2020届湖南省长沙市一中2017级高三第一次月考数学(理)试卷及解析
湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷理科5 含
2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，若复数z满足（3﹣4i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）A． B．C． D．2．已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）3．下列命题中，为真命题的是（）A．∃x0∈R，使得B．C．∀x∈R，2x＞x2D．若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0 4．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=6．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt．假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为（）A．5 B．8 C．9 D．107．已知函数f（x）=是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．α=，β=﹣B．C．D．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．12πD．π9．已知P是△ABC所在平面内一点，满足++2=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．10．设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为（用数字作答）14．已知向量，满足||=2，（）=﹣3，则向量在方向上的投影为．15．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是．16．数列{a n}满足，对任意n∈N*，，则的整数部分是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+d19．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．20．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣3|+ax﹣6（a是常数，a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．2016-2017学年湖南省长沙一中高三（上）月考数学试卷（理科）（5）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，若复数z满足（3﹣4i）z=1+2i，则z的共轭复数是（）A． B．C． D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，∴．故选：C．2．已知集合A={x|x2+4x+3≥0}，B={x|2x＜1}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣1]B．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D．（﹣∞，0）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），故选：B．3．下列命题中，为真命题的是（）A．∃x0∈R，使得B．C．∀x∈R，2x＞x2D．若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D 正确；故选：D．4．在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B ＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．故选：C．5．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M 是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：B．6．将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt．假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有L，则m的值为（）A．5 B．8 C．9 D．10【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k ﹣5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k﹣5=5分钟，即m=5．故选A．7．已知函数f（x）=是偶函数，则下列结论可能成立的是（）A．α=，β=﹣B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，选项代入验证，所以C正确．故选：C．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．π C．12πD．π【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故选：D．9．已知P是△ABC所在平面内一点，满足++2=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，=S△ABC此时S△APC故黄豆落在△APC内的概率为，故选A．10．设实数x，y满足，则的取值范围为（）A． B．C．D．【考点】函数单调性的性质；简单线性规划．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．故选C．11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（0，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．故选：A．12．已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设n=10sinxdx，则（﹣）n展开式中的常数项为210（用数字作答）【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，∴展开式中=••=（﹣1）r••，通项T r+1令5﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为=（﹣1）6•==210．T6+1故答案为：210．14．已知向量，满足||=2，（）=﹣3，则向量在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，∴=1，∴cos＜＞==，∴在方向上的投影为||cos＜＞=．故答案为：．15．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．故答案为：．16．数列{a n}满足，对任意n∈N*，，则的整数部分是2．【考点】数列的求和．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：﹣=﹣，∴=﹣﹣﹣…﹣=﹣=3﹣．∵a2==，a3==，a4==＞1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC ，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB （sinC +cosC ），…∴sin （π﹣B ﹣C ）=sinB （sinC +cosC ）， ∴sin （B +C ）=sinB （sinC +cosC ），… ∴sinBcosC +cosBsinC=sinBsinC +sinBcosC ，… ∴cosBsinC=sinBsinC ，又∵C ∈（0，π），故sinC ≠0，… ∴cosB=sinB ，即tanB=1． … 又∵B ∈（0，π），∴． …（Ⅱ）在△BCD 中，DB=2，DC=1，∴BC 2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD ． …又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC 为等腰直角三角形，…∴，…又∵，…∴． …∴当时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为．…18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人． （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望． 参考公式与数据：Χ2=，其中n=a +b +c +d【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解： （Ⅰ）因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为．…19．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B﹣ADEC，且F为棱BC中点，．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q﹣BE﹣A的余弦值，若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AB中点H，连结DH、HF，证明DH⊥平面ABC，证明EF∥DH，然后证明EF⊥平面ABC；（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．求出平面BQE的法向量，平面BAE的法向量，利用二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，通过向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AB中点H，连结DH、HF，因为在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E分别是边AB、BC的中点，所以AD=BD=1，又因为翻折后，所以翻折后AD⊥BD，且△ADB为等腰直角三角形，所以DH⊥AB，因为翻折后DE⊥AD，DE⊥BD，且AD∩BD=D，∴DE⊥平面ADB，因为DE∥AC，∴AC⊥平面ADB，∴AC⊥DH，又AB∩AC=A，∴DH⊥平面ABC，又∵HF∥AC，DE∥AC，且，∴DEFH是平行四边形，∴EF∥DH，∴EF⊥平面ABC；…（Ⅱ）以D为原点建立如图所示空间直角坐标系D﹣xyz．则A（0，1，0），B（0，0，1），E（1，0，0），C（2，1，0），，设Q（0，t，0）（0≤t≤1），则，，，设平面BQE的法向量为，则由，且，得，取y=1，则，要使AF∥平面BEQ，则须==，所以，即线段AD上存在一点，使得AF∥平面BEQ，…设平面BAE的法向量为，则由，且，得，取y1=1，则，∴，因为二面角Q﹣BE﹣A为锐二面角，所以其余弦值为，即线段AD上存在一点Q（点Q是线段AD上的靠近点D的一个三等分点），使得AF∥平面BEQ，此时二面角Q﹣BE﹣A的余弦值为…20．如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ）先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；（Ⅱ）（i）把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；（ii）先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入已知就可知道是否存在直线l满足题中条件了．【解答】解：（Ⅰ）由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．（Ⅱ）（i）由题得，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为（0，﹣1），所以k MA•k MB=====﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．（ii）设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．则点A的坐标为（k1，k12﹣1）．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为（﹣，﹣1）．于是s1=|MA|•|MB|=•|k1|••|﹣|=．由得（1+4k12）x2﹣8k1x=0．解得或，，则点D的坐标为（，）．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为（，）．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|2x﹣3|+ax﹣6（a是常数，a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．【考点】函数零点的判定定理；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时转化不等式f（x）≥0，去掉绝对值，然后求解不等式的解集即可；（Ⅱ）函数y=f（x）恰有两个不同的零点，令f（x）=0，构造函数y=|2x﹣3|，y=﹣ax+6，利用函数的图象推出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|2x﹣3|+x﹣6=，∴f（x）=|2x﹣3|+x﹣6≥0：化为或，解得x≥3或x≤﹣3．则解集为{x|x≥3或x≤﹣3}．（Ⅱ）由f（x）=0得，|2x﹣3|=﹣ax+6．令y=|2x﹣3|，y=﹣ax+6，作出它们的图象，可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，当﹣2＜a＜2时，函数y=f（x）有两个不同的零点．2017年4月4日。
【湖南省长沙市一中】2017届高三月考数学(理科)试卷(五)-答案
湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）答案1~5．ABDCB 6~10．ACDBA 11~12．CA．13．21014．1 215 16．223,5B ⎛⎫⎪⎝⎭则(0,,BQ t =，(1,EQ =-，(1,AF =-的法向量为(1,,)n t =-0，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(,)n t t =1,，，则须(,n AF t =1,，即线段AD 的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，， Q BE --为锐二面角，所以其余弦值为33上的靠近点D 的一个三等分点）33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．k 221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或湖南省长沙市一中2017届高三月考数学（理科）试卷（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3﹣4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥﹣1或x≤﹣3，即A=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞），由B中不等式变形得：2x＜1=20，即x＜0，∴B=（﹣∞，0），则A∩B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2﹣x+1≥0，则D正确；4．【解答】解：在△ABC中，“A＜B＜C”⇔a＜b＜c⇔sinA＜sinB＜sinC⇔sin2A＜sin2B＜sin2C⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B＞1﹣2sin2C⇔“cos2A＞cos2B＞cos2C”．∴在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k﹣5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n= a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k﹣5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（﹣x+β）=sin（x+﹣β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1＜＜4，则有＞．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m＜1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m=1时，t=﹣2，此时由m2+m﹣2=0得m=1或m=﹣2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=﹣10cosx=﹣10（cos﹣cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（﹣1）r••，令5﹣=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（﹣1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos＜＞，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=﹣=﹣3，∴=1，∴cos＜＞==，∴在方向上的投影为||cos＜＞=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=﹣令x=0，则f′（0）=﹣又f（0）=﹣，则切线方程为y+=﹣，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：﹣=﹣，于是=﹣=3﹣．由，a2＜1，a3＜1，a4＞1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：﹣=﹣，∴=﹣﹣﹣…﹣=﹣=3﹣．∵a2==，a3==，a4==＞1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3﹣∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．44（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h 的车辆的概率，X 可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100 km/h 的车辆的概率为4021005=，X 可取值是0，1，2，3，，有：00332327(0)()()55125P X C ===，11232354(1)()()55125P X C ===，22132336(2)()()55125P X C ===，3303238(3)()()55125P X C ===，则(0BQ =，，(1EQ =-，，(1AF =-，的法向量为(1n t =-，，，则由0n BQ ==，且0n EQ ==，得，则(n t =，1，，则须(n AF t =，1AD 上存在一点的法向量为1111()n x y z =，则由10n AB =，且10n AE =，得，则1(1)n =，1，1，∴11153333cos 1133333n n ++<>===，，33121211(MA MBy y kx k x x ++==⊥MB ，即MD ⊥ME ．）设直线MA 的斜率为k 1，则直线221121111111|||1|1|1||22||k MB k k k k k +=++-=0=得2211480)(1k x k x -+= 12)||4)k k + ，解得24k =或1故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x 和y=﹣x ．（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．π解得3x ≥或3x ≤- 则解集为3{}3|x x x ≥≤-或（Ⅱ）由()0f x =得，23||6x ax -=-+ 令||236y x y ax =-=-+，，作出它们的图象， 可以知道，当22a -<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，当22a -<<时，函数22a -<<有两个不同的零点．。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)
10．设实数 满足 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
11．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若 ，记椭圆与双曲线的离心率分别为 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数
平均车速不超过
100km/h人数
合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）若 是直线l与圆面 的公共点，求 的取值范围．
【选修4—5：不等式选讲】
23．已知
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）如果函数 恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
