三角函数基础知识(同名8879)

三角函数

基础知识整理

一．角的概念：

1．角的概念的推广

⑴“旋转”形成角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射

线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

⑵．“正角”与“负角”“0角”

⑶意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了，角的概念推广以后，

它包括任意大小的正角、负角和零角．

2．“象限角”

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，

则此角不属于任何一个象限）

3．终边相同的角

结论：所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合：

{

}

Z k k S ∈⋅+==,360|ο

αββ

即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意： (1)Z k ∈ (2)α是任意角；

(3)0

360⋅k 与α之间是“+”号，

如：0

360⋅k -30°，应看成0

360⋅k +(-30°)；

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

二． 弧度制：

1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad 读作

弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．

如下图，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad

2．弧长公式：α⋅=r l

由公式：⇒=

r l α α⋅=r l 比公式180r n l π=简单 即弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 3．扇形面积公式 lR S 2

1

=

其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径

o

R S

l

三． 三角函数的定义：

1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222

2>+=

+=y x y

x r

2. 比值

r y

叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x

叫做α的余弦 记作： r x =

αcos 比值x

y

叫做α的正切 记作： x

y =

αtan 比值

y

x

叫做α的余切 记作： y x =αcot

比值x r

叫做α的正割 记作： x

r =αsec

比值

y

r

叫做α的余割 记作： y r =αcsc

以上六种函数，统称为三角函数. 3. 突出探究的几个问题：

①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. ⑤定义域：

r y

=

αsin 的定义域： R r x

=αcos 的定义域：R

x y =

αtan 的定义域：⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα

注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都

与x 轴的非负半轴重合. (2)比值只与角的大小有关.

r

y)

(x,α

P

4． 三角函数在各象限内的符号规律：正弦在第一、二象限为正；

余弦在第一、四象限为正； 正切在第一、三象限为正.

四． 诱导公式：

1．必须熟记的两组诱导公式：

诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成

ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k

诱导公式二：

αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）

2. 诱导公式的变形规则：奇变偶不变，符号看象限.

诱导公式三： 用弧度制可表示如下：

ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）

诱导公式四： 用弧度制可表示如下：

αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+） αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+） ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）

诱导公式五： 用弧度制可表示如下：

ααcos )90sin(=-︒ ααπ

cos )2

sin(

=-

ααsin )90cos(=-︒ ααπ

sin )2

cos(=-

ααcot )90tan(=-︒

ααπ

cot )2

tan(

=-