质点系动量定理和质心运动定理
2-3 动量 动量守恒定律 质心运动定理
mb 2mg
推开后速度
初始速度
v g 0 vb0 0
且方向相反
则 则
v g 2vb
推开前后系统动量不变
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
p p0
p 0
p0 0
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
6
讨论
动量的相
S
S
对性和动量定 理的不变性 参考系 t1 时刻
t2 t1 n n t2 F ( i 外 )dt i 1 n n t2 n n 1 j 1 t1 i 1 ji i 1 i i2 i 1 i i1
t1
i 1
t1
第2章
n 运动定律与力学中的守恒定律
n
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
5
注意
内力不改变质点系的动量
F Fm
F
t
Fdt F (t2 t1 )
o
t1
t2
t
2–3 动量 动量守恒定律 *质心运动定理
8
问：为什么迅速地把盖在杯上的薄板从侧面打去， 鸡蛋就掉在杯中；慢慢地将薄板拉开，鸡蛋就会和薄 板一起移动？
答：因为鸡蛋和薄板间的摩擦力有限，若棒打击 时间很短， F t 0, P 0 所以鸡蛋就 f 蛋 掉在杯中.
j
f ji 0 t
n n 1 i 1 j 1
i 1 j 1 质点系总动量的增量等于作用于该系统上合外力的冲量
n )d n f t ( ( F )dt mi vi 2 mi v i1 n t t i外 n n 1 1 m v 2 m 2 i 1 i 1 v i 1 ( F )d t ( f )d t i 外 ji
理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
3.3--质心--质心运动定理
x1
l
S
xc
mx1 Mx2 mM
O
x2' S
x
终了时，系统质心位置
xc
mx1 m
Mx2 M
x2
M (x2 x2 ') m(x1'x1)
S
lS
解得 S ml mM
s l S Ml mM
例3 如图 已知：M , m,l ，地面光滑。 m, l o
起初：单摆水平，静止。
mg
求：下摆至 时，车的位移。
i
而
mi m
i
mii P
P mii i
i
C
P mc
mc
m
2. 质心运动定理——质点系的动量定理
F外
m
dc
dt
＝mac
ac miai / mi
i
i
dP F外 dt
t2 t1
F外dt
P
dP
P0
讨论
1）质点系动量定理微分和积分形式：
F外 mac
（F外
dP） dt
t2 t1
F外dt
rC
×
C
c
在质心系中考察质点系的运动。 x O
y
由于质心vc=0，所以质心系是一 个零动量参考系
O系为惯性系
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
d
dm
x Rcos y Rsin
yc
ydm
M
π 0
Rsin M Rd
πR
2R
M
π
O
x
xc 0
说明
几何对称性
(1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上；
质点动量定理.pptx
1
Yc m
1 yCdm m
R
0 y边 (2x边dy边)
1 R
m
0
y边 (2
R2
y边2 dy边 )
4R 3π
dy边
yC
y边
即质心位置为
0,
4R 3π
。
8
第9页/共47页
(4) 多个规则形状物体组成系统的质心 多个规则形状物体组成系统的质心，可先找到每
个物体的质心，再用分立质点系质心的求法，求出公 共质心。
它们置于一质量也为 m 的槽的底部。槽置于光滑的水
平面上。释放后，球最终静止于槽的底部，问此时槽移
动了多远？
解：水平方向动量守恒,质心位置不变
xC0 xC
xC 0
2m 0 3m
mR
3mx xC 3m
解得： x 1 R 0 向右移动
3 27 第28页/共47页
例4.1.2-2 一物体在光滑水平面上以 5m/s的速度沿 x
由牛顿第二定律原始表达式：
对上式积分得：
F d(mv) dt
定义：
t t
Fdt mv(t t) mv(t) t P mv 称为质点的动量
tt
I Fdt
称为力在 t 时间内的冲量
t
质点的动量定理: 外力冲量等于质点动量的改变量
16
第17页/共47页
例4.2.1-1 一质量为 0.15 千克的棒球以 v0 40m/s 的
(3)
1
yc
mA yA mB yB mD yD mA mB mD
4mD (2) 2mD (1) mD (8) 4mD 2mD mD
2
zc
mA zA mB zB mD mA mB mD
质点动力学-动量及动量定理 (2)
用于桌面的压力，等于
已落到桌面上的绳重力
x
的三倍。
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时 间内将有质量为dx（Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率为：
o
dx dx dP dt dt dt
x
一维运动可用
标量
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
