泛函分析(丁时进教授)

( f , g ) = ∫a
n
b
f ( x) g ( x)dx,
那么它满足R 中关于内积的定义 记作L ( a, b )
2
f 与 g垂 直 ： f , g ) = 0 (
( f , f )为 f 的 长 度 ( f − g , f − g )为 f 与 g的 距 离 2 L (a, b )是 无 限 维
1
4.紧性
若度量空间（X，ρ）中的任何一个点 列都有收敛列，X中某个元素的子列，则 （X，ρ）叫紧空间。 在数学分析中叫致密性。如[ a, b] 紧,
（a, b）不紧，R1不紧。
一般说来， 一般说来，R 中有界闭集合一定是紧 的，这就是数学分析中所说的致密性定理。 这就是数学分析中所说的致密性定理。
在此之前，通过略去高次项（ 在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶 无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯， ）。帕斯卡 无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等 著名学者使微积分学产生萌芽。 著名学者使微积分学产生萌芽。
牛顿的流数术（微积分） 牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发 明之一。 明之一。
流数术： 流数术：
非线性泛函
变量
函数空间的研究（ 函数空间的研究（Hilbert空 空 空间——无限维 间，Banach空间 空间 无限维 空间） 空间） 实分析（ 实分析（Lebesgue积分理论 积分理论
函数（ 函数（描述变量之间 的变化关系） 的变化关系）
极限
函数的分析性质， 函数的分析性质，实数理论的建 立（有限维欧式空间上的定义的 函数） 函数）
小学就开始学习“距离空间” 小学就开始学习“距离空间”。如，直 线 上点与点之间的距离。 上点与点之间的距离。中学时学习的
d = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。 之间的距离。 作为两个点(x 其实，现在我们知道， 其实，现在我们知道，还可以采用很 多方法定义距离。 多方法定义距离。
演讲者： 演讲者：丁时进教授 时 间：2006年11月30日 年 月 日
分析数学的发展历程： 一.分析数学的发展历程： 分析数学的发展历程
1.初创 初创 现代分析数学的发展应该起源于微积分的 发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“ 发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数 的理论的完善也归功于极限论的建立。 “的理论的完善也归功于极限论的建立。 经过16世纪中叶到 世纪初的酝酿 经过 世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿 世纪中叶到 世纪初的酝酿， （1642——1727）和莱布尼茨（1646—— ）和莱布尼茨（ 1716）终于在 世纪下半叶创立了微积分。 世纪下半叶创立了微积分。 ）终于在17世纪下半叶创立了微积分
但至此， 但至此，微积分学的基础还没有找 到合适的解决办法。所以， 到合适的解决办法。所以，法国哲学家 伏尔泰称微积分为“ 伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一 个其存在性是无从想象的东西的艺术。 个其存在性是无从想象的东西的艺术。”
2.微积分的基础 微积分的基础
柯西《分析教程》 柯西《分析教程》：“若代表某变量的一 串数值无限地趋向于某一数值， 串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意 则该固定值称为这一串数的极限” 小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将 分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“ 分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无 限趋向” 要多小就有多小” 限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的 语言。 语言。 魏尔斯特拉斯（ 魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思 ） 算术化” 想“算术化”，出现了至今通用的 语言 ε −δ 。 ε − δ 语言——柯西准则 柯西准则——构成微积分 语言 柯西准则 构成微积分 的基础“极限论”的基础。 的基础“极限论”的基础。
1.空间的可度量性 非空集合X上可定义一个双变量函数（x, y）X × X → R ρ : 符合: （）（x, y） 0，且（x, y） 0 ⇔ x = y 1 ρ ≥ = ρ （）（x, y） ρ y, x） 2 ρ =（ （）（x, z） ρ x, y） ρ y, z） 3 ρ ≤（ +（ 则 X和ρ 一起，（X，ρ）称为一个度量空间 或距离空间。
2 2 2
由于y - x = 0, 故有
2
ɺ ɺ ɺ yo - 2 xxo + x o = 0
2 2
ɺ ɺ ɺ 略去x o 得y = 2 xx 流数
2 2
dy 现在通用的记号为 = 2 x dx
“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过 已知量之间的关系，求他的流数； 已知量之间的关系 牛顿的微分和积分的观点——互逆运 来”——牛顿的微分和积分的观点 牛顿的微分和积分的观点 互逆运 微积分学基本定理。 算：微积分学基本定理。(1736年发表 ) 年发表 莱布尼兹：考察切线， 莱布尼兹：考察切线，第一次引入了 dx, dy, ∫ 符号，沿用至今。 符号，沿用至今。
泛函分析“ 二.从“数“到”泛函分析“的知识 从 体系
从上面可以看到，分析数学的发展经 从上面可以看到， 历了近3百年漫长的历史 百年漫长的历史。 历了近 百年漫长的历史。数学成为现代 科学的基础，已经成为人类的共识。 科学的基础，已经成为人类的共识。
函数空间上定义的函数， 函数空间上定义的函数， 整数—有 数（自然数—整数 有 自然数 整数 理数—实数 复数） 实数—复数 理数 实数 复数） 即泛函或算子 线性泛函
派生：微分几何学，复变函数， 派生：微分几何学，复变函数，微 分方程等； 分方程等； 现代：流形—流形上的分析学 流形上的分析学。 现代：流形 流形上的分析学。
三、用现代数学的观点看已学过数学 知识
从上面的发现过程看来，可以归结为： 从上面的发现过程看来，可以归结为：
变 →函 （ 函 →性 量 数 泛 ） 质
给定函数y − x = 0
2
时间的刹那用o表示（即dt） ɺ ɺ x, y 的刹那用xo和yo表示 dx dy （即dx = ⋅ dt , dy = ⋅ dt） dt dt
ɺ ɺ 以x + xo及y + yo代替 x, y代入 方程得到 ɺ ɺ ɺ y + yo - ( x + 2 xxo + x o ) = 0
2.在空间上定义拓扑 在空间上定义拓扑——定义收敛性 在空间上定义拓扑 定义收敛性