12．已知函数 ，若关于x的方程 有三个不同的实根，则t的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设 ，则 展开式中的常数项为______（用数字作答）
14．已知向量 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为______．
15．若函数 的图象在 处的切线与圆 相切，则 的最大值是______．
16．数列 满足 ，对任意 ， ，则 的整数部分是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)-答案
3320x0(0,)x0x0(),x +∞()u x - 0 + ()g x ' - 0 + ()g x递减最小值递增湖南省长沙一中2017届高三上学期月考数学试卷（理科）（五）解析1．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案．【解答】解：由（3-4i）z=1+2i，得=，∴．2．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x+3）≥0，解得：x≥-1或x≤-3，即A=（-∞，-3]∪[-1，+∞），由B中不等式变形得：2x<1=20，即x<0，∴B=（-∞，0），则A∩B=（-∞，-3]∪[-1，0），3．【分析】根据指数函数的性质，可判断A；求出的范围，可判断B；举出反例x=2，可判断C；写出原命题的否定，可判断D．【解答】解：恒成立，故A错误；，故B错误；当x=2时，2x=x2，故C错误；若命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x0∈R，都有x2-x+1≥0，则D正确；4．【分析】在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c，再利用正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．【解答】解：在△ABC中，“A<B<C”⇔a<b<c⇔sinA<sinB<sinC⇔sin2A<sin2B<sin2C⇔1-2sin2A>1-2sin2B>1-2sin2C⇔“cos2A>cos2B>cos2C”．∴在△ABC中，“A<B<C”是“cos2A>cos2B>cos2C”的充要条件．5．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于2000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为2000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．6．【分析】由题意，函数y=f（t）=ae nt满足f（5）=a，解出n=ln．再根据f（k）=a，建立关于k的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k的值，由m=k-5即可得到．【解答】解：∵5min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y=f（t）=ae nt，满足f（5）=ae5n=a可得n=ln，因此，当kmin后甲桶中的水只有升，即f（k）=a，即ln•k=ln，即为ln•k=2ln，解之得k=10，经过了k-5=5分钟，即m=5．7．【分析】利用函数的奇偶性以及三角函数的诱导公式化简，然后回代验证求解即可．【解答】解：函数f（x）=是偶函数，x=0时，sinα=cosβ，…①可得sin（x+α）=cos（-x+β）=sin（x+-β），…②，选项代入验证，所以C正确．8．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O-ABCD，正方体的棱长为2，A，D 为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2-x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2-x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，9．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是绘制满足条件的图形，数形结合找出满足条件的△APC的面积大小与△ABC面积的大小之间的关系，再根据几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图示，取BC的中点为D，连接PA，PB，PC，则，又P点满足，故有，可得三点A，P，D共线且，即P点为A，D的中点时满足，此时S△APC=S△ABC故黄豆落在△APC内的概率为，10．【分析】可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范围；进一步用换元法求出u的范围即可．【解答】解：作出x，y满足的可行域，可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，即，令，则，又在上单调递增，得．11．【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5-c，（c<5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m>n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m-n=2a2，即有a1=5+c，a2=5-c，（c<5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c>10，可得c>，即有<c<5．由离心率公式可得e1•e2===，由于1<<4，则有>．则e1•e2的取值范围为（，+∞）．12．【分析】利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．【解答】解：设m=f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m=f（x）有两个根，当m<1时，m=f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m<1，当m=1时，t=-2，此时由m2+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）=m2+m+t，则h（1）<0即可，即1+1+t<0，则t<-2，综上t≤-2，13．【分析】根据题意，先求出n的值，再求出展开式中的常数项是什么值即可．【解答】解：∵n=10sinxdx=-10cosx=-10（cos-cos0）=10，∴展开式中通项T r+1=••=（-1）r••，令5-=0，解得r=6，∴展开式中的常数项为T6+1=（-1）6•==210．14．【分析】根据平面向量的数量积运算性质计算，得出cos<>，再代入投影公式计算．【解答】解：∵=4，（）=-=-3，∴=1，∴cos<>==，∴在方向上的投影为||cos<>=．15．【分析】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【解答】解：求导数，可得f′（x）=-令x=0，则f′（0）=-又f（0）=-，则切线方程为y+=-，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴=1∴a2+b2=1∵a>0，b>0∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴a+b≤∴a+b的最大值是．16．【分析】对任意n∈N*，，可得=，可得：-=-，于是=-=3-．由，a2<1，a3<1，a4>1，可得n≥4时，∈（0，1），即可得出．【解答】解：∵对任意n∈N*，，∴=，可得：-=-，∴=---…-=-=3-．∵a2==，a3==，a4==>1，∴n≥4时，∈（0，1），∴3-∈（2，3）．∴的整数部分是2．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．44（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．332．【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g （x ）的导数，构造函数u （x ）=xe x -2m ，求出M ，N 的表达式，构造函数h （x ）=xlnx+-（ln2+1）-1，根据函数的单调性证出结论．2x0(0,)x0x0(),x +∞()u x - 0 + ()g x ' - 0 + ()g x递减最小值递增．【分析】（）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．π。
湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学(理)试题
绝密★启用前湖南省长沙市第一中学2020届高三第一次月考数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】首先求解方程组3y x y x⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-iB ．-1+2iC ．-1-2iD ．-2+3i试卷第2页，总21页【答案】A 【解析】 【分析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤， ∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果.【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )试卷第4页，总21页…………线…………○………………线…………○……A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )○…………线…………○……_○…………线…………○……A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．90种【答案】C 【解析】 【分析】试卷第6页，总21页根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈，∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确;∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，∴选项D 错误，故选C. 【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；试卷第8页，总21页③函数()f x 是偶函数；④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】 由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53π B ．2π C ．5π D ．203π【答案】A 【解析】 【分析】订…………○…………__考号：___________订…………○…………三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF 的边长为6，则OG ∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．试卷第10页，总21页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】 【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111(()((22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____ 【答案】4 【解析】 【分析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(理科)(五)
cos a A)cos cos A a B =由正弦定理，)cos sin cos A A B =．cos sin cos sin cos C A B A A B -=．cos sin()sin C A A B C =+=．中，sin 0C ≠1π,2A =∠=60，Q 是,PQ BQ Q =∴AD PAD ⊂平面解：（2）APD 平面∴以Q 为原点，(0,0,0),(0,3,0),Q B2(0,3,0),(,333QB QM ==-的法向量(,,)n x y z =323233n QB y n QM x y z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩(3,0,1),n =得BQC 的法向量(0,0,1)n =，M BQ C --°||1,602||||m n m n θ==，BQ C --的大小为60．12540.40.6125=22360.40.6125=；3380.4125=1 3 103,x ＜＜在圆中，M ）2,a b ==1-=0,()F x '＞单调递增，11ln 12x x =∴2ln x ∴-令()H x =22x ρ=+∴C 的极坐标方程为x α，湖南省长沙市2017年高考四县联考理科数学模拟试卷解析1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁U B）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，所以A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}．故选：A．【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．2．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．3．【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．4．【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．【解答】解：由题意，可知F（1，0），∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，∴|PB|=|PF|∵|PB|=|PA|，∴|PF|=|PA|，∴P的横坐标为2，故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．7．【考点】函数的图像．【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图像的位置后可可排除C答案．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图像，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．8．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=，满足条件k＜10，k=2，S=+，满足条件k＜10，k=3，S=++，…满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=﹣1，不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．9．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：设晷影长为等差数列{a n}，公差为d，a1=130.0，a13=14．8，则130.0+12d=14．8，解得d=﹣9．6．∴a6=130.0﹣9．6×5=82．0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82．0寸．故选：C．【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c，c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵=∴，得﹣=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵，∴设，，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ= c∴c， c由双曲线的定义，得2a=||= c∴双曲线的离心率为e==故选A【点评】本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．11．【考点】集合的表示法．【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图像上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图像相交即可．【解答】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图像上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图像相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图像是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图像上的点A，在图像上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图像，在图像上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图像沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图像相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图像过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图像上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图像相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图像的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．【点评】本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图像根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x 所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图像是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图像与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题13．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．【解答】解：∵==∴，∴（+）•（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]14．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：T r+1=••=（﹣a）r••，令=，解得r=1；所以展开式中含x项的系数为：（﹣a）•=30，解得a=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．15．【考点】数列递推式．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．16．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，做出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．18．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b，写出椭圆方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．22．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x﹣a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．。
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题文
