等差数列导学案及练习题

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2.2等差数列导学案

2.2等差数列导学案※学习目标：1. 理解等差数列的概念.2. 探索并掌握等差数列的通项公式.3. 能用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.※学习重点：等差数列的概念及通项公式.※学习难点：等差数列的概念及通项公式的应用.※学习过程：一．观察思考观察下面几个数列：（1）0，5，10，15，20，...（2）48，53，58，63.（3）18，15.5，13，10.5，8，5.5.（4）10072，10144，10216，10288，10360.（5）2，0，-2，-4，-6，-8，...（6）7，7，7，7，7，7，...思考1：这些数列有什么共同的特点吗？二．探索新知阅读课本第37页，完成下面的问题：☻等差数列的定义一般地，如果一个数列从____________起每一项与它的前一项的_______都等于_____________, 那么这个数列就叫做_________________. 这个常数叫做等差数列的_________, 公差通常用字母_____表示.问题：你能说出上面六个等差数列的公差各是多少吗？思考2：你能用一个数学表达式等价的描述出等差数列的概念吗？☻等差中项：由三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b ______________.思考3：你能用 a 与b 表示A 吗？☻等差数列的通项公式阅读课本第37-38页，完成下面的问题：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么根据等差数列的定义，我们可以得到等差数列的通项公式是_________________.想一想：等差数列的通项公式是怎样得出来的？思考4：你还能找到等差数列通项公式的别的表示形式吗？三. 新知应用例1 （1）求等差数列,...2,5,8的第20项；（2）401-是不是等差数列,...13,9,5---的项？如果是，是第几项？例2 某市出租车的计价标准为2.1元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？例3 在等差数列中，已知,31,10125==a a 求首项1a 与公差d .四．课堂检测：1. 判断下列数列是否为等差数列，是的写出公差d .,...1,1,1,1,1)1(.16,13,10,7,4)2(,...3,2,1,1,2,3)3(---,...9,7,5,3,)4(x x x x x2. 在两个数之间插入一个数后使它们成为等差数列.（1）2，（），4；（2）12-，（），0；（3）a ，（），b .3. 等差数列{}n a 的前三项依次是110,53,6-----a a a ，则______=a .4.在数列{}n a 中，11=a ，41+=+n n a a ，则数列{}n a 是等差数列吗？其中___10=a . 小结：作业：课本40页习题2.2A 组1、3、4、5课后反思：。

