(整理)微分方程的例题分析及解法

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微分方程基础练习题(简易型)含答案解析

微分方程基础练习题(简易型)含答案解析题目1. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x$，其中 $y(0)=1$。

2. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，其中 $y(0)=1$。

3. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2y = -4$。

4. 解微分方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = \sin x$。

答案解析1. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = x^3+x+c$，其中$c$ 为任意常数。

由 $y(0)=1$ 可求出 $c=1$，所以 $y=x^3+x+1$。

2. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = 0$，得到 $y=Ce^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + y = x$，设其特解为 $y=ax+b$，代入方程得到 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{2}$。

因此通解为 $y=Ce^{-x}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$。

由 $y(0)=1$ 可得到 $C=\frac{1}{2}$，所以 $y=\frac{1}{2}(2e^{-x}+x+1)$。

3. 对微分方程两边同时积分，得到 $y = Ce^{2x}+2$，其中$C$ 为任意常数。

4. 首先解齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y = 0$，得到 $y=Ce^{-9x}$，其中 $C$ 为任意常数。

对于非齐次方程 $\frac{dy}{dx} + 9y= \sin x$，由于 $\sin x$ 不是指数函数 $e^{kx}$ 的线性组合，所以采用常数变易法，设其特解为 $y=A\sin x + B\cos x$，代入方程得到 $A=-\frac{1}{82}$，$B=\frac{9}{82}$。

因此通解为 $y=Ce^{-9x}-\frac{1}{82}\sin x+\frac{9}{82}\cos x$。

微分方程例题精讲

1 C1 ( 2 ) dx x x
C 2 xe

C1 x
.
二、高阶微分方程的计算
题型2 高阶线性微分方程
[解题思路]特征方程，待定系数法。常系数线性微分方程：齐次：特征根法；非齐次：待定系数法。可化为常系数的微分方程：变量代换。线性微分方程解的理论。
例9 求特解
y 2 y y xe e , y (1) y(1) 1
显然S(0)=0。因此S(x)满足初值问题
x y xy , y(0) 0 2
3
一阶线性
(II)
x3 y xy , y(0) 0 2
一阶线性
常数变易法
对应的齐次方程为: y xy 0.
dy xdx ln | y | x ln | C | y Ce y 2

可分离变量
u sin u cos u du dx 两边积分 2u cos u x C 所求通解为 xy cos y C u cos u 2 x x
还原
例4 求通解 xy 2 y 3 x y
3
4 3
解: 原式可化为 y 2 y 3x y
2
4 3
x
n
此方程的一般形式为
可分离变量
分离变量解得
1 P C1 y
2
dy P C1 y 1 即 C1 y 1 dx
可分离变量
还原
故方程的通解为
2 C y 1 x C 2 C1 1
例8 求方程 yy y 0 的通解
2
d ( yy) 0 解: 将方程写成 dx
故有 yy C1
求解方程 y 4 y 1 ( x cos 2 x) 例10 2

