠=︒，6BC =，点D 是BC 的中点，DEF 是等腰直角三角形，3DE DF ==，线段EF 与线段AB 相交于点Q ，将DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合的过程中，线段DQ 的长度的取值范围______．7．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′，则图中阴影部分面积为 ___．8．如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C 落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点 M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论中：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③AB 2=3CM 2；④△PMN 是等边三角形．正确的有 ____评卷人得分三、解答题 9．计算：（1）3tan 230°360°－2sin 245°；（2）(2019－π)0－4cos 30°＋212-⎛⎫ ⎪⎝⎭＋|13． 10．[模型建立](一线三等角)（1）如图1，等腰Rt ABC 中，90,,ACB CB CA ∠=︒=直线ED 经过点C ，过点A 作AD ED ⊥于点,D 过点B 作BE ED ⊥于点,E 求证：BEC CDA ≌；[模型应用]（2）如图2，直线14:43l y x =+与坐标轴交于点,A B 、直线2l 经过点A 与直线1l 垂直，求直线2l 的函数表达式．（3）如图3，平面直角坐标系内有一点()6,8,B -过点B 作BA x ⊥轴于点A BC y ⊥、轴于点,C 点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线22y x =-+上的动点且在第四象限内．若CPD △成为等腰直角三角形，请直接写出点D 的坐标．11．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC ⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∠1=∠D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ≌DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．参考答案：1．B【解析】【分析】先根据正切值、余弦值求出A ∠、B 的度数，再根据三角形的内角和定理可得C ∠的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】A ∠、B 是ABC 的内角，且tan 1A =，cos B =， 45A ∴∠=︒，45B ∠=︒，18090C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．2．C【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AC 的长，然后根据正弦的定义即可求解．【详解】解：根据勾股定理可得：AC =，∴sin B ＝AC AB ＝22= 故选：C ．【点睛】本题主要考查了求一个角的正弦值，求出AC 的长，正确理解正弦的定义是解题关键． 3．A【解析】【分析】根据杠杆原理及cos α的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cos α的值越来越大，又∵动力臂1cos L L α=⋅，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A ．【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．4．C【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；【详解】解：①1sin 60sin 302︒-︒=，1sin302︒=，故左右不相等，错误；②222211sin 45cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，正确；③22tan 603︒==，错误；④cos3024tan 301sin 302︒︒===︒错误的有3个，故选择：C【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵α∠为锐角，且1sin 2α=， ∴30α∠=︒．故选A ．【点睛】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．6．3232DQ ≤≤ 【解析】【分析】由旋转的性质可得DE =CD =3，由点Q 在EF 上运动，可得当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，由锐角三角函数可求解．【详解】解：∵BC =6，点D 是BC 的中点，∴CD =BD =3，∵将△DEF 绕点D 逆时针转动，点E 从线段AB 上转到与点C 重合，∴DE =CD =3，∵线段EF 与线段AB 相交于点Q ，∴点Q 在EF 上运动，∴当点Q 与点E 重合时，DQ 有最大值为3，如图，连接DQ ，当DQ ⊥EF 时，DQ 有最小值，∵△DEF 是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠E =45°，sin DQ E DE ∴==DQ DE ∴==∴DQ3,DQ ≤≤3,DQ ≤≤ 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角函数，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．7．1 【解析】【分析】设B ′C ′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL ”证明Rt △AB ′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE =∠B ′AE ，再根据旋转角求出∠DAB ′=60°，然后求出∠DAE =30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD 的面积-四边形ADEB ′的面积，列式计算即可得解．【详解】解：如图，设B C ''与CD 的交点为E ，连接AE ，在Rt AB E '和Rt ADE △中，AE AE AB AD '=⎧⎨=⎩， ()Rt AB E Rt ADE HL ∴'≌，B AE DAE ∴∠'=∠，∵旋转角为30°，60DAB ∴∠'=︒，160302DAE ∴∠=⨯︒=︒，33tan 133DE AD DAE ∴=⋅∠=⨯=， ∴阴影部分的面积=133211211233ADE ABCD S S ⎛⎫-=⨯-⨯⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭△正方形，故答案为：313-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE =∠B ′AE ，从而求出∠DAE =30°是解题的关键，也是本题的难点． 8．②③④【解析】【分析】根据题给条件，证不出①CM DM =；BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，故BN BC =，又点F 为BC 的中点，可知：1sin 2BF BNF BN ∠==，求出30BNF ∠=︒，继而可求出②30ABN ∠=︒；在Rt BCM ∆中，30CBM ∠=︒，继而可知3BC CM =，可以证出③223AB CM =；求出60NPM NMP ∠=∠=︒，继而可证出④PMN ∆是等边三角形．【详解】解：如图示，BMN ∆是由BMC ∆翻折得到的，BN BC ∴=，又点F 为BC 的中点，在Rt BNF △中，1sin 2BF BNF BN ∠==， 30BNF ∴∠=︒，60FBN ∠=︒，9030ABN FBN ∴∠=︒-∠=︒，故②正确；在Rt BCM △中，1302CBM FBN ∠=∠=︒，tan tan 30CM CBM BC ∴∠=︒==BC ∴=，223AB CM =故③正确；9060NPM BPF MBC ∠=∠=︒-∠=︒，9060NMP MBN ∠=︒-∠=︒，PMN ∴∆是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM DM =，故①错误．故答案是：②③④．【点睛】本题考查翻折变换，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．9．（1）3；（2）4【解析】【分析】（1）根据特殊三角函数值可直接进行求解；（2）根据特殊三角函数值及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=22321313⨯⨯=+-=⎝⎭⎝⎭；（2）原式=14414-++=．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键．10．（1）答案见解析；（2）直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --；（3）点D 的坐标为2238,33⎛⎫- ⎪⎝⎭或(8，﹣14)或1626,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：△BEC≌△CDA；（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明△BOA≌△AED，求出点D 的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；（3）分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，③如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D 的坐标．【详解】（1）如图1所示：∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△CDA和△BEC中，ADC CEBDAC ECB AC BC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDA≌△BEC（AAS）；（2）如图2，在l2上取D点，使AD=AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，∵直线y=43x+4与坐标轴交于点A 、B ， ∴A （-3，0），B （0，4），∴OA=3，OB=4，由（1）得△BOA ≌△AED ，∴DE=OA=3，AE=OB=4，∴OE=7，∴D （-7，3）设l 2的解析式为y=kx+b ，∴3703k b k b-+⎧⎨-+⎩＝＝解得3494k b ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴直线l 2的函数表达式为：y ＝3944x --；（3）点D 的坐标为223833⎛⎫- ⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫- ⎪⎝⎭，分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，过P 作MH ∥x 轴，过D 作DH ∥y 轴，MH 和DH 交于H ，∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，∴CP=PD，同理得△CMP≌△PHD（AAS），∴DH=PM=6，PH=CM，设PH=a，则D（6+a，a-8-6），∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．∴a-8-6=-2（6+a）+2，解得：a=43，∴D（2238,33）；②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE⊥y轴于E，∵△CPD是等腰直角三角形，同理得△AOC≌△CED，∴OA=CE=6，OC=DE=8，∴D（8，-14）；③如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∥x轴，延长AB交MQ于Q，则∠Q=∠DMC=90°，∵△CDP是等腰直角三角形，同理得△PQD≌△DMC，∴PQ=DM，DQ=CM，设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，∴D（6-b，-8-b），∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，∴-8-b=-2（6-b）+2，解得：b=23，∴D（1626,33-）；综上，点D的坐标为223833⎛⎫-⎪⎝⎭，或（8，﹣14）或162633⎛⎫-⎪⎝⎭，【点睛】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，构建全等三角形依次解决问题．11．(1)21522CD x x =-+ (2)3(3)()3,1或()1,3-【解析】(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∴A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠，∴A CPD ∠=∠，又∵ABP PDC ∠=∠，∴ABP △∽PDC △，∴AB BP PD CD =，即25x CD x=-， ∴21522CD x x =-+． (2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠，∴ACD △∽ADE ，∴90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∴点D 为BC 的中点，∴116322CD BC ==⨯=．如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∴90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ，∴132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∴3CD =．(3)解：分两种情况：①如图6所示，过A 作AC ⊥y 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∴AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∠OBA ＝90°，∴∠OBE +∠ABC ＝90°，∵∠ABC +∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△BOE （AAS ），∴AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∴AC ＝BE ＝x －2，∴CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∴x ＝3，x －2＝1，∴点B 的坐标是（3，1）；②如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．。

初中数学精品试题：几何模型之一线三等角模型

几何模型：一线三等角模型一：一线三直角之全等模型介绍：图示已知结论已知，∠C=∠D=∠EBA=90O，且EB=AB△ABC ≌ △BED如图，∠BAC=∠BFA=∠AEC=90°，AC=BA△ACE≌△BAF例题示范：例1.如图,直线1l ，2l ,3l 相互平行,且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为 2 。

等腰直角△ABC 的顶点分别在三条平行线上，AB=AC ， ∠BAC=90°，则等腰△ABC 的腰长是。

例2.如图，点B （3,3）在函数x k y =（x ＞0）的图像上,点C 在函数 xy 4-= （x ＜0)的图像上，点A 在x 轴正半轴上，且△ABC 是等腰直角三角形，∠CAB=90° . （1）直接写出k 的值： k = （2）求点A 的坐标。

例3. 如图：已知直线l:y=-34x+4与x 、y 轴分别交于A 、B ，直线m 过点B 且与直线l 的夹角等于45°；求直线m 的解析式。

巩固训练：1.如图，点D 在BC 上，AB ⊥BC ，EC ⊥BC ，AD ⊥DE ，且AD=DE ，AB=3，EC=5，则BC 的长为___8__．2. 如图，AB ⊥AC ，且AB=AC ，BN ⊥AN ，CM ⊥AN ，若BN=3，CM=5，则 MN=__2___．3. 如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是_8____.4. 如图，在平面直角坐标系中，点A （ 4，0 ) , 点B 是y 轴上的动点,将线段BA 绕点B 逆时针旋转90° ，得到线段BC , 连接CO , CA , 则 CO ＋ CA 的最小值为 .5.如图，在正方形ABCO 中，点A 的坐标为（4 ，3) ，则点C 的坐标是，点B 的坐标是。

6.如图，已知A （ 1 ， 1 ） , B 两点都在双曲线xky（k ＞0，x ＞0）上，并且点B 在点A 的右下方,点C 在点x 轴上，若△ABC 是以∠B 为直角的等腰直角三角形, 则点B 的坐标为。