高中数学《等差数列的性质》导学案

第2课时等差数列的性质1.等差数列的性质(1)等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广a n＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)a n＝a m＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝□01a p＋a q.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝□022a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋□03a n－1＝…＝a k＋□04a n－k＋1＝….2．等差数列的常用结论(1)若数列{a n}是公差为d的等差数列，则下列数列：①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为□05d的等差数列．②{ca n}(c为任一常数)是公差为□06cd的等差数列．③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为□072d的等差数列．(2)若数列{a n}，数列{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为□08pd1＋qd2的等差数列．(3)等差数列{a n}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是□09等差数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在等差数列{a n}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，则a m＋a n＝a r.()(2)若数列{a n}是等差数列，则a1，a3，a5，a7，a9是等差数列．()(3)两个等差数列的和仍是等差数列．()答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)(教材改编P 39T 5)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝6，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．30B ．15C ．5 6D ．106(2)在等差数列{a n }中，a 3＝2，公差d ＝－1，则a 10＝________. (3)若等差数列{a n }中，a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________. 答案 (1)B (2)－5 (3)2b －a 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 4)＋a 2＋a 42＝52(a 2＋a 4)＝52×6＝15.探究1 等差数列的性质应用例1 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8答案 C解析解法一：由a 1＋3a 8＋a 15＝120，可得5a 1＋35d ＝120，即a 1＋7d ＝24，又2a 9－a 10＝a 1＋7d ，所以2a 9－a 10＝24.解法二：因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，而2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.[变式探究] 若本例中条件不变，求a 3＋a 13的值又如何？解由例题解知，a 8＝24，由等差数列的性质知a 3＋a 13＝2a 8＝48. 拓展提升等差数列性质的应用技巧(1)适用情景已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项． (2)常用性质利用已知m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 或若m ＋n ＝2r ，则a m ＋a n ＝2a r 将题目条件转化．【跟踪训练1】 (1)已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A ．10B ．－10C ．15D ．－15(2)等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________.答案 (1)B (2)18解析 (1)∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝30，∴a 7＝10，而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10. (2)解法一：根据题意，有(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋9d )＋(a 1＋10d )＝36， ∴4a 1＋22d ＝36，则2a 1＋11d ＝18.而a 5＋a 8＝(a 1＋4d )＋(a 1＋7d )＝2a 1＋11d ，因此，a 5＋a 8＝18.解法二：根据等差数列性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11＝36÷2＝18. 探究2 灵活设项求解等差数列例2 (1)三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数；(2)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数．解 (1)设这三个数为a －d ，a ，a ＋d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝21，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－2，∴这三个数为5,7,9或9,7,5.(2)设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝28，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－3.∴这四个数依次为－2,4,10,16或16,10,4，－2. 拓展提升常见设元技巧(1)当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再用公差为d 向两边分别设项：…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)当等差数列{a n }的项数n 为偶数时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．【跟踪训练2】已知单调递增的等差数列{a n }的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．解解法一：根据题意，设等差数列{a n }的前三项分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝21，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－4.因为数列{a n }为单调递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，从而等差数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1.解法二：由于数列{a n }为等差数列，因此可设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝21，(a －d )a (a ＋d )＝231，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝21，a (a 2－d 2)＝231，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝－4.由于数列{a n }为单调递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，d ＝4，从而a n ＝4n －1.探究3 等差数列的综合应用例3 在△ABC 中，若lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列，并且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断该三角形的形状．解由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， ∴3B ＝π，∴B ＝π3.∵lg (sin A )，lg (sin B )，lg (sin C )成等差数列， ∴2lg (sin B )＝lg (sin A )＋lg (sin C )，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴sin A sin C ＝34.又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ， ∴sin A sin C ＝－12[cos(A ＋C )－cos(A －C )]． ∴－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π3－cos (A －C )＝34. ∴14＋12cos(A －C )＝34. ∴cos(A －C )＝1. ∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3， ∴A ＝B ＝C .故△ABC 为等边三角形．拓展提升等差数列与三角函数结合，一般需要根据等差数列的定义、性质等得到三角恒等式，然后运用三角恒等知识变形、化简，得到有关的恒等式，进而求解相关问题．【跟踪训练3】 (1)若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0和x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的4个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值为( )A.38B.1124C.1324D.3172(2)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.答案 (1)D (2)30解析 (1)设4个根构成的等差数列为{a n }．由于两方程对应二次函数f (x )＝x 2－x ＋a ，g (x )＝x 2－x ＋b 的对称轴均为x ＝12.由根的对称性可判断，a 1与a 4是同一方程的根，a 2与a 3是另一方程的根．于是，a 1＋a 4＝1，又a 1＝14，所以a 4＝34，则公差d ＝13(a 4－a 1)＝16，于是a 2＝512，a 3＝712，所以a ＋b ＝a 1a 4＋a 2a 3＝316＋512×712＝3172.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＋33d ，又a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝10，a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝20，∴33d ＝10.∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98)＋33d ＝20＋10＝30. 探究4 等差数列的实际应用例4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N *)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项为a 1＝200，公差d ＝－20，所以a n ＝a 1＋(n －1)×d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220.若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．拓展提升解决等差数列实际问题的步骤(1)将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化为数学问题； (2)构建等差数列模型，由条件确定a 1，d ，n ，a n ； (3)利用通项公式或等差数列的性质求解； (4)将所求问题还原到实际问题中．【跟踪训练4】如图所示，三个正方形的边AB 、BC 、CD 的长组成等差数列，且AD ＝21 cm ，这三个正方形的面积之和是179 cm 2.(1)求AB 、BC 、CD 的长；(2)以AB 、BC 、CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (1)设公差为d (d >0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，d ＝－4(舍去)．