九年级数学下册第一章1(1)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系本章小结与复习教案(新版)北师大版
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。
二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1《回顾与思考》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《回顾与思考》是对整个初中数学知识的总结与回顾。
本章通过对之前学习的知识进行梳理，帮助学生建立知识体系，提高解决问题的能力。
本节课的内容包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等，旨在让学生通过回顾与思考，对所学知识有更深入的理解和掌握。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的大部分数学知识，对于数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等概念和性质有一定的了解。
但部分学生在应用这些知识解决问题时，可能会出现混淆和错误。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识掌握情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.帮助学生回顾和总结初中阶段的数学知识，建立知识体系。
2.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
四. 教学重难点1.数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等知识的运用。
2.学生对于实际问题进行分析，运用所学知识解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动回顾和总结所学知识。
2.通过实例分析，让学生运用所学知识解决实际问题。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关知识点的PPT，用于呈现和讲解。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用所学知识解决。
3.准备黑板和粉笔，用于板书和标注。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的实际问题，引导学生运用所学知识解决。
例如，计算一个房间的面积，或者计算一个三角形的周长等。
通过这些问题，激发学生的学习兴趣，并引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）利用PPT呈现本的回顾与思考的内容，包括数的开方与乘方、勾股定理、相似三角形的性质等。
在呈现过程中，引导学生主动回顾和总结所学知识，并与同学进行交流。
3.操练（10分钟）针对每个知识点，设计一些练习题，让学生独立完成。
湘教版九年级数学下册.1二次函数的图象和性质课件
图象的开口向____上____； 图象在对称轴左边的部分， 函数值随自变量取值的增 大而___减__小____，简称为 “左降”； 当 x =___0_时，函数值最__小__．
类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质， 于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画 出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画 出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只 要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因 为我们知道了图象的性质）．
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____增__大______，简称为右___升__;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ____减__小______，简称为左____降___;
4.当x=____0_时，函数值最___小____.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛
二次函数
y x2
y=x2的图象
形如物体抛
射时所经过
的路线,我们 这条抛物线关于
把它叫做抛 y轴对称,y轴就
物线
是它的对称轴.
.
典例解析：
例1： 画二次函数 y 1 x2 的图象．
2
解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列 表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。
x
0
1
2
3 ...
y 1 x2 2
我猜想都有这一性质．
可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于
y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类练习北师大版(20
2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系专题训练(一)求锐角三角函数值的方法归类同步练习（新版）北师大版的全部内容。
专题训练（一）求锐角三角函数值的方法归类►方法一运用定义求锐角三角函数值1．2017·日照在Rt△ABC中，∠C＝90°,AB＝13，AC＝5，则sin A的值为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!2．如图1－ZT－1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），那么cosα的值是（) A.错误! B。
错误! C。
错误! D.错误!图1－ZT－1►方法二巧设参数求锐角三角函数值3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝错误!,则tan B的值为( ）A.错误! B。
错误! C。
错误! D。
错误!4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝错误!，那么cos A的值为( ）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!5．如图1－ZT－2,在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝错误!，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )图1－ZT－2A.错误! B．2 C。
错误! D.错误!6．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B,∠C的对边,且a,b,c满足b2＝(c＋a)(c－a）．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值．7．如图1－ZT－3，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝错误!BD,连接AC，若tan B ＝错误!,求tan∠CAD的值．图1－ZT－3►方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为( ）图1－ZT－4A.错误! B。
北师大版数学九年级下册1.正弦、余弦课件(共46张)
AB AC 10 13 65 .
cos A
12 6
C
A
sin B cos A 12 . 13
随堂练习
课堂小结
斜边
B
∠A的对边
┌
A
C
∠A的邻边
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sin
A
∠A的对边 斜边
.
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cos
第一章 直角三角 形的边角关系
第2课时 正弦、 余弦
北师·九年级数学下册
学习目标
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并能进 行简单计算. 2.知道锐角三角函数的意义，能够进行正弦、 余弦和正切的互相转化.
复习导入ห้องสมุดไป่ตู้
BC
AC
1. 如图，Rt△ABC中，tanA = AC ，tanB= BC .
B
A
C
则 B1C1 和 B2C2 的关系是 _B_A1_BC1_1 _= _BA_2BC_22__.