全等模型(2)一线三等角练习题(带答案

全等模型（2）一线三等角题集1.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为．【答案】【解析】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【标注】【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型2.如图，，，点在第一象限内．若、，则点的坐标为．【答案】【解析】做轴，轴，由三垂直模型可知，≌，∴设，则，∴，∴，∴．【标注】【知识点】辅助线综合运用3.如图，，，于，于，，，则的面积等于．【答案】【解析】∵，∴，∵于，∴，∴，又，，∴≌，∴，，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）4.如图，已知点是直线上的一个动点，在点运动的过程中，始终保持，并且于，于，．如图的位置时，请你判断线段、、之间的数量关系，并且证明你的结论．（2）（3）当直线绕点旋转到如图的位置时（），请你判断线段、、之间的数量关系是否有变化？并且证明你的结论．当直线绕点旋转到图的位置时（），试问：、、有怎样的数量关系？请直接写出这个数量关系．【答案】（1）（2）（3），证明见解析．有变化，，证明见解析．．【解析】（1）．∵，，∴，∴，∵，∴，（2）（3）∴．在和中，，∴≌（），∴，∴．．同（）可证明≌，∴，，∴．∴线段、、之间的数量关系有变化，．．同（）可证明≌，∴，，∴．【标注】【知识点】三垂直模型（1）12（2）5.如图，，，于点，于点，其中．求证：≌．若，．求的长．连接，交于点，若，求的面积．【答案】（1）12（2）证明见解析．．．【解析】（1）12（2）∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，在与中，，∴≌．∵≌，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【标注】【知识点】三垂直模型6.在中，直线经过点，且于，于，且，．（1）12（2）证明是等腰直角三角形．若，，，请你利用四边形的面积证明“”．若，、均为整数，试求出所有满足条件的值．【答案】（1）12（2）证明见解析．证明见解析．或．【解析】（1）1（2）∵于点，于点∴，∴，，与中有∴≌（），∴，，∴，∴，∴是等腰直角三角形．，，，∴2．四边形面积，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∵，、为整数，∴，且与均为整数，∴或或或解得：或故满足条件的值为或．【标注】【知识点】三垂直模型四边形（1）（2）7.解答下列各题：如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：．图（3）拓展：如图②，将（）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由．图应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．．【解析】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴，，（2）（3）∴．成立，仍为，理由如下：∵，在中，，，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，设的底边的高为，则的底边的高也为，∴，，∵，∴，∵，∴与的面积之和为．【标注】【能力】推理论证能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角【知识点】三角形内角和的应用（1）8.解答下列问题．如图（），已知：在中，，，直线经过点，⊥直线，⊥直线，垂足分别为点、．证明：．图图（2）（3）如图（），将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，且，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．拓展与应用：如图（），、是直线上的两动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，求证：．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．成立，证明见解析．证明见解析．【解析】（1）∵直线，直线，∴，又∵，11（2）（3）∴，，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∵，∴．∵，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．易证≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴．【标注】【知识点】一线三等角模型。

一线三等角大题练习-答案

一线三等角大题练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A 在直线DE 上，且90BDA BAC AEC ∠=∠=∠=︒，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型．(1)如图2，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E ．求证：BEC CDA ≌；(2)如图3，在ABC 中，D 是BC 上一点，90CAD ∠=︒，AC AD =，DBA DAB ∠=∠，23AB =，求点C 到AB 边的距离；(3)如图4，在ABCD 中，E 为边BC 上的一点，F 为边AB 上的一点．若DEF B ∠=∠，10AB =，6BE =，求EFDE的值． 2．【问题背景】（1）过等腰直角△ABC 的两个锐角顶点，分别向直角顶点C 所在的一条直线作垂线，垂足分别为点D ，E ．如图1，这种图形可归纳为“一线三等角”．其中已知∠ADC =∠CEB =90°，AC =CB ，又由∠ACD +∠BCE =90°，∠CBE +∠BCE =90°，得到∠ACD =∠CBE ，所以△ACD ≌△CBE ，这种判定三角形全等的依据是________（填写SSS ，SAS ，ASA ，AAS 或HL ）．图1【问题解决】（2）如图2，已知平面直角坐标系中的两点A （-2，4），B （3，1），在直线AB 的上方，以AB 为边作等腰直角△ABM ，写出所有符合条件的点M 坐标：________．图23．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BCAC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）【模型呈现】如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）【模型应用】①如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AH 于点H ，DE 与直线AH 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为平面内任一点，点B 的坐标为（4，1）．若△AOB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A 的坐标为．5．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E .由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠.又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌.进而得到AC = ，BC = .我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G .求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点.若AOB ∆是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标.参考答案：1．(1)见解析 (2)3(3)35 【解析】【分析】（1）根据“AAS ”证明BEC CDA ≌即可；（2）过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ，可根据“AAS”证≌CAE ADF 即可求解；（3）过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，可得DCM M ∠=∠，由平行四边形ABCD 易证DEC BFE ∠=∠，故BFE MED ∽，由相似三角形的性质可求． (1)证明：∵90ACB ∠=︒，180BCE ACB ACD ∠+∠+∠=︒， ∴90BCE ACD ∠+∠=︒． ∵AD ED ⊥，BE ED ⊥，∴90BEC CDA ∠=∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒， ∴ACD EBC ∠=∠．又∵CB CA =，∴()BEC CDA AAS ≌． (2)解：如图，过D 作DF AB ⊥于点F ，过C 作CE AB ⊥交BA 延长线于点E ．∵DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，∴132AF BF AB === ∵90CAD ∠=︒，∴90DAF CAE ∠+∠=︒． ∵90DAF ADF ∠∠=+︒，∴CAE ADF ∠=∠．在CAE 和ADF 中，==90==CEA AFD CAE ADF AC AD ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩， ∴()CAE ADF AAS ≌，∴3CE AF ==，即点C 到AB 边的距离为3． (3)解：如图，过D 作DM CD =交BC 的延长线于点M ，∴DCM M ∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴10DM CD AB ===，AB CD ∥，∴B DCM M ∠=∠=∠． ∵FEC DEF DEC B BFE ∠=∠+∠=∠+∠，B DEF ∠=∠， ∴DEC BFE ∠=∠，∴BFE MED ∽， ∴63105EF BE DE DM ===．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2． AAS （1，9），（6，6），（2，5）【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ADC =∠CEB =90°，根据余角的性质得到∠ACD =∠BCE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）当∠M 1AB =90°，△ABM 1是等腰直角三角形，当∠M 3BA =90°，△ABM 3是等腰直角三角形，当∠AM 2B =90°，△ABM 2是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ACD和△CBE中，ADC CEBACD EBCAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE（AAS），故答案为：AAS；（2）解：当∠M1AB=90°，△ABM1是等腰直角三角形，过A作直线l∥y轴，过B作BF⊥直线l于F，过M1作M1E⊥直线l于E，∴∠AEM1=∠AFB=90°，∵∠BAM1=90°，∴∠EAM1+∠F AB=∠F AB+∠ABF=90°，∴∠EAM1=∠ABF，∵AM1=AB，∴△AEM1≌△BF A（AAS），∴AE=BF，AF=EM1，∵点A（-2，4），B（3，1），∴AE=BF=5，AF=EM1=3，∴M1（1，9），当∠M3BA=90°，△ABM3是等腰直角三角形，过B作直线m∥x轴，分别过A，M3作AF⊥m于F，M3G⊥m于G，同理，M3（6，6）；当∠AM2B=90°，△ABM2是等腰直角三角形，∴∠M2AB=∠ABM2=∠M1AM2=∠AM1M2=45°，∴M11M2=BM2，∴M2是线段BM1的中点，∴M2（2，5），综上所述，符合条件的点M坐标为：（1，9），（6，6），（2，5），故答案为：（1，9），（6，6），（2，5）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3．感知：（1）AEDE ；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP =∠CPD ， ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ， ∴△ABP ∽△PCD ； ②BC =12，点P 为BC 中点， ∴BP =PC =6， ·∵△ABP ∽△PCD ， ∴AB BPPC CD =，即1066CD=，解得：CD =3.6；拓展：（3）当P A =PD 时，△ABP ≌△PCD ， ∴PC =AB =10， ∴BP =BC -PC =12-10=2；当AP =AD 时，∠ADP =∠APD ， ∵∠APD =∠B =∠C ， ∴∠ADP =∠C ，不合题意， ∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ， ∵∠C =∠C ， ∴△BCA ∽△ACP ， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =， ∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113．【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②3(2，5)2或5(2，3)2【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，根据余角的性质得到1B ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AH DM =，同理AH EN =，由此可得EN DM =，再由此证明DMG ENG △≌△，由全等三角形的性质得到DG EG =，于是得到点G 是DE 的中点；②分两种情况讨论，如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，根据余角的性质得到BAC AOD ∠=∠，根据全等三角形的性质得到AD BC =，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，于是得到结论，如图4，同理可得答案．【详解】解：（1）∵ABC DAE △≌△． ∴AC DE =，BC AE =；故答案为：DE ，AE ；（2）①如图2，作DM AH ⊥于M ，EN AH ⊥于N ，BC AH ⊥，90BHA AMD ∴∠=∠=︒，90BAD ∠=︒，12290B ∴∠+∠=∠+∠=︒，1B ∴∠=∠，在ABH 与DAM △中， 1BHA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABH DAM AAS ∴△≌△，AH DM ∴=， BC AH ⊥，90CHA ANE ∴∠=∠=︒，90CAE ∠=︒，90CAH EAN CAH C ∴∠+∠=∠+∠=︒，EAN C ∴∠=∠，在ACH 与EAN 中，CHA ANE C EAN AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACH EAN AAS ∴△≌△，AH EN ∴=，又∵AH DM =，EN DM ∴=，DM AH ⊥，EN AH ⊥，90GMD GNE ∴∠=∠=︒，在DMG △与ENG △中，DMG ENG MGD NGE DM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DMG ENG AAS ∴△≌△，DG EG ∴=，∴点G 是DE 的中点；②如图3，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与EB 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===+，14AD AC x x OE ∴+=++==， 32x ∴=，512x +=， ∴点A 的坐标3(2，5)2；如图4，过A 作AD y ⊥轴于D ，过B 作BE x ⊥轴于E ，DA 与BE 相交于C ，90C ∴∠=︒，90OAB ∠=︒，90OAD BAC ∴∠+∠=︒，90OAD AOD ∠+∠=︒，BAC AOD ∴∠=∠，在AOD △与BAC 中，C ADO BAC AOD OA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOD BAC AAS ∴△≌△，AD BC ∴=，OD AC =，设AD x =，则BC AD x ==，1AC OD CE x ∴===-，14AD AC x x OE ∴+=+-==，52x ∴=，312x -=，又∵此时点A 在第四象限，∴点A 的坐标5(2，3)2，综上所述，点A 的坐标为3(2，5)2或5(2，3)2，故答案为：3(2，5)2或5(2，3)2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5．（1）DE ，AE ；（2）①见解析；②()3,1，()1,3-【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）①作DM ⊥AH 于M ，EN ⊥AH 于N ，根据余角的性质得到∠B=∠1，根据全等三角形的性质得到AH=DM ，同理AH=EN ，求得EN=DM ，由全等三角形的性质得到DG=EG ，于是得到点G 是DE 的中点；②过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，根据余角的性质得到∠OBN=∠BAM ，根据全等三角形的性质得到AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，从而得到结论．【详解】解：（1）AC=DE ，BC=AE ；故答案为：DE ，AE（2）①如图，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴12190B ∠+∠=∠+∠=︒，∴1B ∠=∠，在ABF ∆与DAM ∆中，BFA AMD ∠=∠，2B ∠=∠，AB DA =，∴ABF DAM ∆∆≌（AAS ），∴AF DM =，同理AF EN =，∴EN DM =，∵DM AF ⊥，EN AF ⊥，∴90GMD GNE ∠=∠=︒，在DMG ∆与ENG ∆中，DMG ENG ∠=∠，MGD NGE ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG ∆=（AAS ），∴DG EG =，∴点G 是DE 的中点；②如图，过A 作AM ⊥y 轴，过B 作BN ⊥x 轴于N ，AM 与BN 相交于M ，∴∠M=90°，∵∠OBA=90°，∴∠ABM+∠OBN=90°，∵∠ABM+∠BAM=90°，∴∠OBN=∠BAM ，在△OBN 与△BAM 中，M ONB OBN BAM OB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OBN ≌△BAM （AAS ），∴AM=BN ，ON=BM ，设AM=x ，则BN=AM=x ，∴ON= x+2，∴MB+NB=x+x+2=MN=4，∴x=1，x+2=3，∴点B 的坐标（3,1）；如图同理可得，点B 的坐标（-1,3），综上所述，点B 的坐标为()3,1，()1,3-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