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 文时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 为虚数单位，若复数2)1(1i z -+=,则=||z A. 1B. 2C. 2D. 52.已知集合A={21|≤≤-x x }，B={2,1,0}，则=B A I A. 21|≤≤-x x B. {2,1,0} C. {2,1-} D. {1,0}3. 通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如下的列联表：附表：随机变量：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=经计算，统计量K 2的观测值4.762,参照附表，得到的正确结论是 A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关" D.有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”4. 已知向量b a b k a +=-=),2,2(),2,(为非零向量，若)(b a a +⊥,则实数k 的值为 A.0 B.2 C.-2 D.15. 美学四大构件是:史诗、音乐、造型(绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为 A.21 B. 22 C. 23 D. 316.若21212,)21(,8.0log -===c b a π，则有A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a7.函数21)(x exx f -=的图象大致是8.如图，点A 为单位圆上—点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α 到点B )22,22(-，则=αsin A.462+- B. 462- C.462+ D . 462+- 9. 已知函数MOD 是一个求余函数，记MOD(m ，n)表示m 除以n 的余数，例如MOD(13,3) = 1，下图是某个算法的程序框图，当输入m 的值为27时，则输出i 的值为A.2B.3C.4D.510.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C:0822=-++m x y x 与直线012=++y x 相交于A ，B 两点，若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为A. 11B. 12C.-11D.-1211. 设椭圆C ：)0>,0>(12222b a by a x =+的两个焦点分别为F1,F2，22||21=F F ，P 是C 上一点，若a PF PF =-||||21，且31sin 21=∠F PF ，则椭圆C 的方程为A. 13422=+y xB. 13622=+y x C.14622=+y x D. 12422=+y x 12.已知函数x x f x f sin 2)()(+-=，又当0≥x 时，1)('≥x f ，则关于x 的不等式)4(sin 2)2()(ππ-+-≥x x x f x f 的解集为 A. ),4[+∞π B. ),4[+∞-πC.)4,[π-∞ D. )4,[π--∞二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学期月考数学试卷(理科)(五)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．在等腰Rt△ABC中， 分别是边 的中点，将△BDE沿DE翻折，得到四棱锥B-ADEC，且F为棱BC中点， ．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BAC；
（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．
平均车速超过
100km/h人数
平均车速不超过
100km/h人数
合计ห้องสมุดไป่ตู้
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．
A．5B．8C．9D．10
7．已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是（）
A． B．
C． D．
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
9．已知P是△ABC所在平面内一点，满 ，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△APC内的概率是（）
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点Q，使得AF∥平面BEQ？若存在，求二面角Q-BE-A的余弦值，若不存在，请说明理由．
20．如图，椭圆 的离心率为 ，x轴被曲线 截得的线段长等于 的长半轴长．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）设 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与 相交于点A．B，直线MA，MB分别与 相交于D，E．
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷与解析PDF(理科)
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．25．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．329．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，] D．[，]12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=．14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线的方程为．15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y=x+（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：=，==，，．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S=3，若存在，求出点△ABPP的坐标，若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，集合B={2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，4}，∴∁U A={2，5}，∵B={2，4}，∴（∁U A）∪B={2，4，5}．故选：A．2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉P B．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉P D．∃x0∈M，x0∉P【解答】解：非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题⇒∃x0∈M，x0∉P．反之也成立．∴非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是∃x0∈M，x0∉P．故选：D．3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出s=++++的值，由于s=++++=．故选：C．4．（5分）已知实数x，y满足，设z=x+y，则z的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：B．5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，∴田忌获胜的概率p=．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，则函数y=f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=在x=e处不连续，且在（﹣∞，e]上为凹函数，在（e，+∞）上为凸函数；函数y=f（e﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=对称；故函数y=f（e﹣x）的图象在x=0处不连续，且在（﹣∞，0）上为凸函数，在[0，+∞）上为凹函数；故选：B．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选：B．8．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C 上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32【解答】解：∵抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2∴由BK2=AK2﹣AB2得y02=（x0+2）2，即8x0=（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选：B．9．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，BC=2AD，则sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD，BD=AD，则：在△ABD中，利用余弦定理：==，由于0＜A＜π，则：，在△ABC中，利用正弦定理：，AB=AD，BC=2AD，解得：．故选：A．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min=1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定 B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定 D．若||确定，则θ唯一确定【解答】解：令g（λ）==+2λ•+λ2，且△=4﹣4•≤0恒成立．当且仅当λ=﹣=﹣时，二次函数g（λ）取得最小值1，∴+2×（﹣）ו+×=1，化为：sin2θ=1；∴θ确定时，||唯一确定．故选：A．11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，] D．[，]【解答】解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为O，其半径为r=2，正方体的外接球为O1，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，其半径R=．∵点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段MN长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得线段MN的取值范围是[2﹣2，2+2]．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55【解答】解：∵f（x）是偶函数，f（0）=2是一个极大值，故A，B显然成立，对于C，下面考虑x＞0的情况，f（x）=e﹣x+cosπx，f′（x）=﹣e﹣x﹣πsinπx，考虑h（x）=﹣e﹣x，g（x）=πsinπx的图象交点可知，在每个区间（2k﹣2，2k），（k∈N+）上，f′（x）=0有2个解x2k﹣1，x2k，故当x∈（x2k﹣1，x2k），（k∈N+）时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x∈（x2k，x2k+1），（k∈N+）时，f′（x）＜0，f（x）递减，而x2k＜2k＜x2k+1，故f（x）的极大值是f（x2k）＞f（2k）=e﹣2k+1＞1，故C正确，在（0，10）内有10个极值点，其中x1+x2＞3，x3+x4＞7，x5+x6＞11，x7+x8＞15，x9+x10＞19，故x i＞55，故D错误，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z=±i．【解答】解：设z=mi（m≠0），则|z|=，得|z|=1，即|m|=1，则m=±1．∴z=±i．故答案为：±i14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y=0，则该双曲线的方程为﹣x2=1．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为2x±y=0，设其方程为x2﹣=t，（t≠0）又由双曲线经过点（，4），则有3﹣=t，解可得t=﹣1；则双曲线的方程为﹣x2=1；故答案为：﹣x2=1．15．（5分）若当x=θ时，函数f（x）=3cosx﹣sinx取得最小值，则cosθ=﹣．【解答】解：f（x）=3cosx﹣sinx==（x﹣φ），（cosφ=，sinφ=）．当x﹣φ=时，f（x）有最小值，此时x=+φ+2kπ，∴cosθ=cos（φ）=﹣sinφ=．故答案为：．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值为﹣2．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，∴≤=，∵4ac﹣4a2≥0，∴≥1，令t=﹣1，则t≥0，∴≤==≤=﹣2，当且仅当t=，即=+1时取等号，故的最大值为﹣2故答案为：﹣2三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2=5，a4+a6=22，数列{b n}中，b1=3，b n=2b n +1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x=[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=5，a4+a6=22，∴a 1+d=5，2a 1+8d=22， 联立解得a 1=3，d=2． ∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1．数列{b n }中，b 1=3，b n =2b n ﹣1+1（n ≥2）． 化为：b n +1=2（b n ﹣1+1）（n ≥2）．∴数列{b n +1}为等比数列，公比为2，首项为b 1+1=4． ∴b n +1=4×2n ﹣1，化为：b n =2n +1﹣1． （II ）n ≥1时，2n +1=2（1+1）n ≥=2（1+n ）＞2n +1．∴=， ∴S n =+…+，=+…++，相减可得：=2﹣=+2﹣，∴S n =﹣．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y=x +（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：=，==，，．【解答】解：（Ⅰ）由已知有=（10+20+30+40+50+60+70+80）=45，=（8+17+25+31+39+47+55+66）═36，=≈0.80，a=36﹣0.80×45=0，变量y关于变量x的线性回归方程为=0.80x，∴当x=2500时，y=2500×0.8=2000．（Ⅱ）由题意得X的可能取值有1，2，3，4，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：E（X）=1×=．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE 的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，…（3分）故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，…（5分）又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB 1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或．∴CE=CC 1=2或CE=CC1=3．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2=r2的切线PT，T为切点，且|PT|=．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则a=2，e==，则c=，b2=a2﹣c2=2，∴椭圆的标准方程：；由已知r==，则圆C2的方程：x2+y2=2；（Ⅱ）设直线l1的斜率存在，直线l1的方程：y=k（x+2），则，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，则x P+x D=﹣，由x P=﹣2，则x D=，则|DP|=|x P﹣x D|=，直线l2的方程y=﹣（x+2），即x+ky+2=0，则|AB|=2=2，=×|AB||PD|=×2×=，则△ABD面积S△ABD==≤=，当且仅当=，即k=±时取等号，∴△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）=e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，f′（x）=a•e ax ln（x+1）+e ax•=e ax（aln（x+1）+），故F（x）=aln（x+1）+，则F′（x）=，若a=0，则F′（x）＜0，F （x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）=0，解得：x=﹣1，（i）当a＜0时，则x=﹣1＜﹣1，故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，即F（x）在（﹣1，+∞）递减；（ii）a＞0时，x=﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x=e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），g′（x）=e ax（aln（x+1）+）﹣1=e ax F（x）﹣1，设h（x）=g′（x）=e ax F（x）﹣1，则h′（x）=e ax（a2ln（x+1）+），（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，∴g（x）=e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）=2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）=0，故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）=0，即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，故g（x）＞axln（x+1）﹣x=x（aln（x+1）﹣1），令x=，则g（x）＞0，由零点存在定理可知函数y=g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上递增，也即g′（x）在（0，+∞）递增，故g′（x）＞g′（0）=0，即g（x）在（0，+∞）递增，从而g（x）＞g（0）=0恒成立，综上，a的范围是（0，）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；=3，若存在，求出点（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S△ABPP的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2=1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C：，转化为参数方程为：（θ为参数）．线l的坐标方程为：ρsin（θ+）=，转化为直角坐标方程为：x+y﹣6=0．（Ⅱ）设曲线C上的点P（4cosα，3sinα），则：点P到直线的距离d=．故：=3，当sin（α+θ）=1时，即，cos，此时P（），=3，故存在点P使△ABP的面积S△ABP故点P坐标为：（）．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）=|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a=2，b=1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．【解答】解：（Ⅰ）由a=2，b=1得：令g（x）=f（x）+f（﹣x）=|2x+1|+|2x﹣1|=，故或或，解得：﹣1≤x≤1，故f（x）+f（﹣x）≤4的解集是[﹣1，1]；（Ⅱ）证明：由对任意0≤x≤1，都有|ax+b|≤1，令x=0，得|b|≤1，令x=1得|a+b|≤1，故|a|=|﹣b+a+b|≤|﹣b|+|a+b|≤2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-理数试卷及答案
8!1!解析如果同学甲选牛#那么同学乙只能选兔*狗和羊中的一种#丙同学可以从剩下的"&种中任意选#
'选法有 1" %$1""&$%&种+
如果同学甲选马#那么同学乙能选牛*兔*狗和羊中的一种#丙同学可以从剩下的"&种中任意选#
'选法有 1" 0$1""&$0&种#
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4!运行如图所示的程序框图%若输出的+ 的值为!$!% 则判断框中可以填
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年份对应了 十 二 种 动 物 !鼠$牛$虎$兔$龙$蛇$马$
羊$猴$鸡$狗$猪 "中 的 一 种!现 有 十 二 生 肖 的 吉 祥 物各一个%甲$乙$丙 三 位 同 学 依 次 选 一 个 作 为 礼
! " !!"若点1 的坐标为 !%'# %求椭圆/ 的方程,
!#"若'11)%求椭圆/ 的离心率的取值范围!
数学!理科"试题!一中版"!第!%页!共"页"
#$!!本小题满分!#分" 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色)农家乐*%为 了确定未来发展方向%此创业者对该景区附近五家 )农家乐*跟踪调查了 !$$天%这五家 )农家乐*的收费标准互不相同%得到的统计数据如下表% # 为收费标准!单位#元1日"%6为入住天数!单位#天"%以频率作为各自 的 )入住率*%收费标准# 与)入住率*$ 的散点图如图!
2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-理数答案
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"(!)!解析如图#当三棱锥 0!$%1 的体积取到最大值时#则平面$%1 与平面0%1 垂直#