微分方程习题课例题解答

微分方程习题课例题解答例1．若微分方程的通解为x C y x +=e ，求该微分方程．解：对x C y x +=e 求导，有1e +='x C y ，消去C ，得1+-='x y y ，这就是所求的微分方程．例2．若函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23是二阶线性方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：根据非齐次线性微分方程两个解的差是相应齐次线性微分方程的解，得相应齐次线性方程的两个线性无关的解x x y y y y 22313e e =-=--、，于是应齐次线性方程的通解为 x x C C Y 221e e +=-．取非齐次线性微分方程的一个特解为x x y y y y e 321*=-+=，所以原方程的通解为 x x x x C C y Y y e e e 221*++=+=-．（注：*y 也可以取321y y y 、、中的任何一个）例3．已知221,x y x y ==是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，x y e *=是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的一个特解，写出二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解，并写出此微分方程．解：因为221,x y x y ==线性无关，根据线性微分方程解的结果，该方程的通解为 xx C x C y e 221++=．将221,x y x y ==分别代入到齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 之中，有⎩⎨⎧=++=+，，0)()(220)()(2x Q x x xP x xQ x P 解得x x P 2)(-=，22)(x x Q =．将xy e *=代入到非齐次线性微分方程)(222x f y xy x y =+'-''之中，得 x x x xx x x x x f e )221(e 2e 2e )(22+-=+-=．所以该微分方程为xx x y xy x y e )221(2222+-=+'-''，或写为x x x y y x y x e )22(2222+-=+'-''．例4．求解下列微分方程：（1）求xy y y x 2=+'满足初始条件0)1(=y 的特解；解：先求方程的通解．（方法1）化为齐次方程xyx y y 2=+'，令u x y =，则u u u x u x 2d d =++，分离变量有xxu u u d )1(2d -=-，积分得x C u ln )1ln(=-，即x C u =-1，通解为C x xy =-．（方法2）看作伯努利方程y xx y y 2=+'（21=n ），令y y z n ==-1，则方程化为一阶线性方程xx z z 12=+'，通解为)(1)d (1)d e 1(e2d 2d x C xx C x x x C z y x xxx+=+=⎰+⎰==⎰⎰-，即C x xy =-．（方法3）令u xy =，则方程化为u x u 2d d =，分离变量为x uud 2d =，积分得C x u +=，即通解为C x xy =-．再求满足初始条件的特解，由0)1(=y ，得1=C ，特解为1=-x xy ，或写作xx y 2)1(-=．（2）求)(ln 2d d x y y x y -=的通解；解：（方法1）将方程改写为y x y y x )(ln 2d d -=，即yy x y y x ln 22d d =+，则方程通解为 )d ln (1)d ln 2(1)d e ln 2(e222d 2d y y y y C yy y y C y y y y C x y y tyt⎰⎰⎰-+=+=⎰+⎰=-)2ln (122y y y C yy-+=,或写作2ln 222y y y C xy -+=.（方法2）令u x y =-ln ，则xux y y d d 1d d 1=-，于是u x u 211d d =+，即u u x u 221d d -=，分离变量有x u u d d )2111(-=--，积分得C x u u ln 21)21ln(21+-=-+，即 C u x u ln )21ln()(2=-++，化简为C x y y =+-)2ln 21(2，这就是原方程通解.（3）求y x x y ++-='221的通解；解：令u y x =+2，则u y x '='+2，于是u u +='1，分离变量为x uu d 1d =+.因为t tt t t t u uu d )111(2d 121d ⎰⎰⎰+-=+=+C u u C t t -+-=-+-=)]1ln([2)]1ln([2，所以方程通解为 x C u u =-+-)]1ln([2，即C x y x y x +=++-+)]1ln([222．（4）求)ln (ln x y y y x -''=''的通解；解：令)(x p y ='，则p y '=''，于是)ln (ln x p p p x -='，即xpx p x p ln d d =，这是齐次方程，再令u x p =，则u u u x u x ln d d =+，分离变量为xx u u u d )1(l n d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即x C x xu p y 11e +==='，所以方程通解为21111111)1(e ]d e [e 1d e1111C C x C x C x x y x C x C x C xC +-=-==++++⎰⎰．（5）求012=+'-''y y y 的通解；解：令)(y p y ='，则p p y '=''，于是012=+-'p p yp ，分离变量为y yp p p d d 12=-，积分得y C p 12ln 1ln 21=-，即22121y C y =-'．当1±='y 时，则C x y +±=；当1>'y 时，有22121yC y =-'，则1221+±='y C y ，分离变量有x C y C y C d 1d 12211±=+，积分得211arsh C x C y C +±=，原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=；当1<'y 时，有22121y C y ='-，则2211y C y -±='，分离变量有x C yC y C d 1d 12211±=-，积分得211arcsin C x C y C +±=，原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=．（6）1)9(62='++''+'''y a y y （0>a ）．解：这是三阶常系数非齐次线性方程，相应齐次线性方程为0)9(62='++''+'''y a y y ，特征方程为0)9(6223=+++r a r r ，特征根是ai a r r ±-=-±-==3246023,21、，相应齐次线性方程通解为x ax C ax C C Y 3321e )sin cos (-++=．对于原方程，0=λ是单重特征根，0=m ，为此设bx y =*，代入方程有1)9(2=+b a ，得291a b +=，所以2*9a x y +=．原方程通解为23321*9e )sin cos (a xax C ax C C y Y y x++++=+=-．例5．已知1)(=πϕ，试确定函数)(x ϕ使0d )(d )]([sin =+-y x x xyx x ϕϕ是全微分方程，并对所确定的)(x ϕ，求该方程满足1)(=πy 的特解．解：设)()]([sin x Q x y x x P ϕϕ=-=、，由0d )(d )]([sin =+-y x x xyx x ϕϕ是全微分方程，有yPx Q ∂∂=∂∂，得)]([sin 1)(x x x x ϕϕ-='，即x x x x x sin )(1)(=+'ϕϕ，这是一阶线性方程，通解为)cos (1)d sin (1)d e sin (e)(d d x C x x x C x x x x C x x xxx-=+=⎰+⎰=⎰⎰-ϕ．