一线三等角典型例题

“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值.变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK =∠ACD1．作D1M ⊥ KH，D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明．( 2) 拓展延伸1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1= ∠BH2K2=∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．2 如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。

一线三等角问题

ABCDE相似三角形模型之“一线三等角型”一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景引例：如图，等边△ABC 中，D是BC 上一点，F 为AC 边上一点，且∠A DF =60°，BD=3，CF=2.求△ABC 边长。

例1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式例2、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AP ＝1，AB ＝DC ＝2．P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．求AD 的长．C DB FACCBECDCADBEF例3、正方形ABCD 的边长为4（如下图），点P 、Q 分别在线段CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长。

相关练习：1、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长3、在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在线段CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长BCABCDABCQ4、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交CD 于点F ，那么当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式。

三角形全等几何模型(一线三等角)(精选精练)(专项练习)(教师版) 24-2025学年八年级数学上册

专题12.12三角形全等几何模型（一线三等角）（精选精练）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（22-23七年级下·辽宁朝阳·期末）王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE 是（）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．25cm2．如图所示，,,B C E 三点在同一条直线上，AC CD =，90B E ∠=∠=︒，AC CD ⊥，则下列结论错误的是（）A ．A ∠与D ∠互余B ．2A ∠=∠C ．ABC CED △≌△D ．12∠=∠3．如下图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm4．（23-24八年级上·重庆开州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC 为等腰直角三角形，90,ACB AC BC ∠=︒=．点()0,1B -，点()1,1C ．则点A 坐标为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()1,2-5．（22-23七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A 处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m 高的B 处接住她后用力一推，爸爸在C 处接住她．若妈妈与爸爸到OA 的水平距离BD 、CE 分别为1.4m 和1.8m ，90BOC ∠=︒．爸爸在C 处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A ．1mB ．1.6mC ．1.8mD ．1.4m6．（22-23八年级上·山东青岛·单元测试）2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会，会标中的图案如图，其中的四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，则ABF DAE ≌的理由是（）．A ．SSSB ．AASC ．SASD ．HL7．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在ABC 和CDE 中，点B ，C ，E 在同一条直线上，B E ACD ∠∠∠==，AC CD =，若2AB =，6BE =，则DE 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．28．（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点()0,2A 处有一激光发射器，激光照射到点()1,0B 处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点C 处的接收器上，若入射角45α=︒，AB BC =，则点C 处的接收器到y 轴的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．（17-18八年级上·河南郑州·期中）如图中，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，若点E 、B 、D 到直线AC 的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S 是()A ．50B ．44C ．38D ．3210．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB CD ⊥，且AB CD =，E ，F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥．若4CE =，3BF =，2EF =，则AD 的长为（）A ．3B ．5C ．6D ．7二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（21-22八年级上·山西吕梁·期中）如图，一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°），若OA ＝50cm ，OB ＝28cm ，则点C 离地面的距离是cm ．12．（20-21八年级上·黑龙江·期中）如图，在平面直角坐标系内，OA ⊥OC ，OA=OC ，若点A 的坐标为(4，1)，则点C 的坐标为13．（2022·四川成都·二模）如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =．14．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AC 上一点，∠ABD ＝2∠BAC ＝45°，若AD ＝12，则△ABD 的面积为．15．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B 沿BA 走向点A ，一段时间后他到达点M ，此时他仰望旗杆的顶点C 和D ，两次视线的夹角为90︒，且CM DM =．已知旗杆BD 的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M 所用时间是秒．16．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，CD 为AB 边上的高，3BC =，6AC =，点E 从点B 出发，在直线BC 上以每秒2cm 的速度移动，过点E 作BC 的垂线交直线CD 于点F ，当点E 运动s 时，AB CF =．17．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB =8cm ，射线AN ⊥AB ，垂足为点A ，点C 是射线上一动点，分别以AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，得△ACD 与△BCE ，连接DE 交射线AN 于点M ，则CM 的长为．18．（22-23七年级下·四川成都·期末）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠<︒，点D 在边BC 上，2CD BD =，点E ，F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC 的面积为9，则ABE CDF S S += ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，于点E AD CE ⊥，于点D ．BEC 与CDA 全等吗？请说明理由．20．（8分）如图，90ABC ∠=︒，FA AB ⊥于点A ，D 是线段AB 上的点，AD BC =，AF BD =．（1）判断DF 与DC 的数量关系为，位置关系为．（2）如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，点F 在点A 的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．21．（10分）如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图1，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒，求证：MN AM CN =+．（2）如图2，直线NM 过点B ，AM 交NM 于点M ，CN 交NM 于点N ，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由！22．（10分）如图，在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．（1）当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=°，DEC ∠=°；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，ABD DCE △△≌，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数．若不可以，请说明理由．23．（10分）（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知，在ABC 中，AB AC =，D A E ，，三点都在直线m 上，且9DE cm BDA AEC BAC =∠=∠=∠，．（1）如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为___________；（2）如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；（3）如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点D 向点E 运动，同时，点C 在线段EF 上以cm /s x 的速度由点E 向点F 运动，它们运动的时间为s t （）．是否存在x ，使得ABD △与EAC 全等？若存在，求出相应的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】由题意易得90ADC CEB ∠=∠=︒，则有BCE DAC ∠=∠，进而可证ADC CEB ∆∆≌，然后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：∵AC BC =，90ACB ∠=︒，AD DE ⊥，BE DE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，90ACD DAC ∠+∠=︒，∴BCE DAC ∠=∠，∵在ADC ∆和CEB ∆中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC CEB ∆∆≌；∴6cm EC AD ==，14cm DC BE ==，∴20(cm)DE DC CE =+=，故选C ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形全等的判定条件是解题的关键．2．D【分析】利用同角的余角相等求出2A ∠=∠，再利用“角角边”证明ABC 和CED 全等，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答.【详解】∵90B E ∠=∠=︒,∴190A ∠+∠=︒,290D ∠+∠=︒,∵AC CD ⊥,∴1290∠+∠=︒,故D 错误；∴2A ∠=∠,故B 正确；∴90A D ∠+∠=︒,故A 正确；在ABC 和CED 中,2A B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≅ ,故C 正确；故选: D .【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并确定出全等的条件2A ∠=∠是解题的关键.3．C【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长．△BEC 和△CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和∠ACD 同为∠BCE 的余角，AC=BC ，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD ，BE=CD ，因此只需求出CD 的长即可．而CD 的长可根据CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可得解．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∴∠ACD=∠CBE ，又AC=BC ，∴△ACD ≌△CBE ；∴EC=AD ，BE=DC ；∵DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是3cm ．故选C ．【点拨】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，于是得到90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，得到CAD BCE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到,AD CE CD BE ==，根据点()0,1B -，点()1,1C ，得到1,112BE CD AD CE ====+=，于是得到结论．【详解】解：过C 作直线l y ∥轴，过B 作BE l ⊥于E ，过A 作AD l ⊥于D ，∴90ADC ACB BEC ∠=∠=∠=︒，∴90DAC ACD ACD BCE ∠+∠=∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠，在ACD 与CBE △中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACD CBE ≌，∴,AD CE CD BE ==，∵点()0,1B -，点()1,1C ，∴1,112BE CD AD CE ====+=，∴()1,2A -．故选：D ．5．D【分析】利用全等三角形判定()AAS ，证得OBD 与COE 全等，根据全等三角形性质可求出OE 和OD 的值，进而求出OA 的值，最后根据OA OE AE -=，即可求出问题答案．【详解】解：90BOC ∠=︒ ，90BOD COE ∴∠+∠=︒，90BDO ∠=︒ ，90CEO ∠=︒，90BOD OBD ∴∠+∠=︒，90COE OCE ∠+∠=︒，COE OBD ∴∠=∠，BOD OCE ∠=∠，又OB CO = ，()OBD COE AAS ∴≅ ，1.4m OE BD ∴==， 1.8m OD CE ==，1.8m 1m 1.4m 1.4m AE OA OE OD DA OE ∴=-=+-=+-=．故选：D ．【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键．6．B【分析】由正方形的性质知，AB DA =，由同角的余角相等知，BAF ADE ∠=∠，又有90AFB DEA ∠=∠=︒，故根据AAS 证得ABF DAE ≌．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴90AB DA BAF DAE =∠+∠=︒，，∵90ADE DAE ∠+∠=︒，∵BAF ADE ∠=∠，在ABF △与DAE 中，BAF ADE AFB AED AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAE ≌△△．故选：B ．【点拨】本题利用了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，学生要以常用的几种判定方法掌握并灵活运用．7．C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明()AAS ABC CED ≌ ，由DE BC BE AB ==-即可求出结果．【详解】解：180B ACB BAC ∠+∠+∠=︒ ，B E ACD ∠∠∠==，180ACD ACB BAC ∴∠+∠+∠=︒，180ACD ACB DCE ∠+∠+∠=︒，BAC DCE ∴∠=∠，在ABC 和CED △中，BAC DCE B E AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC CED ≌ ，,BC DE AB CE ∴==，2AB =，6BE =，∴624DE BC BE CE BE AB ==-=-=-=，故选：C ．8．C【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C 作CM x ⊥轴于点M ，证明ABO BCM ≌V V 得出2BM OA ==，进一步得出3OM =即可【详解】解：过点C 作CM x ⊥轴于点M ，如图，则90,CBM BCM ∠+∠=︒根据题意得90,ABC ∠=︒∴90,ABO CBM ∠+∠=︒∴,ABO BCM ∠=∠又,90,AB BC AOB BMC =∠=∠=︒∴,AOB BMC ≌V V ∴2,BVM AB ==∴123,OM OB BM =+=+=即点C 处的接收器到y 轴的距离为3，故选：C9．