但在某个方向上合外力分量为 0，这个方向上的
动量守恒。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的
过程中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多） 可近似认为动量守恒。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。
略去二阶小量，两端除dt
对系统利用动量定理
d d m ( m v ) u F d t d t
dm u 为尾气推力。 dt
变质量物 体运动微 分方程
值得注意的是，dm可正可负，当dm取负时， 表明物体质量减小，如火箭之类喷射问题，
变质量问题
变质量问题的处理方法
(1)确定研究系统 (2)写出系统动量表达式
dP v2 ax dt
F xg N ( l x ) g
X
F xg
根据动量定理，得到
F a
xg
N
x
O
dP 3 ax F xg dt F xg 3 xa
( l x ) g
变质量问题
例 2 ：列车在平直铁轨上装煤 , 列车空载时质量为 m0, 煤炭 以速率v1竖直流入车厢,每秒流入质量为。假设列车与轨 道间的摩擦系数为,列车相对于地面的运动速度 v2保持不 变,求机车的牵引力。
3.2质点系的动量定理
v0
dm 时间内的火箭受喷射燃料的 火箭受喷射燃料的推进力 dt 时间内的火箭受喷射燃料的推进力 F = u dt
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号待命飞天
注：照片摘自新华网
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
神舟六号点火升空
要增大v 需要提高火箭的质量比 要增大v：需要提高火箭的质量比 或增大喷气速度u 推动力：以喷出的燃料d 2 推动力：以喷出的燃料dm为研究对象 时间内的动量变化率为燃料受火箭力 dt 时间内的动量变化率为燃料受火箭力
dm[(υ − u ) − υ ] dm F= = −u dt dt
m0 火箭速度v v m dm ∫v0 d v = − u ∫m0 m
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
6.当质点之间有相对运动时， 6.当质点之间有相对运动时，应运用伽利 当质点之间有相对运动时 略速度变换建立相对于同一惯性系的动量 定理。 定理。 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 7.质点系的动量守恒定律是自然界一切物理 质点系的动量守恒定律是 过程的基本定律， 最普遍、 过程的基本定律，是最普遍、最基本的定律 之一．在宏观和微观领域均适用。 之一．在宏观和微观领域均适用。
v v t′ 所以： 所以：I = ∫ ( ∑ Fi )dt = ∑
t i i
∫
t′
t
v v Fi dt = ∑ I i
i
质点所受外力的总冲量等于各分力冲量之和
3.2 质点系的动量定理及动量守恒 3.2质点系的动量定理及动量守恒
t2 r r 再看内力冲量之和 ∑∫ Fint,tdt = ∫ (∑Fint,t )dt i t1 t1 i r 因为内力之和为零： 因为内力之和为零：∑ Fint,t = 0 i t2 r 结论 内力的冲量之和为零 ∑ ∫ Fint,t dt = 0 t2
质心与质心运动定律
质心与质心运动定律一、质心1. 定义我们先来回顾一下牛顿第二定律:是对单个质点而言的,由于质点系内各质点的运动情况各不相同,加速度也各不相同,并不能简单的等效于 (M是体系的总质量),但对质点系而言,确实存在一个特殊点C,而使成立,这个ac是该特殊点C的加速度.这个特殊点称为质心.2. 质心的位置如果将质点系各质点参量记为mi 、ri、vi、xi、yi、zi……，质点系质心记为C则对于由两个质点构成的简单质点系，质心在它们连线上，将这两个质点的质量分别记为m1和m2，间距记为l，那么质心与两者的间距依次为：二、质心运动定律1.质心动量定理：外力对体系的冲量等于质心动量的增量。
2.质心运动定律：体系总质量与质心加速度的乘积等于外力的矢量和，或者说，在诸外力作用下，体系质心的加速度等于质量为体系总质量的质点在这些外力共同作用下的加速度。
对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
三、习题1.试求匀质三角形板的质心位置。
答案：三条中线的焦点：即几何中的重心2. 试求匀质三角形框架的质心位置。
答案：三边中点构成的小三角形的内心。
3. 一轻弹簧两端各系有质量分别为m和2m的物块，用系于质量为m的物块上的细线悬挂在支点O上，如图。
今将细线突然剪断，求该瞬时体系质心的加速度。
答案：g。
4. 用质心运动定理解：长为l、总质量为m的柔软绳索盘放在水平台面上。
用手将绳索的一端以恒定速率vo向上提起，求当提起高度为x时手的提力F。
5. 如图所示，用劲度系数为k的轻弹簧连接质量分别为m1、m2的木块，放在光滑的水平面上。
让第一个木块紧靠竖直墙，在第二个木块的侧面上施加水平压力，将弹簧压缩l长度。
撤去这一压力后，试求系统质心可获得的最大加速度值和最大速度值。
