最速降线问题的力学解法

最速降线问题
寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部。

如图所示，A 、B 、C 同时在曲线上静止释放，同时下滑到最低点O 。

建立适当的坐标系，求曲线的方程。

分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置O 。

这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。

解：建立如图所示的坐标系，设曲线的方程为)(x f y =，小球的质量为m 。

在曲线上任取一点),(y x ，则该点切线的坡度为
x
y p d d =。

故小球的回复力2
1p
mgp F +=。

由简谐运动的动力学定义设ks F =。

其中k 是常量，s 是原点与),(y x 的弧长，即
x p s x
d 10
2⎰
+=。

于是得到方程
x p k p
mgp x
d 110
22
⎰
+=+。

作代换2
1p
p u +=
，得到
2
2111u p -=
+。

方程两边对x 求导得21d d u
k x u mg
-=。

该方程可以分离变量。

解方程得通解为
C x mg
k
u u u +=+-arcsin 211212。

由于点O 是平衡位置，则有00
==x F
，于是00==x u 。

这样可以确定0=C 。

为了使表达式更加简洁，我们新引入一个参数]2,0[2πθ
∈使得2
sin θ
=u 。

这样我们得
到了x 方向上的参数方程)sin (4θθ+=
k
mg
x 。

引入θ的同时，我们也建立了p 与θ的关系2
tan θ
=p 。

为了求出)(θy 的表达式，由
复合函数的求导法则知，
θθd d d d d d x x y y ⋅=。

其中x y d d 已知，)(θx 已经求出。

解方程得'cos 4C k mg y +-=θ。

由00==x y 可以确定k
mg C 4'=。

故y 方向上的参数方
程为)cos 1(4θ-=
k
mg
y 。

综合上述讨论，我们可以得出所求曲线是参数曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)cos 1(4)sin (4θθθk mg y k
mg x （θ为参数）
的一部分。

不难得出它应该是一条摆线。