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上单调递减#'选项 1正确+
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上单调递增#'-!#"#-
高2020届高2017级湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题三解析
2020届湖南省长沙一中高三第一学期月考理科数学试题(三)一、单选题1.已知集合2{|340}A x x x =--≤,{|3}B x x =<,则A B =( )A.[)1,3-B.(],4-∞C.[]1,4-D.(,3)-∞【参考答案】B【试题解析】求出集合A ,B ,由此能求出A B .因为集合2{|340}{|14}A x x x x x =--≤=-≤≤, {|3}B x x =<,(]{|14}{|4},4A B x x x x ⋃=-≤≤⋃≤=-∞,故选:B本题考查集合的交集运算,涉及解一元二次不等式,属于基础题.2.已知欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位),则根据欧拉公式3i e 表示的复数在复平面位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】B【试题解析】3i e 表示的复数为:cos3sin3i +,根据3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可得出结论.由题意可得3i e cos3sin3i =+,3,2ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos30,sin 30∴<>,因此在复平面中位于第二象限. 故选:B本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号,属于基础题.3.已知函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩,则((4))f f =( )A.3B.4C.5D.14【参考答案】A【试题解析】根据题意,由函数的解析式求出f (4)的值,即可得(f f (4))f =(1),计算即可得答案.解:根据题意,函数31221,1()3log ,1x x f x x x -⎧-⎪=⎨+>⎪⎩,则()1243log 4321f =+=-=,则()2((4))1213f f f ==-=.故选:A .本题考查函数值的计算,涉及分段函数的解析式,属于基础题. 4.已知1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos θ=( ) A.0B.12D.1【参考答案】B【试题解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出cos 6πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由cos cos 66ππθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,利用两角和的余弦公式即可求解.由1sin 62πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,所以311cos cos cos cos sin sin 666666442ππππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选:B本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式,属于基础题. 5.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为( )A.31B.32C.36D.40【参考答案】D【试题解析】利用二项式展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=⋅以及多项式相乘即可求解.()()4212x x ++的展开式中3x 的系数为:31344121283240C C ⨯⨯+⨯⨯=+=.故选:D本题考查了二项式系数,特别注意对x 系数的化简,需熟记二项式展开式的通项公式,属于基础题. 6.函数()ln 11x f x x -=-的大致图象是( ) A. B.C. D.【参考答案】A【试题解析】首先利用特殊值令12x =,判断函数值的正负可排除B 、C ,再验证()2f x -与()f x 的关系即可求解.令12 x=,则1ln1122ln201212f-⎛⎫==>⎪⎝⎭-,排除B、C；()()ln21ln1ln122111x x xf x f xx x x-----===-=-----,即()()20f x f x-+=, 故函数图像关于()1,0成中心对称图形,故选:A本题考查了函数图像的识别,解决此类问题要充分挖掘函数的性质,可利用排除法,属于中档题.7.等腰直角三角形ABC中,2AB AC==,点D为斜边BC上的三等分点,且2AM AD=,则MC MB⋅=( )A.0B.49C.2D.89【参考答案】D【试题解析】以A为坐标原点,,AC AB为x轴、y轴,根据题意写出各点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求解.以A为坐标原点,,AC AB为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由2AB AC==,且点D为斜边BC上的三等分点,所以()2,0C、()0,2B、42,33D⎛⎫⎪⎝⎭,又2AM AD=,84.33M⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,24,33MC ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭,82,33MB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2842833339MC MB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴.故选:D本题考查了向量数量积的坐标表示,解题的关键是建立恰当的坐标系,属于基础题. 8.已知数列{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且23a =,525S =,若2sin 3n n n b a π=,并设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则9T =( )A. B.0C.-D. 【参考答案】C【试题解析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求出n a 的通项公式,然后求出n b ,可得n b 每3项之和相等,进而求和即可.由数列{}n a 为等差数列,则2111513354255252a a d a d da d S a =+=⎧+=⎧⎪⇒⎨⎨⨯+==+=⎩⎪⎩, 解得1a 1,d 2,所以()1121n a a n d n =+-=-.则12sin3b π==,243sin 3b π==365sin 03b π==,487sin32b π==,5109sin 32b π==-,6612sin 03b a π==,所以123b b b ++=456b b b ++=所以912789T b b b b b =+++++=-故选:C本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式,同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性,属于中档题.9.已知函数()cos()(0f x x ωϕω=+>,0)ϕπ是奇函数,且在[,]34ππ-上单调递减.则ω的最大值是( ) A.12B.23C.32D.2【参考答案】C【试题解析】直接利用函数的奇偶性和单调性,建立不等式组,进一步求出最大值. 解:()f x 是奇函数,(0)cos 0f ϕ∴==,且0ϕπ,2πϕ∴=, ()cos()2f x x πω∴=+,令:222k x k ππωππ++,()k ∈Z ,解得:2222k k x ππππωωωω-+,()k ∈Z , 由于函数在[,]34ππ-上单调递减, 故:223242k k πππωωπππωω⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩,当0k =时,整理得:322ωω⎧⎪⎨⎪⎩,故:32ω,可得ω的最大值为32. 故选:C .本题考查的知识要点:函数的奇偶性和单调性的应用,不等式组的解法的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.10.已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,P 是双曲线的左顶点,过点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ,B 两点,若2APB π∠<,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A.(1,2)B.C.(1,3)D.【参考答案】A【试题解析】由题可知APB △为等腰三角形,通过AF PF <,列出不等式求解离心率即可.由题可知APB △为等腰三角形,若2APB π∠<,只需4APF π∠<即AF PF <,因为通径22b AB a =,所以2b AF a=,即2b ac a <+,所以22b a ac <+,即222c a a ac -<+,所以2220c ac a --<, 可得:220e e --<, 解得:12e <<. 故选:A .本题考查双曲线的简单性质的应用,求双曲线的离心率,属于中档题 11.已知函数()f x 是定义在{|x x R ∈或}0x ≠上的偶函数,且0x >时,()2log f x x =.若函数()()11122x x g x f x --=-++,则满足不等式()21214g a ->的实数a 的取值范围是( ) A.()0,2 B.()()0,11,2 C.()(),12,-∞⋃+∞D.()(),02,-∞+∞【参考答案】D【试题解析】根据题意可得()g x 关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,由()21214g a ->可得()()213g a g ->,利用函数的对称性只需21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩即可求解.当0x >时,()2log f x x =,即函数在()0,∞+为增函数, 所以()1f x -在()1,+∞为增函数, 令()111422222x x x x h x --⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,令2xt =, 所以()142h t t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由对勾函数的单调性可知()h t 在()2,+∞为增函数,所以()14222x x h x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,+∞为增函数, 由题可知函数()()11122x x g x f x --=-++关于1x =对称,且当1x >时,()g x 为增函数,而由不等式()21214g a ->可得,()()213g a g ->,从而21121131a a -≠⎧⎨-->-⎩﹐得实数a 的取值范围是()(),02,-∞+∞.故选:D本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式,属于中档题.12.已知函数()2,04,0x e x x f x x x x ⎧->=⎨+<⎩,函数()f x 的图象在1x x =,2x x =处的切线平行,则12x x -的取值范围为( ) A.32,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦B.[)ln5,2C.[]ln5,2D.3ln 5,ln 22⎛⎤+ ⎥⎝⎦【参考答案】D【试题解析】由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.设12x x >,其中()10,ln5x ∈,进而1121e 53ln 5,ln 222x x x x -⎛⎤-=-∈+ ⎥⎝⎦.由题可知,()1,024,0x e x f x x x ⎧->=⎨+<'⎩,则()()12f x f x ''=.不妨设12x x >,由2244x +<,则114xe -<,即()10,ln5x ∈,所以1121e 52x x x x --=-, 设()11111e 55222x x e x g x x --=-=-, 则()1122x e g x -'=,当()10g x '>,则1ln 2ln5x <<,函数()1g x 在()ln 2,ln5为增函数,当()10g x '=,则1ln 2x =,当()10g x '<,则10ln 2x <<,函数()1g x 在()0,ln 2为减函数,()ln5ln5g =-,()3ln 2ln 22g =--,所以()13ln 5,ln 22g x ⎛⎤∈+ ⎥⎝⎦, 故选:D本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用,属于中档题.二、填空题13.已知x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,则目标函数z x y =-的取值范围为________.【参考答案】1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【试题解析】作出约束条件的可行域,将目标函数z x y =-化为y x z =-,数形结合求出直线y x z =-截距的取值范围即可求解.由x ,y 满足21y xx y ≤⎧⎨+≤⎩,作出目标函数的可行域如下(阴影部分):将z x y =-化为y x z =-,作出y x =,则y x z =-表示与y x =平行的直线, 由图可知y x z =-经过A 时,截距最大,由21y x x y =⎧⎨+=⎩,解得12,33x y ==,所以12,33A ⎛⎫⎪⎝⎭,所以211333z -≤-=,即13z ≥-, 所以目标函数z x y =-的取值范围为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭故答案为:1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭本题考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出可行域,属于基础题. 14.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,若2AF FB =,则AF =________.【参考答案】3【试题解析】由题意可知直线AB 的斜率存在,设出直线方程:()1y k x =-,将直线与抛物线联立,设出交点坐标()()1122,,,A x y B x y ,利用韦达定理可得121=x x ,再根据2AF FB =,结合焦点弦公式可得()12121x x +=+,从而可求出1x ,进而求出AF过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,且2AF FB =,则直线的斜率存在,设直线AB 为()1y k x =-,所以()214y k x y x⎧=-⎨=⎩ ,整理可得()2222240k x k x k -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,则121=x x (1), 由2AF FB =,则()12121x x +=+ (2), 将(1)(2)联立可求出12x =或11x =-(舍去) 所以11132pAF x x =+=+=. 故答案为:3本题考查了抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题.15.已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球,P 为棱1DD 中点,现在棱AD 和棱CD 上分别取点M ,N ,使得平面MNP 与正方体各棱所成角相等,则平面MNP 截球O 的截面面积是__.【参考答案】512π. 【试题解析】首先证明M ,N 分别为对应棱的中点,再证明1B D ⊥平面PMN ,求出1B D 的中点O 到1B D 与平面PMN 的交点O '的距离,再由勾股定理求得截面圆的半径,则答案可求.正方体1111ABCD A B C D -中,P 是棱1DD 中点,M ,N 分别为棱AD ,CD 上任意点, 正方体1111ABCD A B C D -中,有1111//////AB CD A B C D ,1111//////AD BC B C A D ,1111//////AA BB CC DD若平面MNP 与正方体各棱所成角相等,只需平面MNP 与AD ,DC ,1DD 所成角相等即可,所以四面体D MNP -中,DN ,DM ,DP 与面MNP 所成角相等, 设DM a =,DN b =,过D 作DE ⊥面MNP ,如下图所示:DN ∴与面MNP 所成角为DNE ∠,DM 与面MNP 所成角为DME ∠,DP 与面MNP 所成角为DPE ∠,则sin DE DNE DN ∠=,sin DE DME DM ∠=,sin DEDPE DP∠=, 由所成角相等,得12DN DM DP ===,即M ,N ,P 分别为AD ,DC ,1DD 的中点, //MN AC ∴,1//MP AD ,故面//MNP 面1AD C ,连接1DB ,1A D ,1AD ,DB ,AC ,在正方体1111ABCD A B C D -中,11A D AD ⊥, 又11A B ⊥平面11A ADD ,111A B AD ∴⊥,而111A D B A =⋂,1AD ∴⊥平面11A B D ,则1AD ⊥平面11A B D ,1//MP AD ,MP ∴⊥平面11A B D ,则1MP B D ⊥,同理1MN B D ⊥,MP MN M ⋂=,且MP ,MN ⊂平面MNP , 1B D ∴⊥平面MNP ,球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球且正方体棱长为1,O ∴为1B D 的中点,1B D ==设1B D ⋂面MNP O =',则O '为截面圆圆心且OO '⊥面MNP ,OO O N ∴'⊥', 因此222111()()()263OO ON NO '=-'=-=,设截面圆的半径r ,OD 为球的半径R ,则112R B D ==, 222()R r OO ∴-=',故222315()4312r R OO =-'=-=,∴截面面积为2512r ππ=. 故答案为:512π.本题考查多面体外接球及其有关计算,考查空间想象能力与思维能力,考查运算求解能力,是中档题.16.在锐角ABC 中,2BC =,sin B ,sin C 的等差中项为sin A ,则中线AD 的长的取值范围是__.【参考答案】133,⎭. 【试题解析】由已知ABC 为锐角三角形结合正弦定理,余弦定理可求b 的范围,进而可求bc 的范围,然后由1()2AD AB AC =+可求22122AD AB AC AB AC =++⋅,即可求解.2BC =,sin sin 2sin B C A +=,由正弦定理可得,24b c a +==,即4c b =-, 因为ABC 是锐角三角形,所以222222222b c a b a c a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩,即222222(4)44(4)(4)4b b b b b b ⎧+->⎪+>-⎨⎪-+>⎩,解可得,3522b <<,所以22(4)4(2)4bc b b b b b =-=-=--+, 结合二次函数的性质可知,215(2)444b <--+≤, 1()2AD AB AC =+ 22222211422222b c AD AB AC AB AC c b bc bc+-=++⋅=++⨯2==⎭=故答案为: ⎭本题主要考查了正弦定理,余弦定理及二次函数的性质,数量积的性质的综合应用,属于中档题.三、解答题17.设函数()()25sin cos 22f x x x x π⎛⎫=+++⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的最小正周期T 和单调递减区间;(2)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,cos bB=,求()f A 的取值范围.【参考答案】(1)π,()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ;(2)(1+. 【试题解析】(1)利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,再利用周期公式2T πω=可求周期,利用正弦函数的单调递减区间整体代入即3222232k x k πππππ-+≤+≤+,解不等式即可. (2)利用正弦定理边化角求出3B π=,再利用三角形的内角和性质求出62A ππ<<,代入解析式,根据三角函数的性质即可求解.(1)()2sin cos 1f x x x x =+sin 221x x =+2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令3222232k x k πππππ-+≤+≤+,k ∈Z ,得71212k x kππππ+≤≤+,k∈Z,从而函数()f x的单调递减区间为()7,1212k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z;(2)在锐角ABC∆中,由3sin cosa bA B=知,3Bπ=,则2232AAπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩得62Aππ<<,从而242,333Aπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故()f A的取值范围为()13,13-+.