多说两句：体系的总动量为：质心的动能为：质点系相对质心的动能为：质点系的总动能为：（克尼希定理）☆在使用质心参照系时要特别主要克尼希定理的使用！。
第八章质心运动定理动量定理
第八章 质心运动定理 动量定理一、目的要求1．质点系（刚体、刚体系）是动力学的主要力学模型，解决质点系（刚体、刚体系）动力学问题的主要方法有三类：（1）达朗伯原理；（2）动力学基本定理；（3）动力学普遍方程和拉格朗日方程。
2．对质点系（刚体、刚体系）的质心、动量有清晰的理解，能熟练地计算质点系（刚体、刚体系）的动量，能熟练地应用质点系的动量定理、质心运动定理（包括相应的守恒定律）求解动力学问题。
二、基本内容1．基本概念质点系的质心、质点系（刚体、刚体系）的动量、2．主要公式（1）质点系（刚体、刚体系）质心的计算1）矢径形式 M r m r i i c ∑= 或 Mr m r ic i c ∑= 2）直角坐标形式Mx m x i i c ∑=，M y m y i i c ∑=，M z m z i i c ∑= 其中 k z j y i x r i i i i ++=为第i 个质点到固定点O 的矢径。
k z j y i x r c c c c ++=为质点系的质心到固定点O 的矢径。
ic r 为第i 个刚体的质心到固定点O 的矢径。
m i 为第i 个质点的质量，i m M ∑=为质点系（刚体、刚体系）的质量。
（2）质点系（刚体、刚体系）动量的计算1）矢径形式 c i i v M v m P =∑=2）投影形式ix i x v m p ∑=，iy i y v m p ∑=，iz i z v m p ∑=，222z y x P P P P ++=注意：动量是矢量，需要时还要计算动量的方向。
（3）动量定理（质心运动定理）∑==n i (e)i F dt p d 1 )(1∑==n i (e)i c F a M 式中∑===n i c i i v M v M p 1 ，是质点系某瞬时的动量，∑=n i e i F 1)( 是质点系所受外力的主矢量。
c a 为质点系心的加速度。
三、重点和难点1．重点：（1）质点系（刚体、刚体系）质心、动量的计算。
质点系动量定理
一、质点系动量定理
一个由n个质点组成的质点系，对于每个质点有
n d F1 f1i m1v1 dt i 1 n d F2 f 2i m2 v2 dt i2
n d Fn f ni mn vn dt in
yc 0
下面只要求 xc 上面腰的直线方程为：
yx
在薄板上任意选择一个面积微元，微元上每一点 的水平坐标值都为x，微元的面积为：
ds 2 ydx 2 xdx
设薄板质量面密度为
，则微元质量为：
dm ds 2 xdx
整个薄板的水平质心坐标为：
xc
xdm dm
mL 。 M m
人走船动
法2：利用质心运动定理
xC
M L m
O
m
L M + mL 2 初始状态 xC = M +m
末状态
xC
M
L M( + l ) + ml 2 xC = M +m
l
x
比较得
mL l= M +m
人走船动
法3：利用动量守恒定律
v人地
m
0 m v人地 M v船地
M L m
t
此式表明，外力矢量和在某一方向的冲量等于在 该方向上质点系动量分量的增量。
二、质心 n个质点组成的质点系的质心位置为
m r m r m r 2 2 n n rC 1 1 m1 m2 mn mi ri
i 1 n n
mi
i 1
由于质心位置不变
任意时刻质心 坐标：
动量定理 质心运动定理
动量定理质心运动定理动量定理质心运动定理质点的动量定理可以表述为:质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式d(mv),Fdt表达为 (17-7)d(mv),Fdt (17-8)tptp2211设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，将(17-8)式积分，积分区tt21间为从到，得t2p,p,Fdt21,t 1 (17-9)t2Fdt,I,tttF211记，称为力在到时间间隔内的冲量。
式(17-9)为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
(e)(i)MFFiii对于质点系而言，设为质点所受到的外力，为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得dv(e)(i)im,F，F(e)(i)iiima,F，Fdtiiii 即mi除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量不dmv()(e)(i)ii,F，Fiidt变，则有上式对质点系中任一点都成立，n个质点有n个这样的方程，把这n个方程两端相加，得ndm(v),iinn()()ei,1i,，FF,,iidt,1,1iinn(e)(i)FF,,iii,1i,1 质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和等于零。
上式中是质点dp(e),F(e)RFdtR系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作，则上式可写为(17-10)1这就是质点系动量定理的微分形式，它表明:质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