AB1 AB2
C1
C2
A
思考：从上面的问题可以看出：当直角 三角形的一个锐角的大小已确定时，它 B1
的对边与斜边的比值_随__之__确___定__，根据
B2
是__三__角__形__类__似__的__性__质___.
B
cos C BC 120 0.6 AC 200
规律小结
在直角三角形中，一个锐角的
C
正弦等于另一个锐角的余弦.
在此图中，即：sinA=cosC
sinC=cosA
A
B
做一做
如图，Rt△ABC中，∠C=90°， cos A 12 ， AC=10，
新浙教版九年级数学下册第一章《 有关三角函数的计算》课件
ห้องสมุดไป่ตู้太阳光
25° A
住
宅
新
楼
楼
B
C
某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是 高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼的前面要盖一栋高20米的 新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为25°时.
问：若新楼的影子恰好落在超市1米高的窗台处，两楼应相距多少米？
D
太阳光
25° A
F
住 宅
新
楼
w如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=ABsin16° .
w你知道sin16°等于多少吗?
对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函 数值，可以利用计算器来求
w怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢?
动手实践
知识在于积累
驶向胜利 的彼岸
w用科学计算器求锐角的三角函数值，要用到三个键： w例如，求sin16°、cos42°、tan85° 和sin72°38′25″的按键盘顺序如下： sin cos tan
A
B
变式：在△ABC中，已知AB=12cm，AC=10cm
∠ A=35 °,求△ABC 的周长和面积（周长精确到 0.1cm，面积保留3个是效数字）.
模型： △ABC 的面积=1/2AC･AB ･sin ∠ A
随堂练习
行家看“门道”
驶向胜利 的彼岸
w1 用计算器求下列各式的值: w(1)sin56°,(2) sin15°49′,(3)cos20°,(4)tan29°, w(5)tan44°59′59″,(6)sin15°+cos61°+tan76°.
按键的顺序
显示结果
sin16° sin 1 6 °′″ =
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握直角三角形的定义及性质，能熟练运用直角三角形的边角关系解决相关问题。
2.学会使用勾股定理及其逆定理，解决实际问题中的直角三角形边长问题。
3.掌握锐角三角函数的概念，能运用正弦、余弦、正切函数解决实际问题，并了解它们的互化关系。
b.作业完成后，及时检查，发现并纠正错误；
c.撰写短文时，注意语言表达清晰，条理分明。
3.作业批改与反馈：
a.教师应及时批改作业，了解学生的学习情况，为下一步教学提供依据；
b.对学生作业中的错误，给予个别指导，帮助学生掌握知识点；
c.对学生在作业中的优秀表现，给予表扬和鼓励，提高学生的自信心。
4.作业评价：
五、作业布置
1.根据本节课的学习内容，布置以下作业：
a.完成课本相关练习题，巩固勾股定理及其逆定理的应用；
b.结合实际生活，设计一道运用锐角三角函数解决问题的题目，并与同学分享；
c.总结直角三角形的边角关系在生活中的应用，撰写一篇小短文。
2.作业要求：
a.学生需独立完成作业，认真思考，确保作业质量；
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并熟练运用直角三角形的边角关系，特别是勾股定理及其逆定理的应用。
2.掌握锐角三角函数的定义及其互化关系，并能解决实际问题。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过引入生活中的实际例子，如建筑物的斜边测量、三角形的面积计算等，让学生感受到直角三角形边角关系在实际中的应用，激发学生的学习兴趣。
3.讲解勾股定理的逆定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
1.1第1课时正切(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
此外，实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围活跃。通过分组讨论和实验操作，学生不仅巩固了正切知识，还学会了将所学运用到实际问题中。但在这一过程中，我也注意到有些学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生培养独立思考和解决问题的能力。
在学生小组讨论环节，我努力扮演好引导者的角色，帮助学生发现问题、分析问题。但我也发现，部分学生在讨论中容易偏离主题，导致讨论效果不佳。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对学生的引导，确保讨论主题的聚焦和深入。
最后，总结回顾环节，学生对正切知识有了更深入的理解。但在课后，我了解到仍有部分学生对正切的应用存在疑问。为了帮助学生更好地消化吸收所学知识，我计划在课后加强辅导，针对学生的疑问进行解答，确保他们能够真正掌握正切这一知识点。
1.数感与符号意识：通过正切定义的学习，使学生理解并运用符号表示正切函数，增强数感与符号意识。
2.空间观念与几何直观：通过正切图像的绘制与分析，培养学生探讨正切的性质，培养推理与论证能力，提高数学思维水平。
4.数学建模与问题解决：设计实际问题，让学生运用正切知识解决，培养数学建模与问题解决的能力。
-正切图像：绘制并分析正切图像，了解其曲线在0°到90°之间单调递增的特点。这是本节课的重点，需要教师引导学生观察、思考，加深对正切函数图像的认识。
举例：在讲解正切性质时，可以结合具体角度（如30°、45°、60°等）的正切值，让学生观察正切值的变化规律，从而加深对正切性质的理解。
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案
北师大版九年级数学下册：第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形的边角关系——回顾与思考》主要介绍了直角三角形的性质，包括锐角三角函数的概念、直角三角形的边角关系等。
本章内容是初中数学的重要知识点，为后续学习三角形相似、解直角三角形等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但学生在学习过程中，可能对锐角三角函数的理解和应用存在困难，因此需要通过本章内容的学习，帮助学生巩固直角三角形的性质，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握锐角三角函数的概念。