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.a210＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面积为1521 cm2.[规律小结]1.等差数列的公差与斜率的关系(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率k＝f(x2)－f(x1) x2－x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{a n}的公差本质上是相应直线的斜率．如a m，a n是等差数列{a n}的任意两项，由a n＝a m＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得d＝a n－a mn－m(m≠n)．2.等差数列的“子数列”的性质若数列{a n}是公差为d的等差数列，则(1){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{k n}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{a n}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差可能也随之发生变化．3.等差数列两项和的性质若{a n}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p.(m，n，p，q∈N*)[走出误区]易错点⊳弄错等差数列中项的序号而致误[典例]已知等差数列{a n}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝()A.8a－9b B．9b＋8a C．9b－8a D．8b－7a[错解档案]选D，令a9＋a10＝b1，a19＋a20＝b2，则b1，b2，b3，…，b9构成新的等差数列，a 99＋a 100＝b 9＝b 1＋8d ＝a ＋8(b －a )＝8b －7a .[误区警示] 由已知条件中项的下标的关系，构造出新的等差数列{b n }，而a 99＋a 100应为b 10，本题弄错项数致误．[规范解答] C解法一：由上述分析可知a 99＋a 100＝b 10＝b 1＋9d ＝9b －8a .解法二：将相邻两项和a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…，a 99＋a 100分别记为b 1，b 2，b 3，…，b 50，可知{b n }为等差数列，设此数列的公差为d ，则d ＝b 10－b 510－5＝b －a 5.∴a 99＋a 100＝b 50＝b 5＋45d ＝a ＋b －a5×45＝9b －8a .[名师点津] (1)熟练掌握等差数列的性质，尤其是对各项的下标存在的关系以及所具有的性质的掌握；(2)在解答有关等差数列的问题时，要明确数列所求的项与已知条件之间的关系.1．等差数列{a n }中，a 6＋a 9＝16，a 4＝1，则a 11＝( ) A ．64 B ．30 C ．31 D ．15答案 D解析解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＋a 9＝16，a 4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d ＝16，a 1＋3d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2，∴a 11＝a 1＋10d ＝15. 解法二：∵6＋9＝4＋11，∴a 4＋a 11＝a 6＋a 9＝16， ∴a 11＝15.2．若{a n }为等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9＝( )A ．39B ．20C ．19.5D ．33答案 D解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝45，∴a 4＝15，∵a 2＋a 5＋a 8＝3a 5＝39，∴a 5＝13，∴d ＝a 5－a 4＝－2，a 6＝a 5＋d ＝11，∴a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3×11＝33.故选D.3．已知(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的4个根组成首项为14的等差数列，则|m －n |＝________.答案12解析由已知设4个根分别为14，14＋d ，14＋2d ，14＋3d ，且14＋14＋3d ＝14＋d ＋14＋2d ＝2，解得d ＝12，∴这 4个数分别为14，34，54，74，由韦达定理知：m ＝14×74，n ＝34×54，或m ＝1516，n ＝716，∴|m －n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪716－1516＝12.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于________．答案 100解析设{a n }、{b n }的公差分别为d 1，d 2，∴(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又∵a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴a 37＋b 37＝100.5．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解设这四个数为a －3d 、a －d 、a ＋d 、a ＋3d ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2、5、8、11或11、8、5、2.A 级：基础巩固练一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4. 又a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 100<0 C ．a 3＋a 100≤0 D ．a 51＝0 答案 D解析由题设a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝101a 51＝0， ∴a 51＝0.3．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为( )A.53B.103C.56D.116答案 A解析设五个人分得的面包为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，(d >0)，则(a －2d )＋(a －d )＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝100，∴a ＝20，由17 (a ＋a ＋d ＋a ＋2d )＝a －2d ＋a －d 得3a ＋3d ＝7(2a －3d )，∴24d ＝11a ，∴d ＝556，∴最小的一份为a －2d ＝20－1106＝53.故选A.4．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析因为a 1＝0，d ≠0，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝6d ＝a 7.故选B. 二、填空题5．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，公差为d ，a 3>0，当且仅当n ＝3时，|a n |取得最小值，则公差d 的取值范围是_________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－25解析 ∵a 3>0，当且仅当n ＝3时|a n |取最小值， ∴a 4<0，且a 4＋a 3<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2d >0，1＋3d <0，1＋2d ＋1＋3d <0，解得－12<d <－25.6．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________. 答案 24解析 ∵a 60＝a 15＋45d ，∴d ＝415，∴a 75＝a 60＋15d ＝20＋4＝24.7．如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，则称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{c n }中c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c 2＝________.答案 19解析因为c 11，c 12，…，c 21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c 20＝c 11＋9d ＝1＋9×2＝19，又{c n }为21项的对称数列，所以c 2＝c 20＝19. 三、解答题8．等差数列{a n }的公差d ≠0，试比较a 4a 9与a 6a 7的大小．解设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 4a 9－a 6a 7＝(a 1＋3d )·(a 1＋8d )－(a 1＋5d )(a 1＋6d )＝(a 21＋11a 1d ＋24d 2)－(a 21＋11a 1d ＋30d 2)＝－6d 2<0，所以a 4a 9<a 6a 7.9．四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．解设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94⇒2a 2＋10d 2＝47.① 又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72.故所求四数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝1＋a n3－a n (n ∈N *)，且a 1＝0.(1)求a 2，a 3的值； (2)是否存在一个实常数λ，使得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －λ为等差数列，请说明理由．解 (1)因为a 1＝0，a n ＋1＝1＋a n3－a n(n ∈N *)，所以a 2＝1＋a 13－a 1＝1＋03－0＝13，a 3＝1＋a 23－a 2＝1＋133－13＝12.(2)假设存在一个实常数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ为等差数列，则1a 1－λ，1a 2－λ，1a 3－λ成等差数列，所以2a 2－λ＝1a 1－λ＋1a 3－λ，所以213－λ＝10－λ＋112－λ，解之得λ＝1.因为1a n ＋1－1－1a n －1＝11＋a n3－a n－1－1a n －1＝3－a n2(a n －1)－1a n －1＝1－a n 2(a n －1)＝－12，又1a 1－1＝－1，所以存在一个实常数λ＝1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －λ是首项为－1，公差为－12的等差数列．B 级：能力提升练1．已知两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，则这两个数列中有多少个共同的项？解设用两数的公共项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列，而两个数列公差分别为3和4，则{a n }的公差为d ＝3×4＝12.∴a n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.数列5,8,11，…与3,7,11，…第100项分别为302与399. ∴a n ≤302，即n ≤25.25. ∴所给数列有25个共同的项．2．设各项均为正数的无穷数列{a n }和{b n }满足：对任意n ∈N *都有2b n ＝a n＋a n ＋1且a 2n ＋1＝b n b n ＋1.(1)求证：{b n }是等差数列；(2)设a 1＝1，a 2＝2，求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a n ＋1＝b n b n ＋1，∴a n ＝b n －1b n 代入2b n ＝a n ＋a n ＋1，得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1，∴{b n }是等差数列．(2)由a 1＝1，a 2＝2得b 1＝a 1＋a 22＝32.又由a 2n ＋1＝b n b n ＋1得a 22＝b 1b 2，∴b 2＝a 22b 1＝83，∴b 1＝32＝62，b 2＝83＝263.∴{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝66. ∴b n ＝62＋(n －1)·66＝66(n ＋2)， ∴b n ＝16(n ＋2)2，∴a 2n ＝b n －1b n ＝16(n ＋1)2·16(n ＋2)2， ∴a n ＝16(n ＋1)(n ＋2)．。

