高等钢结构课程 同济大学 张其林教授讲义

无支撑的纯框架——有侧移框架
无支撑 有侧移 反对称 强支撑 无侧移 对称
有支撑框架
强支撑框架 S b ≥ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) —无侧移框架 弱支撑框架 Sb ≺ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) 介于无侧移和有侧移框架之间
弱支撑 不对称
∑N 、 N ∑
bi
0i
2
M eq = M1
⎛ M 2 ⎞ − 2 ⎛ M 2 ⎞ cos kl + 1 ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ = βm M1 2 (1 − cos kl )
P = α PE
3.
Q = 0, q ≠ 0 时的构件最大弯矩
qx ( x − l ) y ''+ k y = , 2 EI 特解 y p = c1 x 2 + c2 x + c3
计算得到e*，回代入式进行整理后可得：
σ=
⎛ N ⎞ W ⎜1 − φ ⎟ Ne ⎠ ⎝
≤ f
当柱子采用两个以上单元进行计算，并考虑Hni或杆身缺陷，可直接 按二阶最大内力验算强度（+挠度验算）来完成其稳定性计算。
（三）等效弯矩概念 1. 压弯构件的转角位移方程
记：k 2 =
MA + MB M P 2 x− A ， 平衡方程：y ''+ k y = EI EIl EI
2
β m = 1.0
4. 当 Q ≠ 0 ，q=0 时
E Iy '' + P y = −
Qx 2，
y ''+ k 2 y = −
Qx 2 EI
y = A sin kx + B cos kx −
y max =
Qx kl μ = 2 P ，记 2
yo Q l3 = 48EI
3 ( tg μ − μ ) Ql ( tg μ − μ ) = yo μ2 4μ P
H ni =
a y Qi 250
0.2 +
1 ns
∑N ：所计算楼层轴力设计值之和 ∑H ：所计算楼层及以上各层水平力之和
Qi ：第i楼层总重力荷载设计值；ns：框架总层数，根号内数大于1时取1；αy：钢材强度影响系数。
——框架较柔，宜计算非线性效应，采用H考虑各类初始缺陷的影响 楼层处的侧向刚度：截面刚度+应力刚度 截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
一、结构稳定问题的基本类型
整体稳定问题：系统失稳 局部稳定问题：系统中部分失稳 整体稳定和局部稳定的相互作用 框架的稳定问题
框架整体失稳、框架中构件失稳、框架构件中板件失稳
网壳的稳定问题
网壳整体失稳、网壳中杆件失稳、网壳中的板件失稳
桁架的稳定问题
桁架整体失稳、桁架构件失稳、桁架构件板件失稳
二、框架的稳定设计
分别为按无侧移框架和有侧移框架计算长度计算得到的轴压承载力。
4. 结论和问题 第二类稳定问题必须采用二阶分析方法。 引入初始缺陷（规范通过假想力Hni考虑） + 二阶内力分析 + 验算截面强度（+挠度验算）。 现行规范方法通过计算长度系数概念避免了结构的二阶分析， 通过计算长度 + 一阶内力来进行框架柱和框架的稳定设计， 对无支撑框架也允许按计算长度系数为1 + 二阶内力进行稳 定设计。原因？——PΔ效应和Pδ效应。 当柱子仅采用一个单元进行计算 时，相当于未考虑Pδ效应及柱身缺 陷，所以应按Perry公式计算截面强 度，相当于取μ=1计算ϕ后进行构件 验算。
无侧移多层刚架（强支撑）
节点A、B的平衡方程：
MAB + MAG + MAC + MAD = 0⎫ * * ⎧θA⎫ ⎧0⎫ ⎬→ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ MBA + MBH + MBE + MBF = 0⎭ * * ⎩θB ⎭ ⎩0⎭
0 .6 4 k 1 k 2 + 1 .4 ( k 1 + k 2 ) + 3 , k1 = μ = 1 .2 8 k 1 k 2 + 2 ( k 1 + k 2 ) + 3
＃有侧移: m1=2, m2=∞, (m1=2～∞, m2=1.814～2.694～∞) ＃无侧移: m1=0.7, m2=1.0,(m1=0.7～∞, m2=1～∞)
K=ib/ic 0.01
P2/P1 0.2 0.6 1.0
μ1
1.973
μ2
10.138
μ1’