由1)(=πϕ，有)1(11+=C π，得1-=πC ，所以)cos 1(1)(x xx --=πϕ．这时原方程为0d )cos 1(1d )]cos 1(1[sin =--+---y x xx x y x x x ππ， )cos 1(d )cos 1(1d 0d d )(01),()0,1(x x yy x x x y Q x P y x u y x y x --=--+=+=⎰⎰⎰ππ，，于是原方程通解为1)cos 1(C x xy=--π，由1)(=πy ，得11=C ，所以原方程的特解是1)cos 1(=--x x y π，或写作xx y cos 1--=π．（注：方程通解也可以用凑微分方法得到，方程左式凑微分得0)]cos 1([d =--x xyπ，于是原方程通解为1)cos 1(C x xy=--π）例6．若函数)(x f 连续，且满足⎰--+=x t t f t x x x x f 0d )()(cos sin )(，求)(x f ．解：将所给式子改写为⎰⎰+-+=x x t t tf t t f xx x x f 0d )(d )(cos sin )(，有1)0(=f ，且⎰⎰--=+---='x xt t f x x x xf x xf t t f x x x f 0d )(sin cos )()(d )(sin cos )(，1)0(='f ．)(cos sin )(x f x x x f ---=''，即x x x f x f cos sin )()(--=+''，这是二阶常系数非齐次线性微分方程，相应齐次线性方程为0)()(=+''x f x f ，其特征方程是012=+r ，特征根为i r ±=，相应齐次线性方程通解为x C x C F sin cos 21+=．考虑方程ixx f x f e )()(-=+''，这里i =λ是特征根，0=m ，为此设ix ax fe **=，将ax x Q =)(代入到)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ之中，有12-=ia ，得221i i a =-=，于是)cos (sin 2)sin (cos 2e 2**x i x xx i x x i x i f ix --=+==，则x x x f x f cos sin )()(--=+''的一个特解为)sin (cos 2)Re()Im(*****x x xf f f -=+=，所以方程x x x f x f cos sin )()(--=+''的通解为)sin (cos 2sin cos )(21*x x xx C x C f F x f -++=+=． )cos (sin 2)sin (cos 21cos sin )(21x x xx x x C x C x f +--++-='，由初始条件1)0(=f 、1)0(='f ，得21121==C C 、，所以所求函数为=-++=)sin (cos 2sin 21cos )(x x xx x x f x x x x sin )221(cos )21(-++．例7．若二阶可导函数)(u f z =，其中y u xsin e =，满足方程x z yzx z 22222e =∂∂+∂∂，且0)0(=f ，2)0(='f ，试求函数)(u f ．解：y u f x u u z x z x sin e )(d d '=∂∂=∂∂，y u f yuu z y z x cos e )(d d '=∂∂=∂∂， y u f y u f y u f x xz x x x sin e )()sin e )((]sin e )([222'+''='∂∂=∂∂， y u f y u f y u f y yz x x x sin e )()cos e )((]cos e )([222'-''='∂∂=∂∂，由x z yz x z 22222e =∂∂+∂∂，有xx u f u f 22e )(e )(=''，即0)()(=-''u f u f ，这是二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程是012=-r ，特征根为1121-==r r 、，方程的通解是u u C C u f -+=e e )(21，u u C C u f --='e e )(21，由条件2)0(0)0(='=f f ，，有021=+C C ， 221=-C C ，得1121-==C C 、，所所求函数是u u u f --=e e )(．例8．求幂级数∑∞=-12!)!12(n nn x 的和函数．解：设∑∞=--=1121!)!12()(n n n x x s ，则0)0(1=s ，且)(1!)!12(1!)!32(1!)!32(1)(11122322221x xs n x x n x x n x x s n n n n n n +=-+=-+=-+='∑∑∑∞=-∞=-∞=-，即1)()(11=-'x xs x s ，这是一阶线性微分方程，通解为 )d e(e )d e (e )(x22xd d 122t C t C x s t x tt xx ⎰⎰--+=⎰+⎰=．由0)0(1=s ，得0=C ，所以幂级数∑∞=-12)!!12(n nn x 的和函数t x xs x s t x d ee)()(x 022122⎰-==．例9．设曲线位于xOy 面的第一象限，曲线上任一点)(y x M ，处的切线与y 轴交于A 点，=，且曲线过点2)323(，，求该曲线方程．解：设所求曲线为)(x f y =，其在任一点)(y x M ，的切线方程为 ))(()(x X x f x f Y -'=-，令0=X ，得)()(x f x x f Y '-==，有222)]([Y x f Y x =-+，即)()()(2)()(222222x f x x f x xf x f x f x x '+'-='+，亦即yxx y y -='2，这是一阶齐次微分方程，令xu y =，则u x u x f '+=')(，于是u u u x u 1)(2-='+，即u u u x 212+-='，分离变量有x x u u u d d 122-=+，积分得x C u ln )1ln(2=+，即x C xy =+122．由初始条件23)23(=y ，有C 322=，得3=C ，所求曲线方程为x xy 3122=+，由曲线位于第一象限，于是)30(32≤≤-=x x x y ．例10．一个质量为m 的物体，在海平面上由静止开始下沉，经过0t 秒后沉到海底，下沉过程中海水对物体的阻力与物体下沉速度成正比，求物体下沉运动的规律及海洋的深度h ．解：铅直向下取x 轴，原点在海平面，设时刻t 时，物体位于)(t x x =处，此时受力为t x k mg F d d -=（k 为比例系数），根据牛顿第二定律F ma =，有t xk mg tx m d d d d 22-=，即g tx m k t x =+d d d d 22（这是二阶常系数线性非齐次微分方程），初始条件为00==t x ，0d d 0==x t x．相应齐次微分方程为0d d d d 22=+t xm k tx ，特征方程为02=+r m k r ，特征根为01=r 、mkr -=2，相应齐次微分方程通解为t m kC C X -+=e 21．对原方程g t xm k tx =+d d d d 22，0=n 、0=λ是单重特征根，为此设at x =*，代入到方程之中，有g a m k =，得k mg a =，于是方程g t xm k tx =+d d d d 22的一个特解为t k mg x =*．方程g t x m k tx =+d d d d 22的通解为=+=*x X x t k mg C C t m k++-e 21． kmg m k C t x t m k+-=-e d d 2，由初始条件00==t x ，0d d 0==x t x，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+，，00221k m g mkC C C得222221k g m C k g m C =-=、，所以物体运动规律为t k mgk g m x t m k+-=-)1e (22．当0t t =时，得海洋深度为022)1e (0t k mgkg m h t m k+-=-．。

