最新全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编
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2012各省数学竞赛汇集
目录
1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷-
2. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）
3. 2012年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）
4. 2012年高中数学联赛陕西省预赛试卷
5. 2012年高中数学联赛上海市预赛试卷
6. 2012年高中数学联赛四川省预赛试卷
7. 2012年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）
8. 2012年高中数学联赛山东省预赛试卷
9. 2012年高中数学联赛甘肃省预赛试卷-
10. 2012年高中数学联赛河北省预赛试卷
11. 2012年高中数学联赛浙江省预赛试卷
12. 2012年高中数学联赛辽宁省预赛试卷页
13. 2012年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）
14. 2012年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）
15. 2012年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）
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2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为_____.
2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =_______.
3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为____________.
4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________.
5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124
x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角
为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆
的面积为_______.
6、已知a 是正实数，lg a k
a =的取值范围是________.
7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为
____________. 8
、
已
知
等
差
数
列
{}
n a 和等比数列
{}
n b 满足：
11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=______.
9、将27,37,47,48,557175，
，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种.
10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为____.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=
（2）
2
2sin cos cos 2
C A B
a b
c
+=
+
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12、已知
,a b
为实数，
2
a >，函数
()|ln |(0)
a
f x x b x x
=-+>.若
(1)1,(2)ln 212
e
f e f =+=
-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数
()f x 的单调区间；
（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <
13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线
OM 上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.
14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2
()0x
d c x cd --+=的
两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试题答案
一、填空题（70分）
1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.
2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.
3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____
3
10
_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____22___.
5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124
x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角
为锐角的直线l 与双曲线C 交于
,A B 两点.若FAB ∆的面积为83，则直线的斜率为
___
1
2
____.
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6、已知a 是正实数，lg a k
a =的取值范围是___[1,)+∞_____.
7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为
_____53_______.
8
、
已
知
等
差
数
列
{}
n a 和等比数列
{}
n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,
a b a b +=+=则
n n a b +=
___
132n n
-+___.
（*
n N ∈）
9、将27,37,47,48,557175，
，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.
10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.
二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=
（2）2
2sin cos cos 2C
A B a b c
+=
+