D【分析】由已知和图形根据“K ”字形全等，用AAS 可证△FEA ≌△MAB ，△DHC ≌△CMB ，推出AM =EF =6，AF =BM =3，CM =DH =2，BM =CH =3，从而得出FH =14，根据阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC 和面积公式代入求出即可．【详解】∵AE ⊥AB ，EF ⊥AF ，BM ⊥AM，∴∠F =∠AMB =∠EAB =90°，∴∠FEA +∠EAF =90°，∠EAF +∠BAM =90°，∴∠FEA =∠BAM ，在△FEA 和△MAB 中F BMA FEA BAM AE AB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△FEA ≌△MAB （AAS ），∴AM =EF =6，AF =BM =3，同理CM =DH =2，BM =CH =3，∴FH =3+6+2+3=14，∴梯形EFHD 的面积=12EF DH FH + （）=126241⨯+⨯（）=56，∴阴影部分的面积=S 梯形EFHD -S △EF A -S △ABC -S △DHC =11566322183322-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=32．故选D ．【点拨】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积．10．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．正确掌握相关性质内容是解题的关键．由AB CD ⊥可得90A D ∠+∠=︒，由CE AD ⊥，BF AD ⊥可得90CED AFB ∠=∠=︒，A B ∠∠=︒+90，从而B D ∠=∠，进而证得()AAS ABF CDE ≌，可得4AF CE ==，3BF DE ==，推出()AD AF DF AF DE EF =+=+-，代入数据即可解答．【详解】∵AB CD ⊥，∴90A D ∠+∠=︒，∵CE AD ⊥，BF AD ⊥，∴90CED AFB ∠=∠=︒，∴1801809090A B AFB ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴B D ∠=∠，∵AB CD =，∴()AAS ABF CDE ≌，∴4AF CE ==，3BF DE ==，∴()()4325AD AF DF AF DE EF =+=+-=+-=．故选：B11．28【分析】作CD ⊥OB 于点D ，依据AAS 证明D AOB B C ∆≅∆,GMF ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过点C 作CD ⊥OB 于点D，如图，∴90CDB AOB ∠=∠=︒∵ABC ∆是等腰直角三角形∴AB =CB ，90ABC ∠=︒∴90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∴ABO BCD∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中，AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABO BCD AAS ∆≅∆∴28cmCD BO ==故答案为：28．【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．12．（-1，4）【分析】过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，证明△COE ≌△OAD ，得到OE=AD ，CE=OD ，再根据点A 的坐标可得结果．【详解】解：过点A 和点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，E ，∵∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∠CEO=90°，则∠COE+∠OCE=90°，∴∠OCE=∠AOD ，在△COE 与△OAD 中，OCE AOD CEO ODA OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COE ≌△OAD （AAS ），∴OE=AD ，CE=OD ，∵点A 的坐标为（4，1），∴OD=4，AD=1，∴CE=OD=4，OE=AD=1，∴点C 的坐标为（-1，4），故答案为：（-1，4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是利用已知条件，作出辅助线，证明全等．13．7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．14．36．【分析】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，则∠DEB =90°-∠ABD =45°，证出AE =DE =DB ，通过证明△AEF ≌△BCD ，得出BC ==AF=12AD=6，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】作DE ⊥DB 交AB 于E ，EF 垂直AC 于F ，如图所示：则∠DEB =90°-∠ABD =45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DB =DE ，∵∠ABD =2∠BAC =45°，∴∠BAC =22.5°，∴∠ADE =∠DEB -∠BAC =22.5°=∠BAC ，∴AE =DE =DB ，∵∠AFE=90°，∴F 是AD 中点，AF=FD ，又∵∠C=90°，∴∠CBD=90°-45°-22.5°=22.5°，在Rt △AEF 和Rt △BCD 中A CBD AFE BCD AE BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴Rt △AEF ≌Rt △BCD （AAS ），∴AF=BC=12AD=6，∴△ABD 的面积S=12AD ×BC =12×12×6=36；故答案为：36．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积公式的的计算，熟记特殊三角形的判定和性质定理是解题关键．15．3【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是利用互余关系找三角形全等的条件，对应角相等，并巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题的关键是求得ACM BMD ≌．【详解】解：∵90CMD ∠=︒，∴90CMA DMB +=︒∠∠，又∵90CAM ∠=︒，∴90CMA C ︒∠+∠=，∴C DMB ∠=∠，在ACM 和BMD 中，A B C DMB CM MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACM BMD ≌，∴9BD AM ==米，1293BM =-=（米），∵该人的运动速度1米/秒，他到达点M 时，运动时间为313÷=（秒）．故答案为：3．16．1.5或4.5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵EF BC ⊥，∴90CEF ACB ∠=︒=∠，在CEF △和ACB △中，ECF A CEF ACB CF AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS CEF ACB ≌，∴6CE AC ==，如图，①当点E 在射线BC 上移动时，639BE CE BC ''=+=+=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()92 4.5s ÷=；②当点E 在射线CB 上移动时，()633cm BE AC BC =-=-=，∵点E 从点B 出发，在直线BC 上以2cm 的速度移动，∴E 移动了：()32 1.5s ÷=；综上所述，当点E 在射线CB 上移动4.5s 或1.5s 时，CF AB =，故答案为：1.5或4.5.17．4cm.【分析】过点E 作EF ⊥AN 于F ，先利用AAS 证出△ABC ≌△FCE ，从而得出AB=FC=8cm ，AC=FE ，然后利用AAS 证出△DCM ≌△EFM,从而求出CM 的长.【详解】解：过点E 作EF ⊥AN 于F ，如图所示∵AN ⊥AB ，△BCE 和△ACD 为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE ，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，∴∠ABC =∠FCE ，在△ABC 和△FCE 中BAC CFE ABC FCE BC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△FCE∴AB=FC=8cm ，AC=FE∴CD=FE在△DCM 和△EFM 中90DMC EMF DCM EFM CD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△DCM ≌△EFM∴CM=FM=12FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS 证两个三角形全等是解决此题的关键.18．6【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．证明ABE ≌CAF V ，推出ABE 与CAF V 面积相等，可得结论．【详解】解：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，2CD BD =，ABD ∴ 与ADC △等高，底边比值为1:2，ABD ∴ 与ADC △的面积比为1:2．ABC 的面积为9，ABD ∴ 与ADC △的面积分别为3和6，BED CFD ∠=∠ ，AEB AFC ∴∠=∠．BED ABE BAE ∠=∠+∠ ，BAE CAF BAC ∠+∠=∠，BED BAC ∠=∠，BAC ABE BAE ∴∠=∠+∠，CAF ABE ∴∠=∠．在ABE 和CAF V 中，AEB AFC ABE CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE CAF ∴ ≌，ABE ∴ 与CAF V 面积相等，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为ADC △的面积，ABE ∴ 与CDF 的面积之和为6．故答案为：6．19．全等，理由见解析【分析】首先证明CAD BCE ∠=∠，即可证明CDA BEC ≌V V ，即可解题．【详解】全等，理由如下：BE CE ⊥，E AD CE ⊥，，90ACB ∠=︒∴90BCE DCA ∠+∠=︒，90DAC DCA ∠+∠=︒．∴CAD BCE ∠=∠；在BEC 和DAC △中，90BCE DAC BEC CDA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AAS BEC DAC ≌V V ．【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，掌握证明全等三角形的方法是解题的关键．20．(1)CD DF =，CD DF⊥(2)成立，见解析【分析】（1）根据题意可直接证明AFD BDC ≌ ，即可得出结论；（2）仿照（1）的证明过程推出ADF BCD ≌ ，即可得出结论．【详解】（1）解：由题意，90A B ∠=∠=︒，在AFD △与BDC 中，AF BD A B AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS AFD BDC ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，在Rt BDC 中，90BDC BCD ∠+∠=︒，∴90BDC ADF ∠+∠=︒，∴90FDC ∠=︒，∴CD DF ⊥，综上可知CD DF =，CD DF ⊥；（2）解：成立，理由如下：AF AB ⊥，∴90DAF ∠=︒，在ADF △和BCD △中，AF DB DAF CBD AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADF BCD ≌ ，∴DF DC =，ADF BCD ∠=∠，90BCD CDB ∠+∠=︒，∴90ADF CDB ∠+∠=︒，即90CDF ∠=︒，∴CD DF ⊥；∴（1）中结论仍然成立．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．21．(1)见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导CBN BAM ∠=∠，最后证明(AAS)≌AMB BNC ，直接可证．（2）利用AMB ABC ∠=∠及ABN ∠是ABM 的外角，可以推出MAB CBN ∠=∠，再利用AAS 可以判定(AAS)≌AMB BNC ，再利用全等的性质导边即可证明．【详解】（1）证明：∵AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ；∴90AMB BNC ∠=∠=︒；∴90MAB ABM ∠+∠=︒；∵90ABC ∠=︒，∴90ABM NBC ∠+∠=︒；∴MAB NBC ∠=∠；在ABM 和BCN △中，AMB BNC MAB NBC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+．（2）MN AM CN =+成立．理由如下：设AMB ABC BNC α∠=∠=∠=；∴180ABM BAM ABM CBN α∠+∠=∠+∠=︒-；∴BAM CBN ∠=∠；在ABM 和BCN △中；BAM CBN AMB BNC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ABM BCN ≌；∴AM BN =，BM CN =；∴MN BN BM AM CN =+=+；故MN AM CN =+成立．22．(1)25；115；小(2)当2DC =时，ABD DCE≌△△(3)可以；BDA ∠的度数为110︒或80︒【分析】（1）由已知平角的性质可得180EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠，再利用三角形内角和定理进而求得DEC ∠，即可判断点D 从B 向C 运动过程中，BDA ∠逐渐变小；（2）当2DC =时，由已知和三角形内角和定理可得140DEC EDC ∠+∠=︒，140ADB EDC ∠+∠=︒，等量代换得ADB DEC ∠=∠，又由2AB AC ==，可得()AAS ABD DCE ≌△△；（3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）解：1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801802540115DEC EDC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25；115；小．（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：40C ∠=︒ ，140DEC EDC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=︒ ，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠，又 B C ∠=∠，2AB DC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形；理由：110BDA ∠=︒ 时，70704030ADC EDC ∴∠=︒∠=︒-︒=︒，，40C ∠=︒ ，70DAC ∴∠=︒，304070AED C EDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，DAC AED ∴∠=∠，∴ADE V 是等腰三角形；80BDA ∠=︒ 时，100ADC ∴∠=︒，40C ∠=︒ ，40DAC ∴∠=︒，DAC ADE ∴∠=∠，∴ADE V 的形状是等腰三角形．【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．23．（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明(AAS)AMF BNF ≌，由全等三角形的性质可得出AF BF =；（3）分两种情况，由全等三角形的性质可得出答案．【详解】（1）解：由题意可知ABC CDE △≌△，AB CD ∴=，BC DE =，故答案为：CD ，DE ；（2）证明：如图1，过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N，ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，90ACF ECG ECG E ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌，AM CG ∴=；同理可得：BCN CDG ≌．BN CG ∴=，AM BN ∴=，在AMF 和BNF 中，AFM BFN AMF BNF AM BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)AMF BNF ∴ ≌，AF BF ∴=，∴点F 是AB 的中点．（3）解：如图，当点N 在x 轴正半轴上时，由【模型呈现】可知MEN NDP ≌，5EM DN ∴==，DP EN =，514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．24．(1)BD AE CE AD==，(2)DE BD CE=+(3)12t x ==，或928,49t x ==【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得CAE ABD ∠=∠，再利用AAS 证明ABD CAE ≌，得BD AE CE AD ＝，＝；（2）由（1）同理可得ABD CAE △△≌，得BD AE CE AD ==，，可得答案；（3）分DAB ECA ≌ 或DAB EAC ≌△△两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题．【详解】（1）解：∵BDA AEC BAC ∠=∠=∠，∴BAD CAE BAD ABD ∠+∠=∠+∠，∴CAE ABD ∠=∠，∵BDA AEC BA CA ∠=∠=，，∴ABD CAE AAS ≌（），∴BD AE CE AD ==，，故答案为：BD AE CE AD ==，；（2）DE BD CE =+，由（1）同理可得ABD CAE AAS ≌（），∴BD AE CE AD ==，，∴DE BD CE =+；（3）存在，当DAB ECA ≌ 时，∴2,7AD CE cm BD AE cm ====，∴1t =，此时2x =；当DAB EAC ≌△△时，∴ 4.5,7,AD AE cm DB EC cm ====∴924AD t ==，928749x =÷=，综上：12t x ==，或928,49t x ==．【点拨】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。