微分方程习题及答案

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程例题选解

微分方程例题选解1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2x e x xdy y x dx y =+-==。

解：原方程化为x y x x dx dy 1ln 1=+，通解为 ⎰+⎰⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e xe y dx x x dx x x⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11ln ln 2y x x =+。

2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。

解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2u u u x u -='+，分离变量得 dx x udu 12=-，积分得C x u+=ln 1，原方程的通解为 ln xy x C=+。

3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。

解：此题为全微分方程。

下面利用“凑微分”的方法求解。

原方程化为 03223=---dy y ydy x dx xy dx x ，由 dy y ydy x dx xy dx x 3223---42222441)(2141dy dy x dx y dx -+-=)2(414224y y x x d --=，得 0)2(4224=--y y x x d ，原方程的通解为 C y y x x =--42242。

注：此题也为齐次方程。

4. 求解微分方程2''1(')y y =+。

解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为21p dxdp+=，分离变量得dx p dp=+21，积分得 1arctan C x p +=，于是 )tan(1C x p y +=='，积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。

5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。

（完整版）常微分方程基本概念习题及解答

（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

(整理)常微分方程(含解答)

第八章常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。

二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。

三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的解法——常数变易法和公式法。

四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。

五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程0=+'+''qy y p y 的解法——特征根法。

会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。

六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程qy y p y +'+'')(x f =，当自由项f (x )为某些特殊情况时的解法——待定系数法。

所谓f (x )为某些特殊情况是指f (x )为多项式函数，指数函数或它们的和或乘积形式、三角函数x x x ββαsin cos ,e 。

关键是依据f (x )的形式及特征根的情况，设出特解y *,代入原方程，定出y *的系数。

【教学重点】一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。

【典型例题】。

的阶数是微分方程例)(e )(12x y y y =-'+''2.1.B A 4.3.D C 解：B。

的特解形式是微分方程例)(e 232x x y y y +=+'-'' x x x b ax B b ax A e )(.e ).(++x x c b ax D cx b ax C e ).(e ).(++++解：C是一阶线性微分方程。

下列方程中例)(,3 x x y y x B y A yx cos sin 1.e .2=+'='+ y x y D y y x y C ='=+'+''.0.解：B ⎩⎨⎧=='++1)1(0)1(4y y x y y 求解初值问题例 ⎰⎰-=+x x y y y d )1(d 解：由变量可分离法得c x y y ln ln 1ln+-=+∴ 代入上式得通解为由21ln ln 1)1(=⇒=c yx y y 211=+ 的特解。

二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及例题详解

y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子 d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，
则有 y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式， F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为 y=f(x)/F(D) 。
降阶法：
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an…… y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)! y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n! 令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由
y*= xQk (x) ex
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根，依次取0,1 或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。

微分方程习题和答案

微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'；（2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='；（5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

(整理)微分方程的例题分析及解法

微分方程的例题分析与解法本单元的基本容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x p dx x p )( 齐次型微分方程)(xy f y =' 令xy u =，则方程化为关于未知数u 与自变量x 的变量可分离的微分方程。