2.学会运用直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质，锐角三角函数的概念。
2.难点：锐角三角函数的应用，解直角三角形。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作直角三角形性质、锐角三角函数的课件。
2.教学素材：提供相关案例，如实际问题、例题等。
3.学习工具：准备好直角三角形、锐角三角函数的相关资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如测量身高、测距等，引出直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。
激发学生的学习兴趣，引导学生思考直角三角形在实际生活中的应用。
2.呈现（15分钟）呈现直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，通过动画、图片等形式展示，帮助学生直观地理解。
同时，给出相关案例，让学生体会直角三角形性质和锐角三角函数在实际问题中的作用。
3.操练（15分钟）针对直角三角形的性质和锐角三角函数，设计一系列练习题。
让学生独立完成，巩固所学知识。
教师及时批改、讲解，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过小组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和锐角三角函数解决实际问题。
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
【完整版】北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系含答案
北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，关于∠α与∠β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ，②sinα＞sinβ，③cosα＞cosβ．正确的结论为（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°3、如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为( )A.4 米B.6 米C.12 米D.24米4、如图，在▱ABCD中，，，分别切边AB，AD于点E，F，且圆心O恰好落在DE上现将沿AB方向滚动到与边BC相切点O在的内部，则圆心O移动的路径长为A.4B.6C.D.5、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.6、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.英国佩里加（H.Perigal，1801﹣1898）用“水车翼轮法”（图1）证明了勾股定理.该证法是用线段QX，ST，将正方形BIJC分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（图2）.若AD＝，tan∠AON＝，则正方形MNUV的周长为（）A. B.18 C.16 D.7、如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标＝（x＞0）的图象上，顶点B在原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（）函数y2A.﹣B.﹣C.﹣D.﹣8、如图，两条宽度均为40 m的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（）A. B. C.1600sinα(m 2) D.1600cosα(m 2)9、如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（）A. B. C. D.10、如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（）A. B. C. D.111、小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.12、sin45°=（）A. B. C.1 D.13、如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.100 mB.50 mC.50 mD. m14、如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A. B. C. D.15、如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是3米.若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A. 米B. 米C. 米D. 米二、填空题(共10题，共计30分)16、在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，sin∠BDC=，则▱ABCD的面积是________．17、如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB= 米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为________米．18、在Rt△ABC中，,BC=2,，则AB=________19、已知⊙O半径为，AB是⊙O的一条弦，且AB=3，则弦AB所对的圆周角度数是________.20、小明在学习“锐角三角函数”中发现，用折纸的方法可求出tan22.5°，方法如下：将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC 上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以知道tan22.5°=________21、在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA＝________.22、在Rt△ABC中，∠C=90°，2a=c，则∠A=________23、如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA=________24、将矩形纸片ABCD按如图M2-5方式折叠，M，N分别为AB，CD的中点。
人教版九年级数学下册1正投影
′ ′ = = 10
解： 作 ⊥ ′于点. 则∠ = 30°.
∴ 在∆中， = ∙ ∠
= 10 ∙ 30°
3
=5
2
根据正投影的性质知，′ ′ =
= 10 ×
∴
C
D
A
D'
3(cm).
= 5 3 cm ，
的投影长是 3, ，求皮球在地面上的正投影的面积.