全等之一线三等角模型(含答案)

全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌（1）（2）1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．求证：≌．若，求点到直线的距离．2.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为．（1）（2）3.如图，在中，，，于点，于点，，．求证：．求线段的长度．4.如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．5.如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为．（1）（2）7.如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为．A. B. C. D.10.如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（）．（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）（3）12.如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：A. B. C. D.13.如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（）．14.如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 15.如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．图图图图图图（1）（2）（3）17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是．（请直接写出答案）（1）（2）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图全等之一线三等角模型1. 一线三垂直【核心考点】：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过°顶点作该直线的垂线，构造三垂直模型．必有如下全等三角形：【经典图形】：【变式图形】：由得由得≌≌【备注】【教法指导】通过例1.1可以详细给学生示范一下三垂直模型的书写过程，其中倒角用的是“同角的余角相等”，提醒书生注意1.如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：≌．若，求点到直线的距离．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵四边形是正方形,，，∴，，，∴，，∴，∴在与中，，∴≌．过作，∵四边形是正方形，，∴，，，，∴，，，∴在与中，，∴≌，∴，∴在中，，，，∴点到直线的距离．【知识点】正方形与全等综合2.【解析】【标注】如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为．【答案】∵四边形是正方形，∴，，∵则是直角三角形，∴，，又∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴．【知识点】三垂直模型3.如图，在中，，，于点，于点，，．（1）（2）（1）（2）【解析】【标注】求证：．求线段的长度．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，，∴，在和中，，∴≌，∴．∵≌，∴，，∴．【知识点】三垂直模型4.【解析】如图，点在线段上，，，，且，，，，求的度数．【答案】．连接、．∵，，．∴．【标注】在和中，∴≌∴，，∴．∴为等腰三角形．同理可得为等腰三角形．∴．．【能力】分析和解决问题能力【知识点】SAS【知识点】全等三角形的性质5.【解析】【标注】如图，是等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则．【答案】由三垂直模型易证≌，∴．【知识点】坐标与距离；三垂直模型6.如图，为等腰直角三角形，点坐标为，点坐标为，过作轴的垂线，垂足为点，则点坐标为．【解析】【标注】【答案】由三垂直模型易证≌，∴，，∴点坐标为，故答案为：．【知识点】根据坐标描点、根据点写坐标；三垂直模型（1）（2）7.（1）【解析】如图，，，，，垂足分别为，．证明：≌．若，，求的长．【答案】（1）（2）证明见解析．．∵，，，∴，∴，，∴，在和中，（2）【标注】，∴≌．∵≌，∴，，∴（）．【知识点】一线三等角模型（1）（2）（3）8.在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图①的位置时，求证：．图当直线绕点旋转到图②的位置时．求证：．图当直线绕点旋转到图③的位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．图【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．．（1）（2）（3）【解析】【标注】∵中，，∴，又直线经过点，且于，于，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（），∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，而，∴≌，∴，，∴．∵中，，直线经过点，且于，于，∴，，∴，∵，∴≌，∴，，∴；、、之间的关系为．【能力】推理论证能力【能力】运算能力【知识点】AAS【知识点】全等三角形的对应边与角9.如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两条凳子之间（凳子与地面垂直）．已知，．则两条凳子的高度之和为．【解析】【标注】【答案】由题意可得：，，，在和中，，∴（），故，，则两条凳子的高度之和为：．故答案为：．【知识点】全等三角形实际生活中的应用A. B. C. D.10.方法一：【解析】如图，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是（）．【答案】A ∵，，∴，∵在和中，，方法二：【标注】∴≌（），同理 ≌（），∴，，，，∵梯形的面积，，，∴图中实线所围成的图形的面积．∵且，，，，，∴，，≌，∴，．同理证得≌得，．故，故．故选：．【知识点】三垂直模型（1）（2）11.如图，中，，，是过点的一条直线，且点，在的同侧时，于，于．求证：．变成如图，，在的异侧时，，，关系如何？并加以证明．（1）（2）【解析】【标注】【答案】（1）（2）证明见解析．．．∵，，，∴，∴，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，，∴．∵，∴．成立．∵，，，∴．∵，，∴．∵，在和中，，∴≌，∴，．∵，∴．【能力】推理论证能力【能力】分析和解决问题能力【知识点】全等三角形的性质【知识点】AAS（1）（2）（3）12.（1）【解析】如图所示，已知、为直线上两点，点为直线上方一动点，连接、，另以、为边向外作正方形和正方形，过点作于点，过点作于点．如图，当点恰好在直线上时，（此时与重合），试说明．如图，当、两点都在直线的上方时，试探求三条线段、、之间数量关系，并说明理由．如图，当点在直线的下方时，线段，、之间的数量关系又如何？请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）证明见解析．．．∵四边形和为正方形，（2）（3）∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴≌（），∴．，理由如下：过点作于，∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．，理由如下：过点作于，【标注】∵，∴，∴，∵四边形为正方形，∴，，∴，∴，∴≌（），∴，同理得：，∵，∴．【知识点】正方形与全等综合2. 一线三等角【核心考点】：只要在一条直线上出现三个角相等，一般都可以构造全等三角形解决问题．【经典图形】：【备注】【教法指导】注意三个相等的角度可以在直线同侧，也可以在直线异侧．A. B. C. D.13.【解析】如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上，则的长是（）．【答案】B如图所示∵，，∴，∵为等边三角形，∴，∵线段绕点逆时针旋转得到线段，【标注】要使点恰好落在上，∴，，∵，，∴，在和中，∵，∴≌，∴．故选．【知识点】等边三角形的性质14.【解析】【标注】如图，已知中，点为上一点，，两点分别在边，上，若，，，，则．ACBFDE 【答案】∵，，∴,在和中，，∴≌，∴，∵，，∴．【知识点】一线三等角模型15.【解析】【标注】如图，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．【答案】∵，∴与等高，底边比值为，∴与面积比为，又的面积为，∴与面积分别为和．∵，∴．∵，，∴．在和中，，∴≌．∴，∴．【知识点】三角形的周长与面积问题16.感知：如图①，点在正方形的边上，于点，于点，可知≌．（不要求证明）拓展：如图②，点，分别在的边，上．点，在内部的射线上，，分别是，的外角．已知，，求证：≌．【解析】【标注】应用：如图③，在等腰三角形中，，．点在边上，，点，在线段上，．若的面积为，则与的面积之和为．图图图【答案】见解析拓展：证明：∵，∴．∵，，又，∴．在和中，，∴≌．应用：解：∵，∴．∵，，，∴．在和中，，∴≌．∴．∵在中，，∴．∵，∴．∴．【知识点】全等三角形实际生活中的应用17.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．图图图（1）（2）（3）图（1）【解析】如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．求证：．组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图，将（）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有(其中为任意锐角或钝角)，请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图，是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，、分别是直线上点左右两侧的动点（、、互不重合），在运动过程中线段的长度始终为，连接、．若，则周长是．（请直接写出答案）【答案】（1）（2）（3）证明见解析．证明见解析．如图，∵直线，直线，∴，∵，∴，∵，∴，在与中，，∴≌,∴，，∴，∴．图（2）图（3）【标注】．如图，证明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，，∴，∴．∵≌，∴，，∵和均为等边三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴≌，∴且，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【知识点】多解或多种判定混合（1）18.如图，是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在直线上，请解决下面两个问题：21（2）【标注】①如图①，若，，则；（填“”、“”、“”）；图②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．图如图③，若直线经过的外部，，请提出、、三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．图【答案】（1）（2）（）；．，先证明，再证明≌．．【知识点】全等三角形的性质。