本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理,熟记性质是关键,属于基础题.18.如图,在三棱锥P ABC-中,ABC∆为等腰直角三角形,PBC∆为等边三角形,其中O为BC中点,且1AB AC==.(1)求证:平面OPA⊥平面PBC;(2)若3AP=AP⊥平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.【参考答案】(1)证明见解析;(26【试题解析】(1)由题意可得BC AO⊥,BC PO⊥,利用线面垂直的判定定理证出BC⊥平面P AO,从而得证.(2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x 轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出CE以及平面ABC的一个法向量,利用空间向量的数量积即可求解.(1) 证明:由题可知,BC AO ⊥,BC PO ⊥,且AOPO O =,故BC ⊥平面P AO ,又BC ⊂平面PBC ,因此平面OPA ⊥平面PBC . (2)作PH 垂直于平面ABC ,垂足为H ,由(1)知,点H 在直线AO 上.如图,以A 为原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴,以过A 点与平面ABC 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:()0,0,0A ,()0,1,0B ,()1,0,0C ,110,22,O ⎛⎫⎪⎝⎭, 设P 点坐标为(),,a a h ,利用3AP =,62PO =,可得1a h ==.从()1,1,1AP =. 因为E 为AP 上的点,故存在实数λ,使得AE AP λ=,点E 坐标可设为(),,λλλ, 由AP ⊥平面EBC 知,0AP CE ⋅=,得13λ=, 从而21133,,3CE =-⎛⎫⎪⎝⎭,取平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =. 设CE 与平面ABC 所成角的为θ,6sin 6CE n CE nθ⋅==⋅. 故CE 与平面ABC 所成角的正弦值为66.本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角,要证面面垂直,需证线面垂直,此题属于中档题.19.中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年,两年共招收学生2000人,其中有300人参与学习先修课程,两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试,结果如下表所示: 分数a95100a ≤≤ 8595a ≤< 7585a ≤< 6075a ≤< 60a <人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系,根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率；②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ,求Eξ.参考数据:()2P K k0.150.100.050.0250.0100.005 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.【参考答案】(1)详见解析；(2)①0.6；②90.【试题解析】(1)直接利用已知填表并画出图形,利用独立性检验公式计算可得:239.216K ≈,问题得解.(2)①直接利用已知数据计算得解,②由题可得:自主招生通过的人数ξ服从二项分布,利用二项分布的期望公式计算得解.(1)列联表如下:优等生 非优等生 总计 学习大学先修课程 60 240 300 没有学习大学先修课程 140 1560 1700 总计20018002000等高条形图如图:通过图形可判断学习先修课与优等生有关系,又222000(601560140240)39.216 6.63530017002001800K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系 (2)①205510570500.90.80.60.50.40.6300300300300300p =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ,则3~150,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭,15015032(),0,1,2,,15055kk kP x k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以3150905E ξ=⨯=本题主要考查了独立性检验公式及频率与概率的关系,还考查了二项分布的期望公式,考查计算能力,属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左,右焦点分别是1F ,2F ,直线y x =被椭圆C.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(0,2)-且斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,交x 轴于P 点,点A 关于x轴的对称点为M ,直线BM 交x 轴于Q 点.求证:·(OP OQ O 为坐标原点)为常数. 【参考答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析.【试题解析】(1)利用已知条件,解得2a =,1b =.然后推出椭圆方程. (2)直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为2(,0)k.设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,则1(M x ,1)y -,直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,求出Q 坐标,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,转化求解4OP OQ =即可.(1)设椭圆C 的焦距为2c ,则c a =由直线y x =被椭圆C截得的线段长为5可知,点(55在椭圆上, 从而2244155a b+=.结合222a b c =+,可解得2a =,1b =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)证明:依题意,直线l 的方程为2y kx =-,则P 的坐标为2(,0)k. 设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,则1(M x ,1)y -, 直线BM 的方程为112121y y x x y y x x +-=+-,令0y =,得Q 点的横坐标为12211212121222()()4x y x y kx x x x x y y k x x +-+==++-.①又由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得22(14)16120k x kx +-+=,22223(16)412(14)64480,4k k k k ∆=--⨯+=->>, 得12212216141214k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,代入①得22242162164(14)k kx k k k -⨯==-+, 得4OP OQ =,所以||||OP OQ ⋅为常数4.本题考查椭圆的简单性质,椭圆方程的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题. 21.已知函数()ln f x x x a =-+有两个不同零点1x ,()212x x x <. (1)求a 的取值范围; (2)证明:当1104x <≤时,21214x x <. 【参考答案】(1)()1,+∞;(2)证明见解析. 【试题解析】(1)求出导函数()1xf x x-'=,求出函数的单调递增、递减区间,从而()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,需满足()10f >,然后验证()f x 在()0,1,()1,+∞分别有零点即可.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,证出()221104f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭,再利用函数的单调性即可得出22114x x <,从而得证.(1)由题,()111x f x x x-'=-=, 则当01x ≤≤时,()0f x '>,()f x 单调递增; 当1x >时,()0f x '<,()f x 单调递减.故()f x 在1x =处取得最大值()11f a =-,由题可知,需满足()10f >,即1a >.当1a >时,0e 1a -<<,()e e 0a a f --=-<,故函数()ln f x x x a =-+在()e ,1a -上存在一个根,存在(211b >+>,使得((((222()1ln 1121f b f a ⎡⎤<+=-++<⎢⎥⎣⎦(210a -+=,从而函数()ln f x x x a =-+在()1,b 上存在一个根,故a 的取值范围为()1,+∞.(2)由(1)可知1201x x <<<,()()120f x f x ==,因此()()222222111111ln ln 444f x f x x a a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112113ln 2ln 24x x x =-++ 令211()3ln 2ln 2044F x x x x x ⎛⎫=-++<≤ ⎪⎝⎭, 则()233331*********x x F x x x x x --⎛⎫'=--=<≤ ⎪⎝⎭, 而233662121016x x x --≤--<,即()0F x '<, 从而()F x 在10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以()104F x F ⎛⎫≥> ⎪⎝⎭, 因此()22114f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,又因为()f x 在()1,+∞上单调递减,且21>x ,21114x >, 所以22114x x <,从而21214x x <.本题考查了函数的零点以及导数在研究函数单调性性中的应用,属于难题.22.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 10+-+=ρρθρθ,直线l 的参数方程为cos 2sin x t a y t a =⎧⎨=+⎩(t为参数,[)0,a π∈).(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角0,3a π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,P 点坐标为()0,2,求PA PBPA PB ⋅+的最小值.【参考答案】(1)[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈,222210x y x y ++-+=;(2【试题解析】(1)讨论π2a 或2a π≠,消参求出直线方程即可；由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可求曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立,求出()122sin cos t t a a +=-+,121t t =,利用参数的几何意义可知()121212sin cos PA PBt t PA PBt t a a ⋅==+++,然后利用辅助角公式以及三角函数的最值即可求解.(1)①当π2a时,直线l 的方程为0x =, ②2a π≠时,直线l 的方程为()2tan y a x -=⋅,由①,②得,直线l 的方程可写成[)()sin cos 2cos 00,x a y a a a π-+=∈. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,得曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y ++-+=. (2)将直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程联立得:()22sin cos 10t a a t +++=则()122sin cos t t a a +=-+,121t t =, 则()121212sin cos PA PB t t PA PB t t a a ⋅==≥+++当且仅当4a π=时取等号).故PA PB PA PB ⋅+最小值为4. 本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化,参数的几何意义,辅助角公式以及三角函数的性质,考查了分类讨论的思想,属于中档题.23.已知函数()24f x x a =+-.(1)当2a =时,解不等式()1f x x ≥-;(2)若对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】(1)(][),71,-∞-+∞;(2)(][),14,-∞+∞.【试题解析】(1)利用零点分段法分类讨论解不等式即可. (2)不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,利用绝对值的几何意义只需2234a a a ≤-+,解不等式即可.(1)当2a =时,不等式()1f x x ≥-等价于2114x x +--≥, 得()()12114x x x ≤-⎧⎨-++-≥⎩或()()112114x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或()()12114x x x >⎧⎨++-≥⎩, 解得(][),71,x ∈-∞-⋃+∞.(2)对任意的x ∈R ,不等式()223f x x a a a ≤-+-恒成立,等价于22234x a x a a a +--≤-+恒成立,从而可得2234a a a ≤-+,得a 的取值范围为(][),14,-∞+∞.本题考查了绝对值不等式的解法以及绝对值不等式恒成立求参数的取值范围,属于基础题.。
2020届长沙市一中高三第1次月考试卷-理数答案
炎德英才大联考长沙市一中届高三月考试卷!一"
数学理科参考答案
选择题
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湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题理
湖南省长沙市第一中学2020届高三数学第一次月考试题 理时量：120分钟 满分:150分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3C. 2D. 12.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且5=⋅z z ,则=z A. 2-i B.-l + 2i C.-1-2i D.-2+3i3.设R x ∈，则“1<2x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-B. 257C. 2524-D. 25245.设43432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<b<a6.函数||lg )33()(x x f xx-+=的图象大致为 （D)7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物 (鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种D. 90 种9.将函数)62sin(2)(π-=x x f 的图象向左平移6π个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C)A.函数)(x g 的最小正周期是2π B.函数)(x g 的图象关于直线12π-=x 对称C.函数)(x g 在)2,6(ππ上单调递减 函数)(x g 在)6,0(π上的最大值是110.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=aA.-1B. 0C. 1D. 3 11.设函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：①1))((,=∈∀x f f R x ;②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥 D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.35π B. π2 C. π5 D. 320π二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
【湖南省长沙一中】2017届高三上学年期月考数学年试题(文科)(五)
湖南省长沙市2017届高三上学期期末考试（理科）数学试卷答 案1~5．BBAAA6~10．DACCA 11~12．DD 13．π14．14615．4sin θ16．217．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由23528,3a a a a +==可得()111238,43a d a d a d +=+=+，解得11,2,a d ==则()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-；（2）1c a =，1b 11a ==，2c a =，223b a ==，则等比数列{}n c 的公比为3，则n c =1113n n c q --=，又n c =a n b =2n b 1- ，则n b =()11312n -+， 设{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =111332n n -++++（） =113213nn n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=3214n n +- 18．解：（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A 、B 处均遇到绿灯，∴张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率121233p =⨯=． （2）设选择①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5， 则()0P ξ==121233⨯=， ()2P ξ==121233⨯=，()3P ξ==111236⨯=， ()4P ξ= =111236⨯=， E ξ=1111023523366⨯+⨯+⨯+⨯=． 设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，()0P η==3264520⨯=， ()8P η==1224520⨯=， ()5P η==3394520⨯=， ()13P η==1334520⨯=， E η=62930851320202020⨯+⨯+⨯+⨯=5． ∴选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟．∴为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．19．证明：（1）设AB 的中点为F ，连结DF ，CF ，∵△ABC ，△ABD 均为等边三角形，∴DF ⊥AB ，CF ⊥AB ，∵DF CF =F ，∴AB ⊥平面CFD ，∵平面ABC ⊥平面ABD ，DF ⊥AB ，∴DF ⊥平面ABC ，∵EC ⊥平面ABC ，∴DF ∥CE ，∴E ∈平面DFC ，∴DE ⊂平面DFC ，∴DE ⊥AB ．解：（2）如图，以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0B，E ⎛ ⎝⎭，(D ，()1,0,0A -， ∴AB =（2，0，0），BE=（-， BD=(1-,， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，平面DBE 的法向量()n a b c =,,则200n AB x n BE x ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩，取1y =，得()0,1,2,n =-00m BE a m BD a ⎧=-++=⎪⎨⎪=-=⎩，取a =，得13,,12n ⎛⎫= ⎪⎭设二面角D ﹣BE ﹣A 的平面角为θ,则cos m n m n θ==，∴二面角D ﹣BE ﹣A ．20．证明：（1）设AE 切圆于M ，直线x =4与x 轴的交点为N ，则EM =EB ，∴4EA EB AM +==为定值；（2）同理|F A |+|FB |=4，∴E ，F 均在椭圆22143x y +=上， 设直线EF 的方程为()10x my m =+≠，令34,Q x y m ==， 直线与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=， 设()()1122,,E x y F x y ,,则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+ ∵E ，B ，F ，Q 在同一条直线上， ∴EB FQ BF EQ =等价于11221233y y y y y y m m -+=-， ∴()121232y y y y m=+， 代入122634m y y m +=-+，122934y y m =-+成立， ∴EB FQ BF EQ =21．