解： 由题意得：DC=2R，DE=10 3，，∠CED=60°，
∴DC=DEsin60°=15．所以球的直径AB = 15.
球在地面上的正投影是和球的直径相等的圆. 球在地面
上的正投影的面积是
15 2
π
2
=
225
π.
4
投影线垂直于投影面照射时，物体产生的投影叫做正投影.
C
D
A
AD, BC与平面β平行，AB, CD与平面β成30°角，求
正方形ABCD正投影的面积.
B
H
D'
A'
C'
β
B'
分析： 作 ⊥ ′于点. 则∠ = 30°.
∆，∠ = 30°， = 10
四边形′ ′ ′ ′ = ′ ′ ∙ ′ ′
= ∙ ∠ = 5 3
扇形Biblioteka 弧长圆锥底面圆周长
半径
圆锥母线长
如图，高ℎ = 2.
侧面展开扇形半径 =圆锥母线长=
22
+
3 2
2
扇形的弧长 =圆锥底面周长= 3.
1
1
5
∴ 该圆锥的侧面积S侧= 2 = 2 × 3 × 2 =
15
北师版九年级下册数学第1章 30°,45°,60°角的三角函数值
解：△ABC是直角三角形. 理由如下：
sin A
3 2
+（ 23-tanB）2=0,
sin A
3 2
0,
（ 23-tanB）2≥0,
∴
3 sin A- 2 =0,
3 3 -tanB=0,
∴
3
3
sin A- 2 , tanB= 3 .
知1－练
6 将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，
那么折痕PQ的长是( B )
A. cm2 3
B. cm34 C. cm3
3
D．2c5m
知识点 2 已知特殊三角函数值求角
知2－讲
通过该表可以方便地知道30°，45°，60°角的 三角函数值．它的另一个应用：如果已知一个锐角的
三角函数值，就可以求出这个锐角的度数．例如：若 sinθ＝，则2 锐角θ＝45°.
sinB, cosB, tanB.
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD＝B1C＝3. 2
在Rt△ABD中，∵AD＝＝A4，B2 BD2
∴sinB＝＝A，DcosB＝4 ＝，tanB＝B＝D. 3
AB 5 AD 4
AB 5
BD 3
（来自教材）
知2－练
2
(中考·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－|
4
∴由勾股定理得AC5＝＝＝15.
AB2 BC2 252 202
∴C△ABC＝AB＋BC＋CA＝25＋20＋15＝60，
S△ABC＝1 BC·AC＝×1 20×15＝150.
2
2
北师大版九年级数学下册第一章 《30度,45度,60度角的三角函数值 》优课件
450 ┌
300
600 ┌
w请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
知识在于积累
w(5)sin450,sin600等于多少? w(6)cos450,cos600等于多少?
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w(7)tan450,tan600等于多少?
驶向胜利 的彼岸
300 450
450 ┌ 600 ┌
做一做P11 4
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
zxxkw
第二节 30°45°60°角的三角函数
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回顾与思考1
锐角三角函数定义
驶向胜利 的彼岸
w直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.
w在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,
邻边和斜边之间的比值也随之确定.
sin A a , cos A b ,
w例2 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度
为2.5m,当秋zxxkw千向两边摆动时,摆角恰好为600,
且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与
其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到
0.01m). w解:如图,根据题意可知,
∠AOD 1600 300, OD=2.5m,
O
2
cos300
OC,
O C OcO D o D 30 s0 2.532.16 (m )5.
c
c
B
sin B b , cosB a ,
c
c
c a
┌
sinA和cosB,有什么关系?