人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案

人教版八年级数学上册《一线三等角模型》专项练习-附含答案【模型说明】 C D E BA应用：通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题；【例题精讲】例1．（基本“K ”型）如图一个等腰直角三角形ABC 物件斜靠在墙角处（∠O ＝90°）若OA ＝50cm OB ＝28cm 则点C 离地面的距离是____ cm ．【答案】28【详解】解：过点C 作CD ∠OB 于点D 如图∠90CDB AOB ∠=∠=︒∠ABC ∆是等腰直角三角形∠AB =CB 90ABC ∠=︒∠90ABO CBD ∠+∠=︒又90CBD BCD ∠+∠=︒∠ABO BCD ∠=∠在ABO ∆和BCD ∆中AOB BDC ABO BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABO BCD AAS ∆≅∆∠28cm CD BO ==故答案为：28．例2.（特殊“K ”型）在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E 在直线m 上方有AB AC = 且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1 当90α=︒时猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2 当0180α<<︒时问题（1）中结论是否仍然成立？如成立请你给出证明；若不成立请说明理由；(3)应用：如图3 在ABC 中 BAC ∠是钝角 AB AC =,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠ 直线m 与CB 的延长线交于点F 若3BC FB = ABC 的面积是12 求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【解析】（1）解：DE ＝BD +CE 理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90° ∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90° ∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴AD ＝CE BD ＝AE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α∴∠DBA ＝∠EAC∵AB ＝AC ∴△DBA ≌△EAC （AAS ）∴BD ＝AE AD ＝CE ∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CAE 中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴S △ABD ＝S △CAE设△ABC 的底边BC 上的高为h 则△ABF 的底边BF 上的高为h∴S △ABC ＝12BC •h ＝12 S △ABF ＝12BF •h∵BC ＝3BF∴S △ABF ＝4∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．例3.（“K ”型培优）已知：ABC 中 90ACB ∠=︒ AC CB = D 为直线BC 上一动点连接AD 在直线AC 右侧作AE AD ⊥ 且AE AD =．（1）如图1 当点D 在线段BC 上时过点E 作EH AC ⊥于H 连接DE ．求证：EH AC =；（2）如图2 当点D 在线段BC 的延长线上时连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时连接BE 交直线AC 于M 若25AC CM = 请求出ADB AEMS S △△的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47【详解】证明（1）∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAH CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAH ADC ∴∠=∠在AHE 与DCA △中 90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AHE DCA AAS ∴△≌△ EH AC ∴=；（2）如图2 过点E 作EN AC ⊥ 交CA 延长线于N∠AE AD ⊥ 90ACB ∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS 则BM EM =；（3）如图当点D 在线段BC 上时∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =由（1）得：AHE DCA △≌△ 则AH CD = 5===EH AC BC a由∠90EHM BCM ∠=∠=︒ BMC EMH ∠=∠ ∠MHE MCB △≌△（AAS ） ∠CM HM = 即2HM CM a == ∠522AH AC CM HM a a a a =--=--= ∠3AM AH HM a CD AH a ==5EH AC a == 4BD BC CD a =-= 11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EH a a ；如图点D 在CB 延长线上时过点E 作EN AC ⊥ 交AC 延长线于N∠25AC CM = ∠可设5AC a = 2CM a =∠EN AC ⊥ AE AD ⊥ ∠90ANE EAD ACB ∠=∠=∠=︒∠90∠=︒-∠EAN CAD 90∠=︒-∠ADC CAD EAN ADC ∴∠=∠在ANE 与DCA △中 90ANE DCA ENA ACDAN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS EN AC ∴= AN CD = 又∠AC BC = EN BC ∴=又在ENM 与BCM 中 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ∠2==CM NM a 5NE BC AC a === ∠9AN AC CM MN a =++=7AM AC CM a =+= 9AN CD a == ∠4BD a = 11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a 点D 在BC 延长线上由图2得：AC CM < ∠25AC CM =不可能故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【变式训练1】如图 90,ABC FA AB ∠=⊥于点A 点D 在直线AB 上,AD BC AF BD ==．(1)如图1 若点D 在线段AB 上判断DF 与DC 的数量关系和位置关系并说明理由；(2)如图2 若点D 在线段AB 的延长线上其他条件不变试判断（1）中结论是否成立并说明理由．【答案】(1)DF =DC DF ∠DC ；理由见解析；(2)成立理由见解析【解析】（1）解：∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90ABC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．（2）∠90,ABC FA AB ∠=⊥∠90DBC DAF ∠∠==在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠△ADF ∠△BCD ∠DF =DC ADF BCD ∠=∠∠∠BDC +∠BCD =90° ∠∠BDC +∠ADF =90°∠∠FDC =90° 即DF ∠DC ．【变式训练2】在ABC 中 90ACB ∠=︒ AC BC = 直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时．∠请说明ADC CEB △≌△的理由；∠请说明DE AD BE =+的理由；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请写出等量关系并予以证明．(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时 DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系?请直接在横线上写出这个等量关系：________．【答案】(1)∠理由见解析；∠理由见解析(2)DE AD BE =- 证明见解析(3)DE BE AD =-【解析】(1)解：∠∠AD MN ⊥于D BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90ACB ∠=︒ ∠90ACD BCE ∠+∠=︒90ACD DAC ∠+∠=︒ ∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DC CE DE += ∠AD EB DE +=(2)结论：DE AD BE =-∠BE EC ⊥ AD CE ⊥∠90ADC BEC ∠=∠=︒∠90EBC BCE ∠+∠=︒∠90ACB ∠=︒∠90ACE BCE ∠+∠=︒∠ACD EBC ∠=∠∠ADC CEB △≌△∠AD EC = CD BE =∠DE EC CD AD EB =-=-(3)结论：DE BE AD =-∠90ACB ∠=︒∠90ACD BCE ∠+∠=︒∠BE MN ⊥ AD MN ⊥∠90ADC DEC ∠=∠=︒∠90ACD DAC ∠+∠=︒∠DAC BCE =∠∠在ADC 和CEB △中ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠ADC CEB △≌△ ∠AD EC = CD BE =∠DE CD EC EB AD =-=-．【变式训练3】（1）如图1 在∠ABC 中 ∠BAC ＝90° AB ＝AC 直线m 经过点A BD ∠直线m CE ∠直线m 垂足分别为点D 、E ．求证：∠ABD ∠∠CAE ；（2）如图2 将（1）中的条件改为：在∠ABC 中 AB ＝AC D 、A 、E 三点都在直线m 上并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α 其中α为任意锐角或钝角．请问结论∠ABD ∠∠CAE 是否成立？如成立请给出证明；若不成立请说明理由．（3）拓展应用：如图3 D E 是D A E 三点所在直线m 上的两动点（D A E 三点互不重合）点F 为∠BAC 平分线上的一点且∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形连接BD CE 若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC 求证：∠DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立理由见详解；（3）见详解【详解】（1）证明：BD ⊥直线m CE ⊥直线m 90BDA CEA ∴∠=∠=︒90BAC ∠=︒ 90BAD CAE ∴∠+∠=︒90BAD ABD ∠+∠=︒ CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立理由如下：α∠=∠=BDA BAC180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE CAE ABD ∴∠=∠在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：∠∠ABF 和∠ACF 均为等边三角形∠,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒ ∠∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC =120°∠180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒ ∠CAE ABD ∠=∠∠()ADB CEA AAS ∆∆≌ ∠AE BD =∠,FBD FBA ABD FAE FAC CAE ∠=∠+∠∠=∠+∠ ∠FBD FAE ∠=∠∠DBF EAF ∆∆≌（SAS ） ∠,FD FE BFD AFE =∠=∠∠60BFA BFD DFA AFE DFA DFE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒ ∠∠DFE 是等边三角形．【课后作业】1．如图是高空秋千的示意图小明从起始位置点A 处绕着点O 经过最低点B 最终荡到最高点C 处若90AOC ∠=︒ 点A 与点B 的高度差AD ＝1米水平距离BD ＝4米则点C 与点B 的高度差CE 为（）A．4米B．4.5米C．5米D．5.5米【答案】B【详解】解：作AF∠BO于F CG∠BO于G∠∠AOC=∠AOF+∠COG=90° ∠AOF+∠OAF=90° ∠∠COG=∠OAF在∠AOF与∠OCG中AFO OGCOAF COGAO OC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AOF∠∠OCG（AAS） ∠OG=AF=BD=4米设AO=x米在Rt∠AFO中 AF2+OF2=AO2即42+（x-1）2=x2解得x=8.5．则CE=GB=OB-OG=8.5-4=4.5（米）．故选：B．2．如图 ∠ABC＝∠ACD＝90° BC＝2 AC＝CD则△BCD的面积为_________．【答案】2【详解】解：如图作DE垂直于BC的延长线垂足为E∠90ACB BAC ∠+∠=︒ 90ACB DCE ∠+∠=︒ ∠BAC DCE ∠=∠在ABC 和CED 中 ∠90BAC DCE ABC CED AC CD ∠=∠⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩∠()ABC CED AAS ≌ ∠2BC DE == ∠122BCD S BC DE =⨯⨯= 故答案为：2．3．如图 ABC 为等边三角形 D 是BC 边上一点在AC 上取一点F 使=CF BD 在AB 边上取一点E 使BE DC = 则EDF ∠的度数为（）A ．30B ．45C ．60D ．70【答案】C 【详解】∠ABC 是等边三角形 ∠∠B=∠C=60°在∠EDB 和∠DFC 中 60BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠EDB ∠∠DFC ∠∠BED=∠CDF ∠∠B=60° ∠∠BED+∠BDE= 120° ∠∠CDF+∠BDE= 120°∠∠EDF=180°-（∠CDF+∠BDE ）=180°-120°=60°.故选C.4．已知∠ABC 中 ∠ACB =90° AC =BC ．BE 、AD 分别与过点C 的直线垂直且垂足分别为D E ．学习完第十二章后张老师首先让同学们完成问题1：如图1 若AD =2.5cm DE =1.7cm 求BE 的长；然后张老师又提出问题2：将图1中的直线CE 绕点C 旋转到∠ABC 的外部 BE 、AD 与直线CE 的垂直关系不变如图2 猜想AD 、DE 、BE 三者的数量关系并给予证明．【答案】BE 的长为0.8cm ；DE =AD +BE ．【详解】解：如图1 ∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90°∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD ∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE =2.5cm BE =CD∠DE =1.7cm ∠BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ∠BE 的长为0.8cm ；如图2 DE =AD +BE 理由如下：∠∠ACB =∠BEC =∠ADC =90° ∠∠ACD +∠BCE =90°=∠ACD +∠CAD∠∠BCE =∠CAD在∠ACD 和∠CBE 中 BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD ∠∠CBE （AAS ） ∠AD =CE BE =CD ∠DE =AD +BE ．5．如图在ABC 中 AB BC =．（1）如图∠所示直线NM 过点B AM MN ⊥于点M ⊥CN MN 于点N 且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图∠所示直线MN 过点B AM 交MN 于点M CN 交MN 于点N 且AMB ABC BNC ∠=∠=∠ 则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立理由见解析【详解】证明：（1）∠AM MN ⊥ ⊥CN MN∠90AMB BNC ∠=∠=︒ ∠90ABM BAM ∠+∠=︒∠90ABC ∠=︒ ∠90ABM CBN ∠+∠=︒ ∠BAM CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = BM CN = ∠BN MB MN += ∠MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立理由如下：∠180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∠AMB ABC ∠=∠ ∠MAB CBN ∠=∠在AMB 和BNC 中 AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()AMB BNC AAS ≅△△ ∠AM BN = NC MB =∠MN MB BN =+ ∠MN AM CN =+．6．如图在∠ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线l 经过顶点C 过A 、B 两点分别作l 的垂线AE 、BF E 、F 为垂足．（1）当直线l 不与底边AB 相交时∠求证：∠EAC ＝∠BCF ．∠猜想EF 、AE 、BF 的数量关系并证明．（2）将直线l 绕点C 顺时针旋转使l 与底边AB 交于点D （D 不与AB 点重合）请你探究直线l EF 、AE 、BF 之间的关系．（直接写出）【答案】（1）∠证明见解析 ∠EF ＝AE +BF ；证明见解析；（2）AE ＝BF +EF 或BF ＝AE +EF ．【详解】（1）证明：∠∵AE ⊥EF BF ⊥EF ∠ACB ＝90°∴∠AEC ＝∠BFC ＝∠ACB ＝90°∴∠EAC +∠ECA ＝90° ∠ECA +∠FCB ＝90° ∴∠EAC ＝∠FCB∠EF ＝AE +BF ；证明：在△EAC 和△FCB 中 AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAC ≌△FCB （AAS ）∴CE ＝BF AE ＝CF∴EF ＝CE +CF ＝AE +BF即EF ＝AE +BF ；（2）∠当AD ＞BD 时如图①∵∠ACB ＝90° AE ⊥l 直线同理可证∠BCF ＝∠CAE （同为∠ACD 的余角）又∵AC ＝BC BF ⊥l 直线即∠BFC ＝∠AEC ＝90°∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE CE ＝BF∵CF ＝CE +EF ＝BF +EF∴AE ＝BF +EF ；∠当AD ＜BD 时如图②∵∠ACB ＝90° BF ⊥l 直线同理可证∠CBF ＝∠ACE （同为∠BCD 的余角）又∵AC ＝BC BE ⊥l 直线即∠AEC ＝∠BFC ＝90°．∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CF ＝AE BF ＝CE∵CE ＝CF +EF ＝AE +EF ∴BF ＝AE +EF ．7．（1）某学习小组在探究三角形全等时发现了下面这种典型的基本图形．如图1 已知：在ABC 中 90BAC ∠=︒ AB AC = 直线l 经过点A BD ⊥直线l CE ⊥直线l 垂足分别为点D E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想如果三个角不是直角那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在ABC 中 AB AC = D A E 三点都在直线l 上并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠= 其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立请你给出证明；若不成立请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3 过ABC 的边AB AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△ 则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立理由见解析；（3）3.5【详解】解：（1）证明：如图1中 ∠BD ∠直线l CE ∠直线l∠∠BDA =∠CEA =90°∠∠BAC =90°∠∠BAD +∠CAE =90°∠∠BAD +∠ABD =90°∠∠CAE =∠ABD在∠ADB 和∠CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中∠∠BDA =∠BAC =α∠∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α∠∠DBA =∠CAE在∠ADB 和∠CEA 中BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADB ∠∠CEA （AAS ）∠AE =BD AD =CE∠DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3 过E 作EM ∠HI 于M GN ∠HI 的延长线于N ．∠∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∠EM =GN在∠EMI 和∠GNI 中GIN EIM EM GNGNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠EMI ∠∠GNI （AAS ）∠EI =GI∠I 是EG 的中点．∠S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．8．如图在∠ABC 中 AB ＝AC ＝2 ∠B ＝∠C ＝40° 点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合）连接AD 作∠ADE ＝40° DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA ＝105°时 ∠EDC ＝ ° ∠DEC ＝ °；点D 从点B 向点C 运动时 ∠BDA 逐渐变．（填“大”或“小”）（2）当DC 等于多少时 ∠ABD ∠∠DCE ？请说明理由．（3）在点D 的运动过程中 ∠ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以请直接写出∠BDA 的度数；若不可以请说明理由．【答案】（1）35105︒︒，小；（2）2 理由见解析；（3）110︒或80°【详解】（1）40B C ∠=∠=︒ 40ADE ∠=︒1801804040100BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180140ADB EDC ADE ∠+∠=︒-∠=︒180140ADB BAD B ∠+∠=︒-∠=︒180140DEC EDC C ∠+∠=︒-∠=︒BAD EDC ∴∠=∠ ADB DEC ∠=∠∴当∠BDA ＝105°时∴∠EDC ＝1801801054035BAD ADB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠DEC ＝ADB ∠105=︒；当点D 从点B 向点C 运动时 BAD ∠逐渐变大 180140BDA B BAD BAD ∠=︒-∠-∠=︒-∠ 则∠BDA 逐渐变小故答案为：35105︒︒，小；（2）BAD EDC ∠=∠ ADB DEC ∠=∠当DC AB =2=时 ABD DCE ∴≌（AAS ） 2DC ∴=（3）∠ADE 的形状可以是等腰三角形 BDA ∠=110︒或80︒40B C ∠=∠=︒ 1804040100BAC ∴∠=︒-︒-︒=︒∠当DA DE =时 ()118040702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒ 1007030BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒1801804030110BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；∠当EA ED =时 ADE ∠=40,1804040100DAE DEA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒1004060BAD BAC DAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒180180406080BDA B BAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∠当AE AD =时 ADE ∠=40,1804040100DEA DAE ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒100BAC ∠=︒∴此时D 点与B 点重合由题意可知点D 不与点B 、C 重合∴此种情况不存在综上所述当∠ADE是等腰三角形时BDA∠=110︒或80︒．9．如图线段AB=6 射线BG∠AB P为射线BG上一点以AP为边做正方形APCD且点C、D与点B在AP两侧在线段DP上取一点E使得∠EAP=∠BAP直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）（1）求证：△AEP∠∠CEP；（2）判断CF与AB的位置关系并说明理由；（3）△AEF的周长是否为定值若是请求出这个定值若不是请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）CF∠AB理由见解析；（3）是为16．【详解】解：（1）证明：∠四边形APCD 正方形 ∠DP平分∠APC PC=P A ∠APC=90°∠∠APE=∠CPE=45°在∠AEP与∠CEP中AP CPAPE CPEPE PE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠AEP∠∠CEP（SAS）；（2）CF∠AB理由如下：∠∠AEP∠∠CEP ∠∠EAP=∠ECP∠∠EAP=∠BAP ∠∠BAP=∠FCP ∠∠APC=90° ∠∠FCP+∠CMP=90° ∠∠AMF=∠CMP ∠∠AMF+∠P AB=90° ∠∠AFM=90° ∠CF∠AB；（3）过点C作CN∠PB．∠CF∠AB BG∠AB ∠∠PNC=∠B=90° FC∠BN∠∠CPN=∠PCF=∠EAP=∠P AB又AP=CP ∠∠PCN∠∠APB（AAS） ∠CN=PB=BF PN=AB∠∠AEP∠∠CEP ∠AE=CE∠∠AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=BN+AF=PN+PB+AF=AB+CN+AF=AB+BF+AF=16．故∠AEF的周长是否为定值为16．。