三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）)(x f y =''，直接积分；（2）),(y x f y '=''，令p y ='，（3）),(y y f y '=''，令p y ='，则p dydp y ='' 这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程02=++q p λλ求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点)()(x P e x f m x μ=和 []x x p x x P e x f n l ax ββsin )(~cos )()(+=设置特解*y 的形式，然后使用待定系数法。

四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。

大学数学微分方程练习题及答案

大学数学微分方程练习题及答案微分方程是大学数学中重要的一门学科，它在科学和工程领域中有着广泛的应用。

掌握微分方程的求解技巧对于学生来说至关重要。

以下是一些常见的微分方程练习题及详细解答，希望对你的学习有所帮助。

题目一：求解一阶线性常微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

求解该微分方程。

解答一：为了求解上述微分方程，我们可以利用一阶线性常微分方程的常数变易法。

首先将方程写成标准形式：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$分别是已知的函数。

设通解为$y=e^{\int P(x)dx}u(x)$，其中$u(x)$是一个待定的函数。

将该通解代入原微分方程中，经过简化后得到：$u(x)=\int e^{-\int P(x)dx}Q(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$y=e^{\int P(x)dx}(\int e^{-\intP(x)dx}Q(x)dx+C)$。

题目二：求解分离变量的微分方程给定微分方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$，其中$f(x)$和$g(y)$是已知的函数。

求解该微分方程。

解答二：为了求解上述微分方程，我们可以利用分离变量的方法。

首先将方程重写为$\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx$。

对两边同时积分，得到$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

经过积分运算后可得到$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$，其中$C$是常数。

因此，该微分方程的通解为$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx+C$。

题目三：求解二阶常系数齐次线性微分方程给定微分方程：$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$，其中$a$和$b$是已知的常数。

高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解

强迫振动问题例题
01
解题步骤
02 1. 将外力函数展开为傅里叶级数或三角级数。
03 2. 将展开后的级数代入原方程，得到一系列简单的一阶或二阶常系数线性微分方程。
强迫振动问题例题
3. 分别求解这些简单方程，得到原方程的通解。
示例：考虑方程 $y'' + 4y = sin t$，首先将 $sin t$ 展开为三角级数，然后代入原方程进行求解，得到通解为 $y(t) = C_1 cos(2t) + C_2 sin(2t) + frac{1}{8} sin t$。
详细描述
自由振动问题通常可以通过求解特征方程得到，特征方程是一元二次方程，其根决定了微分方程的解的形式。如果特征方程有两个不相等的实根，则微分方程的解为两个独立的指数函数；如果特征方程有两个相等的实根，则微分方程的解为单一的指数函数；如
果特征方程有一对共轭复根，则微分方程的解为正弦和余弦函数。
强迫振动问题
方程形式与特点
01
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03
04
05
二阶常系数非齐次线性该方程具有以下特点微分方程的一般形式为： $y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$，其中$p(x)$、 $q(x)$和$f(x)$是已知函数，$y$是未知函数。
未知函数$y$的最高阶导系数是常数，不随$x$变右边的函数$f(x)$是非齐
高数二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题详解
• 引言 • 二阶常系数非齐次线性微分方程的解
法 • 常见题型及解题技巧 • 例题详解 • 总结与思考
01
引言
背景介绍
二阶常系数非齐次线性微分方程在自然科学、工程技术和社会科学等领域有广泛应用，如物理学、化学、生物学、经济学等。