A
b
C
sinA=cosB,
想一想P10 2
本领大不大
悟心来当家
驶向胜利 的彼岸
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系回顾与思考第1课时说课稿
3.探索边角关系：组织学生分组讨论，探讨直角三角形中边与角的关系，引导学生发现并理解三角函数在直角三角形中的应用。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习或实践活动：
作业的目的是巩固所学知识，培养学生的实际应用能力，同时激发学生的学习兴趣和探究精神。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化布局，主要内容分为三部分：回顾部分、新知部分和总结部分。风格上追求清晰、简洁，突出重点。
1.回顾部分：板书左侧，列出勾股定理和三角函数的定义，以提纲形式呈现，方便学生快速回忆。
北师大版数学九年级下册第一章直角三角形的边角关系回顾与思考第1课时说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版数学九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》的第一课时。这一章节在整个课程体系中具有承上启下的作用，既是对前面所学勾股定理、三角函数等知识的巩固，也是为后续学习解直角三角形、相似三角形等打下基础。本节课的主要知识点包括：回顾勾股定理和三角函数的定义，探索直角三角形中边与角的关系，以及运用这些关系解决实际问题。
1.让学生总结本节课所学知识点，分享自己的学习心得。
2.组织学生互相评价，发现彼此的优点和不足。
3.教师针对学生的总结和评价，给予针对性的反馈和建议，强调重点知识，纠正错误观念。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.完成课后练习题，巩固勾股定理和三角函数的应用。
2.结合生活实际，设计一道关于直角三角形的实际问题，并运用所学知识解决。
《第一章1锐角三角函数》作业设计方案-初中数学北师大版12九年级下册
《锐角三角函数》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业目标是帮助学生理解和掌握锐角三角函数的定义和性质，并能够熟练应用三角函数进行简单的计算和图形解析。
通过作业练习，巩固所学知识，提高解题能力。
二、作业内容（一）基础练习1. 理解锐角三角函数的定义和性质，能够正确标注直角三角形中的正弦、余弦和正切值。
2. 掌握正弦、余弦、正切之间的基本关系式，并能够运用这些关系式进行简单的计算。
3. 完成课本中的基础练习题，包括填空题和选择题，加深对锐角三角函数的理解。
（二）进阶练习1. 利用锐角三角函数解决实际问题，如利用三角函数计算物体的高度、距离等。
2. 通过画图理解锐角三角函数的图象性质，能够根据给定的图像描述其对应的函数表达式。
3. 完成进阶练习题，包括一些稍微复杂的计算题和应用题。
（三）综合实践1. 小组合作，完成一个与锐角三角函数相关的实际项目，如测量校园内建筑物的高度、计算斜坡的角度等。
2. 在实践中应用所学知识，培养学生的实践能力和团队协作精神。
三、作业要求1. 按时完成作业，不得抄袭、作弊。
2. 基础练习部分必须全部完成，进阶练习和综合实践部分根据自身能力选择完成。
3. 作业中遇到问题，可向老师或同学请教，但不得直接抄袭答案。
4. 作业完成后，要认真检查，确保答案准确无误。
四、作业评价1. 老师将根据学生的作业完成情况、正确率、解题思路等方面进行评价。
2. 对于完成情况较好、正确率较高的同学，老师将给予表扬和鼓励。
3. 对于作业中存在的问题，老师将给予指导和帮助，帮助学生改正错误，提高解题能力。
五、作业反馈1. 老师将对学生的作业进行批改，并给出详细的批注和评分。
2. 针对学生在作业中出现的共性问题，老师将在课堂上进行讲解和示范。
3. 学生应根据老师的反馈，认真分析自己的错误原因，及时改正错误，提高学习效果。
通过以上内容是《锐角三角函数》的作业设计方案的第一、二、三部分。
进阶练习和综合实践部分，旨在通过实际操作和团队合作，让学生更深入地理解和掌握锐角三角函数的应用。
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九年级数学下册第一章1(1)第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题基础题知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3B．y＝－3(x＋)2＋3C．y＝－12(x－)2＋3D．y＝－12(x＋)2＋33．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．将点C(0，4.4)代入得a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．∴这辆汽车能够通过大门．知识点2 利用二次函数解决面积问题4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)A．60 m2 B．63 m2C．64 m2 D．66 m25．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)A．600 m2 B．625 m2C．650 m2 D．675 m26．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积． 解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ，∴y ＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x ＋4 000(1≤x ≤2)．(2)∵二次函数y ＝4x2＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－，∴在1≤x ≤2上，y 随x 的增大而增大．∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2. 中档题8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面宽度增加(4－4) m.9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2.10．如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax2＋c.把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12. ∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x2＋.∵当x ＝0时，y ＝，∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m2.(如图)(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x 的值；(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．解：(1)y ＝－2x2＋36x.(9≤x ＜18)(2)由题意，得－2x2＋36x ＝160.解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x 的值为10.(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c. ∵∴183＜c ＜214.∴c 最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．当c＝214时，a＝184，b＝2，184×0.4＋2×1＋214×0.4＝161.2(m2)．