九年级数学下册第一章1(1)

九年级数学下册第一章1(1)

第1课时利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题

基础题

知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题

1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(C)

A．－20 m B．10 m C ．20 m D．－10 m

2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为 3 m，此时距喷水管的水平距离为 m，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A．y＝－(x－)2＋3

B．y＝－3(x＋)2＋3

C．y＝－12(x－)2＋3

D．y＝－12(x＋)2＋3

3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高为4.4 m.

(1)以AB所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；

(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4 m，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门．

解：(1)如图，过AB的中点作AB的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A，B，C

的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．

设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋2)．

将点C(0，4.4)代入得

a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a＝－1.1，

∴y＝－1.1(x－2)(x＋2)＝－1.1x2＋4.4.

故此抛物线的表达式为y＝－1.1x2＋4.4.

(2)∵货物顶点距地面2.8 m，装货宽度为2.4，

∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可．

将x＝1.2代入抛物线，得 y＝2.816＞2.8，

∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内．

∴这辆汽车能够通过大门．

知识点2 利用二次函数解决面积问题

4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)

A．60 m2 B．63 m2

C．64 m2 D．66 m2

5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m，则池底的最大面积是(B)

A．600 m2 B．625 m2

C．650 m2 D．675 m2

6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2.

7．在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩

形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.

(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；

(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积． 解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ，

∴y ＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x2＋260x ＋4 000(1≤x ≤2)．

(2)∵二次函数y ＝4x2＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－，∴在1≤x ≤2上，y 随x 的增大而增大．

∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.

答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm2. 中档题

8．(2018·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面宽度增加(4－4) m.

9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m2.

10．如图，小明的父亲在相距 2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方离地面都是2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？

解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax2＋c.

把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩

⎪⎨⎪⎧（－0.5）2a ＋c ＝1，a ＋c ＝2.5，

解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝12

. ∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x2＋.

∵当x ＝0时，y ＝，

∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.

11．(2018·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m2.(如图)

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x 的值；

(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．

解：(1)y ＝－2x2＋36x.(9≤x ＜18)

(2)由题意，得－2x2＋36x ＝160.

解得x1＝8(舍去)，x2＝10.∴x 的值为10.

(3)设甲、乙、丙三种植物各购买a 棵，b 棵，c 棵．则

⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝400，14a ＋16b ＋28c ＝8 600，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－1 100＋6c ，b ＝1 500－7c. ∵∴183＜c ＜214.

∴c 最大为214，即丙种植物最多可以购买214棵．