质点系动量定理和质心运动定理

上页 下页 返回 结束
2 2 d rc d mrA mrB mrD 3W 3m 2 3m 2 3m dt dt a A aB a D 3 g
第三章 动量 牛顿运动定律 得 或
a Bx 3 g 5
aB y 1 (11 3 3 ) g 5
d mi ric Pc mi v ic m （ ） i dt m m i ric 而 0 （质心系中质心位置矢量） m Pc 0
即质点系相对质心坐标系的动量总为零.
上页 下页 返回 结束
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.2 质心运动定理
1.质心 质点系动量定理 而 有
dri vi dt
百度文库
d Fi dt ( mi vi ) i
d2 Fi dt 2 ( mi ri ) i
2 d mi ri Fi m dt 2 ( m ) i
Fi
i
d( pi ) dt
质点系动量对时间的变化率等于外力的矢量和.
上页 下页 返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律
( Fi )dt d( pi )
i
质点系动量定理积分形式 t Fi )dt p p0 t 0 ( i 在一段时间内质点系动量的增量等于作用于质 点系外力矢量和在这段时间内的冲量，此即用 冲量表示的质点系的动量定理.
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律 几点说明 (1)只有外力对体系的总动量变化有贡献，内力对 体系的总动量变化没有贡献，但内力对动量在体 系内部的分配是有作用的.
(2) I Fdt 是过程量,积分效果 动 量 改 变 .
(3)动量定理只适用于惯性系, 对非惯性系，还应 计入惯性力的冲量.
xc
m1 y1 m2 y2 m3 y3 yc m1 m2 m3 y
m2
1 ( 1) 2 ( 1) 3 1 0 3 21 1 ( 2) 2 1 3 2 yc 1 3 21
*C O
m3
x
质心在图中的 * 处.
上页 下页
m1
返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律 2.质心运动定理
2 2 m r d rc d i i Fi m dt 2 ( m ) m dt 2 mac i
即
Fi mac
——质心运动定理
质心的行为与一个质点相同. 注： 在动力学上,质心是整个 质点系的代表点，质心的运动
由动量定理
dp vS v F dt
F 表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力 Fx Sv 2 向下
2 Sv 火箭所受推力，也等于
向上
下页 返回 结束
上页
第三章 动量 牛顿运动定律 [例题2]如图表示传送带以水平速度 v0 将煤卸入静止车 厢内。每单位时间内有质量为 m0 的煤卸出，传送带顶 部与车厢底板高度差为h，开始时车厢是空的，不考虑 煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力. O y
x
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系，并建
立直角坐标系Oxy.
到达车厢前一瞬间，煤的速度 v v0i 2 gh j
到达车厢后速度为零.
质点系动量的改变量 Δp (m0v0i m0 2 gh j ) 1 1 Δp 单位时间内车厢对煤的冲量 FN
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律 (4)动量定理是矢量式,应用时可用沿坐标轴的分量 式求解, 如 x 轴分量式
Fix
i
d( pix ) dt
Fix )dt p x p0 x t 0 ( i
即冲量在某一方向上的分量等于该方向上动量的增量. 也可采用作图法，按几何关系(余弦定理、正弦定理
等)求解.
t
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
[例题1]火箭沿直线匀速飞行，喷射出的燃料生成物
的密度为 喷口截面积为S，喷气速度(相对于火箭 的速度)为 v ，求火箭所受推力. [解] 选择匀速直线运动的火箭为参考系，是惯性系. dt 时间内喷出气体质量
dm vSdt
dm喷出前后动量改变量为 dp vSdt v
aA
aB
上页
aD
下页 返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律 [解] 将三运动员简化为质点系，受外力只有重力，W表
示各运动员所受重力. 建立直角坐标系，m表示各运动
员质量，根据质心运动定理，
a A , a B , a D 表示各运动员质心的加速度.将上式投影
6 a B x g sin 30 0 5 4 6 a B y g g cos 30 3 g 5 5
m ——总质量.
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律 质点系中存在一个特殊点C ， 令
rc
m i ri m
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心). 在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi z i m
对由两个质点组成的质点系，有
上页 下页 返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律
[例题4]三名质量相等的运动员手拉手脱离飞机作花样
4 跳伞.由于作了某种动作，运动员D 质心加速度为 5 g
6 g 5 ，与铅直方向
铅直向下；运动员 A 质心加速度为
成 30 ，加速度均以地球为参考系.求运动员B 的 质心加速度. 运动员所在高度的重力加速度为g. 运动员 出机舱后很长时间才张伞，不计空气阻力. A B D
2 2 aB aB a B y 1.31g x
a Bx arctan 27 20 a By
A
y D O B
aA
W
aD W aB
x W
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7.3 质点系相对于质心系的动量
质心坐标系——以质心为原点，坐标轴总与基本参 考系平行. 质点系相对质心坐标系的动量
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7 质点系的动量定理 和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理 §3.7.2 质心运动定理 §3.7.3 质点系相对于质心系的动量
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律
§3.7 质点系的动量定理
和质心运动定理
§3.7.1 质点系动量定理
质点系——有相互作用的若干个质点组成的系统. 内力——系统内各质点间的相互作用力. 外力——系统以外的其它物体对系统内任意一质 点的作用力. 质点系动量 定理微分形式
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律 [例题3] 一质点系包括三质点，质量为 m1 1单位
m2 2单位 和 m3 3单位 ，位置坐标各为
m1 (1,2), m2 (1,1)和m3 (1,2) 求质心坐标.
[解] 质心坐标
m1 x1 m2 x2 m3 x3 xc m1 m2 m3
只决定于系统的外力，内力不
影响质心的运动.
上页
下页
返回
结束
第三章 动量 牛顿运动定律 3.说明： (1)质心不是质点位矢的平均值，而是带权平均值， 因与m有关，所以是动力学概念.
推论：质量均匀分布的物体，其质心就在物体的几
何中心. (2)质心的位矢与坐标原点的选取有关，但质心与 体系各质点的相对位置与坐标原点的选取无关. (3) 质心与重心的区别 质心是质点系全部质量和动量的集中点； 重心是重力的合力的作用点. 质心的意义比重心的意义更广泛更基本.
m1 x1 m2 x2 xc m1 m2
m1 y1 m2 y2 yc m1 m2
上页 下页 返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律
x2 xc m1 xc x1 m2
距离与质点质量成反比.
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点
煤落到车厢时煤对车厢的冲力
1 (m0v0i m0 2 gh j ) FN1 FN
取煤到达空车厢时为计时起点，车厢对煤的支撑力
2 m0 gtj FN
上页 下页 返回 结束
第三章 动量 牛顿运动定律 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即
FN FN1 FN2 m0v0i m0 ( gt 2 gh ) j