品质手法直方图及正态分布知识

定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则 Y X ~N(0,1)

根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
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三、正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
P(|Y | ) 0.6826 P(|Y | 2 ) 0.9544 P(|Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内.
这在统计学上称作“3 准
则”。
P(|X| 1)=2(1)-1=0.6826
P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3] 区间内，超出这个范围的可能性仅占不 到0.3%.
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将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2)时，
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请大家想一想，实际生活中以及 工作种具有这种特点的随机变量还有 哪些呢？
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除了我们在前面遇到过的年降雨量外, 在正常条件下各种产品的质量指标，如零 件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成 年男子的身高、体重；农作物的产量，小 麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的 水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从 或近似服从正态分布.
x=μσ 为f (x)的两个拐点的横坐标.
拐点坐标为 ,
1
2
1
e2

,在 , 内是凸的,其它范围内是凹的。
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根据对密度函数的分析，也可初步画 出正态分布的概率密度曲线图.
极大值点
拐点
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二、正态曲线（ normal curve ）
2
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f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴. 即f (x)以x轴为渐近线.
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f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
f(X)

图形特点：
1. 钟型 2. 中间高 3. 两头低 4. 左右对称 5. 最高处对应于X轴
的值就是均数
6. 曲线下面积为1 7. 标准差决定曲线
的形状
X
N (1,0.82 )
0.6 f (X )
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0.5 N(0,12 )
0.4
0.3
N(1,1.22 )
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
Carl Friedrich Gauss
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正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是给出它的概率密度函数.
一、正态分布的定义
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如果连续随机变量的概率密度为 ：
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 2 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 2的正态分布.
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
（4）服从正态分布的总体特征
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产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。
它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、
技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都 相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因 素。
一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机 因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起 到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被 认为服从正态分布。
记作 X ~ N (, 2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
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正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点.
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正态分布N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
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0, 1的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用( x)和(x)表示：
(x)
(x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
e 2 dt
2
( x)
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标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.它的依据是下面的定理：
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—正态分布
天津丰通汽车零部件 装配有限公司
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正态分布：
也称常态分布，是统计学中一种应用广泛的连续分布， 用来描述随机现象。首先由德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855）发现，所以亦称高斯分布。 正态分布现大量应用于误差分析，及质量管理上 ,可以这 样说，没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布， 就没有现代化企业。
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设X~ N (, 2 ) , X的分布函数是
F(x) 1
x
e

(
t )2 2 2
dt
,
x
2
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正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布. 下面我们介绍一种最重要的正态分布
标准正态分布
二、标准正源自文库分布
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用上海99年年降雨量的数据画出了 频率直方图.
从直方图，我们可以初步看出，年降 雨量近似服从正态分布.
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下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图.
红线是 拟合的 正态密 度曲线
可见，某大学男大学生的身高应服从正 态分布.
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人的身高高低不等，但中等身材的 占大多数，特高和特矮的只是少数，而 且较高和较矮的人数大致相近，这从一 个方面反映了服从正态分布的随机变量 的特点.


(b ) (a )


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利用下表，可求出标准正态总体在任一区间
内 x1, x2 取值的概率。
公式： p x2 x1
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
四、3 准则
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由标准正态分布的查表计算可以求得，
当X～N(0,1)时，
x t2
e 2 dt
2
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
当-x<0时
x x
(x) 1 (x)
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若 X～N(0,1),
P(a X b) (b) (a)
若 X ~ N (, 2),
Y X
~N(0,1)
P(a X b) P(a Y b )
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正态分布N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
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能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
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f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1