高中数学等差数列(三)导学案苏教版必修5

等差数列（三）【学习目标】使学生掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，初步掌握公式的应用。

【课堂导学】一、预习点拨1、等差数列{}n a 中，+=+21a a a n = +3-n a 。

2、记n n n n a a a a a a S ++++++=--12321 ，同时1231a a a a a S n n n ++++=- ，则两式相加，n S 2 )(1n a a n +3、等差数列的前n 项和公式：n s = n s =二、典型例题例1、在等差数列{}n a 中，（1）已知1503,101,a a ==求50s ；（2）113,,2a d ==求10s 。

例2、在等差数列{}n a 中，已知1315,,222n n d a s ===-，求1a 及n 。

例3、某剧场有20排座位，后一排都比前一排多两个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？例4、在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求此数列的第21项到第30项的和。

三、迁移训练１、已知等差数列｛n a ｝中，1001012,4a a ==，则此数列的前200项和为2、根据下列各题中的条件，求下列相应的等差数列｛n a ｝的前n 项和n s ：(1)15,95,10n a a n === (2) 1100,2,50a d n ==-=(3) 114.5,0.7,32n a d a ===。

四、课堂笔记【巩固反馈】一、填空题序号：121、在等差数列｛n a ｝中，（1）已知1107, 43a a ==-，则10s =（2）已知1100,2a d ==-，则50s =（3）已知1510,2a d =-=，则20s =（4）已知598,24a a ==，则n s =2、若等差数列的第6项为11，则此数列的前11项的和为3、在等差数列中，15129620a a a a +++=，则20s =4、已知等差数列：111,,,632…，若此数列的前n 项和为1552，则n = 二、解答题5、等差数列｛n a ｝的通项公式是21n a n =+，求它的前n 项和。

高中数学必修5《数列-等差数列》导学案

第二章数列2.2等差数列一、学习目标1.理解等差解数列的定义和通项公式，会判断数列是否是等差数列，并会应用通项公式解决问题。

2.理解等差中项的定义，会应用等差中项的性质解决问题。

【重点、难点】等差数列的概念和通项公式，等差中项的性质二、学习过程【导入新课】1.等差数列的定义：a n= _________.3.等差中项若______成等差数列,则A叫a与b的等差中项,且A=_____.【典型例题】例1.在等差数列{a n}中，a2=5,a6=17，则a14=( )A.45B.41C.39D.37例2.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}，a1和a3是方程x2－8x+7=0的两个根，求它的通项公式.例3.已知等差数列{a n}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则a n=__________.【变式拓展】1．在等差数列{a n}中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=( )A．10 B．18 C．20 D．282.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，此等差数列的公差d为____________．三、总结反思(1)通项公式的作用：根据通项公式,在a1,a n,d,n中知道任何三个可求另一个,也可用于等差数列的判断.等差数列的通项公式可变形为a n=dn+(a1-d),当d≠0时可把a n看作自变量为n的一次函数.(2)等差数列的单调性(1)当公差d<0时,等差数列为递减数列.(2)当公差d=0时,等差数列为常数列.(3)当公差d>0时,等差数列为递增数列.四、随堂检测1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a7=-4,则公差d= .2.已知首项a1=1,公差d=-2的等差数列{a n},当a n=-27时,n= .3.x-1与y+1的等差中项为5,则x+y= .4.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为.。

等差数列前n项和公式导学案(二)

第 1 页共 2 页等差数列的前n 项和（二）一、等差数列的前n 项和的性质 1、当公差d ≠时，前n和2111(1)()222n d ds na n n d n a n =+-=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.2、在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，，21(21)n S n a -=-⋅中（这里a 中即n a ）。

3、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则232,,k k k k k S S S S S -- ，…也成等差数列。

4、若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，则2121(21)(21)n n n n n n a n a A b n b B ---==-.5、等差数列{}n a 前项n 和n s ，则数列n s n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也成等差数列。

例1、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，(1)若S 9＝18，则a 12= ；(2)若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝_______.变式练习1、(1)已知一等差数列中a 7=10，则s 13=（） A 、45 B 、60 C 、 90 D 、120(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.例2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3413-+=n n T S nn，那么66a b = ；=nn b a 。

变式练习2、设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若313n nS n T n -=+，那么77a b = ；=nn b a 。

例3、等差数列{a n }的前5项和为30，前10项和为100，则它的前15项和为（）A.130B.170C.210D.260变式练习3、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知100s =，1525s =，则5s的值为________.巩固练习1.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，已知77521a S ==，，则 10S = (A).40 （B ）35 （C ）30 （D ）282.在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=（） A ．58 B.88 C ．143 D ．173.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若44a b =6，77S T = .4.在等差数列{}n a 中，12013a =-，其前n 项和为n S ，若20142012220142012S S -=，则2013S 的值等于（） A.2013- B ．2012- C ．2012 D ．2013 5.已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n，S10=10 ，S 30=70，则S 40等于。