解：（1）()e x a f x x =-,的定义域为()(),00,∞+∞-，∴2e x a f x x '=+（）， ∵0a >， ∴2e x af x x '=+（）>0恒成立，∴()f x 在()(),00,∞+∞-上单调递增，（2）由（1）可知，当0a ≥时，()f x 在()(),00,∞+∞-上单调递增，函数无极值点，当0a <时，∵()f x 在()0,+∞上存在极值点， ∴2()e xa f x x '=+=22e x x a x + 设()2e x g x x a =+，则()()e 20x g x x x '=+>在()0,+∞上恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∴()g x ()0g >0a =<，设极值点为0x ，则极值为()000e ,x af x x =-， 由()0g x =0，得020e xa x =-． ∴()000e =x af x x =-020e x x - 令()()1e x h x x =+，∴()()2e xh x x '=+， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增，而()000e =x af x x =-()001e x x +()()ln 2ln 422ln 21ln 21e >+=+=+， ∴0ln 2x >，令()2e x x x ϕ=-，∴0ln 2x >时，()()2e 2x x x x ϕ=-+<0，∴()x ϕ单调递减，∴()2ln 22ln 22ln e 2a <-=-∴a 的取值范围为()2,2ln 2-∞-． 22．解：（1）曲线1C 的参数方程为2cos 4sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数，得普通方程()()22241x y -+-=； 曲线2C 的方程为()cos θsin θ10m ρ-+=，直角坐标方程为10x my -+=；（2）P 点是1C 上到x 轴距离最小的点，可得()2,3P ，当2C 过点P 时，代入求得1m =．23．解：（1）当1a =时，()13||f x x x =-+-3|12x x ≥--+=∴()f x 的最小值为2，当且仅当13x ≤≤时取得最小值．（2）∵x R ∈时，恒有()()333||x a x x a x a -+-≥---=-，∴不等式()3f x ≤的解集非空，|33|a -≤，∴06a ≤≤湖南省长沙市2017届高三上学期期末考试（理科）数学试卷解析1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解： =，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．2．【考点】交集及其运算．【分析】分别令a=1、2、3，求出B中方程对应的解，即可得出A∩B≠∅时a的取值．【解答】解：a=1时，B中方程为x2﹣3x+1=0，其解为无理数，A∩B=∅；a=2时，B中方程为x2﹣3x+2=0，其解为1和2，A∩B={1，2}≠∅；a=3时，B中方程为x2﹣3x+3=0，无解，A∩B=∅；综上，a的值为2．故选：B．3．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为y=sin[2（x+）+]=sin（2x++）=sin（2x+）．故选：A．4．【考点】等差数列的性质．【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案．【解答】解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意得，，即，得，所以a2+a3+a8=（升），故选：A．5．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，进而可得答案．【解答】解：由已知中三视图，可得该几何体是一个半径为1的半球，其表面积S==3π，故选：A6．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x12﹣3r，故x的次数分别为：12，9，6，3，0，﹣3，﹣6，因此不含x项．故选：D．7．【考点】抛物线的简单性质．【分析】当|AF|=4时，∠OFA=120°，结合抛物线的定义可求得p，进而根据抛物线的性质求得抛物线的准线方程．【解答】解：由题意∠BFA=∠OFA﹣90°=30°，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B．如图，A点到准线的距离为：d=|AB|+|BC|=p+2=4，解得p=2，则抛物线的准线方程是x=﹣1．故选A．8．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图结合程序框图的功能即可得解．【解答】解：由于程序框图的功能是给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，故x≤N时，执行循环体，当x＞N时，退出循环．故选：C．9．【考点】正弦定理．【分析】设△ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin （﹣A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2sin（A+）+3，即可得解．【解答】解：设△ABC的外接圆半径为R，则2R==2，所以：BC=2RsinA=2sinA，AC=2RsinB=2sin（﹣A），所以：△ABC的周长=2（sinA+sin（﹣A））+3=2sin（A+）+3．故选：C．10．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数为偶函数，再根据函数的单调性即可判断．【解答】解：令y=f（x）=ln|x|﹣x2，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），因为f（﹣x）=ln|x|﹣x2=f（x），所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，D，当x＞0时，f（x）=lnx﹣x2，所以f′（x）=﹣2x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减，故排除C，方法二：当x→+∞时，函数y＜0，故排除C，故选：A11．【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．【解答】解：设右焦点分别为F2，∵∴|PF1|﹣|PF2|=2，∴|PF1|=|PF2|+2，∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+2+|PQ|，当且仅当Q、P、F2三点共线，且P在F2，Q之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为F2到l的距离，可得l的方程为y=x，F2（），F2到l的距离d=1∴|PQ|+|PF1|的最小值为2+1．故选D．12．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得△=b2﹣4ac＞0，于是c＜，从而＞=1+﹣（）2，运用换元法和二次函数的最值的求法，结合恒成立问题的解法，即可得到所求范围．【解答】解：由满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，可得△=b2﹣4ac＞0，于是c＜，从而＞=1+﹣（）2，对任意满足0＜b＜3a的任意实数a，b恒成立．令t=，由0＜b＜3a，可得0＜t＜3，则﹣t2+t+1=﹣（t﹣2）2+2，当t=2时，取得最大值2，则﹣t2+t+1∈（1，2]．故＞2．故选：D．13．【考点】定积分．【分析】首先求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限计算即可．【解答】解：原式=（x+sinx）|=π；故答案为：π．14．【考点】茎叶图．【分析】根据该样本中AQI大于100的频数求出频率，由此估计该地全年AQI大于100的频率与频数．【解答】解：该样本中AQI大于100的频数是4，频率为，由此估计该地全年AQI大于100的频率为，估计此地该年AQI大于100的天数约为365×=146（天）．故答案为：146．15．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简计算得答案．【解答】解：==4sinθ，故答案为：4sinθ． 16．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据，得出=1，利用基本不等式得出3x +2y 的最大值． 【解答】解：∵， ∴==9x 2+4y 2+2xy ×3×2×（﹣） =（3x +2y ）2﹣3•3x •2y ≥（3x +2y ）2﹣×（3x +2y ）2 =×（3x +2y ）2；又=1，即×（3x +2y ）2≤1，所以3x +2y ≤2，当且仅当3x =2y ，即x =，y =时，3x +2y 取得最大值2．故答案为：2．17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式，可得方程组，解得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得等比数列{}n c 的公比，求得n b =()11312n -+，运用数列求和方法：分组求和，化简整理，即可得到所求和．【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由23528,3a a a a +==可得()111238,43a d a d a d +=+=+，解得11,2,a d ==则()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-；（2）1c a = 1b 11a == 2c a = 223b a ==， 则等比数列{}n c 的公比为3，则n c =1113n n c q --=，又n c =a n b =2n b 1- ，则n b =()11312n -+， 设{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =111332n n -++⋯++（） =113213nn n ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭=3214n n +- 18．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A 、B 处均遇到绿灯，由此能求出张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率．（2）设选择①延误时间为随机变量ξ ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，分别求出相应的概率，从而求出E ξ=2；设选择路线②延误时间为随机变量η ，则η的可能取值为0，8，5，13，分别求出相应的概率，从而求出E η =5．由此求出为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．【解答】解：（1）走路线①20分钟到校，意味着张老师在A 、B 处均遇到绿灯，∴张老师选择路线①，他20分钟能到校的概率121233p =⨯=． （2）设选择khxg ①延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0，2，3，5，则()0P ξ==121233⨯=， ()2P ξ= =121233⨯=， ()3P ξ==111236⨯=， ()4P ξ= =111236⨯=， E ξ=1111023523366⨯+⨯+⨯+⨯=． 设选择路线②延误时间为随机变量η，则η的可能取值为0，8，5，13，()0P η= =3264520⨯=， ()8P η==1224520⨯=， ()5P η= =3394520⨯=，()13P η= =1334520⨯=， E η=62930851320202020⨯+⨯+⨯+⨯=5． ∴选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟；选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟．∴为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②．19．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）设AB 的中点为F ，连结DF ，CF ，则DF ⊥AB ，CF ⊥AB ，从而AB ⊥平面CFD ，推导出DF ⊥AB ，从而DF ⊥平面ABC ，由DF //CE ，能证明DE ⊥AB ．（2）以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D ﹣BE ﹣A 的余弦值．【解答】证明：（1）设AB 的中点为F ，连结DF ，CF ，∵△ABC ，△ABD 均为等边三角形，∴DF ⊥AB ，CF ⊥AB ，∵DF CF =F ，∴AB ⊥平面CFD ，∵平面ABC ⊥平面ABD ，DF ⊥AB ，∴DF ⊥平面ABC ，∵EC ⊥平面ABC ，∴DF //CE ，∴E ∈平面DFC ，∴DE ⊂平面DFC ，∴DE ⊥AB ．解：（2）如图，以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0B，E ⎛ ⎝⎭，(D ，()1,0,0A -， ∴AB =（2，0，0），BE=（-， BD=(1-,， 设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，平面DBE 的法向量()n a b c =,,则200n AB x n BE x z ⎧∙==⎪⎨∙=-+=⎪⎩，取1y =，得()0,1,2,n =-00m BE a m BD a ⎧∙=-=⎪⎨⎪∙=-=⎩，取a =，得13,,12n ⎛⎫= ⎪⎭ 设二面角D ﹣BE ﹣A 的平面角为θ,则cos θm nmn ∙=∙=，∴二面角D ﹣BE ﹣A20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设AE 切圆于M ，直线x =4与x 轴的交点为N ，则EM =EB ，可得4EA EB AM +==（2）确定E ，F 均在椭圆22143x y += 上，设直线EF 的方程为()10x my m =+≠，联立，E ，B ，F ，Q 在同一条直线上，••EB FQ BF EQ =等价于11221233••y y y y y y m m-+=-，利用韦达定理，即可证明结论．【解答】证明：（1）设AE 切圆于M ，直线x =4与x 轴的交点为N ，则EM =EB ，∴4EA EB AM +==为定值；（2）同理|FA |+|FB |=4，∴E ，F 均在椭圆22143x y +=上， 设直线EF 的方程为()10x my m =+≠，令34,Q x y m ==， 直线与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=， 设()()1122,,E x y F x y ,,则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+ ∵E ，B ，F ，Q 在同一条直线上， ∴••EB FQ BF EQ =等价于11221233••y y y y y y m m -+=-， ∴()121232y y y y m =+∙， 代入122634m y y m +=-+，122934y y m =-+成立， ∴••EB FQ BF EQ =21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出答案，（2）设极值点为0x ，则极值为()000e ,x af x x =-多次构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()e x a f x x =-,的定义域为()(),00,∞+∞-， ∴2e x af x x '=+（）， ∵0a >， ∴2e x a f x x '=+（）>0恒成立， ∴()f x 在()(),00,∞+∞-上单调递增，（2）由（1）可知，当0a ≥ a ≥0时，()f x 在()(),00,∞+∞-上单调递增，函数无极值点，当0a <时，∵()f x 在()0,+∞上存在极值点， ∴2e xa f x x '=+（）=22e x x a x + 设()2e x g x x a =+，则()()e 20x g x x x '=+>在()0,+∞上恒成立，∴()g x 在()0,+∞上单调递增，∴()g x ()0g >0a =<，设极值点为0x ，则极值为()000e ,x af x x =-， 由()0g x =0，得020e xa x =-． ∴()000e =x af x x =-020e x x - 令()()1e x h x x =+，∴()()2e xh x x '=+， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增，而()000e =x af x x =-()001e x x +()()ln 2ln 422ln 21ln 21e >+=+=+， ∴0ln 2x >，令()2e x x x ϕ=-，∴0ln 2x >时吗， ()()2e 2x x x x ϕ=-+<0，∴()x ϕ单调递减，∴()2ln 22ln 22ln 2a e <-=-∴a 的取值范围为()2,2ln 2-∞-． 22．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化方法求曲线C 1，C 2的直角坐标方程； （2）设P 点是C 1上到x 轴距离最小的点，可得P （2，3），当C 2过点P 时，代入求m 的值．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为2cos 4sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数，得普通方程()()22241x y -+-=； 曲线C 2的方程为()cos θsin θ10m ρ-+=，直角坐标方程为10x my -+=；（2）P 点是C 1上到x 轴距离最小的点，可得()2,3P ，当C 2过点P 时，代入求得1m =．23．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）当1a =时，()13||f x x x =-+-3|12x x ≥--+=，即可求()f x 的最小值；（2）x R ∈时，恒有()()333||x a x x a x a -+-≥---=-，不等式()3f x ≤的解集非空，|33|a -≤，即可求a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，()13||f x x x =-+-3|12x x ≥--+=∴()f x 的最小值为2，当且仅当13x ≤≤时取得最小值．（2）∵x R ∈时，恒有()()333||x a x x a x a -+-≥---=-，∴不等式()3f x ≤的解集非空，|33|a -≤，∴06a ≤≤．。