2.300 3.078 3.739
μ2’
M max
y max ≈ y o
1 1− P
PE
Mo
1 = Ql 4
1 − 0.2 P
⎛ 1 − 0.2 P PE 1 = Pymax + Ql = M o ⎜ ⎜ 1− P 4 ⎜ PE ⎝
⎞ 1 + 0.234 P PE kl ⎟ = M sec = M eq eq ⎟ 2 1− P ⎟ PE ⎠
M eq =
PE M o = βm M o , 1 + 0.234 P PE
β m ≈ 1 − 0.2 P P
E
多个集中荷载时，取 β m ＝1.0
(四) GB50017关于框架计算的若干规定
1. 框架结构的内力分析
∑ H ⋅h 0.1 的框架宜采用二阶弹性分析，在每层柱顶附加假想水平力H ni
* 一阶弹性分析； * 对 ∑ N ⋅ Δu
（二）计算长度概念 1、基本概念
lo = μ l Pcr =
π 2 EI
lo2
π 2 EI = 2 (μl )
原则：实际构件和理想构件(计算长度+理想边界)的屈曲荷载相等。
lo =
π
2
EI
Pc r
2、存在问题 有侧移情况：
Pcr = 3
P = 2.47 cr
EI h2
EI h2 = 1.814
μ1 = 2 μ2 =∞
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α 2i M Is
α 2i =
1 ∑ N • Δu 1− ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定 * 无支撑的纯框架 采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用； 采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0 * 有支撑框架 门槛侧移刚度：
π 2 EI ⇒P = , μ= cr 2 ( μl )
Ib Ic
π
P ×l EI
=
π
kl
∑
A
lb lc
∑
A
, k2 =
∑
B
Ib Ic
lb lc
∑
B
有侧移多层框架（无支撑）
节点A、B弯矩和AB柱水平剪力平衡：
7.5k1k2 + 4 ( k1 + k2 ) + 1.52 μ= 7.5k1k2 + k1 + k2
Perry公式：
N M + Ne* σ= + ≤ f A ⎛ N ⎞ W ⎜1 − ⎟ Ne ⎠ ⎝
上式中，当M=0时，构件轴力应满足计算长度系数等于1.0时的构 件轴心受压稳定极限承载力的要求，即： N = φ fA
φ Af
A
+
W ⎜1 − ⎟ Ne ⎠ ⎝
N + φA M
φ Afe * ≤ f ⎛ φ Af ⎞
2
通解
y c = A sin kx + B cos kx
⎛ ⎜ 1 ≈ yo ⎜ ⎜1− P ⎜ PE ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎤
y = yc + yp
记 5 ql 4 yo = 384 EI
2
,
y max
Mo =
1 2 ql 8
M max
⎡ ⎥ ql ql ⎢ 5 Pl 2 1 = + Py max = 1+ ⎢ ⎥ ≈ Mo 8 8 ⎢ 1− P 48 EI ⎛ 1 − P ⎞ ⎥ ⎜ ⎟ PE PE ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎣ ⎦ 1 + 0.234 P PE kl 1 M eq = M o = βmM o, = M eq sec = M eq , 2 1− P 1 + 0.234 P PE PE
P =12.34 cr
μ1 = 2.0 μ2 =1.0
EI h2
EI h2 μ1 = μ2 =1.0 P =19.74 cr
＃与荷载分布有关； # 首先失稳柱子的计算长度取值合理。 其他不失稳柱子为该柱提供了0 ∞的有利边界约束， 但其计算长度取值不合理（例如：P = 0,时μ＝∞ ）。
有侧移
无侧移
5.143 3.974 3.739 3.867 2.822 2.628 2.577 1.570 1.383
0.1
0.2 0.6 1.0
1.784
3.392
1.730 2.186 2.628
1
0.2 0.6 1.0
1.277
1.465
1.152 1.216 1.383
对所有柱均采用计算长度系数进行设计才能保证结构安全！！
2