(e)dp,Fdt 将式(17-10)写成微分形式 Rtptptt222111 设时刻质点系的动量为，时刻质点系的动量为，上式从到积分，得t2(e)p,p,Fdt21R,t,I1 (17-11)p,p0 当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
第11页/共19页
[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
第8页/共19页
§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
第九章 动量定理
第九章动量定理第1节质点动量定理一、动量质点的动量:质点的质量m与其速度v的乘积mv称为质点的动量。
动量是矢量，其方向与质点速度的方向相同。
二、力的冲量力的冲量表示力在一段时间间隔内对物体作用的累积效应。
力与其作用时间的乘积称为力的冲量，用I表示。
力的元冲量dI=Fdt它的方向与力的方向相同。
力在时间间隔t 2 − t 1 内的冲量为I= ∫ t 1 t 2 Fdt三、质点的动量定理1.质点动量定理的微分形式质点动量对时间的导数等于作用于它的力，即d(mv) dt =F (9-1-1-1)表明质点动量的变化率等于作用在质点上的合力，此即为质点的动量定理的微分形式。
或质点动量的微分等于作用力的元冲量，即d(mv)=Fdt =dI (9-1-1-2)2.质点动量定理的积分形式质点的动量在一段时间间隔内的变化量，等于作用在质点上的力在该段时间间隔内的冲量，又称为质点的冲量定理，即m v 2 −m v 1 = ∫ t 1 t 2 Fdt =I (9-1-1-3) 式（9-1-1-3）表明，在任一段时间内，质点动量的增量等于作用在质点上的力在同一段时间的冲量。
将上式投影到固定直角坐标轴系上，有m v 2x −m v 1x = ∫ t 1 t 2 F x dt = I x m v 2y −m v 1y = ∫ t 1 t 2 F y dt = I y m v 2z −m v1z = ∫ t 1 t 2 F z dt = I z四、质点动量守恒若作用于质点上的力为零，F=0，则有mv＝常矢量质点动量保持不变。
若 F x =0 ，则有m x =常量质点动量在轴x方向保持不变。
例1质量为1kg的小球，以v 1 =4m/s 的速度与一固定水平面相碰，其方向与铅垂线成α= 30 ∘角。
设小球弹跳的速度为v 2 =2m/s ，其方向与铅垂线成β= 60 ∘角，如图所示，试求作用于小球上的冲量的大小和方向。
图9-1-1-1 例1图解：考虑小球，取坐标轴xoy , 根据投影形式的质点动量定理图9-1-1-2 例1题解图− I x =m v 2 sinβ−m v 1 sinα I y =m v 2 cosβ−(−m v 1 cosα)代入数值得：I x =0.27kg⋅m/s I y =4.46kg⋅m/s大小：I= I x 2 + I y 2 = 0.27 2 + 4.46 2 =4.47(kg⋅m/s)方向：tanθ= I x I y = 0.27 4.46 =0.0605 θ= 3 0 28 '第2节质点系动量定理一、质点系的动量质点系的动量:质点系内各质点动量的主矢量和称为该质点系的动量主矢，简称为质点系的动量，它等于质点系的质量m与其质心速度V c 的乘积，即P= ∑ m i v i =m V c (9-2-1-1)二、质点系动量定理有n个质点组成的质点系， F ii 为内力、 F ie 为外力。
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
理论力学PPT课件第5章 动量定理、质点系动量定理、质点系动量矩定理
A
o
G
B
x
2020年4月20日
15
偏心电机
e m2
F Oy
FOx
思考：偏心电机转动时，支座的动约束力为多大？
2020年4月20日
16
3.动量守恒与质心运动守恒
动量守恒 若：FRe＝0 则：p = 常矢量 若：FRex＝0 则：px = 常量
质心运动守恒（不动）
1) 若 FRe 0
ac 0
由动量矩定理：
dLOz dt
M
e Oz
d d t(2 W gr2A2 W gr2 BW gvC2 r)M W 2 r
2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
2020年4月20日
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2 W gr2A2 W gr2BW g2raCM 2 W r
补充运动学方程
aCrArB
2W graCW g2raCM2Wr
LA ri'm ivi' vi'— 相对速度
(3)绝对动量矩与相对动量矩的关系 LAL'AAC (mA)， v c为质心，
当AC＝0，即，动点为质心C时 LC＝LC —对质心的绝对与 量相 矩对 相动 等
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3.刚体的动量矩（对定点A）
（1）平移刚体的动量矩
L A r i ' m iv c A (C v m c ) A P C
Mce 0,Lc守恒 .