2017年湖南省长沙一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5} 2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉PD．∃x0∈M，x0∉P3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）已知实数x，y满足，设z＝x+y，则z的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．25．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π8．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．329．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC ＝2AD，则sin C的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min ＝1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．（5分）已知函数f（x）＝e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z＝．14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y＝0，则该双曲线的方程为．15．（5分）若当x＝θ时，函数f（x）＝3cos x﹣sin x取得最小值，则cosθ＝．16．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的导函数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2＝5，a4+a6＝22，数列{b n}中，b1＝3，b n ＝2b n+1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x＝[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y 关于变量x 的线性回归方程y ＝x +（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：＝，＝＝，，．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°． （1）求证：BC 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）E 是棱CC 1上的一点，若二面角A ﹣B 1E ﹣B 的正弦值为，求CE 的长．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2＝r2的切线PT，T为切点，且|PT|＝．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2＝1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为：ρsin（θ+）＝，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；＝3，若存在，求出（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S△ABP点P的坐标，若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）＝|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a＝2，b＝1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．2017年湖南省长沙一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{2，4，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，∴∁U A＝{2，5}，∵B＝{2，4}，∴（∁U A）∪B＝{2，4，5}．故选：A．2．（5分）已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A．∀x∈M，x∉PB．∀x∈P，x∈MC．∃x1∈M，x1∈P且∃x2∈M，x2∉PD．∃x0∈M，x0∉P【解答】解：非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题⇒∃x0∈M，x0∉P．反之也成立．∴非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是∃x0∈M，x0∉P．故选：D．3．（5分）已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出s ＝++++的值，由于s ＝++++＝．故选：C ．4．（5分）已知实数x ，y 满足，设z ＝x +y ，则z 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A （﹣2，1），化目标函数z ＝x +y 为y ＝﹣x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣x +z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最小值为﹣1． 故选：B ．5．（5分）传说战国时期，齐王与田忌各有上等．中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的强．但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜．如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜；当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，∴田忌获胜的概率p＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（e﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝在x＝e处不连续，且在（﹣∞，e]上为凹函数，在（e，+∞）上为凸函数；函数y＝f（e﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x＝对称；故函数y＝f（e﹣x）的图象在x＝0处不连续，且在（﹣∞，0）上为凸函数，在[0，+∞）上为凹函数；故选：B．7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：＝3π．故选：B．8．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为x＝﹣2∴K（﹣2，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF＝AB＝x0﹣（﹣2）＝x0+2∴由BK2＝AK2﹣AB2得y02＝（x0+2）2，即8x0＝（x0+2）2，解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选：B．9．（5分）已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC ＝2AD，则sin C的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，则：在△ABD中，利用余弦定理：＝＝，由于0＜A＜π，则：，在△ABC中，利用正弦定理：，AB＝AD，BC＝2AD，解得：．故选：A．10．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，若对任意实数λ，|+λ|min ＝1，则下列说法正确的是（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若θ确定，则||唯一确定C．若||确定，则θ唯一确定D．若||确定，则θ唯一确定【解答】解：令g（λ）＝＝+2λ•+λ2，且△＝4﹣4•≤0恒成立．当且仅当λ＝﹣＝﹣时，二次函数g（λ）取得最小值1，∴+2×（﹣）ו+×＝1，化为：sin2θ＝1；∴θ确定时，||唯一确定．故选：A．11．（5分）已知球O与棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱都相切，点M是球O上一点，点N是△ACB1的外接圆上的一点，则线段MN的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：设与正方体的各棱都相切的球的球心为O，其半径为r＝2，正方体的外接球为O1，则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球为O′的一个小圆，其半径R＝．∵点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，∴线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的各棱都相切的球的半径，线段MN长度的最大值是正方体的外接球的半径加正方体的各棱都相切的球的半径，由此可得线段MN的取值范围是[2﹣2，2+2]．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝e﹣|x|+cosπx，下列说法中错误的是（）A．f（x）的最大值为2B．f（x）在（﹣10，10）内所有零点之和为0C．f（x）的任何一个极大值都大于1D．f（x）在（0，10）内所有极值点之和小于55【解答】解：∵f（x）是偶函数，f（0）＝2是一个极大值，故A，B显然成立，对于C，下面考虑x＞0的情况，f（x）＝e﹣x+cosπx，f′（x）＝﹣e﹣x﹣πsinπx，考虑h（x）＝﹣e﹣x，g（x）＝πsinπx的图象交点可知，，x2k，在每个区间（2k﹣2，2k），（k∈N+）上，f′（x）＝0有2个解x2k﹣1，x2k），（k∈N+）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故当x∈（x2k﹣1当x∈（x2k，x2k+1），（k∈N+）时，f′（x）＜0，f（x）递减，而x2k＜2k＜x2k+1，故f（x）的极大值是f（x2k）＞f（2k）＝e﹣2k+1＞1，故C正确，在（0，10）内有10个极值点，其中x1+x2＞3，x3+x4＞7，x5+x6＞11，x7+x8＞15，x9+x10＞19，故x i＞55，故D错误，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若复数z为纯虚数，且（i为虚数单位），则z＝±i．【解答】解：设z＝mi（m≠0），则|z|＝，得|z|＝1，即|m|＝1，则m＝±1．∴z＝±i．故答案为：±i14．（5分）已知过点（，4）的双曲线的两条渐近线为2x±y＝0，则该双曲线的方程为﹣x2＝1．【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线为2x±y＝0，设其方程为x2﹣＝t，（t≠0）又由双曲线经过点（，4），则有3﹣＝t，解可得t＝﹣1；则双曲线的方程为﹣x2＝1；故答案为：﹣x2＝1．15．（5分）若当x＝θ时，函数f（x）＝3cos x﹣sin x取得最小值，则cosθ＝﹣．【解答】解：f（x）＝3cos x﹣sin x＝＝（x﹣φ），（cosφ＝，sinφ＝）．当x﹣φ＝时，f（x）有最小值，此时x＝+φ+2kπ，∴cosθ＝cos（φ）＝﹣sinφ＝．故答案为：．16．（5分）设二次函数f（x）＝ax2+bx+c的导函数为f'（x），若对任意x∈R，不等式f（x）≥f'（x）恒成立，则的最大值﹣2．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+c，∴f′（x）＝2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△＝（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）＝b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，∴≤＝，∵4ac﹣4a2≥0，∴≥1，令t＝﹣1，则t≥0，∴≤＝＝≤＝﹣2，当且仅当t＝，即＝+1时取等号，故的最大值为﹣2故答案为：﹣2三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2＝5，a4+a6＝22，数列{b n}中，b1＝3，b n ＝2b n+1（n≥2）．﹣1（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）定义x＝[x]+（x），[x]是x的整数部分，（x）是x的小数部分，且0≤（x）＜1，记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝5，a4+a6＝22，∴a1+d＝5，2a1+8d＝22，联立解得a1＝3，d＝2．∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．数列{b n}中，b1＝3，b n＝2b n﹣1+1（n≥2）．化为：b n+1＝2（b n﹣1+1）（n≥2）．∴数列{b n+1}为等比数列，公比为2，首项为b1+1＝4．∴b n+1＝4×2n﹣1，化为：b n＝2n+1﹣1．（II）n≥1时，2n+1＝2（1+1）n ≥＝2（1+n）＞2n+1．∴＝，∴S n ＝+…+，＝+…++，相减可得：＝2﹣＝+2﹣，∴S n ＝﹣．18．（12分）2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区．消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点．（Ⅰ）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程y ＝x+（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（Ⅱ）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：＝，＝＝，，．【解答】解：（Ⅰ）由已知有＝（10+20+30+40+50+60+70+80）＝45，＝（8+17+25+31+39+47+55+66）═36，＝≈0.80，a＝36﹣0.80×45＝0，变量y关于变量x的线性回归方程为＝0.80x，∴当x＝2500时，y＝2500×0.8＝2000．（Ⅱ）由题意得X的可能取值有1，2，3，4，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝1×＝．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB ＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°．（1）求证：BC1⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB ⊥BC1，…（1分）在△CBC1中，BC＝1，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝60°，由余弦定理得：BC12＝BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，所以B1C＝，…（3分）故BC2+BC12＝CC12，所以BC⊥BC1，…（5分）又BC∩AB＝B，∴C1B⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，）（7分），，令，∴，，设平面AB 1E的一个法向量为．，令z＝，则x＝，y＝，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|＝，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3＝0，所以λ＝1或．∴CE＝CC1＝2或CE＝CC1＝3．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，P（﹣2，0）是它的一个顶点，过点P作圆C2：x2+y2＝r2的切线PT，T为切点，且|PT|＝．（Ⅰ）求椭圆C1及圆C2的方程；（Ⅱ）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，其中l1与椭圆的另一交点为D，l2与圆交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，则a＝2，e＝＝，则c＝，b2＝a2﹣c2＝2，∴椭圆的标准方程：；由已知r＝＝，则圆C2的方程：x2+y2＝2；（Ⅱ）设直线l1的斜率存在，直线l1的方程：y＝k（x+2），则，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0，则x P+x D＝﹣，由x P＝﹣2，则x D＝，则|DP|＝|x P﹣x D|＝，直线l2的方程y＝﹣（x+2），即x+ky+2＝0，则|AB|＝2＝2，＝×|AB||PD|＝×2×＝，则△ABD面积S△ABD＝＝≤＝，当且仅当＝，即k＝±时取等号，∴△ABD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax ln（x+1），其中a∈R．（Ⅰ）设F（x）＝e﹣ax f（x），讨论F（x）的单调性；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）﹣x在（0，+∞）内存在零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域是{x|x＞﹣1}，f′（x）＝a•e ax ln（x+1）+e ax•＝e ax（aln（x+1）+），故F（x）＝aln（x+1）+，则F′（x）＝，若a＝0，则F′（x）＜0，F（x）在（﹣1，+∞）递减，若a≠0，则令F′（x）＝0，解得：x＝﹣1，（i）当a＜0时，则x＝﹣1＜﹣1，故在（﹣1，+∞）上恒有F′（x）＜0，即F（x）在（﹣1，+∞）递减；（ii）a＞0时，x＝﹣1＞﹣1，因而在（﹣1，﹣1）上，F′（x）＜0，在（﹣1，+∞）上，F′（x）＞0，故F（x）在（﹣1，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增；（Ⅱ）g（x）＝f（x）﹣x＝e ax ln（x+1）﹣x，x∈（0，+∞），g′（x）＝e ax（aln（x+1）+）﹣1＝e ax F（x）﹣1，设h（x）＝g′（x）＝e ax F（x）﹣1，则h′（x）＝e ax（a2ln（x+1）+），（i）若a≤0，由x＞0可知0＜e ax≤1，另可证当x＞0时，ln（x+1）＜x，∴g（x）＝e ax ln（x+1）﹣x＜x（e ax﹣1）≤0，故g（x）＜0对任意x∈（0，+∞）都成立，故g（x）在（0，+∞）上无零点，因此a＞0，；（ii）当0＜a＜时，考查函数h′（x），由于h′（0）＝2a﹣1＜0，h′（）＞0，故h′（x）在（0，+∞）上必存在零点，设h′（x）在（0，+∞）的第一个零点是x0，则当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，x0）递减，又h（x0）＜h（0）＝0，故x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，x0）递减，故在（0，x0）上恒有g（x）＜g（0）＝0，即g（x0）＜0，注意到e ax＞ax，故g（x）＞axln（x+1）﹣x＝x（aln（x+1）﹣1），令x＝，则g（x）＞0，由零点存在定理可知函数y＝g（x）在（x0，）上有零点，符合题意；（iii）若a≥，则由x＞0，可得h′（x）＞0恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上递增，也即g′（x）在（0，+∞）递增，故g′（x）＞g′（0）＝0，即g（x）在（0，+∞）递增，从而g（x）＞g（0）＝0恒成立，综上，a的范围是（0，）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．将圆x2+y2＝1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的坐标方程为：ρsin（θ+）＝，且直线l在直角坐标系中与x，y轴分别交于A，B两点．（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（Ⅱ）问在曲线C上是否存在点P，使得△ABP的面积S＝3，若存在，求出△ABP点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2＝1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C：，转化为参数方程为：（θ为参数）．线l的坐标方程为：ρsin（θ+）＝，转化为直角坐标方程为：x+y﹣6＝0．（Ⅱ）设曲线C上的点P（4cosα，3sinα），则：点P到直线的距离d＝．故：＝3，当sin（α+θ）＝1时，即，cos，此时P（），＝3，故存在点P使△ABP的面积S△ABP故点P坐标为：（）．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）设函数f（x）＝|ax+b|（a，b∈R）．（Ⅰ）若a＝2，b＝1，求不等式f（x）+f（﹣x）≤4的解集；（Ⅱ）若对任意满足0≤x≤1的实数x，都有f（x）≤1成立，求证：|a|≤2．【解答】解：（Ⅰ）由a＝2，b＝1得：令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x+1|+|2x﹣1|＝，故或或，解得：﹣1≤x≤1，故f（x）+f（﹣x）≤4的解集是[﹣1，1]；（Ⅱ）证明：由对任意0≤x≤1，都有|ax+b|≤1，令x＝0，得|b|≤1，令x＝1得|a+b|≤1，故|a|＝|﹣b+a+b|≤|﹣b|+|a+b|≤2．。
湖南长沙一中2017届高三数学一模试题理科有解析
湖南长沙一中2017届高三数学一模试题（理科有解析）炎德英才大联考长沙市一中2017届高考模拟卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以，选A.2.已知非空集合，则命题“”是假命题的充要条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】等价于，因为“”是假命题，故其否定为，它是真命题，故“”是假命题的充要条件是，选D.3.已知算法的程序框图如图所示，则输出的结果是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】根据流程图，有，故选C.4.已知实数满足，设，则的最小值为（）A.B.C.0D.2【答案】B【解析】可行域如图所示，当动直线过时，有最小值，又，故的最小值为，选B.5.传说战国时期，齐王与田忌各有上等，中等，下等三匹马，且同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强。
有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜。