当 M 2 = M 1时 , M max = M 1
2 (1 − cos kl ) kl ql = M 1 sec = M eq sec sin 2 kl 2 2
令M1 ≠ M 2时的M max = M max , 2 (1 − cos kl ) = M1 2 sin kl
2
M eq
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ sin 2 kl
高等钢结构
——杆系结构稳定理论
张其林
2010年12月16日
72mx120m煤棚整体失稳
河南安阳信益电子玻璃有限公司工地架脚手架
河南省体育馆（九级风屋面破坏）
山东兖州一厂房
上海安亭镇某厂房
福清市54m厂房
金属拱型波纹屋面反对称失稳
宁波北仑区小港镇一39.8m跨度厂房
一、结构稳定问题的基本类型 二、框架的稳定设计 三、网壳的稳定设计 四、桁架的稳定设计 五、钢结构构件的整体稳定设计 六、钢结构构件的局部稳定（GB50017） 七、冷弯型钢结构构件的局部稳定（GB50018） 八、基于概率理论的钢结构稳定设计理论
关
假定同时失稳 独立计算 而与荷载分布无
3、规范设计方法基本假定 有侧移和无侧移框架计算长度确定的基本假定： ①同列柱同时屈曲。 ②同一层柱两侧横梁转角相等[方向相反(无侧移)或方向相同(有侧移)]。 ③屈曲时节点处产生的梁端不平衡力矩按节点处的线刚度正比例 地分配给柱端。 特点： 排除了荷载与周边柱列刚度对本柱子屈曲的影响， 大部分情况下偏于安全， 某些情况下不安全。
B A
= M
m ax
B
0 ≤ kx ≤ π
2
时 , s i n k x为 正 ， o s k x为 负 c ⎞ cos kl + 1 ⎟ ⎠
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M
M
B
m ax
⎞ + 2⎛M A ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ s in 2 k l
B
令 MB＝－M1，MA＝M2 MMAX 相等
M max = M 1
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ 2 sin kl
μ1 = ∞ μ2 = π
3
P = 2.884 cr
EI h2
P =2.719 cr
μ1 = 4.138 μ2 = 2.069
EI h2
μ1 = μ2 =
π
1.166
= 2.694
无侧移情况：
P = 6.91 cr
EI h2
Pcr = 9.87
EI h2
μ1 = 0.7 μ2 =∞
μ1 = ∞ μ 2 = 1.0
（一）屈曲现象及分析理论 （二）计算长度概念 （三）等效弯矩概念 （四）GB50017关于框架计算的若干规定
（一）屈曲现象及分析理论
强支撑 对称失稳
无支撑 反对称失稳 一阶线性分析
弱支撑 不对称失稳
分枝型屈曲分析 弹性稳定问题 二阶弹性分析 弹性稳定问题
二阶弹塑性分析 弹塑性稳定问题
设计目的：外荷载≤PU。 设计方法： ①对各荷载组合进行二阶弹塑性分析,根据可靠度理论考虑抗 力分项系数。 ＃计算复杂，耗时，难以应用。 ＃抗力分项系数难以确定。 ②框架计算 一般构件计算 理想构件（理想内力+理想边界） ＃杆端内力 ⇐ 一阶线性分析＋等效弯矩系数 ＃构件长度 ⇐ 分枝型屈曲分析得出计算长度 理想构件＝等效弯矩＋计算长度 ＃计算设计简单易行 ＃通过考虑构件的抗力分项系数回避了结构整体的 抗力分项系数。
S 0 = 3(1.2 ∑ N bi − ∑ N 0i )
∑ N bi、 N 0i： 分别为用无侧移框架和有侧移框架计算得到的轴压杆稳定承载力之和 ∑
Sb>S0时为强支撑框架，计算长度μ 按无侧移框架取用； Sb<S0时为弱支撑框架，柱子稳定系数插值取用：
ϕ = ϕ 0 + (ϕ1 − ϕ 0 )
ϕ1、ϕ 0： 分别为用无侧移框架和有侧移框架计算长度系数得到的轴压杆稳定系数
解：
y = A sin kx + B cos kx +
MA + MB M x− 2 A k 2 EIl k EI
2. Q = 0, q = 0 时的构件最大弯矩
Δ = 0 时，
M = − E I y ''
x
x
dM x = 0时 x = x , M dx M A cos kl + M tg k x = − M A s in k l kl = π P < π, PE = −M ⎛M ⎜ ⎝