微分方程应用问题案例

第四章微分方程一、微分方程的概念案例1 [曲线方程]已知曲线过点(１，２)，且曲线上任一点处切线的斜率是该点横坐标的倒数，求此曲线方程．解:设曲线方程为，于是曲线在点处切线的斜率为．根据题意有（4.1.1）又曲线过点（１，２），故有（4.1.2）对式（4.1.1）两边积分，得将式(4.1.2)代入上式，得，即．故所求曲线方程为．案例2 [自由落体运动]一质量为的质点,在重力作用下自由下落,求其运动方程.解:建立坐标系如图（1）所示，坐标原点取在质点开始下落点, 轴铅直向下.设在时刻质点的位置为,由于质点只受重力作用,且力的方向与轴正向相同，故由牛顿第二定律，得质点满足的方程为，即．方程两边同时积分，得上式两边再同时积分，得其中是两个独立变化的任意常数．案例3[列车制动] 列车在直线轨道上以20米/秒的速度行驶，制动列车获得负加速度-0.42米秒，问开始制动后要经过多少他长时间才能把列车刹住？在这段时间内列车行驶了多少路程？解: 记列车制动的时刻为t=0，设制动后t 秒列车行驶了s 米.由题意知，制动后列车行驶的加速度220.4d sdt =-，（4.1.3）初始条件为当0t =时，0s =，20dsv dt ==.将方程（4.1.3）两端同时对t 积分，得1()0.4dsv t t C dt ==-+， (4.1.4)式(4.1.4)两端对t 再积分一次，得2120.2C C s t t =-++ ， (4.1.5)其中1C ，2C 都是任意常数，把条件当t=0时， 20dsdt =代入（4.1.4）式，得1C 20=,把t=0时，s=0代入式（4.1.5），得2C ＝0．于是，列车制动后的运动方程为20.220s t t =-+ ，（4.1.6）速度方程为0.420dsv t dt ==-+ . （4.1.7）因为列车刹住时速度为零，在式（4.1.7）中，令 0dsv dt ==,得0=-0.4t+20，解出得列车从开始制动到完全刹住的时间为2050()0.4t s ==再把t=50代入式（4.1.6），得列车在制动后所行驶的路程为20.22050500()50s m =-⨯+⨯=二、可分离变量的微分方程案例1 [国民生产总值] 1999年我国的国民生产总值（GDP ）为80,423亿元，如果我国能保持每年8%的相对增长率，问到2010年我国的GDP 是多少？解: (1)建立微分方程记0t =代表1999年，并设第t 年我国的GDP 为()P t ．由题意知，从1999年起，()P t 的相对增长率为8%，即 ()8%()dP t dt P t =，得微分方程()8%()dP t P t dt =，且(0)80,423.P =（2）求通解分离变量得()8%()dP t dtP t =,方程两边同时积分，得 ln ()0.08ln P t t C =+ (3) 求特解将(0)80,423.P =代入通解，得80,423C =，所以从1999年起第t 年我国的GDP 为()P t =0.08t 80,423e ,将2010199911t =-=代入上式，得2010年我国的GDP 的预测值为(11)P =0.081180,423e 193891.787⨯=(亿元) ．案例2 [落体问题] 设跳伞运动员从跳伞塔下落后，所受空气的阻力与速度成正比．运动员离塔时（t=0）的速度为零，求运动员下落过程中速度与时间的函数关系．解: （1）建立微分方程运动员在下落过程中，同时受到重力和空气阻力的影响．重力的大小为mg ，方向与速度v 的方向一致；阻力的大小为kv(k 为比例系数)，方向与v 相反．从而运动员所受的外力为F mg kv =-，其中m 为运动员的质量.又由牛顿第二定律有F ma =，其中a 为加速度，dva dt =．于是在下落过程中速度()v t 满足微分方程dvmmg kv dt =-，初始条件为00==t v .（2）求通解方程是一个可分离变量的微分方程．分离变量后，得m dtkv mg dv =-．两端积分得1)ln(1C m t kv mg k +=--,即 tmk e C kv mg -=-2(其中12kC C e -=)，或 t m kCe k mg v -+=（其中2C C k =）.（3）求特解把初始条件0==t v 代入通解，得k mg＝－C ．于是所求速度与时间的关系为 )1(t m ke k mgv --=.由上式可见，当t 很大时，t mke-很小，此时v 接近于mgk ．由此可见，跳伞运动员开始跳伞时是加速运动，以后逐渐接近于匀速运动，其速度为k mg v =.案例3 [环境污染问题] 某水塘原有50000t 清水(不含有害杂质)，从时间0=t 开始，含有有害杂质%5的浊水流入该水塘．流入的速度为2t ／min ，在塘中充分混合(不考虑沉淀)后又以2t ／min 的速度流出水塘．问经过多长时间后塘中有害物质的浓度达到%4?解:（1）建立微分方程设在时刻t 塘中有害物质的含量为()t Q ，此时塘中有害物质的浓度为()50000t Q ，不妨设单位时间内有害物质的变化量为 M 单位时间内流出塘的有害物质的量为S 2,于是有 d 12d QM S S t ==-即 ()()2500010125000021005d d t Q t Q tQ -=⨯-⨯= , 初始条件为()00Q =. （2）求通解方程是式是可分离变量方程，分离变量得d 12500-()25000Q dtQ t =-,积分，得()250002500tCet Q -=-,即()250002500t Q t Ce-=+．（3）求特解由初始条件0=t ，0=Q 得2500-=C ，故()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2500012500t e t Q ．当塘中有害物质浓度达到%4时，应有2000%450000=⨯=Q (t)，这时t 应满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-25000125002000te ．由此解得6.670≈t (min)，即经过6.670min 后，塘中有害物质浓度达到%4，由于()2500lim =+∞→t Q t ，塘中有害物质的最终浓度为 25005%50000=．案例4 [刑事侦察中死亡时间的鉴定] 牛顿冷却定律指出：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比，现将牛顿冷却定律应用于刑事侦察中死亡时间的鉴定．当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的37℃按照牛顿冷却定律开始下降，如果两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度H 随时间t 的变化规律．