4.2 等差数列导学案

4.2等差数列第一课时等差数列的概念与简单表示法[学习目标] 1.理解等差数列的概念．(难点) 2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点) 3.掌握等差数列的判定方法．(重点)一、等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．二、等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．它们之间的关系式是.三、等差数列的通项公式以a1为首项，以d为公差的等差数列{a n}的通项公式.1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)当公差d＝0时，数列不是等差数列．( )(2)若数列的每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列是等差数列．( )(3)等差数列的定义用符号语言表示，即a n＝a n－1＋d.( )(4)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．( )2．已知等差数列{a n}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝()A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－63．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1B．6 C．－6D．－34．已知数列{a n}，a n＝2－3n，则数列的公差d＝________.预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A．是公差为2的递增等差数列B．是公差为5的递增等差数列C．是首项为7的递减等差数列D．是公差为2的递减等差数列(2)判断下列数列是否是等差数列，并给出证明．①a n＝4－2n；②a n＝n2＋n.1．给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)的形式，若符合此形式则为等差数列，否则不是．2．定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用a n＋1－a n＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例.(1)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公式差d ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值．1．在等差数列中，若已知a m ＝a ，a n ＝b ，一般列出关于a 1，d 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝a ，a 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1，d ，从而确定该数列的通项公式．2．通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中有四个量a 1，d ，n ，a n ，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．在(1)中将条件改为“a 1＝2，a 5＝10，a n ＝32”，求n 的值．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．【思路探究】根据已知条件可设出这三个数，结合等差中项，建立方程组求解．等差中项的应用策略1．求两个数x ，y 的等差中项，即根据等差中项的定义得A ＝x ＋y2.2．证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a ，b ，c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ；反之，若a ＋c ＝2b ，则a ，b ，c 成等差数列．1．若x 是a ，b 的等差中项，x 2是a 2，－b 2的等差中项，则a 与b 的关系为( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝－bC ．a ＝3bD ．a ＝－b 或a ＝3b2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________．忽视数列中的隐含条件致误已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325D.875<d ≤325【易错分析】失分点一：只考虑a 10>1而未考虑a 9的范围忽视隐含条件致误．失分点二：考虑a 9的范围不全面，错认为a 9<1考虑不全致误．【防范措施】认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件，并把隐含条件准确地表达出来，如本例中“从第10项开始比1大”隐含条件的挖掘与表达．——[类题尝试]—————————————————首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围为( ) A ．d >83 B ．d <3 C.83≤d <3D.83<d ≤3第二课时等差数列的性质[学习目标] 1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)一、子数列的性质从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．二、等差数列通项公式的推广等差数列通项公式的变形公式： a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m. 三、“下标和”性质(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝2a t .(3)数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝….1．判断：(由期中期末考试题摘编) (1)在等差数列{a n }中，a 10＝a 3＋7d ( )(2)若数列{a n }为等差数列，则数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…也成等差数列．( ) (3)等差数列{a n }去掉前n 项后余下的项仍组成等差数列．( ) (4)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.( ) 2．若一个等差数列{a n }中，a 2＝3，a 7＝6，则其公差为( ) A.35 B.53 C ．－35 D ．－533．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2＝( ) A ．3 B ．－3 C.32D ．－324．在等差数列{a n }中，公差d ＝2，a 1＋a 3＋a 5＝30，则a 2＋a 4＋a 6＝________.预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(1)若数列{a n }的公差为2，则数列{3a n －2}的公差为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( ) A ．－9 B ．－8 C ．－7D ．－4(3)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，那么由a n ＋b n 所组成的数列的第37项的值为( )A ．0B ．37C ．100D ．－371．关于等差数列中“子数列”性质的应用问题．若已知a m ，a n ，求a p 中，①可以直接利用等差数列的通项公式列方程组，求出首项a 1和公差d 后再求a p ；②也可以利用等差数列通项公式的推广公式求解．即d ＝a n －a mn －m ＝a p －a mp －m直接求解；③若m ，n ，p 有一定规律，可以构造新的等差数列求解．2．等差数列的公差本质上是相应直线的斜率．所以类比直线的斜率公式可得出d＝a n－a m n－m.在公差为d的等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.【思路探究】解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决．1．利用等差数列性质解题是处理等差数列问题的技巧方法，利用好性质可以使计算过程大大简化．2．在等差数列中，一般存在两种运算方法：一是利用基本量运算，借助于a1，d建立方程组进行运算；二是利用性质运算，运用等差数列的性质，往往会有事半功倍的效果．3．若{a n}是公差为d的等差数列，其具有其他性质如下：(1){c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；(2){ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；(3){a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)a m＋n－a n＝a m＋k－a k＝md(m，n，k∈N*)．(5)下标成等差数列，则数列a m，a m＋k，a m＋2k，a m＋3k…成等差数列，公差为kd(m，k∈N*)．(6)若{b n}为等差数列，则{a n±b n}，{ka n＋b n}(k，b为非零常数)也为等差数列．(7){a n}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列．(8)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列．(9)若{k n}是等差数列，则{akn}也是等差数列．在(2)中已知条件不变，添加条件“a4>a2”求a5的值．已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【思路探究】(1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列．2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d.3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d.已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式．利用等差数列的性质简化运算过程等差数列{a n}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.2.3等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和[学习目标] 1.了解等差数列前n项公式的推导过程．(难点) 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题．(难点、易错点)等差数列的前n项和公式(1)一般地，称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.(2)1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)a n＝S n－S n－1成立的条件是n∈N*.( )(2)在等差数列中涉及到a1，d，n，a n，S n五个量，利用方程思想可以“知三求二”．( )(3)在等差数列{a n}中，若a1＝3，d＝2，则S10＝120.( )(4)在等差数列{a n}中，若a1＝2，a9＝10，则S9＝45.( )2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．633．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是()A．12 B．24 C．36 D．484．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ； (3)S 5＝24，求a 2＋a 4.等差数列中1．已知首项、末项与项数求前n 项和时一般用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，由于a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…，故解决本类问题常用到等差数列的“下标和”性质．2．等差数列前n 项和公式的运算方法与技巧已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n －2.1．已知数列{a n }的前n 项和公式S n ，求通项公式a n 的步骤： (1)当n ＝1时，a 1＝S 1.(2)当n ≥2时，根据S n 写出S n －1，化简a n ＝S n －S n －1.(3)如果a 1也满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝S n －S n －1(如本题(1))；如果a 1不满足当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1的通项公式，那么数列{a n }的通项公式要分段表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2(如本题(2))． 2．由S n 求a n 的方法不是等差数列所特有的，它适合于任何数列．若将(2)中的条件改为“S n ＝14(a n ＋1)2”求{a n }的通项公式．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【思路探究】因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式a n，或是求前n项和S n，还是求项数n.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为__________________米．裂项法求数列的和已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n.(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.1．若数列{a n}是等差数列，公差为d，则和式T n＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1a n－1a n可用裂项法求和2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1n(n＋k)＝1k⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．——[类题尝试]—————————————————等差数列{a n}中，a7＝4，a19＝2a9.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1na n，求数列{b n}的前n项和S n.第二课时等差数列前n项和的综合应用[学习目标] 1.掌握等差数列前n项和的性质及应用．(重点) 2.会求等差数列前n项和的最值．(重点、易错点) 3.能用裂项相消法求和．(难点)一、等差数列前n项和的性质等差数列{a n}中，其前n项和为S n，则{a n}中连续的n项和构成的数列S n，S2n－S n，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．二、等差数列前n项和S n的最值(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最小值．(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的最大值．特别地，若a1>0，d>0，则S1是{S n}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{S n}的最大值．1．判断：(由期中期末考试题摘编)(1)若S n 为等差数列{a n } 的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (3)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (4)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) 2．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A ．6 B.454 C ．12 D.252(2)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝____. (3)设S n 为等差数列的前n 项和，若S m ＝40，S 3m ＝345，求S 2m .巧妙应用等差数列的前n 项和S n 的性质 1．项数(下标)的“等和”性质：S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a m ＋a n －m ＋1)2. 2．等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 3．等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. 4．“片断和”性质：等差数列{a n }中，公差为d ，前k 项的和为S k ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，S mk －S (m －1)k ，…构成公差为k 2d 的等差数列.等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问数列前多少项和最大？【思路探究】解答本题可用多种方法，根据S 17＝S 9找出a 1与d 的关系，转化为S n 的二次函数求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点，再求解．1．等差数列前n 项和S n 最大(小)值的情形：(1)若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，即所有非负项之和． (2)若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值，即所有非正项之和． 2．求等差数列前n 项和S n 最值的方法：(1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0来寻找． (2)运用二次函数图象的对称性求最值．若把条件变为：“a 1<0，S 9＝S 12”，该数列前多少项和最小？已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【思路探究】由S n ＝－32n 2＋2052n ，知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列{a n }为等差数列，可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .1．对绝对值数列{|a n |}出题时常常针对其前n 项和，一般有两个方面：一是已知a n ；二是已知数列{a n }的前n 项和S n .2．对于这类数列的求和问题，一是要弄清{a n }中哪些项为正，哪些项为负；二是要将绝对值和的问题转化为等差数列的求和问题．特别注意用分段函数的形式表示结果．在等差数列中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)该数列第几项开始为负； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．不能正确应用等差数列的前n 项和公式致误(12分)有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －1n ＋7，求a 7b 7.【易错分析】失分点一：不能正确应用等差中项的结论转化出2a 7＝a 1＋a 13致误．失分点二：没有注意到等差数列的前n 项和是关于n 的二次式而出现错误．【防范措施】等差数列前n 项和S n 的代数形式．等差数列的前n 项和为关于n 的二次函数．对于此类问题有如下结论：a m b m＝S 2m －1T 2m －1(m ∈N *)．如本例中即应用了项与前n 项和的关系的应用．。