O
FT
C
GV
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思考：猴子爬绳比赛，已 m A 知 m B ,vA rv B.r
答：若不计绳与滑轮的质量，则 v1a v2a
若考虑绳与滑轮的质量，则 m AvArm BvBrJoω
2_9质心与质心运动定理
例3 有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落 地点为xC 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相 等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水 平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。
解： 在爆炸的前后，质心始终
只受重力的作用，因此， 质心的轨迹为一抛物线， 它的落地点为xc 。
m1 x1 m2 x2 xC m1 m2 mx2 xC 2m
dV r 2 dz
而
r a sin z a cos , 2 dV a sin d a cos
a 1 cos d cos
3 2
r a sin
z
z a cos x
a
0 设 u cos ，则 v z dV zdV a 4 1 1 u2 udu 2 a 3 zc 0 3 V dV
x1c R
y
O
x
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
2
3 余下的质量为 m2 R 2，质心坐标用 x 2 c表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2 c 2 4 0 4 2 R
R x2c 6
例2
求半径为a的均质半圆球的质心
解：如图，以球心O为原点建立坐标系.将半球体划 分为若干半径为r厚为dz的平板状薄圆，体积元为dV
令
m1r1 m2 r2 rc m1 m2
（2）n个质点系统
分量形式
xc
i
rc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i
动量定理 质心运动定理
动量定理 质心运动定理质点的动量定理可以表述为：质点动量的微分，等于作用于质点上力的元冲量。
用公式表达为 Fv =)(m dt d（17-7）dt m d F v =)( （17-8）设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，将（17-8）式积分，积分区间为从1t 到2t ，得⎰=-2112t t dtF p p （17-9）记IF =⎰21t t dt ，称为力F 在1t 到2t 时间间隔内的冲量。
式（17-9）为质点系动量定理的积分形式，它表明质点系在某时间间隔内的冲量的改变量，等于作用在质点系上的外力主矢在该时间间隔内的冲量。
对于质点系而言，设)(e i F 为质点i M 所受到的外力，)(i i F 为该质点所受到的质点系内力，根据牛顿第二定律得)(i i (e)ii i m F F a += 即)()(i i e i iidt d m F F v +=除了火箭运动等一些特殊情况，一般机械在运动中可以认为质量不变。
如果质点的质量i m 不变，则有 )()()(i i e i i i dt m d F F v +=上式对质点系中任一点都成立，n 个质点有n 个这样的方程，把这n 个方程两端相加，得∑∑∑===+=ni i i ni e ini i i dtm d 1)(1)(1)(F F v质点系的内力总是成对地出现，内力的矢量和∑=ni i iF1)(等于零。
上式中∑=ni e iF1)(是质点系上外力的矢量和，即外力系的主矢，记作)(e RF ，则上式可写为)(e R dt d F p= （17-10）这就是质点系动量定理的微分形式，它表明：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和。
将式（17-10）写成微分形式dt d e R )(F p =设1t 时刻质点系的动量为1p ，2t 时刻质点系的动量为2p ，上式从1t 到2t 积分，得⎰=-21)(12t t e R dtF p p I =（17-11）当外力主矢为零时，由上式可推出质点系的动量是一常矢量，即0p p =这表明当作用在质点系上的外力的矢量和为零时，质点系的动量保持不变，这就是质点系的动量守恒定理。
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只决定于系统的外力，内力不
影响质心的运动.
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第三章 动量 牛顿运动定律 3.说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 因与m有关，所以是动力学概念.
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几
何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
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第三章 动量 牛顿运动定律 几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的.
(2) I Fdt 是过程量,积分效果 动 量 改 变 .
(3)动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应 计入惯性力的冲量.
m ——总质量.