又如果尸体发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的？解: （1）建立微分方程设尸体的温度为)(t H (t 从谋杀后计)，根据题意，尸体的冷却速度t Hd d 与尸体温度H 和空气温度20之差成正比．即t Hd d ()20--=H k ，其中0>k 是常数，初始条件为()037H =．（2）求通解分离变量得d d 20Hk tH =--积分得kt Ce H -=-20（3）求特解把初值条件()370=H 代入通解，求得17=C ．于是该初值问题的解为kt e H -+=1720为求出k 值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，有2172035⋅-+=k e求得063.0≈k ，于是温度函数为te H 063.01720-+=将30=H 代入上式有 te 063.01710-=，即得4.8≈t （h ）．于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的4.8h ，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的．案例5 [第二宇宙速度] 地球对物体的引力F 与物体的质量m 以及物体离地心的距离s 间的关系为22s mgR F -=，这里g 是重力加速度，R 为地球半径．验证：如果物体以gR v 20≥的初速度发射，则永远不会返回地球．解:（1）建立微分方程由牛顿第二定律ma F =，其中dt dva =，有v s v m t s s v m t v mF ⋅=⋅==d d d d d d d d ，故有22d d s R mg s v mv -=，初始条件为R s =时，0v v =.（2）求通解变量分离后为s s gR v v d d 22--= 两边积分ss gR v v d d 22-⎰⎰-=得 Cs gR v +=222（3）求特解把R s =时，0v v =，代入通解得gR v C 22120-=，故有 gRv s gR v 222022-+=由此可见，当s 很大时，s gR 22很小，当gR v 20≥时，速度v 永远大于0，所以物体永远不会返回地面．三、一阶线性微分方程案例1 [溶液的混合] 一容器内盛有50L 的盐水溶液，其中含有10g 的盐．现将每升含盐2g 的溶液以每分钟5L 的速度注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以3L 升/min 的速度流出溶液，问在任一时刻t 容器中含盐量是多少？解: （1）建立微分方程设t 时刻容器中含盐量为x 克，容器中含盐量的变化率为dt dx=盐流入容器的速度－盐流出容器的速度（4.3.1）其中，盐流入容器的速度=2（克/升）×5（升/分）=10(克/分),盐流出容器的速度=t x 250+（克/升）×3（升/分）=t x2503+(克/分)由式（4.3.1）可得310502dx x dt t =-+即102503=++x t dt dx由题意知初始条件为10t x==．（2）求通解直接应用求一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得3350250210dt dt t tx e e dt C -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰)250(2)250()250(10)250(232323t t C C dt t t +++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=--⎰32(502)4100C t t -=+++（3）求特解将初始条件10t x==代入通解，得C=-225002.所以，在时刻t 容器中的含盐量为=x 100+4t-22500223)250(-+t (g)．案例2 [RL 电路] 在一个包含有电阻R （单位：Ω），电感L （单位：H ）和电源 E （单位：V ）的RL 串联回路中，由回路电流定律，知电流（单位：A ）满足以下微分方程dI R E I dt L L +=,若电路中电源t 2sin 3伏，电阻10Ω，电感0.5H 和初始电流6A ，求在任何时刻t 电路中的电流．解:（1）建立微分方程这里t E 2sin 3=，10=R ，5.0=L ，将其代入RL 电路中电流应满足的微分方程，得t I dt dI 2sin 620=+，初始条件为06t I == ．（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得通解2020(6sin 2)dt dt I e t e dt C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()20206sin 2t t e te dt C -=+⎰20303sin 2cos 2101101t Ce t t -=+-，（3）求特解将 0t =时, 6I =代入通解，得2003036sin 20cos 20101101Ce -⨯=+⨯-⨯（）（），解之，得609101C =，所以，在任何时刻 t 的电流为 20609303sin 2cos 2101101101t I e t t -=+-．案例3 [RC 回路] 在一个包含有电阻 R （ Ω），电容C （F ）和电源 E （V ）的 RC 串联回路中，由回路电流定律，知电容上的电量q （C ）满足以下微分方程1dq E q dt RC R +=,若回路中有电源 400cos2t (V),电阻100 Ω，电容0.01F ，电容上没有初始电量.求在任意时刻 t 电路中的电流．解: （1）建立微分方程我们先求电量 q .这里 400cos 2,100,0.01E t R C ===，将其代入RC 回路中电量q 应满足的微分方程得4cos 2dq q t dt +=，初始条件为 00t q ==.（2）求通解此方程是一阶线性微分方程，应用公式(4.3.4)，得84sin 2cos 255t q Ce t t -=++，将 0t =, 0q =代入上式，得0840sin 20cos 2055Ce -=+⨯+⨯（）（），解之，得45C =-．于是 484sin 2cos 2555t q e t t -=-++，再由电流与电量的关系 dq I dt =，得4168cos 2cos 2555t I e t t -=+-．。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题大家好，今天我们来探讨一下二阶常系数非齐次线性微分方程的解法及一些例题。

