商业网点的布局和选点问题(2队)

题目A题：商业网点的布局和选点问题

摘要：

商业网点的选址与布局是企业经营管理战略决策中的重要内容之一。地址一旦选定将会在很大程度上影响企业未来的规划与发展。由于传统分析与研究方法的局限性，促使现代商业的发展迫切地需要新技术的支持以适应现代商业经营方式的根本性转变。本论文通过对某城市X各区县的人数与收入进行分析，分别建立了数学模型，解决了如何选择网点使得总消费人数最多，总消费额最多。利用遗传模型和进化策略算法求取了网点利用率尽可能高的问题。利用洛伦兹曲线求取个组合的均衡度，综合考虑均衡度和网点利用率得出最优解决方案。

参赛队号 2

商业网点的布局和选点问题

摘要：商业网点的选址与布局是企业经营管理战略决策中的重要内容之一。

地址一旦选定将会在很大程度上影响企业未来的规划与发展。由于传统分析与研究方法的局限性，促使现代商业的发展迫切地需要新技术的支持以适应现代商业经营方式的根本性转变。本论文通过对某城市X各区县的人数与收入进行分析，分别建立了数学模型，解决了如何选择网点使得总消费人数最多，总消费额最多。利用遗传模型和进化策略算法求取了网点利用率尽可能高的问题。利用洛伦兹曲线求取个组合的均衡度，综合考虑均衡度和网点利用率得出最优解决方案。

关键词：商业网点布局、网点利用率、遗传模型、进化策略算法

一、问题的背景与提出

商业网点的分布与人口规模分布形态密切相关，一定规模或密度的人口是商

业网点布局的必要条件。同时，商业网点的分布还与该地区的收入水平有关。人口数越多，收入水平越高，则消费和购物量相应扩大。

某公司要在城市X 建若干个商业网点。该城市的区和县的分布如图1所示。

图1：城市X 的区县分布图

城市X 的各区县的人口数和人均年收入如下表 区县

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

人数（千人） 450 432 570 204 157 183 194 380 586 604 477 471 270 收入（千

元） 20 23 30 54 57 48 45 39 33 30 19 28 18

据测算，如果在某个县（区）设立网点，则该县（区）50%人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。

（1） 建立数学模型分析：如果只设立两个网点，这两个网点设在哪些县（区），

可使得总消费人数最多（每个县区的消费人群最多不超过75%）？

（2） 如果消费者的消费额与其收入成比例，这两个网点设在哪里总消费额最

高？

（3） 设立网点的效率用 α

K

总消费人数

=

e D

A

B

C E F

G

H

I K L

M J

α。建立数学模型分析在多少个县（区）设立描述，其中K是网点个数，9.0

=

网点，网点设在哪些县（区），可以在各区县的消费人数比较均衡的前提下，网点利用率尽可能高？

二、基本假设

1. 如果在某县（区）设立网点，则该县50%的人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。

2. 每个县区的消费人数最多不超过75%。

3. 消费者的消费额与其收入成比例，比例系数为1。

4. 如果二个区县存在交点就认为二区县相邻。

三、符号说明

A……………………各区县间的关联矩阵

a ij……………………矩阵A中的元素

B……………………矩阵A变换得到的矩阵

b ij……………………关联矩阵B中的元素

C……………………矩阵A变换得到的矩阵

c ij……………………矩阵C中的元素

P……………………由各区县人数组成的矩阵

I……………………由各区县人均年收入组成的矩阵

D……………………A~M分别建x1~x13个网点时所对应的各县的消费人群比例矩阵

K……………………总网点个数

e……………………网点利用率

η……………………平衡度

θi……………………各个县的消费人群比例

θave…………………各县消费人群比例平均值

四、模型的建立于求解

结合本题的背景知识，我们首先应该将各区县的位置分布图进行数学建模，即用关联矩阵表示出来，这样各区县的相邻与否就一目了然了。在此基础上再逐个讨论下面的三个问题。关联矩阵A表示为:

1100000001100111111000100001110001000000111101100000010111100101001001110110100

001111110000001100111000000000111100101100110001110100000000111100000100111110000000000111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦

A ⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥

⎥

⎥⎥

⎥

矩阵A 为13× 13的矩阵。矩阵A 的13行与13列表示城市X 的13个区县。矩阵A 的第一行表示A 区与其他各区县的关联情况，元素为1表示A 县与其他区县相邻，元素为0表示A 县与其他各县不相邻。矩阵A 的第二行表示B 区与其他各区县的关联情况，依次类推。 1. 问题1

问题1要求我们在只设立两个网点的情况下，如何安置这两个网点，可以使得总消费人数最多。这就包含两种情况：一是这两个网点都安置在同一个县区，二是这两个网点安置在不同的两个县区。 1.1 两个网点安置在同一个县区

根据基本假设1,如果在某县设立一个网点，则该县50%的人口和相邻县区10%的人口会成为消费人群。由于两个网点安置在同一个区县，该县区消费人数最多为75%，因此该县75%的人口和相邻县区20%的人口会成为消费人群。

对矩阵A 中的元素按照如下规则进行修改，得到矩阵B 。

0.750.2i j ij i j

a i j

b a i j ⨯=⎧=⎨

⨯≠⎩ 各区县人数组成矩阵P ，P 为13× 1的矩阵。

P =[450 432 570 204 157 183 194 380 586 604 477 471 270]T

各区县分别设立两个消费网点带来的消费人群总数用矩阵R1表示，R1为13× 1的矩阵。

1=R B P

矩阵R1各行分别表示在A 县、B 县.......M 县设置两个网点时总的消费人数。 利用Matlab 软件对上述数学模型变成求解可得

R1=[640.1000 757.6000 630.7000 499.6000 535.3500 626.0500 447.5000 595.8000 685.1000 887.0000 716.7500 777.2500 392.1000]