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第三章 动量 牛顿运动定律 质点系中存在一个特殊点C ， 令
rc
m i ri m
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心). 在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi z i m
对由两个质点组成的质点系，有
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2 2 d rc d mrA mrB mrD 3W 3m 2 3m 2 3m dt dt a A aB a D 3 g
第三章 动量 牛顿运动定律 得 或
a Bx 3 g 5
aB y 1 (11 3 3 ) g 5
aA
aB
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aD
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第三章 动量 牛顿运动定律 [解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
a A , a B , a D 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
6 a B x g sin 30 0 5 4 6 a B y g g cos 30 3 g 5 5
x
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第三章 动量 牛顿运动定律
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建
立直角坐标系Oxy.
到达车厢前一瞬间，煤的速度 v v0i 2 gh j
到达车厢后速度为零.
质点系动量的改变量 Δp (m0v0i m0 2 gh j ) 1 1 Δp 单位时间内车厢对煤的冲量 FN
2 2 aB aB a B y 1.31g x
a Bx arctan 27 20 a By
A
y D O B
aA
W
aD W aB
x W
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.3 质点系相对于质心系的动量
质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参 考系平行. 质点系相对质心坐标系的动量
煤落到车厢时煤对车厢的冲力
1 (m0v0i m0 2 gh j ) FN1 FN
取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
2 m0 gtj FN
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第三章 动量 牛顿运动定律 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
FN FN1 FN2 m0v0i m0 ( gt 2 gh ) j
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
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第三章 动量 牛顿运动定律
x2 xc m1 xc x1 m2
距离与质点质量成反比.
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点
Fi
i
d( pi ) dt
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和.
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第三章 动量 牛顿运动定律
( Fi )dt d( pi )
i
质点系动量定理积分形式 t Fi )dt p p0 t 0 ( i 在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质 点系外力矢量和在这段时间内的冲量，此即用 冲量表示的质点系的动量定理.
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题3] 一质点系包括三质点，质量为 m1 1单位
m2 2单位 和 m3 3单位 ，位置坐标各为
m1 (1,2), m2 (1,1)和m3 (1,2) 求质心坐标.
[解] 质心坐标
m1 x1 m2 x2 m3 x3 xc m1 m2 m3
等)求解.
t
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第三章 动量 牛顿运动定律
[例题1]火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物
的密度为 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭 的速度)为 v ，求火箭所受推力. [解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系. dt 时间内喷出气体质量
dm vSdt
dm喷出前后动量改变量为 dp vSdt v
由动量定理
dp vS v F dt
F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力 Fx Sv 2 向下
2 Sv 火箭所受推力，也等于
向上
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第三章 动量 牛顿运动定律 [例题2]如图表示传送带以水平速度 v0 将煤卸入静止车 厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶 部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑 煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力. O y
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.2 质心运动定理
1.质心 质点系动量定理 而 有
dri vi dt
d Fi dt ( mi vi ) i
d2 Fi dt 2 ( mi ri ) i
2 d mi ri Fi m dt 2 ( m ) i
m1
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第三章 动量 牛顿运动定律 2.质心运动定理
2 2 m r d rc d i i Fi m dt 2 ( m ) m dt 2 mac i
即
Fi mac
——质心运动定理
质心的行为与一个质点相同. 注： 在动力学上,质心是整个 质点系的代表点，质心的运动
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第三章 动量 牛顿运动定律 (4)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量 式求解, 如 x 轴分量式
Fix
i
d( pix( i
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量. 也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7 质点系的动量定理 和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理 §3.7.2 质心运动定理 §3.7.3 质点系相对于质心系的动量
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第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7 质点系的动量定理
和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理
质点系——有相互作用的若干个质点组成的系统. 内力——系统内各质点间的相互作用力. 外力——系统以外的其它物体对系统内任意一质 点的作用力. 质点系动量 定理微分形式
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第三章 动量 牛顿运动定律
[例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
4 跳伞.由于作了某种动作，运动员D 质心加速度为 5 g
6 g 5 ，与铅直方向
铅直向下；运动员 A 质心加速度为
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的 质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员 出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力. A B D
xc
m1 y1 m2 y2 m3 y3 yc m1 m2 m3 y
m2
1 ( 1) 2 ( 1) 3 1 0 3 21 1 ( 2) 2 1 3 2 yc 1 3 21
*C O
m3
x
质心在图中的 * 处.
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d mi ric Pc mi v ic m （ ） i dt m m i ric 而 0 （质心系中质心位置矢量） m Pc 0
即质点系相对质心坐标系的动量总为零.
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