∵y＝－2x2＋36x＝－2(x－9)2＋162，∴当x＝9时，空地的面积最大为162 m2.∵162＞161.2，∴这批植物可以全部栽种到这块空地上．第2课时利用二次函数解决销售问题及其他问题基础题知识点1 商品销售问题1．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B)A．y＝－10x2－560x＋7 350B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－7 3502．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A)A．5元B．10元C．0元D．6元3．某商店经营某种商品，已知每天获利y(元)与售价x(元/件)之间满足关系式y ＝－x2＋80x－1 000，则每天最多可获利600元．4．(教材P32习题T3变式)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b.将(10，30)，(16，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30，16k ＋b ＝24. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝40.∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x ＋40(10≤x ≤16)．(2)根据题意知，W ＝(x －10)y＝(x －10)(－x ＋40)＝－x2＋50x －400＝－(x －25)2＋225.∵a ＝－1＜0，∴当x ＜25时，W 随x 的增大而增大．∵10≤x ≤16，∴当x ＝16时，W 取得最大值，最大值为144.答：当每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．5．(教材P31例变式)“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？(2)若该型号自行车的进价不变，按(1)中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？解：(1)设该型号自行车进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意，得1．5x×0.9×8－8x ＝(1.5x －100)×7－7x ，解得x＝1 000.则1.5×1 000＝1 500(元)．答：该型号自行车进价为1 000元，标价为1 500元．(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意，得w＝(51＋×3)(1 500－1 000－a)＝－(a－80)2＋26 460.∵－＜0，∴当a＝80时，w最大＝26 460.答：该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26 460元．知识点2 其他最值问题6．烟花厂为长沙橘子洲头周六晚上的烟花表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s7．某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多．中档题8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B)A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒9．(2017·天门)飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为20秒．10．(2018·安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2.(单位：元)(1)用含x的代数式分别表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？解：(1)第二期培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期培植盆景(50＋x)盆，花卉[100－(50＋x)]＝(50－x)盆，由题意，得W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8 000，W2＝19(50－x)＝－19x＋950.(2)W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8 000＋(－19x＋950)＝－2x2＋41x＋8 950.∵－2＜0，－＝10.25，x为整数，∴当x＝10时，W最大，W最大＝－2×102＋41×10＋8 950＝9 160(元)．综合题11．(2018·黄冈)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y(万件)与月份x(月)的关系为：y＝每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表：(1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式；(2)若月利润w(万元)＝当月销售量y(万件)×当月每件产品的利润z(元)，求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式；(3)当x 为何值吋，月利润w 有最大值，最大值为多少？解：(1)根据表格可知：当1≤x ≤10(x 为整数)，z ＝－x ＋20；当11≤x ≤12(x 为整数)，z ＝10.∴z 与x 的关系式为：z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤10，x 为整数），10（11≤x≤12，x 为整数）， 或z ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋20（1≤x≤9，x 为整数），10（10≤x≤12，x 为整数）. (2)当1≤x ≤8时，w ＝(－x ＋20)(x ＋4)＝－x2＋16x ＋80；当9≤x ≤10时，w ＝(－x ＋20)(－x ＋20)＝x2－40x ＋400；当11≤x ≤12时，w ＝10(－x ＋20)＝－10x ＋200.∴w 与x 的关系式为：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400（9≤x≤10，x 为整数），－10x ＋200（11≤x≤12，x 为整数）.或w ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋16x ＋80（1≤x≤8，x 为整数），x2－40x ＋400＝121（x ＝9），－10x ＋200（10≤x≤12，x 为整数）.(3)当1≤x ≤8时，w ＝－x2＋16x ＋80＝－(x －8)2＋144.∴当x ＝8时，w 有最大值为144.当9≤x ≤10时，w ＝x2－40x ＋400＝(x －20)2.此时w 随x 增大而减小，∴当x ＝9时，w 有最大值为121.当11≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝11时，w有最大值为90.∵90＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值为144.或当1≤x≤8时，w＝－x2＋16x＋80＝－(x－8)2＋144，∴当x＝8时，w有最大值为144；当x＝9时，w＝121；当10≤x≤12时，w＝－10x＋200，此时w随x增大而减小，∴当x＝10时，w有最大值为100.∵100＜121＜144，∴当x＝8时，w有最大值144.。