等差数列导学案

等差数列（一）导学案阅读讲义第36～38页例2完，回答问题1、请同窗们仔细观察讲义第36页的四个数列，想一想它们有什么一路的特征？2、别离用文字语言、符号语言叙述等差数列的概念。

3、叙述等差中项的概念。

4、写出等差数列的通项公式及推导进程。

5（1）求等差数列8，5，2，……的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13……的项？若是是，是第几项？（3）已知=2，d = 3，n = 10，求（4）已知= 12，= 21，d = 2，求n（5）已知= 12，= 27，求d（6）已知d = ，= 8，求六、阅读例2，体会等差数列的通项公式在实际问题中的简单应用。

7、P39练习一、2 ；P40 A组一、等差数列（二）导学案阅读讲义38页例3 –39页完，回答下列问题：1.做例3并完成探讨，想一想：例3的结论可否用于判断一个数列是不是为等差数列？2．动手做P393、4、5，总结等差数列的一些性质。

3.等差数列的增减性如何？（通过讨论d来肯定）4.做41页B组2五、归纳小结：（1）等差数列的判断方式有哪几种？（2）总结等差数列的性质。

能力提升：(1).已知{}n a为等差数列，且7a－24a＝－1, 3a＝0,求公差d(2).在等差数列}{na中,6,7253+==aaa,则____________6=a(3).在等差数列｛｝中，，求(4).等差数列{}n a中,公差为d,,721581=++aaa求=+da35(5).等差数列｛｝中，若，求的值。

人教版必修五《22等差数列》导学案

等差数列〔二〕【学习目标】1.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题. 【自主学习】等差数列的性质1. 在等差数列{}n a 中，d 为公差， m a 与n a 有何关系？2. 在等差数列{}n a 中，d 为公差，假设,,,m n p q N +∈且m n p q +=+，那么m a ，n a ，p a ，q a 有何关系？【自主检测】1.在等差数列{n a }中，假设1a +6a =9, 那么34a a += .2. 等差数列{}n a 中，25a =-，611a =，那么公差d ＝ . 【典型例题】例1.在等差数列{}n a 中，510a =，1231a =，求首项1a 、公差d 和14a .小结：等差数列{}n a 中，公差d 可以由数列中任意两项m a 与n a 通过公式m na a d m n-=-求出. 例2.在等差数列{}n a 中，23101136a a a a +++=，求58a a +和67a a +.例3.在等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a小结：在等差数列中，假设m +n =p +q ，那么m n p q a a a a +=+，可以使得计算简化.【目标检测】1.等差数列{}n a 中7916a a +=，41a =，那么12a 的值为〔〕.A . 15 B. 30 C. 31 D. 64 2.假设48，a ，b ，c ，－12是等差数列中连续五项，那么a ＝，b ＝，c ＝ .3.在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，求369a a a ++的值.4.三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.5.*成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．【知识拓展】1.判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：〔1〕1n n a a d +-=；〔2〕(0)n a pn q p =+≠； 2. 假设三个数成等差数列且其和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 假设四个数成等差数列且其和时，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++. 【总结提升】1.在等差数列中，假设m+n=p+q ，那么m n p q a a a a +=+.注意：m n m n a a a ++≠，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.2. 在等差数列中，公差m na a d m n-=-.。