（） {Vλ：λ ∈Λ} = X； 1∪ 使x ∈Vλ ⊂ Vλ ∩Vλ
3 1
集合X的子集族Γ = {Vλ：λ ∈Λ} 如果满足：
源自文库
（2）∀λ1，λ2 ∈Λ，若x ∈Vλ ∩Vλ , 则∃λ3 ∈Λ，
1 2 2
则X 与Γ一起成为一拓扑空间，Γ为X的拓扑结构。 有了拓扑结构，就可以定义收敛性。例如， 数学分析中的收敛性就完全可以用领域来研究。
20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和 世纪分析学的另一特征是用拓扑学和 代数学， 代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。 流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方 流形上的分析结合了微分几何学 偏微分方 多复变函数论， 程—多复变函数论，成为当代数学的主流方 多复变函数论 外微分形式—反函数理论 反函数理论， 向。外微分形式 反函数理论，成为当代分 析学的基础知识。 析学的基础知识。
x∈[ a,b]
为f 与g的距离（满足距离的三条） 可以证明
(1) ( C [ a, b] , ρ ) 是一个完备的度量空间. ρ → ( 2) C [ a, b]中, fn f 等价于数学分析中
的一致收敛性
2 把f ( x)在 [ a, b ] 上Lebesgue可积的函数
2
全体构成一个集合.定义内积
5.现在我们看看“函数空间” 现在我们看看“函数空间” 现在我们看看
1°在[a, b]上连续的函数的全体构成一个 集合C[ a, b] 。按照通常的加法和数乘，构 成一个线性空间，把里面的元素视为点。
∀f , g ∈C [ a, b] , 定义ρ ( f , g ) = max f ( x) − g( x)
3.实数理论 实数理论
在十九世纪分析学发展的同时， 在十九世纪分析学发展的同时，人类也 完善了实数理论。柯西首先认识到“ 完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数 是有理数迫近的极限” 是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理 数域的完备化）。但极限又要用到实数， ）。但极限又要用到实数 数域的完备化）。但极限又要用到实数，这 形成了一个循环论证。 形成了一个循环论证。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。 戴德金采用对有理数分割的办法， 戴德金采用对有理数分割的办法，建立 了不依赖于极限论的实数理论。 了不依赖于极限论的实数理论。
欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方 程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量 无穷级数， 天文，物理，力学问题，著有《 天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引 论》。 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德， 拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶 在分析学方面都作出了巨大贡献。 在分析学方面都作出了巨大贡献。
1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死 年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘ 年贝克莱嘲笑 量的幽灵’ 量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量 ， E 还是牛顿的 ，一直到莱布尼茨的 ,又是 又是 o dx o 招之即来，挥之即去， 又不是 ，招之即来，挥之即去，“鬼使神 o 差”。 达朗贝尔——将微积分的基础归结为极 将微积分的基础归结为极 达朗贝尔 但没创造完整体系。 限。但没创造完整体系。
第一阶段：变量取的是“ 第一阶段：变量取的是“数“，函数就 是通常所说的函数 第二阶段：变量取的是“ 第二阶段：变量取的是“函数空间中的 元素” 函数变成了泛函。 元素” 函数变成了泛函。 所以，总是首先对变量所在的“空间” 所以，总是首先对变量所在的“空间” 研究清楚，才能研究定义在这个“空间” 研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上 函数” 的“函数”。 变量所在的“空间” 变量所在的“空间”，除了其代数运算 与代数性质（ 与代数性质（群，环，域）外，对于研究在 他上面定义的分析性质来说， 空间” 他上面定义的分析性质来说，“空间”的分 析性质是十分重要的。 析性质是十分重要的。
4. 20世纪分析学的发展 世纪分析学的发展
勒贝格（ 勒贝格（1875-1941）——创立可列可加 ） 创立可列可加 测度的积分论，形成实变函数论。 测度的积分论，形成实变函数论。 以实分析为基础的概率论和随机过程， 以实分析为基础的概率论和随机过程， 称为现代分析。 称为现代分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 复变函数论的发展，形成复分析。 以函数空间为背景的泛函和算子理论— 以函数空间为背景的泛函和算子理论 —泛函分析。 泛函分析。 泛函分析 此外还有傅立叶分析等。 此外还有傅立叶分析等。
世纪分析学的发展， 同时，20世纪分析学的发展，使非线性 世纪分析学的发展 分析成为最活跃的数学分支之一， 分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理 论是算子理论。 论是算子理论。 泛函分析使分析学跃上新的高度。 泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔 伯特空间—巴拿赫空间 巴拿赫空间—广义函数论成为常 伯特空间 巴拿赫空间 广义函数论成为常 识。 现在我们知道，无穷小量不再是一个量， 现在我们知道，无穷小量不再是一个量， 而是一个变化的过程。 而是一个变化的过程。
3.空间的完备性，实数构成的空间R
如果度量空间（X，ρ）中按度量ρ所定义的 柯西列都会收敛到该空间的一点，那么， 这个空间就叫做完备的度量空间。
1
例如，有理数域不完备，但它可以完备化： 把有理数域的所有有极限加进去就会完备起 来，构成R 。
1
[ a, b] 是R 的完备子空间，（a, b）就不是。
n
但是，到了无限维空间， 但是，到了无限维空间，例如一般的 Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛 空间， 空间 子列。常见的例子是， 子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一 定有一致收敛的子列，还要加上诸如“ 定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连 续性“条件（ 续性“条件（Arzela--Ascoli）. ）