图论部分复习题

图论部分
一、选择题：
1．欧拉回路是（B ）
A. 路径
B. 简单回路
C. 既是基本回路也是简单回路
D.既非基本回路也非简单回路 2．哈密尔顿回路是（C ）
A. 路径
B. 简单回路
C. 既是基本回路也是简单回路
D.既非基本回路也非简单回路 3．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边
4．下列哪一种图不一定是树（C ）。

A.无简单回路的连通图
B. 有n 个顶点n-1条边的连通图
C. 每对顶点间都有通路的图
D. 连通但删去一条边便不连通的图 5.下列哪个不是两个图同构的必要条件
A. 结点数目相等
B. 边数相等
C. 度数相同的结点数目相同
D. 两个图都是平面图 6．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）
A. 最多有n-1条
B. 至少有n-1条
C. 最多有n 条
D. 至少有n 条 7．下列图为树的是（C ）。

A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a G B 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a G C 、
>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a G
D 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 二、填充题：
1、n 阶无向完全图K n 的边数是(
2
)
1(-n n )，每个结点的度数是(n-1)。

2、n 个结点的有向完全图边数是(n(n-1))，每个结点的度数是(2n-2)。

3、设有向图G = < V ，E >，},,,{4321v v v v V =的邻接矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=00
010*******
1010A ， 则1v 的入度)(deg 1v -
= 3 ，4v 的出度)(deg 4v +
=1 ，从2v 到4v 的长度为2的路有 1 条。

4、一棵无向树的顶点数为n ，则其边数为n-1 ，其结点度数之和是2n-2。

5、一个无向图有生成树的充分必要条件是(它是连通图)。

6、设T=〈V,E 〉是一棵树，若|V|>1，则T 中至少存在(2)片树叶。

7、任何连通无向图G 至少有(1)棵生成树，当且仅当G 是(树)，G 的生成树只有一棵。

8、设T 是一棵树，则T 是一个连通且(无简单回路)的图。

9、设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有(12)个顶点。

10、任一有向图中，度数为奇数的结点有(偶数)个。

11、一棵树有2个2度顶点，1 个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（9）。

三、问答题
1、设无向图G=<V,E>，|E|=12。

已知有6个3度顶点，其他顶点的度数均小于3。

问G 中至少有多少个顶点？
解：设G 中度数小于3的顶点有k 个，由欧拉定理24=
∑∈V
v v )deg(知，度数小于3 的顶点度
数之和为6。

故当其余的顶点度数都为2时，G 的顶点最少。

即G 中至少有9个顶点。

2、判断下列图是否为欧拉图？说明理由，存在是否哈密尔顿回路。

解：一个无向图D 是欧拉图⇔ D 是连通的，且所有顶点的度等于偶数。

所以是欧拉图，但无哈密尔顿回路。

∙ ∙ ∙
∙ ∙
四、计算题
1、有向图,D V E =<>，其中结点集1234{,,,}V v v v v =，
有向边集121314214243{,,,,,,,,,,,}E v v v v v v v v v v v v =<><><><><><> （1）求D 的邻接矩阵A ；（2）求D 的可达性矩阵P ； （3）说明1v 到3v 长度为4的路径有几条？ （4）说明1v 到其它各顶点长度为3的路径有几条？
解：（1）01111
00000000
11
0A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（2）23443553333200002331R A A A A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111111100001111P ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）1v 到3v 长度为4的路径有2条，（4）1v 到其它各顶点长度为3的路径有3条.
2、设有如下有向图G=<V,E>， （1）求G 的邻接矩阵；（2）G 中v 1到v 4的长度为4 的通路有多少条？（3）G 中经过v 1的长度为3 的回路有多少条？（4）G 中长度不超过4 的通路有多少条？其中有多少条通路？
v 3
解：（1）A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01
00
10000101
0111，A 2
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10
00
010********
2
，A 3
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡01
00
10001312242
3
，A 4
=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡1000
010********
5
（2）G 中v 1到v 4的长度为4 的通路有4条； （3）G 中经过v 1的长度为3 的回路有3条；
（4）G 中长度不超过4 的通路有72条，其中有19条回路。

五、证明题
1、设图G=<V,E>，|V|=n，|E|=m。

k度顶点有n k个，且每个顶点或是k度顶点或是k+1度顶点。

证明：n k= (k+1)n -2m。

证明：由已知可知，G中k+1度顶点为n-n k个。

再由欧拉定理可知
2m=∑
∈V
v
v)
deg(=kn k+(k+1)(n-n k)=(k+1)n-n k，故n k=(k+1)n -2m。

2、设G=<V,E>是n个顶点的无向图(n>2)，若对任意u,v∈V，有d(u)+d(v)> n-2，则G是连通图。

证明：用反证法证明。

若G 不连通，则它可分成两个独立的子图G
1和G
2
，其中
|V(G
1)|+|V(G
2
)|=n ，且G
1
中的任一个顶点至多只和G
1
中的顶点邻接，而
G 2中的任一顶点至多只和G
2
中的顶点邻接。

任取u∈V(G
1
),v∈V(G2),则
d(u)≤|V(G1)|-1, d(v)≤|V(G2)|-1。

故d(u)+d(v) ≤(|V(G1)|-1)+(|V(G2)|-1)≤|V(G1)|+|V(G2)|-2 =n-2，这与已知矛盾。

故G是连通图。