一线三等角模型综合题解

【例 1 】已知正方形 AB CD 和等腰R t△BEF， BE=EF，∠ B E F =90°，按图① 放置，使点 F 在B C 上，取 DF 的中点 G，连接 E G、 CG．( 1 ) 探索 E G、 CG 的数量关系和位置关系并证明；(2) 将图① 中△ BEF 绕 B 点顺时针旋转45°，再连接 DF，取 DF 中点 G (如图② )，问 1 ) 中的结论是否仍然成立．证明你的结论；((3) 将图① 中△ BEF 绕 B 点转动任意角度 (旋转角在0°到90° 之间) ，再连接 DF，取DF 的中点 G ( 如图③ ) ，问 ( 1 ) 中的结论是否仍然成立，证明你的结论．【例 2】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作∠EMF=∠B，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF 交腰 CD 于点 F，连接 EF．(1)求证：△MEF∽△BEM；(2)若△BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；(3)若 EF⊥CD，求 BE 的长．【例 3】如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点 P 由 B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，线段 EF 由DC 出发沿 DA 方向匀速运动，速度为 1cm/s，交 BD 于 Q，连接 PE．若设运动时间为 t(s)(0＜t＜5)．解答下列问题：(1)当 t 为何值时，PE∥AB；(2)设△PEQ 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式；2(3)是否存在某一时刻 t，使 S△PEQ= S△BCD？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由；25(4)连接 PF，在上述运动过程中，五边形 PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．【例 4】在直角梯形 OABC 中，CB ∥OA，∠COA=90°，CB=3， OA=6， BA= 3 5 ．分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求点 B 的坐标；(2)已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点，OD=5，OE=2EB，直线 DE 交 x 轴于点 F，求直线 DE 的解析式；(3)点 M 是(2)中直线 DE 上的一个动点，在 x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．【问题情境】如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 BC 边上的一点，E 是 CD 边的中点，AE 平分∠DAM．【探究展示】(1)证明：AM=AD+MC；(2)AM=DE+BM 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)若四边形 ABCD 是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图 2，探究展示(1)、(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．阅读理解：如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与点 A、点 B 重合)，分别连接 ED，EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点．解决问题：(1)如图 1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E；拓展探究：(3)如图 3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处．若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系．。

一线三等角模型经典例题

一线三等角模型经典例题英文回答：The one-to-one correspondence between three lines and three angles is a fundamental concept in geometry. In aone-to-one correspondence, each line corresponds to a unique angle, and vice versa. This concept is often illustrated using the classic example of an equilateral triangle.In an equilateral triangle, all three sides are equalin length, and all three angles are equal in measure. Let's call each angle A, B, and C. According to the one-to-one correspondence, line AB corresponds to angle C, line BC corresponds to angle A, and line AC corresponds to angle B.To further understand this concept, let's consider an example. Imagine you have an equilateral triangle with side length 5 units. According to the one-to-one correspondence, each angle will measure 60 degrees. So, angle A, angle B,and angle C will all be 60 degrees.Now, let's say we want to find the measure of angle A. According to the one-to-one correspondence, angle A corresponds to line BC. Since all sides of the equilateral triangle are equal, line BC will also have a length of 5 units. We can use the formula for the measure of an anglein a triangle to find the measure of angle A. The formula is: angle measure = (side length opposite to the angle / length of the side) 180 degrees. Plugging in the values, we get: angle A = (5 / 5) 180 = 180 degrees.Similarly, we can find the measures of angle B and angle C using the one-to-one correspondence. Angle B corresponds to line AC, and angle C corresponds to line AB. By plugging in the values into the formula, we find that both angle B and angle C also measure 180 degrees.In conclusion, the one-to-one correspondence between three lines and three angles in a one-line three-angle model is a fundamental concept in geometry. It allows us to determine the measure of an angle by corresponding it to aline in the model. This concept is often illustrated using the example of an equilateral triangle. Understanding this concept is crucial for solving geometry problems involving angles.中文回答：一线三等角模型中的一一对应关系是几何学中的基本概念。