如果齐王将马按上，中，下等马的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，则田忌获胜的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如田忌获胜，则必须是田忌的上马胜齐王的中马，中马胜齐王的下马，下马输给齐王的上马，而田忌的马随机出阵比赛，共有种情形，故田忌获胜的概率为.选 C.6.已知函数，则函数的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则，化简得，因此在上都是增函数.又，故选B.7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：根据三视图知几何体的下面是一个圆柱，上面是圆柱的一半，所以．故应选B．考点：空间几何体的三视图.8.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A.4B.6C.8D.12【答案】C【解析】过作准线的垂线，垂足为，则，则在，有，从.在中，，从而，又，从而，故，，选C.9.已知在中，是边上的点，且，，,则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设，则，则，，所以，整理得到，解得或者（舎），故，而，故.选A.10.设为两个非零向量的夹角，若对任意实数，，则下列说法正确的是（）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定【答案】A【解析】题设可以化为，如图，表示线段的长度，其中为定点，为动点，当时，最小，所以，故当确定时，是确定的，但当确定时，因，故可能会有两个不同的解，总是不确定的，故选A.点睛：向量问题，首先寻找向量关系式是否有隐含的几何性质，如果找不到合适的几何性质，就利用代数的方法（如转化为坐标等）去讨论.11.已知球与棱长为4的正方形的所有棱都相切，点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为球与正方体的每条棱都相切，故其直径为面对角线长，所以半径为，如图，球心为正方体的中心，球心与的外接圆上的点的距离为，其长为体对角线的一半，故，故，也就是，选C.点睛：这是组合体问题，关键是确定出球心的位置以及球心与三角形外接圆上的点的距离.12.已知函数，下列说法中错误的是（）A.的最大值为2B.在内所有零点之和为0C.的任何一个极大值都大于1D.在内所有极值点之和小于55【答案】D【解析】因为，故为偶函数.当时，，故，当时等号成立，故，故A对；又为偶函数，内非零的零点成对出现，且关于原点对称，故其和为，故B；当时，，如下图，考虑与的图像在上的交点，它们有两个交点，它们的横坐标为且满足，，当，，当，，当，，在处取极大值，又，令，故（由三角函数线可得），其他极大值同理可得，故C对；如下图，在内，有，类似地，，，，，故10个极值点的和大于，故D错误，选D.点睛：函数为偶函数，故只要考虑上的函数性质，但导函数的零点无法求得，只能通过两个熟悉的函数图像的交点来讨论函数的极值，讨论函数极值时需要利用极值点满足的条件去化简极值并讨论极值的范围.而诸极值点和的范围的讨论，也得利用两个熟悉函数图像的交点的性质去讨论.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每题5分13.若复数为纯虚数，且（为虚数单位），则__________________.【答案】【解析】设，所以，故，所以，所以，填.14.已知过点的双曲线的两条渐近线为，则该双曲线的方程为____________.【答案】【解析】不妨设，因为过，故，故，所以双曲线的方程为，填.15.若当时，函数取得最小值，则________________. 【答案】【解析】，所以，因为在，所以，所以，故或者（舎），故填.点睛：一般地，的最值，有两种处理方法：（1）（辅助角公式）；（2）如果在有最值，那么，从而求出对应的的值.16.设二次函数的导函数为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值___________________.【答案】【解析】试题分析：根据题意易得：，由得：在R上恒成立，等价于：，可解得：，则：，令，，故的最大值为．考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列中，，数列中，.（1）分别求数列的通项公式；（2）定义，是的整数部分，是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项.（2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和.解析：（1），，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴.（2）依题意，当时，，∴，所以，令，两式相减，得故.18.2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数()1020304050607080愿意整体搬迁人数()817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：.【答案】(1)线性回归方程为,当时，.(2).【解析】试题分析：（1）依据公式计算回归方程，在根据求出的结果得到相应的预测值.（2）是离散型随机变量，它服从超几何分布，故根据公式计算出相应的概率，得到分布列后再利用公式计算期望即可.解析：（1）由已知有，,故变量关于变量的线性回归方程为，所以当时，.（2）由题意可知的可能取值有1，2,3,4.，.所以的分布列为123419.如图所示，三棱柱中，已知侧面.（1）求证：平面；（2）是棱长上的一点，若二面角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解B1C，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）通过AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB1E的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．试题解析：证明：因为平面，平面，所以，在中，，，，由余弦定理得：，故，所以，又，∴平面.由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，.令，∴，.设平面的一个法向量为，，令，则，，∴，平面，∴是平面的一个法向量，，两边平方并化简得，所以或.∴或.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。
2020届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市第一中学高三第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===，则A ∩B 的元素个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】首先求解方程组3y x y x ⎧=⎨=⎩，得到两曲线的交点坐标，进而可得答案．【详解】联立3y x y x⎧=⎨=⎩，解得1,0,1x =-即3y x =和y x =的图象有3个交点()11--，，()0,0，(11)，， ∴集合A B 有3个元素，故选B.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限，且5z z ⋅=，则z ＝( ) A ．2-i B ．-1+2i C ．-1-2i D ．-2+3i【答案】A【解析】通过复数的运算得到方程()2215a a +-=，根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =， ∴12z i =-+或2z i =-，∵在复平面内对应的点位于第一象限， ∴2z i =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算以及其几何意义，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出不等式，结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果. 【详解】∵21x <11x ⇔-<<，lg 0x <⇔01x <<，01x <<⇒11x -<<，11x -<<不能推出01x <<，∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件，故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的解法，充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2424-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．设a ＝183log ，b ＝244log ，c ＝342，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．c <b <a【答案】D【解析】利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <，2a >，2b >，将,a b 分别表示为631log a =+，641log b =+，进而可得结果. 【详解】314222c =<=，18933log log 2a =>=，241644log log 2b =>>， 所以c 最小，因为18633log 1log a ==+，24644log 1log b ==+， ∵6643log log <，∴a b >，故选D【点睛】本题主要考查了指数函数，对数函数的单调性的应用，寻找中间量是解题的关键，属于中档题.6．函数f (x )＝(33)ln xxx -+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由函数为偶函数可排除B ，由()0,1x ∈，()0f x <，可排除,A C ，进而可得结果. 【详解】∵()(33)ln xxf x x -=+，函数定义域为{}0x x ≠，()()(33)ln (33)ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=，∴函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除B.当()01x ∈，时，330x x -+>，ln 0x <，()0f x <，其图象应在x 轴下方，可排除,A C ，故选D. 【点睛】本题主要考查了由函数的解析式判断函数的图象，主要根据函数的性质利用排除法得到结果，属于中档题.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填( )A ．200?i >B ．201?i ≥C ．202?i >D ．203?i >【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】 程序的功能是计算3571sin3sin5sin 7sin 2222S ππππ=⨯+⨯+⨯+⨯+=1357-+-+，而101150213579199201=+⨯=-+-++-+，2012203i =+=，故条件为202?i >，故选C. 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( ) A ．50种 B ．60种C ．70种D ．90种【答案】C【解析】根据题意，按同学甲的选择分2种情况讨论，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种， 丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有1131030C C ⋅=种；如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种1141040C C ⋅=，不同的选法共有304070+=种，故选C. 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，属于基础题． 9．将函数()2sin(2)16f x x π=--的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是 ( ) A ．函数()g x 的最小正周期是2π B ．函数()g x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值是1【答案】C【解析】求出函数的周期判断A 的正误；函数的对称轴判断B 的正误；函数的单调性判断C 的正误；函数的最值判断D 的正误； 【详解】由题意知：()2sin(2)16g x x π=+-，最小正周期T 22ππ==，选项A 错误; 当12x π=-时，112g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即函数()g x 的图象关于点(,1)12π--对称，选项B 错误；当(,)62x ππ∈时，72(,)626x πππ+∈， ∴函数()g x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，选项C 正确; ∵函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()()16g x g π<=， 即函数()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值， ∴选项D 错误，故选C.【点睛】本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判断，属于中档题．10．若()ln f x x =与()23g x x x a ++=两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a = ( ) A ．-1 B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】求出切线方程，利用公切线结合判别式0=推出结果即可． 【详解】在函数()ln f x x =上的切点设为(,)x y ， 根据导数的几何意义得到11x=⇒1x =， 故切点为(10)，，可求出切线的方程为1y x =-， 因为直线l 和()23g x x x a ++=也相切，从而231x x a x ++=-，化简得到2210x x a +++=，只需要满足()4410a ∆-+==，所以0a = 故选B. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.11．设函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则关于函数()f x 有以下五个命题:①x ∈R ，()()1f f x =； ②()(),,()x y R f x y f x f y ∃∈+=+；③函数()f x 是偶函数； ④函数()f x 是周期函数； ⑤函数()f x 的图象是两条平行直线 其中真命题的个数是( ) A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由()0f x =或1，计算可判断①；由0x =0y =②；由奇偶性的定义可判断③；由周期函数的定义可判断④；由x 的范围可判断⑤． 【详解】由()10x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，可得()0f x =或1，则x R ∀∈，()f x 为有理数，则()()1ff x =，故①正确；当0x =0y =()()()0000f x y f x f y +=+，故②正确； ∵x 为有理数，则x -为有理数，x 为无理数，则x -为无理数， ∴函数()f x 是偶函数，故③正确；任何一个非零的有理数T ，都有()()f x T f x +=，则T 是函数的周期， ∴函数()f x 是周期函数，故④正确；由于x 为有理数，()1f x =；x 为无理数时，()0f x =，()f x 的图象不为连续的直线，故⑤错误．∴真命题的个数是4个，故选B ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是分段函数的周期性和函数值的特点，以及图象特点，考查判断能力和推理能力，属于基础题．12．已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB ＝AC ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥D —ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为( ) A ．53πB ．2πC ．5πD ．203π【答案】A【解析】三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，求出外接球的半径，然后求解球的表面积． 【详解】 如图，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂直， 取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥ 分别取ABC △与DBC △的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体ABCD 的球心，由1AB AC BC DB DC =====，得正方形OEGF OG∴四面体A BCD -的外接球的半径R ===∴球O 的表面积为＝2543ππ⨯=，故选A. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的外接球的表面积的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3f x f x +=，且当3[0,)2x ∈时，()2f x x =-，则112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭____【答案】14【解析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】由()()3f x f x +=知函数()f x 的周期为3， 又函数()f x 为奇函数，所以2111111()()()()22224f f f =-=-==， 故答案为14. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质与应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.14．已知ABC △是等腰直角三角形，1,2()AC BC CP CA CB ===+，则AP BP ⋅=____【答案】4【解析】利用已知条件将,AP BP 分别用,CA CB 表示，然后求解向量的数量积即可. 【详解】∵2,2AP AC CP CA CB BP BC CP CA CB =+=+=+=+. ∴22(2)(2)224AP BP CA CB CA CB CA CB ⋅=+⋅+=+=， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查向量的数量积的运算，是基本知识的考查． 15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
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2020届长沙市一中2017级高三第一次月考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题:在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{}{}3(,),(,)x y y x B x y y x ===,则A ∩B 的元素个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】 首先求解方程组3
y x y x ⎧=⎨=⎩
,得到两曲线的交点坐标,进而可得答案． 【详解】联立3
y x y x
⎧=⎨=⎩,解得1,0,1x =- 即3y x =和y x =的图象有3个交点()1
1--，,()0,0,(11)，, ∴集合A B I 有3个元素,故选B.
2.已知i 为虚数单位,a ∈R ,若复数z ＝a +(1-a ) i 的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限,且5z z ⋅=,则z ＝( )
A. 2-i
B. -1+2i
C. -1-2i
D. -2+3i
【答案】A
【解析】
通过复数的运算得到方程()2215a a +-=,根据其在复平面的位置得到结果. 【详解】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=,解得1a =-或2a =,
∴12z i =-+或2z i =-,
∵在复平面内对应的点位于第一象限,
∴2z i =-,故选A.
3.设x ∈R ,则“x 2＜1”是“lg x ＜0”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
解出不等式,结合充分条件、必要条件的概念即可得到结果.
【详解】∵21x <11x ⇔-<<,lg 0x <⇔01x <<,
01x <<⇒11x -<<,
11x -<<不能推出01x <<,
∴“21x <”是“lg 0x <”的必要不充分条件,故选B.
4.已知向量a r ＝(1,0),b r ＝(-3,4)的夹角为θ,则sin2θ等于 ( ) A. 725- B. 725 C. 2425- D. 2425
【答案】C
【解析】
首先根据向量夹角公式求出cos θ的值,然后求出sin θ,最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a b
θ⋅==-=-⨯⋅r r r , ∵0θπ≤≤,
∴4sin 5θ==,24sin 22sin cos 25
θθθ==-,故选C. 5.设a ＝183log ,b ＝244log ,c ＝342,则a 、b 、c 的大小关系是 ( )
A. a <b <c
B. a <c <b
C. b <c <a
D. c <b <a 【答案】D
【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性可得2c <,2a >,2b >,将,a b 分别表示为
631log a =+,641log b =+,进而可得结果. 【详解】3
14222c =<=,18933log log 2a =>=,241644log log 2b =>>, 所以c 最小,
因为18633log 1log a ==+,24644log 1log b ==+,。