我们要明白什么是二阶常系数非齐次线性微分方程。

简单来说，就是一个未知函数y与其导数y关于t的关系式，形式如下：dy/dt + A*y = B*exp(ct)其中，A、B、c是已知常数，t是自变量。

这个方程的解法有很多种，但是我们今天主要讨论两种方法：一种是分离变量法，另一种是特征线法。

我们来看一下分离变量法。

分离变量法的基本思想是把未知函数y看作两个函数的和，一个是指数函数e^(ct),另一个是线性函数y(t)。

这样一来，我们就可以用积分的方法求解这个方程了。

具体步骤如下：1. 把方程改写为：e^(ct) = y(t) B/A*ln|y(t)|2. 对两边取对数：ln|y(t)| = ct ln|y(t)| ln(B/A)3. 对上式两边求积分：∫[0,∞] ln|y(t)| dt = ∫[0,∞] (ct ln|y(t)| ln(B/A)) dt4. 根据积分公式和性质，我们可以得到：y(t) * e^(-bt) = B/A * e^(-bt) * |y(t)|^n + C,其中n是一个待定常数5. 通过比较系数，我们可以得到：y(t) = (B/A)^n * |y(t)|^n6. 这样我们就得到了二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。

接下来，我们可以通过凑特解的方法得到原方程的通解。

下面我们来看一下特征线法。

特征线法的基本思想是找到一个特征线，使得它与原方程有相同的极值点。

具体步骤如下：1. 对于特征线l:y = x + c,代入原方程得：x + c = x + A*y B*exp(ct) => A*y =B*exp(ct) + c => y = (B/A)*exp(ct) + c/A2. 由于特征线l与原方程有相同的极值点，所以我们可以得到原方程的通解为：y = (B/A)^n * exp(ct) + c/A * (x x0)^n3. 其中，x0是特征线的交点的横坐标，n是待定常数。

微分方程与差分方程详解与例题

第七章常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。

微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。

特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。

【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。

【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。

【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。

理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。

了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。

会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。

【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。

求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。

2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。

利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。

若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。

(整理)微分方程的例题分析与解法

微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。

二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。

对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。

，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。

2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。

一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题在学习高等数学的过程中，二阶常系数非齐次线性微分方程是一个重要的知识点。

理解和掌握它的解法，对于解决许多实际问题和理论研究都具有重要意义。

首先，我们来了解一下二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：＄y'＇＋ py' ＋ qy ＝ f(x)＄，其中$p$、＄q$是常数，＄f(x)＄是一个已知函数。

其解法的关键在于先求出对应的齐次方程的通解，然后再求出非齐次方程的一个特解，最终将两者相加得到非齐次方程的通解。

对于齐次方程$y'＇＋ py' ＋ qy ＝ 0$，我们可以通过特征方程$r^2＋ pr ＋ q ＝ 0$来求解。

特征方程的根有三种情况：1、两个不相等的实根$r_1$和$r_2$，此时齐次方程的通解为$y_c＝ C_1e^｛r_1x} ＋ C_2e^｛r_2x}＄。

2、两个相等的实根$r$，通解为$y_c ＝（C_1 ＋C_2x)e^｛rx}＄。

3、一对共轭复根$＼alpha ＼pm ＼beta i$，通解为$y_c ＝ e^｛＼alpha x}（C_1\cos\beta x ＋ C_2\sin\beta x)＄。

接下来，我们重点讨论如何求非齐次方程的特解。

根据$f(x)＄的形式，通常使用待定系数法来求解。

常见的$f(x)＄形式有以下几种：1、＄f(x) ＝ P_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$P_n(x)＄是$x$的$n$次多项式。

若$＼lambda$不是特征根，设特解为$y_p ＝ Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄，其中$Q_n(x)＄是与$P_n(x)＄同次的待定多项式。

若$＼lambda$是特征方程的单根，设特解为$y_p ＝ xQ_n(x)e^｛＼lambda x}＄。

若$＼lambda$是特征方程的重根，设特解为$y_p ＝ x^2Q_n(x)e^｛＼lambda x}＄。

2、＄f(x) ＝ e^｛＼lambda x}P_l(x)＼cos\omega x ＋ Q_m(x)＼sin\omega x$若$＼lambda ＼pm ＼omega i$不是特征根，设特解为$y_p ＝ e^｛＼lambda x}R_{l+m}（x)＼cos\omega x ＋ S_{l+m}（x)＼sin\omegax$，其中$R_{l+m}（x)＄和$S_{l+m}（x)＄是与$P_l(x)＄和$Q_m(x)＄同次的待定多项式。