一线三等角例题

一线三等角例题《神奇的“一线三等角”》嘿！同学们，你们知道“一线三等角”吗？这玩意儿可有意思啦！那天上数学课，数学老师像往常一样拿着三角板走进教室。

他一脸神秘地在黑板上画了一条线，然后又在线的同一侧画了三个角。

我当时就懵了，这是啥呀？老师笑着问我们：“同学们，猜猜看，这三个角之间有啥关系？”大家都皱着眉头，苦思冥想。

我同桌小声嘟囔着：“这能有啥关系？这不就是随便画的嘛！”我白了他一眼说：“你可别瞎说，老师能随便画吗？肯定有玄机！”老师看着我们疑惑的样子，开始给我们讲解。

“同学们，你们看，这三个角就像是三个好朋友，虽然长得不太一样，但是它们之间有着紧密的联系哟！”老师一边说，一边用手指着黑板上的图形。

我努力地听着，眼睛紧紧盯着黑板，生怕错过一点细节。

突然，我好像有点明白了，“哎呀，老师，是不是这样……”我迫不及待地举手发言。

老师点了点头，说：“不错，有点意思了！但是还不完全对。

”我有点沮丧，心里想：这也太难了吧！旁边的学习委员这时站起来说：“老师，我觉得应该是这样……”老师高兴地说：“太棒了，就是这样！”我心里那个羡慕呀，暗下决心：我一定要把这个“一线三等角”搞明白！接下来，老师又给我们出了几道例题，让我们自己去琢磨。

我和同桌一起讨论，“你说这道题该咋做？”“我觉得应该先这样……”我们俩争得面红耳赤。

经过一番努力，我们终于做出了几道题，那种成就感，简直无法形容！这“一线三等角”就像是一个神秘的宝藏，等着我们去挖掘。

它看起来复杂，但是只要我们用心去探索，就一定能找到其中的奥秘。

你们说，数学是不是很神奇？就像一个充满惊喜的大迷宫，每一个角落都藏着有趣的问题和答案。

“一线三等角”不就是这样吗？它让我们在思考中成长，在探索中收获快乐！所以呀，我觉得只要我们勇于挑战，不怕困难，数学的世界里就有无数的精彩等着我们！。

中考数学几何专题——一线三等角模型

一线三等角模型模型识别:条件：左图：N ABC=N ACE=N CDE=90°中图：N ABC=N ACE=N CDE=60°右图：N ABC=N ACE=N CDE=45° 结论：所有图形都存在的结论①△ABCFCDE；② AB X DE=BC X CD另外：一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。

题型一：三直角1、如下左图，a ABC是等腰直角三角形，DE过直角顶点A,N D=N E=90°,则下列结论正确的是_______ .① CD=AE；②N1=N2；③N3=N4；④ AD=BE2、如上右图，AB±BC, CD L BC,垂足分别为B、C, AB=BC, E为BC的中点，且AE±BD 于F,若CD=4cm,则U AB的长度为.3、如下左图，已知图中4条直线互相平行，相邻两条平行线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则cos =.4、如上右图，AE X AB且AE=AB, BC±CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围城的面积S是_____ .5、如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为____ .6、如图，^ABC中，N ABC=90°, AB=BC,m角形的顶点在相互平行的三条直线11, 12> 13 上，且11,12之间的距离为1,12、13之间的距离为3(1)求AC的长(2)点B到AC的距离7、如图，在^ABC中，以AB、AC为直角边，分别向外作等腰Rt A ABE和等腰Rt^ACF,连接EF,过点A作AD L BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M,证明：EM=FM.8、在^ABC 中 N C=90°, AC=4, BC=3, O 是AB 上的一点，且A0 = 2,点P 是AC 上的一AB 5个动点，PQ X OP交线段BC于点Q,(不与点B、C重合)，设AP=x, CQ=y，试求y关于x 函数关系式。

中考数学复习一线三等角模型(含解析)

中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。

专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型(四大类型)(原卷版)

专题07 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）【题型一：标准“K”型图】【题型二：做辅助线构造“K”型图】【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【题型四：特殊“K”型图】【方法技巧】模型一一线三垂直全等模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。

结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。

结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解【类型一：标准“K”型图】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；CD EBA（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE 之间的等量关系．【变式1-1】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE ⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【变式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE ．＝1，求S△BFC【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a，b，c的式子表示）【变式2-1】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE，过点A作AH⊥CE于点H，反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1，当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2，当AB≠AD时，上述①②结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式2-2】直线l经过点A，△ABC在直线l上方，AB＝AC．（1）如图1，∠BAC＝90°，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角），猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3，∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF 延长线上的一个动点，连结AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（4，7）D．（3，7）【变式3-4】问题背景：（1）如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：（3）如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣6，3），求B点的坐标．【变式3-5】（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE 的长；（3）如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求点B坐标．【变式3-6】在直角坐标平面内，点A（3，0），点B是第二象限内任意一点（如图所示）．线段AB绕点A旋转90°后的图形为AC，连接BC．（1）当线段AB绕点A顺时针旋转时，①如果点B的坐标为（﹣1，2），过点B作BH⊥OA，垂足为点H，直接写出线段AH的长；②如果点B的横坐标为a，且BC∥OA，求点B的纵坐标；（用含a的代数式表示）（2）设点B的坐标为（m，n），直接写出点C的坐标．（用含m、n的代数式表示）【变式3-7】如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．【变式3-8】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式4-1】如图，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，先将三角板60°角的顶点与D点重合，平放三角板，再绕点D转动三角板，三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F，当DE＝DF时，如图（2）所示．求证：△BDE≌△CFD．【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE．已知∠1＝∠2，AD＝DE．（1）求证：△ABD≌△DCE；（2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长．【变式4-3】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．。

专题相似复习一线三等角

（２）ＰＣ＝ＰＱ时，△ACP≌ △BPQ
（3）QＣ＝ＱP时，△BPC∽ △BCA
A
C Q
P
B
例3、如图，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的1 正半轴上， OA∥BC，D是BC上一点，BD= O4 A= ，2 AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、 AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．（1）直接写出D点的坐标；
A
E E
B D
C
B
D
C
当α为锐角时：
小
A
结
D
一
E
线
三
B
P
C
等
当α为直角时：
角
D
E
类
型
B
P
C
当α为钝角时：
E
F
B
P
C
A
E
B P
C
例题讲解
例1：等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°， P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、 F时．求证：△BPE～△CFP；
3、如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P在斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以点P为顶点作 ∠CPQ=45°，射线PQ交BC边与点Q，△CPQ能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试说明理由。
分类讨论（１）ＣＰ＝ＣＱ时， ∠CQP>∠B, ∴不可能
1、如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°， ∠B=90°，∠DEC=90°，试说明AD，AE，BE， BC之间的关系。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。

(完整版)一线三等角专题训练

一线三等角问题一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。

求证：△ABC ∽△CEDB EADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）（等腰梯形中底边上一线三等角）AB DCEF（直角坐标系中一线三等角）（矩形，正方形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角例1、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．FD CD (备用图)（1、本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。

变式练习1就是这类题型；（3、第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；（4、在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。

变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ⋅=；FE CBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，42BC =，∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .\第18题EFDCBA例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系；（2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围；（3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为()1,3-（1）求点B 的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。

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“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用
一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015 年·卷）
(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点 B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t （秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B 相切，求t 的值.
变式1 ( 2012 年) ( 1) 问题探究
如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1 和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线KH 交直线AB 于点H ，使∠AHK = ∠ACD 1 ．作
D 1M ⊥ KH，D 2N ⊥ KH，垂足分别为点M 、N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸
1 如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C 作直线K 1H 1
，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1、H 2，使∠AH 1K 1 = ∠BH 2K 2 = ∠ACD 1 ．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N⊥K 2H 2，垂足分别为点M 、N ． D 1M = D 2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．
2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D 1M = D 2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
二、添加辅助线后运用基本图形
例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC上，若CE=5，求CD的长。

例2、 ( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．
例3、如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。

三、应用举例
1、等腰三角形底边上的一线三等角
例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似的
三角形。

(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），
不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。

(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的长。

例2、如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O 处，三角板的直角边与线段AB、AC 分别交于点E、F，设BE =x，CF = y，∠BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°)．
( 1) 试求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值围;
( 2) 试判断∠BEO 与∠OEF 的大小关系?并说明理由;
( 3) 在三角板绕O 点旋转的过程中，⊿OEF 能否成为等腰三角形? 若能，求出对应
x 的值; 若不能，请说明理由．
【例3】（2012·卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．
（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
（2）（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；
并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）
6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F. （1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值围；
（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.
2、四边形中的一线三等角
例1、如图，正方形ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是BC、CD 上两个动点，
且始终保持AM ⊥ MN，设BM 的长为x cm，CN的长为y cm.求点M 在BC 上的运动过程中y 的最大值
例 2
例3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，BC = 4AD = 4 2，∠B = 45°，点 E 、F 分别在边BC 、CD 上移动，且∠AEF = 45°，则点E 移动过程中，线段AF 长的最小值是（）
例4．如图,在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠=，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠=，设AE x =，DF y =． ⑴ 求y 与x 的函数表达式；
⑵ 当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
例4、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AB =8，
34
tan =
∠CAD ，CA =CD ，E 、F 分别是线段AD 、AC 上的
动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC =∠ACB ，设DE=x ，CF=y . （1）求AC 和AD 的长；（2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.
ＡＥＤＦＣＢ
3、函数问题中的一线三等角．
例1、在直角坐标系中，点A 是抛物线y= x 2在第二象限上的点，连结OA ，过点O 作OB ⊥ OA，交抛物线于点B ，以OA 、OB 为边构造矩形AOBC ．如图，当点A 的横坐标为－1/2时，求点B 的坐标．
F
C
B
D
A
E
例2、如图，已知直线y = kx 与抛物线y = － 4/27 x2 + 22/3交于点A( 3，6) ．若点B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段OA 上( 与点O、A 不重合) ，点D( m，0 ) 是x 轴正半轴上的动点，且满足∠BAE = ∠BED = ∠AOD．试探究: m 在什么围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个?。

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