等差数列复习导学案

等差数列复习导学案学习目标: 理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；掌握等差数列的性质。

学习过程: 基础知识过关：1.等差数列定义的符号语言：。

2.若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A= 。

3.若等差数列首项为1,a 公差为d ，则n a = = 。

4.在等差数列中，若m n p q +=+，则。

5.等差数列前n 项和n S = = = 。

6.数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是数列；数列 ,,,232m m m m m S S S S S --是数列。

7.若{},{}n n a b 均为等差数列，且前n 项和分别为,n n S T ，则n n a b =_________________. 探究1、等差数列的基本运算例1、（1）等差数列{}n a 中，154533,153a a ==，则d =____________（2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a =_____________（3）某个等差数列前3项和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为（）（A ） 13 (B)12 （C ）11 （D ）10（4）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612S S = （）（A ） 310 (B) 13 （C ） 18 （D ）19探究2 等差数列的判定与证明例2、已知数列{}n a 满足1112,2(2)n n a a n a -==-≥，令11n n b a =- （1）求证：数列{}n b 是等差数列（2）求数列{}n a 的通项公式。

练习：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，求证：{a n }是等差数列。

探究3、等差数列的最值问题例3、某个等差数列的第 10 项为 230，第 25 项为 -220，（1）求首项和公差，（2）当 n 为何值时，前 n 项和n S 的值最大，并求出这个最大值 .变式：在等差数列{}n a 中，120a =，前n 项和为n S ，且1015S S =，求当n 取何值时，n S 取得最大值并求出它的最大值。

等差数列前n项和导学案及作业(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2)编者：于东江1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 重点：探索并掌握等差数列前n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题. 难点：等差数列奇数项与偶数项的性质.使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。

预习案（20分钟）一．知识链接1．等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S .2．等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求n a 和8S .探究案（30分钟）二．新知探究【知识点一】等差数列前n 项和与二次函数的关系.问题1：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？组长评价：教师评价：变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .【知识点二】等差数列前n 项和最值.例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 1a ＝25，公差179=S S ，求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由，求得n 的值（2）利用n S ：由n S = ，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值. 【知识点三】等差数列前n 项和之比问题.例3.已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和为n S 和n T ，若231n n S nT n =+，求88a b变式：（1）已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和为n S 和n T ，若71427n n S n T n +=+，求57210+a a b b +【知识点四】等差数列{n a }各项取绝对值后组成的数列{}n a 的前n 项和. 例4:已知数列{}n a 为等差数列，103n a n =-，求12n a a a +++变式：数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，且101a =，22915a a =. (1) 求数列{}n a 的通项公式. (2) 求数列{}n a 的前n 项和n S .【知识点五】等差数列{n a }奇数项和与偶数项和问题.例5:一个等差数列的前12项和为354，前12项和中偶数项和与奇数项和之比为32:27，求公差d变式：:（1）一个等差数列项数为奇数，且奇数项的和为50，偶数项的和为48，求项数. （2）. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.归纳总结：1°若项数为偶数2n ，则； 2°若项数为奇数2n ＋1，则四．我的疑惑（把自己在使用过程中遇到的疑惑之处写在下面，先组内讨论尝试解决，能解决的划“√”，不能解决的划“×”）（1）（））（通过解决本节导学案的内容和疑惑点，归纳一下自己本节的收获，和大家交流一下，写下自己的所得）随堂评价（15分钟）※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列数列是等差数列的是（）. A. 2n a n = B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）. A. 70 B. 130 C. 140 D. 1704. 在小于100的正整数中共有个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .§2.3等差数列的前n 项和(2)课后巩固一、选择题1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A ．5B ．4C ．3D ．22．在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（） A ．2- B ．0 C ．1 D ．23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（） A ．63 B ．45 C ．36 D ．274．等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A ．130B ．170C ．210D ．2605．在等差数列}a {n 中，0a 1<，n S 为前n 项和，且163S S =，则n S 取得最小值时n 的值为（）A ．9B ．10C ．9或10D ．10或116．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论错误的是（）A ．95S S >B ．公差0d <C ．70a =D ．6S 与7S 是n S 的最大值 7．若{}n a 是等差数列，首项10a >，23240a a +>，23240a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．48B ．47C ．46D ．45 二、填空题8.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .9．已知数列{}n a 的前n 项和291n S n n c =-+-，若{}n a 是等差数列，则c = ．10.设等差数列共有10项，其中奇数项之和为12.5，偶数项之和为15，则其首项1a =_______，公差d=________；11．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且5321n n A n B n +=-，则这两个数列的第九项之比99a b = ,及935748a ab b b b +++= 12．在等差数列{}n a 中，10a >，573a a =，前n 项和为n S ，若n S 取得最大值，则n = ． 13．在等差数列}a {n 中，（1）若20a 11=，则21S =_____ ___；（2）若20a a a a 131074=+++，则=16S ____ ___。

等差数列前n项和公式导学案(一)

等差数列的前n 项和（一）一、等差数列前n 项和 1、数列{}n a 的前n 项和n s2、引入100s =1＋2＋3＋…+100＝？3、等差数列{}n a 的前n 项和n s二、公式基本应用例1：(1)求等差数列-10，-6，-2，2，…前10项的和。

(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项和是54？变式练习1、求等差数列1,4,7,10…的前100项的和。

(2)如图，一个堆放铅笔的V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比下面一层多放一支，最上面放有120支，这个V 形架上共放多少支铅笔？例2、根据下列条件，求相应的等差数列{a n }的Sn (3)a 1=-8,a 20=106,求s 20变式练习2、根据下列条件，求相应的等差数列前n 项的和（1）a 1=100，d =－2，n=50 （2）a 1=－4，a 8=－18，n=8; （3）a 1=14.5，d=0.7，a n =32 (4) 5,142==a a ,求5S三、“知三求二” 例3、等差数列{}n a 的前n 项和n s ，公差d 。

（1）1201,22a s ==,求6s ；（2）151,,562n a d s ==-=-，求n 及n a ；（3）11,512,1024n n a a s ==-=-，求d。

1(1)5,95,10;na a n ===1(2)100,2,50;a d n ==-=变式练习3、等差数列{}n a 的前n 项和n s ，公差d 。

（1）499,6,63n a a s ==-=，求n ；（2）120,54,999n n a a s ===，求d及n 。

（3）2,15,10n d a ===-，求1a 及n s ；例4、在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和．变式练习4、（1）在小于100的正整数集合中，有多少个数是5的倍数？并求它们的和．（2）在小于100的正整数集合中，有多少个数是2或3的倍数？并求它们的和．四、已知n s ，求n a 。

《等差数列的前 n 项和》导学案

《等差数列的前 n 项和》导学案一、学习目标1、掌握等差数列前 n 项和公式的推导过程。

2、理解等差数列前 n 项和公式的特点，能熟练运用公式解决相关问题。

3、体会等差数列前n 项和公式中蕴含的数学思想，如倒序相加法。

二、学习重难点1、重点（1）等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

（2）理解等差数列前 n 项和公式与二次函数的关系。

2、难点（1）倒序相加法的理解和应用。

（2）灵活运用等差数列前 n 项和公式解决综合性问题。

三、知识回顾1、等差数列的通项公式：＄a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，其中$a_1$为首项，＄d$为公差，＄n$为项数。

2、等差数列的性质：（1）若$m ＋ n ＝ p ＋ q$，则$a_m ＋ a_n ＝ a_p ＋ a_q$。

（2）＄a_n a_m ＝（n m)d$。

四、新课导入高斯是德国著名的数学家，他在小学时就表现出了非凡的数学才能。

有一次，老师让同学们计算 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ 100 的和。

高斯很快就得出了答案 5050。

他是怎么算的呢？原来，高斯发现 1 ＋ 100 ＝ 101，2 ＋ 99 ＝ 101，3 ＋ 98 ＝101，……，50 ＋ 51 ＝ 101，一共有 50 组这样的和，所以总和为50×101 ＝ 5050。

这种方法可以推广到求任意等差数列的前 n 项和。

五、等差数列前 n 项和公式的推导方法一：倒序相加法设等差数列$＼｛a_n\｝＄的首项为$a_1$，公差为$d$，前 n 项和为$S_n$。

则$S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots ＋ a_n$ ①将上式倒序可得：＄S_n ＝ a_n ＋ a_{n 1} ＋ a_{n 2} ＋＼cdots ＋ a_1$ ②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n 1}）＋＼cdots ＋（a_n ＋a_1)＼＼＆＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_1 ＋ a_n) ＋＼cdots ＋（a_1 ＋ a_n)＼＼＆＝n(a_1 ＋ a_n)＼end{align}＼所以$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄方法二：通项公式法因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$所以$S_n ＝ a_1 ＋（a_1 ＋ d) ＋（a_1 ＋ 2d) ＋＼cdots ＋ a_1 ＋（n 1)d$＼＼begin{align}S_n&＝na_1 ＋ d(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋（n 1)）＼＼＆＝na_1 ＋＼frac{n(n 1)｝｛2}d＼end{align}＼又因为$a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d$，所以$a_1 ＋ a_n ＝ a_1 ＋ a_1 ＋（n 1)d ＝ 2a_1 ＋（n 1)d$则$S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＄六、等差数列前 n 项和公式的性质1、若数列$＼｛a_n\｝＄是等差数列，＄S_n$为其前 n 项和，则$S_{2n 1} ＝（2n 1)a_n$。

【新教材精创】5.2.1 等差数列(1) 导学案(人教B版高二选择性必修第三册)

5.2.1 等差数列(1) 导学案1.理解等差数列的概念,并能利用等差数列的定义判断或证明一个数列是否为等差数列.2.掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念.3.掌握等差数列的性质,并能在具体问题中正确应用.4.了解等差数列与一次函数的关系.重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的函数特征1．等差数列的概念文字语言如果一个数列从第__项起，每一项与它的______的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示符号语言 a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)2 ；前一项；同一个常数；常数；d2.等差数列的通项公式一般地,若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则通项公式为：a n =a 1+(n-1)d . 点睛：等差数列的通项公式a n 中共含有四个变量,即a 1,d ,n ,a n,如果知道了其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量.3.从函数角度认识等差数列{a n} 若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )．(1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d4.等差数列的性质：一般地，如果{a n}是等差数列，而且正整数s,t,p,q 满足s +t=p+q 则a s +a t =a p +a q.特别地，如果2s=p+q，则2as =ap+aq.一、问题探究问题：观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

我国有用12生肖纪年的习惯，例如.2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017 ，2029， 2041，2053，2065 ，2077，…；①我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250。